3. Menerapkan Konsep Limit Fungsi dan Turunan Fungsi

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

3. Menerapkan Konsep Limit Fungsi dan Turunan Fungsi A. Tujuan Akhir Setelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 16 ini diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di titik tak hingga. 2. Menggunakan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. 3. Mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi sebagai turunan fungsi secara definitif. 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. 5. Memahami tafsiran geometri dari turunan fungsi. 6. Mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turunan menggunakan aturan turunan. 7. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya. Kegiatan Belajar 1. A. Tujuan Kegiatan Belajar 1. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tertentu. 2. menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut, dan 3. melakukan kajian pustaka tentang definisi eksak limit fungsi. B. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1. 1. Pengertian Limit Fungsi Secara umum Limit didefinisikan bahwa lim it f ( x ) = L x→a

dan disingkat lim f ( x ) = L , diartikan x→a

bahwa jika x mendekati a dengan x a, nilai ƒ(x) mendekati L. Limit Fungsi adalah nilai pendekatan di sekitar suatu titik (baik dari kiri maupun dari kanan titik itu), atau pada suatu titik tak hingga. Perhitungan nilai limit disekitar titik dapat dilakukan dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan). Perhatikan contoh berikut : Diketahui fungsi f (x ) =

x2 − 9 , tentukan nilai ƒ(x) untuk x mendekati 3 jika dihitung x−3

dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan). Jawab : Pendekatan dari kiri (limit kiri) :

x

2,5

2,6 2,7

2,8 2,9

2,95

2,99

2,999

….

3

x2 − 4 f (x) = x−2

5,5

5,6 5,7

5,8 5,9

5,95

5,99

5,999

….

6

Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kiri), maka nilai mendekati 6, Pendekatan dari kanan (limit kanan) :

x

3,5

x2 − 4 f (x) = x−2

6,5

3,4 3,3 6,4

6,3

3,2 3,1

3,01

3,001

3,0001

….

3

6,2 6,1

6,01

6,001

6,0001

….

6

42

ƒ(x)

.d o

o

.c

m

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to

Sehingga dapat ditulis bahwa : f (x ) =

ƒ (x) w . d o c

x2 − 9 = 6 (baik dari kiri maupun dari kanan) x−3

Catatan : a. Nilai limit ada jika nilai limit kiri sama dengan limit kanan. b. Nilai limit tidak ada jika nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan. 2. Limit fungsi di titik tak hingga ( ~ ) Untuk memberikan gambaran perhatikan contoh berikut : f (x ) =

1 , tentukan nilai fungsi ƒ(x) untuk x mendekati tak hingga x

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

1

0,1

0,1

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

Diketahui fungsi (x

~ ).

Jawab :

x

f (x ) =

1 x

… . … .

~

0

Dari tabel terlihat bahwa jika x mendekati tak hingga, maka nilai ƒ(x) mendekati 0, dan dapat 1 =0 x→ ∞ x

ditulis : lim

C. Lembar Kerja Siswa 1 Jawablah dengan singkat dan benar ! Tentukan nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi ƒ(x) berikut ini : 1. ƒ(x) = 2x + 3 ( untuk x mendekati 2 ) 2. ƒ(x) = 3x + 3 ( untuk x mendekati 2 ) 3.

f (x ) =

4.

f (x ) =

5.

x2 − 4 ( untuk x mendekati 2 ) x−2

x 2 − 25 ( untuk x mendekati 5 ) x −5 x2 − x −6 f ( x) = ( untuk x mendekati 3 ) x −3

Tentukan nilai fungsi ƒ(x) untuk x mendekati tak hingga (x : 6. 7. 8. 9.

f (x ) =

1 x −1 8 f (x ) = 2x + 2 2x f (x ) = 4x − 3 x f (x ) = x+5

43

~ ) dari beberapa fungsi berikut

m o

Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kanan), maka mendekati 6,

lic

k .c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

u-tr a c

k.

c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to w

Kegiatan Belajar 2. A. Tujuan Kegiatan Belajar 2. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. menggunakan sifat-sifat limit fungsi 2. menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit. 3. melakukan penghitungan limit dengan manipulasi aljabar 4. mengenal macam-macam bentuk bilangan tak tentu : 5. menghitung nilai limit bentuk tak tentu , dan 6. menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi. B. Uraian Materi 1. Sifat-sifat limit fungsi

Untuk menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan beberapa sifat limit berikut : a. lim k = k x →a

( dengan a dan k suatu konstanta)

b. lim x = a x→a

c. lim f ( x) = f (a ) x →a

d. lim k . f ( x) = k lim f ( x) x →a

x →a

e. lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x ) ± lim g ( x )

( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)

lim [ f ( x ).g ( x)] = lim f ( x ). lim g ( x)

( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)

x →a

f.

x→a

x →a

x→a

x →a

x→ a

f ( x)  f ( x)  lim g. lim  = x→a  x → a g ( x) g ( x)   lim x →a

[

dengan lim g ( x ) ≠ 0 x →a

]

h. lim [ f ( x )]n = lim f ( x ) n x →a

i.

x→a

lim n f ( x ) = n lim f ( x) dengan catatan lim f (x ) ≥ 0 untuk n bilangan genap x →a

x→a

x→a

2. Limit Fungsi Aljabar Nilai limit sebuah fungsi dapat dihitung dengan cara subtitusi langsung terhadap variabelnya (sifat b). Jika hasil perhitungan dengan subtitusi langsung didapat bilangan bentuk tak tentu, yaitu bentuk :

0 , 0

∞ ∞

atau

∞−∞

perhitungan nilai

limit harus dengan cara lain,

misalnya pemfaktoran, penyederhanaan, dikalikan sekawannya dll. Contoh 1 : Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini : a. lim x 2 − x − 2 x→0

(

)

44

.d o

m

2x − 5 5x

o

10. f ( x ) =

lic

k .c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to lic

k

b. lim

x → −2

x + x−2

Penyelesaian :

(

)

a. lim x 2 − x − 2 = 0 2 − 0 − 2 = − 2 x→0

x 2 + 3x + 2

b. lim

x → −2

x2 + x − 2

(− 2)2 + 3(− 2) + 2 0 = (bentuk tidak tentu), selanjutnya fungsi itu dapat (− 2 )2 + (− 2) − 2 0

=

difaktorkan sebagai berikut : lim

x 2 + 3x + 2

x → −2

x + x−2 2

Contoh 2 :

= lim

x → −2

(x + 2)(x + 1) = ( x + 2)(x − 1)

lim

x → −2

( x + 1) (−2 + 1) 1 = dengan substitusi akan didapat (x − 1) (− 2 − 1) 3

x−2 x→2 x2 − 4

Tentukan nilai dari lim Penyelesaian :

Dengan substitusi lansung akan didapatkan bentuk tidak tentu

0 0

penyelesaian dapat

dilakukan dengan mengalikan factor sekawan, menjadi;

lim

x→2

x−2 1 x−2 1 = lim = lim = 2 x 2 → 2 → (x − 2 )( x + 2 ) x x+2 4 x −4

Contoh 3 : Tentukan nilai dari lim

5x 2 − 2

x→∞

3x 2 + 4 x − 5

Penyelesaian : Penyelesaian dengan substitusi akan mendapatkan bilangan tidak tentu bentuk selanjutnya dibagi dengan variable pangkat tertinggi, menjadi; 5x 2 − 2 lim

x →∞

5−

2

5−

∞ ∞

2

5−0 5 x x ∞2 = = = lim = 4 5 4 5 x→∞ 3+ 0 − 0 3 3x + 4 x − 5 3+ − 2 3+ − 2 2 x ∞ x ∞ x 2

2

2

3. Limit Fungsi Trigonometri. a. Pengertian Limit Fungsi Trigonometri. Limit fungsi trigonometri adalah nilai pendekatan untuk sudut tertentu pada suatu fungsi trigonometri, untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan cara subtitusi langsung, jika didapat bentuk tak tentu ( limit fungsi trigonometri harus dengan cara lain. Contoh 4 : Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut : a. lim1 sin x x → 3π

b. lim

x →0

sin 2 x sin x

45

0 ∞ , , atau ∞ − ∞ ), maka perhitungan nilai 0 ∞

.d o

m

w

2

o

.c

C

x 2 + 3x + 2

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Catatan : 1. Jika π diikuti oleh fungsi trigonometri, nilai π = 180º 2. sin² x + cos² x = 1

Penyelesaian : a. lim1 sin x = sin 13 π = sin 60 o = x → 3π

sin 2 x

1 3 2

3. sin

sin 2.0

0 b. lim = = (bentuk bilangan tidak tentu) x → 0 sin x sin 0 0

untuk menyelesaikan dapat dilakukan dengan mengubah sin 2x dengan kesamaan trigonometrinya menjadi lim

sin 2 x

x →0

sin x

= lim

x→0

2 sin x cos x sin x

4.

x = 2 sin

1 1 x . cos x 2 2

cos x = 1 − 2 sin 2

5. sin 2x = 2.sin x.cos x 6. cos 2x = 1 –2.sin² x

= lim 2 cos x = 2 cos 0 = 2 x→0

b. Rumus dasar penyelesaian limit fungsi terigonometri Rumus-rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati 0 :

sin ax sin x = 1 atau lim =1 x → 0 ax x

3. lim

ax x =1 = 1 atau lim x → 0 sin x x → 0 sin ax

4. lim

1. lim

x →0

2. lim

tan x

x →0

x

= 1 atau lim

x→0

tan ax ax

=1

x ax = 1 atau lim =1 x → 0 tan x x → 0 tan ax

Contoh 5 : Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut : a. lim

x →0

sin 6 x x

b. lim

x→0

x tan 6 x

Penyelesaian :

sin 6 x 0 = (bentuk bilangan tak tentu), penyelesian dengan rumus dasar x →0 x 0

a. lim

sin 6 x sin 6 x 6 sin 6 x 6 = lim . = lim . = 1. 6 = 6 x→0 x→0 x x 6 x→ 0 6x 1

lim

x 0 = (bentuk bilangan tak tentu), penyelesaian dapat dilakukan; x → 0 tan 6 x 0 x x 6 6x 1 1 1 lim = lim . = lim . = 1. = x → 0 tan 6 x x → 0 tan 6 x 6 x → 0 tan 6 x 6 6 6

b. lim

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan singkat dan benar ! 1. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini : 3 2 a. lim 2 x − x + 3x − 1 x → −2

(

)

46

1 x 2

.d o

m o

.c

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to lic

k w

x 2 − 25 x−5

d. lim

x →5

e.

x3 − 8 x→2 x − 2

lim

2. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berkut ini ! a. b. c.

x −1 x −1

lim

x →1

x2 − 3 3 x− 3

lim

x→

16 + x − 16 − x 3x

lim

x →0

3. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :

5x2 − 7 x→∞ 2x +1 4x + 9 b. lim x→∞ 5 − 2x2 x2 − 9 c. lim x → ∞ ( x − 3)( x + 1) a.

lim

d.

2 ( 2 x − 2) lim

e.

x →∞

{

4x + 6

lim ( x − 2) − x 2 + 6 x − 10 x →∞

}

4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini : a. lim1 cos 2 x x → 3π

b. lim sin (2 x − 13 π ) x →π

c. d.

lim1 sin 2 2 x

x → 6π

(

lim sin 2 x − cos2 x

x → 14 π

)

5. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :

sin 2 x 3x 1 π b. lim 2 x → 0 sin 2 x tan 2 x c. lim x→0 3x

a.

lim

x→0

47

.d o

m

3 + x2 x→0 x 2 x − 5x c. lim x →5 x − 5 b. lim

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic w

Kegiatan Belajar 3. A. Tujuan Kegiatan Belajar. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran secara geometris 2. merumuskan pengertian turunan fungsi 3. menghitung turunan fungsi aljabar 4. menentukan sifat-sifat turunan 5. menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri; serta 6. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai. B. Uraian Materi Konsep dan Aturan Turunan Fungsi Laju perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) atau derivatif fungsi atau biasa disebut turunan fungsi dapat dituliskan sebagai berikut : f ' ( x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

Jika limit tersebut ada untuk x = a, dikatakan bahwa f’(a) diferensial atau turunan f(x) terhadap x untuk x = a. Notasi untuk menyatakan turunan fungsi dari y = f(x) dapat menggunakan salah satu dy df atau f ’(x) atau dx dx

berikut ini : y’atau

Contoh 1: Tentukan turunan fungsi f(x) = 3x² –2x + 2 dengan rumus definisi turunan Penyelesaian : f ' ( x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

{3(x + h)

}{

}

− 2( x + h ) + 2 − 3 x 2 − 2 x + 2 h→0 h 2 2 3 x + 6 xh + 3h − 2 x − 2h + 2 − 3 x 2 + 2 x − 2 f ' ( x ) = lim h→0 h f ' ( x ) = lim 6 x + 3h − 2 dengan substitusi akan didapat f ' ( x ) = lim

2

h →0

f ' (x ) = 6 x − 2

48

.d o

m

sin 3x x → 0 tan 5 x cos 2 x − 1 e. lim x→0 3x 2

d. lim

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

1. 2. 3. 4. 5. 6.

jika f (x ) = k , maka f ' (x ) = 0 untuk k = konstanta Jika f (x ) = x , maka f ' (x ) = 1 Jika f (x ) = a.x n , maka f ' ( x ) = na.x n−1 , untuk a dan n ∈ real Jika f (x ) = k .u , maka f ' ( x ) = k .u ' di mana u adalah fungsi dalam x Jika f ( x ) = u ± v , maka f ' ( x ) = u ' ± v ' , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x Jika f (x ) = u . v , maka f ' (x ) = u '. v + u . v ' , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x

7. Jika f (x ) =

u '.v − u.v ' u , maka f ' ( x) = , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x v v2

Contoh 2 : Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 4 d. f(x) = 3x² + 3x + 3 b. f(x) = 3x e. f(x) = 3. x c. f(x) = 3x² Penyelesaian : a. f (x ) = 4 , maka berdasar sifat pertama b. c. d. e.

f ' (x ) = 0

f ( x ) = 3x = 3 x , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 1. 3 x 0 = 3 f ( x ) = 3x 2 , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 6 x f (x ) = 3x 2 − 3 x + 3 , maka berdasar sifat 1, 2, 3 dan 5 f ' (x ) = 6 x − 3 1

f ( x ) = 3 x = 3 x 2 , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 3 . 1

f ' (x ) = 6 x − 3 + 0 atau

1 − 12 3 3 x = = 1 2 2x 2 2 x

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri : 1. Jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x 2. jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = -sin x

Contoh 3 : Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 5.cos x

c. f(x) = -3. sin x + 4.cos x

b. f(x) = 4.sin x

d. f(x) = 2 x 5 − sin x

49

Catatan : 1 cos ec x 1 cos x = sec x sin x tan x = cos x

sin x =

cot an x =

cos x sin x

sin² x + cos² x = 1 cos 2x = cos² x = sin² x son 2x = 2.sin x.cos x

m

Rumus Rumus Turunan Fungsi Aljabar w .c .d o c u-tr a c k Dari rumus definisi di atas dapat kita temukan rumus-rumus turunan fungsi aljabar sebagai berikut :

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to lic

k w

b. f(x) = 4.sin x f ’(x) = 4.(cos x) = 4.cos x c. f(x) = -3.sin x + 4.cos x f ’(x) = -3.cos x + 4.(-sin x) = -3.cos x –4 sin x d. f(x) = 2 x 5 − sin x

f ' (x ) = 10 x 4 − cos x

Turunan Fungsi Tersusun (Dalil Rantai) Jika f(x) = u {v(x)} merupakan fungsi majemuk dari u(x), turunan dari f(x) dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut : f ’(x) = u ’{v(x)}. v ’(x) Contoh 4 : Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f (x ) =  x 2 − 3  1 2

2



b. f ( x ) = sin x c. f (x ) = cos(3 x − π ) Penyelesaian : 2

2

a. f (x ) =  x 2 − 3  maka turunan pertama dapat dicari sebagai berikut 1 2



1  1  f ' ( x ) = 2 x 2 − 3 .x = 2 x x − 3  (coba cek kembali jawaban ini secara aljabar) 2  2 

b. f ( x ) = sin 2 x

f ' ( x ) = 2 sin x cos x = sin 2 x

c. f (x ) = cos(3 x − π )

f ' ( x ) = − sin (3x − π ) . 3 = − 3 sin(3x − π )

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan singkat dan benar ! 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) berikut ini dengan menggunakan rumus definisi

lim

x→0

f (x + h) − f (x) , jika : h

a. f(x) = 2x - 7 b. f(x) = x² + 2x –1 c. f(x) = 2x² - 3x + 7 2. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 2x + 7 b. f(x) = x² - 4x + 5 c. f(x) = (2x + 1) (x - 5) d.

f (x ) =

x −1 3 + x2

50

.d o

m

Penyelesaian : a. f(x) = 5.cos x f ’(x) = 5.(-sin x) = -5.sin x

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to

e. f ( x ) = sec x 4. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 3x - 2.sin x b. f(x) = 4.sin x –3.cos x c. f(x) = 3.Sin x.cos x d. f ( x ) = 5. cos x − 2 x 5. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. b. c. d.

f ( x ) = (3x − 1)

6

f ( x ) = (3 − 2 x )

5

f (x ) = sin 2 ( x − π )

f ( x ) = 3cos2 (2 x − π )

2

(

6. Tentukan f ' (2 ), f ' (− 2 ), f ' (k ) dari f ( x ) = 8 − 2 x 2

)

2

Kegiatan Belajar 4 A. Tujuan Kegiatan Belajar. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal tafsiran secara geometris dari turunan fungsi, 2. menentukan persamaan garis singgung fungsi, 3. mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turun menggunakan aturan turunan, 4. menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya, 5. memahami kecepatan sesaat suatu benda bergerak sebagai turunan fungsijarak tempuhnya. B. Uraian Materi 1. Tafsiran geometris dari turunan fungsi Turunan pertama dari sebuah fungsi merupakan gradient garis singgung kurva itu. Dengan kata lain : Gradient garis singgung kurva y = f(x) di titik A dengan absis x = a adalah f ‘(a). Contoh 1; Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 + 6 pada titik yang berabsis 2. Penyelesaian : Untuk y = x 2 + 6 maka y ‘= 2x Di titik yang berabsis 2 artinya x = 2 Untuk x = 2 titik yang dilalui kurva itu adalah (2, 10) dan gradiennya m = 2x = 4 Persamaan garis melalui (2, 10) dengan gradient m = 4 adalah y –10 = 4 ( x –2) y = 4x + 2 atau 4x –y + 2 = 0 2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi dalam suatu interval dapat dikatakan fungsi naik atau turun dengan hasil turunan pertamanya, yaitu sebagai berikut : a. Fungsi f(x) naik jika f ’(x) > 0 b. Fungsi f(x) turun jika f ’(x) < 0

51

.d o

m

w

o

3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 5.sin x b. f(x) = 2x.cos x c. f(x) = 2.cos x.sin x d. f ( x ) = cos ec x

lic

k .c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

turun

(2, - 9)

3. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Jika sebuah fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f ’(a) = 0, maka f(a) merupakan nilai stationer f(x) di x = a. Titik P(a, f(x)) yang terletak pada grafik fungsi y = f(x) disebut sebagai titik stationer atau titik ekstrem atau titik kritis. Nilai x yang menyebabkan f(x) mempunyai nilai stationer dapat ditentukan dari syarat f ’(x) = 0. Contoh 3 : Tentukan titik stationer dan nilai staionernya jika diketahui fungsi f(x) = x² - 4x –5 Penyelesaian : f(x) = x² –4x –5 f ’(x) = 2x –4 syarat stasioner adalah f ’(x) = 0 2x –4 = 0 2x = 4 x=2 untuk x = 2 diperoleh f (2) = 2 2 − 4 . 2 − 5 = −9 jadi titik stasionernya adalah (2, - 9) dengan nilai stasioner = - 9 perhatikan kembali gambar di atas

y

x

2 -1

5

(2, - 9)

Titik stasioner

4. Titik Stasioner dan Jenisnya. Keadaan titik stasioner suatu fungsi f(x) di titik P(a, f(x), mempunyai tiga jenis, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok, dengan ketentuan sebagai berikut : a. Titik balik maksimum terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda positif (fungsi naik) menjadi tanda negarif (fungsi turun) dari kiri ke kanan. b. Titik balik minim terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda negative (fungs turun) menjadi tanda positif (fugsi naik) dari kiri ke kanan. c. Titik belok terjadi jika di sekitar titik x = a tidak ada perubahan tanda.

52

m

C

Contoh 2 : w .c .d o c u-tr a c k Diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5 Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x) turun. y Penyelesaian : f(x) = x² –4x –5 f ’(x) = 2x –4 x 2 2x –4 > 0 -1 5 2x > 4 x>2 fungsi f(x) naik pada interval x > 2 f ’(x) = 2x –4 2x –4 < 0 2x < 4 x