1.- Resistencia de Materiales

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XI MECÁNICA TÉCNICA TEMA XI

1.- Resistencia de Materiales La asignatura Mecánica Técnica la podemos dividir en dos partes. La primera, desde el tema I al tema X del programa, forma parte de lo que tradicionalmente se denomina "Estática" y la segunda, desde el tema XI al tema XIX, forma parte de lo que también tradicionalmente se denomina "Resistencia de Materiales". En carreras como las de Ingeniería Civil o Ingeniería en Construcciones ambas materias forman parte de asignaturas distintas. Aquí, dada la índole de la carrera, se las estudia juntas y se las denomina como "Mecánica Técnica". A veces ambas materias, se las denomina indistintamente como "Estabilidad". En la primera parte de la asignatura se ha estudiado el equilibrio de los cuerpos y en especial el equilibrio de los cuerpos vinculados sometido a distintos estados de cargas (o fuerzas) (Fig. 1). P1, P2 y q
fuerzas o cargas A y B
Vínculos q

Fig. 1: cuerpo vinculado

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XI

Con referencia a estos últimos se ha estudiado en primer lugar como trabajan (o reaccionan) esos vínculos y se ha visto como el conjunto de las cargas (o fuerzas) y las reacciones _de vínculos forman un sistema de fuerzas cualesquiera que deben estar en equilibrio (Fig. 2a y 2 b) y por consiguiente debe cumplir con las condiciones de equilibrio sean graficas ó analíticas ya vistas (ver Tema VII).

Fig. 2 También se ha visto como el conjunto de estas fuerzas en equilibrio producen

en

el

interior

de

esos

cuerpos

esfuerzos

denominadas también

solicitaciones que reciben, según los casos, los nombres de: esfuerzos normales (N), esfuerzos de corte (Q), momentos flectores (Mf) y momento torsor (Mt).(Ver temas VIII y IX) En el caso de los reticulados hay solo esfuerzos normales (N) ya que los otros se consideran nulos (Fig. 3)

a) Reticulado

b) Barras individuales Fig.3

3

XI

En el caso de vigas de alma llena como el de la Fig. 4, hay esfuerzos: Mf, N, Q

a) Viga de alma llena

b) Esfuerzos internos Fig. 4

En esta segunda parte estudiaremos como esos esfuerzos internos provocan en el material del que está constituido el cuerpo las denominadas "tensiones” “deformaciones” y ”desplazamientos”. Aquí conviene aclarar algo antes de seguir. Una de las hipótesis de la estática era que los cuerpos eran indeformables sin embargo decimos que en

Resistencia

de

materiales

estudiaremos

las

deformaciones

y

desplazamiento de los mismos. En efecto existirán y de hecho se podrán medir esas deformaciones y desplazamientos corno veremos en todos los temas posteriores y en especial en el tema XVI pero sus magnitudes serán pequeñas (muy pequeñas) comparadas con las medidas de los cuerpos. O sea: las

deformaciones

geométrica

del

son

cuerpo

tan y

pequeñas su

que

influencia

no

cambia

sobre

las

la

configuración

solicitaciones

es

despreciable y por consiguiente a los fines del equilibrio y de los esfuerzos internos es como si efectivamente los cuerpos que estudiaremos fueran indeformables. Si esas deformaciones tuvieran importancia debemos tenerlas en cuenta como efectivamente ocurrirá cuando estudiaremos el fenómeno de Pandeo (Tema XIX). En resumen, el objeto de la Resistencia de Materiales es llegar a dimensionar los cuerpos de manera tal que las tensiones y deformaciones provocadas por los esfuerzos al que están sometidos se mantengan dentro de

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XI

ciertos límites dados por las experiencias y las experimentaciones hechas sobre los mismos o sobre modelos que los representan. ANEXO: La finalidad de la Resistencia de Materiales (RDM) es: DISEÑAR o VERIFICAR los elementos estructurales (losas, vigas, columnas, etc.) de manera que cumplan los requisitos de: RESISTENCIA: RIGIDEZ:

Los elementos deberán soportar cargas de diseño sin romper.

Los componentes deberán deformarse dentro de limitaciones

prestablecidas. ESTABILIDAD:

Los elementos deberán encontrarse en equilibrio estable.

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XI

2.- Hipótesis Fundamentales El comportamiento real de los cuerpos es muy complicado y sobre todo muy difícil de representar. En consecuencia se han elaborado hipótesis simplificativas

que

tratan

de

aproximarse

lo

mejor

posible

al

comportamiento de los mismos dentro de ciertos límites que veremos más adelante. Esas hipótesis son las siguientes:  Hipótesis de homogeneidad de los cuerpos Esta hipótesis supone que las propiedades de los cuerpos son las mismas en todas las direcciones. En realidad todos sabemos que esto no se cumple estrictamente. Habrá materiales que se ajustarán más y otros menos a esta hipótesis. Por ejemplo el hierro tiene la misma resistencia a tracción que a compresión pero esto no sucede para un material como el hormigón.  Hipótesis de elasticidad de los materiales. Esto significa que si un material se ha deformado bajo una causa externa al retirar esa causa vuelve a su posición primitiva. Fig. 5 a) b) y c)

a) Inicial

b)al colocar la carga P

c)al retirar la carga P

Fig. 5 Esta hipótesis también no se cumple estrictamente y varía de material a material y además como veremos depende de la magnitud de la causa externa. Para seguir con el ejemplo anterior: el hierro cumple bastante bien con esta hipótesis dentro de ciertos rangos de tensiones no así el hormigón que cualquiera sea la tensión al retirar la causa externa siempre permanece “algo" de la deformación producida. La deformación que al

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XI

retirar la causa se recupera totalmente se denomina deformación elástica, mientras la que no se recupera se la define como deformación plástica. En

Resistencia

de

Materiales

solo

trataremos

las

deformaciones

elásticas.  Hipótesis de Navier Esta hipótesis la veremos con más detalles al estudiar FLEXION. Aquí nos limitaremos a enunciarla y dice “una superficie plana correspondiente a una sección cualquiera de un cuerpo permanece plana después de la deformación del mismo”-. Fig. 6 a) y b).

Fig. 6  Hipótesis o principio de superposición de los efectos En realidad esta hipótesis ó principio se puede deducir como consecuencia de las anteriores pero aquí la trataremos como una hipótesis más y consiste en lo siguiente. “Si sobre un cuerpo actúa primeramente una causa Cl que produce un efecto el que desaparece al retirar la causa y luego actúa una segunda causa C2 que produce un efecto e2 (el y e2 deben ser efectos del mismo tipo y en el mismo lugar) que también desaparece al retirar 1, causa C2, posteriormente al hacer actuar en conjunto las causas Cl y C2 el efecto que se produce será la suma algebraica de el y e2” [Fig. 7 a) b) y c)].

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XI

a) causa C1 y efecto el

b) causa C2 y efecto e2 Fig. 7

c) causa C1 + C2 y efecto el + e2

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XI

3- Tensiones y Deformaciones Una fuerza o esfuerzo que actúa sobre una superficie se traduce en una tensión. Definimos entonces como tensión a la relación: Fuerza

= Tensión

Superficie siendo sus unidades kg ; t ; Pa = N ; MPa = MN = N ; cm2

m2

m2

m2

etc.

mm2

Si la fuerza es normal a la superficie, tenemos las tensiones normales que normalmente designaremos con la letra griega

σ

(sigma). Si la fuerza se

encuentra en el plano de la superficie tenemos tensiones tangenciales que normalmente designaremos con la letra

o

τ(tau).

Si la fuerza incide

según una dirección cualquiera sobre la superficie siempre es posible descomponerla según las dos direcciones vistas (normal y tangencial). Figs 8 a) b) c).

Fig. 8 Durante el transcurso de la materia veremos como esas tensiones provocan deformaciones en los cuerpos, hecho ya mencionado en el punto anterior y al enunciar la hipótesis de la elasticidad de los materiales. Para fijar ideas veamos un ejemplo como el de la Fig. 9. Se trata de un cuerpo cilíndrico de longitud lo cuya sección tiene una superficie So y sometido a un esfuerzo normal N. Conforme a lo visto

9

XI anteriormente estará sometido a una tensión igual a

Esta

tensión

provocará

un

alargamiento

ó

deformación longitudinal del cuerpo igual a ∆

y entonces aquel adquirirá finalmente una

longitud especifica

11 (o

Se

define

unitaria)

como

deformación

y

la

se

normalmente con la letra griega

ε

designa (epsilón)

a la relación:

(2) con unidades: mm / mm Fig. 9 Esta deformación específica como veremos mas adelante dependerá de la magnitud de

y su variación con respecto a ella la veremos también mas

adelante. Aquí solo queremos anticipar que si nivel

ε

se mantiene debajo de cierto

dependerá linealmente de ella, o sea hay una relación lineal entre

tensiones y deformaciones. Este hecho algunos autores lo toman como una hipótesis alternativa a la de la elasticidad y veremos que en la práctica son la misma cosa. ANEXO: Las fuerzas, cargas o esfuerzos externos se clasifican según: 1. Modo de aplicación:

a)

Concentradas (P)

b)

Distribuidas (q)

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XI 2. Frecuencia a)

Estáticas

b)

Dinámicas (impacto, choque)

c)

Variables ó cíclicas (que producen fatiga)

3. Duración. a)

Permanentes o muertas (peso propio)

b)

Accidentales o vivas o de explotación (sobrecargas, viento, sismo, nieve, vehículos, etc.)

4. Efectos internos o solicitaciones: a)

Axiales (tracción, compresión)

b)

Flexión

c)

Corte

d)

Torsión

Un fuerza produce un desplazamiento:

F → ∆ ó δ; Mf → φ; Mt → θ;

Una tensión produce una deformación:

σ → ε; τ→γ

XI TENSION Y DEFORMACION

Representaciones esquemáticas de deformaciones por diversas cargas: a) Deformación por tracción b) Deformación por compresión c) Deformación por corte d) Deformación por torsión Las líneas punteadas representan el cuerpo antes de la deformación

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XI

4- Límites Como hemos dicho el comportamiento de los materiales es muy complejo y por consiguiente resulta imposible establecer leyes que tengan validez general y sin restricciones o sea que como se expresó al hablar de las hipótesis fundamentales es necesario hacer simplificaciones pero además hay que establecer los límites dentro de los cuales tienen validez. Así por ejemplo la dependencia lineal entre deformaciones y tensiones va a estar limitada por el denominado límite de proporcionalidad como veremos en detalle en el tema XIV en donde se estudiarán además otros límites.-

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XI

5- Definición y clasificación de los esfuerzos En los temas X

y

XI se estudiaran los esfuerzos internos a los que están

sometidos los cuerpos o estructuras y que reciben también el nombre de solicitaciones y que eran: N = esfuerzo normal Q = esfuerzo de corte

Mf ó M

= Momento

flector

Mt = Momento torsor Si el cuerpo, un elemento o una sección del mismo están sometidos aisladamente a la acción de uno de esos esfuerzos tendremos los estados de solicitación simple. Si hay dos o mas esfuerzos actuando simultáneamente tendremos los estados de solicitación compuestas. A continuación pasamos a citar en forma detallada a los estados simples o compuestos más usuales y veremos en que tema los estudiaremos. a) Estados de solicitación simple *

Tracción Y compresión - Tema XIV N ≠ 0 Q = 0 Mf = 0 Mf = 0

**

Corte puro ó simple – Tema XV N = 0 Q ≠ 0

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XI Mf = 0 Mt = 0 ***

Flexión pura ó simple – Tema XVI N = 0 Q = 0 Mf ≠ 0 Mt = 0

****

Torsión pura ó simple – Tema XX N = 0 Q = 0 Mf = 0 Mt ≠ 0

b) Estados de solicitación compuestos *

Flexión plana - Tema XVII N = 0 Q ≠ 0 Mf ≠ 0 Mf = 0

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XI **

Flexión compuesta – Tema XIX N ≠ 0 Q = 0 ó Q≠ 0 Mf ≠ 0 Mt = 0 Antes de terminar este punto caben dos aclaraciones. La

primera

tangenciales,

los

es

que

esfuerzos

como

tenemos

simples

son

tensiones

normales

combinables

(ver

y

tensiones

principio

de

superposición) si producen el mismo tipo de tensiones. La segunda es que en el programa hay dos temas más además de los vistos y que son: Tema XVIII

En donde se estudian las deformaciones y desplazamientos

Tema XXI

Pandeo. Es un tema especial en el que se estudian las piezas sometidas a un esfuerzo de compresión y eventual flexión que por su geometría se ven afectadas por las deformaciones produciéndose un denominado "estado de inestabilidad" ó "equilibrio inestable".

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XI

6- Condición mecánica de equilibrio En los temas VII y IX se han estudiado los esfuerzos internos en los cuerpos (en especial en reticulados y vigas de alma llena) y teniendo en cuenta 10 que allí se vio, aquí vamos a hablar de lo que se denomina condición mecánica de equilibrio". Si consideramos la viga curva de la Fig. 10 sometida a un estado de cargas cualesquiera, es posible hallar las reacciones RA (o sus componentes y

) Y RB aplicando las condiciones de equilibrio de los cuerpos vinculados

vistas en el tema IX.

Fig. 10 Si ahora seccionamos a la viga según dos planos l - 1 Y 2 - 2 infinitamente próximos y aplicamos las definiciones de Mf (momento flector) Q (esfuerzo de corte) y N (esfuerzo normal) podemos decir que la reacción Ri es equivalente a Mfi, Qi y Ni y que la reacción Rd es equivalente a Mfd, Qd y Nd (Fig. 11a)

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XI

a) Solicitaciones

b) Distintas formas de secciones Fig. 11

Pero además en el transcurso de los temas siguientes veremos que sobre las secciones obtenidas y que pueden ser de, distintas formas geométricas (Fig. 11 b) se desarrollan tensiones normales y tangenciales y que ellas deberán ser equivalentes a los esfuerzos o solicitaciones de Mf, Q y N. En consecuencia, debe cumplirse la "condición mecánica de equilibrio" que podríamos sintetizar en: •

La Ri y la Rd deben estar en equilibrio, o sea Ri = - R d

o Ri y Rd deben ser dos fuerzas colinea1es y de sentido contrario. •

Lo anterior equivale a decir también que las solicitaciones Mfi, Qi y Ni deben estar en equilibrio con Mfd, Qd Y Nd o sea:

Mfi = - Mrd Qi = - Q d Ni = - Hd Finalmente lo anterior equivale también a. que las solicitaciones deben estar en equilibrio con las tensiones que se desarrollan en la sección.

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XI ANEXO: HIPOTESIS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA RDM: FORMA DEL SÓLIDO (Noción de Pieza Lineal):

Sólido generado por un área plana S que se desplaza a lo largo de una línea GG’, llamado barra. Se puede definir una línea media GG’ continua llamada eje de la barra, sin puntos singulares, que conecta los baricentros de las secciones. Una dimensión es muy superior a las otras dos; las dimensiones

de

la

sección

transversal

son

considerablemente menores que la longitud del eje de la barra. La sección transversal es siempre perpendicular al eje de la barra. La sección transversal no presenta variación brusca; puede variar de modo lento y continuo. El eje de la barra posee un gran radio de curvatura con relación a las dimensiones de las secciones rectas. MATERIAL:

Continuidad: sin discontinuidades o interrupciones entre las partículas que lo forman. Homogeneidad: las propiedades mecánicas son iguales en cualquier punto del sólido. Isotropía: las propiedades mecánicas son iguales en todas las direcciones. Elasticidad: el elemento deformado vuelve a su situación original al retirar la causa de la deformación.

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XI FUERZAS:

La fuerzas aplicadas en un punto no pueden ser sustituidas por un sistema de fuerzas equivalente porque producen efectos

físicos

diferentes

(solicitaciones,

tensiones,

deformaciones, etc.). DEFORMACIONES: Proporcionalidad: en un sólido continuo las deformaciones se relacionan con las tensiones en todos sus puntos, en términos lineales y homogéneos. Pequeñas

Deformaciones:

Los

materiales

presentan

deformaciones muy pequeñas en relación a las dimensiones de la estructura, que no cambian la geometría del elemento e influyen despreciablemente en las solicitaciones. ESFUERZOS Y

Principio de Saint-Venant: Cuando la sección de una pieza

TENSIONES

está suficientemente alejada de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores, el estado de tensión en esa sección no depende de la forma de aplicación de las fuerzas, solo de la resultante. Principio de Navier - Bernoulli: Las secciones planas y normales al eje de una barra no deformada, se mantienen planas y normales al eje de la barra después de deformada. Superposición de efectos: La deformación en un punto cualquiera de la barra debida a varias acciones mecánicas, es igual a la suma de las deformaciones de cada acción mecánica considerada aisladamente. La tensión en un punto cualquiera de la barra debida a varias acciones mecánicas, es igual a la suma de las tensiones

de

cada

acción

mecánica

considerada

aisladamente. Principio del Equilibrio Mecánico: Igualdad de la acción y de la reacción en cada sección de la barra.

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XI

El modelo de SÓLIDO o PRISMA MECÁNICO que se empleará en Resistencia de Materiales: MODELO → Sólido ideal (Hipótesis): Continuo:

Sin cavidades ni alteraciones.

Deformable:

No es un sólido rígido.

Elástico:

Lineal (deformaciones proporcionales a tensiones).

Homogéneo:

Idénticas

propiedades

mecánicas

en

todas

sus

partículas Isótropo:

Propiedades iguales en todas las direcciones.

REALIDAD – Sólido real: Discontinuo:

Poros, cavidades.

Deformable:

No es un sólido rígido.

Elasto-plástico: Elástico lineal y/o elástico no lineal y/o plástico. Heterogéneo: Diversas propiedades en las partículas. Ej. Hormigón: áridos, cemento, etc. Anisótropo: Madera.

Propiedades pueden depender de la dirección. Ej.