Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. ...
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c.
BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit Terlebih dahulu diperhatikan fungsi f ( x) = x 2 + 3 . Grafik y = f (x) diberikan pada Gambar 3.1.1
di bawah ini.
58
7
●
2
Gambar 3.1.1
Apa yang terjadi dengan f (x) apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1
x
f ( x) = x 2 + 3
3
f ( x) = x 2 + 3
x 12 1,5
5,25
2,05
7,2025 1,95
6,8025
2,001
7,004001 1,999
2,0001
7,00040001 1,9999
6,996001 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka f (x) mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung f (2) = 2 2 + 3 = 7 . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis: lim f ( x) = 7
x→2
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
x2 −1 f ( x) = x −1
59
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk
0 . Tetapi masih dapat 0
dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi x ≠ 1 . Untuk x ≠ 1 , x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = = x + 1 = g ( x) x −1 x −1
f ( x) =
○
1
(a). f ( x ) =
x
2
−1
x −1
, D
f
= R − {1}
(b). g ( x ) = x + 1, D g = R
Gambar 3.1.2
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai f ( x) mendekati 2. Jadi, x2 −1 =2 x→1 x − 1
lim
Tabel 3.1.2
60
x
f ( x) =
x2 −1 = x +1 x −1
2
x2 −1 = x +1 x −1
3 0,5
1,05
1,5
2,05 0,99
1,001 1,00000017
f ( x) =
x
1,99
2,001 0,999975 2,00000017 0,9999999
1,999975 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:
lim f ( x) = L
x →c
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) mendekati L.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
lim f ( x) = L jika untuk setiap bilangan ε > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan
x →c
δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ D f dengan 0 < x − c < δ berlaku f ( x) − L < ε .
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c
mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c. Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa lim (2x –5) = 3. x →4
61
Penyelesaian:
|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4| Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil δ = ε/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang memenuhi 0 0, lim
x →c
x = c.
Penyelesaian:
(3.1.1)
x− c =
Ditinjau x >0 dengan sifat x − c
c−
c c = 2 2
Hal ini berakibat: (3.1.2)
x>
c 2
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh: x− c =
x−c x+ c
0. Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil δ = min ⎨ , ⎬ maka untuk 2 ⎭ ⎩2 setiap x>0 dengan 0 < x − c < δ berlaku: x− c =
x−c x+ c
62
0 sehingga untuk setiap x>0 dengan 0 < x − c < δ berlaku: x− c =
x−c x+ c
0 sebarang, maka terdapat δ 1 , δ 2 > 0 sehingga: i.
f ( x) − L
0 x →c
64
Contoh 3.2.3
(a). lim (2 x 2 − 7 x + 6) x→2
=
lim 2 x 2 − lim 7 x + lim 6
=
2 lim x 2 − 7 lim x + lim 6
3.2.2 (i ) x → 2
x→2
x→2
3.2.2 (ii )
x→2
⎛ 2 ⎜ lim 3.2.2 ( v.a ) ⎝ x → 2 =
=
3.2.1
(b). lim 7 x 2 x − 1 x →1
=
x→2
x→2
2
⎞ x ⎟ − 7 lim x + lim 6 x→2 x→2 ⎠
2.2 2 − 7.2 + 6 = 0
lim 7 x. lim 2 x − 1
3.2.2 (iii ) x →1
x →1
⎛ ⎞ ⎜ 7 lim x ⎟ lim (2 x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7 3.2.2 (ii) & (v.c) ⎝ x →1 ⎠ x →1 =
lim (2 x + 3) 2x + 3 2.(−1) + 3 1 x → −1 (c). lim = = = .█ x → −1 5 x + 2 3.2.2 (iv ) lim (5 x + 2) 5.(−1) + 2 − 3 x → −1
Contoh 3.2.4 Hitung lim
x→2
x 2 − 3x + 2 x2 − 4
.
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh: x 2 − 3x + 2 2
x −4
=
( x − 2)( x − 1) x − 1 = ( x − 2)( x + 2) x + 2
Sehingga: lim
x→2
x 2 − 3x + 2 x2 − 4
x −1 2 −1 1 = = .█ x → 2 x + 2 3.2.2 (iv ) 2 + 2 4
= lim
65
x −1
Contoh 3.2.5 Tentukan lim
x →1
x− 1
.
Penyelesaian: lim
x −1
x →1
x −1
Contoh 3.2.6 Tentukan lim
x → −2
= lim
(
x 4 − 16
x3 + 8
x → −2 x 4 − 16
= lim
x3 − (−2)3
x → −2 x 4 − ( −2) 4
= lim
x → −2
(x
3
x →1
)
x + 1 = 1 + 1 = 2 .█
.
Penyelesaian: lim
) = lim (
x +1
x −1
x →1
x3 + 8
)(
x −1
(x − (−2))(x 2 + x.(−2) + (−2)2 ) x → −2 ( x − (−2) )(x3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2)3 )
= lim
(x 2 − 2 x + 4) 2
− 2x + 4x − 8
)
=
4+4+4 3 = − .█ 8 −8−8−8−8
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan sin x . x →0 x
cara demikian. Sebagai contoh, misalnya lim
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika lim f ( x) = lim h( x) = L maka lim g ( x) = L .
x →c
x→c
x →c
1⎞ ⎛ Contoh 3.2.8 Tentukan lim ⎜ x sin ⎟ . x⎠ x →0 ⎝
66
Penyelesaian: Untuk x ≠ 0 , sin
1 ≤ 1 . Oleh karena itu, untuk x ≠ 0 berlaku: x
x sin
1 1 = x sin ≤ x x x
Hal ini berakibat: − x ≤ x sin
1 ≤ x x
1⎞ ⎛ Selanjutnya, karena lim (− x ) = lim x = 0 maka lim ⎜ x sin ⎟ = 0 .█ x⎠ x →0 x →0 x →0 ⎝
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit. 1 1 = 2 x→2 x
1. lim ( x + 2) = 3 x →1
x+2 = −2 x →0 x − 1
4. lim
⎧ 1, ⎪ 7. Jika f ( x) = ⎨ ⎪− 1, ⎩
3. lim x 2 = 1
2. lim
5. lim
x→4
x → −1
x =2
x2 −1 =2 x →1 x − 1
6. lim
x≥0 , tunjukkan bahwa lim f ( x) tidak ada. x→ 0
x 0 maka lim
x →0
x tidak ada, karena
x tidak terdefinisikan untuk x < 0 .
x ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita
kepada definisi berikut ini.
Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c, c + δ ) . Apabila untuk x di
dalam (c, c + δ ) yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:
lim f ( x) = L
x →c +
(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c − δ , c) . Apabila untuk x di dalam (c − δ , c) yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c, ditulis: lim f ( x) = L
x →c −
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
68
(i).
lim f ( x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ (c, c + δ )
x →c +
berlaku f ( x) − L < ε . (ii). lim f ( x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ (c − δ , c) x →c −
berlaku f ( x) − L < ε .
L+ε L+ε
L
L L −ε
L −ε
c
c+δ
c-δ
(a)
c
(b) Gambar 3.3.1
x =0
Contoh 3.3.2 (a). lim
x →0 +
lim
dan
x →0 −
x tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n, lim
x→n +
[x ] = n
dan
lim
x→n −
[x ] = n − 1
Contoh 3.3.3 Tentukan lim f ( x), lim f ( x ), lim f ( x), dan lim f ( x) jika diketahui: x →0 −
x →0 +
x →1−
69
x →1+
⎧ ⎪ 2 x − 1, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x −1 ⎪ 2 , ⎩ x −1
x 1
Penyelesaian: (a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), f ( x) = 2 x − 1 . Oleh karena itu, lim f ( x) = lim (2 x − 1) = −1
x →0 −
x →0 −
lim f ( x) = lim (2 x − 1) = −1
x →0 +
x →0 +
(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, f ( x) = 2 x − 1 . Sehingga: lim f ( x) = lim (2 x − 1) = 1
x →1−
x →1−
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, f ( x) = lim f ( x) = lim
x →1+
x −1
2 x →1+ x − 1
x −1 x2 − 1
. Sehingga:
x −1 1 1 = lim = .█ x →1+ ( x − 1)( x + 1) x →1+ x + 1 2
= lim
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.
Teorema 3.3.4 lim f ( x) = L jika dan hanya jika lim f ( x ) = lim f ( x) = L . x →c −
x →c
x →c +
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Akibat 3.3.5 Jika lim f ( x) ≠ lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada. x →c −
x →c +
x→c
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena lim f ( x) ≠ lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada. x →1−
x →1+
70
x→1
Contoh 3.3.6 Diberikan: ⎧2 x − 1, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x3 , ⎩
x 1
Karena untuk x < 1 , f ( x) = 2 x − 1 , maka: lim f ( x) = lim (2 x − 1) = 1 .
x →1−
x →1−
Secara sama, lim f ( x) = lim x3 = 1 .
x →1+
x →1+
Selanjutnya, karena lim f ( x) = 1 = lim f ( x) maka: lim f ( x) = 1 .█ x →1−
x →1+
x →1
Contoh 3.3.7 Tentukan lim f ( x ) jika diketahui: x→ 2
⎧ x, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪[x ], ⎩
x≤2 x>2
Penyelesaian:
lim f ( x) = lim [x ] = 2
lim f ( x) = lim x = 2
x →2−
x →2−
x →2+
x →2+
Jadi, lim f ( x) = 2 .█ x→2
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: lim
x→0
cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai f ( x) =
1 x2
1 x2
. Untuk nilai-nilai x yang
diberikan pada table berikut ini.
71
Tabel 3.4.1
x
1 x
1
x
2
x2
1
1 −1
1
0,5
4 −0,5
4
0,01 0,0001 0,000005
10.000 −0,01
10.000
100.000.000 −0,0001
100.000.000
40.000.000.000 −0,000005
40.000.000.000
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai f ( x) = menjadi semakin besar. Bahkan nilai f ( x) =
1 x2
1 x2
akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0,
baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi f ( x) =
f ( x) =
1 x2
Gambar 3.4.1
72
1 x2
dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis: lim f ( x) = ∞
x →0
Secara sama mudah diperlihatkan: lim
x →0
−1 x2
= −∞
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
Definisi 3.4.1 (i). lim f ( x) = ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) x →c
menjadi besar tak terbatas arah positif. (ii). lim f ( x) = −∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) menjadi besar x →c
tak terbatas arah negatif.
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
lim f ( x) = ∞ (atau −∞) jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan real δ > 0
x →c
sehingga untuk setiap x ∈ D f dengan sifat 0 < x − c < δ berlaku f ( x) > M (atau f ( x) < − M )
Contoh 3.4.2 1 =∞ x → −1 x + 1
(a). lim
(b). lim
1 3
x →0 x − x
2
1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = −∞ . x →0 x 2 ⎝ x − 1 ⎠
= lim
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk x → c , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai f (x ) apabila nilai x cukup besar.
73
Sebagai contoh, bagaimana nilai
f ( x) =
1 apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah x
memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai f (x) semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan: 1 =0 x →∞ x lim
Tabel 3.4.2 (a)
(b)
1 f ( x) = x
x 10
x 0,1
−1
f ( x) =
1 x −1
1.000.000
0,000001
−1.000.000
−0,000001
5.000.000
0,0000002
−5.000.000
−0,0000002
100.000.000
0,00000001
−100.000.000
−0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat f (x) mendekati nol, yaitu: lim
1
x → −∞
x
=0
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut. Definisi 3.4.3 (i). lim f ( x) = L jika f (x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) x →∞
dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka f (x) mendekati L. (ii). lim
x → −∞
f ( x) jika f (x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka f (x) mendekati L.
74
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
(i).
lim f ( x) = L jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk
x →∞
setiap x > M berlaku f ( x) − L < ε . (ii). lim
x → −∞
f ( x ) = L jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk
setiap x < − M berlaku f ( x) − L < ε .
Mudah ditunjukkan bahwa: 1 =0 x →∞ x
1 =0 x → −∞ x
dan
lim
Contoh 3.4.4 Tentukan lim
x →∞
1 3
x +9
lim
.
Penyelesaian: Untuk x > 0 , x3 + 9 > x . Sehingga 0
