6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT - WordPress.com

6

FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT

5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b, dengan a, b ∈ R, dan a ≠ 0 (6.1) Grafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang memotong sumbu-x di (x, 0) dan sumbu-y di (0, y). Koefisien arah atau gradien m dari fungsi linear merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan perubahan nilai x, yang nilainya dapat berharga positif atau negatif. Jika m positif berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah. Perhatikan Gambar 6.1. berikut:

Gambar 6.1. Ruas garis AB.

Komponen y dari garis AB = y2 – y1. Sedangkan komponen x dari garis AB = x2 – x1. Sehingga Perubahan komponen y m Perubahan komponen x

m

y2  y1 x2  x1

Jika garis melalui titik pangkal (0, 0), maka gradien garisnya adalah y m x

1 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com

(6.2)

(6.3)

Contoh 1 Tentukan gradien garis yang melalui a. Titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) b. Titik pangkal dan titik A(-2, -8). Penyelesaian: a. Melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5 Q(-9, 3) berarti x2 = -9, y2 = 3 y  y1 3  (5) 8 8 m 2    x2  x1 9  2 11 11 Jadi, gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) adalah 8 m . 11 b. Melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) y 8 m  4 x 2 Jadi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) adalah m = 4. 5.1.1. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik Perhatikan Gambar 6.2. di bawah ini: y

B(x, y)

4

2

A(x1, y1)

x -4

-2

2

4

-2

Gambar 6.2.-4 Persamaan garis lurus.

Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B dengan koordinat bebas, yaitu (x, y). Jika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri astas semua titik (x, y) dengan hubungan seperti berikut: y  y1 m x  x1

 y  y1  m ( x  x1 )


Artinya, persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1) (6.4) Contoh 2. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dengan gradien -2. Penyelesaian: Titik A(-3, 4) berarti x1 = -3, y1 = 4. Gradien -2 berarti m = -2. Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 4 = -2 (x – (-3)) ⇔ y – 4 = -2 (x + 3) ⇔ y – 4 = -2x – 6 ⇔ y = -2x – 6 + 4 ⇔ y = -2x – 2 Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dan bergradien -2 adalah y = -2x – 2. 5.1.2. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Perhatikan kembali Gambar 6.1. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan y  y1 (x2, y2) adalah m  2 . Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (6.4) x2  x1 maka diperoleh: y – y1 = m(x – x1) y  y1  y  y1  2 ( x  x1 ) x2  x1

 y  y1  ( y2  y1 )



x  x1 x2  x1

y  y1 x  x1  y2  y1 x2  x1

Artinya, persamaan garis yang melalui dua titik yaitu titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah: y  y1 x  x1  (6.5) y2  y1 x2  x1


Contoh 3 Perhatikan Gambar 6.3. berikut y 8

B(5, 8)

6 4

A(3, 4)

2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x 10

-2 -4

garis l

-6 -8

Gambar 6.3. Persamaan garis l. -10

Tentukanlah persamaan garis l. Penyelesaian: Garis l melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8). A(3, 4), berarti x1 = 3, y1 = 4 B(5, 8), berarti x2 = 5, y2 = 8 Persamaan garis l yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) adalah: y  y1 x  x1  y2  y1 x2  x1 y 4 x3  84 53 y 4 x3   4 2  2(y – 4) = 4(x – 3)  2y – 8 = 4x – 12  2y = 4x – 12 + 8  2y = 4x – 4  y = 2x – 2 Jadi, persamaan garis l yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah y = 2x – 2. ∎ 

5.1.3. Hubungan Dua Buah Garis Lurus Misalkan diketahui garis k : y = m1x + c1 dan garis l : y = m2x + c2, maka berlaku: a. Persamaan garis k sejajar dengan garis l jika m1 = m2. b. Persamaan garis k tegak lurus dengan garis l jika m1 . m2 = -1. c. Persamaan garis k berimpit dengan garis l jika m1 = m2 dan c1 = c2.


d. Persamaan garis k berpotongan dengan garis l jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua persamaan garis diperoleh apabila k = l. Contoh 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3). Penyelesaian: Garis yang melalui P(2, -5) dan Q(-6, 3). P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5. Q(-6, 3) berarti x2 = -6, y2 = 3. Misalkan gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah m1 maka: y  y1 3  (5) 8 m1  2    1 x2  x1 6  2 8 Misalkan pula gradien garis yang melalui titik A(6, 2) adalah m2. Karena persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah sejajar, maka m1 = m2 = -1. Sehingga persamaan garis dengan gradien m2 = -1 dan melalui titik A(6, 2) adalah: y – y1 = m2 (x – x1) ⇔ y – 2 = -1(x – 6) ⇔ y – 2 = -x + 6 ⇔ y = -x + 6 + 2 ⇔ y = -x + 8 Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah y = -x + 8. ∎ Contoh 5. Carilah titik potong y = 10 – 2x dan y = x + 2. Penyelesaian: Titik potong kedua persamaan diperoleh jika kedua persaman tersebut dipersamakan. Sehingga: 10 – 2x = x + 2 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 8/3. Untuk x = 8/3, maka diperoleh y = (8/3) + 2 = 14/3. Sehingga diperoleh titik potong kedua persamaan tersebut adalah (8/3, 14/3). Perhatikan Gambar 6.4. berikut:


y 8

y = 10 - 2x y= x+ 2

6

(8/3, 14/3)

4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x 10

-2 -4 -6 Gambar 6.4. Persamaan garis y = 10 – 2x dan y = x + 2.

∎

-8 -10

5.2. Fungsi Kuadrat Fungsi f: R ⟶ R yang berbentuk f (x) = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Dalam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik potongnya terhadap sumbu-x. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus berikut: b  D , dengan D = b2 – 4ac (6.6) 2a Jika nilai D = 0, maka hanya terdapat satu akar fungsi kuadrat yaitu b x1  x1   . Artinya grafik hanya akan memotong sumbu-x di satu titik. 2a x12 

Jika nilai D > 0, maka terdapat dua akar fungsi kuadrat x1  x1 

b  D dan 2a

b  D . Artinya grafik fungsi memotong sumbu-x di dua titik. 2a

Jika D < 0, maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real tidak ada atau grafik tidak memotong sumbu-x.


Perhatikan Gambar 6.5. berikut:

Gambar 6.5. Kurva fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D.

Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c, selalu memiliki nilai ekstrim maksimum atau nilai ekstrim minimum tergantung pada nilai a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Sedangkan jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum.

y

b2  4ac  ymax jika a  0  4a  ymin jika a  0

(6.7)

Contoh 6 1 Jika y  2 x 2  3x  m mempunyai nilai minimum -13/8, tentukanlah harga m. 2 Penyelesaian:

ymin

4

b 2  4ac  4a

 1  32  4(2)   m  13  2    8 4(2) 13 9  4m   8 8  9 + 4m = 13 m=1

y

3 2

y = 2x^2 + 3x - 1/2

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x 4

-1

(-6/8, -13/8) -2 -3

Gambar 6.6. Gambar fungsi kuadrat y = 2x2 + 3x – ½ dengan nilai minimum -13/8. -4


Soal Latihan 1. Tentukan titik potong dari a. 4x + y = 12 dan 2x + y = 8. b. 7x + 5y = 2 dan 5x + 7y = -2 2. Misalkan titik potong dari soal No.1 adalah (x0, y0), maka tentukanlah a. x0 – y0 b. x0 + y0 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. y = x2 + 2x – 3 b. y = 4x – x2 4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 5 = 0, maka berapakah x12 + x22. 5. Jika grafik y = x2 + px + q mempunyai titik puncak (1, 2) maka tentukan nilai p dan q tersebut.
