BARISAN, DERET DAN INDUKSI. MATEMATIKA. Notasi Sigma : ∑ adalah
notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu ...
BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
n
4.
∑ KU i =1
n
i
= K ∑U i i =1
n
5.
∑ (U i ± Vi ) = i =1
Notasi Sigma :
n
6.
∑
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. ∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.
∑U i = i =1 n
7.
∑U i = i =1
n
8.
∑U i = i =m
Bentuk umum notasi sigma:
n
9. a.
∑U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
n −1
∑U
i =0
m
∑U i + i =1
i =2
∑U i =1
i
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai
b.
∑U
i = m +1
∑U i− p =
i =m+ p
i =1
; dimana 1< m < n
i
n− p
∑U
i =m− p
n
∑ (U i + Vi ) 2 = ∑ (U i − Vi ) 2 =
i −1
n
n+ p
n
n
i
i =1
n +1
∑U i +1 =
i =1
i =1
∑V
i =1
n
n
n
∑U i ±
i+ p
n
n
∑U i + 2
∑U iVi +
∑V
n
n
n
2
i =1
∑U i - 2 2
i =1
i =1
∑U iVi + i =1
i =1
∑V i =1
2
i
2
i
dengan i=n Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
Contoh: b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan 50
notasi sigma yaitu
∑ 2i i =1
Sifat-sifat notasi sigma:
Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Bentuk umum deret aritmetika:
n
1.
∑U i =1
i
= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana:
n
2.
∑U i =1
n
i
=
∑U k =1
k
n
3.
∑K
a = suku pertama b = beda n = banyak suku
= nK ; dimana K adalah konstanta
i =1
www.belajar-matematika.com - 1
Rumus-rumus : 1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:
2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' ) Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n
U n = a + (n-1) b Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n 2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: n S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n ) 2 n = (2a +(n-1) b) 2 hubungan U n dan S n adalah:
k suku banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k
U n = S n - S n −1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: Ut =
k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n a. jika banyaknya suku =2 U 1 , …,U 2
1 (a + U n ) 2
b. jika banyaknya suku =3 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k c. . jika banyaknya suku =4 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4
Sisipan: Suatu barisan aritmetika :
k suku k suku k suku
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },… k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama U 2 barisan lama
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ' = n + (n-1) k 3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ) Sn
'
n' n' ' ' = (a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 2
dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan '
1. Beda barisan baru (b ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ' b = (k+1) b ' b b'= k +1
U n ' = U n maka, Sn '=
n' (a + U n ) 2
contoh soal sisipan :
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret b = beda deret lama ' aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk . b = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan www.belajar-matematika.com - 2
jawab:
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110
Jadi r =
U Un U2 = 3 = . . .= U1 U2 U n −1
Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
10 bilangan Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : n' Sn '= (a + U n ) 2 12 (60+110) = 2 = 1020
Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio Rumus-rumus:
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk
dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k=4 beda barisan yang baru: b b'= k +1 10 =2 = 4 +1
S 10
Sn =
a(r n − 1) untuk r >1 r −1
Sn =
a(1 − r n ) untuk r 1 S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1 + + +... 2 8 32 Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
jawab: www.belajar-matematika.com - 4
Induksi Matematika:
1 1 1 ; r= 8 = Diketahui : a = 1 2 4 2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.
1 memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka 4 konvergen. r=
S∞=
a 2 = 1− r 1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k 3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
1
=
4
2 = 4 = 2 3 6 3 4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5 karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen. a S∞ = 1− r 5 5 10 = ; 1-r = 1− r 10
1 1 1 ; r=1- = 2 2 2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:
1 2
untuk n = 1 masukkan nilai n =1 2n = n (1+n) 2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti langkah 2 : untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2
Karena r