Année scolaire 2011-2012. Mathématiques. CORRECTION DU DEVOIR A LA
MAISON N◦ 3 ... Cela signifie graphiquement que la parabole P1 ne coupe pas.
Lycée J.P Vernant - 1S/L Mathématiques
Année scolaire 2011-2012
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N◦ 3 Exercice 1 : 1. La fonction f est une fonction polynôme dont le coe cient dominant a (égal à 1) est positif donc f −1 b 1 sera d'abord décroissante puis croissante. De plus, x0 = − = − 2 = . Par conséquent, f est 2a 2 4 1 1 décroissante sur ] − ∞ ; ] et croissante sur [ ; +∞[. 4 4
1 4
−∞
x
f (x)
↘
15 16
+∞
↗
1 1 1 1 1 1 1 15 f ( ) = ( )2 − × + 1 = − +1=− +1= 4 4 2 4 16 8 16 16
15 15 d'après le tableau de variations de f donc f (x) > pour tout x ∈ R 16 16 et en particulier f (x) ne s'annule jamais. Cela signi e graphiquement que la parabole P1 ne coupe pas l'axe des abscisses.
2. Le minimum de f est égal à
3. Les abscisses des points d'intersection entre la droite d et la parabole P1 sont les solutions de l'équation 7 f (x) = x + p. Or, 2
7 1 7 f (x) = x + p ⇔ x2 − x + 1 − x − p = 0 ⇔ x2 − 4x + 1 − p = 0 2 2 2 Cette équation n'admet qu'une seule solution si le discriminant est nul. Or, ∆ = (−4)2 −4(1−p) = 16−4+4p = 12+4p donc ∆ = 0 ⇔ 12+4p = 0 ⇔ 4p = −12 ⇔ p = −3. La droite d ne coupe la courbe P1 qu'en un seul point lorsque p = −3.
( 4. Comme P2 est une parabole dont le sommet est S
) 9 1; , c'est la courbe représentative d'une fonction 2
9 trinôme g : x 7→ a(x − 1)2 + . 2 5 9 5 5 9 1 Comme A (3 ; ) ∈ P2 alors a(3 − 1)2 + = ⇔ 4a = − = −2 ⇔ a = − . Ainsi, 2 2 2 2 2 2 1 9 1 2 9 1 2 1 9 1 2 2 g(x) = − (x − 1) + = − (x − 2x + 1) + = − x + x − + = − x + x + 4 donc P2 a pour 2 2 2 2 2 2 2 2 1 équation y = − x2 + x + 4. 2 5. Les abscisses des points d'intersection entre P2 et l'axe des abscisses sont les solutions de g(x) = 0. 1 Résolvons cette équation : ∆ = b2 − 4ac = 1 − 4 × (− ) × 4 = 1 + 8 = 9. Il y a deux solutions : 2 √ √ −1 − 3 −1 + 3 −b − ∆ −b + ∆ = = x1 = et x2 = = −2 −1 = 4 2a 2a 2× 2 2 × −1 2 La courbe P2 coupe donc l'axe des abscisses en deux points : A (4 ; 0) et B(−2 ; 0). 6. Pour étudier la position relative des courbes P1 et P2 , on étudie le signe de f (x) − g(x).
1 1 1 1 3 3 f (x) − g(x) = x2 − x + 1 − (− x2 + x + 4) = x2 − x + 1 + x2 − x − 4 = x2 − x − 3 2 2 2 2 2 2
On calcule le discriminant de P (x) =
3 2 3 x − x−3 : 2 2
3 3 9 9 + 4 × 18 81 ∆ = (− )2 − 4 × × (−3) = + 18 = = >0 2 2 4 4 4 Le polynôme P (x) a donc deux racines : √ 3 −9 −b − ∆ −3 x1 = = 2 32 = = −1 2a 3 2× 2
et
√ 3 +9 6 −b + ∆ x2 = = 2 32 = = 2 2a 3 2× 2
De plus, on sait que P (x) est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire de a (négatif) à l'intérieur des racines. Ainsi, sur ] − ∞ ; −1[∪]2 ; +∞[, f (x) − g(x) > 0 et donc P1 est au dessus de P2 ; sur ] − 1 ; 2[, f (x) − g(x) < 0 donc P1 est en-dessous de P2 et les deux paraboles se coupent aux points d'abscisses -1 et 2.
Exercice 2 : 1. On lit les images par f et par g du nombre 18. Le point d'abscisse 18 appartenant à Cg a pour ordonnée environ 52 : cela signi e que pour un prix unitaire de 18 e le nombre de produits oerts est environ égal à 52. Le point d'abscisse 18 appartenant à Cf a pour ordonnée environ 25 : cela signi e que pour un prix unitaire de 18 e le nombre de produits demandés est environ égal à 25. 2. Le prix d'équilibre de ce produit (lorsque l'ore et la demande sont égales) correspond à l'abscisse du point d'intersection entre les courbes Cf et Cg . On lit graphiquement que ce prix d'équilibre est égal à 12. 3. Au prix d'équilibre le nombre de produits oerts est l'ordonnée du point d'intersection entre les courbes Cf et Cg , c'est-à-dire 40. Le chire d'aaires est alors égal au nombre de produits demandés multiplié par le coût de ce produit soit 40 × 18 = 480 euros. 4. Lorsque f (x) − g(x) > 0 cela signi e qu'il y a plus de produits demandés que de produits oerts ; on ne pourra pas satisfaire tous les clients. Lorsque f (x) − g(x) < 0, cela signi e qu'il y a plus de produits oerts que de produits demandés ; certains produits seront alors invendus. Lorsque f (x) = g(x), le marché est à l'équilibre (c'est le prix idéal). Une étude de marché sert à déterminer ce prix d'équilibre. 5. Pour trouver le prix d'équilibre il faut résoudre f (x) = g(x).
f (x) = g(x) ⇔ 0, 05x2 −4x+80, 8 = 2x+16 ⇔ 0, 05x2 −4x−2x+80, 8−16 = 0 ⇔ 0, 05x2 −6x+64, 8 = 0 On détermine le discriminant : ∆ = (−6)2 − 4 × 0, 05 × 64, 8 = 36 − 12, 96 = 23, 04. Comme ∆ > 0, il y √ √ 6 − 23, 04 6 + 23, 04 a deux solutions qui sont : x1 = = 12 et x2 = = 108. On sait que x ∈ [2 ; 30], 2 × 0, 05 2 × 0, 05 il faut donc exclure la valeur x2 = 108. Le prix d'équilibre est alors égal à 12.
Exercice 3 : 1. (a) Comme la surface de l'eau est tangente à la bille, la hauteur h d'eau dans le cylindre correspond au diamètre de la bille soit 10 cm. (b) Le volume occupé par la boule et l'eau correspond au volume d'un cylindre dont la base a pour rayon r = 10 cm et la hauteur est h = 10 cm.
V = π × r2 × h = 103 π = 1000π
(en cm3 )
4 (c) Le volume de la boule (en cm3 ) est V ′ = πR3 où R désigne le rayon de la boule, donc ici R = 5. 3 4 125 × 4 500 ′ 3 Ainsi, V = π × 5 = π= π . Or, V0 + V ′ = V donc 3 3 3 V0 = V − V ′ = 1000π −
500 3000 − 500 2500π π= π= 3 3 3
2. (a) On commence par déterminer le volume du cylindre (noté Vc ) formé par la surface de l'eau et correspondant au volume occupé par l'eau et la boule. Il s'agit d'un cylindre dont la base a pour rayon r = 5 et la hauteur correspond au diamètre de la boule donc h = 2x.
Vc = π × r2 × h = π × (10)2 × (2x) = 200πx Le volume V (x) occupé par l'eau correspond à la diérence entre Vc et le volume de la boule Vb qui, cette fois-ci, a pour rayon x.
4 4 Vb = πR3 = πx3 3 3
4 V (x) = Vc − Vb = 200πx − πx3 3
puis
On conclut alors que
4 2500 4 × 50 × 3 4 4 × 625 4π f (x) = V (x)−V0 = 200πx− πx3 − = πx− πx3 − π= (150x−x3 −625) 3 3 3 3 3 3 4π 4π (−53 + 150 × 5 − 625) = (−125 + 750 − 625) = 0 donc f (x) peut 3 3 se factoriser sous la forme f (x) = (x − 5) × Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2.
(b) On remarque que f (5) = Pour tout x ∈]0 ; 10],
(x − 5)(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx − 5ax2 − 5bx − 5c = ax3 + (b − 5a)x2 + (c − 5b)x − 5c Ainsi,
f (x) = ⇔ ⇔
⇔
4π (x − 5)(ax2 + bx + c) pour tout x ∈]0 ; 10] 3 4π 4π (−x3 + 150x − 625) = [ax3 + (b − 5a)x2 + (c − 5b)x − 5c] pour tout x ∈]0 ; 10] 3 3 −x3 + 150x − 625 = ax3 + (b − 5a)x2 + (c − 5b)x − 5c pour tout x ∈]0 ; 10] a = −1 a = −1 b = 5a = −5 b − 5a = 0 (par identi cation) ⇔ c = 150 + 5b = 150 − 25 = 125 c − 5b = 150 625 −5c = −625 c= = 125 5
4π (x − 5)(−x2 − 5x + 125) 3 (c) La surface de l'eau est tangente à la boule si et seulement si V (x) = V0 c'est-à-dire f (x) = 0. Ainsi, pour tout x ∈]0 ; 10], f (x) =
f (x) = 0 ⇔ (x − 5)(−x2 − 5x + 125) = 0 ⇔ x − 5 = 0 ou − x2 − 5x + 125 = 0 On cherche les racines de Q(x) = −x2 − 5x + 125 en calculant son discriminant. ∆ = (−5)2 + 4 × 125 = 25 + 500 = 525 > 0. Il y a deux racines : √ √ 5 − 23 5 + 525 5 + 23 5 − 525 ≃ soit x1 ≃ 9 et x2 = ≃ soit x2 ≃ −14 x1 = −2 −2 −2 −2 Comme x désigne une distance, on peut éliminer la valeur négative x2 obtenue. La surface de l'eau sera tangente à la boule seulement pour un rayon de 5 cm et d'environ 9 cm. 4π 4π (x − 5)(−x2 − 5x + 125) sur ]0 ; 10]. Le nombre = est positif. (d) On cherche le signe de f (x) = 3 3 Signe de (x − 5) : x − 5 > 0 ⇔ x > 5 Signe de Q(x) = −x2 − 5x + 125. C'est un polynôme du second degré dont les racines sont x1 et x2 , Q(x) est donc du signe de son coe cient dominant (a = −1) donc ici négatif à l'extérieur des racines et du signe contraire de a (positif) à l'intérieur des racines. Comme x2 < 0 alors Q(x) sera positif ]0 ; x1 ] (intérieur des racines) et négatif sur [x1 ; 10] (extérieur des racines
x signe de x − 5 signe de Q(x) signe de f (x)
0
||
+
5 0 | 0
+ + +
x1 ≃ 9 | 0 0
+
10
(e) Les boules sortent de l'eau lorsque le volume d'eau nécessaire pour recouvrir la boule est plus grand que le volume d'eau V0 donc lorsque f (x) > 0. C'est le cas pour x ∈]5 ; x1 [ d'après le tableau de signe précédent (avec x1 ≃ 9) Les boules sont recouvertes par l'eau lorsque V (x) < V0 donc pour f (x) < 0, c'est à dire quand x ∈]0 ; 5[∪]x1 ; 10] (avec x1 ≃ 9).
Exercice 4 : Soit x le nombre de personnes et y la part de chacun. On sait que xy = 720 et (x − 5)(y + 2) = 720
puisque x − 5 représente le nombre de personnes avec 5 personnes de moins et y + 2 la part correspondant à { xy = 720 (1) 2 euros de plus. On doit donc résoudre le système (S) : (x − 5)(y + 2) = 720 (2) 720 y= y = 720 (1) (1) x x (S) ⇔ ⇔ (x − 5)( 720 + 2) = 720 (2) 720 + 2x − 5 × 720 − 10 = 720 (2) x x 720 720 (1) (1) y= y= x x ⇔ ⇔ 2x2 − 3600 − 10x 2x − 3600 − 10 = 0 (2) = 0 (2) x x Comme x ̸= 0 (c'est un nombre de personnes), la deuxième équation devient : 2x2 − 10x − 3600 = 0 ou encore en divisant par 2 : x2 − 5x − 7225 > 0. Il y a donc √1800 = 0. On √ calcule le discriminant : ∆ = 25 + 4 × 1800 = √ 5 − 7225 5 − 85 80 −b + ∆ 5 + 85 −b − ∆ = = =− = −40 et x2 = = = 45. deux racines : x1 = 2a 2 2 2 2a 2 Mais x est un nombre entier positif (nombre de personnes) donc x = 45 puis, en remplaçant dans l'équation 720 (1), on obtient y = = 16. Il y a donc 45 personnes et la part de chacun est de 16 euros. 45
