10. Matematika SMP.pdf - SMP Negeri 1 Bontang

G

IV E UN

N RA

S NEGERI SE MA ITA RS

UNNES

PENDIDIKAN DAN LATIHAN PROFESI GURU (PLPG) SERTIFIKASI GURU DALAM JABATAN TAHUN 2008

MATEMATIKA SMP

PANITIA SERTIFIKASI GURU RAYON XII UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2008

REKTOR NEGERISEMARANG UNIVERSITAS SAMBUTAN REKTOR

As s alamu' alailstm Warahmatutlahi Wab arakatuh Salam sejahtera untuk kita semua. Puji syukur tidak putus selalu kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dzat yang maha tinggi, atas rakhmat dan ilmuNya yang diturunkan kepada umat manusia. Sertifikasi guru sebagai upaya peningkatan mutu guru yang diikuti dengan

peningkatan

kesejahteraan

guru,

diharapkan

dapat

meningkatkan mutu pembelajaran yang pada akhirnya meningkatkan mutu pendidikan di Indonesia secara berkelanjutan. Sesuai dengan Peraturan

Menteri

pelaksanaan uji

Pendidikan

Nasional

No.

18

sertifikasi bagi guru dalam jabatan

Tahun

2OO7,

dilaksanakan

melalui portofolio. Berdasarkan prosedur pelaksanaan portofolio, bagi peserta yang belum dinyatakan lulus, LP|K Rayon merekomendasikan alternatif : (1) melakukan kegiatan mandiri untuk melengkapi kekurangan dokumen portofolio atau (2) mengikuti Pendidikan dan Pelatihan Profesi Guru ( PLPG ) yang diakhiri dengan ujian. Penyelenggaraan PLPG telah distandardisasikan oleh Konsorsium Sertilikasi Guru ( KSG ) Jakarta dalam bentuk pedoman PLPG secara Nasional. Berbagai upaya telah dilakukan oleh Panitia Sertifikasi Guru ( PSG ) Rayon 12 dalam rangka standardisasi penyelenggaraan PLPG mulai penyediaan tempat, ruang kelas, jumlah jam, sistem penilaian, kualitas instruktur dan ketersediaan bahan ajar. Bahan ajar yang ada di tangan Saudara ini salah satu upaya PSG Rayon 12 dalam memenuhi

standard pelaksanaan PLPG secara nasional untuk itu saya menyambut dengan baik atas terbitnya Bahan Ajar PLPG ini. Sukses PLPG tidak hanya tergantung ketersediaan buku, kualitas instruktur,

sarana prasarana yang disediakan namun lebih daripada itu

adalah kesiapan peserta baik mental maupun fisik, untuk itu harapan saya para peserta PLPG telah menyiapkannya

dengan baik

sejak

keberangkatannya dari rumah masing-masing. Pada kesempatan ini ijinkan saya, memberikan penghargaan yang tinggi kepada Dosen/lnstruktur

yang telah berkontribusi dan berusaha

men)rusun buku ini, agar dapat membantu guru menempuh program PLPG dalam rangka sertihkasi guru. Buku ini menggunakan pilihan bahasa yang sederhana dan mudah dipahami sehingga pembaca dapat menikmatinya dengan seksama. Akhirnya

kepada

khalayak

pembaca

saya

ucapkan

selamat

menikmati buku ini, semoga dapat memperoleh manfaat yang sebanyakbanyaknya.

Rektor Universitas Negeri Semarang

Sudijono Sastroatmodjo

DAFTAR ISI Halaman Pengantar Pelatihan ……………………………………………. BUKU AJAR 1 : PENGEMBANGAN PROFESIONALITAS GURU BAB I

PENDAHULUAN

1-1

A. Guru Sebagai profesi ………………...…………. 1-1 B. Kompetensi Guru …………………………..……. 1-3 1. Kojmpetensi Profesional ………..…..………

1-4

2. Kompetensi Kepribadian …………...……….

1-5

3. Kompetensi Paedagogik ….………………… 1-7 C. Memimpikan Guru yang Profesional …………..

1-11

D. Standar Pengembangan Karier Guru …………. 1-14 E. Pengembangan Karier Guru…………………….

1-18

F. Penutup ………………………...…………………

1-20

Dartar Pustaka……………………………………….

1 -21

BUKU AJAR 2 : STATISTIKA BAB I

PENDAHULUAN ……………………………………. 2-1 A. Deskripsi ………………………………………….

2-1

B. Prasarat …………………………...……………… 2-1 C. Petunjuk Belajar …………………………………. 2-1

BAB II

D. Kompetensi dan Indikator ………………………

2-2

KEGIATAN BELAJAR I……………………………..

2-3

A. Kompetensi dan Indikator……………………….

2-3

B. Uraian Materi……………………………………..

2-3

1. pengertian Statistika dan Statistik………….. 2-3 2. Data Statistika ………………………………..

2-5

3. Pengumpulan Data ………………………….. 2-8 4. Mengurutkan Data …………………………... 2-8

i

5. Ukuran Pemusatan Data ……………………

2-10

6. Ukuran Letak Data tunggal ………………...

2-13

7. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi) ………

2-15

8. Penyajian Data dengan Tabel dan Diagram………………………………………

2-18

C. Latihan……………………………………….……. 2-23 D. Rangkuman…………………………………..…... 2-24 E. Tes Formatif………………………………………. 2-26 BAB III

KEGIATAN BELAJAR II……………………….……

2-29

A. Kompetensi dan Indikator ………………………. 2-29 B. Uraian Materi ……………………..……………… 2-29 1. Populasi dan Sempel……………………….

2-29

2. Ruang Sempel, Titik Sempel dan kejadian

2-30

3. Pengertian Nilai Peluang……………………

2-34

4. Kisaran Nilai peluang kejadian K ………….

2-35

5. Nilai Peluang Komplemen Suatu Kejadian . 2-36 6. Frekuensi Harapan ………………….…….

2-36

7. OperaSI Kejadian dan Nilai Peluang Suatau kejadian

2-36

8. Dua Kejadian yang Saling Lepas dan yang Tidak Saling lepas ……………………….….

2-37

C. Latihan…………………………………………….

2-3

D. Rangkuman……………………………………….

2-40

E. Tes Formatif………………………………………. 2-42 Glosarium …………………………….……...…..….. 2-47 Daftar Pustaka ………………………………………

2-48

BUKU AJAR 3 : ARITMATIKA BAB I

PENDAHULUAN ……………………………………

3 -1

A. Deskripsi ………………………………………….

3 -1

B. Prasarat ……………………………..……………

3 -1

ii

C. Petunjuk Belajar …………………………………. 3 -1

BAB II


3 -2

KEGIATAN BELAJAR 1…………………...………..

3 -3

A. Kompetensi dan Indikator …………….………… 3 -3 B. Uraian Materi …………………………………….. 3 -3

BAB III

BAB IV

1. Bilangan Asli ……………………..………….

3-3

2. Bilangan Bulat ……………………..………..

3-10

C. Latihan…………………………………………….

3 -11

D. Lembar kegiatan ……………………..………….

3 -11

E. Rangkuman …………………………..………….

3 -12

F. Tes Formatif ……………………….…………….

3 -13

KEGIATAN BELAJAR 2……………………………

3 -15

A. Kompetensi dan Indikator ………………………

3 -15

B. Uraian Materi …………………………..………..

3 -15

1. Pengertian Pecahan ……………….……….

3-15

2. Jenis Pecahan ……………………..………..

3-16

3. Relasi Pada Pecahan ……………..………..

3-17

4. Operasi pada Pecahan ……………..………

3-18

C. Latihan…………………………………………….

3 -19


3 -20

E. Rangkuman …………………………...………….

3 -20

F. Tes Formatif …………………………..………….

3 -21

KEGIATAN BELAJAR 3…………………………….

3 -23

A. Kompetensi dan Indikator ………………….…… 3 -23 B. Uraian Materi …………………………………….. 3 -23 1. Perbandingan………………………..……….

3-23

2. Barisan ……………………………..…………

3-25

3. Deret ………………………………..…………

3-28

C. Latihan…………………………………………….

3 -30


3 -31

E. Rangkuman ……………………………...……….

3 -32

iii

BAB V

F. Tes Formatif ………………………..…………….

3 -33

KEGIATAN BELAJAR 4

3 -35

A. Kompetensi dan Indikator ………………………

3 -35

B. Uraian Materi …………………………………….. 3 -35 1. Harga Jual, harga Beli, Laba, dan Rugi….…

3 -35

2. Rabat, Bruto, Tara, dan Neto………..………

3 -37

3. Bunga ………………………………………….

3 -37

C. Latihan……………………………………….……. 3 -40 D. Lembar kegiatan ………………………...………. 3 -41 E. Rangkuman …………………………...………….

3 -42

F. Tes Formatif ……………………..……………….

3 -43

Glosarium ……………………………………………

3 -46

Daftar pustaka ………………………………………

3 -48

BUKU AJAR 4 : ALJABAR BAB I


4 -1

A. Deskripsi………………………………………….

4 -1

B. Prasyarat …………………………………………. 4 -1

BAB II

C. Petunjuk Belajar …………………………………

4 -1


4 -1

KEGIATAN BELAJAR 1…………………….………

4 -3

A. Kompetensi dan Indikator……………….………. 4 -3 B. Uraian Materi …………………………….………. 4 -3 1. Bentuk Aljabar ………………………….…….

4 -3

2. Persamaan Linier Satu Variable …….……..

4 -5

3. Pertidaksamaan Linier Satu Variable …..….

4 -7

4. Perbandingan ……………….……………….

4 -8

C. Latihan ………………………………..…………..

4 -11

D. Rangkuman……………………….………………

4 -12

E. Tes Formatif………………………………………. 4 -12 BAB III


iv

4 -15

A. Kompetensi dan Indikator……………………….. 4 - 15 B. Uraian Materi …………………………….………. 4 -16 1. Himpunan ………………………….………….

4 -16

2. Operasi-operasi pada Himpunan …..………

4 -18

3. Prinsip Inklusi dan Eklusi pada Himpunan ..

4 -21

4. Relasi dan Fungsi ……………………………

4 -24

5. Sistem persamaan Linier dua Fariable.……

4 -26

C. Latihan……………………………………….……. 4 -31 D. Rangkuman ………………………..…………….

4 -31

F. Tes Formatif …………………………..………….

4 -32

Glosarium ………………………………..…………..

4 -39


4 -40

BUKU AJAR 5 : GEOMETRI BAB I

PENDAHULUAN ……………………………………. 5 -1 A. Deskripsi………………………………………….

5 -2

B. Prasyarat …………………………………………. 5 -2

BAB II


5 -2


5 -3

KEGIATAN BELAJAR 1………………….…………

5 -5


5 -5

B. Uraian Materi …………………………………….

5 -5

- Definisi ……………………………..…………..

5 -5

- Teorema ……………………………………….

5 -5

C. Latihan………………………………….…………. 5 -6

BAB III

D. Lembar Kegiatan ………………...………………

5 -7

E. Rangkuman ………………………..…………….

5 -8

F. Tes Formatif ………………………..…………….

5 -9

KEGIATAN BELAJAR 2

5 -11


5 -11


5 -11

v

BAB IV

BAB V

Luas……………………………………………….

5 -18

Pytaghoras……………………………………….

5 -20

C. Latihan…………………………………………….

5 -20

D. Lembar Kegiatan………………………….……..

5 -22

E. Rangkuman……………………………..………..

5 -23

F. Tes Formatif …………………………….……….

5 -23

KEGIATAN BELAJAR 3

5 -25


5 -25


5 -25

C. Latihan…………………………………………….

5 -30

D. Lembar Kegiatan ……………………..…………

5 -31

E. Rangkuman ……………………………..……….

5 -31

F. Tes Formatif ………………………..…………….

5 -32


5 -34

A. Kompetensi dan Indikator……………….………. 5 -34 B. Uraian Materi ………………………….…………. 5 -34 1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-siku

5 -34

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga lancip/

BAB VI

tumpul …………………………………...…….

5 -35

3. Garis Istimewa dalam Segitiga ……………..

5 -37

4. Teorema Menelaos …………………...……..

5 -41

5. Teorema Ceva……………………….……….

5 -41

C. Latihan……………………………..……..……….

5 -42

D. Lembar Kegiatan ………………………..……….

5 -42

E. Rangkuman ……………………………..………..

5 -44

F. Tes Formatif ……………………………..……….

5 -44

KEGIATAN BELAJAR 5

5 -46


5 -46


5 -46

Perbandingan Seharga Garis-garis dalam Lingkaran …………………………….………….. 5 -46

vi

- Lingkaran Luar……………………………….

5 -49

- Lingkaran Dalam ……………………………. 5 -49 - Lingkaran Singgung ………………………...

5 -50

- Segiempat Talibusur ……………….………

5 -52

Teorema ptolomeus …………………….……… 5 -53 - Penggunaan Segiempat Tali Busur…….….

5 -54

- Segiempat Garis Singgung ….……………..

5 -55

C. Latihan……………………………..….………….

5 -56

D. Lembar Kegiatan ………………….…………….

5 -56

E. Rangkuman ……………………….……………..

5 -58

F. Tes Formatif ………………………….………….

5 -58

Glosarium ……………………………….…………..

5 -63


5 -64

BUKU AJAR 6: PEMBELAJARAN INOVATIF BAB I


6 -1

A. Deskripsi………………………………….……….

6 -1

B. Prasyarat …………………………………………. 6 -1

BAB II


6 -1


6 -2

KEGIATAN BELAJAR 1………………….…………

6 -3


6 -3


6 -3

a. Model-model Pembelajaran yang Inovatif

6 -3

b. Pendahuluan…………………………….…..

6 -3

c.Pemilihan

Model

Pembelajaran

yang

Inovatif….…………………………………….

6 -6

C. Latihan……………………………………….……. 6 -52 D. Lembar Kegiatan Peserta Pelatihan …….…….

6 -52

E. Rangkuman ………………………………………

6 -54

F. Tes Formatif …………………………….………..

6 -54

vii

Glosarium ……………………………….….………..

6 -61

Daftar pustaka …………………………….………… 6 -63

BUKU AJAR 7 : MEDIA PEMBELAJARAN BAB I


7 -2

A. Deskripsi………………………………….……….

7 -2

B. Prasyarat …………………………………………. 7 -2

BAB II


7 -2


7 -2

MEDIA

PEMBELAJARAN

DAN

PROSES

BEAJAR MENGAJAR

7 -3


7 -3


7 -3

1.Hubungan

Media

Pembelajaran

dan

Proses Belajar Mengajar 2. Media Pembelajaran

7 -3 7 -7

C. Latihan……………………………………….……. 7 -10

BAB III

D. Lembar Kegiatan …………………….…….…….

7 -10

E. Rangkuman ………………………………………

7 -10

F. Tes Formatif …………………………….………..

7 -11

MANFAAT MEDIA PEMBELAJARAN

7 -12


7 -12


7 -12

C. Latihan……………………………………….……. 7 -15

BAB IV


7 -15

E. Rangkuman ………………………………………

7 -15

F. Tes Formatif …………………………….………..

7 -16

JENIS MEDIA PEMBELAJARAN

7 -17


7 -17


7 -17

1. Jenis Media Pembelajaran

viii

7 -17

2. Contoh Media Pembelajaran

7 -20

3.Strategi Pemberdayaan Media/ Multimedia /Alat Peraga

7 -37

C. Latihan……………………………………….……. 7 -39 D. Lembar Kegiatan …………………….…….…….

7 -39

E. Rangkuman ………………………………………

7 -39

F. Tes Formatif …………………………….………..

7 -39

Glosarium ……………………………….….………..

7 -43

Daftar pustaka …………………………….………… 7 -44

BUKU AJAR 8 : PENILAIAN PEMBELAJARAN BAB I


8 -1

A. Deskripsi………………………………….……….

8 -1

B. Prasyarat …………………………………………. 8 -1

BAB II


8 -1


8 -2


8 -4


8 -4


8 -4

1. Pendahuluan …………………………………

8 -4

2.Pengertian

Pengukuran,

penilaian,

dan

evaluasi ………………………………………

8 -5

3. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………….

8 -6

4. Ranah penilaian………………………………

8 -7

5. Kharakteristik Pelajaran Matematika ………

8 -8

6. Kharakteristik Peserta Didik yang Belajar Matematika …………………………………… 8 -9 7. Perubahan Ranah Penilaian Matematika di SMP …………………………………………..

8 -10

8. Standar Penilaian Pendidikan………………

8 -11

C. Latihan……………………………………….……. 8 -23

ix

BAB III


8 -24

E. Rangkuman ………………………………………

8 -25

F. Tes Formatif …………………………….………..

8 -26


8 -32


8 -32


8 -32

1. Pendahuluan …………………………………

8 -32

2. Pengembangan tesk Hasil Belajar ………..

8 -32

3. Bentuk Soal ………………………………….

8 -38

4. Penskoran Soal ……………………………… 8 -38 C. Latihan……………………………………….……. 8 -42 D. Kegiatan Peserta Pelatihan……………………..

8 -43

E. Rangkuman ………………………………………

8 -43

F. Tes Formatif …………………………….………..

8 -46

Glosarium ……………………………….….………..

8 -51

Daftar pustaka …………………………….………… 8 -54

BUKU AJAR 9 : PENELITIAN TINDAKAN KELAS BAB I

PENDAHULUAN

9 -1

A. Deskripsi………………………………….……….

9 -1

B. Prasyarat …………………………………………. 9 -1

BAB II


9 -1


9 -2


9 -4


9 -4


9 -4

1. Pengertian PTK

9 -4

2. Kharakteristik PTK

9 -6

3. Prinsip-prinsip PTK

9 -7

4. Tujuan PTK

9 -8

x

5. Manfaat PTK

9 -9

C. Latihan……………………………………….……. 9 -9

BAB III


9 -9

E. Rangkuman ………………………………………

9 -10

F. Tes Formatif …………………………….………..

9 -11


9 -14


9 -14


9 -14

1. Identifikasi dan Rumusan Masalah ………..

9 -14

2. Pengembangan Desain PTK ……………….

9 -20

3. Instrumen dan Analisis dalam PTK ……….

9 -23

4. Analisis dalam PTK …………………………

9 -25

5. Penyusunan proposal PTK …………………

9 -27

C. Latihan……………………………………….……. 9 -34

BAB IV


9 -34

E. Rangkuman ………………………………………

9 -34

F. Tes Formatif …………………………….………..

9 -34

KEGIATAN BELAJAR 3……………………............

9 -37


9 -37


9 -37

- Penyusunan Laporan Penelitian…………….

9 -37

C. Latihan……………………………………….……. 9 -41 D. Lembar Kegiatan …………………….…….…….

9 -41

E. Rangkuman ………………………………………

9 -41

F. Tes Formatif …………………………….………..

9 -41

Glosarium ……………………………….….………..

9 -45

Daftar pustaka …………………………….………… 9 -46 Contoh Proposal PTK ………………………………

9 -47

BUKU AJAR 10 : PENULISAN KARYA ILMIAH BAB I

PENDAHULUAN ……………………………………. 10 -1

xi

BAB II

A. Deskripsi ………………………………………….

10 -1

B. Petunjuk Belajar …………………………………

10 -2

C. Kompetensi dan Indikator ………………………

10 -2


10 -3


10 -3


10 -3

C. Lembar Kegiatan ………………………………..

10 -5

1. Alat dan Bahan ………………………………

10 -5

2. Hasil …………………………………………... 10 -7 D. Rangkuman ………………………………………

10 -8

E. Tes Formatif ……………………………………… 10 -8 BAB III


10 -12


10 -12


10 -13

1. Artikel Hasil Pemikiran ………………………

10 -13

2. Artikel Hasil Penelitian ………………………

10 -20

3. Penutup ……………………………………….

10 -26


10 -27

1. Alat dan Bahan……………………………….

10 -27

2. Langkah Kegiatan ……………………………. 10 -27

BAB IV

3. Hasil……………………………………………

10 -29

D. Rangkuman……………………………………….

10 -29

E. Tes Formatif ……………………………………..

10 -30


10 -31


10 -31


10 -31

1. Mengenai Format Tulisan …………………..

10 -31

2. Petunjuk Bagi Penulis Ilmu Pendidikan …..

10 -34


10 -36

1. Alat dan Bahan ………………………………. 10 -36 2. Langkah Kegiatan …………………………… 10 -37

xii

3. Hasil …………………………………………... 10 -39 D. Rangkuman……………………………………….

10 -39

E. Tes Formatif………………………………………

10 -40

Daftar pustaka …………………………….………… 10 -42

xiii

BUKU AJAR

Pengembangan Profesionalitas guru

PENDAHULUAN Fakta tentang kualitas guru menunjukkan bahwa sedikitnya 50 persen guru di Indonesia tidak memiliki kualitas sesuai standardisasi pendidikan nasional (SPN). Berdasarkan catatan Human Development Index (HDI), fakta ini menunjukkan bahwa mutu guru di Indonesia belum memadai untuk melakukan perubahan yang sifatnya mendasar pada pelaksanaan kurikulum berbasis kompetensi (KBK). Dari data statistik HDI terdapat 60% guru SD, 40% SMP, 43% SMA, 34% SMK dianggap belum layak untuk mengajar di jenjang masing-masing. Selain itu, 17,2% guru atau setara dengan 69.477 guru mengajar bukan pada bidang studinya. Dengan demikian, kualitas SDM guru kita adalah urutan 109 dari 179 negara di dunia. Untuk itu, perlu dibangun landasan kuat untuk meningkatkan kualitas guru dengan standardisasi rata-rata bukan standardisasi minimal (Toharudin 2006:1). Pernyataan ini juga diperkuat oleh Rektor UNJ sebagai berikut. "Saat ini baru 50 persen dari guru se-Indonesia yang memiliki standardisasi dan kompetensi. Kondisi seperti ini masih dirasa kurang. Sehingga kualitas pendidikan kita belum menunjukkan peningkatan yang signifikan," (Sutjipto dalam Jurnalnet, 16/10/2005). Fakta lain yang diungkap oleh Ditjen Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan, Dr. Fasli Djalal, bahwa sejumlah guru mendapatkan nilai nol untuk materi mata pelajaran yang sesungguhnya mereka ajarkan kepada murid-muridnya. Fakta itu terungkap berdasarkan ujian kompetensi yang dilakukan terhadap tenaga kependidikan tahun 2004 lalu. Secara nasional, penguasaan materi pelajaran oleh guru ternyata tidak mencapai 50 persen dari seluruh materi keilmuan yang harus menjadi kompetensi guru. Beliau juga mengatakan skor mentah yang diperoleh guru untuk semua jenis pelajaran juga memprihatinkan. Guru PPKN, sejarah, bahasa Indonesia, bahasa Inggris, matematika, fisika, biologi, kimia, ekonomi, sosiologi, geografi, dan pendidikan seni

1-2

Pengembangan Profesionalitas Guru

hanya mendapatkan skor sekitar 20-an dengan rentang antara 13 hingga 23 dari 40 soal. "Artinya, rata-rata nilai yang diperoleh adalah 30 hingga 46 untuk skor nilai tertinggi 100," (Tempo Interaktif, 5 Januari 2006). Mengacu pada data kasar kondisi guru saat ini tentulah kita sangat prihatin dengan buruknya kompetensi guru itu. Padahal, memasuki tahun 2006 tuntutan minimal kepada siswa untuk memenuhi syarat kelulusan harus menguasai 42,5 persen. Untuk itu, layak kiranya pada tulisan ini dicari format bagaimanakah seharusnya mengembangkan guru yang profesional?

A. Guru sebagai Profesi Djojonegoro (1998:350) menyatakan bahwa profesionalisme dalam suatu pekerjaan atau jabatan ditentukan oleh tiga faktor penting, yaitu: (1) memiliki keahlian khusus yang dipersiapkan oleh program pendidikan

keahlian

atau

spesilaisasi,

(2)

kemampuan

untuk

memperbaiki kemampuan (keterampilan dan keahlian khusus) yang dimiliki, (3) penghasilan yang memadai sebagai imbalan terhadap keahlian yang dimiliki itu. Menurut Vollmer & Mills (1991:4) profesi adalah sebuah pekerjaan/jabatan yang memerlukan kemampuan intelektual khusus, yang diperoleh melalui kegiatan belajar dan pelatihan untuk menguasai keterampilan atau keahlian dalam melayani atau memberikan advis pada orang lain dengan memperoleh upah atau gaji dalam jumlah tertentu. Usman (1990:4) mengatakan bahwa guru merupakan suatu profesi yang artinya suatu jabatan atau pekerjaan yang memerlukan keahlian khusus sebagai guru. Suatu profesi memiliki persyaratan tertentu, yaitu: (1) menuntut adanya keterampilan yang mendasarkan pada konsep dan teori ilmu pengetahuan yang mendasar, (2) menekankan pada suatu keahlian dalam bidang tertentu sesuai dengan profesinya, (3) menuntut tingkat pendidikan yang memadai, (4) menuntut adanya kepekaan terhadap dampak kemasyarakatan dari


pekerjaan yang dilaksanakan, (5) memungkinkan perkembangan sejalan dengan dinamika kehidupan, (6) memiliki kode etik sebagai acuan dalam melaksanakan tugas dan fungsinya, (7) memiliki obyek tetap seperti dokter dengan pasiennya, guru dengan siswanya, dan (8) diakui

di

masyarakat

karena

memang

diperlukan

jasanya

di

masyarakat. Pengertian di atas menunjukkan bahwa unsur-unsur terpenting dalam sebuah profesi adalah penguasaan sejumlah kompetensi sebagai keahlian khusus, yang diperoleh melalui pendidikan dan pelatihan khusus, untuk melaksanakan pembelajaran secara efektif dan efisien. Kompetensi guru berkaitan dengan profesionalisme adalah guru yang kompeten (memiliki kemampuan) di bidangnya. Karena itu kompetensi profesionalisme guru dapat diartikan sebagai kemampuan memiliki keahlian dan kewenangan dalam menjalankan profesi keguruan.

B. Kompetensi Guru Sejalan dengan uraian pengertian kompetensi guru di atas, Sahertian

(1990:4)

mengatakan

kompetensi

adalah

pemilikan,

penguasaan, keterampilan dan kemampuan yang dituntut jabatan seseorang. Oleh sebab itu seorang calon guru agar menguasai kompetensi

guru

dengan

mengikuti

pendidikan

khusus

yang

diselenggarakan oleh LPTK. Kompetensi guru untuk melaksanakan kewenangan profesionalnya, mencakup tiga komponen sebagai berikut: (1) kemampuan kognitif, yakni kemampuan guru menguasai pengetahuan

serta

keterampilan/keahlian

kependidikan

dan

pengatahuan materi bidang studi yang diajarkan, (2) kemampuan afektif, yakni kemampuan yang meliputi seluruh fenomena perasaan dan emosi serta sikap-sikap tertentu terhadap diri sendiri dan orang lain, (3) kemampuan psikomotor, yakni kemampuan yang berkaitan dengan keterampilan atau kecakapan yang bersifat jasmaniah yang

1-3

1-4


pelaksanaannya

berhubungan

dengan

tugas-tugasnya

sebagai

pengajar. Dalam UU Guru dan Dosen disebutkan bahwa kompetensi guru mencakup kompetensi pedagogik, kepribadian, profesional dan sosial sesuai dengan Standar Nasional Pendidikan yang diperoleh melalui pendidikan profesi guru setelah program sarjana atau D4. Kompetensi pribadi meliputi: (1) pengembangan kepribadian, (2) berinteraksi dan berkomunikasi, (3) melaksanakan bimbingan dan penyuluhan, (4) melaksanakan administrasi sekolah, (5) melaksanakan tulisan sederhana untuk keperluan pengajaran.

1. Kompetensi Profesional Profesi adalah suatu jabatan atau pekerjaan yang menuntut keahlian (expertise) para anggotanya. Artinya pekerjaan itu tidak bisa dilakukan oleh sembarang orang yang tidak terlatih dan tidak disiapkan secara khusus untuk melakukan pekerjaan itu. Profesional menunjuk pada dua hal, yaitu (1) orang yang menyandang profesi, (2) penampilan seseorang dalam melakukan pekerjaan sesuai dengan profesinya (seperti misalnya dokter). Makmum (1996: 82) menyatakan bahwa teacher performance diartikan kinerja guru atau hasil kerja atau penampilan kerja. Secara konseptual dan umum penampilan kerja guru itu mencakup aspekaspek; (1) kemampuan profesional, (2) kemampuan sosial, dan (3) kemampuan personal. Johnson (dalam Sanusi, 1991:36) menyatakan bahwa standar umum itu sering dijabarkan sebagai berikut; (1) kemampuan profesional

mencakup,

(a)

penguasaan

materi

pelajaran,

(b)

penguasaan penghayatan atas landasan dan wawasan kependidikan dan keguruan, dan (c) penguasaan proses-proses pendidikan. (2) kemampuan sosial mencakup kemampuan untuk menyesuaikan diri kepada

tuntutan

kerja

dan

lingkungan

sekitar

pada

waktu


membawakan tugasnya sebagai guru. (3) kemampuan personal (pribadi) yang beraspek afektif mencakup, (a) penampilan sikap positif terhadap keseluruhan tugas sebagai guru, (b)

pemahaman,

penghayatan, dan penampilan nilai-nilai yang seyogyanya dianut oleh seorang guru, dan (c) penampilan untuk menjadikan dirinya sebagai panutan dan keteladanan bagi peserta didik.

2. Kompetensi Kepribadian Kompetensi kepribadian menurut Suparno (2002:47) adalah mencakup kepribadian yang utuh, berbudi luhur, jujur, dewasa, beriman, bermoral; kemampuan mengaktualisasikan diri seperti disiplin, tanggung jawab, peka, objekti, luwes, berwawasan luas, dapat berkomunikasi dengan orang lain; kemampuan mengembangkan profesi seperti berpikir kreatif, kritis, reflektif, mau belajar sepanjang hayat, dapat ambil keputusan dll. (Depdiknas,2001). Kemampuan kepribadian lebih menyangkut jati diri seorang guru sebagai pribadi yang baik, tanggung jawab, terbuka, dan terus mau belajar untuk maju. Yang pertama ditekankan adalah guru itu bermoral dan beriman. Hal ini jelas merupakan kompetensi yang sangat penting karena salah satu tugas guru adalah membantu anak didik yang bertaqwa dan beriman serta menjadi anak yang baik. Bila guru sendiri tidak beriman kepada Tuhan dan tidak bermoral, maka menjadi sulit untuk dapat membantu anak didik beriman dan bermoral. Bila guru tidak percaya akan Allah, maka proses membantu anak didik percaya akan lebih sulit. Disini guru perlu menjadi teladan dalam beriman dan bertaqwa. Pernah terjadi seorang guru beragama berbuat skandal sex dengan muridnya, sehingga para murid yang lain tidak percaya kepadanya lagi. Para murid tidak dapat mengerti bahwa seorang guru yang mengajarkan moral, justru ia sendiri tidak bermoral. Syukurlah guru itu akhirnya dipecat dari sekolah.

1-5

1-6


Yang kedua, guru harus mempunyai aktualisasi diri yang tinggi. Aktualisasi diri yang sangat penting adalah sikap bertanggungjawab. Seluruh tugas pendidikan dan bantuan kepada anak didik memerlukan tanggungjawab

yang

besar.

Pendidikan

yang

menyangkut

perkembangan anak didik tidak dapat dilakukan seenaknya, tetapi perlu direncanakan, perlu dikembangkan dan perlu dilakukan dengan tanggungjawab. Meskipun tugas guru lebih sebagai fasilitator, tetapi tetap bertanggung jawab penuh terhadap perkembangan siswa. Dari pengalaman lapangan pendidikan anak menjadi rusak karena beberapa guru tidak bertanggungjawab. Misalnya, terjadi pelecehan seksual

guru

terhadap

anak

didik,

guru

meninggalkan

kelas

seenaknya, guru tidak mempersiapkan pelajaran dengan baik, guru tidak berani mengarahkan anak didik, dll. Kemampuan untuk berkomunikasi

dengan orang lain sangat

penting bagi seorang guru karena tugasnya memang selalu berkaitan dengan orang lain seperti anak didik, guru lain, karyawan, orang tua murid, kepala sekolah dll. Kemampuan ini sangat penting untuk dikembangkan karena dalam pengalaman, sering terjadi guru yang sungguh pandai, tetapi karena kemampuan komunikasi dengan siswa tidak baik, ia sulit membantu anak didik maju. Komunikasi yang baik akan membantu proses pembelajaran dan pendidikan terutama pada pendidikan tingkat dasar sampai menengah. Kedisiplinan juga menjadi unsur penting bagi seorang guru. Kedisiplinan ini memang menjadi kelemahan bangsa Indonesia, yang perlu diberantas sejak bangku sekolah dasar. Untuk itu guru sendiri harus

hidup

dalam

kedisiplinan

sehingga

anak

didik

dapat

meneladannya. Di lapangan sering terlihat beberapa guru tidak disiplin mengatur waktu, seenaknya bolos; tidak disiplin dalam mengoreksi pekerjaan siswa sehingga siswa tidak mendapat masukan dari pekerjaan mereka. Ketidakdisiplinan guru tersebut membuat siswa ikut-ikutan suka bolos dan tidak tepat mengumpulkan perkerjaan


rumah. Yang perlu diperhatikan di sini adalah, meski guru sangat disiplin, ia harus tetap membangun komunikasi dan hubungan yang baik dengan siswa. Pendidikan dan perkembangan pengetahuan di Indonesia kurang cepat salah satunya karena disiplin yang kurang tinggi termasuk disiplin dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan dalam belajar. Yang ketiga adalah sikap mau mengembangkan pengetahuan. Guru bila tidak ingin ketinggalan jaman dan juga dapat membantu anak didik terus terbuka terhadap kemajuan pengetahuan, mau tidak mau harus mengembangkan sikap ingin terus maju dengan terus belajar. Di jaman kemajuan ilmu pengetahuan sangat cepat seperti sekarang ini, guru dituntut untuk terus belajar agar pengetahuannya tetap segar. Guru tidak boleh berhenti belajar karena merasa sudah lulus sarjana.

3. Kompetensi Paedagogik Selanjutnya

kemampuan

paedagogik

menurut

Suparno

(2002:52) disebut juga kemampuan dalam pembelajaran atau pendidikan yang memuat pemahaman akan sifat, ciri anak didik dan perkembangannya, mengerti beberapa konsep pendidikan yang berguna untuk membantu siswa, menguasai beberapa metodologi mengajar yang sesuai dengan bahan dan perkambangan siswa, serta menguasai sistem evaluasi yang tepat dan baik yang pada gilirannya semakin meningkatkan kemampuan siswa. Pertama, sangat jelas bahwa guru perlu mengenal anak didik yang mau dibantunya. Guru diharapkan memahami sifat-sifat, karakter, tingkat pemikiran, perkembangan fisik dan psikis anak didik. Dengan mengerti hal-hal itu guru akan

mudah mengerti kesulitan dan

kemudahan anak didik dalam belajar dan mengembangkan diri. Dengan

demikian

guru

akan

lebih

mudah

membantu

siswa

berkembang. Untuk itu diperlukan pendekatan yang baik, tahu ilmu

1-7

1-8


psikologi anak dan perkembangan anak dan tahu

bagaimana

perkembangan pengetahuan anak. Biasanya selama kuliah di FKIP guru mendalami teori-teori psikologi tersebut. Namun yang sangat penting adalah memahami anak secara tepat di sekolah yang nyata. Kedua, guru perlu juga menguasai beberapa teori tentang pendidikan terlebih pendidikan di jaman modern ini. Oleh karena sistem pendidikan di Indonesia lebih dikembangkan kearah pendidikan yang demokratis, maka teori dan filsafat pendidikan yang lebih bersifat demokratis perlu didalami dan dikuasai. Dengan mengerti bermacammacam teori pendidikan, diharapkan guru dapat memilih mana yang paling baik untuk membantu perkembangan anak didik. Oleh karena guru kelaslah yang sungguh mengerti situasi kongrit siswa mereka, diharapkan guru dapat meramu teori-teori itu sehingga cocok dengan situasi anak didik yang diasuhnya. Untuk itu guru diharapkan memiliki kreatifititas untuk selalu menyesuaikan teori yang digunakan dengan situasi belajar siswa secara nyata. Ketiga, guru juga diharapkan memahami bermacam-macam model pembelajaran. Dengan semakin mengerti banyak model pembelajaran, maka dia akan lebih mudah mengajar pada anak sesuai dengan situasi anak didiknya. Dan yang tidak kalah penting dalam pembelajaran adalah guru dapat membuat evaluasi yang tepat sehingga dapat sungguh memantau dan mengerti apakah siswa sungguh berkembang seperti yang direncanakan sebelumnya. Apakah proses pendidikan sudah dilaksanakan dengan baik dan membantu anak berkembang secara efisien dan efektif. Kompetensi profesional meliputi: (1) menguasai landasan pendidikan, (2) menguasai bahan pembelajaran, (3) menyusun program pembelajaran, (4) melaksanakan program pembelajaran, dan (5) menilai proses serta hasil pembelajaran.


4. Kompetensi Sosial Kompetensi sosial meliputi: (1) memiliki empati pada orang lain, (2) memiliki toleransi pada orang lain, (3) memiliki sikap dan kepribadian yang positif serta melekat pada setiap kopetensi yang lain, dan (4) mampu bekerja sama dengan orang lain. Menurut Gadner (1983) dalam

Sumardi (Kompas, 18 Maret

2006) kompetensi sosial itu sebagai social intellegence atau kecerdasan sosial. Kecerdasan sosial merupakan salah satu dari sembilan kecerdasan (logika, bahasa, musik, raga, ruang, pribadi, alam, dan kuliner) yang berhasil diidentifikasi oleh Gardner. Semua kecerdasan itu dimiliki oleh seseorang. Hanya saja, mungkin beberapa di antaranya menonjol, sedangkan yang lain biasa atau bahkan kurang. Uniknya lagi, beberapa kecerdasan itu bekerja secara padu dan simultan ketika seseorang berpikir dan atau mengerjakan sesuatu (Amstrong, 1994). Sehubungan dengan apa yang dikatakan oleh Amstrong itu ialah bahwa walau kita membahas dan berusaha mengembangkan kecerdasan

sosial,

kita

tidak

boleh

melepaskannya

dengan

kecerdasan-kecerdasan yang lain. Hal ini sejalan dengan kenyataan bahwa

dewasa

ini

banyak

muncul

berbagai

masalah

sosial

kemasyarakatan yang hanya dapat dipahami dan dipecahkan melalui pendekatan holistik, pendekatan komperehensif, atau pendekatan multidisiplin. Kecerdasan lain yang terkait erat dengan kecerdasan sosial adalah kecerdasan pribadi (personal intellegence), lebih khusus lagi kecerdasan emosi atau emotial intellegence (Goleman, 1995). Kecerdasan sosial juga berkaitan erat dengan kecerdasan keuangan (Kiyosaki,

1998). Banyak

orang

yang

terkerdilkan

kecerdasan

sosialnya karena impitan kesulitan ekonomi. Dewasa ini mulai disadari betapa pentingnya peran kecerdasan sosial dan kecerdasan emosi bagi seseorang dalam usahanya meniti

1-9

1-10 Pengembangan Profesionalitas Guru

karier di masyarakat, lembaga, atau perusahaan. Banyak orang sukses yang kalau kita cermati ternyata mereka memiliki kemampuan bekerja sama, berempati, dan pengendalian diri yang menonjol. Dari uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita singkatkan bahwa

kompetensi

sosial

adalah

kemampuan

seseorang

berkomunikasi, bergaul, bekerja sama, dan memberi kepada orang lain. Inilah kompetensi sosial yang harus dimiliki oleh seorang pendidik yang diamanatkan oleh UU Guru dan Dosen, yang pada gilirannya harus dapat ditularkan kepada anak-anak didiknya. Untuk mengembangkan kompetensi sosial seseorang pendidik, kita perlu tahu target atau dimensi-dimensi kompetensi ini. Beberapa dimensi ini, misalnya, dapat kita saring dari konsep life skills (www.lifeskills4kids.com). Dari 35 life skills atau kecerdasan hidup itu, ada 15 yang dapat dimasukkan kedalam dimensi kompetensi sosial, yaitu: (1) kerja tim, (2) melihat peluang, (3) peran dalam kegiatan kelompok, (4) tanggung jawab sebagai warga, (5) kepemimpinan, (6) relawan sosial, (7) kedewasaan dalam bekreasi, (8) berbagi, (9) berempati, (10) kepedulian kepada sesama, (11) toleransi, (12) solusi konflik, (13) menerima perbedaan, (14) kerja sama, dan (15) komunikasi. Kelima belas kecerdasan hidup ini dapat dijadikan topik silabus dalam pembelajaran dan pengembangan kompetensi sosial bagi para pendidik dan calon pendidik. Topik-topik ini dapat dikembangkan menjadi materi ajar yang dikaitkan dengan kasus-kasus yang aktual dan relevan atau kontekstual dengan kehidupan masyarakat kita. Dari uraian tentang profesi dan kompetensi guru, menjadi jelas bahwa pekerjaan/jabatan guru adalah sebagai profesi yang layak mendapatkan penghargaan, baik finansial maupun non finansial.


C. Memimpikan Guru yang Profesional Untuk memperbaiki kualitas pendidikan, pemerintah telah memberikan perhatian khusus dengan merumuskan sebuah UndangUndang yang mengatur profesi guru dan dosen. Dalam pembahasan rancangan Undang-Undang ini (hingga disahkan pada 6 Desember 2005) tersirat keinginan Pemerintah untuk memperbaiki wajah suram nasib guru dari sisi kesejahteraan dan profesionalisme. Jumlah guru di Indonesia saat ini 2,2 juta orang, dan hanya sebagian kecil guru dari sekolah

negeri

dan

sekolah

elit

yang

hidup

berkecukupan.

Mengandalkan penghasilan dan profesi guru, jauh dari cukup sehingga tidak sedikit guru yang mencari tambahan untuk memenuhi kebutuhan hidup. Sertifikasi kompetensi guru sebagai tindak lanjut dari UndangUndang

ini

menyisakan

persoalan

sebagaimana

disampaikan

Mendiknas pada media masa pada saat pengesahan Undang-Undang ini, antara lain kesepahaman akan ukuran uji kompetensi guru. Sejak awal gagasan pembuatan RUU Guru dan Dosen dilatarbelakangi oleh komitmen

bersama

untuk

mengangkat

martabat

guru

dalam

memajukan pendidikan nasional, dan menjadikan profesi ini menjadi pilihan utama bagi generasi guru berikutnya (Situmorang dan Budyanto 2005:1). Guru, peserta didik, dan kurikulum merupakan tiga komponen utama pendidikan. Ketiga komponen ini saling terkait dan saling mempengaruhi, serta tidak dapat dipisahkan antara satu komponen dengan komponen yang lainnya. Dari ketiga komponen tersebut, faktor gurulah yang dinilai sebagai satu faktor yang paling penting dan strategis, karena di tangan para gurulah proses belajar dan mengajar dilaksanakan, baik di dalam dan di luar sekolah dengan menggunakan bahan ajar, baik yang terdapat di dalam kurikulum nasional maupun kurikulum lokal.

1-11


Untuk melaksanakan proses belajar dan mengajar secara efektif, guru harus memiliki kemampuan profesionalisme yang dapat dihandalkan. Kemampuan profesionalisme yang handal tersebut tidak dibawa sejak lahir oleh calon guru, tetapi harus dibangun, dibentuk, dipupuk dan dikembangkan melalui satu proses, strategi, kebijakan dan program yang tepat. Proses, strategi, kebijakan, dan program pembinaan guru di masa lalu perlu dirumuskan kembali (Suparlan 2006:1). James M. Cooper, dalam tulisannya bertajuk “The teachers as a Decision Maker”, mengawali dengan satu pertanyaan menggelitik “what is teacher?”. Cooper menjawab pertanyaan itu dengan menjelaskan tetang guru dari aspek pelaksanaan tugasnya sebagai tenaga profesional. Demikian pula, Dedi Supriadi dalam bukunya yang bertajuk “Mengangkat Citra dan Martabat Guru” telah menjelaskan (secara

amat

jelas)

tentang

makna

profesi,

profesional,

profesionalisme, dan profesionalitas sebagai berikut ini Profesi menunjuk pada suatu pekerjaan atau jabatan yang menuntut keahlian, tanggung jawab, dan kesetiaan terhadap pekerjaan itu. Misalnya, guru sebagai profesi yang amat mulia. Profesional menunjuk dua hal, yakni orangnya dan kinerja dalam melaksanakan tugas dan pekerjaannya. Sebagai contoh, seorang profesional muda, atau dia bekerja secara profesional. Profesionalisme menunjuk kepada derajat atau tingkat kinerja seseorang sebagai seorang profesional dalam melaksanakan profesi yang mulia itu. Dalam UU Nomor 20 Tahun 2003 dinyatakan bahwa “Pendidik merupakan tenaga profesional yang bertugas merencanakan dan melaksanakan proses pembelajaran, menilai hasil pembelajaran, melakukan pembimbingan dan pelatihan, serta melakukan tulisan dan pengabdian kepada masyarakat, terutama bagi pendidik pada perguruan tinggi”.


Sebagai tenaga profesional, guru memang dikenal sebagai salah satu jenis dari sekian banyak pekerjaan (occupation) yang memerlukan bidang keahlian khusus, seperti dokter, insinyur, dan bidang pekerjaan lain yang memerlukan bidang keahlian yang lebih spesifik. Dalam dunia yang sedemikian maju, semua bidang pekerjaan memerlukan adanya spesialisasi, yang ditandai dengan adanya standar kompetensi tertentu, termasuk guru. Guru merupakan tenaga profesional dalam bidang pendidikan dan

pengajaran.

Westby-Gybson

(1965),

Soerjadi

(2001:1-2)

menyebutkan beberapa persyaratan suatu pekerjaan disebut sebagai profesi. Pertama, adanya pengakuan oleh masyarakat dan pemerintah mengenai bidang layanan tertentu yang hanya dapat dilakukan karena keahlian tertentu dengan kualifikasi tertentu yang berbeda dengan profesi lain. Kedua, bidang ilmu yang menjadi landasan teknik dan prosedur kerja yang unik. Ketiga, memerlukan persiapan yang sengaja dan sistematis sebelum orang mengerjakan pekerjaan profesional tersebut. Keempat, memiliki mekanisme yang diperlukan untuk melakukan kompetitiflah

seleksi yang

secara

efektif,

diperbolehkan

sehingga

dalam

yang

dianggap

melaksanakan

bidang

pekerjaan tersebut. Kelima, memiliki organisasi profesi yang, di samping melindungi kepentingan anggotanya, juga berfungsi untuk meyakinkan agar para anggotannya menyelenggarakan layanan keahlian yang terbaik yang dapat diberikan (Suparlan, 2004:2). Profesionalisme guru didukung oleh tiga hal, yakni (1) keahlian, (2) komitmen, dan (3) keterampilan (Supriadi 1998:96). Untuk dapat melaksanakan tugas profesionalnya dengan baik, pemerintah sejak lama telah berupaya untuk merumuskan perangkat standar komptensi guru. Dapat dianalogikan dengan pentingnya hakim dan UndangUndang, yang menyatakan bahwa, ‘berilah aku hakim dan jaksa yang baik, yang dengan undang-undang yang kurang baik sekalipun akan dapat dihasilkan keputusan yang baik’, maka kaidah itu dapat

1-13


dianalogikan dengan pentingnya guru, yakni dengan ungkapan bijak ‘berilah aku guru yang baik, dan dengan kurikulum yang kurang baik sekali pun aku akan dapat menghasilkan peserta didik yang baik’. Artinya, bahwa aspek kualitas hakim dan jaksa masih jauh lebih penting dibandingkan dengan aspek undang-undangnya. Hal yang sama, aspek guru masih lebih penting dibandingkan aspek kurikulum. Sama dengan manusia dengan senjatanya, yang terpenting adalah manusianya, ‘man behind the gun’. Untuk menggambarkan guru profesional, Supriadi mengutip laporan dari Jurnal Educational Leadership edisi Maret 1993, bahwa guru profesional dituntut memiliki lima hal. Pertama, guru mempunyai komitmen pada siswa dan proses belajarnya. Ini berarti bahwa komitmen tertinggi guru adalah kepada kepentingan siswa. Kedua, guru menguasai secara mendalam bahan/materi pelajaran yang diajarkannya serta cara mengajarkannya kepada para siswa. Bagi guru hal ini merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Ketiga, guru bertanggung jawab memantau hasil belajar siswa melalui berbagai teknik evaluasi, mulai cara pengamatan dalam perilaku siswa sampai tes hasil belajar. Keempat, guru mampu berpikir sistematis tentang apa yang dilakukannya, dan belajar dari pengalamannya. Kelima, guru seyogyanya merupakan bagian dari masyarakat belajar dalam lingkungan profesinya, misalnya di PGRI dan organisasi profesi lainnya. Apabila kelima hal tersebut dapat dimiliki oleh guru, maka guru tersebut dapat disebut sebagai tenaga dan pendidik yang benar-benar profesional dalam menjalankan tugasnya (Supriadi 2003:14).

D. Standar Pengembangan Karir Guru Mutu pendidikan amat ditentukan oleh kualitas gurunya. Mendiknas memberikan penegasan bahwa “guru yang utama” (Republika 10 Februari 2003). Belajar dapat dilakukan di mana saja, tetapi guru tidak dapat digantikan sepenuhnya oleh siapa atau alat apa


pun juga. Untuk membangun pendidikan yang bermutu, yang paling penting bukan membangun gedung sekolah atau sarana dan prasarananya, melainkan harus dengan upaya peningkatan proses pengajaran

dan

pembelajaran

pembalajaran yang

yang

berkualitas,

menyenangkan,

yakni

mengasyikkan,

proses dan

mencerdaskan. Hal ini hanya dapat dilakukan oleh guru yang bermutu. Sebagai salah satu komponen utama pendidikan, guru harus memiliki tiga kualifikasi dasar: (1) menguasai materi atau bahan ajar, (2) antusiasme, dan (3) penuh kasih sayang (loving) dalam mengajar dan mendidik (Mas’ud 2003:194). Peningkatan mutu guru merupakan upaya yang amat kompleks, karena melibatkan banyak komponen. Pekerjaan besar ini mulai dari proses yang menjadi tugas lembaga pendidikan prajabatan yang dikenal dengan LPTK. Ternyata, LPTK mengalami kesulitan besar ketika dihadapkan kepada masalah kualitas calon mahasiswa kelas dua yang akan dididik menjadi guru. Ketidakmampuan LPTK ternyata memang di luar tanggung jawabnya, karena masalah rendahnya mutu calon guru itu lebih disebabkan oleh rendahnya penghargaan terhadap profesi guru. Pada akhirnya orang mudah menebak, karena pada akhirnya menyangkut duit atau gaji dan penghargaan. Gaji dan penghargaan guru belum dapat disejajarkan dengan profesi lain, karena indikasi adanya mutu profesionalisme guru masih rendah. Terjadilah lingkaran setan yang sudah diketahui sebab akibatnya. Banyak orang menganggap bahwa gaji dan penghargaan terhadap guru menjadi penyebab atau causa prima-nya. Namun, ada orang yang berpendapat bahwa antara gaji dan dedikasi tidak dapat dipisahkan. Gaji akan mengikuti dedikasi. Di samping itu, gaji dan dedikasi terkait erat dengan faktor lain yang bernama kompetensi profesional. Jadi, selain memang harus dipikirkan dengan sungguhsungguh upaya untuk meningkatkan gaji dan penghargaan kepada

1-15


guru, namun masih ada pekerjaan besar yang harus segera dilakukan, yakni meningkatkan dedikasi dan kompetensi guru. Apakah

yang

dimaksud

kompetensi?

Istilah

kompetensi

memang bukan barang baru. Pada tahun 70-an, terkenal wacana akademis tentang apa yang disebut sebagai Pendidikan dan Pelatihan Berbasis Kompetensi atau Competency-based Training and Education (CBTE). Pada saat itu Direktorat Pendidikan Guru dan Tenaga Teknis (Dikgutentis) Dikdasmen pernah mengeluarkan “buku saku berwarna biru” tentang “sepuluh kompetensi guru”. Dua dekade kemudian, Direktorat Tenaga Kependidikan (Dit Tendik), nama baru Dikgutentis telah membentuk satu tim Penyusun Kompetensi Guru yang beranggotakan

para

pakar

pendidikan

yang

tergabung

dalam

Konsorsium Pendidikan untuk menghasilkan produk kompetensi guru. Setelah sekitar dua tahun berjalan, tim itu telah dapat menghasilkan rendahnya kompetensi guru. Sementara itu, para penyelenggra pendidikan di kabupaten/kota telah menunggu kelahiran kompetensi guru itu. Bahkan mereka mendambakan adanya satu instrumen atau alat ukur yang akan mereka gunakan dalam melaksanakan skill audit dengan tujuan untuk menentukan tingkat kompetensi guru di daerah masing-masing. Untuk menjelaskan pengertian tentang kompetensi itulah maka Gronzi (1997) dan Hager (1995) menjelaskan bahwa “An integrated view sees competence as a complex combination of knowledge, attitudes, skill, and values displayed in the context of task performance”. Secara sederhana dapat diartikan bahwa kompetensi guru merupakan kombinasi kompleks dari pengetahuan, sikap, keterampilan, dan nilai-nilai yang ditunjukkan oleh guru dalam konteks kinerja tugas yang diberikan kepadanya. Sejalan dengan definisi tersebut, Direktorat Profesi Pendidik Ditjen PMPTK, menjelaskan bahwa “Kompetensi diartikan sebagai pengetahuan, keterampilan, dan nilai-nilai yang direfleksikan dalam kebiasaan berpikir dan bertindak”.


Berdasarkan pengertian tersebut, standar kompetensi guru diartikan sebagai ‘satu ukuran yang ditetapkan atau dipersyaratkan dalam bentuk penguasaan pengetahuan dan perilaku perbuatan bagi seorang guru agar berkelayakan untuk menduduki jabatan fungsional sesuai bidang tugas, kualifikasi, dan jenjang pendidikan’ (Direktorat Profesi Pendidik, Diten PMPTK, 2005). Standar kompetensi guru terdiri atas tiga komponen yang saling mengait, yakni (1) pengelolaan pembelajaran, (2) pengembangan profesi, dan (3) penguasaan akademik. Ketiga standar kompetensi tersebut dijiwai oleh sikap dan kepribadian yang diperlukan untuk menunjang pelaksanaan tugas guru sebagai tenaga profesi. Ketiga komponen masing-masing terdiri atas dua kemampuan. Oleh karena itu, ketiga komponen tersebut secara keseluruhan meliputi 7 (tujuh) kompetensi, yaitu: (1) penyusunan rencana pembelajaran, (2) pelaksanaan interaksi belajar mengajar, (3) penilaian prestasi belajar peserta didik, (4) pelaksanaan tindak lanjut hasil penilaian prestasi belajar peserta didik, (5) pengembangan profesi, (6) pemahaman wawasan kependidikan, (7) penguasaan bahan kajian akademik. Standar kompetensi guru SKS memiliki tujuan dan manfaat ganda. Standar kompetensi guru bertujuan ‘untuk memperoleh acuan baku dalam pengukuran kinerja guru untuk mendapatkan jaminan kualitas proses pembelajaran’ (SKG, Direktorat Tendik 2003:5). Di samping itu, Standar Kompetensi Guru bermanfaat untuk: (1) menjadi tolok ukur semua pihak yang berkepentingan di bidang pendidikan dalam rangka pembinaan, peningkatan kualitas dan penjenjangan karir guru, (2) meningkatkan kinerja guru dalam bentuk kreativitas, inovasi, keterampilan, kemandirian, dan tanggung jawab sesuai dengan jabatan profesinya (Direktorat Profesi Pendidik, PMPTK, 2005).

1-17


E. Pengembangan Karir Guru Pada era sentralisasi pendidikan, pembinaan guru diatur secara terpusat oleh pemerintah, dalam hal ini Departemen Pendidikan Nasional melalui PGPS (Peraturan Gaji Pegawai Sipil) dan ketentuan lain

tentang

kenaikan

pangkat

dengan

sistem

kredit.

Dalam

pelaksanaan di lapangan ketentuan tersebut berjalan dengan berbagai penyimpangan. PGPS sering diplesetkan menjadi ‘pinter goblok penghasilan

sama’

atau

‘pandai

pandir

penghasilan

sama’.

Pelaksanaan kenaikan pangkat guru dengan sistem kredit pun sama. Kepala sekolah sering terpaksa menandatangani usul kenaikan pangkat guru hanya karena faktor ‘kasihan’. Dengan kondisi seperti itu, ada sebagaian kecil guru yang karena kapasitas pribadinya atau karena faktor lainnya dapat berubah atau meningkat karirnya menjadi kepala desa, anggota legeslatif, dan bahkan menjadi tenaga struktural di dinas pendidikan. Sedang sebagian besar lainnya mengalami nasib yang tidak menentu, antara lain karena belum ada kejelasan tentang standar pengembangan karir mereka. Mengingat kondisi itulah maka pada tahun 1970-an dan 1980an telah didirikan beberapa lembaga pendidikan dan pelatihan yang bernama Balai Penataran Guru (BPG), yang sekarang menjadi Lembaga Penjamin Mutu Pendidikan (LPMP) di setiap provinsi, dan Pusat Pengembangan Penataran Guru (PPPG) yang sekarang menjadi

Pusat

Pengembangan

Profesi

Pendidik

dan

Tenaga

Kependidikan (P4TK) untuk pelbagai mata pelajaran dan bidang keahlian di beberapa daerah di Indonesia. Pada tahun 1970-an kegiatan ‘up-grading’ guru mulai gencar dilaksanakan di BPG dan PPPG. Kegiatan itu pada umumnya dirancang oleh direktorat-direktorat di bawah pembinaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah sekarang LPMP dan P4TK berada di bawah Ditjen PMPTK. Region-region penataran telah dibentuk di berbagai kawasan di Indonesia, dengan melibatkan antara direktorat terkait dengan


lembaga diklat (preservice training) dan lembaga pendidikan tenaga kependidikan (LPTK) sebagai lembaga preservice training, serta melibatkan juga peranan lembaga pendidikan sekolah sebagai on the job training yang dibina langsung oleh Kantor Wilayah Departemen pendidikan dan Kebudayaan yang ada di regionnya masing-masing. Salah satu pola pembinaan guru melalui diklat ini adalah mengikuti pola Pembinaan kegiatan Guru (PKG), yang sistem penyelenggaraan diklatnya dinilai melibatkan elemen pendidikan yang lebih luas. Melalui pola PKG ini, para guru dapat diklasifikasikan sebagai berikut: (1) guru biasa, yakni guru baru atau guru yang belum pernah mengikuti penataran, atau baru sebatas ditatar di tingkat kecamatan atau sekolah, (2) guru Inti, guru yang telah ditatar di tingkat provinsi atau nasional dan memperoleh predikat yang sebagai penatar di tingkat kabupaten, kecamatan, dan sekolah, (3) instruktur, guru yang telah mengikuti klegiatan diklat TOT (training of trainer) di tingkat pusat atau nasional dan memperoleh predikat sebagai penatar di tingkat provinsi. Sebagian besar instruktur ini juga telah memperoleh pengalaman dalam mengikuti penataran di luar negeri, (4) pengelola sanggar, guru instruktur yang diberi tugas untuk mengelola Sanggar PKG, yakni tempat bertemunya para guru berdiskusi atau mengikuti penataran tingkat kabupaten atau sekolah, (5) kepala sekolah, yakni instruktur yang telah diangkat untuk menduduki jabatan sebagai kepala sekolah, (6) Pengawas sekolah, satu jenjang fungsional bagi guru yang telah menjabat sebagai kepala sekolah. Selain itu, para guru memiliki wadah pembinaan profesional melalui orgabnisasi yang dikenal dengan Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), sementara para kepala sekolah aktif dalam kegiatan Latihan Kerja Kepala Sekolah (LKKS), dan Latihan Kerja Pengawas Sekolah (LKPS) untuk pengawas sekolah. Kegiatan-kegiatan tersebut sebagaian besar dilaksanakan di satu sanggar yang disebut sanggar PKG.

1-19


F. PENUTUP Peningkatan kompetensi dan profesionalisme guru, oleh Depdiknas sekarang dikelola oleh Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu

Pendidik

dan

Tenaga

Kependidikan.

Berbagai

program

peningkatan kompetensi dan profesionalisme tersebut dilaksanakan dengan melibatkan P4TK (PPPG), LPMP, Dinas Pendidikan, dan LPTK sebagai mitra kerja.

DAFTAR PUSTAKA Chamidi, Safrudin Ismi. 2004. “Peningkatan Mutu Pendidikan melalui Manajemen Berbasis Sekolah”, dalam Isu-isu Pendidikan di Indonesia: Lima Isu Pendidikan Triwulan Kedua. Pusat Data dan Informasi Pendidikan, Balitbang Depdiknas. Direktorat Ketenagaan. 2006. Rambu-rambu Penyelenggaraan Pendidikan Profesional Guru Sekolah Dasar. Jakarta: Direktorat Ketenagaan Dirjen Dikti Dirjen Dikti Dir PPTK Depdiknas. 2002. Standar Kompetensi Guru Kelas SD-MI Program D-II PGSD. Jakarta: Depdiknas. Gunawan, Ary H,1995. Kebijakan-Kebijakan Pendidikan, Jakarta: Rineka Cipta. Hamijoyo, Santoso S. 2002. “Status dan Peran Guru, Akibatnya pada Mutu Pendidikan”, dalam Syarif Ikhwanudin dan Dodo Murtadhlo. 2002. Pendidikan untuk Masyarakat Indonesia Baru. Jakarta: Grasindo. Indra Djati Sidi. 2002. Menuju Masyarakat Pembelajar: Menggagas Paradigma Baru Pendidikan. Jakarta:Paramadina dan Logos Wacana Ilmu. Rich, John Martin. 1992. Inovation in Education: Reformers and Their Critics. New York: Cross Cultural Approach. Rogers, Everett M. 1995. Diffusion of Innovation. New York: The Free Press. Rokhman, Fathur dkk. 2005. Studi Kebijakan Pengelolaan Guru Di Era Otonomi Daerah dalam Rangka Peningkatan mutu pendidikan. Penelitian Balitbang dan Lemlit UNNES. Suparno, Paul. 2004. Guru Demokratis di Era Reformasi Pendidikan. Jakarta: Grasindo. Suryadi, Ace dan Dasim Budimansyah. 2004. Pendidikan Nasional Menuju Masyarakat Masa Depan. Jakarta: Genesindo. Undang-Undang No. 14 tahun 2005 tentang Guru dan Dosen. Undang-undan No. 20 tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional. Zamroni. 2000. Paradigma Pendidikan Masa Depan. Yogyakarta: Bigraf Publishing.

BUKU AJAR

STATISTIK

BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Pada buku ajar ini terdiri dari tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 akan membahas pengertian data statistika, cara pengumpulan data, cara menunjukkan urutan data dari yang terkecil ke yang terbesar, menentukan ukuran pemusatan data tunggal yaitu mean, median dan modus suatu data, menentukan ukuran pencaran data tunggal yaitu jangkauan data, quartil dan jangkauan interquartil, menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram, menyajikan data dengan daftar frekuensi data tunggal dan data berkelompok serta menafsirkan diagram suatu data. Pada kegiatan belajar 2 akan membahas tentang pengertian peluang, populasi dan sampel, ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan, menentukan nilai peluang masing-masing titik sampel pada ruang sampel yang telah ditentukan, menentukan peluang suatu kejadian, menentukan kisaran nilai peluang, menentukan frekuensi harapan, menentukan nilai peluang dua kejadian saling lepas, menentukan nilai peluang dua kejadian tidak saling lepas, menentukan nilai peluangdua kejadian saling bebas.Buku ajar ini merupakan buku ajar pelajaran Matematika mata pelatihan Statistika.

B. Prasyarat : C. Petunjuk Belajar Agar dapat mempelajari keseluruhan materi pada buku ajar ini maka peserta pelatihan diharapkan belajar berdasarkan sistematika sebagai berikut. 1. Bacalah

dengan

cermat

bagian

pendahuluan

agar

anda

mengetahui kemampuan yang diharapkan dapat dicapai dan kegiatan belajar yang akan disajikan. 2. Bacalah dengan cermat kompetensi dan indikator setiap bab.

2-2 Statistika

3. Baca materi bab yang bersangkutan, jika ada hal yang belum jelas bertanya/diskusikan dengan teman peserta pelatihan

atau

instruktur anda. 4. Kerjakan latihan soal, dan diskusikan hasilnya dengan sesama peserta, teman sejawat guru, atau instruktur anda. 5. Setelah latihan soal anda kerjakan dengan baik, kerjakan tes formatif pada setiap akhir kegiatan belajar, diskusikan hasilnya dengan sesama peserta, teman sejawat guru, atau instruktur anda. Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban tes formatif pada akhir bahan ajar ini. 6. Buatlah rencana kegiatan belajar yang berkaitan dengan isi bahan ajar ini berdasarkan GBPP di sekolah anda.

D. Kompetensi dan Indikator Standar Kompetensi Melakukan kegiatan statistika

Kompetensi Dasar 10.1. Mengumpulkan, menyajikan dan menafsirkan data 10.2. Menentukan ruang sampel percobaan 10.3. Menghitung peluang kejadian

Indikator Pencapaian Kompetensi Menjelaskan pengertian, dan cara pengumpulan data Mengumpulkan data dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan tally Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar Menentukan mean, median dan modus suatu data Menentukan jangkauan (range) data Menentukan Quartil dan Jangkauan Interquartil suatu data Menyajikan data dengan tabel dan diagram Menyajikan data dengan daftar frekuensi data tunggal dan data berkelompok. Menafsirkan diagram suatu data

BAB II KEGIATAN BELAJAR 1

A. Kompetensi dan Indiaktor 1. Standar Kompetensi Melakukan kegiatan statistika

2. Kompetensi Dasar 10.1. Mengumpulkan, menyajikan dan menafsirkan data 10.2. Menentukan ruang sampel percobaan 10.3. Menghitung peluang kejadian

3. Indikator a) Menjelaskan pengertian, dan cara pengumpulan data b) Mengumpulkan data dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan tally c) Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar d) Menentukan mean, median dan modus suatu data e) Menentukan jangkauan (range) data f) Menentukan Quartil dan Jangkauan Interquartil suatu data g) Menyajikan data dengan tabel dan diagram h) Menyajikan data dengan daftar frekuensi data tunggal dan data berkelompok. i) Menafsirkan diagram suatu data

B. Uraian Materi STATISTIKA 1. Pengertian Statistika dan Statistik Apakah Statistika itu? apa bedanya dengan Statistik? Statistika

adalah

ilmu

pengetahuan

yang

mempelajari

cara

pengumpulan data, penyajian data, pengolahan/penganalisisan data, pengambilan kesimpulan yang logis dan pengambilan keputusan yang akurat. Statistik : kumpulan fakta yg umumnya berbentuk angka, tabel, diagram, peta yang menggambarkan suatu persoalan. Sesuai dg fakta/data pada masalah tertentu dikenal: statistik penduduk, statistik

2-4 Statistika

kelahiran, statistik pendidikan, statistik produksi, statistik pertanian, statistik kesehatan dll. Statistik : ukuran sebagai wakil dari kumpulan data tentang suatu hal, contoh statistik rata-rata, simpangan baku, persen, proporsi, median dll. Apa peranan Statistika dalam kehidupan sehari-hari? Peranan statistika dalam kehidupan sehari-hari : 1. Untuk memberi gambaran tentang masalah yang dibicarakan sehari-hari contoh: 30% penduduk di Wonogiri kekurangan air bersih. 2. Untuk meramal sesuatu kejadian yang akan datang/memperkirakan parameter papulasi. Contoh 1) berdasarkan penjualan sepeda motor maka dapat diramal volum penjualan tahun 2005 (peramalan/forcasting). Contoh 2) berdasarkan data sampel yang diambil acak dan representatif dapat diperkirakan

penguasaan matematika siswa

SMP di Semarang. (Penaksiran) 3. Untuk mengetahui ada tidaknya hubungan variabel yang satu dengan yang lain, contoh:apakah ada hubungan antara banyaknya iklan yang ditayangkan dengan peningkatan penjualan produksi perusahaan? seberapa tinggi hubungan itu ? (korelasi) 4. Untuk

mengetahui

kecenderungan/pengaruh

terhadap variabel terikat. Contoh :

variabel

bebas

apakah motivasi belajar dan

sikap ilmiah siswa akan mempengaruhi hasil belajar ? seberapa pengaruhnya ? (regresi) 5. Untuk alat dalam riset/penelitian. Contoh : untuk mengetahui metode-metode mengajar yang mana yang lebih baik terhadap respon hasil belajar siswa perlu dirancang eksperimen-eksperimen dengan olah data tertentu (ANAVA).

Statistika 2-5

6. Pengujian model suatu permasalahan. Contoh :

apakah model

hubungan x dan y dengan rumus y = ax + b sudah sesuai dan benar? Statistika sangat berguna dalam pengembangan pengetahuan dan teknologi:riset/penelitian, pendidikan, teknik, industri, ekonomi, astronomi, biologi, kedokteran, asuransi, pertanian,

perniagaan,

bisnis, sosiologi, antropologi, pemerintahan, psikologi, meteorologi, geologi, farmasi, ekologi, sains, sosial, dll Statistika menurut pengembangannya : 1. Statistika matematik/teoritis; penurunan sifat-sifat/dalil-dalil, rumus, menciptakan

model-model dan segi-segi lain yang teoritis dan

matematis 2. Metode Statistika : dari apa yang sudah diciptakan/dibuktikan kebenaran nya kemudian dipakai berbagai bidang pengetahuan termasuk pendidikan matematika Statistika menurut pengerjaan data : 1. Statistika Deskriftif : cara-cara mengumkpulkan dan menyajikan data untuk memberikan gambaran suatu hal/masalah. 2. Statistika Inferensial : setelah data dikumpulkan dan disajikan , dilakukan berbagai metode statistika untuk menganalisis data, interpretasi data, membuat kesimpulan dan menentukan suatu keputusan tertentu.

2. Data Statistika Data : keterangan/fakta tentang suatu persoalan. Dalam menyelidiki atau meneliti suatu masalah selalu diperlukan data. Data dapat diartikan sebagai keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah atau mendapat gambaran mengenai suatu keadaan . Data merupakan bentuk jamak sedangkan bentuk tunggalnya adalah datum. Ada dua jenis data yaitu data numerik dan data kategorik.

2-6 Statistika

Data kategori adalah data yang diperoleh dari pengamatan sifat suatu objek. Contoh; rusak. baik, senang, puas, gagal, berhasil , seperti jenis kendaraan untuk berangkat ke sekolah (sepeda motor, sepeda, mobil pribadi, bus), golongan darah (A, AB, O, B), pekerjaan ortu (PNS, pegawai swasta, petani, TNI-POLRI) dan lain sebagainya. 2. Data numerik adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran yang bersifat numerik seperti berat badan (65 kg, 70 kg, 58 kg) banyak anggota keluarga 91,2,3 atau 4 orang), umur (12, 34, 60 tahun) , nilai 100, rasio 2:3, tinggi badan 160,65 cm dst. Sebagai

dasar

dikumpulkan

,

untuk

membuat

disajikan,

keputusan

diolah/dianalisis

maka

data

kemudian

harus diambil

kewsimpulannya. Misalkan: i)Rata-rata nilai UAN SMPN1 ii)Motivasi belajar siswa mempengaruhi hasil belajar siswa. iii)Penyebab kenakalan anak adalah kurangnya perhatian ortunya. Jenis Data : 1. kualitatif (bukan bilangan) dan 2. kuantitatif (bilangan) . Contoh data kualitatif: 1. Jenis pekerjaan orang : petani, nelayan, PNS 2. Status pernikahan : belum kawin, kawin, duda, janda 3. Gender : pria, wanita 4. Tingkat kepuasaan : tidak puas, cukup puas, sangat puas Data ini supaya dapat diolah secara statistik harus diangkakan . Contoh data kuantitatif: 1. Usia seseorang 2. Tinggi badan, berat badan 3. Penjualan dalam sebulan 4. Hasil belajar siswa Berdasarkan cara memperolehnya data dibagi 4 jenis yaitu:

Statistika 2-7

Data nominal /skala nominal : diperoleh dengan cara kategorisasi /klasifikasi.contoh : PNS kode 1, Pegawai swasta kode 2, wiraswasta kode 3. Ciri data nominal:posisi setara, tidak bisa dilakukan operasI matematika, paling lemah tingkatannya. Data ordinal : diperoleh dengan cara kategorisasi/ klasifikasi tetapi terdapat hubungan. Contoh : data tingkat kepuasaan pelanggan PAM : sangat puas kode 1, puas kode 2, cukup puas kode 3, tidak puas kode 4, sangat tidak puas kode 5. Ciri data ordinal : posisi data tak setara/bertingkat, penyusu nan angka kesepakatan 1-5 atau 5-1, tak bisa dilakukan operasi matematika. Data interval : data yang diperoleh dengan pengukuran, dimana jarak 2 titik pada skala sudah diketahui . Kalau pada data ordinal tidak diketahui. Contoh:Temperatur ruangan. Ciri data interval : tak ada kategori /pemberi an kode, bisa dilakukan operasi matematika. Data rasio : diperoleh melalui pengukuran dimana 2 titik pada skala sudah diketahui dan mempunyai titik 0 mutlak . Kalau data interval titik 0 tak mu tlak . Contoh:nilai/hasil belajar 0-100. Ciri data rasio:tak ada data kategori, bisa dilaukan operasi matematika, ada 0 mutlak. Apa gunanya mengetahui jenis data dalam olah data? Jenis data akan mempengaruhi pemilihan prosedur statistik yang akan

digunakan.

Data kuantitatif cenderung menggunakan statistik parametik. Data kualitatif cenderung menggunakan statistik non parametik. Contoh: Statistik apa yang dipakai untuk menguji

hipotesis bahwa ada per

bedaan hasil belajar matematika antara siswa putra dan putri ? Karena data rasio maka dengan statistik parametrik uji t atau z. Untuk mengetahui apakah rata-rata kepuasaan siswa putra-putri dari layanan disekolah ada perbedaan? Karena data ordinal maka dengan statistik non parametrik uji Wilcoxon, Kruskal-Wallis, Median dsb

2-8 Statistika

3. Pengumpulan Data Sebagai tahap awal dalam kegiatan statistika perlu dilakukan pengumpulan data. Misalnya untuk mengetahui mutun pendidikan di Jateng perlu dilakukan pengumpulan data mengenai kegiatankegiatan pendidikan di Jateng menurut tingkat dan jenis pendiidikan yang meliputi; a) banyak sekolah b) banyak siswa c) hasil belajar siswa d) banyak guru e) latar belakang pendidikan guru f) sarana dan prasarana tempat belajar siswa dsb. Kegiatan pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara: 1) mencacah 2) mengukur 3) mencatat data dengan turus/tally Contoh: 1). Untuk mengumpulkan data tentang banyaknya siswa perempuan, banyaknya siswa laki-laki di kelas IXA dilakukan dengan cara membilang atau mencacah. 2). Untuk mengumpulkan data tinggi badan siswa klas IX SMP PL DomSav dilakukan dengan cara mengukur tinggi badan setiap siswa sampai centimeter terdekat. 3).untuk mengumpulkan data pekerjaan ortu siswa SMPN2 Semarang dilakukan dengan cara mencatat dengan turus

4. Mengurutkan Data (Data Tunggal) Data

statistik

yang

terkumpul

umumnya

tak

berurutan

ukurannya. Untuk kebutuhan penyajian dan penganalisisan data tersebut perlu diurutkan dari ukuran terkecil(nilai terendah) sampai dengan ukuran terbesar (nilai tertinggi) sehingga dapat diketahui penyebaran dan pencarannya. Setelah data diurutkan maka nilai

Statistika 2-9

terendah dan nilai tertinggi dapat ditentukan. Contoh; Tentukan nilai terendah dan nilai tertinggi dari 5, 4, 1 ,7 ,9 ,8 ,6 ,7 ,6 , 5 Jawab: Data terurut : 1, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 Nilai terendah : 1 Nilai tertinggi : 9 Jika data terdiri dari datum yang cukup banyak maka digunakan diagram batang-daun. Contoh: Bilangan

Batang

Daun

Batangdaun

43

4

3

4

3

56

5

6

58

5

8

5

6

74

7

4

8

72

7

2 7

2

4 Langkah-langkah dalam membuat diagram batang-daun sbb.: 1).tuliskan

angka-angka

puluhan

pada

kolom

batang

secara

bersamaan 2). tuliskan angka-angka satuan pada kolom daun yang bersesuaian denganangka puluhan pada kolom batang. 3). urutkan angka-angka pada kolom batang-daun. Dengan memperhatikan kolom batang-daun di atas , maka urutan datadimulai dari nilai terkecil adalah 43, 56, 58, 72 dan 74. Jika kita ingin mengurutkan data mulai dari terbesar maka penyusunan nilai pada kolom bilangan dan kolom batang dimulai dari nilai terbesar , sehingga urutan datanya menjadi 74, 72, 58, 56, 43

2-10 Statistika

5. Ukuran Pemusatan Data (Data Tunggal) Perhatikan saat seorang pejabat kepolisian mengatakan kebanyakan penyebab kecelakaan di Indonesia karena faktor manusia, hanya sedidkit yang disebabkan faktor kendaraan dan sedikit

pula

karena

faktor

jalan.

seorang

pejabat

pendidikan

mengatakan rata-rata nilai NEM siswa-siswa SD adalah 6,5. Yang dikatakan pejabat-pejabat tersebut adalah data disekitar mana datadata dalam suatu distribusi memusat. Data yang menjadi pusat suatu penyebaran (distribusi) disebut ukuran pemusatan. Tiga nilai (ukuran) statistik yang dipandang sebagai ukuran pemusatan data dan dapat mewakili data tersebut yaitu rata-rata hitung (mean), modus dan median .Nilai lain yang menjadi ukuran pemusatan adalah rata-rata ukur dan rata-rata harmonik. a. Rata-rata hitung (mean) Rata-Rata Hitung atau Mean =

Jumlahsemuadata Banyakdata

(1) Nilai rata-rata hitung n data X1, X2, X3, …, Xn adalah n

xi x1 + x 2 + x3 + ... + x n ∑ i =1 x= = n n Contoh 1. Tentukan rata-rata nilai matematika 10 siswa dengan nilai 7,8,6,5,7,6,7,9,6,8 Jawab. 10

∑x i =1

i

= 7+8+6+5+7+6+7+9+6+8 = 69

n = 10 n

x=

∑x i =1

n

i

=

69 = 6,9 10

Statistika 2-11

(2) Jika data X1, X2, X3, …, Xn mempunyai fkekuensi f1, f2, f3, … fn, maka n

x=

∑f i =1

xi

i

n

=

∑fx ∑f i

i

i

Contoh 2. Misalkan dalam suatu kelas ada dua siswa mendapat nilai matematika 57, enam siswa

mendapat 65, lima siswa

mendapat 72, enpat siswa mendapat nilai 81, dua siswa mendapat 88, satu siswa mendapat 94, tentukan rata-rata nilai matematika siswa dalam kelas tersebut. Jawab.

x=

∑fx ∑f i

i

i

=

2.57 + 6.65 + 5.72 + 4.81 + 2.88 + 1.94 1458 =72,9 = 2 + 6 + 5 + 4 + 2 +1 20

(3) Rata-rata gabungan −

Bila kelompok 1 terdapat n1 data dengan rata-rata x1 −

kelompok 2 terdapat n1 data dengan rata-rata x 2 −

−

n x +n x maka rata-rata gabungannya x = 1 1 2 2 n1 + n2 −

Contoh 3. Dua puluh pelajar terdiri 8 puteri dan 12 putera. Rata-rata berat badan seluruhnya 44 kg. Jika rata-rata berat badan pelajar puteri saja 41 kg, maka rata-rata-rata berat badan pelajar putera adalah Jawab. −

−

n x +n x x= 1 1 2 2 n1 + n2 −

−

−

− 8.41 + 12. x 2 328 + 12. x 2 44 = ⇔ x = 46 ⇔ 44 = 8 + 12 20

b. Median

2-12 Statistika

Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya. Jika banyak data ganjil, maka median Me, setelah data disusun menurut nilainya, merupakan data paling tengah. Jika banyak data genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, mediannya sama dengan rata-rata hitung dua data tengah. Contoh 4. : Tentukan median data berikut. a. 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10, b. 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 8 Jawab. a. setelah disusun menurut nilainya menjadi 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12. Data paling tengah bernilai 8. Jadi Me = 8. c.

Setelah disusun menurut nilainya menjadi 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19. Data tengahnya ialah 10 dan 12; Sehingga median Me = 1/2 (10 + 12) = 11

c. Modus Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi digunakan ukuran modus disingkat Mo. Modus ditentukan dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak diantara data itu. Contoh 5. Tentukan modus dari data 19,17,16,18,14,16,15,16,17,16,18,16,17,15,18. Jawab. Data tersebut dapat disusun dalam table berikut. Xi fi 14 1 15 2 16 5 17 3 18 3 19 1 Frekuensi terbanyak f=5 terjadi untuk data bernilai 16, maka modus Mo=16

d. Rata-rata Ukur Rata-rata ukur data x1, x2, x3,…,xn, adalah

Statistika 2-13

e. Rata-rata Harmonik Rata-rata harmonik data x1, x2, x3,…,xn, adalah

6. Ukuran Letak Data Tunggal Ukuran letak dari suatu data adalah Kuartil, Desil dan Persentil. 1. Kuartil Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak , sesudah disusun menurut urutan nilainya (data terurut) maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil yaitu Kuartil pertama (K1), Kuartil kedua(K2) dan Kuartil ketiga(K3). Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah : susun data menurut urutan nilainya tentukan letak kuartil tentukan nilai kuartil Letak kuartil ke i, diberi lambang Qi, ditentukan oleh rumus :

i (n + 1) 4 Letak Qi = data ke

dengan i = 1, 2, 3.

Contoh . Sampel dengan data 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70, setelah disusun menjadi 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94.

1(2 + 1) 4 Letak Q1 = data ke = data ke 3 ¼ ,

2-14 Statistika

yaitu antara data ke-3 dan data ke-4 seperempat jauh dari data ke3. Nilai QI = data ke-3 + ¼ (data ke-4 – data ke-3) Q1 = 57 + ¼ (60 – 57) = 57 ¾ 3(12 + 1) = 4 Letak Q3 = data ke-

data ke-9 ¾ . Dengan cara seperti di atas, nilai Q3 dapat ditentukan Q3 = data ke-9 + ¾ (data ke-10 – data ke-9) Q3 = 82 + ( ¾ )(86-82) = 85. Perhatikan Q2 tidak lain adalah median, coba tentukan Q2. Contoh: data 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 1(12 + 1) 4 Letak Q1 = data ke -.

1 = data ke - 3 4 1 = data ke- 3 + 4

(data ke-4 – data ke-3)

1 = 57+ 4 (60-57) 3 = 57 4 2. Desil Jika sekumpulan data terurut itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil, ialah desil pertama, desil kedua,…, desil kesembilan yang disingkat dengan D1,D2,…, D9.

Statistika 2-15

Desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan : 1)

susun data menurut urutan nilainya

2)

tentukan letak desil

3. tentukan nilai desil letak desil ke-i, diberi lambang Di, ditentukan oleh rumus Letak Di = data ke-

i (n + 1) 10

dengan i = 1, 2, …, 9 Contoh 8. Untuk data yang telah disusun dalam contoh terdahulu, ialah 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 75, 72, 76, 92, 94, Letak D7 = data ke-

7(12 + 1) 10

= data ke-9,1. Nilai D7 = data ke-9 + (0,1)(data ke-10 – data ke-9) atau D7 = 82 + (0,1)(86 – 82) = 82,4. 4. Persentil Jika kumpulan data terurut dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka didapat 99 pembagi dan tiap pembagi dinamakan Persentil ke-1 sampai Persentil ke-99. Letak Persentil ke-i = data ke-

i (n + 1) . , i= 1, 2, 3,…, 99 100 . 7. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi) Disamping ukuran pemusatan data, dan ukuran letak data dalam penelitian kadang juga dibutuhkan ukuran penyebaran data (dispersi). Ukuran pemyebaran data yang dibahas disini adalah rentang, simpangan kuartil,dan simpangan baku.

2-16 Statistika

a. Rentang Rentang atau jangkauan atau Range dengan lambing J atau R dari sekelompok data adalah data terbesar dikurangi data terkecil. R = J = Xterbesar - X terkecil Contoh . Tentukan rentang dari data 3,4,4,2,5,3,6,8,7,9. Jawab. Data terbesar 9, data terkecil 2. Jadi rentang R = 9-2 = 7.

b. Rentang Antar Kuartil/Jangkauan Antar Kuartil RAK = JAK = Q3 – Q1 Contoh.

Tentukan

Rentang

Antar

Kuartil

dari

data

3,4,4,2,5,3,6,8,7,9,10 Jawab. Data terurut 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Q1 = 3

Q3 = 8

Jadi RAK = Q3 – Q1 = 8-3 =5

c. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil atau jangkauan semi interkuartil didefinisikan dengan

1 (Q3 − Q1 ) Qd = 2 Dengan : Qd = simpangan kuartil Q3= kuartil atas

Q1= kuartil bawah

Contoh 10. Tentukan simpangan kuartil data 6,2,4,3,4,7,9. Jawab. Data diurutkan menjadi 2,3,4,4,6,7,9. Sehingga Q3= 7 dan Q1= 2 Jadi Qd =1/2(7-2) =2.

Statistika 2-17

d. Simpangan Baku Untuk sampel simpangan baku diberi simbol s, didefinisikan dengan s=

∑ (x

i

−x)

2

n −1

Contoh . Diberikan sampel dengan data : 8, 7, 10, 11, 4. tentukan simpangan baku data tersebut. Jawab.

xi

xi − x

(x i − x) 2

(1)

(2)

(3)

8

0

0

7

-1

1

10

2

4

11

3

9

4

-4

16

Rata-rata x = 8 Dapat dilihat dari kolom (2), bahwa

∑ (x i − x) = 0 .

Karena

itulah di sini diambil kuadratnya yang dituliskan dalam kolom (3). Didapat

∑ (x i − x)

2

didapat : s=

30 = 7,5 = 2,74 4

= 30

2-18 Statistika

Bentuk lain untuk rumus simpangan baku ialah : n∑ x i − (∑ xi ) 2 2

s=

n(n − 1)

Untuk data pada contoh di atas , jika digunakan rumus kedua xi

8

xi2 64

7

49

10

100

11

121

4

16

∑ xi = 40

∑ xi

∑

2

= 350

x i = 40 dan

∑ xi

2

= 350 ,

varians

s=

5 x350 − (40)2 = 7,5 = 2,74 dan 5x4

8. Penyajian Data Dengan Tabel dan Diagram Setelah data dikumpulkan maka data dapat disajikan dengan Daftar statistik : daftar baris-kolom, daftar kontingensi, daftar distribusi frekuensi data tunggal Diagram batang, diagram batang daun Diagram garis Diagram lingkaran atau pastel Diagram pencar atau diagram titik Diagram peta atau kartogram Diagram lambang atau simbol Daftar frekuensi data berkelompok

Statistika 2-19

Histogram dan poligon frekuensi Ogif Contoh: Data nilai Statistika Terapan 48 taruna Akpol sbb: 10, 9, 8, 8, 7, 7, 7, 7, 7, 6, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 7, 6, 6, 5, 6, 5, 7, 8, 7, 6, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 6, 7, 6, 4, Sajikan data tersebut dengan

diagram batang, diagram garis,

diagram lingkaran, diagram pencar ! Jawab: Diagram Batang: NILAI STATISTIK TERAPAN TARUNA AKPOL 20

Count

10

0 1.00

2.00

NILAI

Diagram Garis:

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

2-20 Statistika

NILAI STAT TERAPAN TARUNA AKPOL 20

Count

10

0 1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

NILAI

Diagram Lingkaran atau Pastel:

NILAI STAT TERAPAN TARUNA AKPOL 10.00 9.00 8.00 7.00

1.00 2.00 3.00 4.00

5.00

6.00

Statistika 2-21

Diagram Pencar(Dot): NILAI STAT TERAPAN TARUNA AKPOL $

Dot/Lines show counts

15

$

Count

10 $

5 $

$

$

$ $

$

$

0 2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

nilai

Histogram: Buatlah histogram berat badan 100 taruna Akpol sbb:.

Berat Badan (kg)

Frekuensi

60-62

5

63-65

18

66-68

42

69-71

27

72-74

8

Jumlah

100

2-22 Statistika

Histogram Berat Badan Taruna Akpol 50

40

30

20

10

Std. Dev = 2.92 Mean = 68 N = 100.00

0 61

64

67

70

73

Berat Badan

Penyajian Data Dalam Bentuk Daftar Frekuensi Data Tunggal Berikut adalah data nilai ulangan matematika dari 44 siswa kelas IX. Buatlah Daftar Frekuensi Data Tunggal Jawab : Daftar Frekuensi Data Tunggal sbb.: Nilai Ulangan

Turus

Frekuensi

3

llll

4

4

lllll

5

5

lllll llll

9

6

lllll

13

7

lllll l

6

8

lllll

5

9

ll

2

lllll lll

8. Penyajian Data Dalam Bentuk Daftar Frekuensi Data kelompok Data hasil ulangan matematika sbb, 71 69 75 72 67 55 60 66 66 72 80 50 67 63 71 68 67 78 76 64

Statistika 2-23

62 73 74 79 61 73 55 67 62 53 65 59 57 66 77 62 63 71 58 68 76 66 68 58 68 82 72 56 84 73 Buatlah Daftar Frekuensi Data Berkelompok dengan banyak kelas 7 dan panjang interval kelas 5 Jawab: Daftar Frekuensi Data berkelompok sbb.: Nilai

Turus

Frekuensi

50-54

ll

2

55-59

lllll ll

7

60-64

lllll lll

8

65-69

lllll lllll llll

14

70-74

lllll lllll

10

75-79

lllll l

6

80-84

lll

3

C. Latihan Dengan berdiskusi dengan teman sebelahmu selesaikan soal-soal berikut. 1. Misalkan dipunyai data nilai ulangan harian matematika kelas III SD Sukamaju sebagai berikut. 90, 60, 70, 80, 70, 50, 70, 80, 70, 60, 60, 70, 80, 90, 40, 70, 80, 50, 90, 70. Tentukan a. b. c. d. e. f. g.

Mean dan tafsirkan hasil yang didapat. Median dan tafsirkan hasil yang didapat. Modus dan tafsirkan hasil yang didapat. Kuartil ke 1 dan tafsirkan hasil yang didapat. Desil ke 8 dan tafsirkan hasil yang didapat Rentang dan tafsirkan hasil yang didapat. Simpangan baku dan tafsirkan hasil yang didapat.

2. Buatlah daftar frekuensi data tunggal tentang nilai matematika dari 40 siswa 4, 5, 6, 4, 6, 7, 8, 5, 9,4 ,3, 6, 6, 7, 8, 9,2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 4, 5, 4,3, 6, 7, 8, 9, 3, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8, 7 3. Buatlah table frekuensi data berkelompok dengan panjang interval kelas 5

2-24 Statistika

71 69 75 72 67 55 60 66 66 72 80 50 67 63 71 68 67 78 76 68 65 76 62 62 73 74 79 61 73 55 67 62 53 65 59 57 66 77

62 63 71 58 68 76 66 68 58 68 82 72 56 84 73 65

67 78 60 76 4.

65 78

Misalkan nilai ujian statistika mahasiswa jurusan matematika

sebagai berikut.

NILAI UJIAN

fi

31 – 40

1

41 – 50

2

51 – 60

5

61 – 70

15

71 – 80

25

81 – 90

20

91 – 100

12

Tentukan: a) banyaknya kelas b) panjang interval kelas c) frekuensi kelas 51-60 d) jumlah semua frekuensi

D. Rangkuman Statistika

adalah

ilmu

pengetahuan

yang

mempelajari

cara

pengumpulan data, penyajian data, pengolahan/penganalisisan data, pengambilan kesimpulan yang logis dan pengambilan keputusan yang akurat. Statistik : kumpulan fakta yg umumnya berbentuk angka, tabel, diagram, peta yang menggambarkan suatu persoalan. Sesuai dg fakta/data pada masalah tertentu dikenal: statistik penduduk, statistik

Statistika 2-25

kelahiran, statistik pendidikan, statistik produksi, statistik pertanian, statistik kesehatan dll. Statistik : ukuran sebagai wakil dari kumpulan data tentang suatu hal, contoh statistik rata-rata, simpangan baku, persen, proporsi, median dll. Ukuran pemusatan data ; mean, median, modus Ukuran letak : kuartil, desil, persentil Data dapat disajikan dengan: 1.Daftar statistik : daftar baris-kolom, daftar kontingensi, daftar distribusi frekuensi data tunggal 2.Diagram batang, diagram batang daun 3.Diagram garis 4.Diagram lingkaran atau pastel 5.Diagram pencar atau diagram titik 6.Diagram peta atau kartogram 7.Diagram lambang atau simbol 9.Daftar frekuensi data berkelompok 10.Histogram dan poligon frekuensi 11.Ogif

2-26 Statistika

E. Tes Formatif Tes Obyektif 1.

Misalkan dipunyai data nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur sebagai berikut. 80, 60, 70, 50, 70, 80, 70, 80, 70, 60, 60, 70, 80, 90, 40, 70, 90, 50, 90, 70. Mean nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 70

2.

b. 80

c. 75

d. 85

Dengan data pada soal nomor 1 Modus nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 70

3.

b. 80

c. 75

d. 85

Dengan data pada soal nomor 1 Median nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 70

4.

b. 80

c. 75

d. 85

Dengan data pada soal nomor 1 kuartil ke-3 nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 75,5

5.

b. 77,5

c. 85,7

d. 87,5

Dengan data pada soal nomor 1 rentang nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 40

6.

b. 50

c. 55

d. 60

Dengan data pada soal nomor 1 simpangan baku nilai ulangan harian matematika kelas VI SD Majumakmur adalah ..... a. 12,67

7.

b. 12, 76

c. 13,76

d. 13,87

Dua puluh pelajar terdiri 12 puteri dan 8 putera. Rata-rata nilai matematika pelajar keseluruhan 80. Jika rata-rata nilai matematika pelajar puteri saja 75 , maka rata-rata nilai matematika pelajar putera adalah .... a. 67.5

8.

b. 77,7

c. 87,5

d. 89,5

Nilai UAN matematika sebanyak 30 siswa mempunyai rata-rata 80, jika nilai seorang siswa tidak diikutkan maka nilai rata-rata menjadi 81, berapa nilai siswa tersebut. a. 47

b. 51

c. 63

d. 73

Statistika 2-27

9.

Rata-rata berat badan 50 anak 65 kg, jika ditambah dengan berat badan si Andi dan Narti maka rata-rata berat badan tetap 65, jika perbandingan berat badan Andi dan Narti 6:4, berapa berat badan Andi? a. 67

b. 68

c. 77

d. 78

10. Suatu data sebanyak n mempunyai rata-rata adalah p, jika tiap data dikurangi s, berapa rata-rata data sekarang? a. p-n

b. sp

c. p+s

d. p-s

Tes Uraian 1. Jika 2 buah dadu dilemparkan /ditos bersamaan, maka tentukan peluang angka pada salah satu dadu yang merupakan pembagi mata dadu yang lain . 2. Tersedia 15 kunci berbeda dan ada 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ke-10 . 3. Pada ulangan matematika , diketahui rata-rata nilai kelas 58. Ratarata nilai matematika siswa pria 65 sedang rata-rata nilai siswa wanita 54. Tentukan perbandingan banyaknya siswa pria dan siswa wanita . 4. Nilai ujian statistika mahasiswa matematika disajikan dalam tabel berikut. NILAI UJIAN

fi

31 – 40

1

41 – 50

2

51 – 60

5

61 – 70

15

71 – 80

25

81 – 90

20

91 – 100

12

Jumlah

80

2-28 Statistika

a)Tentukan banyaknya kelas b)Tentukan panjang interval kelas c)Tentukan kelas yang frekuensinya terbesar

BAB III KEGIATAN BELAJAR 3

A.Kompetensi dan Indiaktor

1. Standard Kompetensi 10. Melakukan kegiatan statistika

2. Kompetensi Dasar: 10.2 Menentukan ruang sampel suatu percobaan 10.3. Menentukan peluang suatu kejadian dan kejadian majemuk

3. Indikator : 1)Mengenal pengertian populasi dan sampel

2)Menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan 3)Menentukan nilai peluang masing-masing titik sampel pada ruang sampel yang telah ditentukan 4)Menghitung nilai peluang dengan pendekatan frekuensi relatif 5)Menghitung nilai peluang secara teoritis 6)Menentukan nilai peluang suatu kejadian 7)Menentukan nilai peluang dua kejadian saling lepas 8)Menetukan nilai peluang dua kejadian tidak saling lepas 9)Menentukan nilai peluang dua kejadian saling bebas

. B.Uraian Materi PELUANG 1.

Populasi dan Sampel Populasi adalah kumpulan objek yang lengkap dan memiliki sifat (karakteristik) yang sama yang digunakan sebagai dasar penarikan kesimpulan. Sampel atau contoh adalah bagian dari populasi yang

2-30 Statistika

masih memiliki sifat-sifat (karakteristik) yang lengkap seperti sifatsifat yang dimiliki oleh populasi.

2. Ruang Sampel , Titik Sampel Dan Kejadian/Peristiwa a. Ruang Sampel Definisi 1.1 Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan

anggota-

anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan itu. Ruang sampel biasa disimbulkan dengan huruf S, sedangkan anggota-angota ruang sampel yang disebut titik sampel didaftar dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal (alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda koma. Contoh: Ruang sampel pada pengetosan sebuah dadu

S =

{1,2,3,4,5,6} Ruang sampel pengetosan sebuah mata uang, S = {A,G}. Setiap anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian/peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Cara menentukan ruang sampel yaitu dengan diagram pohon, tabel/daftar dan dengan himpunan pasangan berurutan. Contoh : ruang sampel pengetosan dua mata uang logam;

Statistika 2-31

Dengan diagram pohon : (A,A)

A A G

(A,G)

A

(G,A)

G

(G,G)

G

Dengan tabel/daftar : Uang II Uang I

A

G

A

(A,A)

(A,G)

G

(G,A)

(G,G)

Dengan himpunan pasangan berurutan S = {(A,A).(A,G).(G,A),(G,G)} Contoh Pada

percobaan

melempar

dua

mata

uang,

diperoleh

S={AA,AG,GA,GG}, dengan AA adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul angka AG adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul gambar. GA adalah mata uang pertama muncul gambar,

dan mata uang

kedua muncul angka. GG adalah mata uang pertama muncul gambar, dan mata uang kedua muncul gambar. Contoh 1.2 Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya

adalah S

= {1,2,3,4,5,6} dengan

1 menyatakan

2-32 Statistika

banyaknya titik dadu bagian atas ada satu, 2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya. b. Menghitung Titik Sampel Prinsip Perkalian/Aturan Dasar Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n2 cara yang berbeda, dan seterusnya maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3… cara yang berbeda. Contoh 2.1 Sebuah pelat nomor polisi semarang dimulai dengan huruf H diikuti empat angka dengan angka pertama tidak boleh nol, dan diakhiri dua huruf dengan huruf terakhir huruf A. Setelah mobil keberapa pelat nomor tersebut harus diubah modelnya? Penyelesaian. Misalkan pelat nomor tersebut terdiri dari 7 kotak, maka : • huruf pertama pada kotak pertama dapat dicetak dalam 1 cara (yaitu huruf H) • angka pertama dalam kotak kedua dapat dicetak dalam 9 cara (mengapa?) • angka kedua dalam kotak ketiga dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa?) • angka ketiga dalam kotak keempat dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa?) • angka keempat dalam kotak kelima dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa?) • huruf kedua dalam kotak keenam dapat dicetak dalam 26 cara (mengapa?)

Statistika 2-33

• huruf ketiga dalam kotak ketujuh dapat dicetak dalam 1 cara (mengapa?) Jadi banyaknya pelat nomor yang berbeda yang dapat dicetak adalah 1.9.10.10.10.26.1= 234.000. Karena setiap satu pelat nomor hanya untuk satu mobil maka pelat nomor harus diubah modelnya setelah mobil ke 234.000. Contoh 2.2 Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari lima angka 1,3,5,7,9, jika : a. pengulangan tidak diperbolehkan b. pengulangan diperbolehkan. Penyelesaian. Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan sebarang . a. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbetuk ada 5.4.3=60 bilangan. Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas. b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama, kedua dan ketiga dapat diisi dengan 5 cara, sehingga banyaknya bilangan yang terbentuk ada 5.5.5 = 125 bilangan. Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan ada 125 lembar. Contoh 2.3 Didalam sebuah organisasi kepemudaaan, terdapat 25 anggota yang memenuhi syarat untuk dipilih sebagai ketua, sekretaris, bendahara (dengan asumsi tidak boleh ada jabatan rangkap). Ada berapa cara untuk memilih pengurus organisasi tersebut?

2-34 Statistika

Penyelesaian. Misalkan

pemilihan

pengurus

organisasi

dimulai

dari

ketua,

sekretaris, kemudian bendahara. • ketua dapat dipilih dalam 25 cara • sekretaris dapat dipilih dalam 24 cara (mengapa?) • bendahara dapat dipilih dalam 23 cara (mengapa?) Jadi banyaknya cara untuk memilih pengurus tersebut adalah 25.24.23 = 13800. b. Kejadian Definisi 1.2 Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Karena kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel maka biasanya disimbolkan dalam huruf besar. Contoh Kejadian pada ruang sampel S={AA,AG,GA,GG},`di atas : adalah kejadian munculnya paling sedikit satu sisi gambar adalah K = {{A,G),(G,G)} Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan ∅ juga suatu kejadian, karena S⊂S dan ∅⊂S.

3. Pengertian Nilai Peluang 1) Frekuensi Nisbi (Relatif) Munculnya Kejadian K Frekuensi Nisbi (relatif) munculnya kejadian K =

banyaknyakejadianKyangmuncul banyaknyapercobaanyangdilakukan

2) Nilai peluang kejadian K =

banyaknyatitiksampelkejadianK banyaknyaanggotaruangsampelS

Statistika 2-35

n( K ) Atau ditulis P(K) = n( S ) Contoh Sebuah mata uang logam seratus rupiah ditos 50 kali. Ternyata setelah diamati permukaan gambar muncul 25 kali. Tentukan frekuensi nisbi munculnya permukaan gambar. Jawab: Frekuensi Nisbi (relatif) munculnya permukaan gambar = =

banyaknyamuncu lg ambar = 25/50=1/2 banyaknyapercobaan

Contoh Sebuah dadu ditos satu kali. Tentukan nilai peluang munculnya mata dadu ganjil. Jawab ; S ={1,2,3,4,5,6], n(S) = 6 Misal A kejadian munculnya mata dadu ganjil, A = {1,3,5} n(A) = 3 P(A) =

.

3 1 n( A) = = n( S ) 6 2

4. Kisaran Nilai Peluang Kejadian K Misalkan nilai peluang kejadian K dengan ruang sampel S adalah P(K) maka

0 ≤ P(K) ≤ 1

P(K) = 0, K suatu kemustahilan, P(K) = 1, K suatu kepastian.

2-36 Statistika

5. Nilai Peluang Komplemen Suatu Kejadian Bila K suatu kejadian dalam ruang sampel S maka komplemen kejadian K ditulis dengan Kc, dengan nilai peluang P (Kc) = 1- P(K) Contoh. Peluang kejadian hari ini hujan 0,1. Tentukan peluang hari ini tidak hujan. Jawab: Peluang hari ini tidak hujan = 1 – Peluang hari ini hujan = 1 – 0,1 = 0,9

6. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan kejadian K = P(K) . banyaknya percobaan. Contoh: Suatu perusahaan asuransi memperkirakan bahwa besar kemungkinan sopir mengalami kecelakaan dalam satu tahun 0,12. Dari 300 sopir, berapa orangkah diperkirakan mengalami kecelakaan dalam 1 tahun? Jawab: Banyak sopir yang mengalami kecelakaan dalam satu tahun = P(kecelakaan). Banyaknya sopir = 0,12 . 300 = 36 orang 7. Operasi Kejadian dan Nilai Peluang Operasi Kejadian a. Gabungan kejadian A dan B ditulis A∪B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau keduaduanya. Secara umum P(A∪B) = P(A) + P(B) – P (A∩B) A∩B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B. b. Irisan kejadian A dan B ditulis A∩B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B. c. Operasi Komplemen.

Statistika 2-37

Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S adalah himpunan semua unsur di S yang tidak termasuk di A.Komplemen kejadian a ditulis Ac, dan P(Ac) = 1 – P(A)

8. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing) dan yang tidak saling Lepas Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lain. Contoh Pada percobaan melempar sebuah dadu

satu kali, kejadian

munculnya mata dadu 1 dan kejadian munculnya mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab apabila muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3 tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya. Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika A∩B=∅. Dan A dan B tidak saling lepas bila A∩B ≠ ∅. Pada contoh di atas

misalkan A adalah kejadian munculnya mata

dadu 1 dan B adalah kejadian munculnya mata dadu 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga A∩B=∅, disimpulkan kejadian A dan B saling lepas. Pada contoh di atas bila H kejadian muncul mata dadu genap, H = {2, 4, 6} dan M kejadian muncul mata dadu prima, M= {2, 3, 5} maka H∩M = {2} ≠ ∅. Jadi H dan M dua kejadian tidak saling lepas. 9.Dua Kejadian Yang Saling Bebas A dan B dua kejadian yang saling bebas bila P(A∩B) = P(A). P(B) Contoh. Dua buah dadu hitam dan putih ditos bersama-sama satu kali. A adalah kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu hitam. B adalah kejadian munculnya mata dadu 6 pada dadu putih. Tunjukkan bahwa A dan b adalah saling bebas. Jawab: A = { ( 5,1),(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}, P(A) = 6/36 = 1/6

2-38 Statistika

B = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}, P(B) = 6/36 = 1/6 A∩B = {(5,6)}, P(A∩B) = 1/36 Karena P(A∩B) = 1/36 = P(A) .P(B) maka A dan B saling bebas. C. Latihan 1. Ada dua dadu , yang satu berwarna hitam dan yang lain berwarna putih. Kedua dadu tersebut dilempar bersama-sama, kemudian hasilnya dicatat. a. Tulis ruang sampel S percobaan diatas. b. Tulis anggota kejadian A jumlah kedua mata dadu yang nampak kurang dari 5 c. Tulis kejadian B munculnya mata dadu 6 pada kedua dadu. d. Tulis anggota C munculnya mata dadu 2 pada dadu putih. e. Buatlah suatu diagram (Venn) yang memperlihatkan hubungan kejadian A,B,C dan S. f. Tulis anggota kejadian D yang merupakan irisan kejadian A dan kejadian C. 2. Suatu percobaan melempar sebuah mata uang logam,dan satu dadu berwarna merah dengan muka 1,2,3,4,5,6 serta satu dadu berwarna putih bermuka a,b,c,d,e,f.

Diawali dengan melempar uang logam.

Apabila pada lemparan pertama muncul sisi gambar G maka lemparan kedua dadu berwarna merah. Apabila lemparan pertama muncul angka A, maka lemparan kedua dadu berwarna putih. a. Tulislah ruang sampel percobaan tersebut. b. Tulislah kejadian yang mengandung muka vokal pada dadu warna putih. c. Tulislah kejadian yang mengandung munculnya sisi gambar G pada uang logam . d. Mungkinkah terjadi munculnya muka 3 pada dadu merah dan muka konsonan pada dadu warna putih ? Jelaskan jawaban saudara.

Statistika 2-39

3. Dua pria (P) dan dua wanita (W), akan dipilih secara acak satu orang untuk menduduki jabatan ketua kelas, kemudian sisanya dipilih secara acak pula untuk menduduki jabatan wakil ketua kelas. a. Tulislah ruang sampel S. b. Tulislah anggota kejadian A bahwa yang menduduki ketua kelas adalah pria. c. Tulislah anggota kejadian B bahwa tepat satu jabatan tersebut diduduki oleh pria. d. Tulislah anggotan kejadian C bahwa tidak ada jabatan yang diduduki oleh pria. e. Buatlah diagram (Venn) yang memperlihatkan hubungan antara kejadian A,B,C, dan S. 4. Tiga uang logam dilempar sekali , tentukan ruang sampel percobaan tersebut. 5. Diketahui ruang sampel S = { segitiga, jajaran genjang, persegi, persegi panjang , trapesium, belah ketupat }, dan kejadian A ={jajaran genjang, persegi, belah ketupat }, kejadian B = {persegi, segitiga, persegi panjang }, kejadian C = {trapezium}. Tulislah anggota dari kejadian berikut. a. A’

b. A∪B

c. (A∩B’) ∪C’

d. B’∩C’

e. (A∩B) ∩C

f. (A’∪B’)∩(A’∩C).

6. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang berbeda, serta diikuti 3 angka yang berbeda, dengan angka pertama tidak boleh 0. 7.Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B, dan ada 3 jalur bis antara kota B dan C. a. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B dengan menggunakan bis? b. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang pergi dari kota A ke kota C melalui kota B dengan menggunakan bis?

2-40 Statistika

8.Ada berapa cara 9 buku buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang, jika ada 3 buku yang selalu bersamasama ada berapa penyusunan yang mungkin? 9.Tersedia 12 gambar yang berbeda, 4 dari gambar tersebut akan dipasang dalam sebuah baris. Dalam berapa cara hal ini dapat dikerjakan? 10.Jika pengulangan tidak diperbolehkan a. Ada berapa banyak bilangan empat angka yang dapat disusun dari angka 0 sampai 9 ?(0 didepan tidak boleh) b. Ada berapa buah diantaranya yang lebih dari 4500? c. Ada berapa buah diantaranya yang genap? d. Ada berapa buah diantaranya yang ganjil? e. Ada berapa buah diantaranya yang merupakan kelipatan 5? 11.Ulangi soal nomor 10, tetapi pengulangan diperbolehkan. 12.Ulangi soal nomor 10, tetapi tersedia angka 0 sampai dengan 9. 13.Ada berapa cara 3 pria dan 2 wanita dapat duduk dalam satu baris.

D. Rangkuman 1)Populasi adalah kumpulan objek yang lengkap dan memiliki sifat (karakteristik) yang sama yang digunakan sebagai dasar penarikan kesimpulan. Sampel atau contoh adalah bagian dari populasi yang masih memiliki sifat-sifat (karakteristik) yang lengkap seperti sifat-sifat yang dimiliki oleh populasi. 2) Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan anggota anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian/peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. 3)Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n2 cara yang

Statistika 2-41

berbeda, dan seterusnya maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3… cara yang berbeda. 4)Frekuensi Nisbi (Relatif) Munculnya Kejadian K Frekuensi Nisbi (relatif) munculnya kejadian K =

banyaknyakejadianKyangmuncul banyaknyapercobaanyangdilakukan

5)Nilai peluang kejadian K = Atau ditulis P(K) =

banyaknyatitiksampelkejadianK banyaknyaanggotaruangsampelS

n( K ) n( S )

.6)Kisaran Nilai Peluang Kejadian K Misalkan nilai peluang kejadian K dengan ruang sampel S adalah P(K) maka

0 ≤ P(K) ≤ 1 P(K) = 0, K suatu kemustahilan, P(K) = 1, K suatu kepastian. 7)Nilai Peluang Komplemen Suatu Kejadian Bila K suatu kejadian dalam ruang sampel S maka komplemen

kejadian K ditulis dengan Kc, dengan nilai peluang P (Kc) = 1- P(K) 8).Frekuensi Harapan Frekuensi harapan kejadian K = P(K) . banyaknya percobaan. 9). Operasi Kejadian dan Nilai Peluang Operasi Kejadian Gabungan kejadian A dan B ditulis A∪B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau kedua-duanya. Secara umum P(A∪B) = P(A) + P(B) – P (A∩B) A∩B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B. Irisan kejadian A dan B ditulis A∩B adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B. 10) Dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika A∩B=∅. Dan A

2-42 Statistika

dan B tidak saling lepas bila A∩B ≠ ∅. 11) A dan B dua kejadian saling bebas bila P(A∩B) = P(A).P(B) E. Tes Formatif II 1. Sebuah daddu ditos 1 kali. Peluang muncul mata dadu lebih dari 1 adalah... a) 5/6 b) 4/6 c) 3/6 d) 1/6 2. Dalam suatu kotak terdapat 4 kelereng merah, 5 kelereng hijau, 6 kelereng kuning. Bila diambil sebuah kelereng secara acak peluang terambil kelereng merah adalah a)1/15 b)2/15 c)3/15 d)4/15 3. Dari soal nomor 2, peluang terambil kelereng warna kuning adalah... a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 4. Dua buah dadu warna merah dan putih ditos satu kali. Banyaknya anggota ruang sampel ada.... buah. a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 5. Tiga uang logam ditos bersama-sama 1 kali. Peluang muncul 3 gambar adalah.... a) 1/8

Statistika 2-43

b) 2/8 c) 3/8 d) 4/8 6. Dari soal no 5, peluang muncul 2 angka adalah A) 4/8 b) 3/8 c)2/8 d) 1/8 7. Sebuah dadu dan sebuah mata uang ditos bersama-sama . maka peluang muncul bukan mata 3 pada dadu. a) 2/6 b) 3/6 c) 4/6 d) 5/6 8. Bila peluang besok akan hujan 0,35 maka peluang besok tidak hujan adalah... a)0,35 b) 0,45 c) 0,55 d) 0,65 9. Pada percobaan mengetos sebuah dadu sebanyak 150 kali maka diharapkan muncul mata dadu kelipatan 3 sebanyak ... kali. a) 10 b) 30 c) 50 d) 60 10. Suatu perusahaan asuransi memperkirakan besar kemungkinan sopir mengalami kecelakaan dalam 1 tahun 0,12. Dari 300 sopir berapa yang mengalami kecelakaan dalam satu tahun? a) 46 b) 36

2-44 Statistika

c) 26 d) 16 Tes Uraian 1. Kejadian A dan B saling bebas tetapi tidak saling lepas. Bila P(A) = 1/3 , P(A U B) = 3/5. Tentukan P(B). 2. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu kartu bridge. Tentukan berapa peluang yang terambil itu kartu skop atau kartu berwarna merah? 3. Pada pengetosan sebuah dadu 1 kali, tentukan berapa peluang muncul mata dadu prima atau mata dadu ganjil?

Statistika 2-45

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 1

Tes Obyektif 1. a 2. a 3. a 4. d 5. b 6. c 7. c 8. b 9. d 10. d Tes Uraian 1. Peluangnya = 11/18 2. Peluangnya =1/15 3. Perbandingan banyak siswa pria dan wanita = 4 : 7 4. a) banyaknya kelas 7 b) panjang kelas 10 c) kelas 71-80

2-46 Statistika

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF II Tes Obyektif 1. a 2. d 3. b 4. d 5. a 6. b 7. d 8. d 9. c 10. b Tes Uraian 1. 2/5 b. 3/4 c. 2/3

GLOSARIUM Kejadian A dan B saling lepas bila P(A I B) = 0 Kejadian A dan B saling bebas bila P(A I B) = P(A).P(B)

DAFTAR PUSTAKA Adinawan M Cholik (2004), Matematika Untuk SMP Kelas IX, Erlangga Jakarta Bain & Engelhardt (1993). Introduction to Probability And Mathematical Statistics. Duxbury Press: California Boediono dan Wayan Koster (2001). Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Remaja Rosdakarya: Bandung Frank Aryes (1990). Matematika Dasar. Erlangga: Jakarta Ronald E Walpole & Raymond H Myers (1986). Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Ilmuwan dan Insinyur. ITB: Bandung Sudjana (2006). Metode Statistika. Tarsito: Bandung Suryo Guritno (1990). Pengantar Statistik Matematik. FMIPA UGM: Yogyakarta

BUKU AJAR

Aritmatika

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi Aritmetika adalah cabang matematika yang berkaitan dengan aturan-aturan atau sifat-sifat yang berkaitan dengan bilangan dan caracara untuk menggabungkan bilangan-bilangan operasi

bilangan

seperti

penambahan,

melalui

perkalian,

berbagai pembagian,

penarikan akar, dan perpangkatan. Aritmetika dapat dianggap sebagai suatu cabang matematika

tersendiri, tetapi dapat pula dimasukkan

sebagai bagian dari aljabar. Aritmetika juga dapat dipandang sebagai satu jenis dari bukti geometri. Isi buku ajar ini adalah materi aritmetika

yang termasuk

aritmetika dasar (elementary arithmetic). Materi mencakup topik-topik bilangan bulat, pecahan, aritmetika sosial, pola bilangan, dan barisan bilangan.

Setelah mahasiswa (peserta pelatihan) mempelajari buku

ajar ini diharapkan dapat memahami materi aritmetika SMP beserta teori yang menjadi latar belakangnya.

B. Prasyarat Mahasiswa dipandang sudah memiliki

modal yang cukup

memadai untuk mempelajari materi buku ajar ini, sehingga tidak memerlukan prasyarat yang khusus.

C. Petunjuk Belajar Tujuan belajar matematika yang langsung meliputi fakta, konsep, skill, dan aturan. Agar mahasiswa menguasai fakta khususnya simbolsimbol matematika, mahasiswa hendaknya secara cermat mengamati cara menuliskan dan menggunakan simbol-simbol. dipelajari dengan memahami istilah-istilah

Konsep-konsep

yang terkait, konteksnya,

dan ciri atau atribut yang dilekatkan pada konsep. Dalil, rumus, dan

3-2 Aritmatika

aturan

dipelajari dengan memahami konteksnya, persyaratannya,

kesimpulan yang terkandung, aturan lain yang terkait, dan bukti. Kemampuan menyelesaikan masalah akan tercapai apabila mahasiswa menguasai fakta, konsep, aturan, dan melakukan latihan yang cukup.

D. Kompetensi dan Indikator Kompetensi yang diharapkan adalah meahasiswa memahami bilangan bulat, pecahan, aritmetika sosial, pola bilangan, dan barisan bilangan. Indikator bahwa mahasiswa memiliki kompetensi tersebut adalah dapat menjelaskan konsep operasi bilangan, konsep pecahan, laba dan rugi, rabat, burto, tara, neto,

barisan aritmetika, barisan

geometri, deret aritmetika, dan deret geometri. Mahasiswa juga dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan konsep-konsep tersebut.

BAB II KEGIATAN BELAJAR 1

A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi yang diharapkan memahami bilangan bulat. Indikator pencapaian kompetensi 1. menjelaskan pengertian faktor, kelipatan, bilangan prima, FPB, KPK 2. menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat 3. memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan bulat.

B. Uraian materi 1.

Bilangan asli

a. Himpunan bilangan asli 1) Anggota-anggota himpunan bilangan asli Yang disebut bilangan asli ialah 1, 2,3,... Himpunan semua bilangan asli dapat ditulis A = {1, 2,3,...}. 2) Bilangan ganjil Definisi 1.1: 1 adalah bilangan ganjil. Bilangan j = 2a + 1 dimana a suatu bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan-bilangan asli ganjil adalah 1,3,5,7,... 3) Bilangan genap Definisi 1.2: Bilangan n = 2a dimana a suatu bilangan asli adalah bilangan genap.

3-4 Aritmatika

Bilangan-bilangan asli genap adalah 2,4,6,8,... 4) Kelipatan dan faktor Definisi 1.3: a dan c bilangan asli. c disebut kelipatan dari a jika dan hanya jika ada bilangan asli b sehingga c = a x b. Selanjutnya, jika c adalah kelipatan dari a, maka a disebut faktor dari c atau c habis diabagi oleh a. Konteks atau latar belakang dalam definisi 1.3 adalah himpunan bilangan asli. Istilah yang dikenalkan adalah kelipatan. Syarat yang dikenakan (atribut) adalah

ada

bilangan asli b sehingga a x b = c. 12 adalah kelipatan dari 3, sebab 12 = 3 x 4. 2 dan 3 adalah faktor dari 6, sebab 2 x 3 = 6. 5) Bilangan prima dan bilangan komposit Definisi 1.4: p bilangan asli dan p≠1. p disebut bilangan prima jika dan hanya jika faktor p hanya 1 dan p. Selanjutnya, bilangan asli k dengan k ≠1 dan k bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. 2,3,5,7, 11, 13, ...disebut bilangan prima. 4,6,8,9,10... disebut bilangan komposit b. Sifat-sifat operasi hitung Definisi 1.5: Operasi hitung utama dalam aritmetika ialah penjumlahan, a dan b adalah bilangan asli.

pengurangan, perkalian, Yang dimaksud dengan a x b dan ialah pembagian. penjumlahan sebanyak a suku yang masing-masing suku adalah b dan ditulis a x b = b + b + b + ... + b a suku

Aritmatika

3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15. (Dapat pula untuk disepakati 3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3). Beberapa sifat operasi hitung pada himpunan bilangan asli, 1) Sifat komutatif penjumlahan: a + b = b + a 2) Sifat komutatif perkalian: a x b = b x a 3) Sifat asosiatif penjumlahan: a + (b + c) = (a + b) + c 4) Sifat asosiatif perkalian: a x (b x c) = (a x b) x c 5) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a x (b + c) = (a x b) + ( a x c) 6) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan a x (b - c) = (a x b) - ( a x c)

Bukti sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Berdasarkan definisi a x (b + c) = (b + c) + (b + c) + (b + c) +...+ (b + c) a suku = (b + b+ b + ...+b) + (c + c +c +...+c)....(sif. 1 dan 3) a suku = (a x b) + (a x c).

a suku

3-5

3-6 Aritmatika

c. Faktor persekutuan terbesar (FPB) Definisi 1.6: Bilangan asli f adalah faktor persekutuan dari bilangan asli a dan b jika dan hanya jika f adalah faktor dari a dan juga faktor dari b. Definisi 1.7 FPB dari bilangan asli a dan b ialah d jika dan hanya jika: (1) d adalah faktor persekutuan dari a dan b (2) untuk setiap x faktor persekutuan dari a dan b berlaku d≥x. FPB dari a dan b dapat ditulis dengan simbol FPB(a,b). Faktor-faktor dari 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18. Faktor-faktor dari 24 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24. Faktor-faktor dari 16 ialah 1, 2, 4, 8, dan 16. Faktor persekutuan dari 18 dan 24 ialah 1, 2, 3, dan 6. FPB(18, 24) = 6. Faktor persekutuan 18, 24, dan 16 ialah 1 dan 2. FPB(18, 24, 16) = 2 Teorema 1 Jika (a,b)=d, maka (a:d, b;d) = 1. Bilangan a apabila

dikatakan prima relatif dengan bilangan b

FPB (a,b) =1

Teorema 2 a, b, q, dan r adalah bilangan asli dan b > a Jika b = qa + r, maka FPB (b,a) = FPB (a,r). Misalkan

FPB(b,a) = d, berarti d adalah faktor dari a dan d

faktor dari b. Karena b = qa + r, maka ada x dan y sehingga xd = q (yd) + r = (qy)d + r. Akibatnya harus ada z sehingga xd = (qy)d + zd sehingga a = (qy)d dan r = zd. Ini berarti

Aritmatika

3-7

d adalah faktor persekutuan dari a dan r. Karena b>a dan b>r berarti d adalah FPB(a,r). Untuk b = xa berarti

FPB (b,a) = a, sebab a adalah faktor

persekutuan antara b dan a dan a faktor terbesar dari a. Teorema 2 dapat digunakan untuk menentukan FPB dua bilangan. Contoh 1.1 : 90 = 1 x 60 + 30 berarti

FPB (90, 60) = FPB (60, 30)

60 = 2 x 30 berarti FPB (60, 30) = 30 Jadi

FPB (90, 60) = 30.

d. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) Definisi 1.8: Bilangan asli k adalah kelipatan persekutuan dari bilangan asli a dan b jika dan hanya jika k adalah kelipatan dari a dan juga kelipatan dari b. Definisi 1.9 KPK dari bilangan asli a dan b ialah k jika dan hanya jika: (1) k adalah kelipatan persekutuan dari a dan b (2) untuk setiap x kelipatan persekutuan dari a dan b berlaku k ≤ x.

Contoh 1.2: KPK dari a dan b dapat ditulis dengan simbol KPK(a,b). Kelipatan dari 4 ialah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...... Kelipatan dari 5 ialah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... Kelipatan dari 6 ialah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,.. Kelipatan persekutuan 4 dan 5 ialah 20, 40, 60,... KPK(4,5) = 20. Kelipatan persekutuan 4 dan 6 ialah 12, 24, 36,.....

3-8 Aritmatika

KPK(4,6) = 12. Kelipatan persekutuan 5 dan 6 ialah 30, 60, 90,... KPK(5,6) = 30. Kelipatan persekutuan 4,5, dan 6 ialah 60, 120, 180,... KPK(4,5,6) = 60.

Teorema 3 Jika k kelipatan persekutuan dari a dan b, maka KPK(a,b) adalah faktor dari k. Contoh 1.4 : Kelipatan persekutuan 4 dan 5 ialah 20, 40, 60,... KPK(4,5) = 20. Tampak bahwa 20 adalah faktor dari 20, 40, 60,...

Teorema 4 Untuk a, b, dan m bilangan asli, berlaku KPK(ma,mb)= m x KPK(a,b). Misalkan KPK(a,b) = k , berarti a dan b adalah faktor dari k . Akibatnya am dan bm adalah faktor dari km dan berarti km adalah kelipatan persekutuan dari am dan bm.

Menurut

teorema 1.3, KPK(am,bm) adalah faktor dari km. Karena KPK(am,bm) adalah

kelipatan am, maka KPK(am,bm)

kelipatan m. Misalkan KPK(am,bm)=tm. Karena KPK(am,bm) adalah faktor dari km, maka tm adalah faktor dari km. Akibatnya t adalah faktor dari k. Karena KPK(am,bm)= tm, maka am dan bm adalah faktor tm . Sehingga a dan b adalah faktor t dan KPK(a,b) adalah faktor t. Karena KPK(a,b) = k, maka k adalah faktor dari t. Karena t faktor dari k dan k faktor dari t, maka t =k sehingga

Aritmatika

tm= km= mk atau KPK(ma,mb)= m x KPK(a,b).

e. Hubungan FPB dan KPK dua bilangan KPK(4,5) = 20 FPB(4,5) = 1 Tampak bahwa KPK(4,5)FPB(4,5) = 20 x 1= 4 x 5 Teorema 5 KPK(a,b)FPB(a,b)= ab Contoh1.5: Menentukan KPK dan FPB dari 299 dan 247. 299 = 247 x 1 + 52 247 = 52 x 4 + 39 52 = 39 x 1 + 13 39 = 13 x 3 FPB(299,247) = 13 KPK(299,247) = (299 x 247) : 13 =

f. Menghitung FPB dan KPK dengan faktor-faktor prima FPB dan KPK

sejumlah bilangan dapat ditentukan dengan

menggunakan faktor-faktor prima. Rumus contoh: Misalkan a = (p1)u (p2)x (p3)α(p4) ε b = (p1)v (p2)y (p3) β (p4) θ c= (p1)w (p2)z (p3) γ (p4) φ p1, p2, p3, ...,pn adalah bilangan prima. FPB(a,b,c) =(p1)min (u,v,w)(p2)min (x,y,z)(p3)(min α,β,γ)(p4) min (ε,θ,φ) KPK(a,b,c) = (p1)mks(u,v,w)(p2)mks (x,y,z)(p3)(mks α,β,γ)(p4) mks (ε,θ,φ)

3-9

3-10 Aritmatika

Peserta diharapkan merumuskan bentuk umum rumus tersebut. Contoh 1.6: 40 = 23 x 30 x 5. 90 = 2 x 32 x 5, 100 = 22 x 30 x52. KPK(40,90,100) = 23 x 32 x 52 = 1800. FPB(40,90,100)= 2 x x 30 x 5 = 10. Contoh 1.7: 1080 = 2 3 x 33 x 5 234 = 2 x 32 x 13 KPK(1080, 234) = 23 x 33 x 5 x 13 = 14040.

2.

Bilangan bulat a. Himpunan bilangan bulat 1) Anggota-anggota himpunan bilangan bulat Yang disebut bilangan bulat ialah ...,-3,-2,1,0,1, 2,3,... Himpunan semua bilangan bulat dapat ditulis B = { ...,-3,-2,1,0,1, 2,3,...}. Himpunan semua bilangan cacah dapat ditulis C = {0,1,2,3,...}. 2) Sifat-sifat operasi hitung pada himpunan bilangan bulat Beberapa sifat operasi hitung pada himpunan bilangan bulat, 1. Sifat tertutup untuk penjumlahan: Untuk a dan b bil. bulat berlaku a + b bilangan bulat 2. Sifat asosiatif penjumlahan: a + (b + c) = (a + b) + c 3. Sifat asosiatif perkalian: a x (b x c) = (a x b) x c 4. Ada unsur identitas dalam penjumlahan yaitu 0, sehingga untuk setiap bilangan bulat b berlaku b + 0 = 0 + b = b. 5. Setiap bilangan bulat memiliki “lawan”(invers terhadap penjumlahan): Untuk setiap b bilangan bulat ada bilangan bulat –b sehingga a + (-b) = (-b) + b = 0.

Aritmatika

Lawan dari 0, 1, 2, 3,... berturut-turut ialah ialah 0,-1,-2,-3,... Peserta pelatihan diharapkan menyelidiki sifat-sifat operasi hitung pada himpinan bilangan bulat yang lain.

C. Latihan 1. Tentukan a. faktor dari bilangan-bilangan 20, 36, dan 48! b. faktor persekutuan dari 20, 36, dan 48! c. FPB dari 20, 36, dan 48! 2. Tentukan a. kelipatan dari bilangan-bilangan 4, 5, 7, 9, dan 13! b. kelipatan persekutuan dari

4, 5, 7, 9, dan 13!

c. KPK dari 4, 5, 7, 9, dan 13! 3. Tentukan FPB dan KPK dari a. 24 dan 36 b. 735 dan 588 c. 1750 dan 10584 d. 700 dan 819. 4. Ayah memiliki 36 buah buku dan 24 pensil. Buku dan pensil akan diberikan kepada beberapa anak yatim di kampungnya.

Ayah

mengharapkan setiap anak memperoleh bagian yang sama. Tentukan banyaknya anak yang mendapat bagian dan banyaknya jenis setiap barang yang terimasing-masing 5. Secara teratur Adi, Budi, dan Chandra sehari penuh memancing ikan di danau Tirtasari. Ali setiap 4 hari sekali, Budi 5 hari sekali, dan

Chandra 6 hari sekali. Pada tanggal 1 Juli 2008

mereka bersama-sama memancing di danau Tirtasari. Kapan mereka ketemu lagi memancing di danau tersebut?

D. Lembar Kegiatan Mahasiswa 1. Alat dan Bahan: ATK 2. Keselamatan dan Kesehatan Kerja: Tidak ada yang khusus.

3-11

3-12 Aritmatika

3. Prasyarat: Tidak ada yang khusus. 4. Langkah Kegiatan: Dimulai dengan mengkaji konsep, mengkaji bukti teorema, membuktikan teorema, mengngerjakan latihan, dan memecahkan masalah. 5. Hasil: Mahasiswa memahami bilangan bulat.

E. Rangkuman 1.

Himpunan semua bilangan asli dapat ditulis A = {1, 2,3,...}.

2.

Bilangan-bilangan asli ganjil adalah 1,3,5,7,...

3.

Bilangan-bilangan asli genap adalah 2,4,6,8,...

4.

Bilangan asli c disebut kelipatan bilangan asli i a jika dan hanya jika ada bilangan asli b sehingga c = a x b.

5.

Selanjutnya, jika c adalah kelipatan dari a, maka a disebut faktor dari c atau c habis diabagi oleh a. p bilangan asli dan p≠1. p disebut bilangan prima jika dan hanya jika faktor p hanya 1 dan p. Bilangan asli k dengan k ≠1 dan k bukan bilangan prima disebut bilangan komposit.

6.

FPB dari bilangan asli a dan b ialah d jika dan hanya jika: d adalah faktor persekutuan dari a dan b dan untuk setiap x faktor persekutuan dari a dan b berlaku d≥x.

7.

Untuk a, b, q, dan r adalah bilangan asli dan b > a, berlaku jika b = qa + r, maka

8.

FPB (b,a) = FPB (a,r).

KPK dari bilangan asli a dan b ialah k jika dan hanya jika k adalah kelipatan persekutuan dari a dan b dan untuk setiap x kelipatan persekutuan dari a dan b berlaku k ≤ x.

9.

Untuk a, b, dan m bilangan asli, berlaku KPK(ma,mb)= m x KPK(a,b).

10. KPK(a,b)FPB(a,b)= ab. 11. FPB dan KPK

sejumlah bilangan dapat ditentukan dengan

menggunakan faktor-faktor prima. 12. Himpunan semua bilangan bulat dapat ditulis

Aritmatika

B = { ...,-3,-2,1,0,1, 2,3,...}. 13. Beberapa sifat-fat operasi hitung pada himpunan bilangan bulat antara

lain

tertutup

penjumlahan, asosiatif

terhadap

komutatif

perkalian,

penjumlahan,

perkalian,

dan

asosiatif

distributif

komutatif

penjumlahan,

perkalian

terhadap

penjumlahan.

F.

Tes Formatif I. Pilihlah jawaban yang benar dengan cara memberi tanda sialang pada huruf a, b, c, atau d! 1.

FPB dari 598 dan 741 ialah: a.

2.

c. 23

30

b 60

c. 90

4 3 2

d. 19 d. 120

2 3 4

FPB dari q r s t dan pq r s ialah: a.

4.

b 13

FPB dari 120 dan 180 ialah: a.

3.

3

pqrst

b. qrs

c.

pqr

d. q2r3s2t

KPK dari 360 dan 2250 ialah: a. 5400

b. 10800

c. 1944000

d. Jawaban a, b, dan c

salah. 5.

KPK dari 120 dan180 ialah: a.

6.

30

b

60

c. 280

d. 1800

KPK dari q4r3s2 t dan pq2 r3s4 ialah: a. pqrst

b (qrs)4

c. pq4r3 s 4 t d. Jawaban a, b, dan c

salah. 7.

8.

Jika KPK(x,y)= 1375 dan ab = 1375, maka a. x kelipatan y

b. y kelipatan x

c. x = y

d. Jawaban a, b, dan c salah.

Pilih pernyataan yang salah a. FPB dari sejumlah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. b. KPK dari sejumlah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

3-13

3-14 Aritmatika

c. Jika FPB

merupakan bilangan ganjil, maka KPK

merupakan bilangan ganjil. d. Jika FPB merupakan bilangan genap, maka KPK juga bilangan genap. II. Kerjakan soal berikut! 1. Pak Diwjo mengajar di tiga kelas A, B, dan C yang masingmasing terdiri atas 21, 35, dan 28 murid.

Pak Dwijo akan

membagikan sejumlah alat untuk digunakan tiap kelompok. Berapakah

banyaknya

anggota

setiap

kelompok

sehingga

masing-masing kelompok mempunyai anggota yang sama? 2. a. KPK dari dua bilangan asli a dan b ialah ab. Tentukan a dan b! b. FPB dari dua bilangan asli a dan b ialah ab. Tentukan a dan b! 3. Arman dan Tina jalan pagi kaki mengelilingi lapangan. Setiap suatu putaran Arman memerlukan waktu 4 menit sedangkan Tina dalam 10 menit. Jika mereka berangkat pada tempat (A) dan waktu yang sama, maka setelah berapa menit mereka bersamasama berada di A? 4. Ibu memiliki tiga macam makanan ringan yaitu lemper pisang goreng, dan telor rebus dan masing-masing sebanyak 112 buah,. 144 buah, dan 168 butir. Dalam rangka HUT perkawinan, ibu akan mengirimkan bingkisan kepada sejumlah tetangga yang berisi makanan-makan itu. Setiap bingkinan berisi semua jenis makanan dan banyaknya sama. Tentukan banyaknya tetangga yang memperoleh bingkisan dan banyaknya setiap jenisnya makanan dalam setiap bingkisan!

BAB III KEGIATAN BELAJAR 2

A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi yang diharapkan memahami pecahan. Indikator pencapaian kompetensi 1. menjelaskan pengertian pecahan, 2. menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat operasi hitung pada pecahan, 3. memecahkan masalah yang berkaitan dengan pecahan.

B. Uraian materi 1. Pengertian pecahan Pecahan dapat diartikan sebagai pembagian, perbandingan, dan bagian

dari

keseluruhan.

Pecahan

sebagai

bagian

dari

keseluruhan dapat digambarkan dalam situasi seperti berikut: Pak Sastra memilikii lima ekor unggas yang terdiri atas 3 ekor ayam dan 2 ekor itik . Situasi itu dapat dinyatakan dengan ungkapan “banyaknya itik adalah dua

per lima (2/5) dari seluruh

unggasnya”. Pecahan sebagai perbandingan menyatakan situasi kepemilikan unggas Pak Sastra dengan ungkapan “banyaknya itik adalah dua per tiga (2/3) banyaknya ayam”. Pecahan sebagai pembagian merupakan reprsentasi dari suatu situasi berikut: Pak Krama memiliki 3 hektar tanah pekarangan yang akan dibagikan secara merata kepada lima orang anaknya. diungkapkan

dengan

kalimat

“Setiap

Situasi itu dapat

anak

pak

Krama

memperoleh pekarangan seluas tiga per lima (3/5) hektar”. Dalam uraian ini tampak bahwa pecahan menggambarkan suatu situasi yang merepresentasikan suatu situasi yang mungkin berupa bagian dari keseluruhan, perbandingan, atau bagian dari keseluruhan.

Media yang dapat digunakan untuk memperlihat

3-16 Aritmatika

kan pengertian pecahan dapat menggunakan benda-benda konkrit, benda-enda semi konkrit seperti gambar-gambar, dan yang lebih abstrak yaitu garis bilangan. Definisi formal pecahan yang digunakan dalam aljabar sbb. Definisi 2.1 Fraction may be represented as ordered pairs of integers (a,b), b≠0, for which an equivalence relation has been specified (an equality relation of fraction) namely, it is considered that (a,b)=(c,d) if ad=bc (Encyclopedia of Mathematics, Vol 2 , 1995. p. 652). Berdasarkan definisi ini pecahan menunjuk pada suatu pasangan berurutan dari dua bilangan bulat dan bukan menunjuk pada satu bilangan. Pecahan sebagai pasangan berurutan (a,b) a

dengan

b≠0 dapat ditulis dengan “a/b” atau “ − ”. Pada pecahan a/b, a b disebut

pembilang

(numerator)

dan

b

disebut

penyebut

(denumerator).

2. Jenis Pecahan a. Pecahan sederhana Pecahan a/b disebut pecahan sederhana jika dan hanya jika a relatif prima dengan b atau FPB(a,b)=1. Pecahan-pecahan 2/3, ¾, 3/5, 4/7, ... adalah pecahan sederhana. b. Pecahan senama Dua pecahan atau lebih disebut pecahan senama apabila mereka memiliki penyebut yang sama. Pecahan-pecahan 2/5, 4/5, 7/5, 10/5, ... adalah pecahan senama. dengan

Pecahan 2/4

3/6 adalah dua pecahan yang berbeda dan tidak

Aritmatika

senama, walaupun menunjuk pada bilangan yang sama yaitu “setengah”. c. Pecahan campuran Pecahan a/b dengan a>b dan b bukan faktor dari a dapat disajikan dalam bentuk lain. Pecahan 5/4 dapat dituliskan 1 ¼. Simbol 1 ¼ sering disebut pecahan campuran. d. Pecahan tak sebenarnya Pecahan a/b dengan a,b bilangan asli dan

a≥b

pecahan tak sebenarnya (improper fraction). 59/8, 4/1,... Untuk

disebut

Contoh: 6/2,

a 7/9, sebab

4/5=36/45 dan 7/9 =35/45, sehingga

pembilang pertama lebih besar dari pembilang yang kedua.

4. Operasi pada pecahan Operasi

hitung utama (penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian) pada pecahan didefinisikan dengan aturan: a/b ± c/d = (ad±bc)/bd a/b x c/d = ac/bd a/b : c/d = ad/bc (pembagian hanya terdefinisi jika c≠0). Sifat yang fundamental pada pecahan adalah Sifat 2.1 Untuk suatu pecahan a/b dan suatu bilangan asli c, berlaku a/b = ac/bc atau ca/cb=a/b

Contoh 2.4 2/3 = (2x5)/(3x5) =10/13 2/3 + 5/7 = ((2x7) + (3x5))/ (3x7) = 29/21 2/3 - 5/77 = ((2x7)- (3x5))/ (3x7) = -1/21 2/3 x 5/7 = (2x5)/(3x7) =10/35 2/3 : 5/7 = (2x7)/(3x5) = 14/15. Pembagian pada pecahan dilakukan dengan menggunakan aturan a/b : c/d = ad/bc. Aturan itu dapat dijelaskan dengan mengingat makna pembagian. Pembagian a;b=... dengan b≠0 bermakna “ada berapa b dalam a?” Dengan demikian a/b : c/d=... bermakna ada berapa c/d dalam a/b.

Agar pembahasan lebih mudah,

pembahasan

Aritmatika

dilakukan dengan terhadap contoh konkrit

2/3 : 4/5=...? Ada

berapa “4/5 an” dalam 2/3? Pembahasan: Dalam 1 ada: 5 buah “1/5 an” Dalam 5 buah “1/5 an” ada: 1 “4/5 an “ dan 1 “1/5 an” atau 1 “4/5 an “ dan ¼ “4/5 an “ atau 4/4 “4/5 an “ dan ¼ “4/5 an “ atau 5/4 “4/5 an “.Dalam 1 ada 5/4 “4/5 an “.Dalam 2/3 ada 2/3 x 5/4) “4/5 an “.Ini berarti bahwa 2/3 : 4/5 = 2/3 x 5/4. Dengan penalaran yang sama diperoleh a/b : c/d = ad/bc. Pembaca diminta untuk mengekspresikan pembahasan ini dengan gambar.

C. Latihan 1. Berikan contoh dengan gambar, benda konrit, dan garis bilangan yang menunjukkan pecahan sebagi: a. bagian keseluruhan, b. perbandingan, c. pembagian. 2. Diskusikan mengapa penyebut tidak boleh nol! 3. Sederhanakanlah a. 182/88 b. 252/210 c. (xy + xz)/x2y + x2z)

d. x3yz/x2y2z5

4. Tentukan pecahan yang equivalent dengan ½ dan hasil kali pembilang dengan penyebut sama dengan 72. 5. Selidikilah sifat-sifat operasi hitung pada pecahan! 6. Jelaskan dengan gambar bahwa a/b x c/d = ac/bd! 7. Benarkah a/b :c/d = (a:c)/(b:d)? 8. Johni memiliki kekayaan sebesar 3/7 dari seluruh kekayaan keluarga, sedangkan adiknya memiliki 2/3 dari milik

John.

Berapa kekayaan yang dimiliki oleh anggota keluarga yang lain? 9. Apakah setiap bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan memiliki:

3-19

3-20 Aritmatika

a. invers terhadap penjumlahan (lawan) b. invers terhadap perkalian (kebalikan). 10. Tunjukkan bahwa semua bilangan rasional dapat dinyatakan dengan pecahan!

D. Lembar kegiatan Mahasiswa a.

Alat dan Bahan: ATK dan benda-benda konkrit

b.

Keselamatan dan Kesehatan Kerja: Tidak ada yang khusus.

c.

Prasyarat: Tidak ada yang khusus.

d.

Langkah Kegiatan: mengkaji

bukti

Dimulai dengan mengkaji konsep, teorema,

membuktikan

teorema,

mengngerjakan latihan, dan memecahkan masalah. e.

Hasil:

Mahasiswa

memahami

pecahan

dan

mampu

memecahkan masalah yang berkaitan dengan pecahan.

E. Rangkuman 1. Pecahan dapat diartikan sebagai pembagian, perbandingan, dan bagian dari keseluruhan. 2. Pecahan dapat direpresentasikan sebagai pasangan berurutan a bilangan bulat (a,b), b≠0 dan dapat ditulis “a/b” atau “ − ” , b≠0. b Pada pecahan a/b,

a disebut pembilang (numerator) dan b

disebut penyebut (denumerator). 3. Pecahan a/b disebut pecahan sederhana jika FPB(a,b)=1. 4. Dua pecahan atau lebih disebut pecahan senama apabila mereka memiliki penyebut yang sama. 5. Pecahan a/b dengan a≥b

disebut pecahan tak sebenarnya

(improper fraction). 6. Pecahan a/b dengan a < b disebut pecahan sejati (proper fraction).

Aritmatika

7. Dua pecahan a/b dan c/d (b,d ≠0) dikatakan bernilai sama (equivalent) apabila ad = bc. 8. Operasi

hitung utama (penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian) pada pecahan didefinisikan dengan aturan: a/b ± c/d = (ad±bc)/bd a/b x c/d = ac/bd a/b : c/d = ad/bc (pembagian hanya terdefinisi jika c≠0). 9. Sifat yang fundamental pada pecahan adalah: Untuk suatu pecahan a/b dan suatu bilangan asli c, berlaku a/b = ac/bc atau ca/cb=a/b.

F.

Tes Formatif I. Pilihlah jawaban yang benar dengan cara memberi tanda sialang pada huruf a, b, c, atau d! 1. Bentuk sederhana dari (3/8)/(4/16) ialah a. 3/32

b. 3/2

c. 2/3 d. 32/2.

2. Bentuk sederhana dari x3y5z6/xy2z4 ialah a. x2 y3z2 b. xyz

c.

1/ xyz

d. 1/ x2 y3z2

3. Pecahan yang ekuivalen dengan 4/3 ialah a.

8/3

b.

4/6

c.

3/4

d. 12/9

4. Pecahan yang senama dengan 4/3 ialah a.

8/3

b.

4/6

c.

3/4

d. 12/9

5. Ada berapa “2/3 an” dalam 5/6? a.

6/5

b. 5/6

c. 5/4

d. 4/5

6. Setiap bilangan positip yang dilambangkan oleh pecahan tak sebenarnya merupakan bilangan : a. lebih besar dari 1

b. bulat

c. 1 atau lebih besar dari 1


3-21

3-22 Aritmatika

7. Setiap bilangan yang dilambangkan oleh pecahan sejati a/b (a, b bilangan asli) merupakan bilangan : a. kurang dari 1

b. bulat

c. 1 atau lebih kecil dari 1


8. Pernyataan berikut benar kecuali: a.

Untuk a, b, dan c bilangan asli, a/b