A NONPARAMETRIC REGRESSION ESTIMATOR THAT ADAPTS TO ERROR DISTRIBUTION OF UNKOWN FORM* by Oliver Linton London School of Economics and Political Science and Zhijie Xiao University of Illinois at Urbana-Champaign
Contents: Abstract 1. Introduction 2. The Model and Estimator 3. Main Results 4. Simulations Tables 1 – 3 5. Appendix References Figures 1 – 5
Discussion Paper No.EM/01/419 June 2001
*
The Suntory Centre Suntory and Toyota International Centres for Economics and Related Discipines London School of Economics and Political Science Houghton Street London WC2A 2AE Tel.: 020-7955 6698
We would like to thank Roger Koenker, Joel Horowitz, Whitney Newey, Peter Phillips, Steve Portnoy and Tom Rothenberg for helpful comments. Financial support from the National Science Foundation is gratefully acknowledged.
Abstract
We propose a new estimator for nonparametric regression based on local likelihood estimation using an estimated error score function obtained from the residuals of a preliminary nonparametric regression. We show that our estimator is asymptotically equivalent to the infeasible local maximum likelihood estimator [Staniswalis (1989)], and hence improves on standard kernel estimators when the error distribution is not normal. We investigate the finite sample performance of our procedure on simulated data. Keywords: Adaptive estimation; asymptotic expansions; efficiency; kernel; local likelihood estimation; nonparametric regression. JEL Nos.: C13, C14, C24
© by the authors. All rights reserved. Short sections of text, not to exceed two paragraphs, may be quoted without explicit permission provided that full credit, including © notice, is given to the source.
Contact address: Professor Oliver Linton, Department of Economics, London School of Economics and Political Science, Houghton Street, London WC2A 2AE, UK. Email:
[email protected]
4
Lqwurgxfwlrq
Lw kdv ehhq nqrzq iru vrph wlph wkdw lq fhuwdlq sdudphwulf uhjuhvvlrq prghov lw lv srvvleoh wr cdgdsw* wr dq xqnqrzq huuru glvwulexwlrq e| pd{lpl}lqj dq hvwlpdwhg olnholkrrg ixqfwlrq edvhg rq dq hvwlpdwh ri wkh huuru glvwulexwlrq1 Wkh frpprq uhvxow lv wkdw |rx gr dv zhoo lq whupv ri dv|pswrwlf yduldqfh dv li |rx nqhz wkh wuxh huuru glvwulexwlrq/ khqfh wkh whup dgdswlyh1 Lq hvwlpdwlrq sureohpv zkhuh d Jdxvvldq dvvxpswlrq rq wkh xqghuo|lqj glvwulexwlrq ri wkh gdwd lv lqdssursuldwh/ dgdswlyh hvwlpdwlrq surylghv dq dowhuqdwlyh zd| wr wkh frqyhqwlrqdo Jdxvvldq pd{lpxp olnholkrrg hvwlpdwru e| uhsodflqj wkh Jdxvvldq ghqvlw| ixqfwlrq zlwk d qrqsdudphwulf hvwlpdwh ri wkh vfruh ixqfwlrq ri wkh orj0olnholkrrg1 Lw kdv ehhq suryhq wkdw dq h!flhqf| jdlq ryhu wkh ohdvw vtxduh phwkrgv fdq eh dfklhyhg e| dgdswlyh hvwlpdwruv lq pdq| prghov1 Dgdswlyh hvwlpdwlrq zdv ?uvw vwxglhg e| Vwhlq +4huhqwldeoh rq dfc •o1 Wklv surshuw| doorzv xv wr xvh vwdqgdug Wd|oru vhulhv dujxphqwv/ zkhuhdv lqglfdwru ixqfwlrq wulpplqj zrxog suhfoxgh wklv1 Zh zloo vxssrvh wkdw @ è ôé Zh qrz gh?qh wkh wulpphg orfdo vfruh ixqfwlrq dv ê hâ ë ? [ s • % f ý ð 7h? Ew( shä ' ý _ g Etð ý wäCK EshEtð ý wää ?û ð'• û sh
+43,
dqg wkh wulpphg lqirupdwlrq e| &2 ë ê % hâ ? [ • % f s ý ð g Etð ý wä CK EshEtð ý wääé Lh? Ew( shä ' ?û_ ð'• û sh
+44,
h htxdo wr Zh pd| frqvlghu d sur?oh vprrwkhg pd{lpxp olnholkrrg hvwlpdwru e wE%ä wkdw vhwv 7h? Ew( sä }hur1 Vlplodu wr wkh fdvh zlwk nqrzq ghqvlw| s / d rqh0vwhs Qhzwrq0Udskvrq hvwlpdwru ri w fdq dovr eh rewdlqhg iurp d suholplqdu| frqvlvwhqw hvwlpdwru h wE%äc zklfk zh wdnh wr eh wkh Qdgdud|d0Zdwvrq hvwlpdwru/ l1h1/
S?
æ'• h wE%ä ' S ?
g
í
æ'• g
fæ 3% û
í
ì
fæ 3% û
tæ ì é
+45,
Zh fdofxodwh wkh iroorzlqj rqh0vwhs Qhzwrq0Udskvrq hvwlpdwru e h 3• 7h? Eh h wE%ä ' h wE%ä n Lh? Eh wE%ä( sä wE%ä( säé
+46,
Lq wkh qh{w vhfwlrq zh zloo jlyh wkh dv|pswrwlf glvwulexwlrq ri wkh rqh0vwhs hvwlpdwru +46,1 Wkh suholplqdu| hvwlpdwru h wE%ä lq E•2äc wkh ghqvlw| hvwlpdwruv sh dqg shâ lq +huhqw edqgzlgwk sdudphwhuv dqg nhuqhov lq gl>huhqw fdvhv1 Krzhyhu/ wkh dgglwlrqdo vprrwklqj sdudphwhuv eulqj frpsolfdwlrq wr wkh dqdo|vlv dqg frpsdulvrqv1 Lq wklv sdshu/ zh frqvlghu wkh vlpsoh fdvh zkhuh wkh vdph edqgzlgwk h shâ / 7h? / dqg Lh? 1 Lq wkh qh{w vxevhfwlrq zh ghvfuleh rxu orfdo û dqg nhuqho & duh xvhg lq h wE%ä/ sc sro|qrpldo hvwlpdwru xvhg lq wkh frqvwuxfwlrq ri wkh uhvlgxdov h 0æ 1 Lq wkh hyhqw wkdw wkh huuru ghqvlw| lv nqrzq wr eh v|pphwulf/ vrph lpsuryhphqw fdq eh h{shfwhg e| v|pphwul}lqj wkh huuru ghqvlw| dqg ghulydwlyh/ wkxv shEeä :$ EshEeän shEýeää*2 dqg shâ Eeä :$ Eshâ Eeä ý shâ Eýeää*2c dowkrxjk wklv rqo| d>hfwv wkh kljkhu rughu whupv lq rxu fdvh1 Elfnho +4huhqw iurp Elfnho*v1 Rqh fdq dovr h{shfw ehwwhu shuirupdqfh lq sudfwlfh e| lwhudwlqj +46, d ihz wlphv ru xqwlo frqyhu0 jhqfh1
516
Hvwlpdwlrq ri wkh Uhvlgxdov
Dq lpsruwdqw lqsxw wr wkh ghqvlw| hvwlpdwh lv wkh hvwlpdwhg uhvlgxdo h 0æ ' tæ ý 6Ef h æ äc zklfk uhtxluhv dq hvwlpdwh ri 6Efæ äé Iru wkh fkrlfh ri 6Ef h æ ä/ qdwxudo fdqglgdwhv lqfoxgh wkh frqyhqwlrqdo Qdgdud|d0Zdwvrq hvwlpdwru dqg wkh zlgho| xvhg orfdo sro|qrpldo hvwlpdwru ru vlhyh hvwlpdwruv1 Zkhq wkh ruglqdu| nhuqho hvwlpdwru lv xvhg/ dgglwlrqdo wulpplqj lv xvxdoo| qhhghg wr uhpryh wkh erxqgdu| eldv ehfdxvh li zh xvh doo revhuydwlrqv lq hvwlpdwlqj wkh huuru ghqvlw|/ zh duh sxvkhg lqwr wkh erxqgdu|1 Wr dyrlg lqwurgxflqj dqrwkhu wulpplqj rq 6Ef h æ ä/ zh xvh orfdo sro|qrpldov lqvwhdg ri ruglqdu| nhuqho hvwlpdwruv lq wkh frqvwuxfwlrq ri uhvlgxdov h 0æ 1 Vhh Idq +4huhqwldeoh rq lwv vxssruw/ zkloh & â Efä ' f1 D81 û $ fc ?û2^n_ $ f/ dqg ?û_nb $ 4c K ' ûô / dqg f ÷ ô ÷ •*21 D91 fð kdv Ohehvjxh ghqvlw| sf E%ä zklfk lv erxqghg dzd| iurp }hur rq lwv vxssruw [ / d frpsdfw vxevhw ri U_ 1 E(! sf äE%ä dqg E(! 6äE%ä duh erxqghg dqg xqlirupo| frqwlqxrxv rq U_ / dqg wkhuh h{lvwv ?qlwh ä2 dqg äô vxfk wkdw mE(! sf äEüä ý E(! sf äEñäm é ä2 mmü ý ñmmc mE(! 6äEüä ý E(! 6äEñäm é äô mmü ý ñmmc zlwk m!m ' oé
hfw zloo eh dv|pswrwlfdoo| ljqrudeoh1 Ixuwkhu vx!flhqw frqgl0 wlrqv pd| eh irxqg iru wklv surshuw|1 Iru h{dpsoh/ zh pd| uhsodfh dvvxpswlrqv D5 dqg D6 e| wkh iroorzlqj +vx!flhqw frqglwlrqv, dvvxpswlrqv +D5â dqg D6â ehorz,/ zklfk dvvxph wkdw 0 kdv erxqghg vxssruw1 D5â 1 0ð kdv v|pphwulf Ohehvjxh ghqvlw| sE0ä zklfk kdv vxssruw vxssEsä ' d@c @oc zkhuh @ dqg @ duh xqnqrzq erxqgdu| sdudphwhuv wkdw vdwlvi| ý4 ÷ @ ÷ @ ÷ 4c dqg s E0ä : f rq E@c @äé Lq dgglwlrq/ wkh ghqvlw| kdv xqlirupo| erxqghg frqwlqxrxv sduwldo ghulydwlyhv xs wr wkh rughu o/ dqg s Eoä E0ä lv Olsvfklw} frqwlqxrxv rq E@c @äc l1h1/ wkhuh h{lvwv d frqvwdqw S vxfk wkdw iru doo 0c 0W 5 E@c @äc zh kdyh
ñ Eoä ñ ñs E0ä ý s Eoä E0W äñ é Sm0 ý 0W mé
Lq D5â zh dvvxph wkdw s E0ä kdv erxqghg vxssruw1 Zkhq s lv vwulfwo| srvlwlyh rq d@c @oc wkh vlwxdwlrq lv qrq0uhjxodué Lq vrph fdvhv/ wklv fdq ohdg wr lqfrqvlvwhqf| ri vroxwlrqv ri wkh olnholkrrg vfruh htxdwlrqv/ exw shukdsv wkh srwhqwldo iru lpsuryhg udwhv ri frqyhujhqfh iru rwkhu hvwlpdwruv1 Wkhuhiruh/ zh vkdoo pdnh dq dgglwlrqdo dvvxpswlrq D6â 1 sE0ä dqg lwv ?uvw õ ý • ghulydwlyhv ydqlvk dw @ dqg @c zkloh s Eõä E@ä 9' fc dqg s Eõä E@ä 9' f iru vrph lqwhjhu õ zlwk 2 é õ é oé Dvvxpswlrq D6â jxdudqwhhv wkdw wkh ghqvlw| s ydqlvkhv dw wkh erxqgdu| dw d vx!flhqwo| idvw udwh vr wkdw wkh surshuwlhv ri uhjxodu hvwlpdwlrq krogv1 Lq wklv fdvh/ rqh fdq qrw hvwlpdwh d sdudphwhu k ri wkh ghqvlw| s dw d udwh ehwwhu wkdq urrw0q1 Vhh Dndklud dqg Wdnhxfkl +4hfw ri hvwlpdwlqj s vkrxog qrw h>hfw wkh glvwulexwlrq ri wkh uhvxowlqj hvwlpdwru ri 6c dw ohdvw zkhq 0 lv ri orzhu glphqvlrq wkdq f l1h1/ _ : •1 Krzhyhu/ wklv lv d elw plvohdglqj ehfdxvh wr ?uvw hvwlpdwh s zh qhhg wr hvwlpdwh 6> rxu hvwlpdwru ri s kdv frqyhujhqfh udwh ghwhuplqhg e| wkh suholplqdu| hvwlpdwlrq ri 6é Wkhuhiruh/ rxu uhvxow lv txlwh vxusulvlqj/ hvshfldoo| zkhq frpsduhg zlwk rwkhu uhvxowv iru qrqsdudphwulfdoo| jhqhudwhg gdwd ^vhh 45
iru h{dpsoh Dkq +4hfwv duh odujho| ghwhuplqhg e| wkh vprrwkqhvv surshuw| ri 6 dqg/ ri frxuvh/ wkh nhuqho vprrwklqj1 Wkh wklug w|sh ri huuruv duh gxh wr frqyhqwlrqdo qrqsdudphwulf nhuqho vprrwklqj lq ghqvlw| hvwlpdwlrq1 Wkh rughuv ri pdjqlwxgh ri wkh eldv h>hfwv dqg yduldqfh h>hfwv lq qrqsdudphwulf nhuqho hvwlpdwlrq duh ghwhuplqhg e| wkh surshuwlhv ri wkh ghqvlw| ixqfwlrq dqg wkh nhuqho ixqfwlrq dqg kdyh ehhq h{whqvlyho| vwxglhg lq wkh olwhudwxuh1 Wkh irxuwk w|sh lv wkh wulpplqj h>hfw zkrvh rughu ri pdjqlwxgh lv jhqhudoo| ghwhuplqhg e| wkh wdlo ehkdylru ri wkh ghqvlw| ixqfwlrq1 Lq wkh surri zh qhhg d elw pruh wkdq wkh phdq vtxduhg frqvlvwhqf| ri wkh vfruh ixqfwlrq hvwlpdwru/ dv uhtxluhg lq Elfnho +4hfw ri rughu û^ é Xqghu Dvvxpswlrq D8/ rxu suhvhqwdwlrq ri wkh dv|pswrwlfv kdv holplqdwhg wkh eldv whup1 Uhpdun 81 Wkh deryh uhvxow lv dovr xvhixo iru ghulylqj qrqsdudphwulf frq?ghqfh lqwhuydov iru wkh uhjuhvvlrq ixqfwlrq1 Xqghu wkh edqgzlgwk dvvxpswlrqv/ wkh eldv whup fdq eh ljqruhg dqg d frq?ghqfh lqwhuydo dw vljql?fdqfh ohyho k fdq eh frqvwuxfwhg dv iroorzv é è r e re e e wý s 5k*2 c w n s 5k*2 c ?û_ ?û_ 46
+4hfwv zlwk uhvshfw wr wkh edqgzlgwk1 Vhh Idq/ Iduphq/ dqg Jlmehov +5333, iru wkh ghyhorsphqw ri d edqgzlgwk vhohfwlrq phwkrg lq d orfdo olnholkrrg frqwh{w1 Uhpdun :1 Rxu dqdo|vlv lq wkh fxuuhqw sdshu lv frqgxfwhg edvhg rq wkh Qdgdud|d0Zdwvrq nhuqho hvwlpdwru1 Lq sulqflsoh/ wkh vdph lghd pd| eh dssolhg wr rwkhu w|shv ri hvwlpdwruv/ olnh orfdo sro|qrpldov1 Wklv ohdgv wr d gl>huhqfh lq wkh eldv h{suhvvlrq ^zklfk kdv ehhq rplwwhg e| xqghuvprrwklqj dq|zd|` exw wkh vdph yduldqfh iru frpsdudeoh lpsohphqwdwlrqv1
7
Vlpxodwlrqv
Zh frqgxfwhg d vpdoo Prqwh Fduor vlpxodwlrq wr hydoxdwh wkh ?qlwh vdpsoh shuirupdqfh ri wkh sursrvhg hvwlpdwlrq surfhgxuh1 Wkh gdwd zhuh jhqhudwhg iurp +4, zlwk fð ehlqj l1l1g1 vwdqgdug qrupdo wuxqfdwhg dw ÷D/ dqg 6E%ä ' %2 1 Zh frpsduh wkh qrqsdudphwulf dgdswlyh hvwlpdwru zlwk wkh Qdgdud|d0Zdwvrq nhuqho hvwlpdwru iru gl>huhqw huuru glvwulexwlrqv1 Vhyhudo gl>huhqw vshfl?fdwlrqv ri 0ð zhuh frqvlghuhg1 Lq sduwlfxodu/ zh frqvlghuhg fdvhv zkhuh 0ð duh l1l1g1 |0glvwulexwlrqv zlwk gl>huhqw ghjuhhv ri iuhhgrp/ dqg wkh fdvh zkhuh 0ð duh l1l1g1 vwdqgdug qrupdo yduldwhv1 Gl>huhqw vdpsoh vl}hv 47
zhuh wulhg/ ? ' •ffc 2ffc ôffc •fff1 Wkh qxpehu ri uhsolfdwlrqv lv 2ff lq hdfk fdvh1 Wkh iroorzlqj nhuqho ixqfwlrq zdv xvhg lq wkh qrqsdudphwulf hvwlpdwlrq gEüä ' •DE.üe ý •fü2 n ôä2 •Emüm é •ä*ô2c zklfk kdv ^ ' eé Iru wkh hvwlpdwlrq ri wkh uhvlgxdov/ zh xvh wklug rughu ER ' ôä orfdo sro|qrpldo zlwk nhuqho NEüä ' fé.DE• ý ü2 ä•Emüm é •ä1 Wkh vdpsolqj shuirupdqfh ri erwk wkh Qdgdud|d0Zdwvrq nhuqho hvwlpdwru dqg wkh qrqsdudphwulf dgdswlyh hvwlpdwruv zhuh h{dplqhg iru hdfk fdvh1 Lq sduwlfxodu/ zh frpsduhg wkh eldvhv dqg phdq vtxduhg huuruv ri wkhvh hvwlpdwruv jlyhq gl>huhqw fkrlfhv ri lqqrydwlrq surfhvvhv dqg edqgzlgwk ydoxhv1 Zh ?uvw hvwlpdwhg 6E%ä dw d ?{hg srlqw % ' f iru ydulrxv gdwd jhqhudwlrq dqg edqgzlgwk fkrlfhv1 Zh frpsduhg wkh Eldv dqg Phdq Vtxduhg Huuruv ri wkhvh hvwlpdwhv lq Wdeohv 4 wr 61 Uhvxowv edvhg rq wkuhh vdpsoh vl}hv/ ? ' •ffc 2ffc •fff/ duh uhsruwhg1 Lq hdfk fdvh/ ?yh gl>huhqw edqgzlgwk ydoxhv zhuh frqvlghuhg1 Frqvlghulqj wkh uhodwlrqvkls ehwzhhq wkh edqgzlgwk dqg vdpsoh vl}hv/ voljkwo| gl>huhqw edqgzlgwk fkrlfhv zhuh frqvlghuhg iru gl>huhqw vdpsoh vl}hv1 Lq sduwlfxodu/ vpdoohu edqgzlgwk zhuh xvhg lq odujhu vdpsoh vl}hv1 Wdeoh 4 uhsruwv wkh uhvxowv zkhq 0ð duh l1l1g1 |0glvwulexwlrqv zlwk 5 ghjuhhv ri iuhhgrp1 Qrwlfh wkdw lq wklv fdvh wkh uhjxodulw| frqglwlrqv gr qrw krog ehfdxvh 0ð kdv lq?qlwh yduldqfh1 Krzhyhu/ wkh huuru glvwulexwlrq lq wklv fdvh lv glvwdqw iurp qrupdo dqg/ dv vkrzq lq Wdeoh 4/ wkh dgdswlyh hvwlpdwru vwloo eulqjv h!flhqf| jdlq1 Wdeoh 5 uhsruwv wkh hvwlpdwlrq uhvxowv zkhq 0ð duh l1l1g1 |0glvwulexwlrqv zlwk 6 ghjuhhv ri iuhhgrp1 Iurp erwk Wdeoh 4 dqg Wdeoh 5 zh fdq vhh wkdw wkh h!flhqf| jdlq iurp dgdswlyh hvwlpdwlrq lv pruh dssduhqw zkhq vdpsoh vl}h lv odujh/ fruurerudwlqj wkh dv|pswrwlf wkhru|1 Wdeoh 6 jlyhv wkh uhvxow zkhq wkh huuru whupv duh l1l1g1 vwdqgdugl}hg qrupdo yduldwhv1 Dv dqwlflsdwhg/ wkh frqyhqwlrqdo nhuqho hvwlpdwru kdv voljkwo| ehwwhu shuirupdqfh vlqfh/ lq wklv fdvh/ lw fruuhvsrqgv wr wkh olnholkrrg hvwlpdwru edvhg rq nqrzq ghqvlw|1
48
WDEOH 4= Huuru Whup @ |E2ä QZ Hvwlpdwru q@433
q@533
q@4333
Dgdswlyh Hvwlpdwru
Edqgzlgwk
Eldv
PVH
Eldv
PVH
313;
031378
315:85
031383
315959
313
hfwv fdq eh zulwwhq dv 6E%ä h ý 6E%ä ' eâ• •?3• E%äL? E%ä n eâ• •?3• E%äî? E%ä1 Wkh vwrfkdvwlf whup L?E%ä dqg wkh eldv whup î? E%ä duh ù û • yhfwruv 5
L E%ä 9 ?cf 9 L?c• E%ä 9 L? E%ä ' 9 11 9 1 7 L?cR E%ä
6
5
î E%ä : 9 ?cf : 9 î?c• E%ä : 9 : c î? E%ä ' 9 11 : 9 1 8 7 î?c_ E%ä
6 : : : :c : 8
zkhuh L?c, E%ä dqg î?c, E%ä duh gh?qhg vlploduo| dv [?c, E%ä vr wkdw L?cƒæƒ E%ä dqg î?cƒæƒ E%ä duh d ùƒæƒ glphqvlrqdo vxeyhfwruv zkrvh o0wk hohphqwv duh jlyhq e| êè Eoä ë ê ? ë û ú • [ % ý fð ƒæƒ % ý fð L?cƒæƒ o ' 0ð é N ?û_ ð'• û û dqg
ê ë ê ? ë û ú • [ % ý fð èƒæƒ Eoä % ý fð î?cƒæƒ o ' {ð E%äc N ?û_ ð'• û û 53
zkhuh {ð E%ä ' 6Efð ä ý
• !-
S
f$ƒ!ƒ$R E(
!
6äE%äEfð ý %ä! é
Xqghu dvvxpswlrqv D40D9 dqg E4/ zh kdyh wkh iroorzlqj uhvxowv= týT m•? E%ä ý s E%ä• m ' ïR Eû n ?3•*2 û3_*2 *L} ?ä
%Mc
týT m6E%ä h ý 6E%äm ' ïR EûRn• n ?3•*2 û3_*2 *L} ?äc
%Mc
+54,
zklfk iroorz iurp wkh uhvxowv ri Pdvu| +4huhqw lqglfhv olnh .èô Eæc rc ,äèô Eæc rc qä n .èô Eæc rc ,äèô Ekc rc ,äc dqg UUU lqfoxghv whupv zlwk ?yh gl>huhqw lqglfhv olnh .èô Eæc rc ,äèô Ekc rc qäé E| d yhul?fdwlrq ri prphqwv/ zh fdq vhh wkdw 5 6 9[ [ [ : : ' ïE?ô äU n ïE?e äUU n ïE?D äUUU ' ïE?3• û2 äé ñ@h 9 è Eæc rc ,ä ô 7 8 æõ'ð rõ'æ ,õ'æ rõ'ð
Wkxv/ øUUø2 ' ïR E?3•*2 ûäé Iru ñ ñ ñ • [ ë0 ý 0 ê õ ñ ô Rn2 ñ ñ ð æ 3• â â 3• e• d• sf Efæ äo d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo & •? Efæ äL? Efæ äñ ñ 2 ñ ?û ñ û æõ'ð ñ ñ é 4@ ñeâ• d•sf Efæ äo3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äoRn2 d• sf Efæ äo3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äL? Efæ äñ •$æ$? ñ ë êñ • [ ññ â 0ð ý 0æ ññ & û 2 ñ ?û æõ'ð ñ û ' ïR EûRn2 û û û
• û ?ä ' ïR EûRn• äé 2 ?û
Iru wkh eldv whup øUUî / ë ê • [ â 0ð ý 0æ øUUî ' & eâ• d• sf Efæ äo3• î? Efæ ä ?û2 æõ'ð û ë ê • [ â 0ð ý 0æ eâ• d• sf Efæ äo3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äî? Efæ äé n 2 & ?û æõ'ð û Vlploduo|/ e| d yhul?fdwlrq rq wkh prphqwv ri X0vwdwlvwlfv/ zh kdyh ë ê • [ â 0ð ý 0æ & eâ• d• sf Efæ äo3• î? Efæ ä 2 ?û æõ'ð û ë ê ë êë êRnV [[[ • 0ð ý 0æ fæ ý f, fæ ý f, •cV 3• â / sf Efæ ä & ûRn• 6Rn• Efæ ä * N 2 2n_ ?û û û û æõ'ð ,õ'æ V ' ïR EûRn• ä dqg
ñ ñ ñ • [ ë0 ý 0 ê ñ ñ ñ ð æ &â eâ• d• sf Efæ äo3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äî? Efæ äñ ñ 2 ñ ?û ñ û æõ'ð ñ ë êñ ñ â ñ • [ ñ â 0ð ý 0æ ñ 3• 3• ñ& ñ é 4@ ñe• d• sf Efæ äo d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •? Efæ äî? Efæ äñ 2 ñ •$æ$? ?û æõ'ð ñ û ' ïR EûRn2 äé 5;
Lq frqfoxvlrq/ øUU ' JR E?3•*2 û3_*2 n û^ äé Qrz wr wkh surri ri wkh xqlirup frqyhujhqfh uhvxow +56,1 Dv deryh/ zh ghfrpsrvh shEY0ð ä ý s E0ð ä dv lq +57,1 Qrwlfh wkdw wkh ?uvw whup/ s E0ð ä ý s E0ð äc zklfk lv mxvw wkh frqyhqwlrqdo ghqvlw| hvwlpdwru huuru/ vdwlv?hv
ñ ñ 4@ ñs E70ð ä ý s E70ð äñ ' ïR Eû^ n ?3•*2 û3•*2 *L}E?ääé
•$ð$?
Wkh vhfrqg whup lq +57, fdq eh ixuwkhu ghfrpsrvhg dv ê ê ë ë • [ â 0ð ý 0æ • [ â 0ð ý 0æ h s EY0ð ä ý s E0ð ä ' & d6E%ä h & d6Ef h æ ä ý 6Efæ +68, äo ý 6E%äo ý 2 ?û2 æõ'ð û ?û æõ'ð û ë ê • [ ââ 0Wð ý 0Wæ n ô & d6Ef h æ ä ý 6Efæ ä ý E6E%ä h ý 6E%ääo2 c ?û æõ'ð û zkhuh 0Wð dqg 0Wæ duh lqwhuphgldwh ydoxhv1 Qrwlfh wkdw â
• ?û2
S
â æõ'ð &
í
0ð 30æ û
ì
lv wkh frqyhqwlrqdo nhuqho
hvwlpdwru ri s â E0ð äc zh kdyh ghqrwhg dv s E0ð äc dqg zulwh wkh ?uvw whup lq +68, dv k â l â h h d6E%ä h ý 6E%äo s â E0ð ä n d6E%ä ý 6E%äo s E0ð ä ý s â E0ð ä é ý 6E%äo s E0ð ä ' d6E%ä E| Dvvxpswlrqv D5 wkdw s â Eüä lv xqlirupo| erxqghg dqg e| vwdqgdug uhvxowv wkdw týT m6E%ä h ý 6E%äm ' ïR Eû^ n ?3•*2 û3_*2 *L}E?ääc %Mc
ñ ñ ñ ñ â â 4@ ñs E0ð ä ý s E0ð äñ ' ïR Eû^ n ?3•*2 û3ô*2 *L}E?ää ' JR E•äc
•$ð$?
zh kdyh
ñ ñ ñ • [ ë0 ý 0 ê ñ ñ ñ ð æ 4@ ñ 2 &â d6E%ä h ý 6E%äoñ ' ïR Eû^ n ?3•*2 û3_*2 *L}E?ääé •$ð$? ñ ?û ñ û æõ'ð
Iru wkh vhfrqg whup lq +68,/ ñ ñ ñ • [ ë0 ý 0 ê ñ ñ ñ ð æ &â d6Ef h æ ä ý 6Efæ äoñ ñ 2 ñ ?û ñ û æõ'ð ñ ë êñ • [ ññ â 0ð ý 0æ ññ h æ ä ý 6Efæ äm 2 & é 4@ m6Ef ñé •$æ$? ?û æõ'ð ñ û E| l1l1g1 surshuw| dqg frqglwlrqdo rq 0ð dqg fð / ñ ë êñ • [ ññ â 0ð ý 0æ ññ • & . * ð ñ ?û2 æõ'ð ñ û û2 5
hfw zloo ghshqg rq wkh wdlo ehkdylru ri sé Iru h{dpsoh/ xqghu Dvvxpswlrqv D5â dqg D6â c zkhq 0 dssurdfkhv wkh erxqgdu| @/ • Eõä s E@äE0 ý @äõ c õ• s â E0ä * s Eõä E@äE0 ý @äõ3• c Eõ ý •äs E0ä *
iru @ é 0 é @ n B/ dqg B lv vpdoo1 Vlplodu uhvxowv krog lq vpdoo qhljkerukrrgv durxqg wkh xsshu erxqg @1 Lw lv hdv| wr vkrz wkdw ] ] 2 úE0ð ä s E0ä_0 n f÷s E0ä÷K
K÷s E0ä÷2K
2
ë]
úE0ð ä
"
s E0ä
ê }K E5ä_5 s E0ä_0 ' ïEKEõ3•ä*õ ä ' JE•äé
Lq dgglwlrq/ e| d vwudljkwiruzdug fdofxodwlrq/ zh kdyh % ë ê& % ý fð 2 . g ' û_ sf E%ä>2 Egäc û
+73,
zkhuh >2 Egä lv d frqvwdqw ghshqglqj rqo| rq wkh nhuqho g1 E| l1l1g1 dvvxpswlrq/ zh kdyh ë ê ? • [ % ý fð g úE0ð ä2 d• ý CK Es E0ð ääo ' JR E•äé ?û_ ð'• û Rwkhu whupv fdq eh dqdo|}hg vlploduo|1 Iru æ ' ôc ec é é é c •f/ whupv Mæ duh ixqfwlrqv ri shâ EY0ð ä ý s â E70ð ä dqg2ru shEY0ð ä ý s E70ð ä1 Wr idflolwdwh â â dv|pswrwlf dqdo|vlv/ zh ghfrpsrvh shâ EY0ð ä ý s â E70ð ä lqwr wkh vxp ri shâ EY0ð ä ý s E70ð ä dqg s E70ð ä ý s â E70ð ä
h 0ð ä ý s E70ð ä dqg sE70ð ä ý s E70ð ä,1 Wkh ?uvw whup/ shâ EY0ð ä ý s â E70ð äc +dqg shEY0ð ä ý s E70ð ä lqwr wkh vxp ri sEY 68
frqwdlqv huuruv frplqj iurp suholplqdu| hvwlpdwlrq 6Ef h ð äý 6Efð ä dqg 6E%äý6E%ä/ h dqg wkh vhfrqg â
whup/ s E70ð ä ý s â E70ð ä/ frqwdlqv wkh huuruv frplqj iurp qrqsdudphwulf nhuqho vprrwklqj1 Ohppd K61 Xqghu rxu frqglwlrqv Mô ' JR E•äé Surri1 Zh ghfrpsrvh shâ EY0ð ä ý s â E70ð ä dqg rewdlq=
Mô
k l ê s â E70 ä shâ EY0 ä ý s â E70 ä ð ð ð 2 % ý fð ' g Cð ?û_ ð'• û s E70ð ä2 k l ë ê s â E70 ä s â E70 ä ý s â E70 ä ? [ ð ð ð 2 % ý fð n _ g Cð ?û ð'• û sE70ð ä2 ë
? [
' Mô• n Mô2 Mô•
k l ë ê s â E70 ä shâ EY0 ä ý s â E70 ä ? [ ð ð ð 2 % ý fð ' g Cð _ 2 ?û ð'• û s E70ð ä ý 0ð 30æ ül S k â í Y0ð 3h0æ ì • ë ê â 7 ? & & â ý û û 2 [ % ý fð s E70ð ä ?û2 æõ'ð ' g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 0æ ý 0æ ä 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û EY0ð ý 70ð n h g Cð * ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û ' d6E%ä h g Cð ý 6E%äo _ ?û ð'• û s E70ð ä sE70ð ä ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • h æ ä ý 6Efæ äo 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û d6Ef n _ g Cð ?û ð'• û s E70ð ä sE70ð ä ' Mô•ø n Mô•î é
3_*2
Vlqfh m6E%ä h ý 6E%äm ' ïR Eû^? n ?3•*2 û? äc wr vkrz wkdw Mô•ø ' JR E•äc zh rqo| qhhg wr vkrz wkdw ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä '
? [ [ ð'• æõ'ð
'
? [ [
2 g 2 ? û_nô
ë
% ý fð û
ê
s â E70ð ä Cð ââ & s E70ð ä s E70ð ä
ë
70ð ý 0æ û
ý ü )ø? E5ð c 5æ ä ' JR •*Eû^? n ?3•*2 û3_*2 ä c ?
ð'• æõ'ð
69
ê
zkhuh
2 )ø? E5ð c 5æ ä ' 2 _nô g ?û
Qrwlfh wkdw frqglwlrqdo rq 5ð / .ð &
ë ââ
70ð ý 0æ û
ë
% ý fð û
ê ô
]
'û
ê
s â E70ð ä Cð ââ & s E70ð ä s E70ð ä
ë
70ð ý 0æ û
ê é
&Eüäs ââ E70ð ý üûä_üc
dqg lw fdq eh yhul?hg wkdw=
ê ê ë ë 2 % ý fð s â E70ð ä • ââ 70ð ý 0æ .)ø? E5ð c 5æ ä é . 2 _nô g & ?û û sE70ð ä K û ë ê 2 ? ' ï û û_ û ûô û K3• 2 _nô ?û 2
.)ø? E5ð c 5æ ä
ë ê2 é â è2 é è2 ë ê2 e % ý fð s E70ð ä Cð 70ð ý 0æ ââ ' .g & ?e û2_nS û sE70ð ä s E70ð ä û • e ' ïE e 2_nS û û_ û û û K32 ä ' ïE e _nD 2 ä ?û ?û K
ë ê2 é â è2 ë ê ë ê 2 % ý fð s E70ð ä Cð 70ð ý 0æ 70ð ý 0, ââ ââ .g & & .)ø? E5ð c 5æ ä)ø? E5ð c 5, ä ' ?e û2_nS û sE70ð ä sE70ð ä û û • • ' ïE e 2_nS û û_ û ûS û K32 ä ' ïE e _ 2 äé ?û ?û K ë ê S? S • ^ Wkxv wkh ?uvw wzr prphqwv ri ð'• æõ'ð )ø? E5ð c 5æ ä duh J •*Eû? n s _ ä é ?û?
Iru Mô•î c vlqfh 6Ef h æ äý6Efæ ä ' eâ• •?3• Efæ äL? Efæ äneâ• •?3• Efæ äî? Efæ äc zkhuh e• ' E•c fc é é é c fc fäâ / zh h{sdqg •?3• Efæ ä durxqg lwv olplw E• s Efæ ää3• dqg jhw •?3• Efæ ä ' E• sEfæ ää3• ý E• sEfæ ää3• û d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo•?3• Efæ äé Wkxv Mô•î
ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä ' g ?û_ ð'• û s E70ð ä ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä ' g ?û_ ð'• û s E70ð ä ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä g ?û_ ð'• û s E70ð ä ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä g ?û_ ð'• û s E70ð ä
• ?ûô
• ?ûô
• ?ûô
• ?ûô
S
ââ æõ'ð &
ý 70ð 30æ ü
d6Ef h æ ä ý 6Efæ äo Cð s E70ð ä ý 0ð 30æ ü S ââ 7 eâ• • 3• L? Efæ ä æõ'ð & û Cð n s E70ð ä sf Efæ ä ý 0ð 30æ ü S ââ 7 eâ• • 3• î? Efæ ä æõ'ð & û Cð ý s E70ð ä sf Efæ ä ý 0ð 30æ ü S ââ 7 æõ'ð & û û s E70ð ä û
eâ• • 3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äL? Efæ ä Cð ý sf Efæ ä 6:
ê ë ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä g ?û_ ð'• û s E70ð ä
• ?ûô
S
& ââ s E70ð ä
æõ'ð
ý 70ð 30æ ü û
û
eâ• • 3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äî? Efæ ä Cð sf Efæ ä ' Mô•• n Mô•2 n Mô•ô n Mô•e é Zh yhuli| wkdw hdfk ri wkhvh whupv duh JR E•äé Uhfdoolqj wkh gh?qlwlrq ri • 3• zh kdyh ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û eâ• • 3• L? Efæ ä g Cð Mô•• ' ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä sf Efæ ä ý 70ð 30æ ü SR S ê ë ? • fc, 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û ,'f • L?, Efæ ä ' g Cð é ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä sf Efæ ä Ghqrwlqj hohphqwv lq wkh ?uvw urz ri • 3• dv / fc• c zh kdyh ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û g Mô•• ' ?û_ ð'• û s E70ð ä sE70ð ä í ì í ìV S fcV • S fæ 3f, fæ 3f, 0, V/ ,õ'æ N û û ?û_ Cð sf Efæ ä ? [[[ [ • s â E70ð ä Cð ' 2 / fcV ô 2_nô ?û s E70ð ä s E70ð äsf Efæ ä ð'• æõ'ð ,õ'æ V ë ê ë ê ë êë êV % ý fð 70ð ý 0æ fæ ý f, fæ ý f, ââ g & 0, N û û û û ? [ ? [ [ • s â E70ð ä Cð ' 2 / fcV ô 2_nô ?û s E70ð ä s E70ð äsf Efæ ä ð'• æ'• V ë
æõ'ð
ê ë ê ë êë êV % ý fð 70ð ý 0æ fæ ý fð fæ ý fð ââ g & 0ð N û û û û ? [[[ [ • s â E70ð ä Cð n2 / fcV ô 2_nô ?û sE70ð ä sE70ð äsf Efæ ä ð'• æõ'ð ,õ'æ V ë
,õ'ð
ë ê ë êë êV % ý fð 70ð ý 0æ fæ ý f, fæ ý f, ââ g 0, & N û û û û ? ? [ ? ? [ ? [ [ [ ' 2 )•? E5ð c 5æ ä n 2 )2? E5ð c 5æ c 5, äc ð'• æ'• æõ'ð
ê
ð'• æ'• ,'• æõ'ðcæõ',c,õ'ð
zkhuh
ë ê ë ê ë êë êV â [ • 0ð ä Cð % ý fð 70ð ý 0æ fæ ý fð fæ ý fð fcV s E7 ââ )•? E5ð c 5æ ä ' ô 2_nô / g & 0ð N ?û s E7 0 ä s E7 0 äs Ef ä û û û û ð ð f æ V 6;
lv d vhfrqg rughu X0vwdwlvwlf/ zkloh [
• s â E70ð ä Cð ô 2_nô ?û s E70ð ä s E70ð äsf Efæ ä V ë ê ë ê ë êë êV % ý fð 70ð ý 0æ fæ ý f, fæ ý f, ââ 0, & ûg N û û û û
)2? E5ð c 5æ c 5, ä '
/ fcV
lv d wklug rughu X0vwdwlvwlfv zlwk ghjhqhudf|/ l1h1/ .ðcæ )2? E5ð c 5æ c 5, ä ' fé Wkhuhiruh .Mô•• ' 2
? ? [ [
.)•? E5ð c 5æ ä
ð'• æ'•
ë ê ë ê ? [ ? [ â [ 2 0ð ä 0ð Cð % ý fð 70ð ý 0æ fcV s E7 ââ ' / . g .ð & ?ô û2_nô ð'• æ'• V sE70ð ä sE70ð ä û û ë êë êV • fæ ý fð fæ ý fð é N û.ð sf Efæ ä û û Qrwlfh wkdw iru odujh ? ë ë êë êV ] êë êV ] fæ ý fð • fæ ý fð fæ ý fð fæ ý fð _ ' N _fæ ' û gEüäüV_üc .ð N sf Efæ ä û û û û ë ë ê ê 70ð ý 0æ % ý fð _ ââ .g ' ïR Eû ä dqg .ð & ' ïR Eûô äc û û .Mô•• ' ïE?3• K3• äé S S Iru wkh yduldqfhv/ ydud ?ð'• ?æ'• )•? E5ð c 5æ äo lv ghwhuplqhg e| æõ'ð
ïE?2 ä.d)•? E5ð c 5æ ä2 n )•? E5ð c 5æ ä)•? E5æ c 5ð äo
+74,
nïE?ô ä.d)•? E5ð c 5æ ä)•? E5, c 5æ ä n )•? E5ð c 5, ä)•? E5ð c 5æ äo D fdofxodwlrq ri prphqwv vkrzv wkdw +74, lv ri rughu ï Vc
é
• ?e û2_nD K2
ü
nï
ý
• ?ô û_ K2
ü
' JE•äc vlqfh/ iru hdfk
êë êV è2 fæ ý fð fæ ý fð .ð ' ïEû_ ä û û é ë êè2 70ð ý 0æ .ð & ââ ' ïR Eûä û 5 í %3f ì ý ü í fæ 3fð ì í fð 3fæ ì í fæ 3fð ìV í fð 3fæ ìV 6 %3fð æ g g N N û û û û û û 7 8 ' ïEû_ ä . sf Efð äsf Efæ ä • N sf Efæ ä
ë
ý
6
huhqw lqglfhv ë .)2? E5ð c 5æ c 5, ä)2? E5ð c 5o c 5, ä ' ï
• ?S ûe_nS K2
ê ûû
ô_nS
c
iru whupv zlwk ?yh gl>huhqw lqglfhv ë .)2?E5ð c 5æ c 5, ä)2? E5o c 5| c 5, ä ' ï Wkxv
5
• ?S ûe_nS K2
ê e_nS
ûû
é
6
? [ ? ? [ 9[ : 3• 32 32 3_ 32 3ô 32_3D 32 ydu 9 )2? E5ð c 5æ c 5, ä: K äé 7 8 ' ïE? K n ? û K n ? û ð'• æ'• ,'• æõ'ðcæõ',c,õ'ð
Frqvhtxhqwo|/ Mô•• ' JR E•äé Iru Mô•2 c ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û eâ• • 3• î? Efæ ä g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä sf Efæ ä ý 70ð 30æ ü S S ë ê ? • fc, 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û , • î?, Efæ ä ' g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä sf Efæ ä ý 70ð 30æ ü S ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û g * ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä 73
S û
ë V/
fcV
• ?û_
S ,õ'æ
g
í
? [[[ [
fæ 3f, û
ìí
fæ 3f, û
ìRnV
ê û
Rn•
6Rn• Efæ ä
Cð
sf Efæ ä
s â E70ð ä Cð • ô 2_n23R ?û s E70ð ä s E70ð ä sf Efæ ä ð'• æõ'ð ,õ'æ V ê ë ê ë êë êRnV ë 70ð ý 0æ fæ ý f, fæ ý f, % ý fð ââ 6Rn• Efæ ä & g ûg û û û û ' ïR EûRn• äc ý 70ð 30æ ü S ê ë ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô æõ'ð & ââ û g û Mô•ô ' m ?û_ ð'• û sE70ð ä s E70ð ä '
2
/ fcV
eâ• • 3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äL? Efæ ä Cð m sf Efæ ä ñ â 3• ñ ñ e• • d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äL? Efæ ä ñ ñ ñ é 4@ ñ ñ •$æ$? sf Efæ ä ñ ñ ë ê ë ê â ? ñ 0 % ý fð 7 0 s E7 0 ä C 2 [ [ ññ ý ð æ ð ð ââ ñ g & û 2 _nô ñ ñ ?û û û s E7 0 ä s E7 0 ä ð ð ð'• æõ'ð ð ð ð â 3• ð ð •?3• Efæ äL? Efæ ä ð ð é 4@ ðe• • d•? Efæ ä ý • sf Efæ äoð û ð ð ð •$æ$? sf Efæ ä ñ ë ñ ê ë ê ? 2 [ [ ññ % ý fð 70ð ý 0æ s â E70ð ä Cð ññ ââ & û 2 _nô ñg ?û û û s E70ð ä s E70ð ä ñ ð'• æõ'ð
3•*2 3_*2
' ïR Eû n ?
û
*L} ?äK3•
' JR E•äé Vlploduo| Mô•e
ë ê ? • 2 [ % ý fð s â E70ð ä ?ûô ' g ?û_ ð'• û s E70ð ä
S
ââ æõ'ð & s E70ð ä
ý 70ð 30æ ü û
û
eâ• • 3• d•? Efæ ä ý • sf Efæ äo •?3• Efæ äî? Efæ ä Cð sf Efæ ä
' ïR Eû n ?3•*2 û3_*2 *L} ?äûRn• K3• ' JR E•äé Wkxv/ Mô•î ' JR E•ä dqg Mô• ' JR E•äé â
Lq rughu wr vkrz Mô2 ' JR E•äc zh ghfrpsrvh s E0ð ä ý s â E0ð ä lqwr d eldv h>hfw î â E0ð ä dqg d yduldqfh h>hfw T â E0ð ä dv
é ë êè • [ 0ð ý 0æ â î E0ð ä ' .ð & ý s â E0ð ä 2 ?û æõ'ð û â
74
ê êèè é ë é ë • [ â 0ð ý 0æ 0ð ý 0æ â T E0ð ä ' & c ý .ð & ?û2 æõ'ð û û â
wkxv Mô2 '
2 ?û_
'
2 ?û_
k l ê s â E70 ä s â E70 ä ý s â E70 ä ð ð ð % ý fð g Cð û s E70ð ä2 ð'• ê ê ë ë ? ? [ % ý fð s â E70ð äT â E70ð ä 2 [ % ý fð s â E70ð äî â E70ð ä g Cð n _ g Cð 2 2 û s E7 0 ä ?û û sE7 0 ä ð ð ð'• ð'• ? [
ë
' Mô2ø n Mô2î é Wkh yduldqfh whup lv
Mô2ø
ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð äT â E70ð ä ' g Cð ?û_ ð'• û s E70ð ä2 + ë ê é ë ê é ë êèè , ? 2 [ % ý fð s â E70ð ä 7 0 0 • [ â 70ð ý 0æ ý ð æ ' g & Cð ý .ð & â ?û_ ð'• û s E70ð ä2 ?û2 æõ'ð û û ë é ë é ë ê ê êèè ? [ [ % ý fð s â E70ð ä â 70ð ý 0æ 2 70ð ý 0æ â g ' & Cð é ý .ð & 2 û_n2 2 ? û s E7 0 ä û û ð ð'• æõ'ð
Ghqrwh 2 )ô? E5ð c 5æ ä ' 2 _n2 g ?û
ë
% ý fð û
ê
é ë é ë ê êèè 70ð ý 0æ s â E70ð ä â 70ð ý 0æ â & Cð c ý .ð & sE70ð ä2 û û
djdlq/ wklv lv d vhfrqg rughu X0vwdwlvwlf zlwk ghjhqhudf|1 Zh vkrxog yhuli| wkh rughuv ri pdjqlwxgh ri . d)ô? E5ð c 5æ ä2 o c . d)ô? E5ð c 5æ ä)ô? E5æ c 5ð äo c dqg . d)ô? E5ð c 5æ ä)ô? E5, c 5æ äo é E| d vlplodu fdofxodwlrq dv zh glg ehiruh +dovr vhh vlplodu wuhdwphqw odwhu lq wkh dqdo|vlv ri vfruh,/ zh fdq vkrz wkdw ë ê ? 2 [ % ý fð s â E70ð äT â E70ð ä g ' ïR EK3• ?3•*2 n K3• ?3• û3ô*23_*2 äé ?û_ ð'• û sE70ð ä2 Wkh ohdglqj eldv whup lv ê ë ? 2 [ % ý fð s â E70ð äî â E70ð ä g ' ïR Eû^ ä ' JR E•äé ?û_ ð'• û s E70ð ä2 Frqvhtxhqwo| Mô2 ' JR E•ä dqg wkxv Mô ' JR E•äé Vlplodu dqdo|vlv fdq eh dssolhg wr rwkhu whupv wkdw lqyroyh shâ EY0ð ä ý s â E70ð ä dqg shEY0ð ä ý sE70ð ä1 Ohppd K71 Xqghu rxu frqglwlrqv 75
Me ' JR E•äé h 0ð ä ý sE70ð ä dqg s E70ð ä ý s E70ð äc dqg wkh Surri1 Iru Me c zh ghfrpsrvh shEY0ð ä ý s E70ð ä lqwr wkh vxp ri sEY dqdo|vlv iru
ê ë ? • [ % ý fð s â E70ð ä2 h g Es EY0ð ä n sE70ð ääEshEY0ð ä ý s E70ð ääCð ?û_ ð'• û sE70ð äe
dqg
ê ë ? • [ % ý fð s â E70ð ä2 h g Es EY0ð ä n sE70ð ääEs EY0ð ä ý s E70ð ääCð ?û_ ð'• û sE70ð äe
lv vlplodu wr wkdw ri Mô• dqg Mô2 1 Ohppd K81 Xqghu rxu frqglwlrqv MD ' JR E•äé Surri1 Zulwh MD
k l2 ê s â E70 ä shâ EY0 ä ý s â E70 ä ð ð ð • % ý fð ' g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä2 k l2 â â ë ê â â â h ? • [ % ý fð s E70ð ä s EY0ð ä ý s E70ð ä n s E70ð ä ý s E70ð ä ' g Cð ?û_ ð'• û s E70ð ä2 k l2 â ë ê â â h ? s E7 0 ä s EY 0 ä s E7 0 ä ý ð ð ð • [ % ý fð ' g Cð ?û_ ð'• û sE70ð ä2 k l2 ë ê s â E70 ä s â E70 ä ý s â E70 ä ? [ ð ð ð • % ý fð n _ g Cð ?û ð'• û sE70ð ä2 k lk â l â ë ê â â â h ? 2 [ % ý fð s E70ð ä s EY0ð ä ý s E70ð ä s E70ð ä ý s E70ð ä n _ g Cð ?û ð'• û sE70ð ä2 ? [
ë
' MD• n MD2 n MDô
MD• '
• ?û_
? [ ð'•
ë g
k l2 ê s â E70 ä shâ EY0 ä ý s â E70 ä ð ð ð % ý fð Cð û sE70ð ä2
76
*
• ?û_
? [
ë g
ð'•
% ý fð û
ê s â E70 ä ð
k
• ?ûô
S
ââ æõ'ð &
ý 70ð 30æ ü û
l2
EY0ð ý 70ð n h 0æ ý 0æ ä
sE70ð ä2 ý 0ð 30æ ül2 S ââ 7 & æõ'ð û
Cð
k ë ê s â E70 ä EY0 ý 70 ä • ? [ ð ð ð ?ûô • % ý fð ' g Cð ?û_ ð'• û s E70ð ä2 k l2 ê s â E70 ä • S & ââ ý 70ð 30æ ü Eh ë ? 0 ä 0 ý [ ð ô æ æ æõ'ð ?û û • % ý fð n _ g Cð 2 ?û ð'• û s E70ð ä k l ý 0ð 30æ ü ââ ý 70ð 30, ü S S • ë ê â ââ 7 ? s E7 0 ä EY 0 7 0 ä & 0 ä & Eh 0 ý ý ð ð æ æ æõ'ð ,õ'ð ?2 ûS ð û û • [ % ý fð n _ g Cð ?û ð'• û s E70ð ä2 k l ý 0ð 30æ ü ââ ý 70ð 30, ü S S • ë ê â ââ 7 ? & Eh 0, ý 0, ä û û • [ % ý fð s E70ð ä ?2 ûS EY0ð ý 70ð ä æõ'ð ,õ'ð & n _ g Cð c ?û ð'• û sE70ð ä2 zkhuh
l2 k ê s â E70 ä EY0 ý 70 ä • S & ââ ý 70ð 30æ ü ð ð ð ?ûô æõ'ð û % ý fð • g Cð _ 2 ?û ð'• û s E70ð ä ë ê ë ê ë ê ? • [ % ý fð s â E70ð äCð [ [ ââ 70ð ý 0æ 70ð ý 0, 2 ââ & ' m6E%ä h g & ý 6E%äm ô _nS ?û û s E70ð ä2 æõ'ð ,õ'ð û û ð'• ? [
ë
' JR E•ä ñ k l2 ññ ñ ë ê s â E70 ä • S & ââ ý 70ð 30æ ü Eh ? ñ • [ ñ 0æ ý 0æ ä ð æõ'ð ?ûô û % ý fð ñ ñ g Cð ñ ñ _ 2 ñ ?û ð'• ñ û s E70ð ä ñ ñ ñ ñ ý ü ý ü ë ê ? [[ 0ð 30æ 0ð 30, ñ • [ ñ â ââ 7 ââ 7 s E7 0 äC & & % ý fð ð ð ñ ñ û û g d6Ef h æ ä ý 6Efæ äo d6Ef h , ä ý 6Ef, äoñ ' ñ ô _nS 2 ñ? û ñ û s E70ð ä ð'• æõ'ð ,õ'ð ã â2 4@ d6Ef h æ ä ý 6Efæ äo é •$æ$? ñ ñ ë ñ ë êñ êñ êñ ë ? • [ % ý fð ññ s â E70ð äCð ññ [ ññ ââ 70ð ý 0æ ññ [ ññ ââ 70ð ý 0, ññ g û ô _nS ñ& ñ& ñ s E70ð ä2 ñ ñ ñé ?û û û û ð'• æõ'ð ,õ'ð Frqglwlrqdo rq ð/ e| wkh l1l1g1 dvvxpswlrq/ ñ ë ñ ë êñ êñ ] ] ñ ââ 70ð ý 0æ ñ • [ ññ ââ 70ð ý 0æ ññ ââ ââ ñ ñ & ñ * .ð ñ& ñ ' û m& Eüæ äm sE70ð ý ûüæ ä_üæ * ûs E70ð ä m& Eüæ äm _üæ c ? æõ'ð ñ û û ñ ë ñ ë êñ êñ ] ] ñ ââ 70ð ý 0, ñ • [ ññ ââ 70ð ý 0, ññ ââ ñ ñ & ' û m& Eü, äm sE70ð ý ûü, ä_ü, * ûs E70ð ä m& ââ Eü, äm _ü, c * .ð ñ& ñ ñ ñ ? ,õ'ð û û 77
dqg qrwlfh wkdw h æ ä ý 6Efæ äo ' ïR EûRn• n ?3•*2 û3_*2 *L} ?äc 4@ d6Ef
•$æ$?
zh kdyh
ê â ë ? • [ % ý fð s E70ð ä g ?û_ ð'• û
Vlploduo|/ zh fdq vkrz ë ê â ? % ý fð s E70ð ä • [ g ?û_ ð'• û
k
•
?2 ûS
k
S
• ?ûô
EY0ð ý 70ð ä
ââ æõ'ð &
ý 70ð 30æ ü
sE70ð S
S
æõ'ð
û
ä2
ââ ,õ'ð &
sE70ð
l2
Eh 0æ ý 0æ ä
ý 70ð 30æ ü û
& ââ
Cð ' JR E•äé
ý 70ð 30, ü û
l
Eh 0æ ý 0æ ä
ä2
Cð ' JR E•äc
dqg MD2 ' JR E•äc MDô ' JR E•äé
Wkh dqdo|vlv iru M. dqg MH lv vlplodu1 Wkh whupv MS c Mb / dqg M•f frqwdlq shEY0ð ä lq wkh ghqrplqdwru1 Xqghu rxu dvvxpswlrqv/ ñ ñ ë ê ? ñ • [ ñ â 2 % f s E7 0 ä ý ñ ð ð h 0ð ä n s E70ð ää2 EshEY0ð ä ý s E70ð ää2 CK Eshð äññ g EsEY mMS m ' ñ _ ñ ?û ð'• ñ û s E70ð äe shEY0ð ä2 ñ ñ ë ê ? ñ ññ • [ ñ â 2 % f s E7 0 ä ý ñ ññ ñ ð ð g EshEY0ð ä n sE70ð ää2 CK Eshð äñ é 4@ ñEshEY0ð ä ý sE70ð ää2 ñ ñ _ e 2 •$ð$? h ñ ?û ð'• ñ û s E70ð ä s EY0ð ä ' ïR Eû2^32 n ?3• û3_32 äK32 ' JR E•äé Zh kdyh xvhg Ohppd D khuh1 Vlplodu dqdo|vlv fdq eh frqgxfwhg iru Mb dqg M•f 1 81515
Wkh Vfruh Ixqfwlrq
Zh zdqw wr vkrz wkdw
s ?û_ 7h? Ewf ä , ù Efc sf E%äUEs ä ngn2 äé
E| gh?qlwlrq ë ê hâ ? [ s • % f s ý ð _ ?û 7h? Ewf ä ' ý s g Etð ý wf äCK Eshð äé û ?û_ ð'• sh Iru wkh ghqrplqdwru •
h ð ý wf ä sEt
'
• shEtð ý wf ä ý s Etð ý wf ä n -2 c ý s Etð ý wf ä s Etð ý wf ä2 78
zkhuh -2 '
ishEtð ý wf ä ý s Etð ý wf äj2 é s 2 Etð ý wf äshEtð ý wf ä
Wkhuhiruh/ ê ë ? s • [ % ý fð shâ _ h Etð ý w f äCK Eshð ä ?û 7? Ewf ä ' ý s g _ h û ?û ð'• s ê ë ? • [ % ý fð ' ýs g CK Eshð ä _ û ?û ð'• k l < ; @ ? shâ Et ý w ä shâ Etð ý wf ä shEtð ý w f ä ý sEtð ý wf ä ð f hâ Etð ý wf ä-2 n s ý > = s Etð ý wf ä s Etð ý wf ä2 ë ê ? • [ % ý fð shâ Etð ý w f ä ' ýs CK Eshð ä g û sEtð ý wf ä ?û_ ð'• k l ë ê â h h ? % ý fð s Etð ý wf ä s Etð ý wf ä ý s Etð ý wf ä • [ g CK Eshð ä ns û s Etð ý w f ä2 ?û_ ð'• ë ê ? • [ % ý fð CK Eshð äshâ Etð ý wf ä-2 é g ýs _ û ?û ð'• Wkxv ë ê ? s • [ % ý fð s â Etð ý wf ä _ h ?û 7? Ewf ä ' ý s g û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• ë ê ? % ý fð s â Etð ý wf ä • [ g d• ý CK Eshð äo ns û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• ë ê ? • [ % ý fð shâ Etð ý wf ä ý s â Etð ý wf ä g CK Eshð ä ýs û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• k l ë ê â h h ? • [ % ý fð s Etð ý wf ä s Etð ý wf ä ý s Etð ý wf ä ns g CK Eshð ä û sEtð ý wf ä2 ?û_ ð'• ë ê ? • [ % ý fð g CK Eshð äshâ Etð ý wf ä-2 ns _ û ?û ð'• ' A• n A2 ý Aô n Ae n AD é Zh vkrz wkdw A• , ùEfc sf E%äUEs ä ngn2 äc 79
dqg R
Aæ ý$ fc æ ' 2c é é é c Dé Ohppd V41 Xqghu rxu frqglwlrqv A• , ùEfc sf E%äUEs ä ngn2 äé Surri1 Qrwlfh wkdw tð ý w f ' 0ð n 6Efð ä ý 6E%ä ' 0ð n B ð dqg •
? [
•
ð'• ? [
•
ð'• ? [
•
? [
•
ð'• ? [
•
? [
•
? [
A• ' ý s ?û_ ' ýs ?û_ ' ýs ?û_ ' ýs ?û_ ýs ?û_ ýs ?û_
ë g ë g ë g
ð'•
ë g ë g
ð'•
ð'•
ë g ë
% ý fð û % ý fð û % ý fð û % ý fð û % ý fð û % ý fð û % ý fð û
ê ê ê
s â Etð ý wf ä s Etð ý w f ä s â E0ð n B ð ä s E0ð n B ð ä
ê ê ê ê
g ýs ?û_ ð'• ' A•• n A•2 n A•ô n A•e é
é
• ds E0ð n B ð ä ý s E0ð äo ds E0ð ä n s E0ð n B ð ä ý s E0ð äo n s E0ð ä s E0ð äs E0ð n B ð ä â
â
è
â
s â E0ð ä s E0ð ä s â E0ð n B ð ä ý s â E0ð ä sE0ð ä s â E0ð äds E0ð n B ð ä ý s E0ð äo s E0ð äs E0ð n Bð ä ds â E0ð n B ð ä ý s â E0ð äo ds E0ð n B ð ä ý s E0ð äo s E0ð äsE0ð n B ð ä
Zh yhuli| hdfk ri wkhvh whupv1 Iluvw/ e| d fhqwudo olplw wkhruhp iru l1l1g1 udqgrp yduldeohv/ •
A•• ' ý s ?û_
? [ ð'•
ë g
% ý fð û
ê
úE0ð ä , ù Efc sf E%äUEs ä ngn2 äé
E| fdofxodwlrq ri prphqwv/ lw lv hdv| wr yhuli| wkdw/ xqghu rxu frqglwlrqv/ A•2 c A•ô / dqg A•e duh JR E•ä1 Iru h{dpsoh/
•
A•2 * ý s ?û_
? [
ë g
ð'•
% ý fð û
ê
s ââ E0ð äB ð s E0ð ä
e| d odz ri odujh qxpehuv iru lqghshqghqw udqgrp yduldeohv/ ë ê ë ê ? • [ % ý fð s ââ E0ð äB ð ? % ý fð s ââ E0ð äBð s g .g * s û s E0ð ä û s E0ð ä ?û_ ð'• ?û_ 7:
]
?
]
ë
% ý fð ' s s E0ð ä_0ð g û ?û_ ë _ ^ê í ì s ?û û 'ï ' ï s ?û_ û^ é _ ?û Vlploduo|/ •
A•ô ' ý s ?û_
? [
ë
% ý fð û
g
ð'•
ê
ââ
ê d6Efð ä ý 6E%äo sf Efð ä_fð
ís ì s â E0ð äds E0ð n B ð ä ý sE0ð äo ?û_ û^ é ' ïR s E0ð äsE0ð n B ð ä
Ohppd V51 Xqghu rxu frqglwlrqv R
A2 ý$ fé Surri1 Iluvw/ zh h{sdqg wkh wulpplqj ixqfwlrq wr wkh vhfrqg rughu/ • CK Eshð ä ý CK Esð ä ' }K Esð äEshð ý sð ä n }Kâ EsðW äEshð ý sð ä2 c 2 zkhuh sðW lv dq lqwhuphgldwh srlqw ehwzhhq shð dqg sð é Wkhq •
s ?û_
? [
ë g
ð'•
% ý fð û
ê
s â Etð ý wf ä dCð ý CK Eshð äo s Etð ý wf ä
ë
ê % ý fð s â Etð ý wf ä ' s g }K Esð äEshð ý sð ä û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• ë ê ? % ý fð s â Etð ý w f ä • â W h • [ ns g }K Esð äEsð ý sð ä2 é _ û sEt w ä 2 ý ð f ?û ð'• •
? [
Zh xvh d fuxgh erxqg rq wkh odvw whup vr wkdw ë ê ? • [ % ý fð s â Etð ý wf ä • â W h s g }K Esð äEsð ý sð ä2 _ û s Etð ý wf ä 2 ?û ð'• ñ ë ê ? ñ • [ ññ % ý fð s â Etð ý wf ä ññ g é û týT m} â E|äm ?û_ ð'• ñ û s Etð ý w f ä ñ | ë ê 2 • 32 s _ h ?û 4@ msð ý sð m c û K •$ð$? 2 zkhuh wkh ?uvw whup fdq eh vkrzq wr eh ïR E•äc dqg wkh vhfrqg whup lv JR E•ä e| uhvxow +56,1 Wkhuhiruh/ zh pxvw dqdo|}h wkh whup •
s ?û_
? [ ð'•
ë g
% ý fð û
ê
s â Etð ý wf ä }K Esð äEshð ý sð äé sEtð ý wf ä 7;
+75,
Wklv djdlq lqyroyhv vrph ixuwkhu X0vwdwlvwlf fdofxodwlrq1 Vlplodu wr wkh suhylrxv dqdo|vlv/ zh ghfrp0 srvh +75, lqwr A2• n A22 c zkhuh •
? [
•
ð'• ? [
A2• ' s ?û_ A22 ' s ?û_
A2•
g ë g
ð'•
% ý fð û % ý fð û
ê ê
s â Etð ý wf ä h 0ð ä ý s E70ð ääc }K Esð äEsEY s Etð ý w f ä s â Etð ý wf ä }K Esð äEsE70ð ä ý s E70ð ääé s Etð ý w f ä
é ë ê ë êè s â E70ð ä • [ Y0ð ý h 0æ 70ð ý 0æ ' s g & }K Esð ä ý& s E70ð ä ?û æõ'ð û û ?û_ ð'• ë ê ë ê ? % ý fð s â E70ð ä • [ â 70ð ý 0æ • [ g }K Esð ä 2 & EY0ð ý 70ð n h 0æ ý 0æ ä ' s û s E70ð ä ?û æõ'ð û ?û_ ð'• ë ë ê ê ? • [ % ý fð s â E70ð ä • [ ââ 70Wð ý 0Wæ ns g }K Esð ä ô & 0æ ý 0æ ä2 c EY0ð ý 70ð n h _ û s E70ð ä ?û æõ'ð û ?û ð'• •
ë
ë
? [
% ý fð û
ê
zkhuh wkh vhfrqg whup lv JR E•ä xqghu rxu dvvxpswlrqv= ñ ñ ë ë W ê â ? ñ • [ ñ Wê [ 7 0 0 ý % ý fð s E70ð ä • ñ ð æ ââ 2ñ s g & 0æ ý 0æ ä ñ }K Esð ä ô EY0ð ý 70ð n h ñ ñ ?û_ ñ û s E70ð ä ?û æõ'ð û ð'• ñ ñ ñ ë ë ê êñ ? ñ • [ ñ ââ 70Wð ý 0Wæ ñ • [ ññ % ý fð s â E70ð ä 2 2^ 3• 3_ ñ& ñ g }K Esð äññ ô é ïR Eû n ? û *L} E?ää s ñ û s E70ð ä ?û æõ'ð ñ û ?û_ ð'• ñ ? ' ïR Eû2^ n ?3• û3_ *L}2 E?ää û s û û_ û û3ô _ s ?û 2 2^ 3• 3_ ' ïR Eû n ? û *L} E?ää û ?û_ û û3ô ' JR E•äé Wkxv/ A2•
ë
ë ê s â E70ð ä • [ â 70ð ý 0æ ' d6E%ä h g }K Esð ä 2 & ý 6E%äo s s E70ð ä ?û æõ'ð û ?û_ ð'• ë ë ê ê ? % ý fð s â E70ð ä • [ â 70ð ý 0æ • [ g & ns }K Esð ä 2 d6Ef h æ ä ý 6Efæ äo n JR E•ä û s E70ð ä ?û æõ'ð û ?û_ ð'• •
? [
% ý fð û
ê
* A2•ø n A2•î é ë ê • ^ s Iru wkh ohdglqj whup A2•ø / vlqfh 6E%ä h c zh qhhg wr vkrz wkdw ý 6E%ä ' ïR û? n _ ?û?
? [ ð'•
•
s g ?û_
ë
% ý fð û
ê
% ë ê& ý ü s â E70ð ä • [ â 70ð ý 0æ }K Esð ä & ' JR •*Eû^? n ?3•*2 û3_*2 ä é ? 2 s E70ð ä ?û æõ'ð û 7
huhqw lqglfhv/ vd| ò 2? E5ð c 5æ c 5, ä2 c K22 lqfoxghv whupv olnh ò 2? E5ð c 5æ c 5, äò 2? E5ð c 5o c 5, äc dqg K2ô frqwdlqv whupv ri w|sh ò 2? E5ð c 5æ c 5, äò 2? E5o c 5| c 5, ä1 Zh fdq yhuli| wkdw= iru whupv zlwk wkuhh gl>huhqw lqglfhv .dK2• o ' ïE
• û û û û2_ ä ' JE?3ô äc D enô_ ?û 87
iru whupv zlwk irxu gl>huhqw lqglfhv .dK22 o ' ïE
• û_ne û2_ ä ' JE?3e äé D enô_ ?û
Wkh ohdglqj whup lq wkh yduldqfh ri wkh wklug rughu X0vwdwlvwlfv lv wkh whup zlwk ?yh gl>huhqw lqglfhv1 Wr fdofxodwh .ò 2? E5ð c 5æ c 5, äò 2? E5o c 5| c 5, äc zh frqvlghu whupv ê ë ê ê ë ê ë ë % ý fð s â E70o ä % ý fo s â E70ð ä • 70ð ý 0æ 70o ý 0| â â }K Esð ä& g }K Eso ä& g . D enô_ ?û s E70ð ä û û s E70o ä û û ë êë êV• ë êë êV2 • fæ ý f, fæ ý f, f| ý f, f| ý f, • 02, é N N sf Efæ ä û û sf Ef| ä û û Frqglwlrqdo rq 0ð dqg fð c fo / f, / zh wdnh h{shfwdwlrq zlwk uhvshfw wr f| dqg f, c jhw ã ë êë ê â ã ë êë ê â • • fæ ý f, fæ ý f, V• f| ý f, f| ý f, V2 . ' ïEû2_ äé . N N sf Efæ ä û û sf Ef| ä û û Wkhq/ frqglwlrqdo rq 70ð c 70o c dqg fc zh wdnh h{shfwdwlrq zlwk uhvshfw wr 0| dqg 0æ c jhw ë ê ë ê 70ð ý 0æ 70o ý 0| â â .& & * s â E70ð äs â E70o äûe é û û Ilqdoo| zh wdnh h{shfwdwlrqv rq ë ê ë ê ë ê ë ê • s â E70ð ä 70ð ý 0æ % ý fð s â E70o ä 70o ý 0| % ý fo â â }K Esð ä& g }K Eso ä& g ?D ûenô_ s E70ð ä û û s E70o ä û û ë êë êV• ë êë êV2 • fæ ý f, fæ ý f, • f| ý f, f| ý f, 02, N N sf Efæ ä û û sf Ef| ä û û dqg jhw
ë ë ê] â ê ] ý 2 ü s â E70ð ä • % ý fð % ý fo s E70o ä e 2_ â â }K Esð äs E70ð äg }K Eso äs E70o äg û û û . 0, ?D ûenô_ s E70ð ä û s E70o ä û _ • û e 2_ 2_ ' û û JEû ä ' JE äé û û ?D ûenô_ ?D
Wkxv
5
6
? [ ? ? [ 9[ : 9 ydu 7 )2? E5ð c 5æ c 5, ä: 8 ' JE•äc ð'• æ'• ,'• æõ'ðcæõ',c,õ'ð
dqg wkxv A2•• ' JR E•ä1 Vlploduo|/ A2•ô ' JR E•ä1 Qrz zh frqvlghu wkh ohdglqj eldv h>hfw A2•2 c lw lv hdv| wr fkhfn wkdw •
s ?û_
? [ ð'•
ë g
% ý fð û
ê
ë ê s â E70ð ä • [ â 70ð ý 0æ eâ• • 3• î? Efæ ä }K Esð ä 2 & s E70ð ä ?û æõ'ð û sf Efæ ä 88
ë ê s â E70ð ä • • [ â 70ð ý 0æ g }K Esð ä 2 & * s s E70ð ä ?û æõ'ð û sf Efæ ä ?û_ ð'• % & ë êë êRnV • [ •cV [ fæ ý f, fæ ý f, / ûRn• 6Rn• Efæ ä û N ?û_ V û û , ê ë ? Rn• [ [ [ ë 70ð ý 0æ ê • û % ý fð s â E70ð ä •cV ' }K Esð ä / g &â D*2 2nô_*2 ? û û sE70ð ä û sf Efæ ä V ð'• æõ'ð ë ê ë ê RnV [ fæ ý f, fæ ý f, 6Rn• Efæ ä N û û , ' JR E
ë
? [
•
% ý fð û
ê
ûRn• û û2 û û2_ û ?ô ä ' JR EûRn•n_*2 û ?•*2 ä ' JR E•äc D*2 2nô_*2 ? û
dqg A2•2 ' JR E•äé Vlploduo| A2•e ' JR E•ä1 Wkh vhfrqg frpsrqhqw ri huuruv frphv iurp vwdqgdug nhuqho hvwlpdwlrq dqg fdq eh dqdo|}hg vlploduo|1 •
A22 ' s ?û_
? [
ë g
ð'•
% ý fð û
ê
s â Etð ý wf ä }K Esð äEsE70ð ä ý s E70ð ääé s Etð ý w f ä
Zh ghfrpsrvh sE0ð ä ý sE0ð ä lqwr d eldv h>hfw îE0ð ä dqg d yduldqfh h>hfw T E0ð ä dv êè é ë • [ 0ð ý 0æ îE0ð ä ' .ð & ý s E0ð ä ?û æõ'ð û é ë ê é ë êèè • [ 0ð ý 0æ 0ð ý 0æ c T E0ð ä ' & ý .ð & ?û æõ'ð û û wkxv A22
ê % ý fð s â Etð ý wf ä ' s g }K Esð äT E70ð ä û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• ê ë ? • [ % ý fð s â Etð ý wf ä ns g }K Esð äîE70ð ä û s Etð ý wf ä ?û_ ð'• •
? [
ë
' A22ø n A22î é Wkh yduldqfh whup lv A22ø
é ë ê é ë êèè, [ • % ý fð s E70ð ä • 70ð ý 0æ 70ð ý 0æ ' s g }K Esð ä & ý .ð & _ û sE70ð ä ?û æõ'ð û û ?û ð'• ë ê ãé ë ê é ë êèèâ ? [ [ • % ý fð s â E70ð ä 70ð ý 0æ 70ð ý 0æ s ' g }K Esð ä & é ý .ð & _ û s E70ð ä û û ð'• æõ'ð ?û ?û ? [
ë
ê
â
+
89
Ghqrwh • s ò ô? E5ð c 5æ ä ' g ?û ?û_
ë
% ý fð û
ê
s â E70ð ä }K Esð ä s E70ð ä
ê êèèâ é ë ãé ë 70ð ý 0æ 70ð ý 0æ c & ý .ð & û û
djdlq/ wklv lv d vhfrqg rughu X0vwdwlvwlf zlwk ghjhqhudf| dqg û ú . dA22ø o2 ' ïE?2 ä .ò ô? E5ð c 5æ ä2 n . dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5æ c 5ð äo n ïE?ô ä. dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5, c 5æ äo Zh vkrxog yhuli| wkh rughuv ri pdjqlwxgh ri .dò ô? E5ð c 5æ ä2 oc .dò ô? E5ð c 5æ äò ô?E5æ c 5ð äoc dqg .dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5, c 5æ äoé E| d vlplodu fdofxodwlrq dv zh glg iru Mô2 / zh fdq vkrz wkdw .ò ô? E5ð c 5æ ä2 n . dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5æ c 5ð äo ' JE?32 ä . dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5, c 5æ äo ' JE?3ô äé Lq sduwlfxodu/ wkh ohdglqj whup lq . dA22ø o2 lv ïE?ô ä. dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5, c 5æ äo é . dò ô? E5ð c 5æ äò ô? E5, c 5æ äo ë é ë ê ê é ë êèè % ý fð s â E70ð ä 70ð ý 0æ • 70ð ý 0æ ' .g }K Esð ä & ý .ð & ?ô û2n_ û s E70ð ä û û ë ê â é ë ê é ë êèè % ý f, s E70, ä 70, ý 0æ 70, ý 0æ }K Es, ä & g ý ., & û s E70, ä û û ë ê ë ê â ë ê ë ê â • % ý fð % ý f, s E70ð ä s E70, ä 70ð ý 0æ 70, ý 0æ g }K Esð ä }K Es, ä& & ' .g ?ô û2n_ û û s E70ð ä s E70, ä û û ë ê ë ê â êè é ë êè é ë â • % ý fð % ý f, s E70ð ä s E70, ä 70ð ý 0æ 70, ý 0æ n ô 2n_ .g g }K Esð ä }K Es, ä.ð & ., & ?û û û s E70ð ä s E70, ä û û ë ë ê ë ê â ê é ë êè â • % ý fð s E70, ä 70, ý 0æ % ý f, s E70ð ä 70ð ý 0æ g }K Esð ä }K Es, ä& .ð & ý ô 2n_ .g ?û û û sE70 ä s E70, ä û û ë ê ë ê â ð ë ê é ë êè â • % ý fð % ý f, s E70ð ä s E70, ä 70ð ý 0æ 70, ý 0æ g }K Esð ä }K Es, ä& ., & é ý ô 2n_ .g ?û û û sE70ð ä s E70, ä û û E| gluhfw fdofxodwlrqv ri prphqwv/ zh fdq yhuli| wkdw ë ê ë ê ë ê ë ê • % ý fð % ý f, s â E70ð ä s â E70, ä 70ð ý 0æ 70, ý 0æ .g g }K Esð ä }K Es, ä& & ?ô û2n_ û û sE70ð ä s E70, ä û û • ' û JEû2_ û û2 ä ô 2n_ ?ëû ê û_ ' JE?3ô äc ' J ?ô dqg vlploduo| zh fdq yhuli| wkdw rwkhu whupv duh dovr JE?3ô ä1 Wkxv A22ø ' JR E•äé Wkh ohdglqj eldv whup lv •
A22î ' s ?û_
? [ ð'•
ë g
% ý fð û 8:
ê
s â Etð ý wf ä }K Esð äîE70ð ä s Etð ý w f ä
s ' JR E ?û_ û^ ä ' JR E•äé Wkxv A22 ' JR E•äé Frqvhtxhqwo| wkh whup +75, ' JR E•äé Ilqdoo| zh wxuq wr wkh ohdglqj whup ri A2 / ë ê ? • [ % ý fð s â Etð ý w f ä s g d• ý Cð oc û sEtð ý wf ä ?û_ ð'• djdlq/ zh ghqrwh s â *s dv ú dqg xqghu jlyhq dvvxpswlrqv zh rewdlq d Wd|oru h{sdqvlrq wkdw úEtð ý wf ä * úE0ð ä n ú â E0ð äB ð é Wkxv •
s ?û_
? [
ë g
ð'•
% ý fð û
ê
s â Etð ý wf ä d• ý Cð o s Etð ý wf ä
ê % ý fð úE0ð äd• ý Cð o g *s û ?û_ ð'• ë ê ? • [ % ý fð ns g ú â E0ð äB ð d• ý Cð oé û ?û_ ð'• •
? [
ë
+72 Egä
ì k í ìl 62 5 í êè2 & â 0ð 30æ ý . & â 0ð 30æ ð û û % ý fð 7 8 ' ïEK32 û_n• äé û sE0ð ä
Vlploduo|/ ë
ë
ê
ë g
ì k í ìl í ì k í ìl 6 5 í ê & â 0ð 30æ ý . & â 0ð 30æ & â 0æ 30ð ý . & â 0æ 30ð ð æ û û û û % ý fæ 7 8 û s E0ð ä sE0æ ä
' ïEK32 û2_n• äé 95
Wkxv zh kdyh • Aô2ø ' s ?û_ ' ïR E?
? [
ë g
% ý fð û
ð'• 3•*2 3ô*2 3•
û
K
ê
• ?û2
k í ì k í ìll â 0ð 30æ â 0ð 30æ & . & ý ð æõ'ð û û
S
s E0ð ä
n û_*2 K3• äé
Iru Aô2î c qrwlfh wkdw/ frqglwlrqdo rq f• c é é é c f? c % & êè é ë ] • [ 0ð ý 0æ â â ^ E^n•ä .ð .ð & E0ð ä &Eüäü^ _ü ý s E0ð ä ' û s 2 ?û æõ'ð û lw lv hdv| wr vkrz wkdw
s Aô2î ' ïR E ?û_ û^ äé
Ohppd V71 Xqghu rxu frqglwlrqv R
Ae ý$ fé Surri1 Wkh surri lv vlplodu wr wkdw ri Ohppd V61 Djdlq/ zh ghfrpsrvh shE0ð ä ý s E0ð ä lqwr dshE0ð ä ý sE0ð äo n dsE0ð ä ý sE0ð äoc wkxv Ae ' Ae• n Ae2 c zlwk Ae• Ae2
k l ê shâ E0 ä sE0 h ð ð ä ý s E0ð ä • % ý fð ' s g Cð c û s E0ð ä2 ?û_ ð'• û ú ë ê ? • [ % ý fð s â E0ð ä s E0ð ä ý s E0ð ä ' s g Cð é û s E0ð ä2 ?û_ ð'• ? [
ë
Wkh rughuv ri pdjqlwxgh ri Ae• dqg Ae2 fdq eh yhul?hg vlploduo| dv Aô• dqg Aô2 é Iru h{dpsoh/ zh fdq zulwh Ae2 dv wkh yduldqfh h>hfw Ae2ø dqg wkh eldv h>hfw Ae2î c k í ìll S k í 0ð 30æ ì 0ð 30æ • ë ê â ? s E0 ä & . & ý ð ?û ð æõ'ð û û • [ % ý fð Ae2ø ' s g Cð û s E0ð ä2 ?û_ ð'• k í ì k í ìll 0ð 30æ 0ð 30æ ë ê â ? ý .ð & [[ û û • % ý fð s E0ð ä & ' g Cð ô*2 •n_*2 2 ? û û sE0ð ä ð'• æõ'ð djdlq/ qrwlfh wkdw lw lv d vhfrqg rughu X0vwdwlvwlf zlwk ?uvw rughu ghjhqhudf|/ .Ae2ø ' fé Dv wkh surri iru Aô2ø c zh vkrz Ae2ø ' ïR E?3•*2 û3•*2 K3• n û_*2 K3• äé 96
Lq sduwlfxodu/ frqglwlrqdo rq f• c é é é c f? c xvlqj lqwhjudwlrq e| sduwv dqg fkdqjh ri yduldeohv/ é ë êè ] ë ê ] 0ð ý 0æ 0ð ý 0 .ð & ' & s E0ä_0 ' û & Eüä s E0ð ý üûä_üc û û dqg
é ë êè ] ë ê ] 0 n B ð ý 0æ 0ð ý 0æ .æ & ' & sE0ä_0 ' û & Eüä s EB ð ý 0æ ý üûä_üé û û
Frqglwlrqdo rq 0æ c 5
ì í ìl k í 0ð 30æ 0, 30æ & s E0ð äs E0, ä & û û â
â
6
Cð C, 8 s E0ð ä2 s E0, ä2 í ì k í ìl 5 6 0ð 30æ 0ð 30æ â â . & . & æ æ û û s E0ð äs E0, ä ' .7 Cð C, 8 s E0ð äs E0, ä s E0ð äs E0, ä .7
' K32 û2 èe EB ð c B , äc vlploduo|/ 5 .7
k í ì í ìl 0ð 30æ 0, 30æ s E0ð äs E0, ä .ð & & û û â
â
6
Cð C, 8 ' K32 û2 èD EB ð c B , äc sE0ð ä2 s E0, ä2 k í ì í ìl 5 6 0 30 0 30 s â E0ð äs â E0, ä .ð & â ð û æ ., & â , û æ Cð C, 8 ' K32 û2 èS EB ð c B , äc .7 s E0ð ä2 s E0, ä2 zkhuh èð c ð ' ec Dc S duh xqlirupo| erxqghg ixqfwlrqv1 Ilqdoo|/ qrwlfh wkdw zkhq zh lqwhjudwh ryhu wkh glvwulexwlrq ri fc zh slfn xs dq dgglwlrqdo idfwru ri rughu û2_ c zh kdyh ê ë ê ë % ý f, % ý fð .g g û û û í ì k í ìl í ì k í ìl 5 6 0ð 30æ 0, 30æ 0, 30æ æ & 0ð 30 . & & . & ý ý ð ð û û û û 7s â E0ð ä s â E0, ä Cð C, 8 2 2 s E0ð ä s E0, ä ' ïEK32 û2_n2 äé Dqg
5
â
2
í
0ð 30æ û
9 s E0ð ä & .7 sE0ð äe
ì2
6 : s â E0ð ä2 m0ð 8 ' sE0ð äe
ë
] &
0ð ý 0 û
97
ê2
s â E0ð ä2 sE0ä_0 ' û s E0ð äe
]
& Eüä2 sE0ð ý üûä_ü
lw fdq eh yhul?hg wkdw é . g
ë
ì k í ìlì 62 í í 5 êè2 s â E0 ä & 0ð 30æ ý . & 0ð 30æ ð ð û û % ý fð 7 Cð 8 ' ïEK32 û_n• äé 2 û s E0ð ä
E| wkh vdph dssurdfk dv iru Aô2î c lw lv hdv| wr vkrz wkdw k l k í ìl ê s â E0 ä • S . & â 0ð 30æ ý s E0 ä ë ? [ s ð ð ð æõ'ð ?û û • % ý fð Ae2î ' s g ' ï E ?û_ û^ äé R 2 _ û s E0 ä ð ?û ð'• Ohppd V81 Xqghu rxu frqglwlrqv R
AD ý$ fé Surri1 Iru wkh uhpdlqghu whupv AD / zh qhhg wr vkrz wkdw •
s ?û_
? [ ð'•
ë g
% ý fð û
ê
s â Etð ý w f äishE0ð ä ý s E0ð äj2 Cð h ðä s 2 E0ð äsE0
jrhv wr }hur dv ? $ 4é Qrwlfh wkdw ñ ñ ë ê ? ñ • [ h ð ä ý s E0ð äj2 ññ % ý fð s â Etð ý w f äisE0 ñ g Cð ñ ñs ñ ?û_ ñ û s 2 E0ð äshE0ð ä ð'• ñ ñ ë ê â ? ñ ñ ñ • [ ñ % f s C E0 ä ý ñ h ñ ñ ñ ð ð ð 2 g é 4@ ñis E0ð ä ý s E0ð äj ñ û ñ s ñé _ •$ð$? ñ ?û û s E0ð ä s E0ð äshE0ð ä ñ ð'• Vlqfh mshð m : Kc dqg xvlqj wkh uhvxow +56,/ wkh uhpdlqghu whup lv ri rughu ïR E?•*2 û_*2 äïR EK32 äïR Eû2^32 n ?3• û3_32 *L}2 E?ää ' ïR Eû2^n_*232 ?•*2 K32 n ?3•*2 û3_*232 K32 E*L}2 E?ääc zklfk lv JR E•ä xqghu rxu edqgzlgwk frqglwlrqv1
81516
Uhpdlqghu whup
Lw vx!fhv wr vkrz wkdw -Ewf ä ' JR E•ä dqg
ñ ñ ñ Y 2 7h ñ s ñ ñ ? týT ñ 2 Ewäñ ' JR E ?û_ ä ñ ƒw3wf ƒ$S?3•*2 û3_*2 ñ Yw 98
+87,
ehfdxvh ?û_ Eh w ý w f ä2 ' ïR E•äé Wkh h{suhvvlrq iru -? EwW ä lv txlwh frpsolfdwhg exw lwv dqdo|vlv lv vlplodu wr wkdw ri wkh Khvvldq h{fhsw wkdw= +d, zh uhtxluh rqo| erxqgv lq suredelolw| wkdw duh txlwh zhdn> +e, wkrvh erxqgv/ krzhyhu/ kdyh wr eh orfdoo| xqlirup lq wkh dujxphqw wé E| dq dqdo|vlv vlplodu wr wkdw ri wkh Khvvldq/ lw fdq eh vkrzq wkdw Y 2 7h? Ewä*Yw2 ' ïR E•ä iru dq| jlyhq wé Wkh h{whqvlrq wr orfdo xqlirup ryhu iw G mw ý wf m é ?3•*2 û3_*2 j iroorzv iurp wkh vprrwkqhvv surshuwlhv rq wkh nhuqho wkdw zh kdyh lpsrvhg1 Zh mxvw h{dplqh d vlqjoh nh| whup ê ë ? • [ % ý fð shâââ Etð ý wäCK Eshð äé -?• Ewä ' g ?û_ ð'• û sh E| frqvwuxfwlrq
• CK Eshð ä é c h K sð
zkloh týT mshâââ E|äm é û3e týT m& âââ Eüäm é ü
|MU
Wkhuhiruh/ W Ewäm ' ïR Eû3e K3• ä1 m-?• s s Wkhuhiruh/ +87, lv vdwlv?hg ehfdxvh û3e K3• * ?û_ ' •* ?û_nH K2 c zklfk lv dvvxphg wr jr wr }hur
xqghu rxu frqglwlrq D81 E| h{sdqglqj rxw zh fdq rewdlq ehwwhu uhvxowv exw zlwk frqvlghudeo| pruh fdofxodwlrqv1 Iru -Ewf äc wkh ?uvw whup lv ë ê ? • [ % ý fð shââ Etð ý wf ä h g CK Esä h ?û_ ð'• û sEtð ý wf ä ë ê ? • [ % ý fð s ââ Etð ý wf ä h ' g CK Esä ?û_ ð'• û sEtð ý wf ä ë ê ? % ý fð shââ Etð ý wf ä ý s ââ Etð ý wf ä • [ n _ g CK Eshä ?û ð'• û s Etð ý wf ä k l ë ê ââ h ? • [ % ý fð s Etð ý wf ä s Etð ý wf ä ý sEtð ý wf ä n _ g CK Eshä h ð ý wf ä ?û ð'• û s Etð ý wf äsEt k lk l ë ê shââ Et ý w ä ý s ââ Et ý w ä shEt ý w ä ý sEt ý w ä ? [ ð f ð f ð f ð f • % ý fð h n _ g CK Esäc h ?û û sEtð ý wf äs Etð ý w f ä ð'•
99
e| dq dqdo|vlv vlplodu wr wkdw ri wkh vfruh dqg dovr xvh wkh uhvxow ri Ohppd D dqg +69,/ zh fdq vkrz wkdw wkh deryh whupv duh JR E•ä1 Iru ê ë ? • [ % ý fð shâ Etð ý wä h hâ g } Es äs Etð ý wäc h ð ý wä K ?û_ ð'• û sEt qrwlfh wkdw
ê é ë è % ý fð s â Etð ý wä â h . g }K Es Etð ý wääs Etð ý wä ' JEû_ äc û s Etð ý wä
djdlq/ wkh dqdo|vlv zloo eh vlplodu wr wkh suhylrxv sduw1 UHIHUHQFHV Dkq/ K1 +4
