FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

BAB I FUNGSI EKSPONEN Definisi Fungsi eksponen adalah fungsi f yang menentukan z ke e z . Rumusnya ialah f(z) = e z . Fungsi eksponen dengan peubah bebas z =x + yi (x dan y bilangan real) adalah e z = e x (cos y + i sin y ). Dari definisi ini, jika :  y = 0 maka e z = e z merupakan fungsi eksponen real  x = 0 maka e iy = cos y + i sin y yng kita kenal sebagai rumus Euler dan kebenaranya dapat diperiksa melalui deret Maclaurin untuk e z , dengan mengganti z dengan iy. Turunan fungsi f(z) = e z didapat sebagai berikut : f(z) = e z = e x ( cos y + i sin y ) bagian real dan imaginer berturut-turut :  u (x,y) = e x cos y  v (x,y) = e x sin y fungsi u, v, u x , u y , v x , v y adalah fungsi yang kontiniu untuk setiap x dan y dan persamaan Cauchy Rieman dipenuhi dengan demikian diperoleh : f(z) = u x + i v x f(z) = e x cos y + i e x sin y , berarti :

d z e = e z , ada untuk setiap z pada bidang z dz Jadi f(z) = e z merupakan fungsi yang menyeluruh . sifat-sifat fungsi eksponen merupakan teorema-teorema ringan yang boleh dijadikan rumus. Contoh ; Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e ( 2 z 10)  1 Jawab : Misalkan ; z = x + yi  2z – 1 = (2x-1)+2yi e ( 2 z 1)  1 e ( 2 z 1) ( cos 2y + i sin 2y) + 1 (cos o0 + i sin 00) Dengan menggunakan kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh : e 2 x 1 = 1 = e 0 2x – 1 = 0 1 x= 2 FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

1

cos 2y = cos 00 dan sin 2y = sin 00 didapat y = k  , k bilangan bulat, memenuhi dua persamaan tersebut. Maka nilai z yang memenuhi persmaan ialah : z = x + yi 1 z = + k  i, k bilangan bulat 2

BAB II FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi yang akn diberikan cukup konsisten dengan rumus Euler e iy = cos y + sin iy e iy = cos y – i sin y Dengan menjumlahkan dn mengurangkan kedua rumus tersebut diperoleh : e iy  e iy cos y = 2 iy e  e iy sin y = 2i jika z suatu bilangan kompleks, maka cos z dan sin z juga suatu bilangan kompleks, sehingga didefinisikan ; Definisi 1

e iy  e iy 2 iy e  e iy sin z = 2i cos z =

fungsi h (z) e iz dan H(z) = e iz masing-masing merupakan fungsi yang menyeluruh. Dengan demikian kombinasinya (jumlah dan selisih) merupakan fungsi yang menyeluruh. Dari definisi diperoleh : f(z) = cos z dan g(z) = sin z Merupakan fungsi yang menyeluruh atau analitik pada setiap titik dibidang –z Definisi 2 Empat bentuk fungsi trigonometri lain didefinisikan sebagai berikut ; sin z  tan z = cos z cos z  cot z = sin z 1  sec z = cos z 1  csc z = sin z FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

2

dari definisi tersebut, maka fungsi f1(z) = tan z dan f2(z) = sec z, analitik pada setiap titik z di bidang z dengan cos z  0, sedangkan fungsi g1(z) = cot z dan g2(z) = csc z, analitik pada setiap titik z di bidang z, dengan sin z  0. Contoh :   Jabarkan dan sederhanakan cos   a  4  Jawab :     cos   a  = cos cos a – sin sin a 4 4 4  1 1 = 2 cos a 2 sin a 2 2   1 cos   a  = 2 (cos a – sin a) 4  2

BAB III FUNGSI HYPERBOLIK Fungsi hyperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi eksponen, seperti berikut : Definisi 1 Fungsi sinus hyperbolik dan cosinus hyperbolik adalah e z  ez Sinh z = 2 cosh z =

e z  ez 2

Definisi 2 Empat fungsi hyperbolik lain didefinisikan seperti pada fungsi trigonometri : sinh z  tanh z = cosh z cosh z  coth z = sinh z 1  sech z = cosh z 1  csch z = sinh z fungsi f1(z) = tanh z, f2(z) = sech z analitik disetiap titik pada bidang –z kecuali untuk cosh z = 0, sedangkan fungsi g1(z) = coth z, g2(z) = csch z analitik disetiap titik pada bidang –z, kecuali sinh z = 0.


3

Contoh : Carilah turunan pertama dari fungsi hyperbolik f(x) = sinh (3x) Jawab : f(x) = sinh (3x)  f1 (x) = cosh (3x) . (3) = 3 cosh (3x) Jadi f(x) = sinh (3x) maka f1 (x) = cosh (3x)

BAB IV TEOREMA A. Teorema I Beberapa sifat fungsi eksponen 1). e z  0 Bukti : Dengan kontradiksi, jika z = x + yi, andaikan e z = 0 ex cos y + i ex sin y = 0, berarti e x cos y = 0 dan ex sin y = 0, dari fungsi real telah diketahui ex > 0, yaitu tidak nol, maka haruslah cos y = 0 dan sin y = 0. tidak ada y yang bersamaan memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti tak ada z = x + yi, pengandian salah maka ex  0. 2). e0 = 1 bukti : e0 = 1 z = x + yi = 0  x = 0 dan y = 0 e0 = e0 (cos 00 + I sin 00) (terbukti) 3). e z1 .e z2  e z1  z2 Bukti : Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 . Maka : e z1 .e z2 = e x1 (cos y1  i sin y1 ) . .e z2 (cos y 2  i sin y 2 ) = e z1  z2 cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 ) = e ( x1  x2 )( y1  y2 )2 = e ( x1  y1 )i ( x2  y2 )2 (terbukti) e z1 .e z2 = e z1  z2

e z1 4). z = e z1  z2 e2 Bukti : e x1 (cos y1  i sin y1 ) e z1 = x e z2 e 2 (cos y 2  i sin y 2 )

2 cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 ) =e ( x1  x2 )  ( y1  y2 ) i =e = e ( x1  y2i )( x1  y2 )i

(x x )


4

e z1 = e z1  z2 z2 e

(terbukti)

5). e z = e z Bukti : Misalkan z = x + yi maka z = x - yi e z = e x (cos( y)  i sin( y) = e x (cos y  i sin y)

ez = ez 6). e z = e z  2 ki , k bilangan bulat Bukti : Misalkan z = x + yi e z  2 ki = e  ( y  2 ki ) i = e x cos( y  2k )  i sin( y  2k ) = e x (cos y  i sin y)

e z  2 ki = e z

(terbukti)

7). Jika z = x +yi , e z  e x dan arg (ez) = y Bukti : Jika z = x +yi maka e z  e x dan arg (ez) = y

e z = e x (cos y  i sin y) dibaca sebagai bentuk polar dari e z , jelas e z  e x dan arg (ez) = y

(terbukti)

B. Teorema 2  Teorema 2.1 Turunan fungsi trigonometri : d 1. sin z = cos z dz d 2. cos z = -sin z dz d 3. tan z = sec2 z dz d 4. cot z = - csc2 z dz d 5. sec z = sec z tan z dz d 6. csc z = - csc z cot z dz


5

-) Bukti Teorema No.1 d d  e iz  e iz  sin z = d z  2i dz

  

ie iz  ie iz 2i iz e  e iz = 2 =

d sin z = cos z (terbukti) dz

-) Bukti Teorema No.2 d d  e iz  e iz  = cos z d z  2 dz

  

ie iz  ie iz 2 iz  e  e iz = 2 =

d cos z = -sin z (terbukti) dz  Teorema 2.2 Sifat – sifat trigonometri : 1. sin z = 0  z = k  , k bilangan bulat 2. cos z = 0  z 



2

 k , k bilangan bulat

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

sin (-z) = - sin z cos (-z) = cos z sin2 z + cos2 z = 1 sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2 sin 2z = 2 sin z cos z cos 2z = cos2 z + sin2 z   10. sin   z  = cos z 2  -) Bukti Teorema No.2 Jika cos z = 0 maka

1 iz (e  e iz ) = 0 2 eiz = - e-iz eiz = - 1


6

apabila z = x + yi, maka e 2 y  2 xi  1 e 2 y (cos 2 x  i sin 2 x) = 1(cos   i sin  ) Dengan demikian didapat : e 2 y  1 , cos 2 x  cos  , sin 2 x  sin  Nilai yang memenuhi ialah : y = 0 dan x 





2

 k , k bilangan bulat

 k (terbukti) 2 -) bukti Teorema No.6 Sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 1 1 1  1  =  (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )   (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 ) 2 2i  2i  2  1 = 2e i ( z1  z2 )  2e i ( z1  z2 ) 4i 1 i ( z1  z2 ) = e  e i ( z1  z2 ) 2i Sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 = sin ( z1 + z2) jadi z = x + yi 









-) bukti Teorema No.8 Sin 2z = sin (z + z) = sin z cos i + cos z sin z Sin 2z = 2 sin z cos z ( terbukti)

B. TEOREMA 3  Teorema 3.1 Turunan fungsi hyperbolik : d 1. sinh z = cosh z dx d 2. cosh z = sinh z dx d 3. tanh z = sech2 z dx d 4. coth z = - csch2 z dx d 5. sec h z = sech z tanh z dx d 6. csc h z = - csch z coth z dx


7

Bukti Teorema No. 1

d d  e z  ez  sinh z = d x  2 dx e z  ez = 2 d sinh z = cosh z dx

  

Bukti Teorema No.2

d d  e z  ez    cosh z = d x  2 dx  z z e e = 2 d cosh z = sinh z dx Bukti Teorema No.3 d d  sinh z    tanh z = d x  cosh z  dx  e z  ez   z  z  e  e   z z z (e  e )(e  e  z )  (e z  e  z )(e z  e  z ) = (e z  e  z ) 2 4 = 2 e z  e z

=

d dx





d tanh z = sech2 z (terbukti) dx  Teorema 3.2 Sifat – sifat fungsi hyperbolik ; 1. sinh z = 0  z = k  i, k bilangan bulat 2. cosh z = 0  z  3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.



2

 k i, k bilangan bulat

sin (-z) = - sinh z cos (-z) = cosh z cosh2 z + sinh2 z = 1 sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 - sinh z1 sinh z2 sinh 2z = 2 sinh z cosh z cosh 2z = cosh2 z + sinh2 z


8

Bukti Teorema No.6 Sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 1 1 1  1  =  (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )   (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 ) 2 2 2  2  1 = 2e i ( z1  z2 )  2e i ( z1  z2 ) 4 1 i ( z1  z2 ) = e  e i ( z1  z2 ) 2 Sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 = sinh ( z1 + z2) (tebukti)









Bukti Teorema No.8 Sinh 2z = sinh (z + z) = sinh z cosh i + cosh z sinh z Sinh 2z = 2 sinh z cosh z ( terbukti)  Teorema 3.3 Jika z = x + yi maka 1. cos z = cos (x + yi) = cos x cosh y – isin x sinh y 2. sin z = sin (x + yi) = sin x cosh y + i sin cos x sinh y akibat : cos(iy) = cosh y sin (iy) = i sinh y Bukti 1.



1 ix  y e  e ix  y 2

cos z = cos (x + yi) =



1 -y ix 1 y ix e .e + e .e 2 2 1 = 1 e-y (cos x + i sin x) + ey ( cos x – i sin x) 2 2 cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y (terbukti)

=

 Teorema 3.4 1. sin (iz) = i sin z 2. sin (iz) = i sinh z 3. cosh (iz) = cos z 4. cos (iz) = cosh z Bukti 2





2 1 zi2 e  e  zi 2i 1 z e  ez = 2i 1 = i. e z  e  z 2 sin (iz) = i sin z (terbukti)

sin (iz) =










9

 Teorema 3.5 Jika z = x + yi maka 1. sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y 2. cos z = cosh x cos y +i sinh x sin y Bukti No. 1 sinh z = sin (x + yi) 1 1 1 = e x  yi  e  x  yi = e x .e yi  e  x .e  yi 2 2 2 1 1 = e x cos y  i sin y   e  x cos y  i sin y  2 2 1 x 1 = (e  e  x ) cos y  i (e x  e  x ) sin y 2 2 sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (terbukti)






10

LATIHAN SOAL 1. tentukan nilai z yang memenuhi persamaan ez = -i 2. a). Hitung nilai dari cos (-1200) b). Buktikan (sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A = 1 3. Carilah f1(x) dari tiap fungsi f(x) berikut : a). f(x) = tanh (sin x) b). f(x) = x sinh x


11

PENYELESAIAN 1. tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e z = -i Jawab : Misalkan z = x + yi ez = -i z e (cos y + i sin y) = 0 –i, maka ez cos y = 0 dan ez sin y= -i



 k , k bilangan 2 bulat. Apabila kedua persamaan dikuadratkan kemudian dijumlahkan, maka (ez)2= -i dan ez =  1

Dari persamaan pertama cos y = 0, karena ez  0 diperoleh y 

jawab yang memenuhi hanya mungkin e z = -i berarti x = 0 untuk x = 0, persamaan kedua menjadi sin y = -1, menghasilkan y   bulat. Dari dua nilai yang diperoleh , yang memenuhi adalah y   sehingga nilai z memenuhi persamaan adalah z = 0 + ( 2. a) cos (-1200) = cos 1200 = cos (180 -60)0 = -cos 600 1 =  2 b). (sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A = 1 Bukti : (sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A Sin2 A + 2 sin A cos A + cos2 A – 2 sin A cos A Sin2 A + cos2 A 1 3. a). f(x) = tanh (sin x) Misalkan u = sin x dan u1 = cos = x F(x) = tan u  f1(x) = sech2 u . u1 = sech2 (sin x) . (cos x) f1(x) = cos x sech2 (sin x) b). f(x) = x sin x misalkan u = x , v = sinh x u1 = 1 , v1 = cosh x 1 1 f(x) = u . v  f (x) = u . v + u . v1 = (1)(sinh x) + (x)(cosh x) 1 f (x) = sinh x + x cosh x


 2

 2

 2

 2k , k bilangan

 2k , k bilangan bilat,

 2k )i = (

 2

 2k )i .

=1 =1 =1 = 1 (terbukti)

12

RANGKUMAN Fungsi eksponen z =x + yi e z = e x (cos y + i sin y ). Fungsi trigonometri e iy  e iy cos z = 2 iy e  e iy sin z = 2i Fungsi Hiperbolik e z  ez Sinh z = 2 z e  ez cosh z = 2

sin z cos z cos z cot z = sin z

tan z =

sinh z cosh z cosh z coth z = sinh z

tanh z =

1 cos z 1 csc z = sin z

sec z =

1 cosh z 1 csch z = sinh z

sech z =

Turunan fungsi Eksponen d z (e )  e z dz Turunan Fungsi Trigonometri d 1. sin z = cos z dz d 2. cos z = -sin z dz

d tan z = sec2 z dz d 4. cot z = - csc2 z dz

3.

d sec z = sec z tan z dz d 6. csc z = - csc z cot z dz 5.

Turunan fungsi hyperbolik : d 1. sinh z = cosh z dx d 2. cosh z = sinh z dx d 3. tanh z = sech2 z dx d 4. coth z = - csch2 z dx d 5. sec h z = sech z tanh z dx d csc h z = - csch z coth z 6. dx FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

13

DAFTAR PUSTAKA    

Churchill, Complex variabels, new york, mc graw hill book company inc 1960 John D paliouras, complex variebles for scientist and engginers new york, maemillan publishing. 1975 Prayitno Budhi dan Chairani Zahra, Matematika untuk SMU jilid 3A semester 1, Jakarta : Erlangga 2003 Wirodikromo sartono, Matematika 2000 untuk Smu jilid 6, semester 2 Jakarta : Erlangga, 2003


14