Apostila de SINAIS E SISTEMAS

SINAIS E SISTEMAS

Apostila de SINAIS E SISTEMAS

Álvaro Luiz Stelle (PhD) DAELN – CPGEI – CEFET–PR

Março de 2005

CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

I

SINAIS E SISTEMAS

PREFÁCIO Esta apostila tem como objetivo dar ao leitor um embasamento teórico das Transformadas de Laplace, de Fourier e “z”, que serão necessárias nas áreas de Controle, Comunicações e Processamento de Sinais. Considera-se que o leitor já tenha conhecimentos matemáticos englobando números complexos, variáveis complexas e cálculo íntegro-diferencial. Para fixar com maior facilidade alguns conceitos, são fornecidos diversos exemplos e ilustrações ao longo do texto. No anexo estão incluídos diversos exercícios. Aqueles que abrangem as funções de transferência nos planos s e z poderão ser comprovados com a utilização do software FT3D, desenvolvido no Cpgei com finalidade puramente didática, e que resultou de uma dissertação de mestrado. O mesmo pode ser obtido através da internet em http://www.intelisis.com.br/intelisis/ft3d/. Entre tantos outros, um site recomendável para fixação de conceitos básicos referentes às transformadas aqui estudadas é o da Universidade Johns Hopkins, encontrado em http://www.jhu.edu/~signals. Apesar de elaborada com o máximo cuidado, esta apostila poderá conter alguns erros de datilografia (texto e equações) e também no que se refere às ilustrações. Por esta razão, pedimos ao leitor que nos comunique caso os encontre ou caso surja alguma dúvida no que se refere ao conteúdo do material.

Profo.Álvaro Luiz Stelle [email protected]


II

SINAIS E SISTEMAS

ÍNDICE CAPÍTULO 1 - SISTEMAS LINEARES

1

1.1 - Introdução

1

1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais

1

1.3 - Números imaginários e complexos

2

1.3.1 - Números imaginários

2

1.3.2 - Números complexos

3

CAPÍTULO 2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE

5

2.1 - Introdução

5

2.2 - Definição

5

2.3 - Propriedades e pares de transformadas

6

2.4 - Transformada inversa

8

2.5 - Aplicação da transformada de Laplace a circuitos elétricos

12

2.6 - Funções de transferência de sistemas lineares

16

2.7 - Pólos e zeros

20

2.8 - Resposta em freqüência

23

2.9 - Resposta ao impulso e ao degrau

24

2.10 - Lugar das raízes (root locus)

30

CAPÍTULO 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER

36

3.1 - Introdução

36

3.2 - Série de Fourier

36

3.2.1 - Série de Fourier trigonométrica

36

3.2.2 - Série de Fourier exponencial

37

3.3 - Fenômeno de Gibbs

38

3.4 - Teorema de Parseval

42

3.5 - Transformada de Fourier

43

3.6 - Teorema de energia de Rayleigh

46

3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas

46

3.8 - Convolução

46

3.9 - Aplicação das propriedades

50

3.10 - Modulação em amplitude (AM)

53

3.11 - Teoria da amostragem

55

CAPÍTULO 4 - TRANSFORMADA “Z”

59

4.1 - Introdução

59

4.2 - Definição

59


III

SINAIS E SISTEMAS

4.3 - Região de convergência

59

4.4 - Propriedades e pares de transformadas

61

4.5 - Transformada inversa

62

4.5.1 - Método dos resíduos

63

4.5.2 - Método das frações parciais

64

4.5.3 - Método da inversão por divisão (long division)

66

4.6 - Convolução discreta

66

4.7 - Funções de transferência de sistemas discretos

67

4.7.1 - Funções de transferência de sistemas IIR e FIR

68

4.7.2 - Estabilidade do sistema

70

4.7.3 - Resposta em freqüência

70

BIBLIOGRAFIA

75

ANEXO

77


IV

SINAIS E SISTEMAS

1 - SISTEMAS LINEARES 1.1 - Introdução Os conceitos que se pode ter sobre o que é um circuito elétrico, uma rede elétrica ou um sistema elétrico podem ser bastante subjetivos. Porém, quando se fala em sistema, se imagina algo mais complexo tal como um sistema de ensino, de sinalização ou de defesa. Em engenharia, a palavra “sistema” é utilizada para descrever algo que é completo e que tem uma relação causa-efeito. Assim, em um automóvel existem vários sistemas tais como o de combustão, o de refrigeração, o de frenação e o elétrico. Pode-se dizer, porém, que o automóvel é um sistema e que os demais blocos que o compõem são subsistemas. Desta forma, ainda continua sendo subjetiva a conceituação daquilo que é um sistema. Em engenharia elétrica, isto se torna ainda mais complexo, pois um simples circuito RLC pode servir para simular a porta de um elevador, que é um sistema enquanto um circuito integrado pode ser considerado um simples elemento de um sistema. Por esta razão, ao longo desta apostila, estas palavras serão utilizadas indistintamente. Falar-se-á, por exemplo, na resposta do sistema a um impulso, não passando o mesmo de um simples circuito RC ou RLC. 1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais Ao se pensar em uma variação linear, imagina-se que seja suficiente que a função seja definida por uma reta. Porém, do ponto de vista da resposta de um sistema linear, tal reta tem que passar pela origem, pois não pode haver um sinal de saída se o sinal de entrada é nulo. Um sistema é dito linear se puder ser representado por uma ou mais equações diferenciais lineares (aquelas em que os coeficientes são constantes). A propriedade mais importante destes sistemas é o fato de poder aplicar o princípio da superposição, que é dado pela equação n

diy

i 0

dti

 ai

k

dix

i 0

dti

 bi

onde “x” é a variável de entrada e “y” é a de saída. Isto significa que a saída global pode ser calculada a partir da soma das saídas individuais. Circuitos práticos constituídos de resistores, indutores, capacitores e fontes de corrente e tensão são sistemas lineares desde que sejam todos elementos lineares, o que já é difícil em termos práticos, pois os valores já variam em função da temperatura, por exemplo. Um simples diodo já leva à não linearidade. Seguem duas equações, uma delas caracterizando uma função linear e a outra uma função não linear. L

di( t)  Ri( t)  20 dt


linear

1

SINAIS E SISTEMAS

d2i( t) dt 2

não linear

 Ki( t) 3  0

Na prática, os sistemas não chegam a ser totalmente lineares. Este é o caso de um amplificador, cuja saída satura quando o sinal de entrada se torna maior que um valor máximo admissível. Caso isto ocorra, surgem as distorções no sinal de saída, o que implicará no surgimento de componentes espectrais indesejáveis. Na figura 1.1, estão ilustradas algumas funções não lineares comumente encontradas nos circuitos eletrônicos. y

y

y

x

x

(a)

(b)

x

(c)

Figura 1.1 - Não linearidade causada por (a) saturação, (b) zona morta e (c) histerese. Por último, deve-se dizer que os sistemas lineares realizáveis obedecem ao princípio da causalidade. Tal tipo de sistema é denominado sistema causal e se caracteriza pelo fato de não responder a um sinal antes que o mesmo lhe seja aplicado. Em outras palavras, significa que suas variáveis de saída dependem dos valores atuais e dos valores passados das variáveis de entrada (e de saída em caso de realimentação); nunca de valores futuros. Isto pode não ocorrer para sistemas não lineares. Para o estudo dos sistemas lineares e invariantes no tempo, faz-se uso das transformadas de Laplace (sistemas analógicos), de Fourier (análise espectral geral) e “z” (sistemas discretos), que serão tratadas nos capítulos 2, 3 e 4, respectivamente. Para tal, é necessário que se tenha pleno conhecimento dos números complexos, sobre os quais estão fundamentadas tais transformadas. Por esta razão, faz-se, a seguir, uma rápida revisão dos mesmos. 1.3 - Números imaginários e complexos Foi um tanto infeliz a escolha das denominações “imaginários” e “complexos” para designar tais classes de números, pois dão a idéia de que não pertencem ao mundo físico ou que são “complicados”, o que não é verdade. Segue uma rápida revisão. 1.3.1 - Números imaginários A “unidade imaginária”, também denominada “operador imaginário”, que será representada pelo símbolo “j” (não é aqui adotado o símbolo “i” porque este já é utilizado para corrente elétrica), é utilizada para ajudar na solução de equações do tipo x2 = -9. Por definição j2 = -1, o que leva a j  1 , j3 = -j e j4 = 1. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

2

SINAIS E SISTEMAS

1.3.2 - Números complexos O produto resultante da multiplicação de um número real pelo operador imaginário resulta em um número imaginário enquanto a soma de um número real com outro imaginário gera um número complexo. Um número complexo do tipo A = a + jb pode ser representado em três formas básicas, que são: 1) Forma cartesiana A  a  jb

onde

j  1, a  Re(A) e

onde

C  A  a2  b2

b  Im(A)

2) Forma polar A  C 

e

  atan

b a

3) Forma exponencial

A  C e j  C cos()  jC sin() Para se ter uma idéia melhor, pode-se representar um número complexo graficamente sobre o que se denomina “plano complexo”, como ilustrado na figura 1.2. Como se pode notar, os mesmos são gerados a partir de relações trigonométricas básicas. Surge, então a identidade de Euler, que é dada por e j  cos()  j sin() donde se obtém cos() 



1 j e  e j  2



e

sen() 



1 j e  e j 2j



As operações matemáticas básicas com dois números complexos “A” e “B” representados por j A  ajb Ce 1

e

j B  c+j d D e 2

podem ser obtidas da seguinte forma: 1) Soma algébrica

A  B  (a + c)  j (b + d) 2) Multiplicação A . B  (ac  bd)  j (bc  ad) = C . D e

j (12)

3) Divisão CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

3

SINAIS E SISTEMAS

 AB (ac  bd) + j (bc  ad) C j (12 )    e 2 2 D B B B c d A

onde B  c  jd é denominado “conjugado de B”.

Im C=

a2  b2

 a = C cos 

A b = C sen 

Re

Figura 1.2 - Plano complexo


4

SINAIS E SISTEMAS

2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE 2.1 - Introdução Enquanto a Transformada de Fourier (TF), que será vista no capítulo 3, é mais propícia para a análise espectral, a Transformada de Laplace (TL) é melhor para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema. Além disso, as grandes tabelas da TL encontradas na literatura englobam um número bem maior de pares de transformadas conhecidas do que as de Fourier. Isto se deve, em parte, ao fato da variável de freqüência da TF se restringir ao eixo imaginário do plano “s”. A TF só permite analisar transitórios quando a função é limitada de zero a infinito, como é o caso do degrau unitário e do impulso. No caso do seno, por exemplo, só permite a análise em regime permanente 2.2 - Definição Para que se possa obter a TL de um sinal x(t), o mesmo deve satisfazer a condição 

 x( t) e

 t dt   .

para  positivo e real

0

Comparando com as condições da TF, a presença do termo exponencial e o fato da integral ser de zero a infinito permitem que um número bem maior de funções, tais como “t”, “t2” e “ea t” para a0 tenha Transformada de Laplace (de um ponto de vista mais restrito, estas funções não tem TF). Existem, porém, funções como “ex”, onde “x=tn, que não têm qualquer uma das transformadas (na análise de circuitos, tal tipo de sinal não é utilizado). O par de transformadas é dado por: 

X( s ) 

 x( t) e

 st

dt

transformada

0

  j

x( t) 

1 X(s) e st ds  2j   j

transformada inversa

A variável “s”, utilizada na transformada de Laplace, é complexa ( s    j ) e passa o sinal do domínio do tempo para um domínio de freqüências complexas. Assim, as funções em “s” são tridimensionais, pois a variável constitui um plano (plano “s”) e não apenas um eixo.

Os símbolos utilizados para as integrais são: X(s) =

L [x(t)]

e

x(t) =

L-1[X(s)].

enquanto que o par de transformadas é simbolizado por x(t)  X(s).


5

SINAIS E SISTEMAS

Quando x(t) tem um impulso ou uma descontinuidade na origem, como é o caso do degrau unitário, é necessário que x(0) seja incluído na integral. Vem daí o fato de se ter colocado o termo "0- " como limite inferior. Seguem 4 exemplos, os quais são calculados diretamente através da definição. 1) degrau unitário

x( t)  u( t) 

X( s ) 

 u( t) e

 st



dt 

0

e

 st

0

  1 dt    e  st    s



 0

1 s

2) exponencial decrescente

x( t)  e  at u( t) 

X( s ) 

e

 at

e



 st

dt 

0

e

 ( s  a) t

0

1   dt    e ( s  a) t   sa 



 0

1 sa

3) rampa

x( t)  t u( t) 

X( s ) 



t e  st dt 

0

1 s2

4) impulso unitário [trata-se de um pulso retangular ou triangular (ver item 3.5), por exemplo, que só é definido para t = 0. Seu tempo de duração é nulo e sua amplitude tende a infinito, dando-lhe uma área unitária]. 1 A 0 A

x( t)  (t) = lim 

X( s ) 

 ( t ) e

0



 st

 t     A   lim  A A 0 A  t



dt 

 ( 0 ) e

0



1

 s0



dt 

 ( t) dt  1

0

2.3 - Propriedades e pares de transformadas Para se evitar o cansativo uso da definição, faz-se uso de algumas propriedades da transformada de Laplace, que são dadas na Tabela 2.1, e de transformadas já conhecidas como as da Tabela 2.2, que são as mais utilizadas na análise de circuitos elétricos básicos. Nos próximos 5 exemplos, serão utilizadas algumas propriedades e algumas transformadas já conhecidas. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

6

SINAIS E SISTEMAS

1) seno (propriedade da linearidade e transformada da exponencial) ejt  e jt 2j

x(t)  sent 

X(s) 

1 1 1      2 2 j  s  j s  j  s   2

2) co-seno (propriedade da diferenciação e transformada do seno) e jt  e jt 1 d sent   dt 2

x( t)  cost 

sent 

X(s) 

 s  2

e

2

d sent dt

s

 s  2 2

 sen0

1 s s 0  2 2 2  s  s  2

3) produto “rampa x exponencial decrescente” (propriedade da diferenciação complexa) eat 

1 sa

t. eat  

t. x(t)  

e

dX(s) ds

d  1  1    ds  s  a s  a2

4) produto “seno x exponencial decrescente” (propriedade da translação complexa) sent 

 s  2

e-at.sent 

e-at.cost 

e

2

e-at. x(t)  X(s  a)



s  a2   2 sa

s  a2   2

5) convolução de um sinal qualquer com um impulso Em um sistema linear e invariante no tempo, ocorre uma convolução (ver item 3.8) do sinal de entrada x(t) com sua resposta ao impulso h(t), gerando um sinal de saída y(t). Fazendo x(t) = (t), obtém-se y(t) = h(t), que é a resposta ao impulso. Em termos práticos, para se obter a resposta ao impulso h(t) de um circuito, deve-se aplicar um pulso relativamente estreito (faixa espectral bem larga) na sua entrada, de tal CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

7

SINAIS E SISTEMAS

forma que simule um “impulso”, registrando o sinal de saída, por exemplo, em um osciloscópio de memória. Segue a demonstração matemática. x( t)  (t) X(s)  1 Y(s) 

1 sa

h(t)  eat 1 H(s)  sa

y(t)  x(t)  h(t) Y(s)  X(s). H(s)  H(s)

y(t)  eat

2.4 - Transformada inversa Difícil de ser calculada pela sua definição, procura-se obtê-la através das tabelas já existentes. Funções mais complexas (funções racionais) devem ser simplificadas de modo que se chegue a várias transformadas mais simples (frações parciais), cujas transformadas inversas sejam conhecidas. A técnica da expansão em frações parciais é mostrada a seguir para equações com raízes simples. Para outras funções mais complexas, deve-se procurar maiores informações na literatura. Segue a demonstração do método de expansão em frações parciais. Seja H(s) uma função racional própria (o grau do numerador é menor que o do denominador), do tipo N(s) an sn  an 1 sn 1    a1 s  a0 H(s)   D(s) bm sm  bm 1 sm 1    b1 s  b0

nm

Uma vez determinadas as raízes de D(s), a mesma pode ser reescrita como H(s) 

N(s) s  s0  s  s1  s  sm1

o que equivale a H(s) 

K0 K1 K m 1     s  s0  s  s1 s  sm1

Basta, agora, determinar-se os valores das constantes Km, que são obtidos da seguinte forma: K m  s  sm  H(s) s  s

m

Caso a função seja imprópria (fato inaceitável do ponto de vista prático porque leva à instabilidade do sistema), basta efetuar, primeiramente, a divisão de N(s) por D(s) até chegar-se a uma função própria. No primeiro caso dos dois exemplos seguintes, o grau de N(s) é menor do que o grau de D(s), o que não significa que o sistema seja realizável e estável e, no segundo caso, o grau de N(s) é maior do que o de D(s), o que já implica que o sistema não é realizável. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

8

SINAIS E SISTEMAS

Tabela 2.1 - Propriedades da Transformada de Laplace. Nome

Função no Tempo

Transformada

Linearidade

a. x(t)  b. y(t)

a. X(s)  b. Y(s)

Deslocamento no tempo

x( t  t0 ) u( t  t0 )

Mudança de escala

x(a. t)

Diferenciação (no tempo)

dx(t) dt

s. X(s)  x(0)

d2x(t)

s2. X(s)  s. x(0)  x(0)

t0  0

a0

X(s). est0 1 Xs a a

dt2 Integração (no tempo)

t

 x(). d

1 X(s) s

0 t

0

 x(). d



1 1 X(s)   x(). d s s 

x( t). eat

X(s  a)

Diferenciação na freqüência (multiplicação por -t)

t. x(t)

dX(s)

Integração na freqüência (divisão por t)

x(t)

Deslocamento qüência

na

fre-

ds 

 X(s). ds

t

s

Convolução (*)



 x(). y(t  )d

X(s). Y(s)



Valor Inicial

x(0)  lim x( t)

Valor final

x()  lim x(t)

t 0

t

lim s. X(s)

s

lim s. X(s) (pólos

s0

de

sX(s)

no SPE) Periodicidade de x(t)

f(t)  f(t  nT) n = 1, 2, ...

F1(s ) 1 e

 sT

T

F1( s ) 

 x( t)e

 st

dt

0

(*) Obs: Uma demonstração gráfica da convolução é dada no item 3.8.


9

SINAIS E SISTEMAS

Tabela 2.2 - Pares de transformadas Par x(t)

X(s)

1

impulso unitário (t)

1

2

degrau unitário u(t)

1/s

3

t

1/s2

4

e a t

1/(s+a)

5

t e a t

1/(s+a)2

6

sen  t

 s  2 2

7

cos  t

s s  2 2

8

9 10

tn e-a t



1 ea t  eb t ba



s

s  a s  b



ea t sen  t



1 s s  a s  b 

s  a2   2

ea t cos  t 1

sa

s  a2   2

a t  1  e 

1

a t

a2

n 1  2 1    

1

s2 s  a

e n t sen  n 1  2 t  

 1

16

17

s  a s  b

1   a t  a eb t  1  a  b b e  

12

15

1



1 ab

14

s  an1



1 b eb t  a ea t ba

11

13

n!

(m = 1,2,3,... )

e

2

ta n

 1

1 1 

  ta n  1

2

  

n

t

1   

e  1  

n t

s e n

  

n

 n2 s2  2n s  n2 1  

2

t

2

s e n   

2


n

1   2 t    



 

s s2  2n s  n2 n2 s (s2  2n s  n2)

10

SINAIS E SISTEMAS

1) O grau de N(s) é menor do que o de D(s). s2  2s  2

H(s) 

s3  s2  6s

A  s H(s) s  0  s



s2  2s  2 s s  2 s  3

B  (s  2) H(s) s 2 

C  (s  3) H(s) s  3 

h( t) 

s2  2s  2 A B C    s s  2 s  3 s s  2 s  3

s2  2s  2 s s  3

s2  2s  2 s s + 2

 s0

s2  2s  2 s  2 s  3

 s 2

 s3

 s0

1 3

1 5

13 15

1 1 13 3 t u( t)  e 2 t  e 3 5 15

Pode-se notar que o termo C/(s - 3) causou uma exponencial crescente, o que implica que o sistema é instável. O termo (s - 3) foi proveniente do fato do denominador ter termos positivos e negativos, o que não pode ocorrer. A raiz s3 = 3 se encontra na parte direita do plano “s” (semi-plano direito - SPD), isto é, s3 = Re(s) =  = 3. Para que o sistema seja totalmente estável, todas as raízes do denominador (pólos) deverão estar localizadas no semi-plano esquerdo (SPE). Este assunto será tratado mais adiante. 2) O grau de N(s) é maior do que o de D(s) F(s) 

s3  3s2  3s  2 s  2s  2 2

 s  1

s s  2s  2 2

 s  1

s (s  1)2  1

Sabe-se que

s s  2

2

 cos(t) ,

 s  2

2

 sen(t)

e

x(t)e-at  X(s  a)

A última fração de F(s) pode ser alterada de forma que se chegue a funções do tipo X(s+a). Para que se obtenha um co-seno, o número “1” deve ser somado ao numerador. Para compensar tal soma, o número “1” é também subtraído. F(s)  s  1 

F(s)  s  1 

s (s  1)  1 2

s 1

 s  1



(s  1)  1 (s  1) 2  1

1

(s  1)  1 (s  1) 2  1 2


1  (t)  s   (t)

11

SINAIS E SISTEMAS

f(t)   (t)  u( t)  eatsen(t)  cos(t) 2.5 - Aplicação da transformada de Laplace a circuitos elétricos Considere-se, primeiramente, os elementos básicos de um circuito elétrico que são o resistor (R), o indutor (L) e o capacitor (C). Quando os mesmos são submetidos a fontes de tensão e/ou corrente, como mostra a Figura 2.1, surgem as equações básicas, que são dadas por:

Resistor

v( t)  R i(t)  V(s)  R I(s)   i( t)  G v(t)  I(s)  G V(s) 

Indutor

d i( t)   v( t)  L dt  V(s)  sL I(s)  L i(0)   i(t)  1 v( t) dt  i(0)  I(s)  1 V(s)  i(0)  L sL s

Capacitor

v(0) 1 1   v(t)  C  i(t) dt  v(0)  V(s)  sC I(s)  s   i( t)  C d v(t)  I(s)  sC V(s)  C v(0)  dt

A partir destas equações, pode-se, através da lei das malhas e da lei dos nós, chegar-se às equações integro-diferenciais dos circuitos, as quais não seriam de fácil resolução através do método clássico. Com a aplicação da transformada de Laplace, tais equações são transformadas em algébricas. Posteriormente, aplicando-se a transformada inversa, volta-se ao domínio do tempo caso seja necessário.

v(t)

i(t)

R

(a)

v(t)

i(t)

(b)

R

v(t)

i(t)

C

(c)

Figura 2.1 - Elementos básicos de um circuito elétrico. (a) Resistor “R”, (b) indutor “L” e (c) capacitor “C”. Seguem alguns exemplos. 1) Calcular a corrente i(t) e as tensões vr(t) e vc(t) no circuito RC ilustrado na Figura 2.2 após ligar a chave. A tensão inicial sobre o capacitor deve ser considerada nula. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

12

SINAIS E SISTEMAS

S

R

+

i(t)

V

C

-

Figura 2.2 - Circuito RC série. Como a tensão da fonte é contínua, pode-se fazer v(t)=Vu(t)=V. Assim, a equação da malha fica sendo V  Ri( t) 

0  1 V 1  I(s)  i( t)dt  i( t)dt   RI(s)  C s sC    





onde a carga inicial do capacitor é dada por 0

 i( t)dt  Q c (0)  0 .



Desenvolvendo a equação, isolando I(s) e calculando a tensão sobre o capacitor, vem 1 V   I(s)R  sC  s  I(s) 

V 1  sR  sC  

Vc (s) 



V 1   Rs    RC 

t

V   i(t)  e RC u( t) R

V V 1 1 1 I(s)   1  RC  1  sC sC  Rs  ss     RC   RC 

Usando a tabela de transformadas, pode-se calcular a tensão sobre o capacitor. 1

s  a s  b





1 eat  ebt ba



onde

a0

e

b

1 RC

t  1   t   V 1  0 t   vc ( t)  e  e RC  V 1  e RC      1 RC     RC


13

SINAIS E SISTEMAS

Uma forma mais fácil de se calcular a tensão sobre o capacitor é calcular, primeiramente, a tensão sobre o resistor e subtrair esta da tensão da fonte , como mostrado abaixo. Vr (s)  R I(s)  R

V 1  sR  sC  



V 1   s  RC   



vr ( t)  V e



t RC

u( t)

ou ainda t

t

 V  vr ( t)  R i(t)  R e RC u(t)  V e RC u( t) R

Agora, basta fazer vc ( t)  V  vr (t)  V  V e



t RC

t      RC  V 1 e    

O produto RC é denominado constante de tempo. Fazendo-se t =RC na equação de vc(t), obtém-se vc ( t)  V  V e



RC RC





 V 1  e1  V(1  0,3679)  0,6321 V

Isto significa que, considerando nulas as condições iniciais, a tensão sobre o capacitor atinge 63,21% do valor máximo V durante a primeira constante de tempo (t = 0 a t = RC), chegando a este valor em, aproximadamente, 5 constantes de tempo. No caso da tensão sobre o resistor, esta decai de forma inversa, como ilustrado nos gráficos de i(t), vr(t) e vc(t) a seguir, onde se considerou V=10, e R=2 e C=0,5.

(a)

(b)

Figura 2.3 - Gráficos de (a) i(t) e (b) vr(t) e vc(t). Obs: Como se assume, na transformada de Laplace, que a variável tempo é válida de zero a infinito, o termo u(t) é opcional. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

14

SINAIS E SISTEMAS

2) Calcular i(t) no circuito RL-RLC da Figura 2.4 após a passagem do interruptor para a posição 2 em t=0. Considerar V1=V2=100V, R=50, L=100mH, C=1mF e i(t) no sentido convencional.

R

1

2

C

R

_

+

V1

i(t)

_V2

L

+

Figura 2.4 - Circuito do exemplo 2. Posição (1) - Considerando que o sistema já esteja em repouso (já ocorreu um transiente), o que faz com que apenas o resistor esteja influenciando no circuito, pode-se calcular a corrente atual (futuro valor inicial i(0)). i( t) 

100  2 50

(sentido convencional)

Passando o interruptor para a posição 2, a equação geral da malha fica sendo: 100  50 i(t) 

1 di( t) i(t) dt  01 ,  0,001 dt

Com a aplicação da transformada, vem 100 I(s)  50 I(s)  1000  01 , s I(s)  (2) s s

onde

i(0)  2

100  0,2 1000  2s 1000  2s s  2  I(s)  1000 s  21s  479 50   01 , s s  500s  10000  s Aplicando o método de frações parciais, chega-se a I(s) 

1042 1 1958 1 A B    458 s  21 458 s  479 s  21 s  479

e

i(t)  2,275 e21 t  4,275 e479 t .

É interessante observar, neste exemplo, que, apesar do circuito final ser do tipo RLC, o mesmo não oscilou, fornecendo uma corrente composta por duas funções exponenciais. O gráfico está ilustrado na Figura 2.5. Percebe-se que a corrente inicial (t = 0) é -2A, como previsto. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

15

SINAIS E SISTEMAS

Figura 2.5 - Corrente na malha RLC do circuito dado no exemplo anterior. 2.6 - Funções de transferência de sistemas lineares Considere-se um sistema linear e invariante no tempo com suas variáveis de entrada e de saída nos domínios do tempo e da freqüência complexa, como ilustrado na Figura 2.6. Tais variáveis podem ser as mais diversas, tais como tensão, corrente, força, torque, ângulo, deslocamento e outras. É denominada função de transferência H(s) a relação Y(s)/X(s). Por exemplo, em circuitos elétricos, pode-se considerar funções tais como os ganhos de tensão, corrente, transcondutância e transresistência de amplificadores e a variação da velocidade angular do motor em função do ângulo de giro do potenciômetro (de eixo) de controle.

x(t)

h(t)

y(t) = x(t)  h(t)

X(s)

H(s)

Y(s) = X(s) . H(s)

Figura 2.6 - Sistema linear e invariante no tempo. Será dada, a partir deste ponto, especial atenção aos filtros analógicos. Por esta razão, nos próximos exemplos, será considerada como função de transferência, o ganho (ou atenuação) de tensão, i.e., H(s)=Av(s)=Vo(s)/Vi(s). Seguem 6 exemplos. 1) No circuito RC da Figura 2.7, que é um filtro passa-baixas, pode-se aplicar como tensão de entrada, com a chave já fechada, um impulso e tomar-se a tensão sobre o capacitor como variável de saída. Desta forma, a função de transferência é dada por 1 1   RCs   V (s) Vc (s)  RC   H(s)  o   Vi(s) 1 1


1 RC  a 1 sa s RC

16

SINAIS E SISTEMAS

enquanto que a respectiva resposta ao impulso, que é a transformada inversa de H(s), é dada por t

h( t)  a e

at

1  RC  e . RC

É possível obter H(s) aplicando-se qualquer tipo de sinal à entrada do circuito, porém os cálculos ficam mais fáceis se o impulso for utilizado. A tensão de saída também pode ser calculada a partir de um divisor de tensão ou de corrente. Desta forma, no circuito em questão, fazendo Z1(s)=R e Z2(s)=1/sC (considerando nulas as condições iniciais), a tensão de saída é obtida da seguinte maneira. Vo(s)  I(s) Z 2 (s)  Vi(s)

Z 2(s) Z1(s)  Z 2(s)

Isolando-se, agora, a relação Vo(s)/Vi(s), vem 1 1 1 Z 2(s) H(s)   sC   RC 1 1 Z1(s)  Z 2 (s) sRC  1 R s sC RC como visto anteriormente.

C

R Vi(s)

C

I(s)

Vo(s)

Vi(s)

(a)

I(s)

R

Vo(s)

(b)

Figura 2.7 - Filtros RC de primeira ordem tipo (a) passa-baixas e (b) passa-altas. 2) No circuito da Figura 2.7-b, inverteram-se as posições de R e C, que o torna um filtro passa-altas. Tomando-se a tensão sobre o resistor como tensão de saída, obtém-se: H(s) 

Z 2(s)  Z1(s)  Z 2 (s)

R R

1 sC



sRC  sRC  1

s s

1 RC

Para calcular h(t), efetua-se a divisão do numerador pelo denominador, que resulta em


17

SINAIS E SISTEMAS

1 s a H(s)   1  RC  1  1 1 sa s s RC RC

donde vem t

h( t)  ( t)  a e

at

1  RC  ( t)  e . RC

Observando-se o polinômio do denominador de H(s) em ambos os exemplos, percebe-se que os mesmos são de ordem 1, o que é causado pelo fator “s” do capacitor. Por esta razão, estes filtros são ditos de primeira ordem. Além disto, tal polinômio é o mesmo em ambos os casos. Nos próximos 4 exemplos, serão analisados os circuitos da Figura 2.8. Trata-se de circuitos RLC simples, nos quais apenas a posição dos componentes varia. A introdução do indutor provocará o aparecimento de outro fator “s”, elevando o grau do polinômio do denominador para 2, tratando-se, assim, de filtros de segunda ordem.

R

R

L I(s)

Vi(s)

C

Vo(s)

I(s)

Vi(s)

(a)

L Vi(s)

L Vo(s)

(b)

C I(s)

C

R

R

Vo(s)

L V i(s )

V o(s )

I(s ) C

(c)

(d)

Figura 2.8 - Filtros RLC de segunda ordem tipo (a) passa-baixas, (b) passa-altas, (c) passa-faixa e (d) corta-faixa. 3) No caso do circuito da Figura 2.8-a, que é um filtro passa-baixas, H(s) será dada por


18

SINAIS E SISTEMAS

1 1 Z 2(s) LC H(s)    2  1 R 1 Z1(s)  Z 2 (s) 2 1 s LC sRC   R  sL  s s  sC L LC 1 sC

Esta equação pode ser comparada à equação 16 da tabela de transformadas, que é padronizada e que, após a mudança do termo n para 0, passa a ser H(s) 

 02 s2  2 0 s   0 2

É também utilizada uma outra forma, que é 02 H(s)   s2  0 s   0 2 Q Por comparação, deduz-se que:  02 

1 LC

0 

1 LC

f0 

1

Q

2 LC

L 1 L X 1  0   L R R C R 2

O termo 0 é a freqüência de ressonância dada em rad/s, enquanto que f0 é a freqüência de ressonância dada em Hz. Os termos Q e  são denominados, respectivamente, fator de qualidade e fator de amortecimento. Este último é utilizado nas funções de resposta ao impulso (ver tabela de transformadas). Obs: Na freqüência de ressonância, XL=XC. 4) O circuito da Figura 2.8-b é um filtro passa-altas e tem H(s) dada por s2 s2 H(s)   2   2 1 s LC  sRC  1 s 2  s R  1 s  2 0 s   0 2 R  sL  sC L LC sL

s 2LC

5) O circuito da Figura 2.8-c, por sua vez, é um filtro passa-faixa, cuja função de transferência é R R sRC 2 0 s L  2   2 H(s)  1 s LC  sRC  1 s 2  s R  1 s  2 0 s   0 2 R  sL  sC L LC s

6) Por último, o filtro corta-faixa ilustrado na Figura 2.8-d, tem 1 1 s2  2 s LC  1 s2   0 2 sC  LC   H(s)  1 s 2LC  sRC  1 s 2  s R  1 s2  2 0 s   0 2 R  sL  sC L LC sL 


19

SINAIS E SISTEMAS

Como se pode observar, os denominadores são iguais. Exercícios: Através da obtenção de H(s), determinar o tipo de filtro de cada um dos circuitos da figura 2.9.

R1

Vi(s)

C1

R2

R

C2

I(s)

Vi(s)

Vo(s)

(a)

L

C

Vo(s)

(b)

L C Vi(s)

I(s)

R

Vo(s)

(c) Figura 2.9 - Filtros de segunda ordem tipo (a) passa-faixa RC-RC, (b) passa-faixa RLC e (c) corta-faixa RLC. 2.7 - Pólos e zeros Diz-se que H(s) tem um pólo no ponto onde seu valor tende a infinito e um zero onde seu valor tende a zero. No caso, do filtro passa-baixas RC estudado anteriormente (ver figura 2.7), o pólo está localizado em “s = -1/RC” enquanto o zero ocorre quando “s” tende a infinito. Como “s” é uma variável complexa, H(s) é uma função tridimensional. Na figura 2.10, está ilustrado o módulo de H(s) completo para a = -1 e || = ||  3 e também com um corte feito sobre o eixo imaginário, onde s = j, o qual representa a transformada de Fourier de h(t), ou seja, H(j). Acompanham, ainda, as curvas de contorno (vista superior do |H(s)|), que mostram a localização do pólo e também as curvas de resposta em freqüência para 0    3 (|H(j)| e fase). Tanto os pólos quanto os zeros podem ser reais, imaginários ou complexos. As posições que eles ocupam no plano “s”, fazem variar o tipo de filtro, suas curvas de resposta em freqüência e a resposta que os mesmos oferecem ao sinal de entrada (impulso, degrau e outros) do ponto de vista do grau de estabilidade, i.e., se são ou não estáveis, tendendo ou não a oscilar, principalmente quando se trata de filtros ativos. As respostas ao impulso e ao degrau são as mais utilizadas quando se estuda um sistema qualquer como um todo (filtros, osciladores, amplificadores, etc.). CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

20

SINAIS E SISTEMAS

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.10 - Detalhes da função de transferência de um filtro passabaixas RC de ordem 1. (a) Módulo de H(s), (b) vista de H(j), (c) vista da localização do pólo e (d) curvas de resposta em freqüência. Para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que o número de zeros seja igual ao número de pólos. Isto significa que o grau do polinômio do numerador seja, no máximo, igual ao do denominador. Além disso, para que o sistema seja estável, é necessário que os pólos estejam localizados, no semi-plano esquerdo (SPE) do plano “s”. Se os mesmos estiverem sobre o eixo imaginário (=0 nos sistemas que envolvem, ao menos, um polinômio de segunda ordem), o sistema oscilará e, caso estejam no semiplano direito (SPD), o sistema será totalmente instável. Neste último caso, os circuitos passivos não são realizáveis, pois envolvem componentes negativos. Pode-se, de qualquer forma, simulá-los com a ajuda de componentes ativos se necessário. Seguem alguns exemplos do cálculo dos pólos e zeros referentes aos exemplos dados anteriormente.


21

SINAIS E SISTEMAS

1) Filtro passa-altas de primeira ordem H(s) 

s s 1

1 zero em s = 0

e

1 pólo em s = -1

2) Filtro passa-baixas de segunda ordem 1  02 LC  H(s)  R 1 s2  2 0 s   02 s2  s  L LC

Esta função tem:

2 zeros quando “s” tende a infinito 2 pólos (s1 e s2) dados por

s12 ,

2 0   2

2 0 2  402 2

  0   0 2  1

Os sistemas de segunda ordem podem ser subdivididos em três tipos, que são a) 0    1  amortecida)

subamortecido (pólos complexos e saída em forma de senóide

b)  = 1  complexos)

amortecimento crítico (s1 = s2, pólos iguais e reais, tendendo a ser

c)   1  sobreamortecido (pólos reais com saída definida por exponenciais, não havendo oscilação) O circuito da figura 2.4, com os valores pré-determinados, forneceu uma corrente i(t) composta por duas funções exponenciais, sendo, portanto, sobreamortecido. Se  = 0, o sistema oscilará fornecendo uma senóide pura. Este é o caso dos osciladores propriamente ditos (ver exemplo do oscilador ponte de Wien). No caso do filtro RLC, isto ocorre para R = 0, não havendo, do ponto de vista teórico, perdas no sistema. No caso dos filtros RLC de segunda ordem tipo passa-altas, passa-faixa e corta faixa, variará tão somente a posição dos zeros, como mostrado a seguir. 3) Filtro passa-altas de segunda ordem H(s) 

s2 s2  R 1 s2  2 0 s   02 s2  s  L LC

2 zeros na origem (s=0)

4) Filtro passa-faixa de segunda ordem


22

SINAIS E SISTEMAS

R 2 0 s L  H(s)  2 R 1 s  2 0 s   02 s2  s  L LC s

1 zero na origem (s = 0)

1 zero quando s   5) Filtro corta-faixa de segunda ordem 1 s2   0 2 LC H(s)   R 1 s2  2 0 s   02 s2  s  L LC s2 

2 zeros em s =  j 

Obs: Nos dois últimos exemplos,  não pode ser igual a zero, pois H(s) se tornaria nula para o filtro passa-faixa (resistor curto-circuitando a saída) e tenderia a 1 no caso do filtro corta-faixa, uma vez que os zeros estariam no mesmo lugar dos pólos, cancelando o efeito dos mesmos. 2.8 - Resposta em freqüência Para se obter a resposta em freqüência de um sistema, basta tomar H(s) e substituir “s” por “j”. De posse de H(j), que é uma função complexa, calcula-se o respectivo módulo, denominado, aqui, de H() e o ângulo de fase (), ou seja: H( j)  H( j) ( j)  H(s) 

N(s) a  jb  D(s) s  j c  jd

N( j) N( j)   H()  H( j)  D( j) D( j)

onde

a2  b2

e

c 2  d2

Im[H( j)] Im[N( j)] Im[D( j)]  N( j) ()  ( j)  tg1   tg1  tg1 Re[H( j)]  D( j) Re[N( j)] Re[D( j)] Como exemplo, determine-se a curva de resposta em freqüência de um filtro cortas2  4 faixa com função de transferência H(s), H(s)  2 s  2s  4 H( j) 

H( j) 

( j  )2  4 4  2  ( j  )2  2 j   4 4   2  2 j 

4  2

4   

2 2

 2

 2

4  2 16  8    4


2

4

2



4  2 16  4 2   4

23

SINAIS E SISTEMAS

4  2

H()  H( j) 

16  4 2   4

e

 2  ()  0  tg1   4  2 

Os respectivos gráficos se encontram plotados na figura 2.11 com escalas lineares.

(a)

(b)

Figura 2.11 - Curvas de resposta em freqüência de um filtro cortafaixa. (a) Ganho H() e (b) fase (). 2.9 - Respostas ao impulso e ao degrau Outra forma de se avaliar os sistemas é através da verificação das suas respostas ao impulso h(t) e ao degrau yu(t). Para o filtro passa baixa de segunda ordem, estas equações são dadas por h( t) 

n 1 

yu( t)  1 

2

e n t sen  n 1  2 t  

e n t 1 

2

t0

  1  2    sen n 1  2 t  tan1       

t0

Para os demais tipos de filtros, deve-se determinar as mesmas através das tabelas de transformadas e aplicando as propriedades. Para mostrar a influência do fator , segue, nas figuras 2.12 a 2.16, uma série de ilustrações, as quais mostram a resposta ao impulso h(t) e ao degrau yu(t), onde se utilizou =[0,1 0,5 0,707 1] para o filtro corta-faixa e para o filtro passa-faixa que contém o termo  no numerador e =[0 0,5 0,707 1] para os demais. Para as curvas de resposta em freqüência H(), mostradas em escala linear, e HdB(), em decibéis, além de (), alterou-se o valor mínimo de  para 0,25 em todos os casos, pois um valor menor que este causaria um ganho muito alto, fazendo com que os detalhes das demais curvas não pudessem ser observados. Obs: Como os filtros podem ser ativos ou passivos


24

SINAIS E SISTEMAS

H(s) 

 02 s2  2 0 s   02

resposta ao impulso ( min  0 )

resposta ao degrau ( min  0 )

H() ( min  0,25 )

HdB() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

Figura 2.12- Filtro passa-baixas.


25

SINAIS E SISTEMAS

H(s) 

s2 s2  2 0 s   02



H() ( min  0,25 )

HdB() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

Figura 2.13- Filtro passa-altas


26

SINAIS E SISTEMAS

H(s) 

s s2  2 0 s   02



H() ( min  0,25 )

HdB() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

Figura 2.14- Filtro passa-faixa (tipo 1)


27

SINAIS E SISTEMAS

H(s) 

2 0 s s2  2 0 s   02

resposta ao impulso ( min  01 , )

resposta ao degrau ( min  01 , )

H() ( min  0,25 )

HdB() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

Figura 2.15- Filtro passa-faixa (tipo 2)


28

SINAIS E SISTEMAS

H(s) 

s2   0 2 s2  2 0 s   02

resposta ao impulso ( min  0,25 )

resposta ao degrau ( min  0,25 )

H()( min  0,25 )

HdB()( min  0,25 )

() ( min  0,25 )

() ( min  0,25 ) Figura 2.16- Filtro corta-faixa


29

SINAIS E SISTEMAS

empregou-se a palavra “ganho”. No caso dos passivos, seria mais apropriada a palavra “atenuação”. Pode-se dizer, finalmente, que a resposta ao impulso e ao degrau, acompanhadas da resposta em freqüência, podem fornecer muito mais dados sobre o sistema do que uma análise esquemática. 2.10 - Lugar das raízes (root locus) Como visto anteriormente, basta variar o valor de  para alterar totalmente o posicionamento dos pólos (lugar das raízes do denominador no plano “s”) e, por conseqüência, o comportamento de um mesmo tipo de circuito. Por sua vez, o posicionamento dos zeros altera o tipo de circuito (tipo de filtro, por exemplo). Com base no par 17 da tabela de transformadas (filtro passa-faixa com numerador independente de ), pode-se dizer que, se  tende a zero, então o sistema tende a oscilar com freqüência n, tornando-se instável. Tudo isto será demonstrado, a seguir, através da análise do lugar das raízes do polinômio do denominador para um circuito oscilador tipo ponte de Wien. O filtro passa-faixa é dado pelo circuito RC-RC ilustrado na figura 2.17. Fazendo R1 = R2 =R e C1 = C2 =C, a função de transferência é dada por: H(s) 

Z 2(s) Z1(s)  Z2(s)

Z1(s)  R 

onde 1 s sC  Z 2(s)  1 1 R s sC RC R

1 sC

e

Substituindo e simplificando obtém-se 1 s RC H(s)  3 1 s2  s 2 2 RC RC Da equação acima, já se pode concluir que  02 

1 R2C2

0 

1 RC

f0 

1 2RC

2 0 

3 RC

  15 ,

Para facilitar os cálculos, R e C serão normalizados (R=C=1), obtendo-se, portanto, H(s) 

s s  3s  1 2


30

SINAIS E SISTEMAS

R1

C1

R2

Vi(s)

C2

Vo(s)

Figura 2.17 - Filtro passa-faixa RC-RC de ordem 2. cujos zeros estão em s = 0 e s =  e cujos pólos estão sobre o eixo real com valores s1 = 2,6180 e s2 = - 0,3820. Com a idéia básica de que, para se obter um oscilador, deve-se aplicar realimentação positiva a um amplificador, será acrescentado um amplificador com ganho variável “K” interligando a saída do filtro com sua entrada, como ilustra a figura 2.18, servindo o filtro como elo de realimentação.

R

C +

_

R2 R

C

R1 K  1

R2 R1

Figura 2.18- Circuito amplificador realimentado através de um filtro passa-faixa. Da teoria básica da realimentação, sabe-se que as funções de transferência de um sistema com realimentação negativa ou positiva, como o ilustrado na figura 2.19, são dadas, respectivamente por G1(s) 

A(s) 1  (s) A(s)

e

G2(s) 

A(s) 1  (s) A(s

Obs: 1) O produto (s).A(s) é denominado ganho de malha (GM). 2) Se o ganho A(s) do sistema tender a infinito, então G(s) dependerá tão somente de (s). Isto ocorre, por exemplo, nos amplificadores, os quais utilizam realimentação negativa para fins de estabilidade. Este é o caso dos amplificadores ilustrados na figura


31

SINAIS E SISTEMAS

2.20. Como o amplificador operacional tem um ganho teórico infinito (ordem de 107 na prática), os ganhos de tensão Av dos circuitos só dependem de R1 e R2.

X(s)

+

 _ +

Y(s)

A(s)

(s)

Figura 2.19 - Sistema realimentado. Os ganhos respectivos do circuito inversor (entrada no terminal “-”) e do circuito não inversor, são dados por Av  

R2 R1

Av  1 

e

R2 R1

R2 Vi

Vi

R1

+ Vo

_

_ Vo

R2

+

R1

(a)

(b)

Figura 2.20 - Amplificador de tensão utilizando amplificador operacional. (a) Circuito inversor e (b) não inversor. Desta forma, com base em G2(s) (realimentação positiva), o sistema global da figura 2.18 passará a ter uma função de transferência dada por G(s) 

K K   1  GM 1  KH(s) 1  K

K s s  3s  1 2

Agora, para que o sistema oscile, será necessário que os pólos do sistema global estejam sobre o eixo imaginário. Para calculá-los, basta fazer 1-GM=0 e determinar o valor de K que fará com o polinômio predominante seja do tipo s2 + 02. Assim, vem


32

SINAIS E SISTEMAS

1  GM  1  K

s s2  3s  1

0

e, finalmente, s2  (3  K )s  1  0

donde se observa que K deve ser igual a 3. Em termos práticos, tal amplificador pode ser obtido através de um amplificador operacional não inversor, cujo ganho de tensão é dado por K  Av  1 

R2 R1

Conclui-se, então, que, se R2 for igual ao dobro de R1, K atingirá o valor desejado, vindo o sistema a oscilar. Em termos práticos, isto é um pouco mais difícil devido aos valores e características dos componentes, que podem variar em função da temperatura, faixa de freqüências do amplificador operacional, ajuste dos resistores R2 e R1 e outros fatores. Antes de se analisar um circuito mais prático, será vista a variação do lugar das raízes em função de K, que é o objetivo principal deste item. Denominando de D(s) o polinômio determinado em função de K, serão calculadas as suas raízes, que são

s12 ,

3 K   2

3  K2  4 2



K3 K2  6 K  5  2 2

Na Tabela 2.3, estão listados os valores de s1 e s2 para K variando de -1 a 7 enquanto, na figura 2.21, é mostrado o lugar destas raízes para K variando de 0,5 a 5,5. Voltando, agora, à análise do oscilador, pode-se dizer, com base no lugar das raízes, que, se K for menor que 3, o mesmo não oscilará. Isto ocorrerá para K igual a 3. Porém, fica a pergunta: O que ocorrerá, na prática, se K se tornar maior que 3? Ao fazer K maior que 3, os pólos passarão para o semi-plano direito, o que acarretará numa resposta ao impulso com forma senoidal multiplicada por uma exponencial crescente, vindo a amplitude tender a infinito. Porém, em termos práticos, a amplitude do sinal de saída do oscilador estará limitada pelos valores das fontes de alimentação do operacional. Isto acarretará na saturação do sinal. Pode-se ver também, através da análise do lugar das raízes, que se o ganho aumentar ainda mais, a freqüência de oscilação do sinal já saturado diminuirá, uma vez que o valor imaginário das raízes, diminui, podendo o circuito deixar de oscilar quando as raízes passarem a ser reais e positivas. Na realidade, o que ocorre em termos práticos, é que o ganho K correspondente ao circuito da figura 2.18, é ajustado, através de R1 e R2, de forma a ser um pouco maior do que 3. Isto acarreta em um pouco de distorção. Para contornar este problema, coloca-se um resistor com coeficiente positivo de temperatura (PTC ou uma pequena lâmpada incandescente de valor compatível) em série com R1, passando-se a ter um R1 CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

33

SINAIS E SISTEMAS

equivalente, como mostra a figura 2.22(a) ou um resistor com coeficiente negativo de temperatura (NTC) em série com R2. Tabela 2.3 - Lugar das raízes para -1  K  7 K

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

K3 K2  6 K  5  2 2 Re(s1) Im(s1) -0,2679 0,0000 -0,3139 0,0000 -0,3820 0,0000 -0,5000 0,0000 -1,0000 0,0000 -0,7500 0,6614 -0,5000 0,8660 -0,2500 0,9682 0,0000 1,0000 0,2500 0,9682 0,5000 0,8660 0,7500 0,6614 1,0000 0,0000 2,0000 0,0000 2,6180 0,0000 3,1861 0,0000 3,7321 0,0000 s1 

s2 

K3

2 Re(s2) -3,7321 -3,1861 -2,6180 -2,0000 -1,0000 -0,7500 -0,5000 -0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 0,5000 0,3820 0,3139 0,2679



K2  6 K  5 2 Im(s2) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,6614 -0,8660 -0,9682 -1,0000 -0, 9682 -0,8660 -0,6614 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Figura 2.21 - Lugar das raízes do polinômio D(s)  s2  (3  K)s  1 para 0,5  K  5,5.


34

SINAIS E SISTEMAS

Associações de diodos com resistores ou diodos zener são também utilizados principalmente para controlar o valor equivalente do resistor R2 equivalente. Tal tipo de circuito está ilustrado na figura 2.22(b). No caso do PTC, por exemplo, quando a amplitude do sinal de saída se torna excessiva, uma corrente maior circula por R2 e R1e (R1 equivalente), vindo a esquentar o PTC, o que faz aumentar a sua resistência e, por conseqüência, o valor da resistência total de R1e. Isto causará uma diminuição no valor de K, voltando os pólos a ficar bem próximos do eixo imaginário. Desta forma, o ganho K é controlado automaticamente. No caso dos diodos, estes conduzem quando a tensão sobre os mesmos ultrapassa a tensão de ruptura inversa Vz de um dos diodos somada ao valor da tensão de ruptura direta do outro, o que diminui a resistência R2 equivalente e, portanto, o ganho.

R

R

C

C

+ _

+ _

R2 R

R

C

R2

C

VZ

R1 R1

L1

(a)

(b)

Figura 2.22 - Oscilador tipo ponte de Wien com (a) ganho controlado por uma lâmpada (PTC) e (b) ganho controlado por diodos zener. Pode-se, através deste exemplo, verificar a importância da localização dos pólos de um sistema, ou seja, do lugar das raízes do polinômio do denominador de sua função de transferência. Pode-se ver também a importância de ambos os tipos de realimentação em um só sistema.


35

SINAIS E SISTEMAS

3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1 - Introdução Os sinais podem ser divididos em categorias diferentes, conforme mostra a tabela 3.1 e, dependendo do tipo de sinal, pode-se utilizar a série ou a transformada de Fourier para fins de análise espectral. Tabela 3.1 - Tipos de Sinais Contínuos e discretos Tratados analiticamente Periódicos (ex: senóide, trem de pulsos, ...) Não periódicos (ex: degrau unitário, impulso, ...) Série de Fourier (trigonométrica ou exponencial) Transformada de Fourier Tratados probabilisticamente

Determinísticos

Periódicos Não periódicos Aleatórios 3.2 - Série de Fourier

Utilizada na análise de sinais periódicos, a Série de Fourier é subdividida, com base na teoria dos números complexos, em trigonométrica ou exponencial. A primeira fornece um espectro unilateral (só freqüências positivas) enquanto a segunda fornece um espectro bilateral (freqüências positivas e negativas). 3.2.1 - Série de Fourier trigonométrica (espectro unilateral) Um sinal periódico x(t) pode ser definido por uma soma de funções senoidais e cosenoidais, como mostrado abaixo. x( t)  a 0 



 an cosn 0 t  bn n 1



senn 0 t

 0  2f0 

2 T

T

1 a0  x( t) dt T

 0

T

2 an  x( t) cosn 0 t dt T

 0

T

2 bn  x( t) sinn 0 t dt T

 0

Para sinais pares, i.e., quando x(t)=x(-t), a série pode ser reduzida para

x( t)  a 0 



 an

cosn 0 t

n1

e quando o sinal é ímpar, com x(t) = x(-t), a série pode ser reduzida para


36

SINAIS E SISTEMAS

x( t) 



 bn sinn 0 t n1

Obs: Pode ocorrer que o sinal seja uma função ímpar somada a um nível médio. 3.2.2 - Série de Fourier exponencial (espectro bilateral) No caso da série exponencial, que apresenta como grande vantagem o cálculo de apenas uma integral, as considerações gerais são as seguintes: 

x( t) 

 cn e jn 0 t

n

1 cn  T

cn 

T /2

 xt e

 jn 0 t

dt

 T/2

an  j bn 2 1

2 cn  2 c n  cn  cn

cn 

1 2

2 cn 

an  j bn

cn  c n

2 2 an  bn

Como visto anteriormente, a função exponencial pode ser decomposta em “cos + j sen”. Para funções pares, a integral pode ser feita exclusivamente em função do co-seno enquanto que, para funções ímpares, pode ser feita em função do seno. Antes de demonstrar o cálculo de algumas séries, vale definir a função “sinc” ilustrada na figura 3.1, que é dada por sinc(x) =

sen( x) x

 1 para x = 0  0 para valores inteiros

Figura 3.1 - Função sinc(t) CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

37

SINAIS E SISTEMAS

Seguem alguns exemplos: 1) Obter a série trigonométrica da onda quadrada ilustrada na figura 3.2.

Figura 3.2 - Onda quadrada de simetria ímpar e suas 7 primeiras componentes. Considerações iniciais : a) a função é ímpar e o nível médio é nulo, i.e., a0 = 0, portanto basta calcular bn o que resulta em: 1 2  2 bn   A sen2nf0 t dt   A sen2nf0 t dt T 0  1

onde A = 1 e f0 = 1/2

1 2 1 2  sennt 2 1  1    sennt   bn    sen 2n t dt   A sen 2n t dt     ndt   ndt    2 0 2  n 2    0 n  1 1   





bn 

1 2 cos2n  2 cos(n)  1  1  cos(n) n n

bn 

2 1  cos(n) n

4 n  bn =  0  b1 1,27

para n  1, 3, 5, ... para n  2, 4, 6, ...

b2 0,00

b3 0,42

b4 0,00

b5 0,25

b6 0,00

b7 0,18

3.3 - Fenômeno de Gibbs Sempre que ocorre uma variação um tanto abrupta na forma de onda do sinal original, aparece uma certa oscilação no sinal obtido através da série. Este é o fenômeno de Gibbs. No caso da onda quadrada, por exemplo, à medida que se aumenta o número CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

38

SINAIS E SISTEMAS

de componentes, melhora o aspecto da região localizada entre os pontos de transição, como mostra a figura 3.3 (“c” a “f”), porém, mesmo que este número tenda a infinito, o fenômeno de Gibbs não desaparece nas regiões próximas aos pontos de transição.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 3.3- Fenômeno de. (a) Componentes senoidais para n = 1, 3, 5 e 7, (b) espectro, (c) harmônica principal, (d) soma das harmônicas 1 e 3,. (e) soma das harmônicas 1, 3 e 5 e (f) soma das harmônicas 1, 3, 5 e 7. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

39

SINAIS E SISTEMAS

2) Obter o espectro bilateral do trem de pulsos retangulares ilustrado na figura 3.4.

Figura 3.4 - Trem de pulsos (T=1 e  =0,25) Considerações iniciais : a) a função é par e, portanto, pode-se calcular cn em função de um co-seno, o que resulta em: c n = A fo  sinc(n fo )

equação geral

cn = 0,5 sinc(n 0,25)

equação para A = 2, T = 1 e  = 0,25

função esta ilustrada na figura 3.5

Figura 3.5 - Componentes espectrais (cn) do trem de pulsos para |n|15. 3) Neste exemplo, é demonstrada a aplicação da série de Fourier a um circuito RL, o qual causará variações de amplitude e fase nas componentes, filtrando assim o sinal de entrada. Para isto, considere-se um circuito RL tipo série, onde R=1 e L=0.5H, sobre o qual é aplicada um sinal v(t) tipo triangular, que é definido por uma série infinita. Determinar-se-á i(t) e ambas as formas de onda, considerando-se apenas as 7 primeiras componentes (“n” variando de 1 a 7). Seja, então, v(t) 

8  1 1 1 1   cos( t )  cos( 3 t )  cos( 5 t )  cos( 7 t )  cos( 9 t )    2  32 52 72 92 


40

SINAIS E SISTEMAS

1 1 1   v(t)  0,811cos( t)  2 cos(3t)  2 cos(5 t)  2 cos(7 t) 3 5 7  

A partir da impedância vista pelo gerador, em relação a cada uma das componentes de v(t), pode-se determinar cada uma das componentes de i(t), somando-as a seguir. Z( j)  1  j 0,5 

onde

 =1

0,811 0,811 i1( t)    0,725   26,6o Z( j1) 1  j 0,5 0,090 0,090 i2(t)    0,050   56,3o Z( j3) 1  j 15 , 0,032 0,032 i3 (t)    0,012   68,2o Z( j5) 1  j 2,5 0,016 0,032 i4(t)    0,004   741 ,o Z( j7) 1  j 3,5 i(t)  0,725 cos( t  26,6o )  0,05 cos(3t  56,3o )  0,012 cos(3 t  68,2o )  0,004 cos(7t  741 , o)

Estas funções estão ilustradas na figura 3.6, donde se pode verificar que:

(a)

(b)

Figura 3.6 - Formas de ondas. (a) Componentes senoidais de v(t) e i(t). e (b) formas finais de vi(t) e i(t). a) a corrente i(t) está atrasada em relação à tensão v(t), confirmando que o indutor se opõe a variações de corrente e


41

SINAIS E SISTEMAS

b) a corrente i(t) tem uma forma de onda mais suave, o que implica que, se a tensão de saída for obtida sobre o resistor, obter-se á um sinal com a mesma forma de onda. Neste caso o sinal de entrada terá passado por um filtro passa-baixas, enquanto que, se for obtida sobre o indutor, terá passado por um filtro passa-altas. 3.4 - Teorema de Parseval Um sinal periódico tem uma determinada potência enquanto que um sinal não periódico tem uma certa energia. No caso de um sinal contínuo v(t)=V ser aplicado a uma resistência elétrica R, pode-se dizer que a potência dissipada sobre a resistência é dada por: V V2  R R

P VI V

Por sua vez, a potência instantânea de um sinal é dada por: p( t)  v(t) i(t)  v( t)

v(t) v( t)2  R R

Para um sinal puramente senoidal do tipo v( t)  A sin(2fot  ) , “A” é a tensão de pico e A 2 é a tensão eficaz. A potência eficaz é igual àquela que seria produzida por um sinal contínuo de igual valor. Por exemplo, um sinal senoidal de 110 Vef, que tem uma tensão Vpico = 110 x 1,4142 Vp, produzirá uma potência eficaz Pef  110 2 / R

a qual equivale à potência produzida por um sinal contínuo de 110 V. A potência de pico será dada por: Ppico  (110 . 14142 , )2 / R  2 . 1102 / R  2 Pef

Considerando-se, agora,. um sinal periódico, representado por uma série exponencial, que é a soma de diversas componentes senoidais, e que R=1 (valor normalizado), pode-se dizer que a potência média do sinal é dada por: 1 P T

T

 0

1 x( t) x ( t) dt  T 



P



n 

1 P T

cn



 1   T

 x( t) 0



x(t)

0

 cn e  j2f t dt 0

n 

  x( t) e  j2 f0 t dt   cn cn  n 0

T







T

2



T

dt 

 cn

2

n 


42

SINAIS E SISTEMAS

3.5 - Transformada de Fourier Da mesma forma que a Série de Fourier é utilizada na análise de sinais periódicos, a Transformada de Fourier é utilizada na análise de sinais não periódicos. Para que se possa utilizá-la, o sinal x(t) deve ter um número finito de descontinuidades entre -  e +  e satisfazer a condição 

 x( t) dt   .



Tais condições são denominadas condições de Dirichlet. A partir delas, chega-se ao par integrais de Fourier, conhecido como par de transformadas, que são dadas por: 

X( f ) 

 x( t) e

 j2ft

transformada

dt

 

x( t) 

 X( f ) e

j2ft

transformada inversa

df



A transformada de Fourier passa o sinal do domínio do tempo para o domínio da freqüência enquanto que a transformada inversa, ou anti-transformada, passa o sinal do domínio da freqüência para o domínio do tempo. Os símbolos utilizados para as integrais são: X(f) = F [x(t)]

x(t) = F -1 [X(f)].

e

Exemplos: Obter as respectivas transformadas de Fourier das funções retângulo, triângulo e impulso especificadas a seguir. 1) A função retângulo é definida por  t  A x( t)  A         0

para - 2  t  para    2



2

Portanto,  X(f )   x( t) e  j2ft dt  

 2

 Ae

 2

 j2ft dt  A sin( f) f

X(f )  A sinc(f) Esta função está ilustrada na figura 3.7 para A = 1 e dois valores distintos de .


43

SINAIS E SISTEMAS

(a)

(b) Figura 3.7 - Transformada de Fourier da função retângulo para (a) A = 1,  = 1 e (b) A = 1,  = 0,5. 2) A função triângulo, por sua vez, é definida por

x( t)  A



  t t    A 1         0 

para

t 

para

t 

 A t   j2ft A t   j2ft   A e dt dt         A    e 0  0

X(f ) 

Estas integrais devem ser resolvidas por partes e isso as torna mais difíceis. Este tipo de problema pode ser solucionado fazendo-se uso das propriedades, que serão vistas no ítem 3.7. O resultado final será dado por X(f )  A sinc2(f) Esta função está ilustrada na figura 3.8 para A = 1 e dois valores distintos de . Comparando-a com a transformada da função retângulo, conclui-se que ela, além de ser positiva, amortece rapidamente na altas freqüências. Isto se deve ao fato da função triângulo não ter variações tão abruptas quanto a função retângulo. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

44

SINAIS E SISTEMAS

(a)

(b) Figura 3.8 - Transformada de Fourier da função triângulo para (a) A = 1,  = 1 e (b) A = 1,  = 0,5. 3) A função impulso ou delta de Dirac, já vista no capítulo 2, pode ser definida por 1 A0 A

x( t)  (t) = lim

 t     A   lim  A A0 A  t

1

  2  0  j f dt   (0) dt  1 X(f )   (0) e   Comparando os três exemplos, pode-se tirar mais uma conclusão importante, que é: no que diz respeito à variação do espectro em função da largura dos pulsos, quão mais estreito é o pulso mais “espalhado” se torna o espectro. Isto é reforçado no caso da função impulso, cujo espectro é unitário para todas as freqüências. A partir do par original de integrais, dois limites podem ser levantados. São eles   j f 2  0 lim x(t)  x(0)   X(f ) e df   X(f ) df t 0     lim X(f )  X(0)   x( t) e j2t0 dt   x( t) dt f 0   CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

45

SINAIS E SISTEMAS

que estabelecem que a área da função X(f) é igual ao valor da função x(t) na origem e que a área da função x(t) é igual ao valor da função X(f) na origem, não havendo, assim, necessidade de se calcular tais integrais caso se tenha x(0) e X(0). 3.6 - Teorema de Energia de Rayleigh No caso do sinal ser aperiódico, a variável equivalente à potência é a energia e a equação equivalente passa a ser: E





2

x(t) dt 

 onde x( t)



2 X(f ) df



 2

2 é a energia do sinal dada em joules e X(f ) é a densidade espectral de

energia expressa em joules por hertz. 3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas Como no caso da TL, quando as integrais não são de fácil resolução, faz-se uso das propriedades e de pares de transformadas já conhecidos (ex: ret  sinc), que estão listadas na tabela 3.2 e 2.3 respectivamente. 3.8 - Convolução Considere-se um sistema linear e invariante no tempo como o ilustrado na figura 3.9, que tem uma resposta ao impulso dada por h(t) e ao qual esteja sendo aplicado um sinal x(t). O sinal de saída y(t) será dado pela convolução de x(t) com h(t). x(t)

h(t)

y(t) = x(t)  h(t)

H(f) X(f)

H(s)

X(s)

Y(f) = X(f) . H(f) Y(s) = X(s) . H(s)

Figura 3.9 - Sistema linear e invariante no tempo. A integral de convolução é definida por 

y( t)  x(t)  h(t) 

 x() h(t  ) d

ou

 

y(t)  h(t)  x(t) 

 h() x(t  ) d



onde a variável  é apenas uma variável auxiliar (equivalente a t’, por exemplo). Para melhor interpretação, tomando-se a primeira integral vista acima, e olhando-se a seqüência de gráficos da figura 3.10 atentamente, pode-se dizer que a convolução se CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

46

SINAIS E SISTEMAS

baseia em quatro operações que devem ser efetuadas com os sinais x(t) e h(t), as quais são: 1) inverter  mantendo x() fixa, tomar h() e rebatê-la sobre o eixo das ordenadas (espelho), transformando-a em h(-) { h(-) é a imagem de h()}, 2) deslocar

 deslocar h(-) de -  a +  { h(t-)},

3) multiplicar  obter a função que representa o produto entre x() e h(t-) para cada novo valor de “t” e 4) integrar  a + .

calcular a área da função determinada no item (3), integrando-a de

-

Tabela 3.2 - Propriedades da Transformada de Fourier Nome Linearidade Deslocamento no tempo

Função no Tempo a. x(t)  b. y(t) x( t  t 0 )

Transformada a. X(f )  b. Y(f ) X(f ). e j2ft 0

Mudança de escala

x(a. t)

1 f X  a  a

Dualidade

X(t)

xf 

Deslocamento na freqüência Modulação

x( t). e j2f0 t

X(f  f0 )

x( t).cos(2f0 t)

Diferenciação (no tempo)

dx(t)

1 X(f  f0 )  X(f  f0 ) 2 j2f. X(f )

dt

Integração

t

n

Multiplicação por t (diferenciação na freqüência) Simetria

 x(). d

1 1 X(f )  X(0)(f ) j2f 2

t . x(t)

 j2f 

 n

dn X(f )

Re al  x(t)

df n X(f )  X(f )



X(f )   X(f ) X(f ). Y(f )

Im ag  x(t) Convolução

n

 x(). y(t  )d



Multiplicação

x( t ). y ( t )



Teorema de Parseval



 



 x(t). y (t) dt




 X(). Y(f  )d 

 X(f ). Y (f ) df



47

SINAIS E SISTEMAS

Tabela 3.3 - Pares de transformadas Par 1

x(t)

2

A 2W sinc2Wt

3

A

A

 t

   

  t 

4

e atu( t)

5

t eatu( t)

6

e

X(f) A  sincf

a t

a0 a0

u(t)

a0

7 8 9 10 11

(t) 1 (t  t 0 )

12

sen2f0 t

13

u( t)

14

s g n ( t)

15

1 t

16

1  x()  x( t)    t    d  

17

A

Comentários Cálculo direto

 f 

Dualidade com o par 1

  2W 

A  sinc 2 f

Convolução com o par 1

1 a  j2f 1

Cálculo direto Diferenciação do par4 em relação a “a”

a  j2f 2

Cálculo direto

2a a2  2f 

2

1 (f )

e j2f0 t cos2f0 t



n 







Identidade de Euler e par 10

e j2ft 0 (f  f0 ) 1 f  f0   f  f0  2 1 f  f0   f  f0  2j 1 1  (f ) j2f 2 1 jf j sgn(f )

j sgn(f ) X(f)



 (t  nTs )



Cálculo direto com t=0 Dualidade com o par 7 Deslocamento e par 7 Dualidade com o par 9 Identidade de Euler e par 10



fs

 (f  nfs )

n

Integração e par 7 Pares 8 e 13 e superposição Dualidade com o par 14 Convolução e par 15

Teorema da amostragem 1 onde fs  Ts

Como a integral de convolução é de difícil resolução, é comum determinar-se Y(s) ou Y(f) e, a partir daí, determinar-se a transformada inversa y(t). No caso da transformada de Fourier, tem-se a vantagem de se aplicar a transformada rápida, que é um algoritmo especial para se determinar X(f), H(f) e Y(f) em tempo mínimo, quando comparado a outros.


48

SINAIS E SISTEMAS

x() 1  h() 1  h(-)

t=2

1 y(0)=0 -2



h(t-) y(1)=0,75 

t=1 h(t-)

-1

y(2)=1 1 0,75

y(t)



t=2

t=1

t t=2

Figura 3.10 - Convolução de duas funções. Segue a demonstração da transformada de Fourier da convolução.

Y( f ) 

F x(t)  

Y( f ) 





h( t)

   j2 ft dt   x( ) h( t   ) d  e  



Y( f ) 

   j2 ft x (  ) h ( t   ) e dt  d        

Y( f ) 

 x( ) H(f) e

 j2 f





Y(f )  H(f)

 x() e

 j2f

 d

d  H(f ) X(f )



Da mesma forma, CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

49

SINAIS E SISTEMAS

Y(s) 

L x(t) 

h(t)  Y(s) H(s)

Assim, tanto a TL quanto a TF da convolução são dadas pelo produto das transformadas individuais das variáveis x(t) e h(t). No caso de haver uma convolução das tranformadas, a transformada inversa é dada pelo produto das respectivas transformadas inversas individuais, i.e., y(t) 

L -1 X(s) 

H(s)  x( t) h(t)

y(t) 

F-1 X(f ) 

H(f )  x( t) h(t)

3.9 - Aplicação das propriedades Para se demonstrar a utilidade das propriedades, seguem alguns exemplos. 1) Determinar X(f) utilizando as propriedades da linearidade e da modulação (convolução dos espectros).  t 

x( t)  (t)  5

  10  cos(10t)

x( t)  (t)  5

  10  cos(25t)

 t 

X(f )  1  50 sinc(10f ) 





1 (f  5)  (f  5)  1  25 sinc10(f  5)  sinc10(f  5) 2

2) Considerando-se que seja aplicado um impulso à entrada do sistema linear e invariante no tempo da figura 3.9, determinar a respectiva resposta ao impulso. Sabendo-se que para x(t) = (t), X(f) = 1 e que Y(f) = X(f) H(f), pode-se dizer que. Y(f) = H(f), o que implica que y(t) = h(t). Desta forma, o sinal h(t), obtido na saída do sistema, é o que se denomina “resposta ao impulso”. 3) Determinar Y(f) para y( t)  2 sinc(2 t) cos(23t) Produto no tempo  convolução em freqüência x( t)  2 sinc(2 t)  A sinc(t)

 =2

e

A=1

Através do teorema da dualidade, chega-se a f f  f  X(f )  A     A     A     2    

Usando a tabela de transformadas no caso de h(t), vem CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

50

SINAIS E SISTEMAS

h(t)  cos(23t) H(f) 

1 1 f  3  f  3 2 2

Como a convolução de uma função com um impulso centrado em determinado ponto apenas desloca a mesma para o ponto onde o impulso estiver posicionado, i.e., x(t)  (t  t0 )  x(t  t0 )

ou

X(f )  (f  f0 )  X(f  f0 )

obtém-se, finalmente, Y(f) 

1  f  3  f  3 1        2   2  2 2

como já visto através da propriedade da modulação no exemplo 1 (ver sinais AM-DSB no ítem 3.10). 4) x( t)  A

  t 

A = 1 e  = 0,5

onde

Há certo grau de dificuldade na determinação da transformada de Fourier (TF) da função triângulo. Derivando-a em relação ao tempo, chega-se a duas funções retângulo. Obtendo-se a TF desta nova função e aplicando-se a propriedade da integral (integral da derivada de uma função é a própria função), chega-se à TF do triângulo, como demonstrado abaixo. t  A t  dx(t) A 2 2   y(t)            dt     

Aplicando a TF do retângulo e a propriedade do deslocamento no tempo, obtém-se Y(f ) 

A



 sincf e jf 

A



 sincf e jf

 jf  jf   Y(f )  A sincf  e  e    Pela identidade de Euler, sen() 

1  j  j e  e  2j 

Para completar o seno, multiplica-se e divide-se por 2j.


51

SINAIS E SISTEMAS

 jf

Y(f )  A sincf  e

 e



 jf  2j   

2j

Y(f )  j2A sincf senf Chega-se, assim, à TF da derivada da função triângulo. Utilizando-se, agora, a propriedade da integral, vem:  (f) 1  X(f )  Y(f )   j2f   2

onde

X(f ) 

Y(f ) j2A  sincf senf j2f j2f

X(f ) 

A sincf senf f

X(f )  A sincf

Y(f).(f) / 2 = Y(0) / 2 = 0

 

sen f f

X(f )  A sinc2f como visto anteriormente. 5) Transformada das funções co-seno e seno Sabendo-se que (a) a TF da função (t) é igual a 1, (b) que cos(2f0 t) 

1  j2f0 t  e j2f0 t  e   2

sen(2f0 t) 

1  j2f0 t  j2f0 t  e e ,  2j 

e (c) que, pela propriedade do deslocamento em freqüência,

x(t) e j2f0 t  X(f  f0 ) ,

obtém-se:





cos(2f 0 t) 

1 (f  f 0 )  (f  f 0 ) 2

sen(2f 0 t) 

1 2j

(f  f

0



)  (f  f 0 )


52

SINAIS E SISTEMAS

3.10 - Modulação de sinais em amplitude (AM) A propriedade da modulação mostra que: x(t) cos(2f 0 t)  x( t) sen(2f 0 t) 

1 2

X(f  f

1 2j

0

X(f  f



)  X(f  f 0 )

0



)  X(f  f 0 )

Considere-se, agora, que se deseja transmitir (teoricamente, pois, na prática, não existe uma função sinc) um sinal do tipo

x(t)  A sinc(t)  2 sinc(2 t) . Com A=1 e  =2, através do teorema da dualidade, chega-se a f f X(f )  A   = A      2 Multiplicando-se x(t) por uma cosenóide, denominada de portadora, com freqüência f0=3, obtém-se um sinal do tipo AM-DSB/SC (amplitude modulation - double sideband / supressed carrier ou modulação em amplitude com banda lateral dupla e portadora suprimida), o qual não oferece vantagens na prática. Tal sinal e seu respectivo espectro (propriedade da modulação) são dados por:

y(t)  2 sinc(2 t) cos(23t) Y(f) 

 f  3 1  f  3 1        2  2  2  2

Outro tipo de modulação é o AM-DSB (amplitude modulation - double sideband ou modulação em amplitude com banda lateral dupla). O sinal é primeiramente multiplicado por uma constante “0 < ma < 1”, que depende das amplitudes de x(t) e da portadora, denominada índice de modulação e, posteriormente, acrescida de um nível contínuo igual a 1. Sua grande vantagem é a facilidade de geração e de recepção. Por isso, é utilizada na transmissão de sinais nas faixas de ondas médias e curtas. Como desvantagens, ocupa o dobro da faixa espectral do sinal AM-SSB equivalente (ver próximo parágrafo) e consome a maior parte da potência na transmissão da portadora e não das bandas laterais, que levam a informação. Para os mesmos sinais dados anteriormente, o sinal no tempo e seu respectivo espectro são dados por: y(t)  1  0,8 . 2 sinc(2 t) cos(23t) Y(f) 

  f  3 1  f  3  (f  3)  (f  3)  0,4         2  2   2 

O surgimento de outras componentes espectrais implica que o sistema de modulação não é linear. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

53

SINAIS E SISTEMAS

Existem dois outros tipos de modulação AM. Um deles é o AM-SSB (amplitude modulation - single sideband ou modulação em amplitude com banda lateral única). Como ocupa somente a metade da faixa espectral do sinal AM comum, ela é utilizada para fins de telefonia (dobra a capacidade de transmissão de canais telefônicos para uma mesma faixa de transmissão) e de rádio-amadorismo. Necessita-se transmitir uma pequena amostra da portadora para viabilizar a recepção do sinal modulante. O outro, denominado AM-VSB (amplitude modulation - vestigial sideband ou modulação em amplitude com banda lateral vestigial é utilizado para transmissão do sinal de imagem de televisão. Seguem, na figura 3.11, os gráficos relativos aos sinais AM-DSB/SC e AM-DSB analisados anteriormente.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3.11 - Sinais modulados em amplitude vistos nos domínios do tempo e da freqüência. (a) e (b) AM-DSB/SC e (c) e (d) AMDSB. Analisando-se, especialmente, o espectro do sinal AM-DSB na faixa que vai de 0 a 5 (a escala pode ser considerada normalizada), pode-se distinguir a portadora com f0=3, além das bandas laterais inferior (BLI de 2 a 3) e superior (BLS de 3 a 4). Em SSB, apenas uma delas é transmitida. No caso de VSB, devido aos fatos de se necessitar transmitir um sinal de imagem, que tem uma banda bastante larga, incluindo um nível contínuo (f=0), o qual corresponde ao brilho, e dos filtros práticos não terem características de corte próximas do ideal, acaba-se por transmitir a BLS, que fica deteriorada pela ação de corte do filtro na região localizada próxima da portadora. A ação do filtro também acaba por transmitir parte da BLI, o que vem a compensar as perdas ocorridas na BLS. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

54

SINAIS E SISTEMAS

3.11 - Teoria da amostragem Todo sinal que tem uma faixa de freqüências limitada pode ser representado por amostras tomadas em instantes discretos denominados instantes de amostragem. Isto permite, por exemplo, que os sinais contínuos passem a ser digitalizados, i.e, convertidos em números que têm um número finito de dígitos. Desta forma, os sinais podem ser processados por computadores. Tendo como base a figura 3.12, segue a demonstração matemática do teorema da amostragem. 

 (t  nT)

s( t) 

n 

1 cn  T cn 

0

 (t) e

 j2nfs t

dt

0

1  fs T

S(f ) 



 fs (f  nfs )

n 

O sinal amostrado xa(t) é obtido multiplicando-se o sinal original x(t) (informação ou sinal modulante, pois modula o trem de impulsos) pelo trem de impulsos enquanto que o espectro de xa(t) vem da convolução de X(f) com S(f). xa(t)  x(t) s( t) 



 x(nT) (t  nT)

n 

X a(f )  X(f )  S(f ) 



 fs X(f  nfs )

n 

Como pode ser obervado através do gráfico de Xa(f), para que não haja sobreposição espectral (interferência), “a freqüência de amostragem deve ser igual ou maior que o dobro do valor da freqüência máxima do sinal modulante”, ou seja, fs  2fmax. Este é o teorema da amostragem. Do ponto de vista prático, adota-se fs  2fmax. Por exemplo, em telefonia, para fmáx = 3,4kHz , fs = 8kHz. Para se recuperar X(f) (parte de Xa(f) que está centrada na origem), basta passar xa(t) por um filtro passa-baixas ideal, com faixa de freqüência de -fmax a +fmax (fs = 2 fmax). Assim, o sinal recuperado xr(t), que deverá ser igual a x(t), será xr ( t)  xa(t)  h( t)

e

Xr (f )  H(f ) Xa(f )

O filtro terá uma resposta em freqüência H(f) e uma resposta ao impulso h(t), que serão dadas, respectivamente, por: CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

55

SINAIS E SISTEMAS

s(t) (t+4T)

(t-4T)

(t)

t T S(f) fs (f+4fs)

fs (f-4fs)

fs (f)

f fs xa(t) x(t)

x(t).(t-4T)

t T Xa(f) X(f-2fs).fs

f

H(f)

fs Xa(f) 1/fs

f Figura 3.12 - Amostragem ideal de um sinal com espectro limitado. 

  f    T    2fmax  max 

H(f ) 

1 fs

h( t) 

1 2fmax sinc(2fmaxt)  sinc(fs t) fs

  2f

f


56

SINAIS E SISTEMAS

Assim, xr(t) e seu respectivo espectro serão dados por  f  Xr (f )  T    .  2fmax 



 fs Xa(f  nfs )

n

xr (t)  h(t)  xa(t)  h(t) 

xr (t)  sinc(fs t) 

xr (t) 



 x(nT) (t  nT)

n



 x(nT). (t  nT)

n



 x(nT) sincfs(t  nT)

n

Isto significa que, do ponto de vista da amostragem ideal, o sinal original é recomposto a partir de uma soma de funções “sinc”, centralizadas em t = {....-2T, -T, 0, T, 2T...}, tendo cada uma delas amplitude igual ao valor de x(t) naquele ponto, i.e., {....x(-2T), x(-T), x(0), x(T), x(2T), x(3T)...}. Do ponto de vista prático, o fato do filtro passa-baixas não ter ganho nulo acima de sua freqüência de corte, implicará na recuperação de algumas componentes espectrais que estão acima de fs / 2, o que acarretará em distorção do sinal original. Por esta razão, deve o filtro ter uma atenuação adequada e a freqüência de amostragem ser suficientemente maior que o dobro de fmáx. Além deste tipo de distorção, aparecerão, entre outras, aquelas introduzidas pelo processo de digitalização e precisão dos filtros digitais. Isto não invalida o uso dos processadores digitais de sinais. No exemplo ilustrado na figura 3.14, o espectro do sinal original tem uma largura de faixa infinita. Por esta razão, é impossível recuperar o sinal x(t) sem que haja distorção do mesmo, por maior que seja o número de amostras considerado. Sem dúvida, o aumento do número de amostras acarretará num erro menor. No primeiro caso [(a), (c), (e)], são consideradas 9 amostras e, no segundo [(b), (d), (f)] , tal número é aumentado para19 amostras.


57

SINAIS E SISTEMAS

N=9

N=19

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 3.13 - Influência do número de amostras na recuperação de x(t); (a) e (b) sinal original e suas amostras, (c) e (d) recuperação do sinal como uma soma de “sincs”; (e) e (f) comparação entre o sinal original e o recuperado. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

58

SINAIS E SISTEMAS

4 - TRANSFORMADA “Z” 4.1 - Introdução Uma vez dominada a teoria da amostragem, pode-se dar início ao processamento de sinais discretos. Para isto, é de fundamental importância o conhecimento da transformada “z”. Como ocorre com a variável “s” na transformada de Laplace, a variável “z” também é complexa e forma um plano cujos eixos são Re(z) e Im(z). Neste capítulo, serão tratados apenas alguns aspectos mais importantes. Para maiores detalhes, o leitor deve recorrer à literatura especializada em processamento digital de sinais (PDS). 4.2 - Definição Para defini-la, considere-se um sinal contínuo x(t) e sua forma amostrada xa(t). A partir da transformada de Laplace, com base nas propriedades da linearidade e do atraso, obtém-se

X a(s) 



 x(kT) ekTs

k 0

Fazendo eTs = z e escrevendo Xa(s) = X(z), a transformada “z” de xa(t) é dada por X(z)  X a(s)  X aln(z) / T 



 x(kT) z-kT

k 0

Como são considerados apenas os valores nos instantes de amostragem, as transformadas “z” de xa(t) e x(t) são iguais, ou seja [x( t)]  [xa( t)]  X( z) 



 x(kT) z-kT

k 0

Esta forma da transformada “z” é denominada unilateral e nela são consideradas apenas a amostra atual e as passadas, i.e., x(n), x(n-1), x(n-2)...etc, sendo utilizada quando o sistema é causal. Outra forma é a bilateral, na qual são consideradas também as amostras futuras x(n+1), x(n+2)...etc. Neste caso, o sistema não é causal e nem realizável e X(z) é dada por X(z) 



 x(kT) z-kT

k 

Quando o sistema tem uma função de transferência H(z) em forma de função racional, ou seja, dada pela divisão de um polinômio por outro, as raízes do numerador são os zeros e as do denominador são os pólos, como ocorre com os sistemas contínuos. Dependendo da localização dos pólos no plano “z”, o sistema será ou não estável. Para se compreender melhor este assunto, é necessário saber o que é a região de convergência (ROC - region of convergence) de H(z). 4.3 - Região de convergência CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

59

SINAIS E SISTEMAS

Considere-se uma série infinita dada por

S



 An  1  A  A 2  A 3 

...

n 0

onde A é uma constante. Se o valor absoluto de A for menor que 1, a série terá (converge para) um valor finito, podendo ser escrita na forma S



 An  1  A  A 2  A 3 

... 

n 0

1 1 A

A1

para

Seguem alguns exemplos: 1) S 



 0,5

n

 1  0,5  0,25  0125 ,  0,0625 ...  0,6667 

n 0

2) S 



1 1  (0.5)

1

,   0,2n  1  0,2  0,04  0,008  0,0016 ...  125 1  0,2

n 0

3) S 



1

,  0,0625 ...  2   0,5n  1  0,5  0,25  0125 1  0.5

n 0

4) S 



 0,5  j0,5

n

n 0

5) S 

 1  0,5  j0,5  0,0  j0,5 + (-0,25 + j0,25)...  10 ,  j10 ,



 2n  1  2  4  8 ...  



não converge

n 0

Isto significa que a região de convergência da série se encontra dentro de uma circunferência de raio unitário. A transformada “z” de uma seqüência de números e sua respectiva ROC poderá diferir dependendo do ponto onde se encontrar a amostra x(0), o que poderá tornar a seqüência causal ou não causal. Por exemplo (a seta indica a origem), x1(n)  1 , 2 , 3 , 5 , 3 , 0



X1(z)  z2  2 z1  3  5 z1  3 z2



X 2(z)  1  2 z1  3 z2  5 z3  3 z4

 x2(n)  1 , 2 , 3 , 5 , 3 , 0

 Pode-se ver que X1(z) tenderá a infinito para z=0 e z=, o que significa sua ROC é todo o plano “z”, exceto estes pontos. Por sua vez, a ROC de X2(z) é todo o plano “z”, exceto z=0. Note-se aqui que x2(n) é uma seqüência causal. Desduz-se que não basta calcularse a transformada. É também necessário citar qual é a respectiva ROC. Quando não se CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

60

SINAIS E SISTEMAS

indica qual é a origem da seqüência, considera-se a primeira amostra da série como x(0). Seguem mais dois exemplos: 1) x(n)  n u(n) X(z) 

u(n)  1 para

sendo





n 0

n 0





 n zn    z1

n



  An  n 0

n0

(degrau)

1 1  1  A 1   z1

Vê-se que a função X(z) é uma série infinita e que só não irá convergir no ponto onde ocorre o pólo, que é calculado a partir de 1   z1  0

 z1  1





z

Sabe-se que a série é infinita e converge somente quando |A|  1. Para determinar a ROC, faz-se A   z-1



 z-1  1





 z



ROC: z

 

Obs: Fazendo  = 1, obtém-se a transformada do degrau unitário, a qual tem um pólo em z = 1, cuja série não converge. Um sistema que tenha este tipo de resposta ao impulso não será estável. 1 2) x(n)  (n)   0

para n  0



para n  1, 2, ...

X(z)  1 z0 = 1



ROC: todo o plano z

4.4 - Propriedades e pares de transformadas Como no caso da TL e da TF, faz-se uso de propriedades e pares de transformadas já conhecidos no estudo da transformada “z” (ver tabelas 4.1 e 4.2). Tabela 4.1 - Propriedades da transformada “z”. Nome Linearidade Deslocamento no tempo

Função no Tempo a x(nT)  b y(nT) x(nT  kT)

Mudança de escala

an x(nT)

Diferenciação de X(z) (ou multiplicação por nT)

nT x(nT)

a = r e jT



Convolução

 x(kT) h(nT  kT)

Transformada a X(z)  b Y(z) X(z) z-k

 z X   a dX( z) dz X(z) Y(z) Tz

k 

Valor Inicial

x(0)  lim x(nT)

Valor final

x()  lim x(nT)

n 0


n

lim X(z)

z

lim (1 z1) X(z)

z1

61

SINAIS E SISTEMAS

Tabela 4.2 - Pares de transformadas Parr x(nT) (nT) 1 2

u(nT)

3

nT

X(z) 1

ROC z   (todo o plano “z”) z  1

z z1 zT

z  1

z  1

2

4 5 6

anT eanT n ea nT

z

z  aT

z  aT z

z  e-aT

z  eaT eaT z

z  e-aT

z  e 

aT 2

7

sen nT

sen(T) z

z  1

z  2 cos(T) z  1 2

8

z  cos(T) z

cos nT

z  1

z  2 cos(T) z  1 2

9

r nT sen nT

r T sen(T) z

z  r

T

z  r

T

z2  2 r T cos(T) z  r 2T 10

r nTcos nT

z  r

T



cos(T) z

z2  2 r T cos(T) z  r 2T

11 12

ea nT sen nT ea nT cos nT

eaT sen(T) z

z  e-aT

z2  2 eaT cos(T) z  e2aT

z - e

-aT



cos(T) z

z  e-aT

z2  2 eaT cos(T) z  e2aT Obs: Normalmente T é normalizado, i.e., T = 1.

4.5 - Transformada inversa A transformada inversa é definida por uma integral complexa, que inclui um contorno e que, no caso de funções racionais (os pólos estão dentro do contorno), pode ser determinada utilizando-se o teorema dos resíduos de Cauchy ( para maior comprensão, deve-se estudar a teoria de variáveis complexas). De acordo com este teorema, se o contorno de integração estiver dentro da ROC, que, por sua vez, inclui o círculo de raio unitário sobre o plano “z” (em outras palavras, a ROC está localizada sobre e fora do círculo unitário), a série x(n) será convergente. Isto quer dizer que, para séries convergentes, os pólos de X(z) devem estar localizados dentro do círculo unitário, que é o caso dos sistemas estáveis. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

62

SINAIS E SISTEMAS

Quando os pólos de X(z) estiverem localizados sobre o círculo unitário (ROC localizada dentro e fora do círculo), os sistemas serão instáveis, mas ainda serão realizáveis, que é o caso dos osciladores (ver o exemplo do degrau unitário demonstrado anteriormente). Por último, se os pólos estiverem fora do círculo unitário (ROC localizada dentro do círculo), o sistema será totalmente instável Pode-se, a partir destas considerações, estabelecer algumas relações entre os planos “s” e “z”, que são: 1) O semi-plano esquerdo equivale à região interior do círculo unitário. 2) O eixo j equivale ao círculo unitário. 3) O semi-plano direito equivale à região exterior do círculo unitário. Com base nestes princípios, a tranformada inversa é definida por x(nT) 

1 X(z) zn1dz  j2 C

Para funções racionais, este tipo de integral pode ser avaliado através da teoria dos resíduos de Cauchy. Outros dois métodos são a expansão em frações parciais e a inversão por divisão (obtenção de uma série infinita). 4.5.1 - Método dos resíduos (para pólos simples) Seja X0(z) uma função racional com o denominador expandido em um produto de fatores do tipo z-pi, onde pi são os pólos. Então, X 0 ( z)  X(z) zn1 

N(z) N

 z  pi i1

x(nT) 

N

s  X 0 (z)  Re zpi

n0

(sistemas causais)

i1

Re s  X 0 (z)  lim zpi zpi

z  pi X0(z)  z  pi X0(z)

zpi

Seguem alguns exemplos: 1) X(z) 

1 1  b z1

ROC: z

>

b

e

0 < b < 1

Como |z|  |b|, a ROC não inclui o pólo “z = b”, mas inclui o círculo unitário, pois 0  b  1, conclui-se que o sistema é causal e estável.


63

SINAIS E SISTEMAS

X 0 ( z)  X(z) zz1 

1 1  b z1

zn1 

zn zb

 zn  n Re s  X 0 (z)  lim z  b z z  b z  b  zb 

z b

 bn

Finalmente, como o sistema é causal, pode-se escrever x(nT)  bn u(nT)

ou

x(n)  bn u(n) x(n)  bn

ou ainda n0

para

2) X(z) 

A z  0,25 z  0,5

X 0 ( z)  X( z) zn1 

ROC: z  0,5

A zn z-1 A zn  z  0,25 z  0,5 z z  0,25 z  0,5

O fato de X0(z) possuir um pólo em z = 0 obriga a se calcular o valor de x(0) independentemente, da seguinte forma: x(0)  Re s  X 0 (z)  Re s  X 0 (z)  Re s  X 0 (z) z 0

x(0) 

z 0,25

A z  0,25 z  0,5

z 0,5

 z 0

A z z  0,5

 z 0,25

A z z  0,25

0 z 0,5

Para n  0 x(n) 

A zn-1 z  0,25



 z 0,5

A zn-1 z  0,5

x(n)  A 8 0,5  16 0,25 n

n

z 0,25



Para se obter uma equação genérica para n  0, faz-se



x(n)  A 8 0,5  16 0,25 n

n

 u(n  1)

pois u(n-1)=0.

4.5.2 - Método das frações parciais Este método já foi visto para a transformada de Laplace. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

64

SINAIS E SISTEMAS

Seja H(z) uma função racional. Após determinação dos pólos, expande-se H(z)/z em frações parciais, de forma que se possa reconhecer cada um dos termos na tabela de transformadas com facilidade. Considerando H(z) 

A 0 zm  A1 zm-1  A 2 zm-2      AM z  p1 z  p12     z  pN

Para que todos os coeficientes sejam reais, os zeros e pólos complexos devem ocorrer em pares conjugados. Para pólos distintos e simples, H(z) pode ser expandida na forma H(z) 

C1 C2 CN     z  p1 z  p2 z  pN

Ci  z  pi  H( z) zp

i

sendo

i  1, 2,    N

Exemplo: H(z) 

A z  0,25 z  0,5

ROC: z

 0,5

Por conveniência, expande-se H(z)/z em frações parciais. Isto facilita a obtenção da transformada inversa de cada termo. H(z) C1 C2   z z z  0,25 z z  0,5 C1  z  0,25 C2  z  0,5

onde

H(z) A   16 A z z 0,25 z z  0,5

H(z) A  8A z z 0,5 z z  0,25

Desta forma, obtém-se   H(z) 16 8 A   z  z z  0,25 z z  0,5   8z   8z  16 z 16 z H(z)  A   z1  z1 A z  0,25   z z  0,5 z z  0,25   z  0,5

Como a equação genérica é do tipo H(z) 

1 1  bz

1



z zb




h(n)  bn

para

0  b  1

65

SINAIS E SISTEMAS

Finalmente, a partir da propriedade do atraso, deduz-se que



h(n)  A 8 0,5

n1

 160,25



n1

Pode-se ver que este resultado é idêntico ao de x(n), que foi obtido através do método dos resíduos. 4.5.3 - Método da inversão por divisão (long division) A partir de uma função H(z) do tipo H(z) 

A 0 + A1 z-1  A 2 z-2      AM z-M 1 + B1 z-1  B2 z-2      BN z-N

que representa um sistema causal, efetua-se a divisão, obtendo uma série do tipo h(n)  h(0) + h(1) z-1  h(2) z-2    

Este método apenas permite que se tenha uma rápida idéia da transformada em questão, não tendo muita utilidade, a não ser que ocorra uma divisão exata entre os polinômios. Segue um exemplo: H(z) 

z2 z  0,75 z  0125 , 2



1 1  0,75 z

1

 0125 , z2

H(z)  1  0,75 z1  0,4375 z2    

h(n)  1  0,75 (n  1)  0,4375 (n  2)     4.6 - Convolução discreta A convolução discreta, definida pela equação abaixo, permite que se obtenha o sinal de saída de um sistema linear e invariante no tempo a partir do sinal de entrada, bastando que se convolua o mesmo com a resposta ao impulso do sistema. y(n) 

n

 x(m) h(n  m)

m 0

Pode ser resolvida diretamente, de uma forma mais simples do que a convolução contínua, uma vez que envolve uma somatória e não uma integral, ou através da transformada “z”, com a aplicação da propriedade da convolução (do produto das transformadas, obtém-se a tranformada inversa, que é a convolução). Para ser resolvida diretamente, deve-se aplicar as mesmas regras já vistas para a convolução contínua, que são: 1) inverte-se uma das funções, no caso h(-m), 2) desloca-a sobre a outra [h(n-m)] CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

66

SINAIS E SISTEMAS

3) multiplicam-se as amostras [x(m).h(n-m)] 4) somam-se os respectivos produtos. Segue um exemplo de convolução discreta usando dois métodos. a) Resolução direta y(n)  x(n)  h(n)

m h(n-m) h(-1-m) h(0-m) h(1-m) h(2-m) h(3-m) h(4-m) h(5-m) h(6-m) h(7-m) h(8-m)

-3

3

onde

-2

2 3

-1

1 2 3

x(n)  1 2 3 2 1

0

1

1

2

1 2 3

1 2 3

2 x(m) 3

1 2 3

h(n)  1 2 3

e

3

4

2

1

1 2 3

1 2 3

5

1 2 3

6

1 2 3

7

1 2

8

1

n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y(n) 0 1 4 10 14 14 8 3 0 0

b) Convolução através da aplicação da transformada x(n)  1 2 3 2 1



X(z)  1  2 z-1  3z-2  2z-3  z-4

h(n)  1 2 3 4 5



H(z)  1  2 z-1  3z-2

y(n)  x(n)  h(n)



Y(z)  X(z) H(z)

Y(z)  1  4 z-1  10 z-2  14 z-3  14 z-4  8 z-5  3 z-6 n

y(n)  1  4(n  1)  10(n  2)  14(n  3)  14(n  4)  8(n  5)  3(n  6) 4.7 - Funções de transferência de sistemas discretos A análise de sistemas lineares discretos está centrada no conceito da “função de transferência do sistema”. Como já visto anteriormente, Y(z)  X(z) H(z) Se x(n) é uma função impulso, então X(z) = 1, fazendo com que o sinal de saída seja a resposta ao impulso. O sistema poderá responder ao impulso com um número finito (FIR finite impulse response) ou infinito (IIR - infinite impulse response) de amostras. Três conceitos serão brevemente tratados a seguir. São eles: (I) funções de transferência de CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

67

SINAIS E SISTEMAS

sistemas IIR e FIR, (II) estabilidade do sistema em função da localização dos pólos no plano “z” e (III) resposta no domínio da freqüência. 4.7.1 - Funções de transferência de sistemas IIR e FIR Seja uma função de transferência genérica H(z) dada por M

H(z) 

Y(z)  X(z)

 Ai z-i i=0 N

1   Bi z-i i=1

Isolando-se Y(z) e tirando a transformada inversa, vem: M

 Bi z-i

i=0

i=1

Y(z)  X( z)  Ai z-i  Y(z)

y(n) 

M

N

i 0

i 0

N

 Ai x(n  i)   Bi y(n  i)

A segunda somatória, que é conseqüência da somatória no denominador de H(z) (o denominador não é apenas igual à unidade), implica em realimentação do sistema, ou seja, a amostra atual de y(n) dependerá não só das amostras referentes ao sinal de entrada, mas também das amostras passadas de y(n). Isto fará com que a aplicação de uma função impulso na entrada venha causar uma resposta de duração infinita. Por outro lado, não havendo os termos Bi (o denominador de H(z) é igual à unidade), a resposta ao impulso terá duração finita. Em outras palavras, o sinal de saída é uma convolução do sinal de entrada com h(n), que é constituido apenas dos termos Ai, i.e.,

y(n) 

M

 Ai x(n  i) 

i 0

M

 h(i) x(n  i)

i 0

Nos dois exemplos seguintes, determina-se a resposta ao impulso e a equação genérica de y(n). 1) Sistema de resposta infinita ao impulso (IIR)

H(z) 

1 1  0,25 z-2

Y(z)  X( z)  0,25 Y(z) z-2

y(n)  x(n)  0,25 y(n  2) CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

68

SINAIS E SISTEMAS

A resposta ao impulso pode ser obtida, por exemplo, pelo método dos resíduos.

X 0 ( z)  X( z) zn1 

X 0 ( z) 

zn1 z2  0,25



1 1  0,25 z2

z j0,5

h(n) 

zn1 z  j 0,5

1 j

z2

zn1 

z2  0,25

zn1 z2  0,25

zn1 zn1  z  j 0,5 z  j 0,5

h(n)  Re s H0 ( z)  Re s

h(n) 

zn1 

z j0,5

 z j0,5 

H0(z)

zn1 z  j 0,5





 j 0,5n1   j 0,5n1



z j0,5

0,5n  j  n1   e j 2 

2

 j n 1   2  e  

  h(n)  0,5n sinn  1  2  Para se poder comparar os valores de h(n) obtidos a partir desta equação com os valores de y(n), quando x(n) é um impulso, serão agora calculados alguns destes valores. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(n) 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y(n-2) 0 0 1 0 - 0,25 0 0,0625 0 - 0,0156

y(n-1) 0 1 0 - 0,25 0 0,0625 0 - 0,0156 0

y(n)=x(n) - 0,25 y(n-2) 1- 0,25 . 0 0 - 0,25 . 0 0 - 0,25 . 1 0 - 0,25 . 0 0 - 0,25(- 0,25) 0 - 0,25 . 0 0 - 0,25 . 0,0625 0 - 0,25 . 0 0 - 0,25 . (- 0,0156)

y(n) 1,00 0 - 0,25 0 0,0625 0 - 0,0156 0 0,0039

h(n) 1,00 0 - 0,25 0 0,0625 0 - 0,0156 0 0,0039

2) Sistema de resposta finita ao impulso (FIR) H(z)  1  z1



h(n)  (n)  (n  1)

Como se pode observar, foi bastante fácil a obtenção da resposta ao impulso, que tem apenas dois termos neste caso. Para se obter a equação do sinal de saída, faz-se Y(z)  X( z) H(z)  X( z)  X(z) z-1 CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

69

SINAIS E SISTEMAS

y(n)  x(n)  h(n)  x(n)  (n)  (n  1)  x(n)  x(n  1)

Trata-se de um filtro diferenciador (amostra atual - amostra anterior) bastante básico, cujo sinal de saída é obtido a partir de y(n) 

x(n)  x(n  1) T

onde T=1.

4.7.2 - Estabilidade do sistema No que diz respeito à estabilidade do sistema em função da localização dos pólos no plano “z”, já foi visto que, para que h(n) seja convergente, os pólos do sistema devem estar no interior do círculo unitário. Isto significa que |pi|  1 para i=1,2,..,N para h(n) 

N

s H( z) pn-1  Re i zpi i1

Deve-se ressaltar aqui que todos os sistemas FIR são estáveis, pois seus pólos estão sempre na origem, como se pode ver no exemplo anterior, onde H(z)  1  z1 

z1 z

pólo: z = 0

zero: z = 1

4.7.3 - Resposta em freqüência A resposta de um sistema discreto no domínio da freqüência, que envolve as variáveis magnitude e fase, pode ser obtida substituindo-se “z” por “ej = ejT”, o que significa fazer-se uma avaliação de H(z) sobre o círculo unitário. Nos sistemas contínuos, faz-se a substituição de “s” por “j” e, na passagem para os sistemas dicretos, o eixo “j” passa a ser o círculo unitário. Assim,

H(e

jT

)  H(z) z e jT

   

N e jT N(z)   D( z) z e jT D e jT

   

H(e jT )  H e jT  e jT

onde T=1 (normalização),

H(e j )  M() 

  H()  He   De  j

N e j

j

   tan

   e

j

1

   ReHe  Im H e j

j

onde M() representa a magnitude e () representa a fase. Como demonstrado através da teoria da amostragem, o espectro de um sinal discreto se repete a cada “fs”, onde “fs” é a freqüência de amostragem. Por esta razão, CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

70

SINAIS E SISTEMAS

basta que a variável  assuma valores na faixa “0 a 2”, que corresponde à faixa “0 a fs”. Desta forma, a escala de freqüência poderá ser ser adaptada, em um gráfico final, por exemplo, para “0 a 2”, “0 a fs”, “0 a 1” (fs é normalizada) ou até mesmo “0 a 360o”. É também sufuciente que se efetuem os cáculos apenas na faixa “0 a ”. Vale lembrar que a resposta obtida para a faixa “ a 2” equivale à obtida para uma faixa de “- a 0”. Para demonstrar o cálculo da resposta em freqüência de um filtro, toma-se, aqui, um filtro FIR denominado filtro comb (pente), que é representado pelas equações y(n)  x(n)  x(n  N) h(n)  (n)  (n  N) N

H(z)  1  z



zN  1 zN

Nota-se que o mesmo tem N zeros sobre a circunferência de rauio unitário e N pólos na origem. Calculando H(ej), vem j

H(e )  H(z) z e j  1  e

 jN

e

j

N 2

N   jN  j e 2  e 2     

 N  2 

 N   j  2  H(e )  2 sen e  2  j

 N  H(e j )  2 sen   2 

e

Fase() =

 N  2 2

Percebe-se que, em se tratando de um filtro FIR, a fase é linear. Como exemplo, a figura 4.1 mostra |H(z)|, |H(z)| avaliado sobre a circunferência de raio unitário e a resposta em freqüência para um filtro comb com N = 4, que é dada por  4  j H(e j )  2 sen  = H(e )  2 sen2   2  Fase() =

 2



4 2



 2

2

Este filtro anula o sinal DC e aqueles com freqüência fs/4 e fs/2. Seria útil, por exemplo, como um filtro passa-faixa que elimina a freqüência de 60Hz da rede em um sinal que seja amostrado com fs = 240Hz. Para sinais com freqüência bem baixa, ele se comporta como um diferenciador com ganho maior do que o diferenciador básico citado no próximo exemplo.


71

SINAIS E SISTEMAS

(a)

(b)

(c)

Figura 4.1 - Filtro comb representado pela equação y(n)  x(n)  x(n  4). (a) |H(z)|, (b) |H(ej)| e (c) resposta em freqüência . Outro exemplo referente a este tipo de filtro está ilustrado na figura 4.2 para N = 1. Como já foi visto no ítem 4.7.1, tal filtro é um diferenciador bem básico que se pode utilizar no processamento digital de sinais. Isto se confirma através de sua curva de resposta em freqüência, cujo ganho aumenta de forma razoavelmente linear na faixa 0 a fs/4, pois, como estabelece a transformada de Fourier, através da propriedade da diferenciação no tempo, dx(t) dt

 j2f. X(f ) . Segue o exemplo.

H(z)  1  z1 

z1 z

zero: z = 1

pólo: z = 0

  H(e j )  2 sen   2 Fase() =

   2 2

(a)

(b)

(c)

Figura 4-2 - Filtro de resposta finita ao impulso. (a) mapeamento de pólos e zeros, (b) respostas ao impulso e ao degrau e (c) resposta em freqüência. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

72

SINAIS E SISTEMAS

Para mostrar o efeito do mesmo, são mostrados, na figura 4.3, um sinal de ECG (eletrocardiograma) original x(n) e a derivada básica dada por y(n).=.x(n) - x(n-1). Pode-se ver que as componentes de alta freqüência passam a ter maior amplitude, dando, inclusive, destaque à freqüência de 60Hz da rede, que contamina o sinal original.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.3 - Ação de um filtro diferenciador básico com h(n)=(n)-(n-1) sobre um sinal. (a) e (b) Sinal de ECG e seu espectro e (c) e (d) derivada do ECG e seu espectro. O último exemplo trata de um filtro IIR para o qual são fornecidos a função de transferência, o mapa de pólos e zeros, as respostas ao impulso e ao degrau unitário e a resposta em freqüência 1) H(z) 

1 1  0,25 z-2



z2 z2  0,25


zeros: z1 = z2 = 0

pólos: z1,2 = j 0,5

73

SINAIS E SISTEMAS

(a)

(b)

(c)

Figura 4-4 - Filtro de resposta infinita ao impulso. (a) mapeamento de pólos e zeros, (b) respostas ao impulso e ao degrau e (c) resposta em freqüência.


74

SINAIS E SISTEMAS

BIBLIOGRAFIA BERLIN, HOWARD M. (1977); Design of Active Filters, Howard W. Sams & Co., Inc., USA. CARLSON, A. BRUCE (1981); Sistemas de Comunicação, McGraw-Hill do Brasil, São Paulo. DeFATTA, DAVID J., LUCAS, JOSEPH G. and HODGKISS, WILLIAM S. (1988); Digital Signal Processing - A System Design Approach, John Wiley & Sons, USA. GHAUSI, M.S. and LAKER, K. R. (1981); Modern Filter Design, Prentice-Hall, Inc., USA. FINK, DONALD G. and CHRISTIANSEN, DONALD (1982); Electronics Engineers’ Handbook, McGraw-Hill, Inc., USA. HAYT JR, WILLIAM H. and KEMMERLY, JACK E. (1978); Engineering Circuit Analysis, McGraw-Hill, Inc., USA. HIGGINS, RICHARD J. (1983); Electronics with Digital and Analog Integrated Circuits, Prentice-Hall, Inc., USA. JACOB, J. MICHAEL (1983); Applications and Design with Analog Integrated Circuits, Reston Publishing Company, Inc. (Prentice-Hall), USA. KAMEN , EDWARD W. and HECK, BONNIE S. (1997); Fundamentals of Signals and Systems Using MATLAB, Prentice-Hall., USA. LANCASTER, DON (1975); Active-Filter Cookbook, Howard W. Sams & Co., Inc., USA. MARCON, FELIPE ; FT3D: Software Didático para Ensino de Processamento de Sinais. Dissertação de Mestrado, Cpgei-Cefet-Pr, Curitiba – Pr (2002). OGATA, KATSUHIKO (1982); Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro. OPPENHEIM, ALAN V. and SCHAFER, RONALD W. (1975); Digital Signal Processing,. Prentice-Hall Inc., USA. RABINER, LAWRENCE R. and GOLD, BERNARD (1975); Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc., USA STARK, HENRY and TUTEUR, FRANZ B., Modern Electrical Communications - Theory and Systems, Prentice-Hall, Inc., USA. HAYKIN, SIMON and VAN VEEN, BARRY (2000); Sinais e Sistemas, Bookman Editores STELLE, ÁLVARO L.; Real-time Computer Aided Analisys of the Electroencephalogram: a Two-dimensional Approach, Ph.D. Thesis, The City University, London, UK (1991). STRUM, ROBERT D. and KIRK, DONALD E. (1988); First Principles of Discrete Systems and Digital Signal Processing, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA. CEFET-PR – DAELN – CPGEI PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD)

75

SINAIS E SISTEMAS

VAN VALKENBURG, M. E. (1982); Analog Filter Design, Holt-Saunders, Japan. ZURRO, VIVIANA R.; Detecção Automática de Ritmos Cardíacos Atriais Persistentes no Eletrocardiograma, Dissertação de Mestrado, COPPE-UFRJ, Rio de Janeiro (1996).


76