Dalam Uraian sitem bilangan real di bawah ini, dibicarakan tentang sifat
lapangan bilangan ... Sedangkan sifat kerapatan bilangan rasional pada
bilangan real ...
KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA
2009
CALON GURU MATEMATIKA
OLEH: DADANG JUANDI, DKK
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Sistem Bilangan Real Dalam Uraian sitem bilangan real di bawah ini, dibicarakan tentang sifat lapangan bilangan real, sifat kerapatan pada bilangan real, dan sifat urutan. Sifat lapangan memberikan rumus-rumus aljabar elementer yang sering digunakan dalam perhitungan matematika. Sifat urutan bilangan real menghasilkan bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Selain itu, sifat urutan memberikan relasi antara dua bilangan real, yaitu kurang dari, sama dengan, atau lebih dari yang melahirkan konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak yang sama penting dalam kalkulus. Sedangkan sifat kerapatan bilangan rasional pada bilangan real menyatakan bahwa diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan terdapat suatu bilangan rasional.
1.1.1
Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Real Sistem bilangan real dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum
membicarakan sistem bilangan real tersebut, terlebih dahulu akan dimulai dengan membicarakan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli. Bilangan asli adalah bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, .
Jika negatif dari bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol diperoleh bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan-bilangan …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
Bilangan-bilangan bulat tersebut dapat ditulis dalam bentuk desimal dengan dikanan koma desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh 5 5, 0000
13 13, 0000 2
2, 0000
Tanda “bar” menyatakan angka 0 diulang. Bilangan-bilangan bulat belum memadai, bila dihadapkan kepada bilangan-bilangan hasil pengukuran yang memerlukan ketelitian. Demikian pula bilangan-bilangan bulat
tersebut tidak memadai bila dihadapkan kepada bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, misalnya bilangan 1 2, 1 3, 13 5, 18 2, dan 15 3. Bilangan-bilangan
18 2 dan
15 3 dikelompokkan
kedalam
bilangan-bilangan
yang
merupakan hasil bagi dari bilangan –bilangan bulat yang secara normal dengan bilanganbilangan 9 dan 5 . Tetapi 7 0 dan 9 0 tidak dikelompokkan kedalam bilangan- bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, karena tidak dapat diartikan arti lambang-lambang tersebut. Bilangan-bilangan yang merupakan hasil bagi dari dua bilangan bulat kecuali pembagian oleh nol disebut bilangan rasional. Secara umum, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat, q
p q
0 . Bentuk desimal bilangan-bilangan rasional selalu
berulang, sebagai contoh 1 4
0,250 ;
23 15
1,53 ;
2 3 28 11
0,6 2,54
Selanjutnya, bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat dan q
p dengan p, q q
0 disebut bilangan tak rasional. Bentuk desimal dari bilangan-
bilangan tak rasional adalah tak berulang. Sebaliknya suatu desimal tak berulang menyatakan suatu bilangna tak rasioanal, misalnya
CONTOH 1: Tunjukkan bahwa
2
1, 414213562
2 adalah bilangan tak rasional.
Bukti: Andaikan
2 adalah bilangan rasional, maka
denagn a, b bilangan bulat, b sini diperoleh 2b2 Namakan a
2 dapat ditulis sebagai
2
a b
0 , dan pembagi sekutu terbesar dari a dan b adalah 1. Dari
a2 . Karena a 2 kelipatan dua, maka a juga merupakan kelipatan 2.
2k untuk suatu bilangan bulat k, sehingga diperoleh
2b2
2k
b2
2k 2
2
4k 2
Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa b kelipatan 2. Hal ini berarti bahwa a dan b mempunyai pembagi sekutu terbesar berkelipatan 2 yang kontradiksi. Dengan pengambilan a dan b di atas. Jadi, pengandaian haruslah
2 bilangan rasional adalah salah, dan
2 adalah bilangan tak rasional.
Sekumpulan bilangan (bilangan rasional dan bilangan tak rasional) bersama-sama dengan bilangan negatifnya dinamakan bilangan real. Bilangan real dapat digambarkan oleh himpunan semua titik yang terletak pada suatu garis. Pertama dipilih sebuah titik O. titik ini ditandai dengan 1 (satu). Situasi tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut ini.
s satuan 4
3
2
r satuan 1
0
1
-s
2
3
4
r
Gambar 1.1.1
Cara ini digunakan untuk memberi skala pada garis bilangan dan juga untuk mempertimbangkan letak setiap bilangan real. Sebagai contoh, setiap bilangan real positif r terletak r satuan di sebelah kanan O, dan setiap bilangan real negatif -s dengan s 0 terletak s satuan di kiri O. Misalkan x dan y dua bilangan real yang berlainan, kemudian dibentuk bilangan real
z
x y 2 yang merupakan bilangan pertengahan di antara x dan y. situasi ini
diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
z
x
y /2
x
y
Gambar 1.1.2
Dengan cara yang sama, diperoleh suatu bilangan s diantara x dan z, dan bilangan lain t di antara z dan y. Proses ini dapat diulangi sampai tak berhingga kali, sehingga diantara dua bilangan real sebarang (tdak perduli betapapun dekatnya) terdapat tak berhingga banyaknay bilangan real lain. Akibatnya bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat suatu bilangan rasioanl, dan diantara setiap dua bilangan tak rasional terdapat suatu bilangan tak rasioanl. Dengan kata lain, bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang garis bilangan real. Hal ini berarti bahwa setiap bilangan mempunyai tetangga bilangan rasional dan bilangan tak rasioanl yang cukup dekat dengannya. Kedua jenis bilangan tersebut saling berkaitan satu sama lain dan bergerombol bersama-sama. Sebagai ilustrasi bahwa bilangan tak rasioanl
2 dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasioanl sedekat mungkin dengan
2,
misalnya 1; 1,4; 1,41; 1,41121; 1,414213; … adalah bilangan rasional yang berada dekat dengan
2. Perlu diperhatikan bahwa terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali impunan-
himpunan bilangan, misalnya: R
x x bilangan real
N
x x bilangan asli
Z
x x bilangan bulat
Q
x x bilangan rasional
1, 2,3, 4,
, 2, 1,0,1, 2,3, 4,
Operasi penjumlahan dan perkalian pada R memenuhi sifat lapangan atau sifat medan bilangan real. Adapaun sifat lapangan bilangan real adalah sebagi berikut: Untuk setiap x, y, z R, berlaku 1.
Sifat komutatif x y y x x y y x
2.
Sifat asosiatif x
y
z
x yz
3.
y
z
xy z
Sifat distributif kali terhadap tambah
x y z 4.
x
xy xz
Unsur kesatuan Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan 1 (unsur kesatuan kali atau unsur
satuan) yang memenuhi
x 0 0 x x x 1 1 x x
5.
Unsur balikan (invers) i.
Untuk setiap x R, terdapat
ii.
Untuk setiap x R, x
x R sehingga x
0 terdapat x
1
x
0 (-x lawan dari x)
R sehingga x x
1
1 (x
1
kebalikan
dari x)
Berdasarkan sifat lapangan pada bilangan real dapat didefinisikan operasi biner lainnya, yaitu operasi pengurangan (-) dan pembagian ( ).
Definisi 1.1.1 (Pengurangan dan Pembagian Bilangan Real): Misalkan x, y R. (a).
Pengurangan dari bilangan real x dengan y ditulis x- y didefinisikan dengan
x y (b).
x
y
Pembagian dari bilangan real x oleh y dengan x : y
x y
x y
y
0 ditulis x : y didefinisikan
1
Perlu diingat bahwa operasi pengurangan saling invers dengan operasi penjumlahan, dan operasi pembagian saling invers dengan operasi perkalian. Selain itu, dari sifat lapangan pada R dapat diturunkan rumus-rumus aljabar elementer yang disajikan pada teorema berikut.
Teorema 1.1.2 (Sifat-sifat Aljabar Elementer Bilangan Real): Misalkan a, b, c adalah bilangan real (a). Jika a
b , maka a c
b c dan ac
(b). Jika a c b c , maka a
b
(c). Jika ac bc dan c 0 , maka a
a
(d). (e).
a
a b c
(g).
a 0 0 a
(h).
a b
(i).
a
(l).
0
ab ac 0
a b
b
ab , khususnya
a b
1a
a
ab
Jika ab 0 , maka a
(k). Jika
1.1.2
a, a
(f).
(j).
b
a 1
1
bc
a b
c , maka ad d
c d
ad bc , b bd
0 atau b
0
bc, b
0, d
0, d
0
0
Sifat Urutan pada Bilangan Real Sifat urutan pada bilangan real menurunkan suatu konsep yang membandingkan di
antara bilangan real, sehingga diperoleh suatu bilangan real lebih dari atau kurang dari bilangan real lainnya. Pada bilangan real R, jika b terletak di sebelah kanan dari a pada garis bilangan, dikatakan b “lebih dari” a dan ditulis b > a. Sedangkan sebaliknya dikatakan a “kurang dari” b dan ditulis a < b. Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positif dan bilangan real negatif. Dari fakta tersebut dapat diperkenalkan relasi urutan “
