BAB 3 TRIGONOMETRI - tito math's blog

BAB 3 TRIGONOMETRI

A

RINGKASAN MATERI

1. Perbandingan Trigonometri C

a = proyektor b = proyektum c = proyeksi b2 = a2 + c2

b

a

 B

c

A

a b c  cos  = b sin  a  tan  = = cos c

1 b = sin  a 1 b  sec = = cos c 1 c  cot  = = tan a

 sin  =

 csc =

 sin 2 + cos 2 = 1  tan 2 + 1 = sec 2  cot 2 + 1 = csc 2

2. Sifat-sifat Kwadran

kwadran II sin +

kwadran I semua +

tan + kwadran III

cos + kwadran IV

kwadran I (0o <  < 90o) sin (90 – ) = cos  cos (90 – ) = sin  tan (90 – ) = cot  sin (k.360 + ) = sin  cos (k.360 + ) = cos  tan (k.360 + ) = tan 

kwadran II (90o <  < 180o) sin (180 – ) = sin  cos (180 – ) = –cos  tan (180 – ) = –tan  sin (90 + ) = cos  cos (90 + ) = –sin  tan (90 + ) = –cot 

3. Sudut-sudut Istimewa o 30o 45o  0 1 1 sin 0 2 2

2

cos

1

1 2

3

1 2

tan

0

1 3

3

1

2

60o 1 2

3

kwadran III (180o <  < 270o) sin (180 + ) = –sin  cos (180 + ) = –cos  tan (180 + ) = tan  sin (270 – ) = –cos  cos (270 – ) = –sin  tan (270 – ) = cot 

kwadran IV (270o <  < 360o) sin (360 – ) = –sin  cos (360 – ) = cos  tan (360 – ) = –tan  sin (270 + ) = –cos  cos (270 + ) = sin  tan (270 + ) = –cot  sin (–) = – sin  cos (–) = cos  tan (–) = –tan 

90o 1 0

1 2

3



4. Pengukuran Sudut Hubungan antara ukuran sudut dalam derajat dengan radian adalah 360o = 2 radian atau  radian = 180o 1 Trigonometri

Sukses Ujian Kenaikan Kelas

5. Hubungan Koordinat  Jika diketahui koordinat Cartesius P(x, y), maka koordinat kutub P(r, ) dapat di cari dengan hubungan : y r = x 2  y 2 dan tan  = x  Jika diketahui koordinat kutub P(r, ), maka koordinat Cartesius P(x, y) dapat di cari dengan hubungan : x = r cos  dan y = r sin  6. Rumus-rumus Segitiga

C a

b c

A

B

 Aturan Sinus a b c = 2R   sin A sin B sin C

L ABC = dengan s =

1 2

b.c.sin A s(s  a)(s  b)(s  c) ,

L ABC =

 Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C  Luas Segitiga L ABC = 12 a.b.sin C L ABC =

1 2

1 2

(a + b + c)

1 3600 n. r 2 sin n 2 LABC  Jari-jari lingkaran dalam Rd = s abc  Jari-jari lingkaran luar Rl = 4 LABC

 Lsegi-n beraturan =

a.c.sin B

7. Rumus-rumus Trigonometri  Rumus jumlah dan selisih dua sudut sin (a  b) = sin a cos b  cos a sin b cos (a  b) = cos a cos b  sin a sin b tan a  tan b tan (a  b) = 1  tan a tan b  Rumus sudut rangkap sin 2a = 2 sin a cos b cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a 2 tan a tan 2a = 1  tan2 a  Rumus konversi perkalian ke penjumlahan sudut 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a – b) 2 cos a sin b = sin (a + b) – sin (a – b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a – b) –2 sin a sin b = cos (a + b) – cos (a – b)



Rumus setengah sudut 1  cos a sin 12 a   2 1  cos a cos 12 a   2 1  cos a sin a 1  cos a tan 12 a     1  cos a 1  cos a sin a  Rumus konversi penjumlahan ke perkalian sudut sin A + sin B = 2 sin 12 (A + B) cos 12 (A – B) sin A – sin B = 2 cos 12 (A + B) sin cosA + cos B = 2 cos 12 (A + B)cos cosA – cosB = –2 sin 12 (A + B)sin

1 (A – B) 2 1 (A – B) 2 1 (A – B) 2

8. Grafik Fungsi Trigonometri Grafik fungsi sinus

Grafik fungsi cosinus

Y

Y

1

1

y = cos x

Grafik fungsi tangen Y

y = tan x

y = sin x 90O 180O 270O 360O

X

90O

180O 270O 360O

X 90O 180O 270

-1

O

360O

X

-1

2 Trigonometri


 Grafik fungsi y = a sin (bx + c) + d , y = a cos (bx + c) + d dan y = a tan (bx + c) + d 2  - Untuk fungsi sinus dan cosinus periode T = dan untuk fungsi tangen T = b b - amplitudo = | a | - Untuk fungsi sinus dan cosinus ymax = | a | + d dan untuk fungsi tangen ymax =  - Untuk fungsi sinus dan cosinus ymin = – | a | + d dan untuk fungsi tangen ymin = –  c = pergeseran ke kanan (–) atau ke kiri (+) b - d = pergeseran ke atas (+) atau ke bawah (–) 9. Persamaan Trigonometri  sin x = sin  x =  + n.360 x = (180 – ) + n.360

 cos x = cos  x =  + n.360 x = –  + n.360

 tan x = tan  x =  + n.180 n = { . . ., –2, –1, 0, 1, 2, . . .}

10. Bentuk a cos x + b sin x  a cos x + b sin x = k cos(x – ), dengan k =

a 2  b 2 dan tan  =

b (kw ….?) a

 y = a cos x + b sin x + c y maks = k + c y min = – k + c  agar persamaan a cos x + b sin x = c memiliki penyelesaian, maka syaratnya | c | 

B

a2  b2

SOAL DAN PEMBAHASAN

sin 1500  sin 1200 = .... cos 2100  cos 3000 a. –2 b. –1 Jawaban: b Penyelesaian:

1. Nilai dari

c. 0

d. 1

e. 2

1  12 3 sin (180  30)   sin (180  60)  sin 150  sin 120 sin 30  sin 60 2 = = = = –1 cos 210  cos 300  cos 30  cos 60 cos (180  30)   cos (360  60)   12 3  12

2. Jika tan x =

1 2

, maka 2 sin x + sin (x +

1 2

) + cos( – x)

a. – 15 5 b. – 52 5 c. 15 5 Jawaban: d Penyelesaian: tan x = 12  buat segitiga siku-siku (1 depan sudut x dan 2 samping sudut x) 2 sin x + sin (x +

1 2

d.

2 5

5 1 x 2

) + cos( – x) = 2 sin x + cos x – cos x = 2 sin x = 2 (

1 5

)=

3. Koordinat Cartesius dari koordinat kutub P(10, 240o) adalah .... a. (–5, –5 3 ) b. (–5, 5 3 ) c. (5, –5 3 ) d. (5, 5 3 ) Jawaban: a Penyelesaian: P(10, 240o) = P(r, ), maka x = r cos  = 10 cos 240o = 10 (– 12 ) = –5 dan y = r sin  = 10 sin 240o = 10 (– 12

5

e.

5

2 5

=

2 5

5

e. (5, 5)

3 ) = –5 3

Jadi, P(x, y) = P(–5, –5 3 ) 3 Trigonometri


4. Ebtanas 1998 Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 5 cm, sisi BC = 4 cm dan sin A =

3 5

. Nilai dari cos B = ….

1 4 3 1 3 b. c. d. e. 7 7 7 3 5 4 4 7 Jawaban: a Penyelesaian: Gunakan aturan sinus, diperoleh BC AC C Untuk menentukan nilai cos B buat segitiga siku-siku  sin A sin B AC 4  sin B =  sin A 5 3 BC 4 5 3   4 5 7 B 3 1 B A Jadi, nilai dari cos B =  7. 4 4 5. UN 2006 Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044o sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104o sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah …. a. 10 95 km b. 10 91 km c. 10 85 km d. 10 71 km e. 10 61 km Jawaban: e Penyelesaian: Menggunakan aturan cosinus, diperoleh AC 2 = 502 + 402 – 2  50  40  cos 120o 104o 40 km = 2500 + 1600 – 4000  (– 12 ) 120o C 50 km = 6100 044o AC = 6100

a.

A

= 10 61 km 6. Ebtanas 2000 Luas segitiga ABC adalah 24 cm2, sisi AC = 8 cm dan AB = 12 cm. Nilai cos A = …. a.

1 2 3

b.

1 2

c.

1 3 3

d.

1 2 2

e.

1 3 2

Jawaban: e Penyelesaian: L = 12 AB  AC sin A 24 =

1 2

 12  8 sin A

 sin A =

1 2

A = 30 atau A = 150 Jadi, cos A = cos 30 = 12 3 atau cos A = cos 150 =  12 7. Diketahui sin  =

8 17

a.  Jawaban: a Penyelesaian:  sudut tumpul sin  = 178 60 85

dan cos  = b.



3 5

dengan  sudut tumpul dan  sudut lancip. Nilai sin ( + ) = ….

36 85

17 8

15  cos  = – 17 –15 sehingga 7 sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  15 = 178  53 + (– 17 ) 54

=

24 85



3

c.



24 85

d.

 sudut lancip cos  = 53 sin  =

4 5

24 85

e.

36 85

5 4

 3

60 85

36 =  85

4 Trigonometri


8. Ebtanas 2000 Bentuk sederhana 4 sin 36 cos 72 sin 108 adalah …. a. 1 – cos 72o b. 1 + cos 36o c. 1 – cos 36o Jawaban: a Penyelesaian: 4 sin 36 cos 72 sin 108 = 2 (2 sin 108 cos 72) sin 36 = 2 (sin 180 + sin 36) sin 36 = 2 sin2 36 = 1 – cos 72

d. 1 + cos 72o

e. 2 cos 72o

9. UAN 2002 sin 5 x  sin 3x Bentuk senilai dengan .… cos 5 x  cos 3x a. tan 2x b. tan 4x c. tan 8x d. cos 4x e. cot 8x Jawaban: b Penyelesaian: 2 sin 12 (5 x  3x) cos 12 (5 x  3x) sin 5 x  sin 3x 2 sin 4 x cos x sin 4 x = = = = tan 4x 1 1 2 cos 2 (5 x  3x) cos 2 (5 x  3x) cos 5 x  cos 3x 2 cos 4 x cos x cos 4 x 10. Ebtanas 1999 Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar adalah…..

Y 2

a. y = 2 cos (2x – 60)o 1 b. y = 2 cos (x – 30)o 240 c. y = 2 sin (x + 30)o X O 60 d. y = 2 cos (x + 30)o 1 e. y = 2 sin (x – 30)o Jawaban: c 2 Penyelesaian: Gambar grafik fungsi y = 2 sin xo kemudian digeser horizontal ke kiri sejauh 30o , maka diperoleh grafik fungsi trigonometri y = 2 sin (x + 30)o Y 2

y = 2 sin(x + 30)o

Metode praktis: Subtitusikan x = 0 ke dalam jawaban, maka yang benar adalah jawaban a dan c. Subtitusikan x = 60 ke dalam jawaban a dan c, maka yang benar adalah jawaban c.

1 30

o

180 O

240

60 90

270

X 360

1 y = 2 sin xo

2

11. Ebtanas 1997 Himpunan penyelesaian dari cos xo – a. {75, 285} b. {15, 105} Jawaban: e Penyelesaian: cos xo – 3 sin xo = 2 k=

12 

 3

2

= 2 dan tan  =

Persamaan cos xo –

3 sin xo =

3 sin xo = 2 , untuk 0  x < 360 adalah .... c. {75, 165} d. {195, 285}

e. {255, 345}

 3   3 ( dikuadran IV)   = 300° 1 2 ekuivalen dengan persamaan

2 cos (x – 300)° = 2  cos (x – 300)° = 12 2 = cos 45°  x – 300o = 45 o + k  360 o  x – 300 o = 45 o + k  360 o  x = 345 + k  360o  x = 255 o + k  360 o o k = 0  x = 345 k = 0  x = 255 o o o Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {255 , 345 } 5 Trigonometri


12. Ebtanas 2001 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2xo – cos xo > 0, untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah .... a. {x|120 < x < 240} c. {x|240 < x < 360} e. {x|0 < x < 210} b. {x|0 < x < 120} d. {x|120 < x < 360} Jawaban: a Penyelesaian: cos 2 xo – cos xo > 0  2 cos2 xo – cos xo – 1 > 0  (2 cos xo + 1) (cos xo – 1) > 0  (2 cos xo + 1) (cos xo – 1) = 0 cos xo = – 12 atau cos xo = 1  +  x = 120o, 240o atau x = 0o, 360o   o o o Uji daerah : x = 270  (), x = 180  (+), dan x = 90  () 0 120 240 o

360

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 120 < x < 240 }.

C 1.

sin 2

LATIHAN SOAL  4

sin 2

 3

 cos2 

 4

cos2

 3

= ....



tan 6 tan 3

a.

1 4

3 2 e. 2

d.

b. 1 1 c. c 2 2. Jika sin A =

3 , A sudut di kuadran II, maka cos A = 5 4 d. 5 e. 1

4 – a 5 b. –1 c. 0 3. UN 2008 Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 60o dan sudut ABM = 75o. Maka AM = …. a. 150(1 + 3 ) d. 150( 2 + 6 )

a.

b. 150( 2 + c. 150(3 +

3)

e. 150( 3 +

6)

3)

4. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, sisi AC = 4 cm dan sin A = a. b. c.

2 5 5 1 5b 3 1 3 2

d. e.

1 . Nilai cos B =... 2

2 3 1 2

5. UAN 2003 Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan BCA = 120o. Keliling segitiga ABC = .... a. 14 cm d. 17 cm b. 15 cm e. 18 cm c. 16 cm 6 Trigonometri


6. Ebtanas 2001 Nilai cos BAD pada gambar adalah .... A 1 20 1 a. – d. 3 21 B 1 2 b. – e. 4 2 3 2 1 c. 5 C

D

3 7. UN 2007 Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45o. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p 2 meter, maka panjang terowongan itu adalah …. a. p 5 meter d. 4p meter

b. p 17 meter

e. 5p meter

c. 3 2 meter 8. UN 2006 Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044o sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104o sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah …. a. 10 95 km d. 10 71 km b. 10 91 km

e. 10 61 km

c. 10 85 km 9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 36 cm, besar A = 120° dan B = 30°. Luas segitiga ABC adalah… cm². a. 432 d. 216 b. 216 3 e. 108 3 c. 324 10. Ebtanas 1999 Pada segitiga ABC panjang sisi BC = 30 cm dan sin BAC = 13 5 . Jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut adalah … cm. a. 2 5 d. 9 5 b. 3 5

e. 18 5

c. 5 5 11. Luas segi 12 beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 6 cm adalah .... a. 118 3 cm2 d. 108 3 cm2 2 b. 108 cm e. 192 cm2 2 c. 118 cm 12. Ebtanas 2001 Diketahui sin α – cos α = sin α + cos α = .... 1 a. 25 1 b. 5 25 c. 49

d. e.

7 o , 0 ≤ α ≤ 180o . Nilai 5

5 7 49 25

7 Trigonometri


13. Diketahui segitiga ABC, sin A = Nilai sin C = …. 56 a. – d. 45 16 b. – e. 45 16 c. 45 14. UN 2008 Jika tan  = 1 dan tan  =

3 12 , cos B = . 5 13

16 65 56 65

1 3

dengan  dan  sudut

lancip, maka sin ( – ) = .... 2 2 a. d. 5 3 5 1 1 b. e. 5 5 5 1 c. 2 15. UN 2002 Diketahui cos(A – B) =

5 3 dan cos A cos B = . 5 7

Nilai 2 tan A tan B = …. a. b. c.

8 25 8 7 7 8

d. e.

8 25 8 7

16. Jika tan 3o = p, maka tan 228o = . . . a.

1 p 1 p

d.

1 p

b.

p 1 p2

e.

1 p 1 p

c.

p

17. Diketahui sudut lancip A dengan cos 2A =

1 . Nilai 3

tan A = .… a. b. c.

1 3 3 1 2 2 1 6 3

d. e.

2 5 5 2 6 3

18. UAN 2003 Diketahui A adalah sudut lancip dan 1 x 1 cos A = . Nilai sin A adalah .... 2x 2 a. b. c.

x2 1 x x2  1

d.

x2 1

e.

x2  1 x

x2 1 c x 8

Trigonometri


19. UN 2007 Nilai dari cos 40o + cos 80o + cos 160o = …. 1 1 a. – d. 2 2 2 1 1 b. – e. 2 2 2 c. 0 20. UN 2008 Nilai dari a. 1

cos 50o  cos 40o adalah …. sin 50o  sin 40o 1 d. – 3 2

1 2 2 c. 0

e. –1

b.

21. PRA UN 2007 Nilai dari sin 52,5o . cos 7,5o = …. a.

1 ( 2  3) 2

d.

1 ( 3  2) 4

b.

1 ( 3  2) 4

e.

1 ( 3  2) 2

c.

1 ( 3  2) 2

22. Ebtanas 2001 Persamaan fungsi trigonometri pada gambar grafik adalah .... a. y = 3 sin x b. y = 2 sin 3x 3 c. y = 3 sin 4x 1 d. y = 3 sin 2x   -3 2 1 e. y = 3 sin x 2

23. UN 2008 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2xo + 7 sin xo – 4 = 0, 0  x  360 adalah …. a. {240, 300} d. {60, 120} b. {210, 300} e. {30, 150} c. {120, 240} 24. Himpunan penyelesaian persamaan 3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 adalah...  7 11  1 5  a.   ,   d.   ,   6 6  6 6   5 11  5 7  b.   ,   e.   ,   6 6  6 6  1 7  c.   ,   6 6  25. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x – 5 cos x = 2 dengan 0 ≤ x ≤ 360 adalah …. a. 60 dan 120 d. 120 dan 360 b. 60 dan 300 e. 240 dan 300 c. 120 dan 240 Kusnandar 9 Trigonometri


10 Trigonometri
