8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA - WordPress.com

8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA UN2004 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah

A. 6 3 cm B. 6 2 cm

C. 3 6 cm E. . 3 2 cm D. 3 3 cm

Jawab : H

A. 2 2 cm B. 2 6 cm

C. 4 2 cm E. . 8 2 cm D. 4 6 cm

F’

G

E

F

jawab :

D H

D’

E

G

A

B 6 cm

F

D

F’

C

A

C

F

B

Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’: DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2

( D' H ) 2 + ( DH ) 2

DD’ =

32 + 64 =

= =4

A Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’. AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2

96

AF’ =

6 cm

( AF ) 2 − ( FF ' ) 2

=

72 − 18 =

54

jawabannya adalah D EBTANAS1999 2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah…. H

G

E

F

D

C

A

= 3

6 cm

jawabannya adalah C UAN2003 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah… A. 20 cm B. 18 cm

C. 14 cm E. . D. 12 cm

B 6 cm

www.belajar-matematika.com - 1

8 cm

jawab:

PP’ = P

H

G

= E

( FP) 2 − ( FP' ) 2 20 − 2 =

18 cm

F P’ D

C

A

B 4 cm P

C

P’

PP’ = FP 2 - FP’ 2 = CP 2 - (4 2 - x ) 2 20 – x 2 = 36 – (32 – 8 2 x + x 2 ) 20 – x 2 = 36 – 32 + 8 2 x - x 2 20 – 4 = 8 2 x 16 = 8 2 x 16 2 2 2 x= = = . = 8 2 2 2 2 PP’ 2 = FP 2 - FP’ 2 = 20 – ( 2 ) 2

20

6

Cara 2 : misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x

F

= 20 – 2 = 18

yang ditanyakan adalah PP’ : CF = 4

=

PP’ = 18 cm

2

( EF ) + ( EP) 2

FP =

2

hasil cara 1 = hasil cara 2

4 2 + (1 / 2. 4) 2 =

jawabannya adalah B

20

(CH ) 2 + ( HP) 2

CP =

(4 2 ) 2 + (1 / 2. 4) 2 =

=

32 + 4 = 6

C. 3 2 cm E. . 4 3 cm D. 3 3 cm

Jawab:

CF 2 + FP 2 − CP 2 FP’ = 2CF

=

EBTANAS1992 4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jarak titik C dengan bidang BDG adalah… A. 2 2 cm B. 2 3 cm

cara 1 :

=

H

32 + 20 − 36

G

E

F

8 2 16 8 2

2

=

C’ 2 2

=

2 2

.

2 2

=

D

2

C P

A

B 6 cm


G H

α

C’

P

C A

yang dicari adalah CC’. CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3 CG = 6 GP =

misal panjang rusuk adalah a, AP sin α = AH

2

CP 2 + CG 2

= 18 + 36 =

54 = 3

P

AP = ½ AC = ½ a

6

AH = GP 2 + CG 2 − CP 2 GC’ = 2GP

=

CC’ = =

6 6

a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 1 a 2 1 AP 2 sin α = = = AH 2 a 2

α = 30 0

6

=2

jawabannya adalah A

CG 2 − GC ' 2

36 − 24 = 12 = 2

EBTANAS 2001 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α , maka sin α = ….

3 cm

jawabannya adalah B UAN2005 5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF adalah… A. 30

0

B. 45

0

EA 2 + EH 2

=

54 + 36 − 18

6 6 72 12 12 = = = . 6 6 6 6

2

C. 60

0

D. 75

0

E. 90

0

jawab:

A.

1 2 4

C.

1 3 3

B.

1 2 2

D.

1 3 2

E.

1 6 2

Jawab:

H

G

H

G P

E

F

D

E

C

F

D

C

P A

B

A


B

4 cm P

AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH ( ∠ (BG,FH) = ∠ (AH,FH) )

F

α

dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH sehingga ∆ AFH adalah ∆ sama sisi.

∆ sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 60 0

B sin α =

PF PB

Jawabannya adalah C 2 =2

PF = ½ FH = ½ . 4 PB = =

UN2007 8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah….

2

PF 2 + FB 2 8 + 16 =

(2 2 ) 2 +4 2 =

. A. 4 3 cm B. 2 3 cm

24

C. 4 cm E. . 12 cm D. 6 cm

6

=2 sin α = =

PF PB 2 2 2 6

Jawab: =

2

2

=

6

6

.

6 6

=

1 12 6

H

Q

G

E

1 2 1 = 4.3 = .3 = .3 6 6 3

F R S

jawabannya adalah C

D

C P

EBTANAS 1987 7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus ABCD.EFGH adalah ….. A. 30 0

B. 45 0

C. 60 0

D. 75 0

A

B 6

3

cm

Lihat bidang BDHG :

E. 90 0

Q

jawab:

H H

G

α

E

F R

F

S D

D

B

C P

A

B www.belajar-matematika.com - 4

Sehingga panjang SR = DF – FR – DS

yang ditanya adalah jarak SR.

= 18 – 6 – 6 = 6 cm

SR = DF – FR – DS DF = 6

3.

3 = 18 (diagonal ruang)

UNAS2006 9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan bidang ABC adalah α , maka tan α = ….

FR: ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi QR = 1/3 QB QB =

Jawabannya adalah D

FB 2 + FQ 2

A. 3 10

FB = 6 3 = 6 3 FQ = ½ GH = ½ 6. 3 .

=

2 = 3.

2

D. 10

E. 2

T

6 6 3 cm

C

FQ 2 − QR 2

54 − 18 =

C. 3

2

jawab :

QB = 108 + 54 = 162 = 9 2 QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2 FR =

B. 4

Q A 36 = 6

P 6 cm

B

DS : Karena limas segitiga beraturan maka: panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga sama sisi dengan panjang AB = BC = AC.

∆ DSP sebangun dengan ∆ FQR sehingga DS = FR = 6

Sudut TC dan bidang ABC ( ∠TC , ABC ) = ∠TCQ y TQ Tan α = = x QC

Kita cari dan buktikan : PS = 1/3 PH PH =

DH 2 + DP 2

DH = 6 3 DP = ½ DB = ½ 6.

TQ =

3.

2 = 3.

6

PH = 108 + 54 = 162 = 9 2 PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2 DS =

TC = 6 3 QC: Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi, PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC

DP 2 − PS 2

PC =

=

54 − 18 =

36 = 6 (terbukti)

TC 2 − QC 2

BC 2 − BP 2

BC = 6 BP= ½ AB = ½ . 6 = 3


2

PC = 6 2 − 3 2 = 36 − 9 = 27 = 3 QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3

3 a

TQ = =

TC − QC 2

a

2

α

(6 3 ) 2 − ( 2 3 ) 2

A

C a

= 108 − 12 =

2

96 = 4 6 Aturan cosinus

TQ QC

Tan α =

=

=

TC 2 = TA 2 + AC 2 - 2. TA. AC. cos α

4 6 2 3 2 6 3

=

.

3 3 3

=

2 18 2.3 2 = =2 3 3

2

Jawabannya adalah E UN2004 10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. A. 15 0

B. 30 0

jawab:

2 ) 2 - 2. a. a 2 cos α

a 2 = a 2 + (a

2 6

C. 45 0

D. 60 0

a 2 = a 2 + 2 a 2 - 2. a 2 2 . cos α a 2 = 3 a 2 - 2. a 2 2 . cos α - 2. a 2 = - 2. a 2 2 . cos α 2. a 2 = 2. a 2 2 . cos α 2a 2 1 cos α = = 2 2a 2 2 =

1 2

.

2

=

α = 45 0

E. 75 0

Jawabannya adalah C

T

D

C

α A B Misal panjang rusuk = a , maka TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a sudut antara TA dan bidang ABCD ( ∠ (TA,ABCD) ) adalah ∠ TAC AC = a 2 + a 2 = TA = TC = a

2

2a 2 = a

2

T


1 2

2