BAB 1 - File UPI

Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

MODUL 1 DERET TAKHINGGA Satuan Acara Perkuliahan Modul 1 (Deret Takhingga) sebagai berikut. Petemuan ke-

Pokok/Sub PokokBahasan

1

Deret Takhingga Barisan

Mahasiswa diharapkan mampu:  memahami barisan, baik secara formal maupun intuitif,  menentukan rumus rekursif dari barisan,  memeriksa konvergensi suatu barisan dan menentukan limitnya,  mengenal dan menyelesaikan masalah dengan barisan sebagai model matematikanya.

Deret takhingga (Deret khusus dan konvergensinya)

 memahami arti deret takhingga dan membedakannya dari penjumlahan biasa,  memahami konvergensi deret dan kaitannya dengan konvergensi barisan,  menyusun dan menulis deret dengan menggunakan notasi ,  mengenal beberapa deret khusus dan konvergensinya, seperti deret geometri, deret harmonik, dan deret-p.  memeriksa konvergensi deret sederhana dengan definisi

Uji Konvergensi Deret Positif

 memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji integral,

2

Deret Takhingga Uji Konvergensi Deret Positif (lanjutan)

Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat

AipSaripudin

TujuanPembelajaran

Mahasiswa diharapkan mampu:  memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji perbandingan dan uji limit perbandingan  memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji rasio  memeriksa konvergensi deret positif dan memilihkan uji yang tepat,  mengenal kekuatan dan kekurangan tiap uji serta menggunakannya untuk menentukan strategi penentuan konvergensi.  mengenal deret yang lebih umum yaitu deret berganti tanda,  memahami perbedaan deret berganti tanda dengan deret positif,  memahami konsep kedivergenan, konsep konvergensi mutlak, dan konvergensi bersyarat.

Modul 1 DeretTakhingga - 1


 menguji kekovergenan deret berganti tanda dengan menggunakan (memilih dengan tepat) uji deret berganti tanda, uji konvergensi mutlak, uji rasio mutlak, serta mengenal kelebihan dan kekurangan tiap uji konvergensi. Deret Pangkat

3

AipSaripudin

 memahami pengertian deret pangkat sebagai deret,  menentukan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat dan interval konvergensinya.  memahami fungsi yang dibangkitkan oleh sebuah deret pangkat dengan domain sama dengan interval konvergensinya.

Deret Takhingga Operasi Deret Pangkat

Mahasiswa diharapkan mampu:  memahami representasi/penyajian berbagai fungsi dalam bentuk deret dan batasan domain penyajiannya.  menentukan representasi/penyajian fungsi dalam bentuk deret dengan menggunakan teknik membangun deret pangkat yang baru berdasarkan yang telah ada, dengan operasi turunan, integral, operasi aljabar, subsitusi dan lainnya.

Deret Taylor dan Maclaurin

 menentukan penyajian fungsi dalam bentuk deret pangkat deret Taylor dan deret Maclaurin.  menghargai pentingnya deret Taylor untuk menghampiri nilai fungsi serta manfaatnya dalam perhitungan matematika yang digunakan dalam berbagai bidang.  mengenal beberapa deret Maclaurin yang penting.



1.1 BarisanTakhingga Barisan adalah susunan bilangan-bilangan riil secara berurutan. Perhatikancontohberikut. (a) 2, 4, 8, 16, … (b)

1 2

, 14 , 18 , 161 ,...

(c) 1, 4, 7, 10, 13, … Secaraumum, barisandapatditulis

{an }n 1

a1 , a2 , a3 ,...

dengan an memenuhi persamaan tertentu. Pada contoh di atas, masing-masing dapat ditulis dalam rumus sebagai berikut. (a) an

2n

{an }n 1

2,4,8,16,...

(b) an

( 12 ) n

{an }n 1

1 2

(c) an

3n 2

{an }n 1 1,4,7,10,13

, 14 , 18 , 161 ,...

Konvergensi Barisan Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L (bilangan berhingga) jika memenuhi

lim{an } L n

Jika syarat di atas tidak dipenuhi, barisan dikatakan divergen.

Sifat-sifat Limit Barisan Misalnya {an} dan {bn} adalah barisan konvergen dan k adalah konstanta. (1) lim k n

k

(2) lim kan n

(3) lim(an n

k lim an n

bn ) lim an lim bn n

(4) lim(an bn ) n

(5) lim n

an bn

CONTOH 1

n

lim an lim bn n

n

lim an n

lim bn n

Cari lim n

n2 . 4n 2 5

Penyelesaian

AipSaripudin



Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n (dalam hal ini, n 2) maka diperoleh

lim n

CONTOH 2

n2 4n 2 5

lim n

1 4 5 / n2

1

1 . 4

4 0

Diketahui sebuah barisan sebagai berikut. 1 2

, 23 , 34 , 54 ,...

(a) Nyatakan barisan tersebut dalam rumus eksplisit. (b) Apakah barisan di atas konvergen? Penyelesaian (a) Pada barisan di atas, penyebut selalu lebih besar 1 daripada pembilang. Jika pembilang diberi simbol n, penyebut menjadi n + 1. Dengan demikian, rumus eksplisit barisan di atas adalah

n

an

n 1

.

(b) Ujikonvergensi

lim an n

Karena lim an

n

n n 1

lim n

1 1 1/ n

1

1

1 0

1 (bilangan berhingga), maka {an} konvergen menuju 1.

n

CONTOH 3

lim

Apakah {a n } dengan an

e 2n konvergen? n 2 3n 1

Penyelesaian Untuk menguji konvergensi barisan di atas, cari limit anuntuk n . Jika kita masukkan n = pada soal ini, akan diperoleh bentuk taktentu / . Kita gunakandalilL’Hopital:

lim an n

Karena lim an

lim n

e 2n 2e 2 n lim n 2 3n 1 n 2n 3

lim n

4e 2 n 2

(takhingga), maka {an} divergen menuju .

n

LATIHAN 1.1 Untuk Soal 1 – 5, tuliskan lima suku pertama barisan berikut. Tentukanapakahbarisantersebutkonvergenat audivergen. 1.

an

n 1 3n 2

2.

an

3n 2 2 2n 1

3.

an

AipSaripudin

( 1)

n

4.

an

5.

an

ln n n e n sin n

UntukSoal 6 – 10, carirumuseksplisitanuntuksetiapbarisanberik ut.Tentukanapakahbarisantersebutkonvergen ataudivergen.

n

6.

1 2 3 4 , , , ,... 2 2 23 2 4 25

n 2



7. 8.

1, 1 4

1 1

1 2

,

1 2 3

1

,

1 1

3 4

,...

1, 12 , 16 , 121 ,...

9.

1 , 161 , 811 , 256 ,...

10.

1 3

, 94 ,

9 16 27 81

, ,...

1.2 Deret Takhingga: Deret Khusus dan Konvergensinya Secara umum, deret takhingga ditulis sebagai berikut.

an

a1 a2

a3 ...

n 1

KonvergensiDeret a n dikatakankonvergendanmemilikijumlahSjikabarisanjumlahparsialke-n{Sn}

Derettakhingga n 1

konvergenmenujuS. Jika {Sn} divergen, derettersebutdivergen. Deret divergen tidak memiliki jumlah.

CONTOH 1

Tentukan konvergensi jumlah deret berikut. 4 3

4 9

4 27

4 81

...

Penyelesaian Jumlahparsialke-nderettersebutadalah

S1

4 3

S2

4 3

4 9

16 9

S3

4 3

4 9

4 27

52 27

4 3

4 9

4 27

...



Sn

4 3n

2

2 3n

Maka

lim S n n

Dengan demikian, jumlah deret

AipSaripudin

4 3

4 9

4 27

lim 2 n

4 81

2 3n

2

... konvergen menuju 2.



Deret Geometri Deret geometri memiliki bentuk

ar n 1

a ar ar 2

ar 3 ...

n 1

an 1 . an

dengana 0, r

Deretgeometrikonvergenuntuk -1 1. Untukderetgeometrikonvergen, jumlahnyamemenuhi

S

a

lim S n

1 r

n

n

ar k

dengan S n

1

a ar ar 2

ar 3 ... ar n 1

k 1

CONTOH 2

Tentukanjumlahderetberikut. 1 2

1 4

1 8

1 16

...

Penyelesaian 1 4

Rasio deret r

1 2

1 2

1 2

dan a

maka jumlahnya adalah

S

1 2

a 1 r

1

1 2

1

Deret Harmonik Deret harmonik memiliki bentuk sebagai berikut.

1 1 1 2 n 1 n

1 3

1 ... 4

Deret harmonik merupakan deret divergen. Buktinya sebagai berikut.

Sn

1

1 2

1 3

1

1 2

1

1 2

2 4

4 8 1 ... 8 16 n

1

1 2

1 2

1 2

1 3

1 4 1 4

Jelas bahwa lim S n

1 1 ... 5 n 1 5

1 6

1 7

1 8

1 1 ... 9 16

...

1 n

1 1 ... 2 n sehingga deret harmonik divergen menuju takhingga.

n

AipSaripudin



Deret-p Deret-pmemilikibentuksebagaiberikut.

n 1

1 np

1

1 2p

1 3p

1 4p

...

dengan p konstanta. Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 {Bukti konvergensi ini ditunda dulu hingga Anda selesai mempelajari beberapa metode uji konvergensi).

UjiSukuke-n untukKonvergensi: UjiPendahuluan Jika lim an n

0 atau tidak ada, deret tersebut divergen. Jika lim an n

a n perlu diuji

0 , deret n 1

lagi dengan metode lain apakah ia konvergen atau divergen.

CONTOH 4

Tunjukkan bahwa n 1

n2 divergen. 2n 2 n

Penyelesaian

lim an n

lim n

n2 2n 2 n

1

lim n

2

1 1 n

1 . 2

2 0

Dengan demikian, sesuai dengan uji suku ke-n, deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.2 Untuk Soal 1 – 6, tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, cari jumlahnya. Petunjuk: untuk memudahkan, tulis beberapa suku awal deret tersebut. 1 n 5

1.

Untuk Soal 7 – 10, gunakan uji pendahuluan (uji suku ke-n) untuk menyatakan bahwa deret tersebut divergen atau perlu uji lanjutan. Ingat, uji pendahuluan tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa deret konvergen.

n 1

7.

k 1

2 k

k 1

2 k (k 2)

k 1

k 5 k 2

2.

3.

5.

6. k 1

1 2

8.

1 4

AipSaripudin

n 1

9.

10. k 2

4 5

9 10

16 17

25 26

36 37

...

n 3 n 2 10n

n! n 1 ( n 1)! ( 1) n n 2 ( n 1) 2



1.3 UjiKonvergensiDeretPositif 1.3.1 Uji Integral Misalnyafmerupakanfungsikontinu, positif, dantidaknaikpada interval [1, ) dananggap an f (n) untuksemuabilanganpositifn. Derettakhingga

a n konvergen jika dan hanya jika integral improper f (n)dn konvergen. n 1

CONTOH 6

1

1

Gunakan uji integral untuk menentukan apakah n 1

n 1

konvergen atau divergen.

Penyelesaian t

lim t

1

Dengandemikian, n 1

CONTOH 7

1 n 1

t

dn

lim ln( n 1) 1

lim ln( t 1) ln 2

t

t

1 divergen. n 1

Tunjukanbahwaderet-p(a)konvergenjika p > 1 dan (b) divergenjika p

1.

Penyelesaian Sepertitelahdituliskanpadasubbab 1.2, deret-pberbentuk

n 1

1 np

1

1 2p

(a) Untuk p> 1, 1

t

1 dn np

Selanjutnya, lim t 1

p

t

n dn 1

1

1 dn np

1

n 1 dn

t 1

1 dn np

t

ln n 1

ln t

1

n 1

Untuk 0 1. np

t

maka

t

...

t1 p 1 1 p

n 1

Selanjutnya, lim ln t

AipSaripudin

t

0 . Dengan demikian t

(b) Untuk p = 1:

n1 p 1 p

p

1 4p

1 kontinu, positif, dan tidak naik pada [1, ). np

dengan p konstanta. Untuk p > 0, fungsi f (n) t

1 3p

1 divergen. np

t

n p dn 1

n1 p 1 p

t

1

t1 p 1 1 p



Karena 0 0. Selanjutnya, lim t 1

p

lim t u

t

maka

t

n 1

1 np

divergen. p< 0 maka –p = u> 0 sehingga an

Untuk p < 0,:

pendahuluan (uji suku ke-n): lim nu

maka

n

n 1

1 np

n

p

n u . Dengan uji

1 divergen. np

Dari ketiga kondisi di atas diperoleh simpulan bahwa n 1

1 divergen untuk p 1. np

1.3.2 UjiPerbandingan Misalnya (1)

dan

. Untuk n

bn konvergen maka

dan

(2)

N,

bn divergen maka

dan

an konvergen.

an divergen.

Untuk uji perbandingan, kita dapat melakukan perbandingan suatu deret dengan deret yang konvergensi atau divergensinya sudah kita ketahui. Dalam hal ini, telah diketahui konvergensi atau divergensi beberapa deret sebagai berikut. (1) DeretGeometri

ar n konvergenjika –1 1. n 1

(2) Deret-p

n 1

1 konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1. np

(3) DeretHarmonik

1 divergen. n 1 n

CONTOH 1

n

Apakah n 1

3n

2

1

konvergen atau divergen?

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai dengan

dan bandingkan

sebagai berikut

n 3n

AipSaripudin

1 . Kita coba pilih 3n

2

1

n 3n 2

1 1 3 n

an

bn



Karena

bn

dan n 1

n

1 n divergen (sepertiga kali deret harmonik) maka 2 1 n 1 3n 1 3n

divergen.

CONTOH 2

Tentukan konvergensi

3n 1 . 3 2 n 1 3n

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-nderet di atas menyerupai

3n 1 3n 3 2 Karena

n 1

1 n2

. Selanjutnya,

an

bn

1 3n 1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1) maka 2 3 2 n n 1 3n

bn

dan

1 . Pilih n2

n 1

konvergen.

1.3.3 UjiLimit Perbandingan Misalnya an

0 , bn

CONTOH 3

an bn

a n dan

bn sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.

n

(1) 0 < L< (2) L = 0 dan

0 , dan lim

L.

bn divergen

a n konvergen.

Tentukan apakah 1

n

2

n konvergen atau divergen. 2n 3

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai 1/n. Oleh karena itu, pilih

bn

1 maka n lim n

bn

Karena 1

AipSaripudin

1

an bn

lim n

n2

n 2n 3

1 n

1 divergen (deret harmonik), maka n

lim n

1

n2

n

2

n2 1 2n 3

n divergen. 2n 3



CONTOH 4

2n 1 konvergen atau divergen. n 3 2n 2 5

Tentukan apakah 1

Penyelesaian

1 maka n2

Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut mirip 1/n2. Oleh karena itu, pilih bn

lim n

bn

Karena 1

1

CONTOH 5

an bn

2n 1 3 n 2n 2 5

lim n

1 n2

lim n

2n 3 n 2 1 n 3 2n 2 5

1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1), maka n2

Tentukan konvergensi

2n 1 konvergen. n 2n 2 5 3

1

ln n . n 1 n

Penyelesaian Mirip bentuk rumus eksplisit suku ke-n seperti apakah membandingkannya dengan

1 . Karena itu, pilih bn n lim n

an bn

lim n

ln n n

ln n ? Kita coba dengan n 1 maka n

1 n

lim ln n n

Ternyata uji di atas gagal karena tidak sesuai dengan syarat uji limitperbandingan. Kita cobalagidenganmemilih b

lim n

an bn

lim n

1 n

maka

ln n n

1 n

lim

ln n

n

lim n

n

1/ n 1/ 2 n

lim n

2 n

0

{Limit di atas diperoleh dengan dalil L’Hopital}

1 divergen (deret-p dengan p = ½ < 1) maka, sesuai syarat uji 1/ 2 n n1n n 1 ln n limitperbandingan, konvergen. n 1 n Karena

1

1.3.4 UjiRasio Misalnya

a n merupakanderetsuku-sukupositifdan lim n

an 1 an

.

(1) Jika < 1, derettersebutkonvergen. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika

AipSaripudin

= 1, gunakan uji konvergensi lain.



CONTOH 8

Uji konvergensi deret berikut.

1

1 1 1 1 ... ... 2! 3! 4! n!

Penyelesaian

1 dan suku ke-(n+1): an 1 n!

Deret tersebut memiliki suku ke-n: an

lim n

an 1 an

lim n

1

1 (n 1)! n!

lim n

1 (n 1)!

n! 1 lim n (n 1)! n 1

maka

0.

Karena < 1 maka deret tersebut konvergen. Catatan:

n! (n 1)! CONTOH 9

n(n 1)(n 2)3 2 1 (n 1)(n)(n 1)(n 2)3 2 1

1 n 1

.

Uji konvergensi deret berikut.

n 1

2n . n2

Penyelesaian Suku ke-n dan ke-(n+1) deret tersebut masing-masing a n

2n dan a n n2

2n 1 maka, dengan (n 1) 2

uji rasio,

lim n

an 1 an

lim n

2n 1 (n 1) 2

2n n2

lim n

2n 2 (n 1) 2

lim n

2 (1

1 2 n

)

2 (1 0) 2

2.

= 2 > 1 maka deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.3 Untuk Soal 1 – 4, gunakan uji perbandingan atau perbandingan limit untuk menentukan konvergensi deret.

n 1

2n 2 1 n3

1

1. n 1

2.

4.

n n 1

ln n 2 n 1 n

Gunakan uji integral untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 5 – 8 berikut. 5. n 1

3. n 1

1 2n

n2

6. n 1

AipSaripudin

1 n ln n n3 1



7.

n n 1 (n

2

2

n e

8.

13.

1)

1 2 2

15. n 1

n 1 n2 1

n 1

nn (2n)!

16.

4n n!

n 1

e n2

n 1

18.

2n

11. n

3 3n 0 2

12. n 1

4 52

...

1 3 3

1 4 4

...

ln n

17.

n

10.

3 42

14. 1

Gunakan uji rasio untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 8 – 12 berikut.

n 1

2 32

n3

n 1

9.

1 22

2

n

n n 1 3

n 1

n2 1 3n

n 1

3n 1 n3 4

19.

en n!

n

20. Tentukan konvergensi deret pada Soal 13 – 20 berikut. Tuliskanuji yang digunakan.

1.4 Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat Deret berganti tanda memiliki bentuk umum sebagai berikut.

( 1) n 1 an

a1 a2

a3 a4 ...

n 1

dengan an

an 1

0.

Uji Deret Berganti Tanda: Jika lim an n

CONTOH 1

0 , deret tersebut konvergen.

( 1) n

Tunjukkan bahwa n 1

1

1 konvergen. n

Penyelesaian

lim n

1 n

0

Jelas bahwa deret tersebut konvergen.

AipSaripudin



KonvergensiMutlak | an | konvergen,

Jika

a n konvergen. Uji konvergensi mutlak (uji rasio mutlak) sebagai

berikut. Misalnya

lim n

| an 1 | | an |

(1) Jika < 1, deret tersebut konvergen mutlak. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika

= 1, gunakan uji konvergensi lain.

CONTOH 2

( 1) n

Tentukankonvergensi

1

n 1

2n . n2

Penyelesaian

lim n

an 1 an

lim n

2n 1 (n 1) 2

2n n2

lim n

2n 2 (n 1) 2

lim n

2 1 2 n

(1

)

2 (1 0) 2

2

> 1 maka, sesuai uji konvergensi mutlak, deret tersebut divergen.

Konvergensi Bersyarat Deret

a n disebut konvergen bersyarat jika

CONTOH 3

( 1) n

Tunjukkan bahwa

1

n 1

a n konvergen tetapi

| an | divergen.

1 konvergen bersyarat. n

Penyelesaian Pada CONTOH 1 telah dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen. Akan tetapi,

n 1

1 divergen (deret harmonik). Jadi, jelas bahwa n

( 1) n n 1

1

1 konvergen bersyarat n

LATIHAN 1.4 Tunjukkan bahwa deret pada Soal 1 – 4 berikut konvergen mutlak.

3.

( 1) n

1

( 1) n

1

n 1

( 1)

1.

n

n 1

1 n n 1

4. n 1

2n n! n2 en

3 n 4

2. n 1

AipSaripudin



–

TentukanapakahderetpadaSoal 6 berikutkonvergenmutlak, konvergenbersyarat, ataudivergen.

( 1) n

6.

1

n 1

( 1)

7.

n 1

n 1

10

( 1) n

8.

n2 1

n 1

1 3n

9.

n 5n 1

10.

( 1) n

1

1

sin n

n 1

( 1) n

n n 1

n 1

n4 2n

1.5 DeretPangkat;HimpunanKonvergensi Deret pangkat memiliki bentuk sebagai berikut.

an x n

a0

a1 x a2 x 2

a3 x 3 ...

n 0

Konvergensi deret pangkat bergantung pada nilai x yang dipilih. Uji konvergensi yang digunakan adalah uji rasio mutlak. Himpunan konvergensi deret pangkat selalu berada dalam interval dari salah satu kemungkinan berikut. (1) Titiktunggalx = 0. (2) Interval (-R, R), ditambah salah satu atau kedua titik ujung. (3) Semuabilanganriil. Ketiga kemungkinan interval di atas disebut radius konvergensi. CONTOH 1

Tentukan x sehingga n 0

xn konvergen. n!

Penyelesaian Uji rasio mutlak,

xn 1 xn lim n (n 1)! n!

a lim n 1 n an Karena

lim

| x| 0. n 1

lim

x 2

n

= 0 < 1, deret tersebut konvergen untuk semua x.

CONTOH 2

Tentukan himpunan konvergensi n

( x) n . 2n 0

Penyelesaian Uji rasio mutlak,

lim n

AipSaripudin

an 1 an

lim n

( x) n 2n 1

1

( x) n 2n

n

| x| . 2



Deret tersebut konvergen untuk < 1, yakni,

| x| 1 atau | x | 2 dan, sebaliknya, divergen pada 2

| x | 2 . Selanjutnya, cek titik-titik ujung, yakni x = –2 dan x = 2. Pada x = –2

(2) n 2n

an

1 dan lim an

1

n

1 divergen.

sehingga sesuai dengan uji pendahuluan (uji suku ke-n), n 0

Pada x = 2

( 2) n 2n

an

( 1) n dan lim an tidak ada n

( 1) n divergen.

sehingga sesuai denganteorema uji deret berganti tanda, n 0

Dengan demikian, deret di atas konvergen pada interval: –2