Aljabar Fungsi Vektor

Fungsi Bernilai Vektor Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya

Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

1 / 25

Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya

Aljabar Fungsi Bernilai Vektor Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai vektor f , g : R m → R n . Fungsi ini dapat dibentuk menjadi fungsi baru, misalkan melalui penjumlahan (f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) Tetapi untuk perkalian, kita hanya mengenal perkalian titik (ingat di Aljabar Linear), yaitu

(f · g ) (x ) = f (x ) · g (x ) = f1 (x ) g1 (x ) + . . . + fn (x ) gn (x ) Kita juga dapat membentuk fungsi baru melalui perkalian skalar yaitu

(cf ) (x ) = cf (x ) = (cf1 (x ) , . . . , cfn (x )) Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

2 / 25





2 / 25





2 / 25





2 / 25


Fungsi Komposisi Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan (u, v ) = f (x, y ) dengan aturan misalkan u = x 2 − xy v = xy + y 2 Selanjutnya, misalkan x, y masing-masing juga bergantung kepada s, t dalam bentuk x = as + bt y = cs + dt Selanjutnya, (u, v ) juga dapat dipandang sebagai fungsi dari s, t yaitu u = (as + bt )2 − (as + bt ) (cs + dt ) v = (as + bt ) (cs + dt ) + (cs + dt )2 Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka rumus yang terakhir tersebut dapat dipandang sebagai Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

3 / 25



3 / 25



3 / 25



3 / 25


Fungsi Komposisi Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan (u, v ) = f (x, y ) Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka komposisi fungsi adalah (u, v ) = f (g (s, t )) = f ◦ g (s, t ).


4 / 25




4 / 25




4 / 25


Turunan Fungsi Bernilai Vektor Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan fungsi yang sudah dikenal. Turunan penjumlahan fungsi

(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )

Turunan perkalian fungsi

(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a ) Turunan perkalian skalar

(cf )0 (a) = cf 0 (a) Komposisi

(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a) dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi (perkalian matriks) Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

5 / 25



(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )





5 / 25



(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )





5 / 25



(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )





5 / 25



(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )





5 / 25


Turunan Fungsi Komposisi Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk    u = u (x, y , z )  x = x (s, t ) v = v (x, y , z ) dan g : y = y (s, t ) f :   w = w (x, y , z ) z = z (s, t ) Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t )) Matriks turunan masing-masing adalah  ∂u ∂u ∂u   f 0 (g (a)) = 

∂x ∂v ∂x ∂z ∂x

∂y ∂v ∂y ∂z ∂y

∂z ∂v ∂z ∂z ∂z



 0  dan g (a) = 


∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

 

6 / 25


Turunan Fungsi Komposisi Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk    u = u (x, y , z )  x = x (s, t ) v = v (x, y , z ) dan g : y = y (s, t ) f :   w = w (x, y , z ) z = z (s, t ) Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t )) Matriks turunan masing-masing adalah  ∂u ∂u ∂u   f 0 (g (a)) = 

∂x ∂v ∂x ∂z ∂x

∂y ∂v ∂y ∂z ∂y

∂z ∂v ∂z ∂z ∂z



 0  dan g (a) = 


∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

 

6 / 25


Turunan Fungsi Komposisi

Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk    u = u (x, y , z )  x = x (s, t ) v = v (x, y , z ) dan g : y = y (s, t ) f :   w = w (x, y , z ) z = z (s, t ) Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t )) Komposisinya dan turunannya menjadi   u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) f ◦g :  w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))


 dan 

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t

7 / 25


Turunan Fungsi Komposisi

Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk    u = u (x, y , z )  x = x (s, t ) v = v (x, y , z ) dan g : y = y (s, t ) f :   w = w (x, y , z ) z = z (s, t ) Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t )) Komposisinya dan turunannya menjadi   u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) f ◦g :  w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))


 dan 

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t

7 / 25


Turunan Fungsi Komposisi Komposisinya dan turunannya menjadi   u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) f ◦g :  w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))  

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t





= 

∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂y

∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂z

  

∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

 dan 

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t

 

dengan ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

8 / 25


Turunan Fungsi Komposisi Komposisinya dan turunannya menjadi   u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )) f ◦g :  w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))  

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t





= 

∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂y

∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂z

  

∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

 dan 

∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s

∂u ∂t ∂v ∂t ∂w ∂t

 

dengan ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

8 / 25


Turunan Fungsi Komposisi Cara Mengingat

Misalkan u = u (x, y , z ), maka du =

∂u ∂u ∂u dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal Dalam hal ini du ∂u dx ∂u dy ∂u dz = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal dan ∂u ∂t Dalam hal ini: ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

du dt

∂u ∂s

9 / 25






du dt

∂u ∂s

9 / 25






du dt

∂u ∂s

9 / 25






du dt

∂u ∂s

9 / 25






du dt

∂u ∂s

9 / 25


Operator Turunan Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan z = z (s, t ). 2 ∂2 u ∂2 u Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t , ∂t 2 . ∂u ∂x ∂u ∂y ∂z ∂u Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u ∂z ∂s , maka definisikan operator turunan terhadap s, yaitu ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + ∂s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z serupa turunan terhadap t. 2 Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator di atas untuk ∂u ∂s , hasilnya adalah ∂ ∂u ∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂s ∂s ∂x ∂s ∂s ∂y ∂s ∂s ∂z ∂s Perhatikan bahwa tidak boleh ada space yang berbeda.

∂2 u ∂x ∂s ,


karena x, s dua variabel di 10 / 25



∂2 u ∂x ∂s ,





∂2 u ∂x ∂s ,





∂2 u ∂x ∂s ,





∂2 u ∂x ∂s ,




Operator Turunan dan Turunan Kedua

Perhatikan bahwa tidak boleh ada space yang berbeda.

2

v

2

1

∂2 u ∂x ∂s ,

karena x, s dua variabel di

y

2

1

1

u −1 −1

01

2

yang ada, hanya

3

t

x −1 −1

01

∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2

2

3

serta

s −1 −1

01

2

3

∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x ∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2

dan tentu saja, u diganti dengan v serta x diganti dengan y atau z.


11 / 25




2

v

2

1

∂2 u ∂x ∂s ,


y

2

1

1

u −1 −1

01

2

yang ada, hanya

3

t

x −1 −1

01

∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2

2

3

serta

s −1 −1

01

2

3

∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x ∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2



11 / 25




2

v

2

1

∂2 u ∂x ∂s ,


y

2

1

1

u −1 −1

01

2

yang ada, hanya

3

t

x −1 −1

01

∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2

2

3

serta

s −1 −1

01

2

3

∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x ∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2



11 / 25




2

v

2

1

∂2 u ∂x ∂s ,


y

2

1

1

u −1 −1

01

2

yang ada, hanya

3

t

x −1 −1

01

∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2

2

3

serta

s −1 −1

01

2

3

∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x ∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2



11 / 25


Operator Turunan Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan z = z (s, t ). 2 Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , ∂ ∂u ∂ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂ ∂u ∂x = +... ∂s ∂x ∂s ∂x Untuk mencari ∂s∂ ∂u ∂x ∂s , maka dituliskan ∂ ∂u ∂x ∂x ∂ ∂x ∂u ∂ ∂u = + ∂s ∂x ∂s ∂s ∂x ∂s ∂s ∂s ∂x | {z } ini yang pakai operator

∂x ∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂s ∂x ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂z ∂x 2 ∂u ITB) ∂ x FMIPA Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, Fungsi Bernilai Vektor 12 / 25


Operator Turunan Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan z = z (s, t ). 2 Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , ∂ ∂u ∂ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂ ∂u ∂x = +... ∂s ∂x ∂s ∂x Untuk mencari ∂s∂ ∂u ∂x ∂s , maka dituliskan ∂ ∂u ∂x ∂x ∂ ∂x ∂u ∂ ∂u = + ∂s ∂x ∂s ∂s ∂x ∂s ∂s ∂s ∂x | {z } ini yang pakai operator

∂x ∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂s ∂x ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂z ∂x 2 ∂u ITB) ∂ x FMIPA Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, Fungsi Bernilai Vektor 12 / 25


Operator Turunan Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan z = z (s, t ). 2 Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , ∂ ∂u ∂ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂s ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂ ∂u ∂x = +... ∂s ∂x ∂s ∂x Untuk mencari ∂s∂ ∂u ∂x ∂s , maka dituliskan ∂x ∂ ∂u ∂x ∂ ∂u ∂ ∂x ∂u = + ∂s ∂x ∂s ∂s ∂x ∂s ∂s ∂s ∂x | {z } ini yang pakai operator

∂x ∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂s ∂x ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂z ∂x 2 ∂ x FMIPA ∂u ITB) Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, Fungsi Bernilai Vektor 12 / 25


Operator Turunan Untuk mencari ∂ ∂s

∂u ∂x ∂x ∂s

∂ ∂s

∂u ∂x ∂x ∂s

, maka dituliskan

∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂x ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂z ∂x 2 ∂ x ∂u + 2 ∂s ∂x ∂2 u ∂x 2 ∂x ∂y ∂2 u ∂x ∂z ∂2 u = 2 + + ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂s ∂z ∂x ∂s ∂s 2 ∂ x ∂u + 2 ∂s ∂x

Kita tinggal menghitung ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u ∂y dan ∂s ∂y ∂s ∂s ∂z ∂s Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

13 / 25


Operator Turunan Untuk mencari ∂ ∂s

∂u ∂x ∂x ∂s

∂ ∂s

∂u ∂x ∂x ∂s

, maka dituliskan

∂x ∂ ∂u ∂y ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u = + + ∂s ∂x ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂z ∂x 2 ∂ x ∂u + 2 ∂s ∂x ∂2 u ∂x 2 ∂x ∂y ∂2 u ∂x ∂z ∂2 u = 2 + + ∂x ∂s ∂y ∂x ∂s ∂s ∂z ∂x ∂s ∂s 2 ∂ x ∂u + 2 ∂s ∂x

Kita tinggal menghitung ∂ ∂u ∂z ∂ ∂u ∂y dan ∂s ∂y ∂s ∂s ∂z ∂s Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

13 / 25


Contoh Transformasi Turunan Example Misalkan u (x, t ) fungsi yang mempunyai turunan kedua dan memenuhi persamaan gelombang satu dimensi c 2 uxx = utt Tuliskan persamaan gelombang tersebut dalam koordinat ξ = x − ct dan η = x + ct Solution Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x=

ξ+η ξ−η dan y = 2 2

Jadi u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ dan η.


14 / 25






14 / 25






14 / 25


Contoh Transformasi Turunan Solution ξ +η

ξ −η

Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ dan η. Kita harus mencari

∂u ∂u ∂x , ∂y .

Dalam hal ini ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η Perhatikan operator

∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η

Selanjutnya ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = + = + ∂x ∂x ∂x ∂ξ ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

15 / 25



ξ −η


∂u ∂u ∂x , ∂y .


∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η


15 / 25



ξ −η


∂u ∂u ∂x , ∂y .


∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η


15 / 25



ξ −η


∂u ∂u ∂x , ∂y .


∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η


15 / 25



ξ −η


∂u ∂u ∂x , ∂y .


∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η


15 / 25



ξ −η


∂u ∂u ∂x , ∂y .


∂ ∂x

=

∂ ∂ξ

+

∂ ∂η


15 / 25


Contoh Transformasi Turunan Solution ∂ ∂x

∂u ∂x

∂ = ∂x

∂u ∂u + ∂ξ ∂η

∂ = ∂x

∂u ∂ξ

∂ + ∂x

∂u ∂η

Dalam hal ini

Carilah

∂ ∂x

∂ ∂x

∂u ∂η

∂u ∂ξ

∂ ∂u = ∂x ∂ξ ∂ ∂2 u ∂ ∂u ∂2 u = + = 2+ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η∂ξ

∂2 u ∂2 u + 2 ∂ξ∂η ∂η Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

16 / 25



∂u ∂x

∂ = ∂x

∂u ∂u + ∂ξ ∂η

∂ = ∂x

∂u ∂ξ

∂ + ∂x

∂u ∂η

Dalam hal ini

Carilah

∂ ∂x

∂ ∂x

∂u ∂η

∂u ∂ξ

∂ ∂u = ∂x ∂ξ ∂ ∂2 u ∂ ∂u ∂2 u = + = 2+ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η∂ξ


16 / 25



∂u ∂x

∂ = ∂x

∂u ∂u + ∂ξ ∂η

∂ = ∂x

∂u ∂ξ

∂ + ∂x

∂u ∂η

Dalam hal ini

Carilah

∂ ∂x

∂ ∂x

∂u ∂η

∂u ∂ξ

∂ ∂u = ∂x ∂ξ ∂ ∂2 u ∂ ∂u ∂2 u = + = 2+ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η∂ξ


16 / 25



∂u ∂x

∂ = ∂x

∂u ∂u + ∂ξ ∂η

∂ = ∂x

∂u ∂ξ

∂ + ∂x

∂u ∂η

Dalam hal ini

Carilah

∂ ∂x

∂ ∂x

∂u ∂η

∂u ∂ξ

∂ ∂u = ∂x ∂ξ ∂ ∂2 u ∂ ∂u ∂2 u = + = 2+ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η∂ξ


16 / 25


Contoh Transformasi Turunan Solution Hasil akhir

∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u + = + 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2

karena u mempunyai turunan kedua yang kontinu Selanjutnya 2 2 2 ∂2 u 2∂ u 2 ∂ u 2∂ u = c − 2c + c ∂t 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2

Dengan demikian, persamaan gelombang dalam koordinat (ξ, η ) adalah ∂2 u ∂2 u 4c 2 = 0 atau =0 ∂ξ∂η ∂ξ∂η jika c 6= 0. Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

17 / 25



∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u + = + 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2



17 / 25



∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u + = + 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2



17 / 25


Persamaan Gelombang 2

Kita telah melihat bahwa persamaan c 2 ∂∂xu2 − ∂2 u =0 ξ = x − ct dan η = x + ct menjadi ∂ξ∂η Dengan demikan hasilnya nol.

∂u ∂η

∂2 u ∂t 2

= 0 di koordinat

= p1 (η ) karena kalau diturunkan terhadap ξ

Selanjutnya u (ξ, η ) = p (η ) + q (ξ )

= p (x + ct ) + q (x − ct ) dengan p (η ) =

R

p1 (η ) d η Solusid 0 Alambert


18 / 25




∂u ∂η

∂2 u ∂t 2

= 0 di koordinat




R



18 / 25




∂u ∂η

∂2 u ∂t 2

= 0 di koordinat




R



18 / 25




∂u ∂η

∂2 u ∂t 2

= 0 di koordinat




R



18 / 25


Divergensi dan Kurl Medan Vektor Misalkan F : R3 → R3 , turunan fungsi ini adalah  ∂F ∂F ∂F   dF = 

1

1

1

∂x ∂F2 ∂x ∂F3 ∂x

∂y ∂F2 ∂y ∂F3 ∂y

∂z ∂F2 ∂z ∂F3 ∂z

 

Untuk matriks, kita menganalisa tentang tracenya

∇·F =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x ∂y ∂z

yang disebut sebagai divergensi. Untuk determinan, kita sudah melihat pada saat transformasi. Cara lain untuk memahami matriks ini adalah melihat matriks t t simetrinya dF +2dF dan matriks anti simetrinya dF −2dF Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

19 / 25



1

1

1

∂x ∂F2 ∂x ∂F3 ∂x

∂y ∂F2 ∂y ∂F3 ∂y

∂z ∂F2 ∂z ∂F3 ∂z

 


∇·F =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x ∂y ∂z


19 / 25



1

1

1

∂x ∂F2 ∂x ∂F3 ∂x

∂y ∂F2 ∂y ∂F3 ∂y

∂z ∂F2 ∂z ∂F3 ∂z

 


∇·F =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x ∂y ∂z


19 / 25



1

1

1

∂x ∂F2 ∂x ∂F3 ∂x

∂y ∂F2 ∂y ∂F3 ∂y

∂z ∂F2 ∂z ∂F3 ∂z

 


∇·F =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x ∂y ∂z


19 / 25


Divergensi dan Kurl Medan Vektor Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada fungsi skalar φ. Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3 Ada dua. Hasil kali skalar ∂F1 ∂F2 ∂F3 ∇·F = + + ∂x ∂y ∂z yang disebut sebagai divergensi. Hasil kali vektor (khusus untuk R3 ) i j k ∂ ∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1 2 3 ∂F2 ∂F3 ∂F1 ∂F2 ∂F1 ∂F3 − i− − j+ − k = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini. Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor

20 / 25



20 / 25



20 / 25



20 / 25



20 / 25


Divergensi dan Kurl Medan Vektor

Nilai !F=2

3

2

3

Nilai !F=0

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Yang pertama F (x, y ) = (x, y ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , x )


21 / 25



Nilai !F=2

3

2

3

Nilai !F=0

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Yang pertama F (x, y ) = (x, y ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , x )


21 / 25



Nilai ! F = 0

3

2

Nilai ! F = 2

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Yang pertama F (x, y ) = (y , −x ) dan yang kedua F (x, y ) = (x + y , y − x )


22 / 25



Nilai ! F = 0

3

2

Nilai ! F = 2

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Yang pertama F (x, y ) = (y , −x ) dan yang kedua F (x, y ) = (x + y , y − x )


22 / 25



Nilai ! F = 0

3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (x + y , −y − x )


23 / 25



Nilai ! F = 0

3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (x + y , −y − x )


23 / 25



Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau

∂F2 ∂x

−

∂F1 ∂y

=0

3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (x, y )


24 / 25



Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau

∂F2 ∂x

−

∂F1 ∂y

=0

3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (x, y )


24 / 25


Divergensi dan Kurl Medan Vektor Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau 3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

∂F2 ∂x

−

∂F1 ∂y

=0

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (y , x ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , −x ), yang kedua ∇ × F 6= 0.


25 / 25


Divergensi dan Kurl Medan Vektor Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau 3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

∂F2 ∂x

−

∂F1 ∂y

=0

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

F (x, y ) = (y , x ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , −x ), yang kedua ∇ × F 6= 0.


25 / 25