COURS DE THERMODYNAMIQUE

I.U.T. de Saint-Omer Dunkerque D´epartement G´enie Thermique et ´energie

COURS DE THERMODYNAMIQUE 2 eme Semestre

Olivier PERROT 2010-2011

1

Avertissement : Ce cours de thermodynamique pr´esente quelques applications aux machines thermiques des deux premiers principes de la thermodynamique. La pr´esentation des ces applications refl`ete grossi`erement la chronologie de l’histoire industrielle. Elle correspond ´egalement a` l’´evolution (complexit´e) de ces machines. En cons´equence les chapitres ne sont pas ´equilibr´es : nous n’abordons dans ce document que les machines dont la description `a l’aide des cycles thermodynamiques ´el´ementaires reste significative. Cette pr´esentation r´esulte de la lecture de nombreux ouvrages et documents dont la plupart ne sont pas cit´es dans la bibliographie. En particulier, je me suis largement inspir´e du polycopi´e du professeur R. Houdart, ainsi que des nombreux documents accessibles en ligne.

2

Bibliographie :

1. G. BRUHAT, Thermodynamique, Edition Masson 2. J.P.LONCHAMP, Thermodynamique et introduction `a la physique statistique, Edition Eyrolles 3. J.M.SMITH et H.C. VAN HESS, Introduction to chemical engineering thermodynamics, Edition Mc Graw-Hill 4. J.C. SISSI, Principes de thermodynamique, Edition Mc GrawHill 5. R. VICHNIEVSKY, Thermodynamique appliqu´ee aux machines, Edition Masson 6. C. LHUILLIER, J. ROUS, Introduction `a la thermodynamique, Edition Dunod 7. F. REIF, Physique statistique, Edition Armand Colin 8. H. GUENOCHE, C. SEDES, Thermodynamique appliqu´ee, Edition Masson 9. H.LUMBROSO, Thermodynamique , 100 exercices et probl`emes r´esolus, Edition Mc Graw-Hill 10. J.L. QUEYREL, J. MESPLEDE, Pr´ecis de physique, thermodynamique, cours et exercices r´esolus, Edition R´eal 11. A. MOUSSA, P. PONSONNET, Exercices de themodynamique, Edition Andr´e Desvigne 3

Table des mati` eres 1 G´ en´ eralit´ es sur les machines thermiques 1.1 Les machines alternatives `a combustion externe 1.2 Les machines alternatives `a combustion interne 1.3 Turbines a` combustion externe . . . . . . . . . . 1.4 Turbines a` combustion interne . . . . . . . . . .

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7 7 8 9 9

2 Moteurs ` a combustion interne 2.1 Cycle de Lenoir . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Calcul des travaux . . . . . . . . . . . 2.1.3 Calcul du rendement . . . . . . . . . . 2.2 Cycle de Beau de Rochas . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Cycle de Beau de Rochas : description 2.2.3 Calcul des travaux . . . . . . . . . . . 2.2.4 Calcul du rendement . . . . . . . . . . 2.3 Cycle de Beau de Rochas `a longue d´etente . . 2.3.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Calcul des travaux . . . . . . . . . . . 2.3.3 Calcul du rendement . . . . . . . . . . 2.4 Cycle `a admission partielle . . . . . . . . . . . 2.5 Cycle di´esel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Calcul des travaux . . . . . . . . . . . 2.5.3 Calcul du rendement . . . . . . . . . .

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11 11 11 12 14 15 15 17 19 20 24 24 25 27 28 30 30 33 33

3 Moteurs ` a combustion externe 3.1 Le moteur de Stirling : cycle th´eorique 3.2 Moteur de Stirling : cycle exp´erimental ´ 3.2.1 Etude cin´ematique a` 1 piston . 3.2.2 Cin´ematique a` 2 pistons . . . .

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35 35 38 38 40

4

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` TABLE DES MATIERES 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6

´ Etude thermodynamique . . . . . . . . . . . . . Application num´erique . . . . . . . . . . . . . . Comparaison avec le cycle de Stirling th´eorique Calcul du rendement . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Turbines ` a vapeur er 4.1 Le 1 principe : syst`emes ouverts stationnaires . . . . . . . 4.2 Turbines a` vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Cycle th´eorique d’une machine `a vapeur : cycle de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Cycle de Rankine : bilan ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . 4.4 Cycle de Hirn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Cycle de Hirn avec resurchauffe . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Cycle avec soutirage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Le cycle supercritique a` vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 La cog´en´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Bilan exerg´etique d’un syst`eme ditherme . . . . . . . . . . . 4.10 Rendement exerg´etique du moteur thermique . . . . . . . . . 4.11 Rendement exerg´etique d’une turbine . . . . . . . . . . . . . 4.12 Variation d’exergie d’un syst`eme avec l’ext´erieur : fonction ´energie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Fonction enthalpie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Rendement exerg´etique du moteur thermique . . . . . . . . . 4.15 Rendement exerg´etique d’une pompe a` chaleur . . . . . . . . 4.16 Rendement exerg´etique d’une installation de cog´en´eration . .

5

. . . .

42 43 45 45

48 . 48 . 50 . . . . . . . . . .

51 53 55 58 58 61 61 63 65 66

. . . . .

66 67 70 72 74

Table des figures 2.1 2.2 2.3

Cycle de Lenoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Rendement du cycle de Lenoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Cycle `a admission partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et T2 = 273 ˚K . et T1 = 573 ˚K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . avec . . . . . .

. . . . . . .

3.9

Cycle de Stirling . . . . . . . . . . Couplage des pistons . . . . . . . . Couplage des pistons . . . . . . . . Course des pistons . . . . . . . . . Volume des compartiments . . . . . Cylindre bitherme . . . . . . . . . . Cycle de Stirling pour T1 = 373 ˚K Cycle de Stirling pour T1 = 373, T2 = 273 ˚K . . . . . . . . . . . . Cycle de Stirling th´eorique . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle Cycle

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

de Rankine en vapeur humide d’une turbine a` vapeur . . . . de Rankine . . . . . . . . . . de Hirn . . . . . . . . . . . . de Hirn . . . . . . . . . . . . de Hirn avec resurchauffe . . de Hirn avec resurchauffe . . de Rankine . . . . . . . . . . de Rankine avec soutirage . . de Rankine avec soutirage . . supercritique . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

36 39 39 41 41 42 44

. 44 . 45 51 52 52 56 58 58 59 59 60 60 61

Chapitre 1 G´ en´ eralit´ es sur les machines thermiques On distingue principalement quatre types de machines : 1. Les machines alternatives `a combustion externe ( anciennes machines a` vapeur) 2. Les machines alternatives a` combustion interne ( moteur a` essence, moteur di´esel... ) 3. Les turbines `a combustion externe ( centrales ´electriques...) 4. Les turbines `a combustion interne ( r´eacteurs...)

1.1

Les machines alternatives ` a combustion externe

Dans les machines alternatives la variation du volume est obtenue par un mouvement alternatif du piston qui est transform´e en mouvement rotatif du vilebrequin par l’interm´ediaire du syst`eme bielle-manivelle. Les premi`eres machines a` vapeur furent r´ealis´ees successivement par Papin, Newcomen et Jauffroy au d´ebut du 18e si`ecle. Dans ces machines, la vapeur provenant de la chaudi`ere p´en`etre directement dans le cylindre. Les communications entre la chaudi`ere et le cylindre sont r´egul´ees par des robinets manœuvr´es par des hommes. Malgr´e l’automatisation de l’admission et de l’´echappement de la vapeur propos´ee par Watt, en ´equipant les machines d’un « tiroir de distribution », le rendement reste tr`es faible. De plus ces machines pr´esentaient deux autres inconv´enients principaux : 1. une longue p´eriode de mise en chauffe 2. un encombrement important 7

´ ERALIT ´ ´ SUR LES MACHINES THERMIQUES CHAPITRE 1. GEN ES

1.2

Les machines alternatives ` a combustion interne

Dans les machines alternatives a` combustion interne, la combustion s’effectue au sein mˆeme du fluide moteur. C’est le mˆeme fluide qui repousse le piston et qui subit une combustion. Exemples moteur `a essence, moteur di´esel... La conception des moteurs a` combustion interne remonte a` la deuxi`eme partie du 19e si`ecle. Le premier moteur `a explosion industriel est le moteur `a gaz r´ealis´e par Lenoir en 1859. Son rendement ne devint bon que lorsque Otto lui appliqua en 1877 la compression imagin´ee par Beau de Rochas. Ces moteurs sont `a 2 ou a` 4 temps. Le piston a` double effet n’est plus utilis´e. La combustion est provoqu´ee soit : – par une ´etincelle a` un instant donn´e (moteur a` essence) – par pulv´erisation du carburant dans l’air chaud sous pression. D´eveloppement chronologique : 1860 : Cycle de Lenoir moteur `a deux temps avec piston a` double effet, la pression agissant a` chaque demi-tour sur l’une des faces du piston. 1862 : Cycle de Beau de Rochas. Beau de Rochas propose un moteur a` quatre temps. La mˆeme ann´ee Otto ( Allemagne ) r´ealise le moteur a` quatre temps. 1892 : Cycle Di´ esel. Di´esel d´epose un brevet sur un moteur a` allumage par compression A l’origine il souhaitait brˆ uler de la poussi`ere de charbon dans de l’air surchauff´e et comprim´e. Son moteur commencera a` fonctionner avec une injection d’huile lourde. Propri´ et´ es du moteur ` a combustion interne Le moteur a` combustion interne est caract´eris´e par : • Un taux de compression faible pour les moteurs `a essence (8 a` 10), plus ´elev´e (pour le moteur di´esel). • Une pr´eparation du m´elange du combustible ( carburateur, injection...) • Un allumage du m´elange combustible en fin de compression • Une combustion produisant des polluants N O2 , CO2 • Un diam`etre du cylindre compris entre quelques mm et 200 mm maximum.

8

´ ERALIT ´ ´ SUR LES MACHINES THERMIQUES CHAPITRE 1. GEN ES

1.3

Turbines ` a combustion externe

Principe : Un fluide pr´ealablement chauff´e ou surchauff´e par une source ext´erieure ( gaz, fuel, ...) met en mouvement rotatif un arbre sur lequel sont fix´ees des aubes. Contrairement aux machines alternatives elles transforment de fa¸con continue l’´energie thermique en ´energie m´ecanique. Il en r´esulte une am´elioration du rendement par rapport aux machines alternatives ainsi que la possibilit´e de travailler sur des machines de grosses puissances. Le cycle comprend fondamentalement deux changements d’´etat ( ´evaporation et condensation). En pratique la temp´erature est limit´ee a` 550 ou 580 ˚C, tandis que la pression est de l’ordre de 200 bars. Une turbine est constitu´ee d’un rotor comprenant un arbre sur lequel sont fix´ees les aubes et, d’un stator constitu´e d’un carter portant des d´eflecteurs. Applications : Les turbines a` vapeur sont tr`es employ´ees dans les centrales thermiques de forte et moyenne puissance pour la production d’´electricit´e. Elles sont ´egalement employ´ees dans le domaine de la propulsion navale. Pour les petites puissances la fonction d’entraˆınement est en voie de disparition au profit des moteurs ´electriques.

1.4

Turbines ` a combustion interne

Une turbine a` gaz est un moteur thermique produisant de l’´energie m´ecanique a` partir de l’´energie contenue dans un hydrocarbure. Principe : Un compresseur constitu´e d’un ensemble de roues munies d’ailettes comprime l’air ext´erieur. Du gaz est inject´e dans la chambre de combustion o` u il se m´elange a` l’air compress´e et s’enflamme. Les gaz chauds se d´etendent en traversant la turbine transformant l’´energie thermique en ´energie m´ecanique. Le turbor´eacteur est une turbine `a gaz utilisant le principe de r´eaction comme propulseur. Une turbine a` gaz est souvent `a cycle ouvert, c’est-`a dire que le refroidissement s’effectue `a l’ext´erieur de la machine. 9

´ ERALIT ´ ´ SUR LES MACHINES THERMIQUES CHAPITRE 1. GEN ES Applications : Les turbines a` gaz sont employ´ees dans le propulsion de navires, d’avions. Comme la turbine a` vapeur la turbine `a gaz est ´egalement employ´ee dans la production d’´electricit´e et d’une fa¸con g´en´erale pour toutes les applications dont le r´egime et la charge sont constantes. La liste des applications est limit´ee par les contraintes suivantes : – taux de compression, – temp´erature de combustion – chute du rendement pour une faible charge – inaptitude aux changements de r´egime.

10

Chapitre 2 Moteurs ` a combustion interne 2.1 2.1.1

Cycle de Lenoir Description

Le cycle de Lenoir est un moteur a` deux temps, tr`es semblable aux premi`eres machines a` vapeur : 1

er

2

e

temps Admission, combustion, d´etente ´ temps Echappement

Le piston est a` double effet, la pression agissant a` chaque demi-tour sur l’une des faces : Admission Echappement

Les phases du cycle se d´ecomposent dans l’ordre suivant : 0 → 1 admission, inflammation en (1) 1 → 2 combustion isochore 2 → 3 d´etente adiabatique 11

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

P

2

0

3

1

V

Fig. 2.1 – Cycle de Lenoir 3 → 0 ´echappement des gaz La surface de ce cycle est totalement d´etermin´ee a` partir d’un seul param`etre : ε=

V3 V1

ou δ =

T2 P2 = T1 P1

Cherchons une relation entre entre ε et δ 2 → 3 adiabatique ⇒ P2 V2γ = P3 V3γ P2 P2 = = P3 P1



V3 V2

δ=

2.1.2

γ

 =

V3 V1

γ

P2 = εγ P1

(2.1)

Calcul des travaux

0 → 1 admission : W01 = −P0 (V1 − V0 ) = −P0 V1

12

(2.2)

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A 1 → 2 combustion :  Q12 = CV (T2 − T1 ) = CV T1

 T2 T2 P2 − 1 soit puisque δ = = T1 T1 P1

taux de compression. Q12 = CV T1 (δ − 1)

(2.3)

2 → 3 d´etente adiabatique : W23 = ∆U = CV (T3 − T2 )   T3 T2 = CV T1 − T1 T1   T3 T2 T2 − = CV T1 T2 T1 T1

Calcul de

V3 T3 en fonction de ε = T2 V2

2 → 3 adiabatique ⇒ T2 V2γ−1 = T3 V3γ−1 T3 = Soit : T2



V2 V3

γ−1

 =

V1 V3

γ−1

= ε1−γ



W23 = CV T1 ε1−γ δ − δ = CV T1 δ ε1−γ − 1 Travail total

Wtot = W01 + W23 + W30
= −P0 V1 + CV T1 δ ε1−γ − 1 + P0 V3 Avec : P0 V1 = RT1 = (γ − 1) CV T1 P0 V3 = P3 V3 = RT3 = (γ − 1) CV T3 = (γ − 1) CV T1 δ ε1−γ 13




(2.4)

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A


Wtot = − (γ − 1) CV T1 + CV T1 δ ε1−γ − 1
+ (γ − 1) CV T1 δ ε1−γ 
 Wtot = CV T1 1 − γ + εγ ε1−γ − 1 + (γ − 1) εγ ε1−γ = CV T1 [1 − γ + ε − εγ + (γ − 1) ε] = CV T1 [1 − γ − εγ + γ ε] Wtot = CV T1 [1 − γ − εγ + γ ε]

2.1.3

Calcul du rendement

Par d´efinition le rendement est d´efini comme le rapport du travail total fourni sur l’´energie consomm´ee au cours d’un cycle soit :

η=−

Wtot − [CV T1 (1 − γ − εγ + γ ε)] = Q12 CV T1 (εγ − 1) γ ε −1+γ−γε = εγ − 1 γ (1 − ε) =1+ γ ε −1 γ (ε − 1) =1− γ ε −1 η =1−

γ (ε − 1) εγ − 1

Le rendement du cycle de Lenoir croit avec : 1. le rapport γ P2 2. le taux de compression P1 η =1−

γ (ε − 1) εγ − 1

Remarque : Pour γ = 1 le rendement du cycle de Lenoir est ´egal a` 0 quelque soit le taux de compression.

14

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

η

1 γ =1,8

0.8 γ =1,6

0.6 γ =1,4

0.4 0.2 0

0

2

4

6

8

ε

Fig. 2.2 – Rendement du cycle de Lenoir

2.2 2.2.1

Cycle de Beau de Rochas Description

Ce moteur a` allumage command´e est un moteur a` quatre temps : c’est le cycle th´eorique des moteurs a` essence

Admission

Compression

Explosion Echappement Détente

15

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A 1er temps : admission P

A

B

Admission

V

Le piston aspire le m´elange gazeux `a pression constante 2e temps : compression P C

B Compression

V

Le piston comprime de fa¸con adiabatique le m´elange. 3e temps : Explosion-d´ etente

P

D

C E

Explosion Détente

V

16

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A La combustion ´etant tr`es rapide, le volume n’a pas le temps de varier : la pression augmente rapidement de C en D. Puis la combustion est suivie d’une d´etente adiabatique de D en E.

P

D

E B

A

V

Ouverture soupape, échappement et refoulement des gaz brulés

Le piston se d´eplace en chassant `a pression constante les produits de combustion jusqu’au moment ou il revient au point de d´epart du cycle.

2.2.2

Cycle de Beau de Rochas : description

Ce cycle se compose de deux transformations isentropiques et de deux transformations isochores.

P

D

Wth C E A B V

17

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

La surface de ce cycle ne d´epend que de deux param`etres : ε = δ=

TD PD = TC PC

VB et VC

D´eterminons les temp´eratures TC , TD et TE en fonction de TB , ε et δ B → C adiabatique ⇒ TB VBγ−1 = TC VCγ−1 (a) D → E adiabatique ⇒ TD VDγ−1 = TE VEγ−1 (b)  (a) =⇒ TC = TB

VB VC

γ−1

= TB εγ−1 TC = TB εγ−1

TD = δ TC = TB δ εγ−1 γ−1  γ−1 VC VD = TD (b) =⇒ TE = TD VE VB γ−1 1−γ = TB δ ε ε = TB δ 

TE = TB δ Validit´ e des hypoth` eses : 1. Rapidit´ e de transformations adiabatiques Les transformations BC et DE ne peuvent ˆetre consid´er´ees comme des adiabatiques que si elles sont tr`es rapides pour limiter le flux de chaleur vers le milieu ext´erieur. Si l’on consid`ere qu’un moteur d’automobile tourne a` environ 4000 tours/min, le vilebrequin effectuant 2 tours par cycle, il y a 2000 cycles/min, soit une dur´ee d’un cycle de 3 10−2 s. La transformation est donc rapide. 2. R´ eversibilit´ e Les transformations du cycle ne seront r´eversibles que si la temp´erature des parois du moteur suivent les variations de temp´erature du syst`eme. Cette condition est impossible `a r´ealiser car les parois doivent ˆetre 18

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A refroidies ( par circulation d’air ou d’eau ) afin de ne pas subir de d´eformations. Les transformations r´ eelles sont donc irr´ eversibles . Cycle th´eorique et cycle r´eel P

D

D’

P Wth

C’

Wind

C E E’

A A’

B

B’

V

V

Cycle th´eorique

Cycle r´eel

Dans le cas du cycle r´eel le travail de transvasement A0 B 0 A0 n’est pas nul.

2.2.3

Calcul des travaux

Les travaux ´echang´es pendant les op´erations de transvasement AB et BA sont ´egaux et de signe oppos´es, ils s’annulent donc sur un cycle. P

D

Wth C E A B V

Wtot. = WBC + WCD + WDE + WEB Wtot. = WBC + WDE Expression de WBC 19

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

CV PC VC − PB VB = (PC VC − PB VB ) γ−1 R = CV (TC − TB )
= CV TB εγ−1 − 1

WBC =

(2.5)

Expression de WDE CV PE VE − PD VD = (PE VE − PD VD ) γ−1 R = CV (TE − TD )

WDE =

Le travail total ´echang´e par le gaz au cours d’un cycle est donc :



Wtot = CV TB εγ−1 − 1 + CV TB δ − εγ−1 δ
= CV TB εγ−1 − 1 + δ − εγ−1 δ
= CV TB εγ−1 (1 − δ) − (1 − δ)
= CV TB (1 − δ) εγ−1 − 1
Wtot = CV TB (1 − δ) εγ−1 − 1

2.2.4

Calcul du rendement

En consid´erant que CV est constant au cours d’un cycle, les quantit´es de chaleur ´echang´ees avec l’ext´erieur sont : ∆QCD = CV (TD − TC ) ∆QEB = CV (TB − TE ) W QCD + QEB QEB = =1+ QCD QCD QCD TB − TE =1+ TD − TC

ν=−

20

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

 TE TB 1 − TB   =1− TD TC 1 − TC 

ν =1+

or :

TB − TE TD − TC

TD TE = TB TC

Le rendement s’´ecrit donc :

TB ν =1− =1− TC



VC VB

γ−1 =1−

1 εγ−1

´ Evolution du rendement en fonction du rapport volum´ etrique ε η =1− η

1 εγ−1

1 γ = 1,8

0.8

γ = 1,6 γ = 1,4

0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

6

8

ε

10

Conclusion : Le rendement de ce cycle croˆıt avec : – le rapport volum´etrique, – le rapport γ. Le rapport γ du m´elange varie entre 1, 4 pour l’air et 1, 28 pour le m´elange air-carburant. Lorsque la richesse du carburant d´ecroˆıt, γ augmente. Cette

21

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A augmentation de γ provoque une augmentation du rendement. Si l’on souhaite augmenter le rendement, on a donc int´erˆet `a diminuer la richesse du carburant. Comparaison des rendements : cycle de Lenoir et cycle de Beau de Rochas, γ = 1, 4

ηBeau de rochas = 1 −

η

1

ηLenoir = 1 −

εγ−1

γ (ε − 1) εγ − 1

1 0.8 Beau de rochas 0.6

Lenoir

0.4 0.2 0 0

2

4

6

8

ε

10

Remarque : La quantit´e de chaleur QCD fournie par la combustion du carburant entre les points C et D, pour l’unit´e de masse du carburant, provoque une augmentation de temp´erature et de pression ( V = C te ) telle que : QCD = m cV (TD − TC ) o` u m est la masse du m´elange air + carburant. Notons Tcomb =

QCD l’augmentation de temp´erature, soit : m cV

Tcomb = TD − TC L’expression du travail total Wtot devient :

22

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A


Wtot = CV TB (1 − δ) εγ−1 − 1  
TD εγ−1 − 1 = CV TB 1 − TC  
TC + Tcomb = CV TB 1 − εγ−1 − 1 TC  
Tcomb γ−1 = CV TB − ε − 1 TB εγ−1 εγ−1 − 1 = −CV Tcomb γ−1  ε 1 = −CV Tcomb 1 − γ−1 ε = −CV Tcomb η (ε) Conclusion : Le travail total ´echang´e au cours du cycle est proportionnel au rendement du cycle η (ε). Selon le pouvoir calorifique du carburant Tcomb varie de 1000˚K a` 3000˚K. Prenons : Tcomb = 1500˚K , γ = 1, 3 et R cV = ' 1000 J . kg −1 M (γ − 1) Le travail ´echang´e au cours du cycle par unit´e de masse de carburant est :   R 1 Wtot = Tcomb 1 − γ−1 J . kg −1 M (γ − 1) ε Wtot

  R 1 Tcomb 1 − γ−1 = M (γ − 1) ε

J . kg −1

|W tot | (J) 8e5

γ = 1.3

γ = 1.2

γ = 1.4

6e5

4e5

2e5

0 2

4

6

8

10

23

12

14

16

18

ε

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

2.3

Cycle de Beau de Rochas ` a longue d´ etente

2.3.1

Description

Pour que le travail ´echang´e entre le syst`eme gazeux et le piston soit ´elev´e, on allonge la course du piston. Cette modification s’accompagne d’un retard de la fermeture de la soupape d’admission (entre B 0 et B.

P D δ=

PD PC

Wth

C

E E’ A B ε=

B’

VB VC Σ =

V V B’ VC

A

A

D E

Détente

E

B

E’

B’

Longue détente

C B

B’

B’

échappement

admission

B’

retard fermeture soupape

Notations : ce cycle d´epend de trois param`etres : ε=

VB VC

Σ=

VE 0 VD

24

et δ =

B

PD PC

compression

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A Calcul des temp´eratures TC , TD , TE 0 et TB 0 en fonction de TB TC = TB εγ−1 TD = TB δ εγ−1 D → E 0 adiabatique ⇒ TD VDγ−1 = TE 0 VEγ−1 (a) 0  γ−1   γ−1 1 ε TE 0 = TD = TB δ Σ Σ  ε γ−1 TE 0 = TB δ Σ −→

B

B 0 isobare =⇒

VB VB 0 = TB TB 0 TB 0

2.3.2

P

  Σ = TB ε

Calcul des travaux

D

C

Wth E E’

A B

B’ V

WAB WBC WDE WBA

est inchang´e est inchang´e devient WDE 0 devient WB 0 A

Wtot = WAB + WBC + WCD + WDE 0 + WE 0 B 0 + WB 0 B + WBA = WBC + WDE 0 + WB 0 B 25

(2.6)

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A Remarque : La modification de la surface du cycle correspond a` : WEE 0 + WB 0 B

P

D

P

D

C

C W

EE’

WB’B < 0

>0 E

E E’ B

B

B’

Calcul de WBC WBC inchang´e.
WBC = CV TB εγ−1 − 1 Calcul de WDE 0 WDE 0 = CV (TE 0  − TD )   ε γ−1 γ−1 WDE 0 = CV TB δ −ε Σ
WDE 0 = CV TB εγ−1 δ Σ1−γ − 1

Calcul de WB 0 B B

−P dV = − (PB VB − PB VB 0 ) = PB VE 0 − PB VB

WB 0 B =

B’ V

V

Z

E’

A

A

B0

26

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A VE 0 = VD Σ =

Σ VB ε

WB 0 B

  Σ Σ = PB VB − PB VB = − 1 R TB ε ε   Σ = − 1 CV (γ − 1) TB ε

 WB 0 B = CV TB (γ − 1)

 ∆ −1 ε

Calcul de Wtot

Wtot = WBC + WDE 0 + WBB 0

= CV TB εγ−1 − 1 + CV TB εγ−1 δ Σ1−γ − 1   Σ −1 + CV TB (γ − 1) ε   
Σ γ−1 γ−1 1−γ = CV TB ε −1+ε δ Σ − 1 + (γ − 1) −1 ε

2.3.3

Calcul du rendement

ν=−

Wtot QCD

Expression de QCD : QCD = CV (TD − TC ) En rempla¸cant TD et TC par leur valeur

QCD = CV TB εγ−1 δ − TB εγ−1 = CV TB εγ−1 (δ − 1)

27

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A



CV TB εγ−1 − 1 + εγ−1 δ (Σ1−γ − 1) + (γ − 1) ν=



 Σ −1 ε

CV TB (εγ−1 (δ − 1))  ε

γ−1

−1+ε

γ−1

1−γ

δ (Σ

=

 − 1) + (γ − 1)

 Σ −1 ε

(εγ−1 (δ − 1))

δ ν =1−

 ε γ−1 Σ

 − 1 + (γ − 1)

 Σ −1 ε

εγ−1 (δ − 1)

Remarque 1 : Pour le cycle de Beau de Rochas E 0 = E soit : Σ=

VE VE = =ε VD VC

ν =1−

1 εγ−1

Remarque 2 : Dans le cas d’un cycle `a longue d´etente le travail est maximal si PE 0 = PA

2.4

Cycle ` a admission partielle

La r´egulation de la puissance des moteurs `a allumage command´e est effectu´ee en faisant varier la pression du m´elange p´en´etrant dans le cylindre lors de l’admission. En diminuant la pression d’admission, on diminue la surface du cycle et donc le travail total et inversement. Remarque : Le calcul des caract´eristiques du cycle doit faire intervenir le travail des op´erations de transvasement : – Admission a` la pression :Padm . ´ – Echappement a` la pression Patm . 28

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

D

P

C E Patm

A B

Padm V Fig. 2.3 – Cycle a` admission partielle Expression du travail total :


εγ−1 (1 − δ)    Padm 1 −1 −1 − (γ − 1) ε Patm

Wtot = CV TA0



Expression du rendement : ν =1−  (γ − 1) Avec c = 1 +

c εγ−1   1 Padm −1 −1 ε Patm δ−1

Remarque : Si Padm = Patm , on retrouve le rendement du cycle atmosph´erique de Beau de Rochas.

29

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

2.5 2.5.1

Cycle di´ esel Description

Ce moteur `a combustion interne fonctionne par allumage spontan´e du gazole inject´e dans l’air pr´ealablement comprim´e, sous pression ´elev´ee. Cette forte compression appliqu´ee `a l’air seul ne pr´esente aucun risque d’inflamation. Le taux de compression peut atteindre la valeur de 20. Le carburant n´ecessite un raffinage moins pouss´e que celui de l’essence. Comme le moteur a` essence le moteur Di´esel est un moteur `a quatre temps :

Admission

Compression Explosion Echappement Détente

1er temps : admission L’air seul est admis dans le cylindre P

A

B

Admission

V

2e temps : compression P C

B Compression

V

30

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A Le piston comprime l’air de fa¸con adiabatique. La temp´erature s’´el`eve jusqu’`a 600 ˚C et la pression peut atteindre 20 a` 25 bars. 3e temps : Explosion-d´ etente C

P

D

E

Injection Détente

V

Quand le volume est minimal, le combustible est inject´e finement pulv´eris´e. Il s’enflamme spontan´ement et continue de brˆ uler pendant que le piston commence a` descendre. La pression se maintient `a sa valeur maximale malgr´e l’augmentation de volume. Apr`es l’inflamation la d´etente se poursuit de fa¸con isentropique. ´ 4e temps : Echappement

P

D

E A Ouverture soupape, échappement et refoulement des gaz brulés

B V

Le piston se d´eplace en chassant `a pression constante les produits de combustion jusqu’au moment ou il revient au point de d´epart du cycle. Ce cycle se compose de deux transformations isentropiques d’une transformation isobare et d’une transformation isochore. Ce cycle d´epend de deux param`etres :

31

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

Σ=

VD VC

C

P

D Wth

E A B ε=

VB VC

V

Calcul des temp´eratures TC , TD et TE en fonction de TB Calcul de TC

TC = TB εγ−1 Calcul de TD C −→ D isobare =⇒

TD = TC

VD = TC Σ VC

TD = TC Σ = TB εγ−1 Σ Calcul de TE D → E adiabatique ⇒ TD VDγ−1 = TE VEγ−1  γ−1  γ−1 VD Σ γ−1 TE = TD = TB ε Σ = TB Σγ VE ε TE = TB Σγ

32

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A

2.5.2

Calcul des travaux

Calcul de WBC WBC inchang´e.
WBC = CV TB εγ−1 − 1 Calcul de WCD WCD = −PC (VD − VC ) = PC VC (1 − Σ) = CV (γ − 1) TB εγ−1 (1 − Σ) WCD = CV (γ − 1) TB εγ−1 (1 − Σ) Calcul de WDE WDE = CV (TE − TD ) = CV TB Σγ − εγ−1 Σ




WDE = CV TB (Σγ − εγ−1 Σ) Calcul de Wtot Wtot = WBC + WCD + WDE = CV TB εγ−1 − 1 + (γ − 1) εγ−1 (1 − Σ)
+Σγ − εγ−1 Σ   = CV TB γεγ−1 (1 − Σ) + Σγ − 1

  Wtot = CV TB γεγ−1 (1 − Σ) + Σγ − 1

2.5.3

Calcul du rendement

ν=−

Wtot QCD

33

` COMBUSTION INTERNE CHAPITRE 2. MOTEURS A Expression de QCD : QCD = CP (TD − TC ) En rempla¸cant TD et TC par leur valeur
QCD = γ CV TB εγ−1 Σ − TB εγ−1 = γ CV TB εγ−1 (Σ − 1)

Wtot CV TB [γεγ−1 (1 − Σ) + Σγ − 1] =− QCD γ CV TB εγ−1 (Σ − 1) 1 Σγ − 1 = 1 − γ−1 γε Σ−1

ν=−

η =1−

1 Σγ − 1 γεγ−1 Σ − 1

Le rendement peut se mettre sous l’expression : ν =1−

C εγ−1

1 avec C = γ

34



Σγ − 1 Σ−1



Chapitre 3 Moteurs ` a combustion externe 3.1

Le moteur de Stirling : cycle th´ eorique

Le moteur de Stirling est un moteur a` combustion externe, comportant deux pistons. Son rendement ´elev´e permet de l’utiliser dans les installations de cog´en´eration. Ce moteur tr`es silencieux est ´egalement utilis´e pour motoriser certains navires de forces navales (sous-marins...) Consid´erons un cylindre comportant deux parties suppos´ees isothermes : – la partie haute est chauff´ee (brˆ uleur externe...), – la partie basse est refroidie (circulation d’eau froide....) 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 1111111111111111 000 111 0000000000000000 000 111 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Compartiment chaud

Compartiment froid

Piston déplaceur

1111111111111111 000 111 0000000000000000 000 111 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 000 111 0000000000000000 1111111111111111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 Piston de travail 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Compartiment chaud

Compartiment froid

Le moteur de Stirling utilise deux pistons : 1. le piston de travail dont la fonctionnalit´e r´eside dans la mise en rotation d’un arbre, par l’interm´ediaire d’une bielle.

35

` COMBUSTION EXTERNE CHAPITRE 3. MOTEURS A 2. le piston d´eplaceur, dont le rˆole est de r´epartir le volume de gaz entre le compartiment chaud et le compartiment froid. Consid´erons les transformations suivantes :

Compartiment chaud

Compartiment froid

Compression isotherme

Echauffement isochore

Détente isotherme

Refroidissement isochore

Ce cycle se compose de deux transformations isothermes et de deux transformations isochores.

P

D

Wth C E A B V

Fig. 3.1 – Cycle de Stirling La surface de ce cycle ne d´epend que de deux param`etres : ε = δ=

TD PD = TC PC

Expression de WBC et de QBC 36

VB et VC

` COMBUSTION EXTERNE CHAPITRE 3. MOTEURS A

Z WBC =

Z −P dV =

−R T

dV V

1 VC = −n R TB ln VB ε = n R TB ln ε > 0 = −n R TB ln

QBC = −WBC = −n R TB ln ε < 0 Expression de WCD et de QCD WCD = 0

 QCD = n CV (TD − TC ) = n CV TC

 TD −1 TC

= n CV TC (δ − 1) R TB (δ − 1) =n γ−1 Expression de WDE et de QDE

WDE = −n R TD ln ε = −n R TB δ ln ε

QDE = −WDE = n R TB δ ln ε Expression de WEB et de QEB WEB = 0

QEB

  TE = n CV (TB − TE ) = n CV TB 1 − TB = n CV TB (1 − δ) R =n TB (1 − δ) γ−1 37

` COMBUSTION EXTERNE CHAPITRE 3. MOTEURS A Le travail total ´echang´e par le gaz au cours d’un cycle est donc :

Wtot = n R TB ln ε − n R TB δ ln ε = n R TB ln ε (1 − δ) Bilan des ´ echanges de chaleur : Nous supposons que la chaleur re¸cue au cours de la transformation isochore CD est int´egralement restitu´ee au gaz au cours de la transformation EB. La chaleur re¸cue par le gaz au cours d’un cycle provient alors uniquement de la chaleur re¸cue au cours de la transformation DE soit : Qabs = QDE = n R TB δ ln ε Le rendement du cycle a pour expression : Wtot n R TB ln ε (1 − δ) =− Qabs n R TB δ ln ε 1 TC =1− =1− δ TD

η=−

C’est le rendement du cycle de Carnot.

3.2 3.2.1

Moteur de Stirling : cycle exp´ erimental ´ Etude cin´ ematique ` a 1 piston

Posons : a1 A1 (θ) b1 B1 (θ) c1 = C 1 d1 (θ) = D1 (θ)

: : : : : :

rayon de l’arbre projection horizontale de la bielle d’accouplement longueur de la bielle d’accouplement projection horizontale du point d’ancrage longueur de la bielle horizontale hauteur du volume gazeux

38

` COMBUSTION EXTERNE CHAPITRE 3. MOTEURS A θ

π/2

Fig. 3.2 – Couplage des pistons θ

b1 a

1

D1 ( θ )

B1 ( θ )

C1 L

A1(θ )

0

Fig. 3.3 – Couplage des pistons

A1 (θ) = a1 sin θ

B1 (θ) = b21 − (a1 cos θ)2

(3.1)


1/2

Calculons la longueur L0 en fonction de a1 , b1 et c1 : L0 = D1 (θ) + C1 + B1 (θ) + A1 (θ) Pour θ =

π le volume mort est nul soit : 2

39

(3.2)

` COMBUSTION EXTERNE CHAPITRE 3. MOTEURS A

π D1 ( ) = 0 , 2

π B1 ( ) = b1 2

π et A1 ( ) = a1 2

soit : L0 = a1 + b1 + c1 Soit en rempla¸cant
1/2 B1 (θ) = b21 − (a1 cos θ)2 et A1 (θ) = a1 sin θ il vient : D1 (θ) = a1 + b1 − a1 sin θ − b21 − a21 cos2 θ


(1/2)

Remarque : Si a1 0 appel´e « cr´eation d’entropie int´erieure » Le deuxi`eme principe s’´ecrit :  ∆S =

Q1 Q2 + T1 T2

 + ∆Sirr

Cr´ eation d’entropie int´ erieure Remarques :  1. ∆Se =

Q1 Q2 + T1 T2



peut ˆetre positif ou n´egatif dans le cas g´en´eral.   Q1 Q2 Pour un cycle : ∆Se = + ≤ 0. T1 T2 2. ∆Se se nomme la variation d’entropie due aux ´echanges d’´energie. 3. ∆Sirr est une quantit´e toujours positive. 63

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A 4. ∆Sirr se nomme la variation d’entropie due aux processus irr´eversibles. Pour un cycle de transformations quelconques, les deux principes conduisent aux ´equations : 1er principe : Q1 + Q2 + W = 0   Q1 Q2 e 2 principe : + + ∆Sirr = 0 T1 T2 Effectuons la diff´erence (1) − T0 (2) soit :     T0 T0 Q1 + 1 − Q2 + W − T0 ∆Sirr = 0 1− T1 T2 Appelons θ1 et θ2 les facteurs de Carnot d´efinis par :     T0 T0 θ1 = 1 − , θ2 = 1 − T1 T2 Le bilan exerg´etique s’´ecrit : θ1 Q1 + θ2 Q2 + W − T0 ∆Sirr = 0 θ1 Q1 + θ2 Q2 + W − T0 ∆Sirr = 0 avec : θ1 Q1 θ2 Q2 W T0 ∆Sirr

: : : :

exergie exergie exergie exergie

de la source 1 de la source 2 de l’´energie m´ecanique d´etruite , ou « anergie »

Remarques : 1. Le facteur de Carnot de l’´energie m´ecanique est ´egal a` 1 : l’´energie m´ecanique est une ´energie noble.   T0 2. Le facteur de Carnot d’une source a` la temp´eraure T , θ = 1 − T d´epend de la valeur de la temp´erature de r´ef´erence T0 . Cette temp´erature est souvent la temp´erature du milieu ambiant, ou la temp´erature du rejet thermique. 3. Si T = T0 , l’exergie de la source est nulle : on ne peut produire du travail en pr´elevant de l’´energie `a la temp´erature T0 et en refoulant l’´energie non utilis´ee a` la mˆeme temp´erature. 64

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A

4.10

Rendement exerg´ etique du moteur thermique

Pour un moteur ditherme fonctionnant entre les sources aux temp´eratures T1 et T2 , le rendement exerg´etique a pour expression : |W | + |θ2 Q2 | ηex = |θ1 Q1 | Si T2 = T0 alors : θ2 = 1 −

T0 =0 T0

et

θ1 = 1 −

ηex =

T2 = ηCarnot T1

|W | η = |θ1 Q1 | ηCarnot

∆ Q1 > 0

Si T2 = T0 alors

T1 ∆W T0 . Cette vapeur basse pression est exploit´ee dans une installation secondaire.

Q

1

Installation principale

Q2

T1 W T2

Installation secondaire

T0

Remarque pr´ eliminaire : – Si le cycle de la turbine est r´ eversible : θ1 Q1 + θ2 Q2 + W = 0 et donc ηex = 1 – Si le cycle de la turbine est irr´ eversible, les rapports | |

W | et Q1

Q1 | ne peuvent ˆetre d´efinis par l’interm´ediaire des temp´eratures car : Q2 Q1 T1 1. La machine est irr´eversible 6= Q2 T2 2. L’´egalit´e θ1 Q1 + θ2 Q2 + W = 0 n’est plus v´erifi´ee puisque θ1 Q1 + θ2 Q2 + W − T0 ∆Sirr = 0. Il faut donc se donner au moins deux rendements liant les quantit´es W , Q1 et Q2 .

4.12

Variation d’exergie d’un syst` eme avec l’ext´ erieur : fonction ´ energie libre

La variation d’exergie est : 66

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A

∆EX = θ1 Q1 + θ2 Q2 + W En rempla¸cant d’apr`es le premier principe W par : W = ∆U − Q1 − Q2 ∆EX = θ1 Q1 + θ2 Q2 + (∆U − Q1 − Q2 )     T0 T0 Q1 + 1 − Q2 + (∆U − Q1 − Q2 ) = 1− T1 T   2 Q1 Q2 = ∆U − T0 + T1 T2 = ∆U − T0 (∆S − ∆Sirr ) = ∆U − T0 ∆S + T0 ∆Sirr {z } | {z } | (1) (2)

(4.4)

∆EX = ∆U − T0 ∆S + T0 ∆Sirr | {z } | {z } (1) (2) (1) : ∆U − T0 ∆S est le travail maximal que peut fournir le syst`eme. On pose F0 = U − T0 S et : La quantit´ e maximale de chaleur que l’on peut transformer en travail est donc : ∆W = ∆ (U − T0 S) = ∆F0 (2) : T0 ∆Sirr est le travail des forces irr´eversibles (forces de frottements)

4.13

Fonction enthalpie libre

Distinguons le travail des forces de pression du travail des autres forces soit si la pression ext´erieure est constante : δW = δWP res + δWmec = −P0 δV + δWmec 67

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A Le travail maximal que l’on peut obtenir au cours de la transformation devient :

−P0 δV + δWmec = ∆U − T0 ∆S

δWmec = ∆U + P0 δV − T0 ∆S = ∆H − T0 ∆S

68

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A Fonction enthalpie libre Propri´ et´ e: Le travail utile qu’un syst`eme peut c´eder a` l’ext´erieur est born´e par la variation d’enthalpie libre au cours de la tranformation δWmec = ∆H − T0 ∆S

(4.5)

Fonction enthalpie libre : applications Le m´elange d’une masse m d’eau chaude et d’une mˆeme masse m d’eau froide s’accompagne-t-il d’une perte d’exergie ? En d’autres termes peut-on extraire plus de travail du m´elange des deux masses d’eau ou des deux masses initialement s´epar´ees et port´ees `a des temp´eratures diff´erentes ? Hypoth` eses :

masse m temp´erature T1 masse m temp´erature T2

 masse 2 m temp´erature

T1 + T2 2

Exergie initiale : 1 EX = H1 − T0 ∆S1

= m CP (T1 − T0 ) − m CP T0 ln

T1 T0

2 EX = H2 − T0 ∆S2

= m CP (T2 − T0 ) − m CP T0 ln

T2 T0

Exergie finale :  T1 + T2   2 − 2m CP T0 ln   T0 

1+2 EX = 2 m CP



T1 + T2 − T0 2



69

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A Variation d’exergie :

1+2 1 2 ∆EX = EX + EX − EX

T1 T0 T2 + m CP (T2 − T0 ) − m CP T0 ln T0 = m CP (T1 − T0 ) − m CP T0 ln

 T1 + T2   2 + 2m CP T0 ln   T0 

 − 2 m CP

T1 + T2 − T0 2

= m CP T0 ln

(T1 + T2 )2 4 T1 T2



! >0

Variation d’exergie : Conclusion : 1+2 1 2 ∆EX = EX + EX − EX

= m CP T0 ln

(T1 + T2 )2 4 T1 T2

! >0

L’exergie initiale est sup´erieure a` l’exergie finale : le m´elange eau chaude et eau froide s’accompagne donc d’une d´egradation de l’´energie.

4.14

Rendement exerg´ etique du moteur thermique

Application : Comparaison de deux moteurs thermiques utilisant la mˆ eme quantit´ e de chaleur Consid´erons deux moteurs consommant la mˆeme quantit´e de chaleur :

70

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A

Q1 (kJ) W (kJ) T1 (˚K)

Moteur 1 100 −25 773

Moteur 2 100 −20 523

500 ˚C

250 ˚C

300

300

27 ˚C

27 ˚C

T2 (˚K)

ηreel

Moteur 1

Moteur 2

0, 25

0, 20

0, 61

0, 42

W = Q1

ηCarnot = 1 −

T2 T1

Le bilan ´ energ´ etique permet de conclure que le moteur 1 : – pr´esente le meilleur rendement r´eel ; – pr´esente le meilleur rendement de carnot ; – produit une quantit´e de travail sup´erieure .

71

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A

Exergie utilis´ee : θ1 Q1  θ1 Q1 =

1−

T2 T1

[k . J]

Moteur 1

Moteur 2

61

42

36

22

0, 41

0, 47

 Q1

Exergie d´etruite : T0 ∆Si

[k . J]

(Exergie non utilis´ee) T0 ∆Si = θ1 Q1 + W

Rendement exerg´etique : ηex ηex =

W θ1 Q1

Le bilan ´ exerg´ etique permet de conclure que le moteur 2 : – utilise moins d’´exergie ; – d´etruit moins d’´exergie ; – poss`ede le meilleur rendement ´exerg´etique .

4.15

Rendement exerg´ etique d’une pompe ` a chaleur

Pour une pompe a` chaleur fonctionnant entre les sources aux temp´eratures T1 et T2 , le rendement exerg´etique a pour expression : θ Q 1 1 copex = W Consid´erons une pompe a` chaleur dont la temp´erature chaude (T1 = 50˚C) est constante. Le constructeur donne en fonction de la temp´erature de la source froide (T2 ) les caract´eristiques suivantes : 72

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A T2 ˚C W [kJ] |Q1 | [kJ]

0 2, 26 6, 95

−5 2, 11 5, 86

−10 1, 95 4, 90

−15 1, 78 4, 06

−20 1, 59 3, 32

−25 1, 39 2, 67

−30 1, 17 2, 08

−40 0, 72 1, 11

T1 = 50˚C T2 ˚C W [kJ] |Q1 | [kJ]

COPreel

Q 1 = W

COPtheo =

T1 T1 − T2

0 2, 26 6, 95

−5 2, 11 5, 86

−10 1, 95 4, 90

−15 1, 78 4, 06

−20 1, 59 3, 32

−25 1, 39 2, 67

−30 1, 17 2, 08

−40 0, 72 1, 11

3, 08

2, 78

2, 51

2, 28

2, 09

1, 92

1, 78

1, 54

6, 48

5, 89

5, 40

4, 98

4, 62

4, 32

4, 05

3, 59

Repr´ esentation du coefficient d’efficacit´ e 7 6

Cop theo

5 4

Cop

3

reel

2 1 0

−40

−30

−20

−10

0

t (°C)

Le rendement th´eorique ou pratique de la pompe `a chaleur baisse lorsque la temp´erature de la source foide diminue.

73

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A T2 ˚C W [kJ] |Q1 | [kJ]

0 2, 26 6, 95

−5 2, 11 5, 86

−10 1, 95 4, 90

−15 1, 78 4, 06

−20 1, 59 3, 32

−25 1, 39 2, 67

−30 1, 17 2, 08

−40 0, 72 1, 11

exergie produite

1, 07

1, 00

0, 91

0, 82

0, 72

0, 62

0, 51

0, 31

0, 47

0, 47

0, 47

0, 46

0, 45

0, 45

0, 44

0, 43

  T2 Q1 θ1 Q1 = 1 − T1

ηex

θ1 Q1 = W

T1 = 50˚C 1

0.8

η ex

0.6

0.4

0.2

0

−40

−30

−20

−10

0

t (°C) Le rendement ´exerg´etique de la pompe a` chaleur reste ´elev´e et constant traduisant les bonnes performances thermodynamiques de la pompe `a chaleur.

4.16

Rendement exerg´ etique d’une installation de cog´ en´ eration

Un moteur thermique fournit une puissance m´ecanique de 300 kW , a` partir d’une source chaude dont la temp´erature est T1 = 1500˚C et dont il puise une puissance Q1 = 1000 kW . Pour quelle temp´erature de la source froide T2 r´ecup`ere-t-on le maximum d’´energie Q2 . 74

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A P1 = 1000 kW T1 Pm = 300 kW T2 P2 < 0

Le constructeur donne en fonction de la temp´erature de la source froide (T2 ) la quantit´e de chaleur r´ecup´erable Q2 : T2 ˚C P2 [kW ]

250 210

230 254

210 298

190 342

170 386

150 430

130 473

110 517

90 561

70 605

50 649

30 693

Remarque : Le premier principe n’est pas v´erifi´e puisque P1 + P2 + Pm 6= 0 Consid´erons maintenant les deux rendements suivants : – Fraction de la puissance r´ecup´er´ee sous forme de chaleur ou de travail : ε=

|Pm + P2 | P1

– Fraction d’exergie r´ecup´er´ee sous forme de chaleur ou de travail (on prendra T0 = 30˚C) : ηex =

T1 = 1500˚C , θ1 = 1 −

|Pm + θ2 P2 | θ1 P1

273 + 30 = 0, 83 , T0 = 30˚C 272 + 1500

75

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A T2 ˚C P2 [kW ]

250 210

230 254

210 298

190 342

170 386

150 430

130 473

110 517

90 561

70 605

θ1 = 1 −

T0 T1

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

0, 83

θ2 = 1 −

T0 T2

0, 42

0, 40

0, 37

0, 35

0, 32

0, 28

0, 25

0, 21

0, 17

0, 12

|Pm + P2 | P1

0, 51

0, 55

0, 60

0, 64

0, 69

0, 73

0, 77

0, 82

0, 86

0, 91

|Pm + θ2 P2 | θ1 P1

0, 47

0, 48

0, 50

0, 50

0, 51

0, 51

0, 50

0, 49

0, 47

0, 45

88

101

110

119

123

120

118

108

95

72

ε=

ηex =

θ2 P2 [kW ] 1

ε

0.8

η ex

0.6

0.4

0.2

0

100

150

200

250

t (°C)

Conclusion : Le rendement ´exerg´etique refl`ete la qualit´e thermodynamique de l’installation. Le maximum du rendement ´energ´etique ne correspond pas au maximum de l’´energie r´ecup´er´ee sous forme de travail ou de chaleur. Par exemple pour t2 = 30˚C la quantit´e d’´energie r´ecup´er´ee atteint 90%, mais l’´exergie associ´ee `a la quantit´e de chaleur Q2 devient nulle. Ainsi l’installation ne produit que de la puissance m´ecanique. 76

` VAPEUR CHAPITRE 4. TURBINES A

Conclusion : Ce document pr´esente pour chaque machine envisag´ee un calcul du rendement thermodynamique. Ce calcul est toujours men´e en s’affranchissant de toutes contraintes : transformations id´eales dont la succession au cours d’un mˆeme cycle est irr´ealisable. Les rendements calcul´es ne constituent donc que des limites sup´erieures inaccessibles dans la r´ealit´e. Ils permettent n´eanmoins de faire apparaˆıtre les ordres de grandeur envisageables pour ces machines et de les comparer.

77