EJERCICIOS DE LAS LECCIONES 4,5,6 y 7

Ampliaci´on de Matem´aticas. Telecomunicaciones.

Dpto. Matem´aticas

EJERCICIOS DE LAS LECCIONES 4,5,6 y 7

´ SOBRE UN CONTORNO 4. INTEGRACION 4.1 Halle una representaci´on param´etrica de las siguientes curvas: (a) La parte de la circunferencia x2 + y 2 = a2 , a ∈ IR, a > 0, situada en el semiplano x ≥ 0. (b) La elipse

x2 y 2 + 2 = 1 (a > 0, b > 0). a2 b

Z 4.2 Halle

f (z) dz siendo: C

(a) f (z) = Re(z) y C la parte de la circunferencia x2 + y 2 = a2 , a ∈ IR, a > 0 que cumple y > 0 (sentido de (0, −a) a (0, a)). (b) f (z) = Im(z) y C la poligonal que definida por los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1). 4.3 Calcule : Z z(z − 1)dz

(a)

(Soluci´on: (−2/3) − (1/3)i)

[0,1+i]

Z (b) C(0,1)

1 dz |z| Z

4.4 Calcule φ

(Soluci´on: 0)

(logα z)3 dz, siendo α = 5π/2 y φ(t) = eit , t ∈ [0, π]. (Soluci´on: 65π 4 /4) z

4.5 Sea f una funci´ Z on continua sobre los puntos de la circunferencia unidad que verifica f (−z) = f (z). Pruebe que

f (z) dz = 0. C(0,1)

4.6 Demuestre que si una funci´on entera vale cero sobre la circunferencia unidad entonces la funci´on vale cero en C. l

5. SERIES 5.1 Pruebe que la serie geom´etrica

∞ X

z n converge a 1/(1 − z) si |z| < 1 y diverge si |z| ≥ 1.

n=0

5.2 Halle el radio de convergencia de las series:

(a)

∞ X zn n=0

n

(Soluci´on: Radio = 1) 1

Ampliaci´on de Matem´aticas. Telecomunicaciones.

(b)

∞ X zn n=0

(c)

∞ X

Dpto. Matem´aticas

(Soluci´on: Radio = +∞)

n! zn

(Soluci´on: Radio = 1)

n=0

(d)

∞ X

z 2n

(Soluci´on: Radio = 1)

n=0

6. DESARROLLOS EN SERIE 6.1 Verifique los siguientes desarrollos: (a) exp(z) = 1 + z +

z2 zn + ··· + + · · · , ∀z ∈ C l 2! n!

(b) senz = z −

z3 z 2n+1 + · · · + (−1)n + · · · , ∀z ∈ C l 3! (2n + 1)!

(c) cosz = 1 −

z2 z 2n + · · · + (−1)n + · · · , ∀z ∈ C l 2! (2n)!

(d) log0 (1 + z) = z −

zn z2 + · · · + (−1)n+1 + · · · , |z| < 1 2 n

z3 z 2n+1 (e) senhz = z + + ··· + + · · · , ∀z ∈ C l 3! (2n + 1)! (f) coshz = 1 +

z2 z 2n + ··· + + · · · , ∀z ∈ C l 2! (2n)!

6.2 Calcule la serie de Taylor de f (z) en potencias de z − z0 y su radio de convergencia en los siguientes casos: 1 (a) f (z) = , z0 = 0. (1 − z)2

(Soluci´on:

1 , z0 = 0. (b) f (z) = 2 z − 3z + 2 z+3 (c) f (z) = , z0 = 2. (z − 1)(z − 4) = 1)

∞ X

(n + 1)z n ; Radio = 1)

n=0

(Soluci´on:

∞ µ X

1−

n=0

(Soluci´on:

1

¶ z n ; Radio = 1)

2n+1

∞ µ X 4(−1)n+1 n=0

3

7 − n+1 32

¶ (z − 2)n ; Radio

6.3 Calcule los cuatro primeros t´erminos de la serie de Taylor de f (z) en potencias de z − z0 y su radio de convergencia, en los siguientes casos: 2

Ampliaci´on de Matem´aticas. Telecomunicaciones.

Dpto. Matem´aticas

√ √ (a) f (z) = sen z, z0 = π/4. (Soluci´on: (1/ 2) + (1/ 2)(z − π/4)− √ √ (1/2 2)(z − π/4)2 − (1/6 2)(z − π/4)3 + ...; Radio = +∞) sen z , z0 = 0. z2 + 4 z (c) f (z) = z , z0 = 0. e +1

(b) f (z) =

(Soluci´on:z/4 − 5z 3 /48 + ...; Radio = 2) (Soluci´on:z/2 − z 2 /4 + ...; Radio = π)

1 , D1 = {z ∈ C l : |z − 1| < 2} y D2 = {z ∈ C l : 2 < |z − 1|}. Calcule los desarz−3 ∞ X (−1) rollos en serie de Laurent de f en potencias de z−1 para D1 y para D2 . (Soluci´on: ( n+1 (z − 1)n 2 n=0 ∞ n X 2 en D1 ; en D2 ) n+1 (z − 1) n=0 6.4 Sean f (z) =

ez en potencias z(1 + z 2 ) = 1, a0 = 1 y a1 = −1/2)

6.5 Calcule los coeficientes an para n ≤ 1 de la serie de Laurent de f (z) = de z que es v´alida en 0 < |z| < 1. (Soluci´on: an = 0 si n < −1, a−1

sen z en potencias de (z − 2π) e indique donde es (z − 2π)2 ∞ X (−1)n+1 v´alido dicho desarrollo. (Soluci´on: (z − 2π)2n+1 ; v´alido si 0 < |z − 2π| < +∞) (2n + 3)! n=−1 6.6 Halle la serie de Laurent de f (z) =

6.7 Halle la transformada en z de las sucesiones siguientes: (a) bn = 1 para n ∈ IN ∪ {0}. (Soluci´on: z/(z − 1)) (b) bn = 3n para n ∈ IN ∪ {0}. (Soluci´on: z/(z − 3)) 6.8 Halle la transformada en z inversa de las funciones siguientes: (a) 1/(z − 2). (Soluci´on: b0 = 0 y bn = 2n−1 para n ≥ 1) (b) e1/z . (Soluci´on: bn = 1/n!) 6.9 Halle la soluci´on de la ecuaci´on yk+4 − yk = 2k , k = 0, 1, . . ., con y0 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 2 . (Soluci´on: yk = A2k + B + C(−1)k + Dik + E(−i)k con A = 1/15, B = 1/4, C = −5/12, D = (1 + 8i)/20, E = (1 − 8i)/20 ) 6.10 ª © (a) Demuestre que Z (k + 1)(−1)k =

z2 . (z + 1)2

(b) Resuelva la ecuaci´on µen diferencias yk+1 − iyk = (k + 1)(−1)k , con y0 = 0. (Soluci´on: ¶ i i 1 i yk = ik − (−1)k + − k(−1)k−1 ) 2 2 2 2 3

Ampliaci´on de Matem´aticas. Telecomunicaciones.

Dpto. Matem´aticas

7. RESIDUOS Y POLOS 7.1 Clasifique las singularidades de las funciones siguientes: (a)

(z 2 − 1)(z − 2)2 . sen(πz)

(b)

ez − 1 . z(z − 1)

(Soluci´on: − ZZ − {1, −1, 2} son polos simples y {1, −1, 2} evitables)

(Soluci´on: 0 evitable y 1 polo simple)

z(z − π)2 (c) . sen2 z evitable)

(Soluci´on: {kπ : k ∈ − ZZ − {0, 1} } polos de orden dos, 0, polo simple y π

7.2 Calcule el residuo de f (z) en z = z0 en los siguientes casos: (a) f (z) =

ez y z0 = 0. z(1 + z 2 )

1 y z0 = 0. z sen z (c) f (z) = y z0 = π. (z − π)2

(b) f (z) = sen

(Soluci´on: 1) (Soluci´on: 1) (Soluci´on: −1)

ez y z0 = 0. (Soluci´on: 1/2) z3 1 (e) f (z) = y z0 = 0. (Soluci´on: 0) 1 − cos z

(d) f (z) =

(f) f (z) =

eiz y z0 = i. z + z3

(g) f (z) =

ez y z0 = 1. z(1 + z 2 )

(h) f (z) =

1 y z0 = 0. sen z 3 Z

7.3 Demuestre que C(0,2)

(Soluci´on: −1/(2e)) (Soluci´on: 0) (Soluci´on: 0)

eaz dz = 2πi sen a. 1 + z2

Z

log0 z dz, siendo C la poligonal que une, en el orden que se indica, los puntos: z C 1+e 10 − 2i, 10 + 10i, −5 + 10i, −5 + 5i, 5 + 5i, 5 − 5i, −5 − 5i, −5 − 2i, 10 − 2i. (Soluci´on: 2π 2 − i2πLn3) Z 2ez 7.5 Calcule dz. (Soluci´on: 2πi) z −z C(0,4) z(e − e ) Z log2π (1 + z) 7.6 Calcule dz. (Soluci´on: 2πi) ez 2 − 1 C(0, 12 ) Z 1 dz vale 0 si |a| > 1 y 2πi si |a| < 1. 7.7 Sea a ∈ C l con |a| 6= 1. Pruebe que C(0,1) z − a 7.4 Calcule

4