Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI - hariono5a

55 downloads 415 Views 282KB Size Report
Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI. Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggu- naan dipanggil fungsi trigonometri.
Bab 7

FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunaan dipanggil fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri pada mulanya timbul dalam pengajian sains pelayaran, sains pengukuran dan sains lain yang bergantung pada hubungan di antara sudut dan sisi segitiga. Akan tetapi pada hari ini kebanyakan penggunaan fungsi ini adalah dalam pengajian fenomenon gelombang seperti bunyi, haba, cahaya, keelektrikan, fizik nuklear dan biologi. Fungsi ini juga digunakan apabila mengkaji fenomenon berkala iaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali.

7.1

Takrif Fungsi Trigonometri

Sebelum kita mentakrifkan fungsi trigonometri mari kita lihat tafsiran sudut atas satah secara geometri. Misalkan dua garis lurus bertemu di titik O. Maka pemutaran terhadap titik O yang membawa satu garis itu kepada garis yang satu lagi dipanggil sudut. Jika pemutaran itu lawan arah jam maka sudut itu dikatakan sudut positif, manakala jika pemutaran itu ikut arah jam maka sudut itu dikatakan sudut negatif. Titik O dipanggil bucu sudut. Lihat Rajah 7.1. 1 0

0

Sudut positif

1 Sudut positif

0

q

q

1

1

Sudut negatif

Sudut negatif

0

q

q

Rajah 7.1: Sudut Satu daripada cara mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Satu putaran lawan arah jam yang lengkap adalah sama dengan ukuran 360 darjah (360◦ ). Dengan ini 180◦ ialah setengah putaran lawan arah jam; 120◦ ialah satu pertiga putaran lawan 193

194

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

arah jam; −270◦ ialah tiga perempat putaran arah jam; dan −45◦ bersamaan satu perlapan putaran arah jam. Cara mengukur sudut yang lebih berguna adalah dalam sebutan panjang bertanda. Misalkan θ ialah sudut yang diperolehi apabila garis L1 diputarkan terhadap bucu O sehingga ia bertindih dengan garis L2 sebagaimana ditunjukkan Rajah 7.2. Bina satu bulatan berjejari 1 berpusat di O. Bulatan ini dipanggil bulatan unit. Panjang bertanda lengkok bulatan unit ini di antara L1 dan L2 adalah dipanggil ukuran radian bagi θ. Panjang bertanda bererti ukuran radian itu adalah positif jika θ lawan arah jam dan negatif jika θ arah jam. Lihat Rajah 7.2. L2

Bulatan unit

k

* L2

+

θ = x radian (x < 0)

|x|

θ

R

0

θ

0

θ = x radian x unit (x > 0) panjang

L1

j L1

Rajah 7.2: Ukuran radian Mengikut teori geometri satah, ukuran lilitan bulatan unit ialah 2π. Jadi 360◦ = 2π radian 180◦ = π radian π −90◦ = − radian 2 π ◦ radian 1 = 180   360 ◦ ≈ 57◦ 18 dan 1 radian = 2π Daripada hubungan ini ukuran sudut dapat ditukar daripada satu sistem unit kepada sistem unit lain. Sebagai contoh π ≈ 2.217 radian 127◦ = 127 180   3 180 ◦ 3 dan π radian = π ≈ 77◦ 9 7 7 π Jadual berikut menunjukkan ukuran darjah dan radian sudut-sudut tertentu. Darjah

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

Radian

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2



Sekarang kita takrifkan fungsi trigonometri. Bagi sesiapa yang telah mempelajari trigonometri cuba ingat kembali bahawa fungsi trigonometri boleh ditakrifkan secara klasik, iaitu dalam sebutan nisbah sisi-sisi suatu segitiga tegak. Tetapi pendekatan ini

Seksyen 7.1: Fungsi Trigonometri

195

tidak mencukupi dalam kalkulus. Oleh itu kita takrifkan fungsi trigonometri dalam sebutan koordinat titik-titik atas bulatan unit seperti berikut. Dua fungsi trigonometri yang asasi ialah sinus dan kosinus, biasanya diringkaskan sin dan kos . Untuk mentakrifkan fungsi-fungsi ini kita lukiskan satu bulatan unit yang berpusat di asalan suatu sistem koordinat. Biarkan T satu titik atas bulatan unit yang jarak lengkoknya dari titik (1, 0) ialah x dengan x sebarang nombor nyata. (jika x < 0 arah jam dan jika x > 0 lawan arah jam). Maka kos x ialah koordinat pertama T dan sin x ialah koordinat kedua T . Sila lihat Rajah 7.3. y 6 (0, 1)

y 6

(x > 0) T (kos x, sin x)

(0, 1)

x unit panjang 0

(1, 0)

-

x

(1, 0) -

x

0

|x | unit panjang T (kos x , sin x ) (x < 0)

Rajah 7.3: Takrif sin dan kos Daripada takrif di atas, jelas fungsi sinus dan kosinus tertakrif untuk semua nombor nyata. Jadi domain setiap fungsi itu ialah set nombor nyata. Oleh sebab koordinat titik atas bulatan unit adalah kurang daripada 1 atau sama dengan 1, maka julat fungsi sinus dan kosinus ialah [−1, 1]. Oleh sebab setiap jarak lengkok atas bulatan unit berpadanan dengan suatu sudut dalam ukuran radian maka kita boleh fikirkan sin x dan kos x sebagai fungsi bagi sudut x yang diukur dalam radian. y 6

(0, 1)

π

z

( 12

> 3 2π

2,

1 2

9 I

(−1, 0)



(0, −1)



2)

π 2

(1, 0)

-

x

π 4

Rajah 7.4: Nilai sin dan kos sudut tertentu Untuk nilai x tertentu, kosinus dan sinus dapat diperolehi dengan mudah. Daripada √ √ Rajah 7.4, kita dapati kos 0 = 1, sin 0 = 0; kos π/4 = 2/2, sin π/4 = 2/2; kos π/2 = 0, sin π/2 = 1; kos π = −1, sin π = 0; kos 3π/2 = 0 dan sin 3π/2 = −1.

196

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Oleh sebab jarak di antara titik T (kos x, sin x) dengan asalan (0, 0) ialah 1, maka (kos x − 0)2 + (sin x − 0)2 = 1 Biasanya (kos x)2 ditulis kos 2 x dan (sin x)2 ditulis sin 2 x. Oleh itu kita mempunyai identiti berikut. kos 2 x + sin 2 x = 1 Empat fungsi trigonometri yang lain ditakrifkan dalam sebutan sin x dan kos x. Fungsifungsi itu ialah sin x 1 tan x = sek x = kos x kos x 1 kos x kosek x = kot x = sin x sin x dengan tan ialah singkatan bagi tangen, kot singkatan kotangen, sek singkatan sekan dan kosek singkatan kosekan. Fungsi tangen dan sekan tidak tertakrif di semua nombor nyata x dengan kos x = 0, iaitu semua x dalam set S = {x | x = (2k + 1)π/2}. Jadi domain fungsi tangen dan sekan ialah semua nombor nyata kecuali nombor-nombor dalam set S. Serupanya, domain fungsi kotangen dan kosekan tidak tertakrif di semua x dengan sin x = 0, iaitu semua x dalam set K = {x | x = kπ}. Jadi domain dua fungsi ini ialah set semua nombor nyata yang bukan dalam set K. Selalunya fungsi trigonometri lebih sesuai dilihat sebagai fungsi dengan domain yang terdiri daripada sudut-sudut bukan nombor. Dengan ini kita takrifkan sinus sudut x radian sebagai sinus nombor x. Takrif yang sama dibuat untuk fungsi trigonometri  π lain. Jadi π 1 radian = kos = kos 60◦ = kos 3 3 2 Jadual disebelah memberikan nilai-nilai fungsi trigonometri yang selalu digunakan. Nilai-nilai ini dikira dengan menggunakan takrif fungsi trigonometri. Cara penggiraan ini dapat dilihat dalam Contoh 7.1.1 dan 7.1.2. y T (−

6 (0, 1)



√ 2 , 22 ) 2

3 π 4

(−1, 0)

0

(1, 0)

-

x

Rajah 7.5: Nilai fungsi trigonometri bagi 3π/4 CONTOH 7.1.1 Misalkan kita hendak mengira nilai fungsi-fungsi trigonometri bagi x = 3π/4. Titik T atas bulatan unit yang jarak lengkoknya dari titik (1, √ 0) ialah √ 3π/4 terletak di sukuan kedua (lihat Rajah 7.5). Koordinat bagi titik T ialah (− 2/2, 2/2).

Seksyen 7.1: Fungsi Trigonometri

Darjah

−180 −90 0

x radian

−π

sin x

0

197

30

45

60

90

120

135

150

π 3 √ 3 2

π 2

2π 3 √ 3 2

3π 4 √ 2 2

5π 6

π

3π 2



1 2

0

−1

0





−1

0

1

π 2

0

π 6

−1

0

1 2

π 4 √ 2 2







0

2 − 2



√ − 3

−1

1 −√ 3

0



0

kos x

−1

0

1

tan x

0



0

1 √ 3

1

sek x

−1



1

2 √ 3

2 √ 2

2



−2

2 −√ 2

2 −√ 3

−1



1

kot x



0



1

1 √ 3

0

1 −√ 3

−1

√ − 3



0



kosek x



−1



2 √ 2

2 √ 3

1

2 √ 3

2 √ 2

2



−1





3

2

1 2

1 − 2

3 2



2 2

1

180 270 360



3



3 2

bererti tak tertakrif

Oleh itu

√ 2 3 sin π = 4 2 sin 34 π 3 = −1 tan π = 4 kos 34 π

√ 3 2 kos π = − 4 2 3 2 1 sek π = = −√ 3 4 kos 4 π 2

CONTOH 7.1.2 Untuk mengira nilai fungsi trigonometri bagi x = π/3 dan π/6, kita gunakan takrif klasik bagi sin x dan kos x dan Rajah 7.6. Segitiga dalam Rajah 7.6 ialah segitiga sisi sama, iaitu semua sisinya sama panjang dan masing-masingnya mempunyai panjang 2. Akibatnya, setiap sudut segitiga itu

π 6 2

2 √

3

π 3 1

1

Rajah 7.6: Nilai fungsi trigonometri bagi π/3 dan π/6

198

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

ialah 60◦ atau π/3 radian. Dengan melukiskan satu garis pembahagi dua sama dari satu bucu kita telah membahagikan satu sudut kepada dua sudut yang sama, masingmasing π/6 radian dan kita telah membahagikan satu sisi segitiga itu menjadi √ dua sisi yang sama panjang. Menurut teorem Pythagoras, tinggi segitiga itu ialah 3 kerana √ 12 + ( 3)2 = 2. Oleh itu √ π 1 π π 3 π sin = kos = sin = kos = 6 3 2 3 6 2 √ π 1 π π √ 3 π tan = kot = 3 tan = kot = √ = 6 3 3 3 6 3 √ 2 3 π 2 π π π sek = kosek = 2 sek = kosek = √ = 6 3 3 3 6 3 Biasanya untuk mencari nilai fungsi trigonometri secara langsung dengan menggunakan takrif dalam sebutan bulatan unit adalah tidak mudah kerana koordinat titik yang berpadanan dengan sebarang sudut amat sukar ditentukan. Jadi bagaimana kita mencari nilai fungsi trigonometri bagi sebarang sudut? Kita mempunyai beberapa cara menyelesaikan masalah ini tetapi kita tidak akan mempelajarinya dalam buku ini. Kaedah menyelesaikan masalah itu akan dipelajari dalam kalkulus lanjutan. Jadual nilai fungsi trigonometri yang terdapat dalam buku jadual telah dibina dengan menggunakan kaedah-kaedah tersebut.

Latihan 7.1 1. Cari nilai fungsi trigonometri bagi nombor nyata berikut. (a) (e) (i) (m)

0.75π 7π4 4π/3π 5π/6

− π/4 − 5π/4 − 4π/3 − 5π/6

(b) (f ) (j) (n)

(c) (g) (k)

5π/4 3π 7π/3

(d) (h) (l)

− 3π/4 − π/3 − 2π/3

2. Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri, cari (a) (d) (g) (j) (m)

tan 1.04 tan 88◦ tan 0.2967 sek 182◦ sek −0.72

(b) (e) (h) (k) (n)

kot 52◦ sin 0.1833 sin 6◦ kosek −1.2 sek 421◦

(c) (f ) (i) (l)

kot 1.25 kos 71◦ kos 0.4189 kosek −100◦

3. Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri cari x dengan (a) (d) (g) (j)

sin x = 0.8174 kot x = −4.3149 sin x = −0.7112 sek x = −7.2141

(b) (e) (h)

kos x = −0.7214 sek x = 1.7142 tan x = −3.2147

(c) (f ) (i)

tan x = 5.1432 kosek x = −2.1317 kot x = 2.1498

Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri

7.2

199

Graf Fungsi Trigonometri

Dalam seksyen ini kita akan lakarkan graf fungsi trigonometri atas satah koordinat. Kita mulai dengan fungsi sinus dan kosinus. Perhatikan bahawa dua sudut yang ukuran radiannya berbeza sebanyak gandaan 2π adalah berpadanan dengan titik yang sama atas bulatan unit kerana panjang lilitan bulatan unit ialah 2π. Ini bermakna nilai fungsi sinus dan kosinus bagi kedua-dua sudut itu adalah sama. Jika x ialah suatu daripada nombor itu maka bagi sebarang integer n, sin x = sin (x + 2nπ) dan kos x = kos (x + 2nπ) iaitu bagi sebarang x, sin x = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) = sin (x − 2π) = sin (x − 4π) dan seterusnya. Fakta ini selalunya diperihalkan dengan menyatakan bahawa sinus dan kosinus adalah fungsi berkala dengan kalaan 2π. Takrif 7.2.1 Jika p ialah suatu nombor positif terkecil sedemikian hingga f (x + p) = f (x) bagi semua x, maka f (x) dikatakan fungsi berkala dengan kalaan p. Kita juga dapat tunjukkan bahawa bagi sebarang integer n dan sebarang x dalam domain fungsi yang berkaitan, tan x = tan (x + nπ) kot x = kot (x + nπ) sek x = sek (x + 2nπ) kosek x = kosek (x + 2nπ) Jadi tangen dan kotangen adalah fungsi berkala dengan kalaan π dan sekan dan kosekan adalah fungsi berkala dengan kalaan 2π. Sebagai akibat penting daripada sifat perkalaan fungsi trigonometri ialah bagi sebarang nombor x, titik (x, sin x) dan (x+2nπ, sin (x+2nπ)) atas graf sinus terletak pada tinggi yang sama di atas (atau di bawah) paksi-x. Hal yang analog juga berlaku pada graf fungsi kosinus. Untuk fungsi tangen titik (x, tan x) dan (x + nπ, tan (x + nπ)) adalah sama tinggi. Sekarang kita lakarkan graf fungsi sinus, kosinus dan tangen. Untuk mendapatkan lakaran graf sin x dan kos x kita mesti tentukan tingkahlakunya dalam selang (0, 2π). Dengan merujuk kepada bulatan unit kita dapat ketahui tingkahlaku fungsi-fungsi itu apabila x bertambah dari 0 ke 2π. Tingkahlaku ini disimpulkan dalam jadual disebelah. Dengan menggunakan maklumat ini dan memplotkan beberapa titik yang diketahui kita boleh lakarkan graf fungsi sin x dan kos x dengan agak tepat. Sila lihat Rajah 7.7 dan 7.8. Untuk graf fungsi tangen, perhatikan bahawa dalam Rajah 7.9, ∆OP Q serupa dengan ∆ORS dan dengan itu RS PQ = OS OQ

atau

sin x RS = 1 kos x

atau

RS = tan x

200

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Apabila x bertambah dari sin x berubah dari 0

ke

π 2

0

ke

1

π 2

ke

π

1

ke

0

π 3π 2

3π 2

ke ke

0 −1



( π6 , 12 )

−π (− π2 , −1)

0

0

0

ke ke

y = sin x

−1



-



x

( 3π , −1) 2

Rajah 7.7: Graf fungsi sinus y (−2π, 1)

6

( π3 , 12 )

(0, 1)

(2π, 1)

+ −2π − 3π −π 2

− π2

π 2

(−π, −1) −1

π

3π 2

y = kos x





(π, −1)

Rajah 7.8: Graf fungsi kosinus R

y 6 P

tan x x

1

O

kos x

sin x Q

S

-

x

Rajah 7.9: ∆OP Q serupa ∆ORS

-

x

0 −1

ke

−1

+ π

0

ke

, 1) ( 5π 6 2

( π2 , 1)

1

1

−1 ke

y6 s

−2π

ke

kos x berubah dari

0 1

Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri

201

sebagaimana yang ditunjukkan dalam Rajah 7.9. Jadi apabila x menokok daripada 0 ke π/2, tan x adalah positif dan menokok secara tak terhingga. Oleh itu apabila x → π/2, tan x → ∞ dan kita tahu tan 0 = 0. Sila lihat Rajah 7.10 (a). Dengan menggunakan fakta bahawa tan (−x) = − tan x, kita boleh dapatkan graf tan x untuk semua x di antara −π/2 dan π/2 (lihat Rajah 7.11). Oleh sebab kalaan tan x ialah π maka grafnya adalah seperti yang dilakar dalam Rajah 7.12 y6

π 2

0

-

x

Rajah 7.10: Sifat graf fungsi tangen ... .. .. .. .. .. .. . − π2 .. .. .. .. .. ..

y

6 tan x .. .. .

0

.. .. .. .. .. .. .. .. . π. x 2. .. .. .. .. .. .. ..

Rajah 7.11: Graf fungsi tangen (− π2 < x < π2 )

−2π

.. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. − 3π 2. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

−π

.. .. .. .. .. .. .. .. . .. . π. − 2. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

y6

0

.. t = tan x .. .. .. .. .. .. .. . .. . π. π 2. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. .. . .. . 3π. 2. .. .. .. .. .. .. .. .. ..



-

x

Rajah 7.12: Graf fungsi tangen Fungsi kotangen, sekan dan kosekan masing-masingnya digrafkan dalam Rajah 7.13, 7.14 dan 7.15.

202

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

− 5π 2

.. .. .. ... .. .. .. .. .. −2π... .. .. .. .. .. ..

− 3π 2

.. .. .. ... .. .. .. .. .. −π... .. .. .. .. .. ..

y 6y = kot x .. .. .. .. .. .. .. .. .. π π... 0 2 .. .. .. .. .. ..

−π 2

.. .. .. ... .. .. .. .. .. 2π... .. .. .. .. .. ..

3π 2

5π 2

Rajah 7.13: Graf fungsi kotangen

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . −2π − 3π 2. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. .. .. . π. −π − 2.. .. . (−π, −1) .. .. .. .. .. .

y6

1

0

−1

.. .. .. .. .. . .. y = sek x ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . π. 3π . . . π 2. 2 . .. .. .. . .. (π, −1) ... .. .. .. .. .. .. .. ..



x

Rajah 7.14: Graf fungsi sekan

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. −2π.. .. .. .. .. .. .. .. .

y .. .. 6 .. ..y = kosek x .. .. 1 . 3π (− 2 , 1) .. .. .. 0 . 3π −π. − π2 − 2 .. .. .. (− π2 , −1) −1 .. .. .. .. ..

( π2 , 1) π 2

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. π.. .. .. .. .. .. .. .. .

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3π 2π.. 2 .. . 3π ( 2 , −1) .. .. .. .. .. ..

Rajah 7.15: Graf fungsi kosekan

-

x

-

x

Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri

203

CONTOH 7.2.1 Pertimbangkan fungsi f (x) = 2 sin 3x. Untuk melakar graf 2 sin 3x perhatikan bahawa sin t = 0 jika dan hanya jika t = nπ dengan n sebarang integer. Jadi 2 sin 3x = 0 jika dan hanya jika 3x = nπ iaitu jika dan hanya jika x = nπ/3. Oleh sebab sin t terbesar (sama dengan 1) apabila t = (π/2 + 2nπ); dengan n sebarang integer, maka 2 sin 3x terbesar (sama dengan 2) apabila 3x = (π/2 + 2nπ) iaitu apabila x = (π/6 + 2nπ/3). Jadi apabila x bertambah dari 0 ke π/6, f(x) berubah dari 0 ke 2 dan apabila x menokok dari π/6 ke π/3, f (x) menyusut dari 2 ke 0. Seterusnya apabila x bertambah dari π/3 ke π/2, f (x) berkurang dari 0 ke −2 dan apabila x menokok dari π/2 ke 2π/3, maka f (x) menokok dari −2 ke 0. Jadi f (x) adalah berkala dengan kalaan 2π/3. Sila lihat Rajah 7.16. Bentuk graf 2 sin 3x serupa dengan graf sin x. y

6

f (x) = 2 sin 3x W

y = sin x 2

?

1

− 4π 3

−π − 5π 6

− π2

− π6

0

π 6

π 3

π 2

5π 6

π

-

x

−1 −2

Rajah 7.16: Graf fungsi 2 sin 3x Secara am kalaan bagi fungsi sin kx ialah 2π/k kerana   2π sin kx = sin (kx + 2π) = sin k x + k Dengan ini jika x bertambah sebanyak 2π/k, nilai sin kx tetap sama. Begitu juga kalaan bagi fungsi kos kx ialah 2π/k kerana   2π kos kx = kos (kx + 2π) = kos k x + k CONTOH 7.2.2 Pertimbangkan fungsi f (x) = 3 kos 2x. Menurut fakta di atas, fungsi ini mempunyai kalaan 2π/2 = π. Bentuk grafnya sama dengan bentuk graf kos x kecuali nilai maksimumnya ialah f (0) = 3 kos 0 = 3 dan nilai minimumnya ialah f (π/2) = 3 kos 2(π/2) = 3 kos π = −3. Jadi grafnya berubah dari −3 ke 3. Sila lihat Rajah 7.17.

Latihan 7.2 1. Cari semua nombor x dalam [0, 2π] dengan kos 3x = 0. 2. Cari semua nombor x dalam [−2π, 3π] dengan kos (x/3) = 0.

204

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

y 6

y = kos x

f (x) = 3kos 2x

3



2 1

N

0 −2π

−π

− π2 − π4

−1

π 4

π

π 2

3π 2



-

x

−2 −3

Rajah 7.17: Graf fungsi 3 kos 2x 3. Cari semua nombor x dalam [0, 4π] dengan sin (x/4) = 0. 4. Tentukan kalaan fungsi berikut. (a) (c) (e) (g)

f (x) = kos 4x f (x) = 3 sin (x/3) f (x) = 4 sin (2x + 1) f (x) = 2 kot 4x

(b) (d) (f ) (h)

f (x) = 2 sin 5x f (x) = kos (2x − 3) f (x) = tan 2x f (x) = tan 3πx

5. Lakarkan graf fungsi berikut. (a) (c) (e) (g) (i) (k) (m)

7.3

f (x) = − sin x f (x) = −3 kos x f (x) = − kos (x/3) f (x) = | sin x| f (x) = 1 + sin x f (x) = 3 sin (x − π) f (x) = 3 sin 2(x − π/4) + 2

(b) (d) (f ) (h) (j) (l) (n)

f (x) = sin 2x f (x) = 2 sin x f (x) = tan 4x f (x) = 1 − kos x f (x) = sin (x/3) f (x) = 2 kos (x + π) f (x) = (1/2) kos (x − π/2) + 3

Identiti Trigonometri

Dalam seksyen ini kita akan mempelajari hubungan atau identiti di antara keenamenam fungsi trigonometri itu. Identiti yang pertama telah kita terbitkan dalam Seksyen 7.1. Identiti itu ialah sin 2 x + kos 2 x = 1

(7.1)

Persamaan ini dipanggil identiti kerana ia benar untuk semua x. Perhatikan bahawa sin 2 x = sin x2 dan kos 2 x = kos x2 Sesungguhnya hubungan (7.1) ialah suatu pernyataan teorem pythagoras bagi segitiga tegak OP Q dalam Rajah 7.9. Bagi sebarang segitiga itlak, hubungan yang sah diberi oleh hukum kosinus.

Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri

205

TEOREM 7.3.1 [Hukum Kosinus] Dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7.18, kita dapati c2 = a2 + b2 − 2ab kos x

(7.2)

c

b

x radian

a

Rajah 7.18: Hukum kosinus Untuk membuktikan Hukum Kosinus kita lukiskan segitiga itu dalam kedudukan tertentu seperti dalam Rajah 7.19. y

(b kos x, b sin x)

y

6

6

B

b

(b kos x, b sin x)

c

B c x rad

b 0

a

A

-

x

0

x rad a

A

-

x

Rajah 7.19: Bukti hukum kosinus Menurut formula jarak dan persamaan (7.1) kita dapati c2 = (b kos x − a)2 + (b sin x)2 = b2 kos 2 x − 2ab kos x + a2 + b2 sin 2x = b2 (kos 2 x + sin 2 x) + a2 − 2ab kos x c2 = b2 + a2 − 2ab kos x Sekarang perhatikan keadaan dalam Rajah 7.20. Menurut formula jarak |P Q|2 = (kos b − kos a)2 + (sin a − sin b)2 = kos 2 b − 2 kos a kos b + kos 2 a + sin 2 a − 2 sin a sin b + sin 2 b = 2 − 2(kos a kos b + sin a sin b)

206

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

y (0, 1)

6

Q(kos a, sin a) P (kos b, sin b)

a rad b rad O

A(1, 0)

-

x

Rajah 7.20: Bukti hukum kosinus lagi Sebaliknya dengan mengenakan hukum kosinus ke atas segitiga OP Q kita dapati |P Q|2 = 12 + 12 − 2 kos (a − b) = 2 − 2 kos (a − b) kerana (a − b) ialah ukuran radian bagi sudut dibucu O. Dengan membandingkan kedua-dua ungkapan di atas kita memperolehi identiti berikut. kos (a − b) = kos a kos b + sin a sin b

(7.3)

yang benar untuk semua nombor a dan b. Jika kita tulis (−b) sebagai b maka kos (a + b) = kos a kos (−b) + sin a sin (−b) tetapi ingat bahawa kos (−b) = kos b dan sin (−b) = − sin b. Jadi kita mempunyai identiti kos (a + b) = kos a kos b − sin a sin b (7.4) Biarkan a = π/2 dalam formula (7.3). Kita dapati  π π π − b = kos kos b + sin sin b, kos 2 2 2 tetapi oleh sebab kos π/2 = 0 dan sin π/2 = 1, persamaan itu menjadi kos (π/2 − b) = sin b Seterusnya jika kita biarkan c = π/2 − b dalam persamaan ini, maka b = π/2 − c dan kita dapati sin (π/2 − c) = kos c. Oleh itu kita telah buktikan dua identiti berikut.  π −x = sin x (7.5) kos 2  π −x = kos x (7.6) dan sin 2 Formula yang serupa dengan (7.3) dan (7.4) bagi sinus hasil tambah dan beza dua nombor menyusul daripada identiti-identiti di atas. Menggunakan persamaan (7.5), kita boleh tulis   π   π − (a + b) = kos −a −b sin (a + b) = kos 2 2 Menurut persamaan (7.3),

Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri

207  π  − a kos b + sin − a sin b 2 2



sin (a + b) = kos

dan daripada persamaan (7.5) dan (7.6), kita dapati sin (a + b) = sin a kos b + kos a sin b

(7.7)

bagi semua nombor nyata a dan b. Jika kita tulis a − b sebagai a + (−b) dan gunakan persamaan (7.2), kita dapati sin (a + (−b)) = sin a kos (−b) + kos a sin (−b) dan oleh sebab kos (−b) = kos b dan sin (−b) = − sin b, maka identiti berikut menyusul sin (a − b) = sin a kos b − kos a sin b

(7.8)

Seterusnya jika kita biarkan a = b = x dalam Formula (7.7) dan (7.8), maka kita akan memperolehi identiti sin 2x = 2 sin x kos x (7.9) dan

kos 2x = kos 2 x − sin 2 x

(7.10)

Oleh sebab kos 2 x + sin 2 x = 1, persamaan (7.10) dapat ditulis sebagai kos 2x = 2kos 2 x − 1 atau

kos 2x = 1 − 2 sin 2 x

(7.11) (7.12)

Dengan menggantikan x dengan −x dalam Formula (7.11) dan (7.12) dan selepas sedikit pengolahan algebra kita perolehi dua identiti berikut. 1 + kos x x = (7.13) kos 2 2 2 1 − kos x x = (7.14) dan sin 2 2 2 Identiti trigonogetri memang banyak bilangannya. Kebanyakan daripada identiti trigonometri yang penting, kita senaraikan dalam jadual berikut. Kesemuanya adalah berguna tetapi kita tak perlu menghafal semua identiti itu. Kita cuma perlu ingat identiti (7.1), (7.2), (7.4) dan (7.7). Identiti lain dapat kita terbitkan apabila diperlukan. CONTOH 7.3.1 Buktikan identiti sin a kos b = Penyelesaian dapati

 1 sin (a + b) + sin (a − b) 2

Tambahkan identiti bagi sin (a + b) dengan identiti bagi sin (a − b). Kita

sin (a + b) + sin (a − b) = [sin a kos b + kos a sin b] + [sin a kos b − kos a sin b] = 2 sin a kos b Untuk mendapatkan identiti itu, bahagikan persamaan di atas dengan 2.

208

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Identiti Trigonometri kos 2 x + sin 2 x = 1

sin (−x) = − sin x

1 + tan 2 x = sek 2 x

kos (−x) = kos x

1 + kot 2 x = kosek 2 x  π − x = kos x sin 2  π − x = sin x kos 2  π − x = kot x tan 2

tan(−x) = − tan x π  sin + x = kos x 2 π  kos + x = − sin x 2 π  tan + x = − kot x 2

sin (π − x) = sin x

sin (π + x) = − sin x

kos (π − x) = − kos x

kos (π + x) = − kos x

tan (π − x) = − tan x

tan (π + x) = tan x

tan(a + b) =

tan a + tan b 1 − tan a tan b

tan(a − b) =

tan a − tan b 1 + tan a tan b

sin (a + b) = sin a kos b + kos a sin b sin (a − b) = sin a kos b − kos a sin b kos (a + b) = kos a kos b − sin a sin b kos (a − b) = kos a kos b + sin a sin b sin 2x = 2 sin x kos x kos 2x = kos 2 x − sin 2 x = 2kos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x tan 2x =

2 tan x 1 − tan2 x

sin 2

1 − kos x x = 2 2

atau

kos 2

1 + kos x x = 2 2

atau

sin 2 x = kos 2 x =

1 − kos 2x 2 1 + kos 2x 2

sin x 1 − kos x 1 − kos 2x x = = atau tan x = 2 1 + kos x sin x sin 2x  1 sin a sin b = kos (a − b) − kos (a + b) 2  1 kos a kos b = kos (a + b) + kos (a − b) 2  1 sin a kos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2

tan

Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri

209

CONTOH 7.3.2 Terbitkan identiti bagi tan (a + b). Penyelesaian

sin (a + b) kos (a + b) sin a kos b + kos a sin b = kos a kos b − sin a sin b (bahagikan penyebut dan pembilang dengan kos a kos b) tan a + tan b = 1 − tan a tan b tan (a + b) =

CONTOH 7.3.3 Cari (a) sin 15◦ dan (b) tan 22.5◦ tanpa menggunakan jadual atau mesin kira. Penyelesaian (a) Dengan menggunakan identiti sin 2 x = (1−kos 2x)/2 dan mengambil x = 15◦ = π/12 radian, maka 1 − kos 2(π/12) π = sin 2 12 2 1 − kos π/6 = √2 1 − 3/2 = 2 √ 2− 3 = 4 √ Oleh itu sin π/12 = ( 2 − 3)/2 (≈ 0.2588). (b) Untuk mencari tan 22.5◦ , gunakan identiti tan x = (1 − kos 2x)/ sin 2x dengan mengambil x = 22.5◦ = π/8 radian. Dengan itu, tan

π 8

= = = =

1 − kos 2(π/8) sin 2(π/8) 1 − kos π/4 sin π/4 √ 1 − ( 2)/2 √ ( 2)/2 √ 2− 2 √ (≈ 0.4142) 2

CONTOH 7.3.4 Jika sin x = −3/5 dan x ∈ [π/2, 3π/2], cari nilai lima fungsi trigonometri lain. Penyelesaian

Menggunakan identiti kos 2 x + sin 2 x = 1, kos 2 x = 1 − sin 2 x  2 −3 = 1− 5 16 = 25

210

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Jadi kos x = 4/5 atau −4/5. Oleh sebab x ∈ [π/2, 3π/2], kos x adalah negatif. Oleh itu kos x = −4/5. Menurut takrif sek x dan kosek x, kita dapati 1 −5 1 −5 sek x = = dan kosek x = = . kos x 4 sin x 3 Oleh sebab tan x = sin x/ kos x, maka

Akhir sekali,

tan x =

3 −3/5 = . −4/5 4

kot x =

4 1 = . tan x 3

Latihan 7.3 1. Buktikan identiti-identiti berikut. (a) kot (−x) = − kot x (b) tan (π/2 − x) = kot x (c) sek (π/2 − x) = kosek x (d) tan x = (1 − kos 2x)/ sin 2x 2 (e) sin x = (1 − kos 2x)/2 (f ) kos a kos b = [kos (a + b) + kos (a − b)]/2 (g) 1/(1 + tan x) = kot x/(1 + kot x) (h) kos 4x = 8kos 4 x − 8kos 2 x + 1 (i) (1 + sin 2x)/ kos 2x = (kos x + sin x)/(kos x − sin x) (j) 2 kos 2A = (tan 3A + tan A)/(tan 3A − tan A) (k) sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x (m) sin a + sin b = 2 sin ((a + b)/2) kos ((a − b)/2) 2. Cari nilai fungsi berikut tanpa menggunakan jadual trigonometri atau mesin kira. (a) sin (−π/4) (b) kos (−5π/6) (c) kos (7π/6) (d) sin (11π/6) (e) kos (π/24) (f) sin (7π/4) 3. Permudahkan (a) sin (x − 9π/2) (d) kos (a + π/2) sin (b − 3π/2)

(b) sek (6π + x) (c) tan (x + 7/(2π))

4. Buktikan hukum sinus (dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7.21). sin y sin z sin x = = a b c y c a x z b Rajah 7.21: Bukti hukum sinus 5. Cari nilai lima fungsi trigonometri yang lain jika tan x = 4/3 dan x ∈ [π, 2π]. √ √ 6. Buktikan bahawa sin 5π/12 = ( 6 + 2)/4 dengan mengembangkan sin (π/4 + π/6).

Seksyen 7.4: Terbitan Fungsi Trigonometri

7.4

211

Terbitan Fungsi Trigonometri

Sebelum kita dapat menerbitkan formula bagi terbitan fungsi sinus kita perlu tahu satu fakta had yang penting iaitu sin x =1 had x→0 x Had ini adalah munasabah berdasarkan kepada pemerhatian secara geometri ke atas Rajah 7.22. Perhatikan bahawa Q ialah titik (kos x, − sin x) dan P ialah titik (kos x, sin x). Jadi panjang perentas P Q ialah 2 sin x dan lengkok P Q mempunyai panjang 2x. Dengan ini 2 sin x sin x Panjang perentas P Q = = Panjang lengkok P Q 2x x y (0, 1) 6

P (kos x, sin x) x sin x x rad

O

-x rad

R

(1, 0)

-

x

sin x x

(0, −1)

Q(kos x, − sin x)

Rajah 7.22: Fakta penting had Secara segerak hati kita dapati apabila x → 0, panjang perentas P Q akan menghampiri panjang lengkok P Q, dan dengan ini nisbah panjangnya akan mendekati 1. Oleh itu kita buat kesimpulan berikut. sin x =1 had x→0 x Dengan menggunakan fakta ini kita dapat menilai beberapa had yang melibatkan fungsi trigonometri. CONTOH 7.4.1 Tunjukkan bahawa (a) had sin x = 0, (b) had kos x = 1 dan x→0

(c) had (1 − kos x)/x = 0.

x→0

x→0

Penyelesaian

(a)

sin x ·x x sin x · had x = had x→0 x→0 x = 1·0 = 0

had sin x = had x→0

x→0

212

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Oleh sebab sin 0 = 0, maka had sin x = sin 0. Jadi sin x selanjar di x = 0. Malahan x→0

sin x selanjar di mana-mana sahaja. (b)

1 − sin 2 x had kos x = had x→0 x→0

had (1 − sin 2 x) = x→0 √ = 1 − 0 = 1.

Oleh sebab kos 0 = 1, maka had kos x = kos 0. Dengan ini kos x juga selanjar di x→0

x = 0. Sesungguhnya fungsi kos x selanjar di semua nombor nyata. (c)

had

x→0

1 − kos x x

1 − kos x 1 + kos x · x→0 x 1 + kos x 2 1 − kos x had x→0 x(1 + kos x) sin 2 x had x→0 x(1 + kos x) 1 sin x · had sin x x→0 x 1 + kos x 1 0·1· =0 2

= had = = = =

Sekarang kita telah mempunyai maklumat yang cukup untuk mencari terbitan fungsifungsi trigonometri. TEOREM 7.4.1 Jika f (x) = sin x maka f  (x) = kos x. Bukti

Menurut takrif terbitan, jika f (x) = sin x, maka f (x + h) − f (x) h sin (x + h) − sin x had h→0 h sin x kos h + kos x sin h − sin x had h→0 h (− sin x + sin x kos h) + kos x sin h had h→0 h sin h (1 − kos h) + kos x had − sin x h→0 h h (− sin x) · 0 + (kos x) · 1

f  (x) = had

h→0

= = = = =

= kos x



Dengan menggunakan petua rantai, Teorem 7.4.1 dapat diperluaskan menjadi Dx sin f (x) = (kos f (x))Dx f (x) dengan f (x) suatu fungsi terbezakan.

Seksyen 7.4: Terbitan Fungsi Trigonometri

213

CONTOH 7.4.2 Jika g(x) = sin (4x2 − 3), maka

 g (x) = kos (4x2 − 3) (4x2 − 3) = 8x kos (4x2 − 3) CONTOH 7.4.3 Untuk mencari Dx sin 4 x, perhatikan bahawa sin 4 x ialah kuasa sin x. Jadi dengan menggunakan petua kuasa Dx sin 4 x = (4 sin 3 x) · Dx sin x = 4 sin 3 x kos x CONTOH 7.4.4 Dengan menggunakan petua kuasa dua kali kita dapati 1 (1 − sin 2 x)−1/2 Dx (1 − sin 2 x) Dx (1 − sin 2 x)1/2 = 2 1 (1 − sin 2 x)−1/2 (−2 sin x)Dx sin x = 2 = −(1 − sin 2 x)−1/2 sin x kos x − sin x kos x = (1 − sin 2 x)1/2 Seterusnya mari kita cari terbitan fungsi kosinus. Teorem berikut memberi jawapan yang kita kehendaki. TEOREM 7.4.2 Jika f (x) = kos x, maka f  (x) = − sin x. Bukti.

Dengan menggunakan identiti  π  π −x dan sin x = kos −x kos x = sin 2 2  π kita dapati −x Dx kos x = Dx sin  π π 2  − x · Dx −x = kos 2 2 = sin x · (−1) = − sin x



Penggabungan teorem ini dengan petua rantai menghasilkan formula berikut. Dx kos f (x) = − sin f (x) · Dx f (x) dengan f (x) suatu fungsi terbezakan. CONTOH 7.4.5 Dengan menggunakan petua kuasa dan petua di atas kita dapat cari terbitan berikut dengan mudah. (a) Dx kos x3 = − sin x3 Dx (x3 ) = −3x2 sin x3 . (b) Dx kos 5 x2 = 5kos 4 x2 · Dx (kos x2 ) = 5kos 4 x2 · (− sin x2 ) · Dx (x2 ) = −10xkos 4 x2 · sin x2

214

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

(c)

Dx kos 2 (ln x) = 2 kos (ln x)Dx (kos (ln x))

= 2 kos (ln x)(− sin (ln x) · Dx (ln x)) 2 = kos (ln x) sin (ln x) x Dengan menggunakan terbitan fungsi sinus dan kosinus kita dapat mencari terbitan empat fungsi trigonometri yang lain. Kita tunjukkan caranya dalam contoh berikut. CONTOH 7.4.6 Dengan menggunakan  hasil bahagi kita dapati  petua sin x Dx (tan x) = Dx kos x (kos x)Dx sin x − (sin x)Dx kos x = kos 2 x kos 2 x + sin 2 x = kos 2 x 1 = kos 2 x = sek 2 x Dx (tan x) = sek 2 x Oleh itu Dengan cara yang serupa kita dapat sahkan formula berikut. Dx (kot x) = −kosek 2 x Dx (sek x) = sek x tan x Dx (kosek x) = − kosek x kot x Penggabungan formula-formula ini dengan petua rantai menghasilkan Dx (tan f (x)) = sek 2 f (x) · Dx f (x) Dx (kot f (x)) = −kosek 2 f (x) · Dx f (x) Dx (sek f (x)) = sek f (x) tan f (x) · Dx f (x) Dx (kosek f (x)) = − kosek f (x) kot f (x) · Dx f (x) dengan f (x) ialah fungsi terbezakan. CONTOH 7.4.7 Terbitan-terbitan berikut dapat dicari dengan mudah menggunakan petua rantai. (a) Dx tan x5/2 = sek 2 x5/2 · Dx (x5/2 ) 5 = x3/2 sek 2 x5/2 2 2 3 (b) Dx kot (x + x) = 2 kot (x3 + x)(−kosek 2 (x3 + x) · Dx (x3 + x) = −2 kot (x3 + x)kosek 2 (x3 + x) · (3x2 + 1) = −2(3x2 + 1) kot (x3 + x)kosek 2 (x3 + x) (c)

Dx sek 4 x = 4sek 4 x · Dx (sek x) = 4sek 3 x tan x

(d)

Dx kosek 2 x3 = 2 kosek x3 (− kosek x3 kot x3 ) · Dx (x3 ) = −2kosek 2 x3 kot x3 · (3x2 ) = −6x2 kosek 2 x3 kot x3

Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri

215

CONTOH 7.4.8 Cari dy/dx jika x sin y + y sin x = 1. Bezakan persamaan itu secara tersirat terhadap x. Kita dapati

Penyelesaian

1 · sin y + x kos y ·

dy dy + sin x + y kos x = 0 dx dx dy (x kos y + sin x) = −(sin y + y kos x) dx sin y + y sin x dy = − dx x kos y + sin x

Latihan 7.4 1. Cari f  (x) bagi fungsi berikut. (a) (c) (e) (g) (i)

f (x) = 3 sin 5x f (x) = sin (x2 + x) f (x) = kos (4x3 − x2 ) f (x) = (sin x)2 (kos x) f (x) = kos (x2 + ex )

(k) f (x) = tan (kos x2 )

(b) (d) (f ) (h) (j)

f (x) = 4 sin 2x f (x) = sin 2 (x3 ) f (x) = sin (xex ) f (x) = xsin x f (x) = ln | sin 4x| (l) f (x) = sin 2 x + kos x2

2. Cari terbitan fungsi berikut. (a) (c) (e) (g)

y y y y

= ln | sek x| = tan 3 (x/3) = sek 2 x = (kos x)sin x

(b) (d) (f ) (h)

y y y y

= (sin x)/(1 − kos x) = ekos x = ex kot x2 x = (ln sin x)e

3. Dengan menggunakan pembezaan secara tersirat cari dy/dx (a) (c) (e)

7.5

kos x = sin y ln y = sin (x + y) y = kos (x − y)

(b) x sin y + y sin x = 1 (d) kos y = sin (x + y) (f ) y sin y = kos (x + y)

Pengkamiran Fungsi Trigonometri

Formula kamiran tak tentu bagi fungsi sinus dan kosinus menyusul secara langsung daripada formula pembezaan yang berkaitan. Oleh sebab Dx sin x = kos x, maka  kos x dx = sin x + C Oleh sebab Dx (− kos x) = sin x, maka  sin x dx = − kos x + C

216

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Dengan cara yang serupa, formula pembezaan lain dalam seksyen terdahulu dapat ditulis semula sebagai formula pengkamiran berikut.  sek 2 x dx = tan x + C  kosek 2 x dx = kot x + C  sek x tan x dx = sek x + C  kosek x kot x dx = kosek x + C CONTOH 7.5.1 Cari luas rantau di bawah graf kosinus dari −π/2 ke π/2. Penyelesaian

Luas yang dikehendaki sama dengan  π/2 kos x dx −π/2

Dengan menggunakan teorem asasi kalkulus, π/2  π/2 kos x dx = sin x π/2

CONTOH 7.5.2 Hitung



−π/2

 π π = sin − sin − 2 2 = 1 − (−1) = 2. sin 3x dx.

Biarkan u = 3x, maka du = 3 dx. Jadi   1 sin u du sin 3x dx = 3 1 (− kos u) + C = 3 1 = − kos 3x + C 3 Kamiran tak tentu fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan tidak mudah diperolehi. Formula kamiran tak tentu fungsi tangen diterbitkan seperti berikut. Oleh sebab   sin x dx tan x dx = kos x kita biarkan u = kos x. Jadi du = − sin x dx dan kita dapati   du tan x dx = − u = − ln |u| + C

Penyelesaian

= − ln | kos x| + C = ln | kos x|−1 + C    1  +C  = ln  kos x  = ln | sek x| + C

Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri Untuk mencari



217

kot x dx kita biarkan u = sin   kot x dx =  =

x. Jadi du = kos x dx dan kita dapati kos x dx sin x du u = ln |u| + C

= ln | sin x| + C



Untuk mengkamirkan sek x dx, kita darabkan pembilang dan penyebut yang dikamir dengan ungkapan (sek x + tan x). Kita dapati   sek x(sek x + tan x) sek x dx = dx sek x + tan x  sek 2 x + sek x tan x dx = sek x + tan x Biarkan u = sek x + tan x. Maka du = (sek x tan x + sek 2 x) dx. Jadi   du sek x dx = u = ln |u| + C = ln | sek x + tan x| + C

 Kita gunakan teknik yang sama untuk mendapatkan formula bagi kosek x dx. Darabkan pembilang dan penyebut yang dikamir dengan ungkapan (kosek x − kot x).   Kita dapati kosek x(kosek x − kot x) dx kosek x dx = kosek x − kot x  kosek 2 x − kosek x kot x dx = kosek x − kot x Biarkan u = kosek x − kot x, maka

Jadi

du = {− kosek x kot x − (−kosek 2 x)} dx = (kosek 2 x − kosek x kot x) dx.   du kosek x dx = u = ln |u| + C = ln | kosek x − kot x| + C

Kita kumpulkan keempat-empat kamiran yang kita telah terbitkan di atas.  tan x dx = ln | sek x| + C  kot x dx = ln | sin x| + C  sek x dx = ln | sek x + tan x| + C  kosek x dx = ln | kosek x − kot x| + C

218

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

CONTOH 7.5.3 Hitung



kot 3x dx.

Biarkan u = 3x. Jadi du = 3 dx dan   1 kot u du kot 3x dx = 3 1 ln | sin u| + C = 3 1 = ln | sin 3x| + C 3  CONTOH 7.5.4 Cari (1/ kos 2x) dx. Penyelesaian

Biarkan u = 2x. Jadi du = 2 dx dan   1 dx = sek 2x dx kos 2x  1 sek u du = 2 1 ln | sek u + tan u| + C = 2 1 ln | sek 2x + tan 2x| + C = 2  CONTOH 7.5.5 Hitung x2 kosek 2 x3 dx.

Penyelesaian

Biarkan u = x3 . Maka du = 3x2 dx atau x2 dx = du/3. Jadi   1 2 2 3 kosek 2 u du x kosek x dx = 3 1 (− kot u) + C = 3 1 = − kot x3 + C 3  CONTOH 7.5.6 Kamirkan kos 5 x sin x dx. Penyelesaian

Penyelesaian

Biarkan u = kos x. Maka du = − sin x dx dan   5 kos x sin x dx = − u5 du

u6 +C 6 1 = − kos 6 + C 6   CONTOH 7.5.7 Kira (a) kos 3 x dx dan (b) sin 3 x dx. = −

Penyesaian (a) Kita tulis kos 3 x = kos 2 x·kos x = (1−sin 2 x) kos x. Biarkan u = sin x, maka du = kos x dx dan

Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri

219



 kos 3 x dx =

 =

(1 − sin 2 x) kos x dx (1 − u2 ) du

u3 +C 3 sin 3 x +C = sin x − 3

= u−

(b) Kita tulis sin 3 x = sin 2 x sin x = (1 − kos 2 x) sin x dan kita biarkan u = kos x. Maka du = − sin x dx dan   3 (1 − kos 2 x) sin x dx sin dx =  = (1 − u2 ) (−du) u3 +C 3 kos 3 x +C = − kos x + 3   CONTOH 7.5.8 Hitung (a) kos 4 x dx dan (b) sin 2 x dx. = −u +

Penyelesaian

(a) Kita gunakan identiti kos 2 x = (1 + kos 2x)/2. Jadi     1 + kos 2x 2 4 dx kos x dx = 2    1 1 1 2 + kos 2x + kos 2x dx = 4 2 4    1 sin 2x 1 1 + kos 4x 1 x+ + dx = 4 2 2 4 2 1 1 1 sin 4x 1 x + sin 2x + x + +C = 4 4 8 8 4 1 1 3 x + sin 2x + sin 4x + C = 8 4 32

(b) Kita gunakan identiti sin 2 x = (1 − kos 2x)/2. Jadi     1 − kos 2x 2 dx sin x dx = 2   kos 2x 1 dx − dx = 2 2 1 1 x − sin 2x + C = 2 4 Untuk mencari kamiran tak tentu trigonometri yang lebih rumit kita perlu gunakan teknik pengkamiran seperti penggantian dan pengkamiran bahagian demi bahagian. Teknik ini akan dipelajari dalam bab kelapan.

220

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Latihan 7.5 1. Nilaikan kamiran berikut.  (a) (2 kos x − 3 sin x) dx  (c) kos (4x − 2) dx  (e) sin x kot x dx  (g) sin (x/2 + 1) dx

 (b)

(2 kos 5x + 2 sin 3x) dx 

(d)

tan 2x dx 

(f )  (h)

kosek (2 − 3x) dx sek 2x tan 2x dx

2. Hitung kamiran berikut.    (c) x kos (3x2 − 1) dx (a) sin x/(1 − kos x) dx (b) x sin x2 dx    2 3 2 2 (e) x sek x tan x dx (f ) (sin (ln x))/x dx (d) x kosek (2x ) dx 3. Cari



 4

sin x dx

(a)

(b)

5

kos x dx

(e)

3

2

 sin x kos x dx

2

4

tan x dx

sin x kos x dx

(k)

sek 3 x tan x dx

(i)





sin 5 x kos x dx

(f ) 

2

kos x sin x; dx (h)

(g)

sin 5 x dx

(c)





(j)

kos x dx 

 (d)

 2

 3

4

sin x kos x dx

(l)

sin 3x kos 2x dx

4. Cari luas rantau yang dibatasi oleh satu lengkok daripada y = 2 kos 3x dengan paksi-x. 5. Cari isipadu pepejal yang terjana jika rantau yang terbatas oleh satu lengkok y = sin x dengan paksi-x dikisarkan mengelilingi paksi-x.

7.6

Fungsi Trigonometri Songsang

Kali pertama konsep fungsi songsang dibincangkan ialah dalam bab pertama. Bukan semua fungsi mempunyai fungsi songsang. Cuma fungsi satu-ke-satu sahaja yang mempunyai fungsi songsang. Sebagai contoh fungsi y = ln x dan y = ex mempunyai fungsi songsang dan mereka adalah songsang satu daripada yang lain (lihat Seksyen 6.3). Fungsi y = x2 tidak mempunyai songsang kerana ia bukan fungsi satu-ke-satu. √ Akan tetapi jika domainnya dibataskan kepada [0, ∞), maka y = x ialah fungsi songsangnya.

Seksyen 7.6: Fungsi Trigonometri Songsang

221

Sekarang sila rujuk kepada graf fungsi sinus dalam Rajah 7.7. Kita dapati sinus bukan fungsi satu-ke-satu. Dengan ini fungsi sinus tidak mempunyai songsang. Akan tetapi jika domainnya dibataskan kepada [−π/2, π/2], maka ia menjadi fungsi satu-ke-satu (lihat Rajah 7.23). Jadi fungsi sinus dengan domain yang terbatas ini mempunyai fungsi songsang. Songsangnya dipanggil fungsi sinus songsang dan dilambangkan dengan simbol sin −1 . y

1

− π2

... .. ... ... .. ... ... ..

6

0

.... ... ... ... .. ... ...

π 2

-

x

−1

Rajah 7.23: Fungsi sinus dalam domain [−π/2, π/2]

Takrif 7.6.1 Fungsi sinus songsang yang ditulis y = sin −1 x ditakrifkan seperti berikut. π π y = sin −1 x jika dan hanya jika x = sin y dan − ≤ y ≤ 2 2 Kadang-kadang fungsi y = sin −1 x dipanggil fungsi lengkok sinus dan ditulis y = lengsin x. Perhatikan di sini bahawa sin −1 x = (sin x)−1 walaupun tatatanda sin 2 x bererti (sin x)2 . Domain sin −1 x ialah selang tertutup [−1, 1] dan julatnya selang tertutup [−π/2, π/2]. Untuk mendapatkan graf y = sin −1 x, mula-mula kita lukis graf y = sin x untuk x ∈ [−π/2, π/2] dan kemudian lukiskan imejnya terhadap garis y = x. Lihat Rajah 7.24. Satu cara mencari nilai fungsi sinus songsang sin −1 a ialah dengan mencari nombor yang sinusnya√sama dengan a. Sebagai contoh sin −1 √ 1/2 = π/6 kerana sin π/6 = 1/2 dan sin −1 (− 3/2) = −π/3 kerana sin (−π/3) = − 3/2. Ingat bahawa sin −1 x mesti berada dalam selang [−π/2, π/2]. Jadi walaupun sin 5π/6 = 1/2, sin −1 1/2 = 5π/6 kerana 5π/6 ∈ [−π/2, π/2]. Yang berikut menyusul daripada takrif di atas. sin (sin −1 x) = x bagi x ∈ [−1, 1] dan sin −1 (sin y) = y bagi y ∈ [−π/2, π/2] Fungsi sinus songsang yang dibincangkan setakat ini adalah diperolehi dengan membataskan domain fungsi sinus kepada selang [−π/2, π/2]. Akan tetapi fungsi sinus adalah

222

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

y

.. y = x .... . . . (1, π ... 2 ... . . y = sin−1 x . .. .... . . . . ( π2 , 1) 1 .... . . . q ..... } . . . . .. y = sin x .... . . . . . 0 .... ... π . −1 x 1 . −π . . 2 2 .. . . . .. .... . . . .. .... . . . (− π2 , −1) −1 .. .... . . . . .... . . . − π2 . ... (−1, − π2 ) . . . . .... 6

π ) 2

Rajah 7.24: Graf fungsi sinus songsang fungsi satu-ke-satu juga dalam selang-selang lain, misalnya [−3π/2, −π/2], [π/2, 3π/2] dan [3π/2, 5π/2]. Jadi dalam setiap selang ini fungsi sinus juga mempunyai songsang. Selang [−π/2, π/2] dipilih kerana ia mengandungi nombor 0 dan grafnya menokok dalam selang itu. Fungsi kosinus juga tidak mempunyai fungsi songsang atas alasan yang sama dengan fungsi sinus. Akan tetapi jika kita bataskan domainnya kepada selang tertentu maka fungsi kosinus menjadi satu-ke-satu (lihat grafnya dalam Rajah 7.8) dan oleh itu mempunyai fungsi songsang. Untuk fungsi kosinus kita pilih selang [0, π]. Rajah 7.25 menunjukkkn graf fungsi kosinus dengan domain terbatas [0, π]. Julatnya ialah [−1, 1]. Oleh sebab fungsi ini satu-ke-satu maka ianya mempunyai fungsi songsang yang dipanggil fungsi kosinus songsang dan diberi lambang kos −1 . y 6 1

0

π 2

π

-

x

−1

Rajah 7.25: Graf fungsi kosinus dalam [0, π]

Seksyen 7.6: Fungsi Trigonometri Songsang

223

Takrif 7.6.2 Fungsi kosinus songsang yang ditulis y = kos −1 x ditakrifkan seperti berikut. y = kos −1 x jika dan hanya jika x = kos y dan 0 ≤ y ≤ π Domain fungsi y = kos −1 x ialah selang tertutup [−1, 1] dan julatnya ialah selang tertutup [0, π]. Grafnya ialah imej graf y = kos x bagi x ∈ [0, π] terhadap garis y = x. Sila lihat Rajah 7.26 y 6

y = kos−1 x

. .... . . . π ... .... . . . .. y = x .... . . . .. .... . π . . .. 2 .... . . . .. 1 .... . . . ... .... . . . 0.. π π −1 x 1 2 .... . . . . . . . ... 7 .... −1 (π, −1) . . . .. ... y = kos x (−1, π)

Rajah 7.26: Graf fungsi kosinus songsang Fungsi kosinus songsang y = kos −1 x juga dipanggil fungsi lengkok kosinus dan ditulis y = lengkos x. Untuk mencari nilai kos −1 a kita cari nombor b dengan kos b = a. Sebagai contoh, kos −1 1/2 = π/3 kerana kos π/3 = 1/2 dan kos −1 (−1) = π kerana / [0, π]. kos π = −1. Akan tetapi kos −1 (−1) = 2π walaupun kos 2π = −1 kerana 2π ∈ Ingat kos −1 x mesti berada dalam selang [0, π]. Menurut takrif kos −1 kita dapati kos (kos −1 x) = x bagi x ∈ [−1, 1] dan kos −1 (kos y) = y bagi y ∈ [0, π] CONTOH 7.6.1 Cari (a) sin −1 1.3, (b) kos −1 (kos π/2), (c) sin (sin −1 1/2), dan (d) kos (sin −1 x) bagi x ∈ [−1, 1] dalam sebutan x. Penyelesaian

(a) sin −1 1.3 tak wujud kerana 1.3 ∈ / [−1, 1].

(b) kos −1 (kos π) = kos −1 (−1) = π. (c) sin (sin −1 1/2) = sin π/6 = 1/2.

224

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

(d) Untuk mencari kos (sin −1 x) bagi x ∈ [−1, 1], mula-mula kita tulis y = sin −1 x. −1 2y = Maka √ x = sin y dan y ∈ [−π/2, π/2]. Jadi kos (sin x) = kos y = ± 1 − sin ±√1 − x2 . Oleh sebab y ∈ [−π/2, π/2], maka kos y ≥ 0. Oleh itu kos (sin −1 x) = + 1 − x2 . CONTOH 7.6.2 Nilaikan sin (kos −1 x) bagi x ∈ [−1, 1] dalam sebutan x. Biarkan y = kos −1 x bagi x ∈ [−1, 1]. Maka x = kos y dan y ∈ [0, π]. √ ± 1 − kos 2 y = ± 1 − x2 . Tetapi sin y ≥ 0 kerana Oleh itu sin (kos −1 x) = sin y = √ y ∈ [0, π]. Jadi sin (kos −1 x) = + 1 − x2 . Penyelesaian

Seperti fungsi sinus dan kosinus, fungsi tangen juga mempunyai fungsi songsang jika kita bataskan domainnya. Jika kita bataskan fungsi tangen kepada selang terbuka (−π/2, π/2), maka fungsi tangen adalah satu-ke-satu (lihat Rajah 7.27). Dengan ini ia mempunyai fungsi songsang yang kita panggil fungsi tangen songsang dan diberi lambang tan −1 . y x 6 y = tan .... .... ... y = x ... ... .... . . . ... ... .. ... ... ...... . ... .... ..... π 2 .. .... ..................................................................................... . ...... . ... . . ... y = tan−1 x .... ..... . . ... . .. .... ... .... . ... . ... . 0... ... π . . π. . . x − 2 .. ... 2 . . . ... . ... ... ....... ... ... .... ... . . . ..................................................................................... .... ...... . . . .. . ... − π2 . . .. ... ... . . . . ... .... . . . .. ... ... . . . .. .. ...

Rajah 7.27: Graf fungsi tangen songsang

Takrif 7.6.3 Fungsi tangen songsang yang ditulis y = tan −1 x ditakrifkan seperti berikut. π π y = tan −1 x jika dan hanya jika x = tan y dan − < y < 2 2 Domain fungsi y = tan −1 x ialah semua nombor nyata dan julatnya ialah (−π/2, π/2). Fungsi songsang ini juga dipanggil fungsi lengkok tangen dan ditulis y = lengtan x. Graf fungsi y = tan −1 x ditunjukkan dalam Rajah 7.27 sebagai imej y = tan x terhadap garis y = x.

Seksyen 7.6: Fungsi Trigonometri Songsang

225

Seterusnya fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang dapat ditakrifkan dengan cara yang serupa. Perumusan takrif fungsi-fungsi ini ditinggalkan sebagai satu latihan. Graf fungsi-fungsi ini disimpulkan dalam Rajah 7.28. y

0

y

... ... ... .... ... ... ... π .... ... ... ...

6

π 2

y

6

-

1 x

0 −1

(a) y = kot x

... ... ... ... . π. ... 2. ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... π ... ... ... ... ...

-

6 ... .... ... ... ... ... ... ... π. . 1 ... − 2. .... ... π 0 ... ... 2 −1 ... .... ... ... ... ... .. . (c) y = kosek x

x

(b) y = sek x

y

y

6

6

π .....................................

π

−1

π

2 .........................................

-

0

(d) y = kot

−1

x

x

−1 0

-

1

(e) y = sek

−1

x

x

y

6 2 .......................................

π .........................................

π 2

-

1 0

x

-

x

....................................... π −2

(f) y = kosek −1 x

Rajah 7.28: Graf fungsi trigonometri songsang lain CONTOH 7.6.3 Cari (a) tan −1 1, (b) tan −1 (tan 3π/4) dan (c) sin (2 tan −1 1/2) Penyelesaian

(a) tan −1 1 = π/4 kerana tan π/4 = 1 dan π/4 ∈ (−π/2, π/2).

(b) tan −1 (tan 3π/4) = tan −1 (−1) = −π/4 kerana tan (−π/4) = −1. (c) Biarkan x = tan −1 1/2. Maka tan x = 1/2 dan x ∈ (−π/2, π/2). Jadi x dapat diwakili oleh sudut dalam sukuan pertama (lihat Rajah 7.29). Oleh itu.   −1 1 = sin 2x sin 2 tan 2 = 2 sin x  kos x  2 1 √ = 2 √ 5 5 4 = 5 Sekarang mari kita tumpukan perhatian kita pada perumusan terbitan fungsi sin −1 , kos −1 dan tan −1 . Untuk mendapatkan formula bagi terbitan fungsi sinus songsang kita tulis y = sin −1 x bagi x ∈ [−1, 1]  π π Ini setara dengan x = sin y dan y ∈ − , 2 2 Bezakan kedua-dua belah persamaan ini terhadap x, kita dapati dy 1 = kos y dx

226

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

y

6



5

1

x

-

2

0

x

Rajah 7.29: Rajah untuk cari sin x dan kos x Jadi

dy dx

=

1 kos y

=

1 kos (sin −1 x)

bagi



Tetapi menurut Contoh 7.6.1(d), kos (sin −1 x) = 1 d sin −1 x = √ dx 1 − x2

π π 0 2 2 a a −x  x −1 √ dx = kos −1 + C dengan a > 0 a a2 − x2  1 x 1 √ tan −1 + C dx = 2 2 a a a +x CONTOH 7.6.7 Nilaikan  1 dx (a) 1 + 9x2

 (b)

−1 √ dx 1 − 4x2

 (c)

x2

1 dx + 4x + 8

(a) Biarkan u = 3x, maka du = 3 dx. Jadi   1 1 1 dx = du 1 + 9x2 3 1 + u2 1 tan −1 u + C = 3 1 tan −1 3x + C = 3 √ (b) Oleh sebab 1 − 4x2 = 4(1/4 − x2 )2 = 2 1/4 − x2 maka   −1 1 −1 dx = dx 1 − 4x2 2 1/4 − x2   x 1 −1 kos +C = 2 1/2 1 kos −1 2x + C = 2

Penyelesaian

(c) Lengkapkan kuasa dua ungkapan x2 + 4x + 8. x2 + 4x + 8 = (x2 + 4x + 4) + 4 = (x + 2)2 + 4 = u2 + 4 dengan u = x + 2. Jadi 

1 dx = x2 + 4x + 8 = =



1 du 4 + u2 u 1 tan −1 + C 2 2 x +2 1 tan −1 +C 2 2

230

Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI

Latihan 7.6 1. Nilaikan nombor berikut. (a) sin −1 (1) (d)

kot −1 (1)

(e)

kos −1 (1/2) √ sek −1 (2/ 3)

(g)

sin −1 (1/2)

(h)

kos −1 (−1/2)

(b)

2. Cari nilai nombor berikut. √ (a) kos (sin −1 (− 3/2)) (c) kot (sek −1 (−1)) (e) kos (2 tan −1 (−5/12)) (g) sek (sin −1 (−4/5)) (i)

(b) (d) (f ) (h)

tan (sin −1 (1/2))

(j)

(c)

tan −1 (1)

√ (f ) kosek −1 (2/ 3) √ (i) sin −1 ( 3/2) √ sin (tan −1 (1/ 2)) tan (2 kosek −1 (−5/4)) kos (tan −1 (0)) sin(4kos −1 (−3/5)) √ kot (2 sin −1 ( 3/2))

3. Adakah kot −1 x = 1/(tan −1 x)? 4. Lakarkan graf fungsi berikut. (a) y = sin −1 (x/3) (d) y = kos −1 2x

(b)

y = sin −1 (3x)

5. Cari terbitan fungsi berikut. (a) f (x) = 3 sin −1 2x (c) f (t) = kos −1 (4t) (e) F (x) = tan −1 (2/x) (g) f (y) = y sin −1 (3y) (i) F (s) = sin −1 (tan s)

(b) (d) (f ) (h) (j)

6. Cari dy/dx jika (a) kos −1 (x − y) = sin −1 (xy) 7. Nilaikan kamiran berikut.  1 √ dx (a) 4 − x2  1 dx (d) 2 x + 4x + 5  0 1 √ dx (g) 1 − x2 −1/2  1 dx (j) 9 − (x − 1)2

(c)

g(x) = sin −1 (x/3) f (x) = x2 kos −1 (2x) f (t) = 3t tan −1 (2t2 + t) g(x) = kos −1 (sin x) f 9x) = ln(tan −1 (2x)

(b) x sin y + x2 = tan −1 y



(b) (e) (h)

y = 2 tan −1 x

1 dx 1 + 4x2  −1 √ dx 25 − 4x2  0 1 dx 2 1 1+x



(c) (f ) (i)

1 dx 9 + x2  x+1 √ dx 4 − x2  9 − x2 dx

8. Takrifkan fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang. Rujuk kepada graf kotangen, kosekan dan sekan untuk menentukan pembatasan domain yang wajar.