bab xviii. notasi sigma, barisan, deret dan induksi matematika

50 downloads 4345 Views 53KB Size Report
BARISAN, DERET DAN INDUKSI. MATEMATIKA. Notasi Sigma : ∑ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu ...
BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA

n

4.

∑ KU i =1

n

i

= K ∑U i i =1

n

5.

∑ (U i ± Vi ) = i =1

Notasi Sigma :

n

6.



adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan

penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. ∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.

∑U i = i =1 n

7.

∑U i = i =1

n

8.

∑U i = i =m

Bentuk umum notasi sigma:

n

9. a.

∑U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n

n −1

∑U

i =0

m

∑U i + i =1

i =2

∑U i =1

i

dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai

b.

∑U

i = m +1

∑U i− p =

i =m+ p

i =1

; dimana 1< m < n

i

n− p

∑U

i =m− p

n

∑ (U i + Vi ) 2 = ∑ (U i − Vi ) 2 =

i −1

n

n+ p

n

n

i

i =1

n +1

∑U i +1 =

i =1

i =1

∑V

i =1

n

n

n

∑U i ±

i+ p

n

n

∑U i + 2

∑U iVi +

∑V

n

n

n

2

i =1

∑U i - 2 2

i =1

i =1

∑U iVi + i =1

i =1

∑V i =1

2

i

2

i

dengan i=n Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):

i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan

Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b).

Contoh: b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan 50

notasi sigma yaitu

∑ 2i i =1

Sifat-sifat notasi sigma:

Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b

Bentuk umum deret aritmetika:

n

1.

∑U i =1

i

= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n

a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana:

n

2.

∑U i =1

n

i

=

∑U k =1

k

n

3.

∑K

a = suku pertama b = beda n = banyak suku

= nK ; dimana K adalah konstanta

i =1

www.belajar-matematika.com - 1

Rumus-rumus : 1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:

2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' ) Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n

U n = a + (n-1) b Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n 2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis sbb: n S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n ) 2 n = (2a +(n-1) b) 2 hubungan U n dan S n adalah:

k suku banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k

U n = S n - S n −1

3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t ) ditulis sbb: Ut =

k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n a. jika banyaknya suku =2 U 1 , …,U 2

1 (a + U n ) 2

b. jika banyaknya suku =3 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 k suku k suku banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k c. . jika banyaknya suku =4 U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4

Sisipan: Suatu barisan aritmetika :

k suku k suku k suku

a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b

banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k

apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },… k buah bilangan sisipan U 1 barisan lama U 2 barisan lama

Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ' = n + (n-1) k 3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ) Sn

'

n' n' ' ' = (a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' } 2 2

dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan '

1. Beda barisan baru (b ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ' b = (k+1) b ' b b'= k +1

U n ' = U n maka, Sn '=

n' (a + U n ) 2

contoh soal sisipan :

1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret b = beda deret lama ' aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk . b = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan www.belajar-matematika.com - 2

jawab:

sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).

banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110

Jadi r =

U Un U2 = 3 = . . .= U1 U2 U n −1

Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n

10 bilangan Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : n' Sn '= (a + U n ) 2 12 (60+110) = 2 = 1020

Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio Rumus-rumus:

2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk

dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k=4 beda barisan yang baru: b b'= k +1 10 =2 = 4 +1

S 10

Sn =

a(r n − 1) untuk r >1 r −1

Sn =

a(1 − r n ) untuk r 1 S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)

Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.

Contoh deret tah hingga:

1 1 1 + + +... 2 8 32 Berapakan jumlah deret tsb?

1. Diketahui deret geometri :

jawab: www.belajar-matematika.com - 4

Induksi Matematika:

1 1 1 ; r= 8 = Diketahui : a = 1 2 4 2

Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.

1 memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka 4 konvergen. r=

S∞=

a 2 = 1− r 1− 1

1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k 3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1

1

1

=

4

2 = 4 = 2 3 6 3 4

contoh induksi matematika:

2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?

diketahui S ∞ = 10 ; a = 5 karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen. a S∞ = 1− r 5 5 10 = ; 1-r = 1− r 10

1 1 1 ; r=1- = 2 2 2

Jadi rasionya: r =

1. Buktikan 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) langkah 1 :

jawab:

1–r=

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:

1 2

untuk n = 1 masukkan nilai n =1 2n = n (1+n) 2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti langkah 2 : untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :

jumlah 5 suku pertamanya:

untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2

Karena r