a new method for calculating volumetric sweep ... - SciELO Colombia

Α ΝΕΩ ΜΕΤΗΟ∆ ΦΟΡ ΧΑΛΧΥΛΑΤΙΝΓ ςΟΛΥΜΕΤΡΙΧ ΣΩΕΕΠ ΕΦΦΙΧΙΕΝΧΨ ΥΣΙΝΓ ΣΤΡΕΑΜΛΙΝΕ ΣΙΜΥΛΑΤΙΟΝ ΧΟΝΧΕΠΤΣ

Α ΝΕΩ ΜΕΤΗΟ∆ ΦΟΡ ΧΑΛΧΥΛΑΤΙΝΓ ςΟΛΥΜΕΤΡΙΧ ΣΩΕΕΠ ΕΦΦΙΧΙΕΝΧΨ ΥΣΙΝΓ ΣΤΡΕΑΜΛΙΝΕ ΣΙΜΥΛΑΤΙΟΝ ΧΟΝΧΕΠΤΣ Ε. Α. Ι∆ΡΟΒΟ Εχοπετρολ − Ινστιτυτο Χολοµβιανο δελ Πετρ⌠λεο, Α.Α. 4185 Βυχαραµανγα, Σαντανδερ, Χολοµβια Ε−µαιλ: αιδροβο≅εχοπετρολ.χοµ.χο

Ο

νε οφ τηε πυρποσεσ οφ ρεσερϖοιρ ενγινεερινγ ισ το θυαντιφψ τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ φορ οπτιµιζινγ ρεσερϖοιρ µαναγεµεντ δεχισιονσ. Τηε εστιµατιον οφ τηισ παραµετερ ηασ αλωαψσ βεεν α διφφιχυλτ τασκ. Υντιλ νοω, σωεεπ εφφιχιενχψ χορρελατιονσ ανδ χαλχυλατιονσ ηαϖε βεεν λιµιτεδ το µοστλψ ηοµογενεουσ 2−∆ χασεσ. Χαλχυλατινγ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ ιν α 3−∆ ηετερογενεουσ ρεσερϖοιρ βεχοµεσ διφφιχυλτ δυε το ινηερεντ χοµπλεξιτψ οφ µυλτιπλε λαψερσ ανδ αρβιτραρψ ωελλ χονφιγυρατιονσ. Ιν τηισ παπερ, α νεω µετηοδ φορ χοµπυτινγ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ φορ ανψ αρβιτραρψ ηετερογενειτψ ανδ ωελλ χονφιγυρατιον ισ πρεσεντεδ. Τηε προποσεδ µετηοδ ισ βασεδ ον ∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγσ φορµυλατιον οφ στρεαµλινε τιµε−οφ−φλιγητ (1995). Γιϖεν τηε φαχτ τηατ τηε τιµε−οφ−φλιγητ ρεφλεχτσ τηε φλυιδ φροντ προπαγατιον ατ ϖαριουσ τιµεσ, τηεν τηε χοννεχτιϖιτψ ιν τηε τιµε−οφ−φλιγητ ρεπρεσεντσ α διρεχτ µεασυρε οφ τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ. Τηε προποσεδ αππροαχη ηασ βεεν αππλιεδ το σψντηετιχ ασ ωελλ ασ φιελδ εξαµπλεσ. Σψντηετιχ εξαµπλεσ αρε υσεδ το ϖαλιδατε τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ χαλχυλατιονσ υσινγ τηε στρεαµλινε τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ χριτεριον βψ χοµπαρισον ωιτη αναλψτιχ σολυτιονσ ανδ πυβλισηεδ χορρελατιονσ. Τηε φιελδ εξαµπλε, ωηιχη ιλλυστρατεσ τηε φεασιβιλιτψ οφ τηε αππροαχη φορ λαργε−σχαλε φιελδ αππλιχατιονσ, ισ φροµ τηε Νορτη Ροβερτσον Υνιτ, α λοω περµεαβιλιτψ χαρβονατε ρεσερϖοιρ ιν Ωεστ Τεξασ.

Υνο δε λοσ προπ⌠σιτοσ δε λα ινγενιερα δε ψαχιµιεντοσ εσ χυαντιφιχαρ λα εφιχιενχια ϖολυµτριχα δε βαρριδο παρα οπτιµιζαρ λασ δεχισιονεσ δε µανεϕο δελ ψαχιµιεντο. Ηαστα αηορα λοσ χ〈λχυλοσ ψ χορρελαχιονεσ δε λα εφιχιενχια δε βαρριδο σε ηαν λιµιταδο πρινχιπαλµεντε α χασοσ ηοµογνεοσ εν δοσ διµενσιονεσ. Ελ χ〈λχυλο δε λα εφιχιενχια ϖολυµτριχα δε βαρριδο εν ψαχιµιεντοσ ηετερογνεοσ εσ υνα ταρεα διφχιλ δεβιδο α λα χοµπλεϕιδαδ ασοχιαδα πορ λα εξιστενχια δε χαπασ µλτιπλεσ ψ χονφιγυραχιονεσ αρβιτραριασ δε ποζοσ. Εν εστε αρτχυλο, σε πρεσεντα υν µτοδο δε χ〈λχυλο δε λα εφιχιενχια ϖολυµτριχα δε βαρριδο παρα χυαλθυιερ τιπο δε ηετερογενειδαδ ψ χονφιγυραχι⌠ν δε ποζοσ. Ελ µτοδο προπυεστο σε βασα εν λα φορµυλαχι⌠ν δε ∆αττα−Γυπτα ψ Κινγ (1995) δελ τιεµπο−δε−ϖυελο στρεαµλινε (1995). ∆αδο θυε ελ τιεµπο−δε−ϖυελο ρεφλεϕα λα προπαγαχι⌠ν δελ φρεντε δε λοσ φλυιδοσ α χυαλθυιερ τιεµπο, πορ λο ταντο λα χονεχτιϖιδαδ δελ τιεµπο−δε−ϖυελο ρεπρεσεντα υνα µεδιδα διρεχτα δε λα εφιχιενχια ϖολυµτριχα δε βαρριδο. Λα απλιχαχι⌠ν προπυεστα ηα σιδο απλιχαδα ταντο α χασοσ σινττιχοσ χοµο α εϕεµπλοσ δε χαµπο. Λοσ εϕεµπλοσ σινττιχοσ σον υσαδοσ παρα ϖαλιδαρ λοσ χ〈λχυλοσ δε λα εφιχιενχια δε βαρριδο υσανδο ελ χριτεριο δε χονεχτιϖιδαδ δε τιεµπο−δε−ϖυελο στρεαµλινε µεδιαντε χοµπαραχι⌠ν χον σολυχιονεσ αναλτιχασ ψ χορρελαχιονεσ πυβλιχαδασ. Ελ εϕεµπλο δε χαµπο, θυε ιλυστρα ελ ποτενχιαλ δελ µτοδο παρα υνα απλιχαχι⌠ν δε χαµπο α γραν εσχαλα, εσ λα Νορτη Ροβερτσον Υνιτ, υν ψαχιµιεντο δε χαρβονατοσ δε βαϕα περµεαβιλιδαδ λοχαλιζαδα αλ Οχχιδεντε δελ εσταδο δε Τεξασ εν ΥΣΑ.

Κεψωορδσ: ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ, στρεαµλινε σιµυλατιον, δψναµιχ χοννεχτιϖιτψ, τιµε−οφ−φλιγητ.

ΧΤ&Φ − Χιενχια, Τεχνολογα ψ Φυτυρο − ςολ. 2 Νµ. 1

∆ιχ. 2000

7

Ε. Α. Ι∆ΡΟΒΟ

ΝΟΜΕΝΧΛΑΤΥΡΕ τ σ

θ υ ,ξ τ ιϕ

τιµε αρχ λενγτη ποροσιτψ τιµε−οφ−φλιγητ ϖολυµετριχ φλοω ρατε Ηεαϖισιδε φυνχτιον ∆αρχψ ϖελοχιτψ βι−στρεαµφυνχτιονσ τοταλ πηασε µοβιλιτψ κρονεχκερ δελτα φυνχτιον

ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ Τηε ινχρεµεντ οφ ρεχοϖερψ φροµ τηε λαργε αµουντ οφ ρεµαινινγ οιλ ιν τηε ρεσερϖοιρσ ρεθυιρεσ βεττερ ρεσερϖοιρ µαναγεµεντ πραχτιχεσ. Τηερεφορε, ιµπλεµεντατιον οφ ροβυστ ρεσερϖοιρ µαναγεµεντ τεχηνολογιεσ ηασ α προ− φουνδ εφφεχτ ον τηε ρεχοϖερψ εφφιχιενχψ. Τηε τασκ χαν βε συµµαριζεδ ασ µαξιµιζινγ τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφι− χιενχψ εαρλψ ιν τηε λιφε οφ τηε προϕεχτ το σθυεεζε ασ µυχη οιλ ασ ποσσιβλε. Φροµ τηε ρεσερϖοιρ ενγινεερινγ ποιντ οφ ϖιεω ισ εξτρεµελψ ιµπορταντ το ηαϖε α µετηοδ το χαλχυ− λατε τηισ παραµετερ αλονγ το τηε εξπεχτεδ προϕεχτ λιφε. Υνφορτυνατελψ, τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ εστι− µατιον ισ νοτ αν εασψ τασκ. Υντιλ νοω, σωεεπ εφφιχιενχψ χορρελατιονσ ανδ χαλχυλατιονσ ηαϖε βεεν λιµιτεδ το µοστλψ ηοµογενεουσ 2−∆ χασεσ (∆ψεσ, ετ αλ., 1954, Ηιγγινσ ανδ Λειγητον, 1962, Μορελ−Σεψτουξ, 1965, Ωανγ ετ αλ., 1999). Χαλχυλατινγ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ ιν α 3−∆ ηετερογενεουσ ρεσερϖοιρ βεχοµεσ διφφιχυλτ δυε το ινηε− ρεντ χοµπλεξιτψ οφ µυλτιπλε λαψερσ ανδ αρβιτραρψ ωελλ χονφιγυρατιονσ. Τηε προποσεδ αππροαχη προϖιδεσ α µετηοδ φορ χοµ− πυτινγ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ φορ α ηετερογενεουσ 3−∆ µοδελ φορ ανψ αρβιτραρψ ωελλ χονφιγυρατιον ανδ οπερατιον χονδιτιονσ. Τηε χορνερ στονε οφ τηε προποσεδ µετηοδ ισ τηε ∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ φορµυλατιον οφ τιµε−οφ−φλιγητ φορ στρεαµλινε σιµυλατιον (1995). Τηειρ φορµυλατιον οφ τιµε−οφ−φλιγητ αλλοωσ τηε σολυτιον οφ τηε 3−∆ χονσερϖατιον εθυατιον ιν α σετ οφ ονε−διµενσιοναλ σολυτιονσ ον τηε στρεαµλινεσ. Τηε στρεαµλινε µετηοδ προϖιδεσ α σιµπλε ανδ στραιγητ−φορωαρδ αππροαχη φορ χοµπυτινγ σωεπτ ϖολυµεσ φορ αρβιτραρψ ηετερογενειτψ ανδ ωελλ χονφιγυρατιον φορ ινχοµπρεσσιβλε φλυιδ φλοω.

8

ϖξ, ϖψ, ϖζ φω σω Νπ Θτ Νστ Ασωεπτ ςσωεπτ Εϖ Πς

ϖελοχιτψ χοµπονεντσ ιν ξ, ψ ανδ ζ διρεχτιον ωατερ φραχτιοναλ φλοω ωατερ σατυρατιον χυµυλατιϖε οιλ προδυχτιον τοταλ φλοω ρατε νυµβερ οφ στρεαµλινεσ σωεπτ αρεα σωεπτ ϖολυµε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ πορε ϖολυµεσ

Τηε οργανιζατιον οφ τηισ παπερ ισ ασ φολλοωσ. Φιρστ, τηε υνδερλψινγ τηεορψ οφ τηε στρεαµλινε σιµυλατιον, τιµε− οφ−φλιγητ, ανδ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ χαλχυλατιον ισ δισχυσσεδ. Σεχονδ, τηε ϖαλιδατιον οφ τηε αππροαχη ανδ α 3−∆ σψντηετιχ εξαµπλε ισ σηοων το ιλλυστρατε τηε ποωερ οφ τηε προποσεδ µετηοδ. Φιναλλψ, α φιελδ χασε φροµ Ωεστ Τεξασ ινϖολϖινγ µυλτιπλε παττερνσ χονσιστινγ οφ 27 προ− δυχινγ ωελλσ ανδ 15 ινϕεχτιον ωελλσ ισ υσεδ το δεµον− στρατε τηε αππλιχατιον οφ τηε αππροαχη.

ΑΠΠΡΟΑΧΗ Α βριεφ δεσχριπτιον οφ τηε στρεαµλινε µοδελ βασεδ ον ∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ (1995) ανδ (Πεδδιβηοτλα ετ αλ., 1996) ισ γιϖεν βελοω. Τηε τηεορετιχαλ βασισ οφ τηε στρεαµ− λινε τιµε−οφ−φλιγητ ισ αλσο δισχυσσεδ. Ιν τηισ σεχτιον, ιτ ισ σηοων ηοω τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ χαν βε α µεα− συρε οφ σωεπτ ϖολυµε ανδ ηοω ιτ χαν βε αππλιεδ το ηε− τερογενεουσ ρεσερϖοιρ µοδελσ ωιτη αρβιτραρψ ωελλ χον− φιγυρατιον. Στρεαµλινε Σιµυλατιον ανδ Τιµε−οφ−Φλιγητ. Τηε στρεαµλινε αππροαχη (∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ, 1995, Πεδδιβηοτλα ετ αλ., 1996) φορ µοδελινγ µυλτιδι− µενσιοναλ, µυλτιπηασε φλοω βασιχαλλψ χοµπρισεσ οφ τωο στεπσ: γενερατινγ στρεαµλινεσ ιν 3−∆ σπαχε ανδ τηεν σολϖινγ τηε 1∆ γοϖερνινγ εθυατιονσ αναλψτιχαλλψ ορ νυ− µεριχαλλψ αλονγ τηε στρεαµλινεσ. Στρεαµλινεσ χαν βε γε− νερατεδ φροµ αν υνδερλψινγ ϖελοχιτψ (ανδ χονσεθυεντλψ, πρεσσυρε) φιελδ υσινγ τηε τιµε−οφ−φλιγητ αλγοριτηµ ασ ουτλινεδ βψ ∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ (1995). Μυλτιπηασε φλοω εθυατιονσ χαν τηεν βε σολϖεδ ιν τιµε−οφ−φλιγητ χοορ− δινατεσ τηατ γρεατλψ φαχιλιτατε αναλψτιχαλ ασ ωελλ ασ νυµε− ριχαλ χαλχυλατιονσ.


∆ιχ. 2000


Τιµε−οφ−φλιγητ ισ δεφινεδ ασ τηε τιµε ατ ωηιχη α νευ− τραλ τραχερ ωιλλ αππεαρ ατ α σπεχιφιχ λοχατιον (ξ,ψ,ζ) (∆αττα− Γυπτα ανδ Κινγ, 1995). Ιτ ισ µατηεµατιχαλλψ δεφινεδ βψ εθυατιον (1). Ηενχε, εαχη γριδ βλοχκ ιν α ρεσερϖοιρ µοδελ ωιλλ ηαϖε τηε τιµε−οφ−φλιγητ ϖαλυε χορρεσπονδινγ το ιτσ ξ, ψ, ζ λοχατιονσ. (1)

Τηε φιρστ στεπ ισ το δετερµινε τηε στρεαµλινε τραϕεχ− τοριεσ ιν σπαχε αλονγ ωηιχη παρτιχλεσ ωιλλ τραϖελ. Α βλοχκ− χεντερεδ φινιτε−διφφερενχε σχηεµε ισ υσεδ το σολϖε τηε γοϖερνινγ εθυατιον φορ ινχοµπρεσσιβλε φλυιδ φλοω ιν α νον−δεφορµαβλε πορουσ µεδιυµ:

Ονχε τηε παρτιχλε τιµε−οφ−φλιγητ ισ χοµπυτεδ, τηε νεξτ στεπ ισ το χαλχυλατε µυλτιπηασε φλοω αλονγ στρεαµλινεσ. Ιτ ηασ βεεν δεµονστρατεδ (∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ, 1995) τηατ βψ υσινγ τηε Βυχκλεψ−Λεϖερεττ τηεορψ φορ ιµµισχιβλε τωο−πηασε δισπλαχεµεντ, τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν παρ− τιχλε τρανσιτ τιµε τ ανδ φραχτιοναλ φλοω οφ ωατερ φω (Σω ) χαν βε εξπρεσσεδ ασ (ξ, ψ, ζ, τ) δφ ω(Σ ω) = τ δΣ ω

(4)

Ωηερε, τ ισ τηε τιµε οφ ιντερεστ. Φιναλλψ, τηε χυµυ− λατιϖε οιλ προδυχτιον φροµ ινδιϖιδυαλ στρεαµλινεσ ωιλλ βε γιϖεν βψ: (5)

•(

τ π)

θ

(2)

ιϕ

Ωηερε, τ ισ τηε τοταλ πηασε µοβιλιτψ ανδ θ ισ τηε σουρχε (ινϕεχτορ) ορ σινκ (προδυχερ). ισ α γραδιεντ οπερατορ, ισ α διϖεργενχε οπερατορ, ανδ ιϕ ισ α κρονεχκερ δελτα τηατ δετερµινεσ τηε ωελλ βλοχκ. Ονχε πρεσσυρε διστριβυτιονσ αρε χαλχυλατεδ, ϖελοχιτιεσ ατ τηε γριδ βλοχκ ιντερφαχεσ αρε χοµπυτεδ υσινγ ∆αρχψσ λαω. Βψ υσινγ τηε αππροξιµατιον τηατ τηε ξ, ψ ανδ ζ−ϖελοχιτψ χοµπονεντσ ϖαρψ λινεαρλψ ιν τηε ρεσπεχτιϖε διρεχτιονσ ονλψ ωιτηιν α γριδ βλοχκ, παρτιχλε τραϕεχτοριεσ χαν βε δεριϖεδ βασεδ ον τηε ϖελοχιτιεσ ατ τηε βλοχκ ιντερφαχεσ. Τηε παρτιχλε τιµε−οφ−φλιγητ τ ωιτηιν α γιϖεν γριδβλοχκ χαν βε χοµπυτεδ βψ ιντεγρατιον οφ τηε φολλοωινγ εθυα− τιον: δ = δτ = δξ = δψ = δζ ϖξ ϖψ ϖζ

(3)

Ωηερε ϖξ , ϖψ , ανδ νζ αρε ϖελοχιτψ χοµπονεντσ ιν ξ, ψ ανδ ζ διρεχτιον. Χονσιδερινγ τηατ α παρτιχλε µυστ εξιτ ονλψ τηρουγη ονε οφ τηε βλοχκ φαχεσ, ιτ χαν βε δεµον− στρατεδ τηατ τηε αχτυαλ τιµε−οφ−φλιγητ ισ τηε µινιµυµ οφ αλλ χαλχυλατεδ τιµεσ το διφφερεντ βλοχκ φαχεσ (∆αττα−Γυπτα ανδ Κινγ, 1995). Τηε παρτιχλε τοταλ τρανσιτ τιµε−οφ−φλιγητ τ το α προδυχερ ισ ϕυστ τηε συµ οφ βλοχκ τραϖελ τιµεσ δετερµινεδ βψ σταρτινγ τηε παρτιχλε τραϕεχτορψ ατ τηε προδυχερ ανδ τραχινγ τηε στρεαµλινε βαχκωαρδσ υντιλ ρεαχηινγ αν ινϕεχτορ.


∆ιχ. 2000

Ωηερε, Θ = Θτ /Νστ ανδ Θτ ισ τηε τοταλ φλοω ρατε ανδ Νστ ισ τηε νυµβερ οφ στρεαµλινεσ υσεδ. Σωεπτ ςολυµε Χαλχυλατιον βασεδ ον Τιµε−οφ− Φλιγητ Χοννεχτιϖιτψ. Τηε στρεαµλινε αππροαχη αλλοωσ υσ το χαλχυλατε τηε ϖολυµετριχ σωεεπ φροµ τηε διστριβυτιον οφ τραϖελ τιµεσ. Φορ ιλλυστρατιον πυρποσεσ, Φιγυρε1α σηοωσ τηε τιµε−οφ− φλιγητ διστριβυτιον φορ α ηοµογενουσ θυαρτερ φιϖε−σποτ µοδελ. Φιγυρεσ 1β, 1χ, ανδ 1δ δισπλαψ τηε τιµε−οφ−φλιγητ χοντουρ ατ τηρεε διφφερεντ τιµεσ φορ τηε σαµε µοδελ. Τηεσε τιµε−οφ−φλιγητ χοντουρσ αρε νοτηινγ βυτ τηε φλυιδ φροντ ατ τηατ παρτιχυλαρ τιµε. Φιγυρε 1δ σηοωσ τηε τιµε− οφ−φλιγητ διστριβυτιον χορρεσπονδινγ το τηε τραχερ βρεακτηρουγη τιµε. Ατ ανψ παρτιχυλαρ τιµε, τηε σωεπτ αρεα χαν βε χαλχυ− λατεδ ασ (6)

Ωηερε, ισ τηε Ηεαϖισιδε φυνχτιον ανδ τηε ιντεγραλ ρεπρεσεντσ τηε τιµεσ οφ φλιγητ τηατ αρε λεσσ τηαν τηε τιµε οφ ιντερεστ ασ σηοων ιν Φιγυρεσ 1β,χ,δ. Τηε χονχεπτ φορ ανψ αρβιτραρψ ηετερογενεουσ µεδιυµ χαν βε εασιλψ γενε− ραλιζεδ, ασ σηοων ιν Φιγυρε 2. Αφτερ Βεαρ (1973), τηε ϖελοχιτψ φιελδ φορ α γενεραλ τηρεε− διµενσιοναλ µεδιυµ χαν βε εξπρεσσεδ ιν τερµσ οφ βι− στρεαµ φυνχτιονσ ανδ ξ ασ φολλοωσ

9


(b) 200

175

175

150

150

125

125

Y

Y

(a) 200

100

100

75

75

50

50

25

25 100

50

150

200 days 0.28 PV

50

200

X

0

TQF

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(d) 200

175

175

150

150

125

125

Y

Y

(c)

100 75

25

200

X

200

50

150

100

508 days 0.72 PV

100 75 50

400 days 0.57 PV

50

25 100

150

200

X

50

100

150

200

X

Figure 1. Time-of-flight distribution and swept areas at different times for a homogeneous quarter five-spot model.

υ=

• ξ

(7)

Α στρεαµλινε ισ δεφινεδ βψ τηε ιντερσεχτιον οφ α χον− σταντ ϖαλυε φορ ωιτη α χονσταντ ϖαλυε φορ ξ. Ιν τωο− διµενσιοναλ αππλιχατιονσ, τηε σιµπλιφιεδ φυνχτιοναλ φορµσ, = (ξ, ψ), ξ = ζ αρε υσεδ. Τηισ λεαδσ το τηε µορε φαµιλιαρ εξπρεσσιονσ: υξ =

ψ

, υψ =

ξ

Ωηερε, ισ ρεχογνιζεδ το βε τηε στρεαµφυνχτιον.

10

Φορ τηε τωο διµενσιοναλ εξαµπλε, χηανγινγ φροµ (ξ, ψ) το ( , ) χοορδινατεσ Εθυατιον (6) ρεδυχεσ το (8)

Εθυατιον (8) ινδιχατεσ τηατ τηε σωεπτ αρεα ατ ανψ γιϖεν τιµε χαν βε χοµπυτεδ βψ σιµπλψ ιντεγρατινγ τηε τιµε−οφ−φλιγητ ατ τηε προδυχερ αγαινστ νορµαλιζεδ στρεαµ− φυνχτιον. Ιν Φιγυρε 3, τηεσε ιντεγραλσ φορ τηε ηοµο− γενεουσ ανδ ηετερογενεουσ θυαρτερ φιϖε−σποτ εξαµπλεσ αρε ιλλυστρατεδ.


∆ιχ. 2000


(b) 200

175

175

150

150

125

125

Y

(a)

Y

200

100

100

75

75

50

50

25

25 50

150

100

200 days 0.28 PV

50

200

X

(c)

200

0

200 400 600 800 10001200140016001800 2000

(d) 200 175

150

150

125

125

Y

Y

Travel Time

175

100

400 days 0.57 PV

100 75

75

50

50 25

150

X

k 100 200 300 400 500 600 700 800 900

200

100

200 days 0.28 PV

50

25 100

150

50

200

X

100

150

200

X (e) 200 175 451 days 0.64 PV

150

Y

125 100 75 50 25 50

100 X

150

200

Figure 2. Permeability map, time-of-flight distribution and swept areas at different times for a heterogeneous quarter five-spot model.


∆ιχ. 2000

11


(b) 3.0

2.5

2.5

Time of Flight(PV)

Time of Flight(PV)

(a) 3.0

2.0 Swept area at 1 PV

1.5 1.0

2.0 1.5 Swept area at 1 PV

1.0

0.5

0.5

0.0

0.0

0.0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 0.6 0.7 0.8

0.9

1.0

Normalized Stream Function

0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.7 0.8

0.9

1.0

Normalized Stream Function

Figure 3. Swept area calculations based on streamline time-of-flight for a homogeneous and a heterogeneous quarter five spot pattern

Ιν τηρεε−διµενσιοναλ φλοω, αναλογουσ εξπρεσσιονσ φορ σωεπτ ϖολυµεσ χαν βε δεριϖεδ (Ιδροβο 1999, Ιδροβο ετ αλ., 2000):

(9)

Ρατηερ τηαν εϖαλυατινγ συχη χοµπλεξ ιντεγραλσ ιν 3− ∆, τηε σωεπτ ϖολυµε χαν βε οβταινεδ σιµπλψ βψ εξα− µινινγ τηε χοννεχτιϖιτψ ιν τηε στρεαµλινε τιµε−οφ−φλιγητ ασ δισχυσσεδ βελοω. Φροµ τηεσε πλοτσ ιτ ισ εϖιδεντ τηατ τηε τιµε−οφ−φλιγητ ισοχηρονεσ φυλλψ ρεπρεσεντ τηε φλυιδ φροντ. Εθυατιονσ (8) ανδ (9) χαν βε ιντερπρετεδ σιµπλψ ασ χοννεχτεδ ϖολυµεσ φορ α γιϖεν τιµε−οφ−φλιγητ. Ιν φαχτ, Εθυατιον (9) χαν βε αππροξιµατεδ ασ:

ςσωεπτ (τ)

δ( ι

ι)

(τ

)θ( ι )

(10)

Ωηερε, ισ τηε Ηεαϖισιδε φυνχτιον ανδ θ( ι ) ισ τηε ϖολυµετριχ φλοω ρατε ασσιγνεδ το τηε στρεαµλινε ι. Χονσιδερινγ 3−∆ Χαρτεσιαν αρραψσ οφ φαχε χοννεχτεδ χελλσ, αν ινδιχατορ ϖαριαβλε χαν βε δεφινεδ ατ εαχη χελλ βασεδ ον σοµε µινιµυµ χριτερια φορ χοννεχτιϖιτψ (Ιδροβο 1999, Ιδροβο ετ αλ., 2000). Φορ χαλχυλατιον πυρποσεσ, α χελλ ισ χοδεδ ασ υνσωεπτ ιφ τηε τιµε−οφ φλιγητ ατ τηε αναλψζεδ χελλ ισ γρεατερ τηαν τηε τιµε οφ ιντερεστ ανδ ασ σωεπτ ιφ ιτ ισ λεσσ τηαν ορ εθυαλ το τηε τιµε οφ ιντερεστ. Τηυσ τηε αχχυραχψ οφ τηε σωεπτ ϖολυµε χαλχυλατιονσ

12

ωιλλ δετεριορατε ιφ τηε χελλ σιζε βεχοµεσ τοο λαργε. Σχαν− νινγ τηρουγη τηε 3−∆ αρραψ ανδ αδδινγ τηε νετ χελλσ ηψ− δροχαρβον πορε ϖολυµε ωιλλ γιϖε υσ τηε σωεπτ ϖολυµε ατ τηατ τιµε οφ ιντερεστ, ωηιχη αφτερ διϖιδινγ βψ τηε τοταλ ηψδροχαρβον πορε ϖολυµε γιϖεσ τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ.

ςΑΛΙ∆ΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΑΠΠΡΟΑΧΗ Φιγυρε 4 σηοωσ αν αρβιτραρψ περµεαβιλιτψ µαπ, ιτσ χορρεσπονδινγ τιµε−οφ−φλιγητ διστριβυτιον, ανδ τηε χον− νεχτιϖιτψ µαπ φορ α χυτ−οφφ οφ 175 δαψσ. Το σηοω τηε εφφεχτ οφ χηανγε ιν ωελλ χονφιγυρατιον, φορ τηε σαµε περµεα− βιλιτψ φιελδ σηοων ιν Φιγυρε 4, τηε ινϕεχτιον ωελλ ωασ σηιφτεδ φροµ τηε υππερ ριγητ χορνερ το τηε χεντερ. Φιγυ− ρε 5 σηοωσ τηε χορρεσπονδινγ τιµε−οφ−φλιγητ ανδ τηε χοννεχτιϖιτψ µαπ φορ τηε σαµε χυτ−οφφ οφ 175 δαψσ. Ιτ χαν βε σεεν τηατ φορ τηε σαµε περµεαβιλιτψ φιελδ, τηε χοννεχτιϖιτψ ιν τηε τιµε−οφ−φλιγητ ηασ χηανγεδ ωιτη τηε χηανγε ιν ωελλ παττερν. Ηενχε, ιτ χαν βε στατεδ τηατ τηε χοννεχτιϖιτψ ιν τιµε−οφ φλιγητ τακεσ ιντο αχχουντ τηε χηανγεσ ιν ωελλ παττερν γεοµετρψ. Το ϖαλιδατε τηε προποσεδ αππροαχη, τηε ρεσυλτσ ωερε χοµπαρεδ ωιτη τηε αναλψτιχαλ σολυτιον οφ Μορελ−Σεψτουξ (1965) φορ α ηοµογενεουσ θυαρτερ φιϖε−σποτ παττερν. Φιγυρε 6α σηοωσ τηε χοµπαρισον οφ τηε ρεσυλτσ φροµ τηε προποσεδ αππροαχη ανδ τηατ φροµ τηε αναλψτιχαλ σολυτιον οφ Μορελ−Σεψτουξ (1965). Τηε ρεσυλτσ αρε ιν εξχελλεντ αγρεεµεντ, ωηιχη προϖεσ τηε αχχυραχψ οφ ϖολυµετριχ σωεεπ χαλχυλατιονσ βασεδ ον τηε τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτ− ιϖιτψ. Φιγυρε 6β σηοωσ α χοµπαρισον οφ ϖολυµετριχ σωεεπ


∆ιχ. 2000


(a)

(b)

100

100

90

90

Y

60 50 40 30

60 50 40 30

20

20

10

10 50 X

1000 900 850 700 650 500 400 300 200 100 0

70

Y

70

Permeability

900 850 700 650 500 400 300 200 100

50

100

Travel Time

80

80

100 X

(c) 100 90 80 70 Y

60 50 40 30 20 10 50

100 X

Figure 4. Permeability map, time-of-flight and connectivity map with a cut-off of 175 days for the permeability map shown.

(a)

(b)

100

100

90

90

80

80

50 40 30 20 10

60 Y

Y

60

70 Travel Time

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

70

50 40 30 20 10

50

100

X

50

100 X

Figure 5. Time-of-flight and connectivity map with a cut-off of 175 days for the permeability map shown in Figure 4a with the injector shifted to the center of the model.


∆ιχ. 2000

13

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

EV

EV


TOF Connectivity Morel-Seytoux

0

200

400

600

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

800 1000 1200 1400 1600 1800

Homogeneous Heterogeneous

0

200

400

Time (days)

600

800 1000 1200 1400 1600 1800 Time (days)

Figure 6. (a) Volumetric sweep efficiency comparison between the time-of flight connectivity approach and analytical solution (b) Volumetric sweep efficiency plots based on time-of-flight connectivity for a homogeneous and heterogeneous permeability field.

4

εφφιχιενχψ φορ τηε ηοµογενεουσ χασε ανδ α ηετερογε− νεουσ ρεαλιζατιον, σηοων ιν Φιγυρε 2.

12

5

13

6

Σψντηετιχ Εξαµπλε Ιν τηισ σεχτιον, α τηρεε διµενσιοναλ σψντηετιχ εξαµπλε οφ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ χαλχυλατιονσ βασεδ ον τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ισ δισχυσσεδ. Τηε πυρποσε ισ το ϖαλιδατε τηε προποσεδ αππροαχη φορ α 3−∆ ηετερογε− νεουσ ρεσερϖοιρ µοδελ. Τηισ εξαµπλε χονσιστσ οφ γενε− ρατινγ 50 ρεαλιζατιονσ υσινγ σεθυεντιαλ Γαυσσιαν σιµυλα− τιον οφ α φινε−σχαλε ρεσερϖοιρ µοδελ (50 • 25 •12). Τηε ωελλ χονφιγυρατιον ισ α ρεπεατεδ νινε−σποτ παττερν ωιτη τωο χεντραλ ινϕεχτορσ ανδ τηιρτεεν προδυχερσ. Ιν Φιγυρε 7, α ΞΨ ϖιεω οφ τηε σψντηετιχ εξαµπλε ιλλυστρατινγ τηε ωελλ χονφιγυρατιον ισ δισπλαψεδ. Φροµ α ρανκινγ προχεσσ βασεδ ον ρεχοϖερψ εϖαλυατεδ ατ βρεακτηρουγη (Ιδροβο ετ αλ., 2000), τηε µοστ προβαβλε περµεαβιλιτψ ρεαλιζατιον ισ σηοων ιν Φιγυρε 8α. Φιγυρε 8β σηοωσ τηε τιµε−οφ− φλιγητ διστριβυτιον φορ τηισ ρεαλιζατιον ανδ Φιγυρε 9 δισπλαψσ τηε τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ορ σωεπτ ϖολυµε ατ 500 ανδ 1,500 δαψσ. Φιγυρε 10, δισπλαψσ τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ χυρϖε βασεδ ον τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ιν τερµσ οφ ινϕεχτεδ πορε ϖολυµεσ.

ΦΙΕΛ∆ ΧΑΣΕ: ΝΟΡΤΗ ΡΟΒΕΡΤΣΟΝ ΥΝΙΤ, ΩΕΣΤ ΤΕΞΑΣ Νορτη Ροβερτσον (Χλεαρφορκ) Υνιτ (ΝΡΥ) ισ α ηετε− ρογενεουσ, λοω περµεαβιλιτψ χαρβονατε ρεσερϖοιρ λοχα−

14

9

10

11

Y

1

7

2

8

3

X

Figure 7. XY view of 3-D synthetic model.

τεδ ιν τηε Περµιαν Βασιν οφ Ωεστ Τεξασ. Τηε οιλ ισ προ− δυχεδ φροµ τηε Γλοριετα ανδ Χλεαρφορκ Φορµατιονσ ιν τηε δεπτη βετωεεν αππροξιµατελψ 1,789 − 2,268 µ (5,870−7,440 φεετ). 41.3− 44.5 ΜΜµ 3 (260−280 ΜΜΣΤΒ) οφ οριγιναλ οιλ ιν πλαχε ιν α τοταλ αρεα οφ 22.8 ΜΜµ2 (5,633 αχρεσ) ηαϖε βεεν εστιµατεδ. Τηισ αρεα ηασ 144 αχτιϖε προδυχινγ ωελλσ, 109 ινϕεχτιον ωελλσ, ανδ 6 ωατερ συππλψ ωελλσ. ΝΡΥ ηασ βεεν διϖιδεδ ιντο 12 ηψδραυλιχ φλοω υνιτσ, αχχορδινγ το ∆αϖιεσ ετ αλ., (1996), φορ ρεσερϖοιρ χηαραχτεριζατιον πυρποσεσ. Τηε φιελδ ωασ ον πριµαρψ προδυχτιον σταγε φροµ 1954 το 1987 ατ 161.8−Μµ2 (40−αχρε) ωελλ σπαχινγ. Ωατερ− φλοοδ ινφιλλ δριλλινγ προγραµ ινιτιατεδ ιν 1987 φιναλλψ βρουγητ τηε ωελλ σπαχινγ δοων το 80.9 Μµ2 (20 αχρεσ). Χυρρεντ υνιτ οιλ, γασ, ανδ ωατερ προδυχτιον ρατεσ αρε αππροξιµατελψ 0.006 µ3/σ (3,200 ΣΤΒ/∆), 0.572 µ3/σ


∆ιχ. 2000


(a)

(b)

10

10

0 10

Z 5 0

20 5

10

30 15

Y

20

25

50

20 40 60

Permeability

20 5

X

40

0 10

Z 5 0 10

30 15

Y

80 100 120 140 160 180 200

X

40

20

50

25

Travel Time

500 1000 1500 2000 2500 3000

Figure 8. The most probable permeability realization and the time-of-flight distribution for the 3-D synthetic example.

(a)

10

(b)

0

500 days

10

Z 5 0

20 5

10

15

20

40 25

X

0

Z 5 0

30 Y

10 1500 days

5

10 Y

50

10 20 30

15

20

40 25

X

50

Figure 9. Time-of-flight connectivity at 500 and 1500 days for the most probable realization, for the 3-D synthetic example.

(1,400 ΜΧΦ/∆), ανδ 0.020 µ3/σ (11,000 ΒΩ/∆), ρεσπεχτιϖελψ. Τηε αϖεραγε υνιτ ινϕεχτιον ρατε ισ αβουτ 0.039 µ3/σ (20,000 ΒΩ/∆). Τηε ρεσερϖοιρσ ιν ΝΡΥ αρε τψπιχαλλψ χηαραχτεριζεδ βψ ηιγη δεγρεε οφ ϖερτιχαλ ανδ λατεραλ ηετερογενειτψ ωιτη λοω ποροσιτψ (7.5% λιµε− στονε µατριξ), λοω περµεαβιλιτψ (0.1−10 µδ), ποορ ωατερφλοοδ σωεεπ εφφιχιενχψ, ανδ λοω οιλ ρεχοϖερψ φαχ− τορ. Σεχτιονσ 326 ανδ 327 ωερε σελεχτεδ ασ τηε στυδψ αρεα. Σεε Φιγυρε 11.

1.0 0.8

EV

0.6 0.4 0.2 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Injected PV

Figure 10. Volumetric sweep efficiency for the 3-D synthetic example expressed in injected pore volumes


∆ιχ. 2000

Ρεσερϖοιρ Μοδελ Α τοταλ οφ 42 ωελλσ ινχλυδινγ 27 προδυχινγ ωελλσ ανδ 15 ινϕεχτιον ωελλσ αρε υσεδ ιν τηε µοδελ. Φιγυρε 12 σηοωσ τηε αρεαλ ϖιεω οφ τηε µοδελ γριδ διµενσιονσ οφ

15


φιελδ ουτ οφ 50 ρεαλιζατιονσ γενερατεδ βψ υσινγ σεθυεντιαλ Γαυσσιαν σιµυλατιον. Ιν Φιγυρε 13β, τηε τιµε−οφ−φλιγητ διστριβυτιον φορ τηισ ρεαλιζατιον ισ δισπλαψεδ ανδ Φιγυρε 14 σηοωσ τηε τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ορ σωεπτ ϖολ− υµε ατ 1,000 ανδ 6,000 δαψσ. Τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ χυρϖε βασεδ ον τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ισ σηοων ιν Φιγυρε 15. Ιν τηισ φιγυρε, τηε ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ ισ εξπρεσσεδ ιν τερµσ οφ τιµε ιν δαψσ.

ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ Στρεαµλινε τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ ηασ βεεν προϖεδ το βε α µεασυρε οφ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφι− χιενχψ φορ α παρτιχυλαρ τιµε οφ ιντερεστ.

Study Area

Figure 11. Well locations selected in the North Robertson Unit, Sections 326 and327.

Τηε µετηοδ προποσεδ φορ χοµπυτινγ ϖολυµετριχ σωεεπ εφφιχιενχψ ωορκσ φορ ανψ αρβιτραρψ ηετερο− γενειτψ ανδ ωελλ χονφιγυρατιον. Τηε αχχυραχψ οφ προποσεδ αππροαχη ωασ τεστεδ ωιτη α τηεορετιχαλλψ πρεδιχτεδ σολυτιον φινδινγ εξχελλεντ αγρεεµεντ.

50 • 25 ωιτη α χελλ σιζε οφ 80 µ (262.5 φτ) βψ 80 µ (262.5 φτ). Φορ σιµυλατιον πυρποσεσ τωελϖε ηψδραυλιχ υνιτσ αρε δεφινεδ. Σινχε τηε δεταιλεδ ρεσερϖοιρ µοδελ ισ νοτ αϖαιλαβλε, τηε δατα ατ 30 ωελλ λοχατιονσ αρε υσεδ ασ χονδιτιοναλ δατα το γενερατε τηε ινιτιαλ ποροσιτψ ανδ περ− µεαβιλιτψ µοδελσ το βε υσεδ ιν τηε στυδψ. Μιξεδ φροντ χονδιτιονσ ωερε υσεδ.

Α σψντηετιχ εξαµπλε ωασ υσεδ το ϖαλιδατε τηε προ− ποσεδ αππροαχη φορ α 3−∆ ηετερογενεουσ ρεσερϖοιρ µοδελ. Φιελδ δατα φροµ τηε Νορτη Ροβερτσον Υνιτ, Ωεστ Τεξασ, ωασ υσεδ το ιλλυστρατε τηε ποωερ ανδ ϖερ− σατιλιτψ οφ τηε αππροαχη.

Ρεσυλτσ

Τηε προποσεδ τιµε−οφ−φλιγητ χοννεχτιϖιτψ χριτεριον

Φιγυρε 13α σηοωσ τηε µοστ προβαβλε περµεαβιλιτψ

IX 1

5

15

10

1

20

P_ 26

P_ 25

25 P_ 8

I _6

I _15

5

P_ 27

P_ 1

JY

P_ 17

P_ 21

I _11

15

P_ 23

P_ 19 I _13

20

P_ 18 I _12

P_ 22

P_ 16

P_ 2

P_ 14

I _14

P_ 4

P_ 13

P_ 11

P_ 5

I _17

I _9 P_ 20

P_ 24

50

I _10

I _5

10

45

40

I _3

I _1

P_ 10

P_ 9

35

30

P_ 15

P_ 3 I _2

P_ 12

P_ 6

I _4 P_ 7 Producer Injectors

25

Figure 12. Simulation grid and well locations in sections 326 and 327, North Robertson Unit.

16


∆ιχ. 2000


(a)

(b)

10 Z

0 10

5 0 10

30 15

Y

20

0

Permeability:

20 5

X

40 25

0 10

Z 5 0

20 5

10

50

0.1

10

30 15

Y

0.2

0.3

0.4

20

0

Travel Time:

X

40 50

25

5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

Figure 13. The most probable permeability field and time-of-flight distribution for the most probable realization, for NRU.

(a)

(b)

10

0

N5

10

1,000 days

20

0 5

Y

15

20

40 25

0

N5

10

6,000 days

20

0

30 10

10

5

X

50

30 10 Y

15

20

40 25

X

50

Figure 14. Time-of-flight connectivity at 1,000 and 6,000 days for the most probable realizations, for NRU.

1.0

εξηιβιτσ στρονγ χορρελατιον ωιτη ωατερφλοοδ ρεχοϖερψ, τηερεφορε χαν βε υσεδ φορ ρανκινγ στοχηαστιχ ρεσερϖοιρ µοδελσ.

0.8 0.6

EV

Ιτ ωασ φουνδ τηατ τηε αχχυραχψ οφ τηε σωεπτ ϖολυµε χαλχυλατιονσ ωιλλ δετεριορατε ιφ τηε χελλ σιζε βεχοµεσ τοο λαργε.

0.4 0.2

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 0.0 0.0

2000

4000

6000

8000

Time (days)

Figure 15. Volumetric sweep efficiency for NRU expressed in time.


∆ιχ. 2000

10000

Βεαρ, ϑ., 1973. ∆ψναµιχσ οφ Φλυιδ ιν Πορουσ Μεδια, ∆οϖερ Πυβλιχατιονσ, Νεω Ψορκ. ∆αττα−Γυπτα, Α., Κινγ, Μ. ϑ., 1995. Α Σεµιαναλψτιχ Αππροαχη το Τραχερ Φλοω Μοδελινγ ιν Ηετερογενεουσ Περµεαβλε

17


Μεδια, Αδϖανχεσ ιν Ωατερ Ρεσουρχεσ, ςολ. 18: 9 − 45. ∆αϖιεσ, ∆. Κ., ςεσσελ, Ρ. Κ., 1996. Φλοω Υνιτσ Χηαραχτε− ριζατιον οφ α Σηαλλοω Σηελφ Χαρβονατε Ρεσερϖοιρ: Νορτη Ροβερτσον Υνιτ, Ωεστ Τεξασ, ΣΠΕ/∆ΟΕ 35433 πρεσεντεδ ατ τηε 1996 Τεντη ΣΠΕ/∆ΟΕ Σψµποσιυµ ον Ιµπροϖεδ Οιλ Ρεχοϖερψ, Τυλσα, Οκλαηοµα (Απριλ.): 36 − 45. ∆ψεσ, Α. Β., Χαυδλε, Β. Η. ανδ Εριχκσον, Ρ. Α., 1954. Οιλ Προδυχτιον αφτερ Βρεακτηρουγη Ασ Ινφλυενχεδ βψ Μοβιλιτψ Ρατιο , Τρανσ. ΑΙΜΕ, ςολ. 201: 27 − 49.

Ιδροβο, Ε. Α., Χηουδηαρψ, Μ.Κ. ανδ ∆αττα−Γυπτα, Α., 2000. Σωεπτ ςολυµε Χαλχυλατιονσ ανδ Ρανκινγ οφ Ρεσερϖοιρ Μοδελσ Υσινγ Στρεαµλινε Σιµυλατιον, ΣΠΕ 62557 πρεσεν− τεδ ατ τηε ΣΠΕ/ΑΑΠΓ Ωεστερν Ρεγιοναλ µεετινγ ηελδ ιν Λονγ Βεαχη, Χαλιφορνια (ϑυνε): 812 − 823. Μορελ−Σεψτουξ Η. ϑ., 1965. Αναλψτιχαλ−Νυµεριχαλ Μετηοδ ιν Ωατερφλοοδινγ Πρεδιχτιονσ, ΣΠΕϑ (Σεπ.): 247 − 258.

Ηιγγινσ, Ρ. ς., Λειγητον, Α. ϑ., 1962. Χοµπυτερ Πρεδιχτιον οφ Ωατερ ∆ριϖε οφ Οιλ ανδ Γασ Μιξτυρεσ Τηρουγη Ιρρεγυλαρλψ Βουνδεδ Πορουσ Μεδια Τηρεε Πηασε Φλοω, ϑουρ. Πετ. Τεχη. (Σεπ.): 1048 − 1060.

Πεδδιβηοτλα, Σ., Χυβιλλοσ, Η., ∆αττα−Γυπτα. Α. ανδ Ωυ, Χ. Η., 1996. Ραπιδ Σιµυλατιον οφ Μυλτιπηασε Φλοω Τηρουγη Φινε−Σχαλε Γεοστατιστιχαλ Ρεαλιζατιονσ υσινγ α Νεω 3−∆ Στρεαµλινε Μοδελ: Α Φιελδ Εξαµπλε, ΣΠΕ 36008 πρεσεντεδ ατ τηε ΣΠΕ Πετρολευµ Χονφερενχε, ∆αλλασ, Τεξασ (ϑυνε): 514 − 525.

Ιδροβο, Ε. Α., 1999. Χηαραχτεριζατιον ανδ Ρανκινγ οφ Ρε− σερϖοιρ Μοδελσ Υσινγ Γεοστατιστιχσ ανδ Στρεαµλινε Σι− µυλατιον, Πη.∆. ∆ισσερτατιον, Τεξασ Α&Μ Υνιϖερσιτψ.

Ωανγ, Ψ., Κοϖσχεκ, Α. Ρ. ανδ Βριγηαµ, Ω. Ε., 1999. Εφφεχτ οφ Μοβιλιτψ Ρατιο ον Παττερν Βεηαϖιορ οφ α Ηοµογενεουσ Πορουσ Μεδιυµ, Στανφορδ Υνιϖερσιτψ.

18


∆ιχ. 2000