BAB VII. TRIGONOMETRI. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. Sin α = r y r y.
Cosα = r x α x. Tanα = x y. Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2 sin α +. 2.
BAB VII. TRIGONOMETRI
5. tan (A + B) =
tan A + tan B 1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B 1 + tan A. tan B
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α = r
y r
y Cos α =
x r
Tan α =
y x
α x
Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. sin 2 α + cos 2 α = 1
2. tan α =
sin α cos α
3. sec α =
1 cos α
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A 3. tan 2A =
2 tan A 1 − (tan A) 2
Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian Æ jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih Æ perkalian
1 4. cosec α = sin α
1. Sin A + sin B = 2 sin
cos α sin α
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
5 . cotan α =
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
3. cos A + cos B = 2 cos
7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
4. cos A - cos B = - 2 sin Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B 3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.matematika-sma.com - 1
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
Kuadrant III :
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2 2 3
3
2
1
2 1
3
60 0 2
1
2
1
2
Sin (180 0 + θ ) = -sin θ Cos (180 0 + θ ) = -cos θ tan (180 0 + θ ) = tan θ
90 0 3 1 0
2 3
Kuadrant IV :
~
Sin (360 0 - θ ) = -sin θ Cos (360 0 - θ ) = cos θ tan (360 0 - θ ) = -tan θ
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Aturan sinus dan cosinus
C II
I
γ
b Sin +
β
α III Tan +
IV
A
c
Cos + aturan sinus
Kuadrant I
Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV
+ + +
180 0 - α 180 0 + α + +
α
Sin Cos Tan
360 0 - α + -
a b c = = sin β sin γ sin α
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α 2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:
Kuadrant I Sin (90 0 - θ ) = cos θ Cos (90 0 - θ ) = sin θ tan (90 0 - θ ) = cotan θ
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1 ab sin γ 2
=
1 ac sin β 2
=
1 bc sin α 2
Kuadratn II : Sin (180 - θ ) = sin θ Cos (180 0 - θ ) = -cos θ tan (180 0 - θ ) = -tan θ 0
a
Semua +
www.matematika-sma.com - 2
B
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan
a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0 x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0
y
α0 x P (x,y) → P (r, α 0 ) r=
x +y 2
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :
b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0 c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
2
α 0 didapat dari tan α 0 =
y x
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α ) P (r, α 0 ) → P (x,y) x = r cos α 0 ; y = r sin α 0
dengan k =
a2 + b2 :
persamaan lengkapnya:
jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
Nilai Maksimum dan Minimum
α didapat dari tan α =
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 sehingga (x + n π )= π
b a
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c2 ≤ a2 + b2
2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )=
π
2 b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1 3π sehingga (x + n π )= 2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri
www.matematika-sma.com - 3
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.matematika-sma.com - 4
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
