Elementary Quantum Mechanics

0 downloads 0 Views 863KB Size Report
Feb 3, 2018 - action (the angular momentum) belongs to Niels Bohr (Nobel Prize, 1922). ..... Operatorul impuls ın reprezentarea p se caracterizeaz˘a prin ...

arXiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106

˘ ELEMENTE DE MECANICA ˘ CUANTICA HARET C. ROSU e-mail: [email protected] fax: 0052-47187611 phone: 0052-47183089

h/2π 1

Pentru tot¸i cei atra¸si de S ¸ tiint¸ele Fizice ¸si se afl˘ a ˆın dificilii ani ai ˆınceputului de facultate. . Primul curs de mecanic˘ a cuantic˘a ˆın romˆ ane¸ste ˆın Internet. Acest curs a fost scris ˆın Instituto de F´ısica, Universidad de Guanajuato, Le´ on, Guanajuato, M´exico. c Copyright 2000 de c˘ atre autor. Orice drept comercial este rezervat. Martie 2000

2

English Abstract This is the first graduate course on elementary quantum mechanics in Internet written in Romanian for the benefit of Romanian speaking students (Romania and Moldova). It is a translation (with corrections) of the Spanish version of the course, which I did at the suggestion of Ovidiu Cioroianu, a student of physics in Bucharest. The topics included refer to the postulates of quantum mechanics, one-dimensional barriers and wells, angular momentum and spin, WKB method, harmonic oscillator, hydrogen atom, quantum scattering, and partial waves.

Abstract Romˆanesc Acesta este un curs internetizat de mecanic˘ a cuantic˘a elementar˘ a pe care l-am tradus cu ˆımbun˘at˘ a¸tiri din spaniol˘a (limba ˆın care l-am predat) la rug˘ amintea studentului Ovidiu Cioroianu din Bucure¸sti. Este destinat ˆın principal acelor student¸i care se afl˘ a la primele contacte cu aceast˘ a disciplin˘a de studiu obligatorie, de¸si ar putea s˘ a fie de un oarecare folos ¸si pentru alte categorii de cititori. Sursele de ‘inspirat¸ie’ le-am g˘asit ˆın multe din excelentele manuale de mecanic˘ a cuantic˘a care au fost publicate de-a lungul anilor.

3

CUPRINS 0. Forward - Cuvˆınt ˆınainte

... 5

1. Postulate cuantice

... 7

2. Bariere ¸si gropi rectangulare unidimensionale

... 25

3. Moment cinetic ¸si spin

... 47

4. Metoda WKB

... 75

5. Oscilatorul armonic

... 89

6. Atomul de hidrogen

... 111

7. Ciocniri cuantice

... 133

8. Unde part¸iale

... 147

Include aproximativ 25 de probleme ilustrative. Unit˘a¸tile atomice nerelativiste de spat¸iu ¸si timp aH = h ¯ 2 /me e2 = 0.529 · 10−8 cm

tH = h ¯ 3 /me e4 = 0.242 · 10−16 sec Unit˘a¸tile Planck relativiste de spat¸iu ¸si timp lP = h ¯ /mP c = 1.616 · 10−33 cm

tP = h ¯ /mP c2 = 5.390 · 10−44 sec

4

0 (E). FORWARD The energy quanta occured in 1900 in the work of Max Planck (Nobel prize, 1918) on the black body electromagnetic radiation. Planck’s “quanta of light” have been used by Einstein (Nobel prize, 1921) to explain the photoelectric effect, but the first “quantization” of a quantity having units of action (the angular momentum) belongs to Niels Bohr (Nobel Prize, 1922). This opened the road to the universalization of quanta, since the action is the basic functional to describe any type of motion. However, only in the 1920’s the formalism of quantum mechanics has been developed in a systematic manner. The remarkable works of that decade contributed in a decisive way to the rising of quantum mechanics at the level of fundamental theory of the universe, with successful technological applications. Moreover, it is quite probable that many of the cosmological misteries may be disentangled by means of various quantization procedures of the gravitational field, advancing our understanding of the origins of the universe. On the other hand, in recent years, there is a strong surge of activity in the information aspect of quantum mechanics. This aspect, which was generally ignored in the past, aims at a very attractive “quantum computer” technology. At the philosophical level, the famous paradoxes of quantum mechanics, which are perfect examples of the difficulties of ‘quantum’ thinking, are actively pursued ever since they have been first posed. Perhaps the most famous of them is the EPR paradox (Einstein, Podolsky, Rosen, 1935) on the existence of elements of physical reality, or in EPR words: “If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity.” Another famous paradox is that of Schr¨ odinger’s cat which is related to the fundamental quantum property of entanglement and the way we understand and detect it. What one should emphasize is that all these delicate points are the sourse of many interesting and innovative experiments (such as the so-called “teleportation” of quantum states) pushing up the technology. Here, I present eight elementary topics in nonrelativistic quantum mechanics from a course in Spanish (“castellano”) on quantum mechanics that I taught in the Instituto de F´ısica, Universidad de Guanajuato (IFUG), Le´ on, Mexico, during the semesters of 1998. Haret C. Rosu

5

0 (R). CUVˆINT ˆINAINTE Cuantele de energie au ap˘ arut ˆın 1900 ca o consecint¸˘a a lucr˘ arilor lui Max Planck (premiul Nobel 1918) asupra problemei radiat¸iei de corp negru. “Cuantele de lumin˘a” planckiene au fost folosite de c˘atre Albert Einstein (premiul Nobel 1921) pentru a explica efectul fotoelectric, dar prima “cuantificare” a unei m˘ arimi cu unit˘ a¸ti de act¸iune (momentul cinetic) se datoreaz˘ a lui Niels Bohr (premiul Nobel 1922). Aceasta a deschis drumul universalit˘ a¸tii cuantelor pentru c˘ a act¸iunea este funct¸ionala fundamental˘a pentru descrierea oric˘ arui tip de mi¸scare. Chiar ¸si ˆın aceste condit¸ii, numai anii 1920 se consider˘a ca adev˘aratul ˆınceput pentru formalismul cuantic, care a fost capabil s˘ a ridice mecanica cuantic˘a la nivelul unei teorii fundamentale a universului ¸si s˘ a o transforme ˆıntr-o surs˘a de numeroase succese tehnologice. Este foarte posibil ca multe dintre misteriile cosmologice s˘ a se ascund˘a ˆın spatele diferitelor proceduri de cuantificare ale cˆımpului nelinear gravitat¸ional ¸si eventualele progrese ˆın aceast˘ a direct¸ie ar putea contribui la o mai bun˘a ˆınt¸elegere a istoriei ¸si evolut¸iei universului. Pe de alta parte, aspectul informatic al mecanicii cuantice, care nu a fost mult investigat ˆın trecut, cunoa¸ste ˆın prezent o perioad˘ a exploziv˘ a de cercet˘ ari ˆın ideea construirii a¸sa-numitelor “calculatoare cuantice”. ˆIn domeniul filosofic este de ment¸ionat c˘a ˆın mecanica cuantic˘a exist˘a paradoxuri faimoase, care ˆınc˘ a se ment¸in ˆın polemic˘ a ¸si care reflect˘ a dificult˘ a¸tile de logic˘ a pe care le creaz˘ a modul de “gˆındire cuantic˘a” (sau probabilistic˘ a cuantic˘ a ). Unul dintre cele mai cunoscute paradoxuri este cel al lui Einstein (care nu a acceptatˆın mod total mecanica cuantic˘a), Podolsky ¸si Rosen (EPR, 1935) ˆın leg˘atur˘ a cu problema dac˘ a exist˘a sau nu “elemente adev˘arate de realitate fizic˘ a” ˆın microcosmosul studiat cu metode cuantice (dup˘a Einstein, mecanica cuantic˘a interzice existent¸a independent˘a a actului de m˘ asurare de sistemele fizice m˘ asurate). Alt paradox, de acela¸si rang de celebritate, este al “pisicii lui Schr¨ odinger”. Ceea ce trebuie subliniat ˆın leg˘ atur˘ a cu toate aceste puncte teoretice ¸si metateoretice delicate este c˘ a ele genereaz˘ a experimente foarte interesante (cum ar fi, de exemplu, cele referitoare la a¸sa-numita “teleportare” ale st˘ arilor cuantice) care ˙ impulseaz˘a dezvoltarea tehnologic˘ aCeea ce urmeaz˘a sunt cˆıteva teme introductive ˆın mecanica cuantic˘a nerelativist˘ a care au servit ca baz˘ a pentru cursul de graduare ˆın mecanica cuantic˘a pe care l-am predat ˆın Institutul de Fizic˘a al Universit˘ a¸tii Statale Guanajuato din Mexic ˆın 1998. Haret C. Rosu 6

1. POSTULATE CUANTICE Urm˘ atoarele 6 postulate se pot considera ca baz˘ a pentru teorie ¸si experiment ˆın mecanica cuantic˘ a ˆın varianta sa cea mai folosit˘a (standard). P1.- Fiec˘a rei m˘ arimi fizice ‘bine definit˘a clasic’ L ˆıi corespunde un operator ˆ hermitic L. P2.- Fiec˘arei st˘ ari fizice stat¸ionare ˆın care se poate g˘asi un sistem fizic cuantic ˆıi corespunde o funct¸ie de und˘a normalizat˘a ψ (k ψ k2L2 = 1). P3.- M˘arimea fizic˘ a L poate s˘ a ‘ia’ experimental numai valorile proprii ale ˆ De aceea, valorile proprii trebuie s˘ L. a fie reale, ceea ce are loc pentru operatori hermitici. P4.- Rezultatul unei m˘ asur˘atori pentru determinarea m˘ arimii L este ˆıntotdeauna ˆ ˆın starea ψn , care ˆın teorie este elvaloarea medie L a operatorului L ementul de matrice diagonal ˆ | ψn >= L. < ψn | L P5.- Elementele de matrice ale operatorilor coordonat˘a ¸si moment carteziene xbi ¸si pck , calculate intre funct¸iile de und˘a f ¸si g satisfac ecuat¸iile de mi¸scare Hamilton din mecanica clasica ˆın forma: b ∂H d < f | pbi | g >= − < f | |g> dt ∂ xbi b d ∂H < f | xbi | g >=< f | |g> , dt ∂ pbi

b este operatorul hamiltonian, iar derivatele ˆın raport cu operunde H atori se definesc ˆın punctul 3 al acestui capitol. ck au urm˘ P6.- Operatorii pbi ¸si x atorii comutatori: ck ] = −i¯ [pbi , x hδik ,

[pbi , pck ] = 0, ck ] = 0 [xbi , x

7

h = h/2π = 1.0546 × 10−27 erg.sec. ¯ 1.- Corespondent¸a cu o m˘ arime fizic˘ a L care are analog clasic L(xi , pk ) Aceasta se face substituind xi , pk cu xbi pck . Funct¸ia L se presupune c˘a se poate dezvolta ˆın serie de puteri pentru orice valoare a argumentelor sale, adic˘ a este analitic˘ a . Dac˘a funct¸ia nu cont¸ine produse xk pk , ˆ este hermitic ˆın mod automat. operatorul L Exemplu: P3

T =(

i

P3

p2i )/2m −→ Tb = (

i

pb2 )/2m.

ˆ nu este Dac˘a L cont¸ine produse mixte xi pi ¸si puteri ale acestora, L ˆ partea hermitic˘a a lui L ˆ (Λ ˆ hermitic, ˆın care caz L se substituie cu Λ, este un operator autoadjunct). Exemplu: w(xi , pi ) =

P

i p i xi

b = 1/2 −→ w

P3

bi i (pbi x

+ xbi pbi ).

Rezult˘a deasemenea c˘ a timpul nu este un operator fiind doar un parametru (care se poate introduce ˆın multe feluri). Aceasta pentru c˘a timpul nu depinde de variabilele canonice ci din contr˘ a. 2.- Probabilitate ˆın spectrul discret ¸si continuu ˆ , atunci: Dac˘a ψn este funct¸ie proprie a operatorului M ˆ | n >=< n | λn | n >= λn < n | n >= δnn λn = λn . L =< n | L k

Deasemenea, se poate demonstra c˘a L = (λn )k . ˆ se folose¸ste dezvoltarea Dac˘a funct¸ia φ nu este funct¸ie proprie a lui L ˆ ˆın sistem complet de f.p. ale lui L ¸si deci: ˆ n = λn ψn , Lψ

φ=

combinˆınd aceste dou˘ a relat¸ii obt¸inem:

P

ˆ = Pn λn an ψn . Lφ 8

n an ψn

Putem astfel calcula elementele de matrice ale operatorului L: P

ˆ | φ >= =

P

m

| am |2 λm ,

ceea ce ne spune c˘ a rezultatul experimentului este λm cu o probabilitate | am |2 . Dac˘a spectrul este discret: de acord cu P4 ˆınseamn˘a c˘a | am |2 , deci coeficient¸ii dezvolt˘ arii ˆıntr-un sistem complet de f.p., determin˘a probabilit˘ atile de observare a valorii proprii λn . Dac˘a spectrul este continuu: folosind urm˘atoarea definit¸ie φ(τ ) =

R

a(λ)ψ(τ, λ)dλ,

se calculeaz˘ a elementele de matrice pentru spectrul continuu ˆ|φ> . L =< φ | L Este comun s˘ a se spun˘a c˘a < µ | Φ > este (reprezentarea lui) | Φ > ˆın ˆ. reprezentarea µ, unde | µ > este un vector propriu al lui M

9

3.- Definit¸ia unei derivate ˆın raport cu un operator ˆ ∂F (L) ˆ ∂L

ˆ

ˆ

ˆ

(L) = limǫ→∞ F (L+ǫI)−F . ǫ

4.- Operatorii de impuls cartezian Care este forma concret˘ a a lui pc1 , pc2 y pc3 , dac˘ a argumentele funct¸iilor de und˘a sunt coordonatele carteziene xi ? Vom considera urm˘atorul comutator: [pbi , xbi 2 ] = pbi xbi 2 − xbi 2 pbi

= pbi xbi xbi − xbi pbi xbi + xbi pbi xbi − xbi xbi pbi = (pbi xbi − xbi pbi )xbi + xbi (pbi xbi − xbi pbi ) = [pbi , xbi ]xbi + xbi [pbi , xbi ]

= −i¯hxbi − i¯hxbi = −2i¯hxbi .

ˆIn general, se satisfac:

pbi xbi n − xbi n pbi = −ni¯hxbi n−1 .

Atunci, pentru toate funct¸iile analitice avem:

∂ψ pbi ψ(x) − ψ(x)pbi = −i¯h ∂x . i

Acum, fie pbi φ = f (x1 , x2 , x3 ) modul ˆın care act¸ioneaz˘ a pbi asupra lui φ(x1 , x2 , x3 ) = 1. Atunci:

∂ψ + f1 ψ ¸si exist˘a relat¸ii analoage pentru x2 y x3 . pbi ψ = −i¯ h ∂x 1 Din comutatorul [pbi , pck ] = 0 se obt¸ine ∇ × f~ = 0, ¸si deci,

f i = ∇i F . ∂F ∂ + ∂x , unde F este Forma cea mai general˘ a a lui pbi este pbi = −i¯h ∂x i i orice funct¸ie. Funct¸ia F se poate elimina folosind o transformare unib † = exp( i F ). tar˘ aU h ¯ 10

∂ b † (−i¯ + pbi = U h ∂x i i

∂ = exp h¯ F (−i¯h ∂x + i

∂F b ∂xi )U

−i F ∂F h ¯ ∂xi ) exp

∂ = −i¯h ∂x i

rezultˆınd

∂ −→ pb = −i¯h∇. pbi = −i¯h ∂x i

5.- Calculul constantei de normalizare Orice funct¸ie de und˘a ψ(x) ∈ L2 de variabil˘ a x se poate scrie ˆın forma: ψ(x) =

R

δ(x − ξ)ψ(ξ)dξ

¸si se poate considera aceast˘ a expresie ca dezvoltare a lui ψ ˆın f.p. ale operatorului coordonat˘a x ˆδ(x − ξ) = ξ(x − ξ). Atunci, | ψ(x) |2 este densitatea de probabilitate a coordonatei ˆın starea ψ(x). De aici rezult˘ a interpretarea normei

k ψ(x) k2 =

R

| ψ(x) |2 dx = 1.

Intuitiv, aceast˘ a relat¸ie ne spune c˘a sistemul descris de c˘atre funct¸ia ψ(x) trebuie s˘ a se g˘ aseasc˘ a ˆıntr-un ‘loc’ pe axa real˘ a, chiar dac˘ a vom ¸sti doar aproximativ unde. Funct¸iile proprii ale operatorului impuls sunt: i ∂ψ px h ¯ i i, x ¸ −i¯ h ∂x si p au spectru = p ψ, integrˆ ınd se obt ¸ ine ψ(x ) = A exp i i i continuu ¸si deci normalizarea se face cu ‘funct¸ia delta’. Cum se obt¸ine constanta de normalizare ? Se poateR obt¸ine utilizˆınd urm˘atoareleR transform˘ari Fourier: 1 f (k) expikx dk. f (k) = g(x) exp−ikx dx, g(x) = 2π Deasemenea se obt¸ine cu urm˘atoarea procedur˘a : Fie funct¸ia de und˘a nenormalizat˘a a particulei libere ipx φp (x) = A exp h¯ ¸si formula ′

δ(x − x ) =

1 2π

11

R∞

−∞ exp



ik(x−x ) dx

Se vede c˘ a R∞

∗ −∞ φp′ (x)φp (x)dx

=

R∞

∗ −∞ A exp

=

R∞

−∞

|A

=| A |2 ¯h

′ −ip x h ¯

|2

exp

R∞

A exp

ipx h ¯

′ ix(p−p ) h ¯

−∞ exp

dx

dx

′ ix(p−p ) h ¯

d x¯h



= 2π¯h | A |2 δ(p − p ) ¸si deci constanta de normalizare este: A=

√1 . 2π¯ h

Deasemenea rezult˘ a c˘ a f.p. ale operatorului impuls formeaz˘a un sistem complet (ˆın sensul cazului continuu) pentru funct¸iile de clas˘ a L2 . ψ(x) = a(p) =

√1 2π¯ h

√1 2π¯ h

R

R

a(p) exp

ψ(x) exp

ipx h ¯

−ipx h ¯

dp dx.

Aceste formule stabilesc leg˘atura ˆıntre reprezent˘arile x ¸si p. 6.- Reprezentarea p (de impuls) Forma explicit˘a a operatorilor pˆi ¸si xˆk se poate obt¸ine din relat¸iile de comutare, dar ¸si folosind nucleele

x(p, β) = U † xU =

1 2π¯ h

12

R

exp

−ipx h ¯

x exp

iβx h ¯

dx

R

1 2π¯ h

=

exp

−ipx h ¯

∂ (−i¯h ∂β exp

iβx h ¯

).

R





cU (λ , x)dx, ¸si Integrala are forma urm˘atoare: M (λ, λ ) = U † (λ, x)M R folosind x ˆf = x(x, ξ)f (ξ)dξ, act¸iunea lui x ˆ asupra lui a(p) ∈ L2 este:

x ˆa(p) = R

R

1 = ( 2π¯ h

= =

−i 2π

RR

−i¯ h 2π

=

exp

= −i¯h unde

exp

RR

−i¯ h 2π

R

−ipx h ¯

x(p, β)a(β)dβ

∂ (−i¯h ∂β exp

−ipx h ¯

exp

RR

R

exp

δ(β − p) =

1 2π

exp

∂ ∂β

exp

ix(β−p) h ¯

∂a(p) ∂β δ(β

R

iβx h ¯

∂ ∂β

−ipx h ¯

iβx h ¯

iβx h ¯

)dx)a(β)dβ

a(β)dxdβ a(β)d x¯h dβ

∂ x ∂β a(β)d ¯ h dβ

− p)dβ = −i¯h ∂a(p) ∂p ,

exp

ix(β−p) h ¯

d x¯h .

Operatorul impuls ˆın reprezentarea p se caracterizeaz˘ a prin nucleul:

= =

1 2π¯ h

1 2π¯ h

R

R

b † pU b p(p, β) = U

exp

exp

−ipx h ¯

−ipx h ¯

∂ (−i¯h ∂x ) exp

β exp

iβx h ¯

iβx h ¯

dx

dx = βλ(p − β)

rezultˆınd pˆa(p) = pa(p). Ceea ce se ˆıntˆımpl˘ a cu x ˆ ¸si pˆ este c˘a de¸si sunt operatori hermitici pentru toate f(x) ∈ L2 nu sunt hermitici exact pentru funct¸iile lor proprii. Dac˘a pˆa(p) = po a(p) ¸si x ˆ=x ˆ† pˆ = pˆ† , atunci

13

< a | pˆx ˆ|a>−= −i¯h < a | a > po [< a | x ˆ|a>−] = −i¯h < a | a > po [< a | x ˆ|a>−] = 0 Partea stˆıng˘ a este zero, ˆın timp ce dreapta este indefinit˘a , ceea ce este o contradict¸ie. 7.- Reprezent˘ arile Schr¨ odinger ¸si Heisenberg Ecuat¸iile de mi¸scare date prin P5 au diferite interpret˘ari, datorit˘ a fapd ˆ tului c˘ a ˆın expresia dt < f | L | f > se poate considera dependent¸a temporal˘ a ca apart¸inˆınd fie funct¸iilor de und˘a fie operatorilor, fie atˆıt funct¸iilor de und˘a cˆıt ¸si operatorilor. Vom considera numai primele dou˘ a cazuri. d avem: b = O(t) • Pentru un operator ce depinde de timp O b

pˆi = − ∂∂ xHˆi ,

xˆi =

b ∂H ∂ pˆi

[ˆ p, f ] = pˆf − f pˆ = −i¯h ∂∂f xˆi [ˆ x, f ] = x ˆf − f x ˆ = −i¯h ∂∂fpˆi ¸si se obt¸in ecuat¸iile de mi¸scare Heisenberg: pˆi =

−i b p, H], h [ˆ ¯

xˆi =

−i b x, H]. h [ˆ ¯

• Dac˘a funct¸iile de und˘a depind de timp, ˆınc˘ a se poate folosi pˆi = −i b a este o consecint¸˘a numai a relat¸iilor de coh [pˆi , H], pentru c˘ ¯ mutare care nu depind de reprezentare d dt

< f | pˆi | g >=

14

−i h ¯

b | g >. < f | [ˆ p, H]

b nu depind de timp ¸si se ¸tine cont de hermiticDac˘a acum pˆi ¸si H itate se obt¸ine: ∂g ( ∂f ∂t , pˆi g) + (pˆi f, ∂t )

=

−i ˆ h (f, pˆi Hg) ¯

ˆ pˆi g) + ¯hi (f, H

=

−i ˆ pf, Hg) h (ˆ ¯

ˆ pˆi g) + ¯hi (Hf,

∂g i ˆ i ˆ ( ∂f ∂t + ¯ h Hf, pˆi g) + (pˆi f, ∂t − ¯ h Hg) = 0

Ultima relat¸ie se ˆındepline¸ste pentru orice pereche de funct¸ii f (x) ¸si g(x) ˆın momentul init¸ial dac˘ a fiecare satisface ecuat¸ia i¯h ∂ψ ∂t = Hψ. Aceasta este ecuat¸ia Schr¨ odinger ¸si descrierea sistemului cu ajutorul operatorilor independent¸i de timp se cunoa¸ste ca reprezentarea Schr¨ odinger. ˆIn ambele reprezent˘ ari evolut¸ia temporal˘ a a sistemului se caracterb care se obt¸ine din funct¸ia Hamilton din izeaz˘ a prin operatorul H, mecanica clasic˘ a. b pentru o particul˘ Exemplu: H a ˆın potent¸ial U (x1 , x2 , x3 ) este: b = H

pˆ2 2m

+ U (x1 , x2 , x3 ), ¸si ˆın reprezentarea x este: 2

b = − ¯h ∇2 + U (x1 , x2 , x3 ). H 2m x

8.- Leg˘ atura ˆıntre reprezent˘arile S ¸si H

P5 este corect ˆın reprezent˘arile Schr¨ odinger ¸si Heisenberg. De aceea, valoarea medie a oric˘ arei observabile coincide ˆın cele dou˘ a reprezent˘ari, ¸si deci, exist˘a o transformare unitar˘a cu care se poate trece de la o reprezentare la alta. O astfel de transformare este de forma sˆ† = ˆ −iHt

exp h¯ . Pentru a trece la reprezentarea Schr¨ odinger trebuie folosit˘a ˆ ¸si pentru a trece la transformata Heisenberg ψ = sˆ† f cu f ¸si L, ˆ = reprezentarea Heisenberg se folose¸ste transformarea Schr¨ odinger Λ 15

ˆ s cu ψ ¸si Λ. ˆ Se poate obt¸ine ecuat¸ia Schr¨ sˆ† Lˆ odinger dup˘a cum urmeaz˘ a ˆ † : cum ˆın transformarea ψ = s f funct¸ia f nu depinde de timp, vom deriva transformarea ˆın raport cu timpul pentru a obt¸ine: ∂ψ ∂t

=

∂s† ∂t f

−iH bt ∂ h ¯ )f ∂t (exp

=

=

¸si deci, avem:

−i b h H ¯

exp

b

−iH t h ¯

f=

−i b ˆ† h Hs f ¯

=

−i b h Hψ. ¯

b i¯h ∂ψ ∂t = Hψ.

ˆIn continuare obt¸inem ecuat¸ia Heisenberg: punˆınd transformarea Schr¨ odinger ˆ † ˆ ˆ ˆın urm˘atoarea form˘ a sˆΛs = L ¸si derivˆınd ˆın raport cu timpul se obt¸ine ecuat¸ia Heisenberg

ˆ ∂L ∂t

=

∂ sˆ ˆ ˆ† ∂t Λs

ˆ −iHt bt ˆ ˆ† i ˆ b exp iH b ˆ ∂ sˆ† = i H h ¯ Λs − + sˆΛ ˆλ exp h¯ H ∂t h ¯ hs ¯

b sˆΛ b = i (H bL b = i [H, b L]. ˆ sˆ† − sˆΛ ˆ sˆ† H) ˆ −L ˆ H) ˆ = ¯hi (H h ¯ h ¯

Prin urmare, avem:

ˆ ∂L ∂t

b L]. ˆ = ¯hi [H,

Deasemenea, ecuat¸ia Heisenberg se poate scrie ˆın forma urm˘atoare: ˆ ∂L ∂t

b Λ] ˆ sˆ† . = ¯hi sˆ[H,

ˆ se cunoa¸ste ca integral˘ L a de mi¸scare dac˘ a caracterizeaz˘ a prin urm˘atorii comutatori: b L] ˆ = 0, [H,

16

d dt

ˆ | ψ >= 0 ¸si se =< n | H bA b |n> ˆ − AˆH ˆ | n > − < n | AˆH =< n | En Aˆ | n > − < n | AE

= En < n | Aˆ | n > −En < n | Aˆ | n >= 0. b este • Teorema de virial (virialului) ˆın mecanica cuantic˘a - dac˘ aH un operator hamiltonian al unei particule ˆın cˆımpul U (r), folosind P Aˆ = 1/2 3i=1 (pˆi xˆi − xˆi pˆi ) se obt¸ine: b | ψ >= 0 =< ψ | A b −H bA ˆ H] ˆH ˆ|ψ> < ψ | [A,

=

=

P3

i=1

P3

i=1

b −H b pˆi xˆi | ψ > < ψ | pˆi xˆi H

b xˆi ]pˆi + xˆi [H, b pˆi ] | ψ >. < ψ | [H,

17

ˆ = Tb + folosind de mai multe ori comutatorii ¸si pˆi = −i¯h∇i , H U (r), se poate obt¸ine: b | ψ >= 0 ˆ H] < ψ | [A,

= −i¯ h(2 < ψ | Tb | ψ > − < ψ | ~r · ∇U (r) | ψ >).

Aceasta este teorema virialului. Dac˘a potent¸ialul este U (r) = Uo r n , atunci se obt¸ine o form˘a a teoremei de virial ca ˆın mecanica clasic˘ a cu unica diferent¸˘a c˘a se refer˘a la valori medii T = n2 U . 2

b = − ¯h ∇2 + U (r) ¸si [~ • Pentru un Hamiltonian H r , H] = 2m calculˆınd elementele de matrice se obt¸ine:

(Ek − En ) < n | ~r | k >=

i¯ h m

−i¯ h ~, m p

< n | pˆ | k >.

10.- Densitate de curent de probabilitate Schr¨ odinger Urm˘ atoarea integral˘ a: R

| ψn (x) |2 dx = 1,

este normalizarea unei f.p. din spectrul discret ˆın reprezentarea de coordonat˘a , ¸si apare ca o condit¸ie asupra mi¸sc˘ arii microscopice ˆıntr-o regiune finit˘ a. Pentru f.p. ale spectrului continuu ψλ (x) nu se poate da ˆın mod direct o interpretare probabilistic˘a . S˘ a presupunem o funct¸ie dat˘ a φ ∈ L2 , pe care o scriem ca o combinat¸ie linear˘ a de f.p. ˆın continuu:

φ=

R

a(λ)ψλ (x)dx.

Se spune c˘ a φ corespunde unei mi¸sc˘ ari infinite. ˆIn multe cazuri, funct¸ia a(λ) este diferit˘a de zero numai ˆıntr-o vecin˘ atate ˆ a unui punct λ = λo . In acest caz φ se cunoa¸ste ca pachet de unde. 18

Vom calcula acum viteza de schimbare a probabilit˘a¸tii de a g˘asi sistemul ˆın segmentul (volumul) Ω (generalizarea 3D se face trivial ¸si se va presupune, chiar dac˘ a notat¸ia este 1D).

P =

R



R

| ψ(x, t) |2 dx =

Ωψ

∗ (x, t)ψ(x, t)dx.

Derivˆınd integrala ˆın raport cu timpul g˘asim:

dP dt

=

R

∂ψ∗ Ω (ψ ∂t

+ ψ ∗ ∂ψ ∂t )dx.

Utilizˆınd ecuat¸ia Schr¨ odinger ˆın integrala din partea dreapt˘a se obt¸ine:

dP dt

=

i R ˆ ∗ ¯ Ω (ψ Hψ h

ˆ − ψ ∗ Hψ)dx.

Folosind identitatea f ∇2 g − g∇2 f = div[(f )grad(g) − (g)grad(f )] precum ¸si ecuat¸ia Schr¨ odinger ˆın forma: ˆ = Hψ

h2 ¯ 2 2m ∇ ψ

+Vψ

¸si substituind ˆın integral˘ a se obt¸ine:

dP dt

=

h2 ¯ i R 2 ∗ ¯ Ω [ψ(− 2m ∇ ψ ) h

=− =−

R

R

i¯ h 2 ∗ Ω 2m (ψ∇ ψ

2

h 2 − ψ ∗ ( −¯ 2m ∇ ψ)]dx

− ψ ∗ ∇2 ψ)dx

i¯ h 2 ∗ Ω div 2m (ψ∇ ψ

− ψ ∗ ∇2 ψ)dx.

Folosind teorema divergent¸ei pentru a transforma integrala de volum ˆın una de suprafat¸˘ a obt¸inem:

dP dt

=−

H

i¯ h ∗ 2m (ψ∇ψ

19

− ψ ∗ ∇ψ)dx.

i¯ h ~ M˘arimea J(ψ) = 2m (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗ ∇ψ) se cunoa¸ste ca densitate de curent de probabilitate, pentru care imediat se obt¸ine o ecuat¸ie de continuitate,

dρ dt

+ div(J~) = 0.

• Dac˘a ψ(x) = AR(x), unde R(x) este o funct¸ie real˘ a , atunci: ~ J(ψ) = 0.

• Pentru f.p. ale impulsului ψ(x) = J(ψ) =

1 i¯ h 2m ( (2π¯ h)3 /2

−( (2π¯h1)3 /2 exp =

exp

−i~ p~ x h ¯

1 (2π¯ h)3 /2

i~ p~ x h ¯

i~ p~ x h ¯

se obt¸ine:

i~ p ( ¯h(2π¯ h)3 /2 exp

i~ p h(2π¯ ¯ h)3 /2

2i~ p i¯ h ) 2m (− ¯ h(2π¯ h)3

exp

=

exp

i¯ hp ~~ x h ¯

−i~ p~ x h ¯

)

))

p ~ , m(2π¯ h)3

ceea ce ne indic˘ a o densitatea de curent de probabilitate independent˘ a de coordonat˘a . 11.- Operator de transport spat¸ial b este invariant la translat¸ii de vector arbitrar ~a, Dac˘a H

~ , b r + ~a) = H b (r) H(~

b r )Tb(~a) = H(~ b r + ~a). atunci exist˘a un Tb(~a) unitar Tb † (~a)H(~ Din cauza comutativit˘a¸tii translat¸iilor

Tb(~a)Tb(~b) = Tb(~b)Tb (~a) = Tb(~a + ~b),

ˆ rezult˘ a c˘ a Tb are forma Tb = expika , unde kˆ = ¯hpˆ . ˆIn cazul infinitezimal:

b Tb (δ~a) ≈ (Iˆ + ikδ~ b Iˆ − ikδ~ ˆ a)H( ˆ a), Tb(δ~a)H

20

b r ) + i[K, b a = H(~ b r ) + (∇H)δ~ b a. ˆ H]δ~ H(~

b = 0, unde pˆ este o integral˘ Deasemenea [ˆ p, H] a de mi¸scare. Sistemul i~ p~ r 1 are funct¸ii de und˘a de forma ψ(~ p, ~r) = (2π¯h)3 /2 exp h¯ ¸si transformarea

unitar˘a face ca exp

i~ p~ a h ¯

ψ(~r) = ψ(~r +~a). Operatorul de transport spat¸ial ˆ

−i~ p~ a −iHt Tb † = exp h¯ este analogul lui sˆ† = exp h¯ , operatorul de ‘transport’

temporal.

12.- Exemplu: Hamiltonian cristalin b este invariant pentru o translat¸ie discret˘ Dac˘a H a (de exemplu ˆıntr-o b r + ~a) = H(~ b r ), unde ~a = P a~i ni , ni ∈ N ¸si ai ret¸ea cristalin˘a ) H(~ i sunt vectorii barici, atunci: b r)ψ(~ H(~ r ) = Eψ(~r),

b r + ~a)ψ(~ ˆ r)ψ(~r + ~a). H(~ r + ~a) = Eψ(~r + ~a) = H(~

Rezult˘a c˘ a ψ(~r) ¸si ψ(~r + ~a) sunt funct¸ii de und˘a pentru aceea¸si v.p. b a lui H. Relat¸ia ˆıntre ψ(~r) ¸si ψ(~r + ~a) se poate c˘auta ˆın forma ψ(~r + ~a) = cˆ(~a)ψ(~r) unde cˆ(~a) este o matrice gxg (g este gradul de degenerare al nivelului E). Dou˘a matrici de tip coloan˘ a , cˆ(~a) cˆ(~b) comut˘ a ¸si atunci sunt diagonalizabili simultan. ˆIn plus, pentru elementele diagonale se respect˘a cii (~a)cii (~b) = cii (~a +~b), i=1,2,....,g, cu solut¸ii de tipul cii (a) = expiki a . Rezult˘a c˘a ψk (~r) = ~ Uk (~r) expik~a , unde ~k este un vector real arbitrar ¸si funct¸ia Uk (~r) este periodic˘ a de perioad˘ a ~a, Uk (~r + ~a) = Uk (~r). ˆ periodic cristalin H(~ ˆ r + ~a) = Afirmat¸ia c˘ a funct¸iile proprii ale unui H ˆ r) se pot scrie ψk (~r) = Uk (~r) exp i~k~a cu Uk (~r + ~a) = Uk (~r) se H(~ cunoa¸ste ca teorema lui Bloch. ˆIn cazul continuu, Uk trebuie s˘ a fie constant, pentru c˘ a o constant˘a este unica funct¸ie periodic˘ a pentru orice ~a. Vectorul p~ = h ¯~k se nume¸ste cuasi-impuls (prin analogie cu cazul continuu). Vectorul ~k nu este determinat ˆın mod univoc, pentru c˘ a i se poate ad˘ auga orice vector ~g pentru care ga = 2πn unde n ∈ N. P Vectorul ~g se poate scrie ~g = 3i=1 b~i mi unde mi sunt numere ˆıntregi ¸si bi sunt dat¸i de

21

aˆ ×a~ b~i = 2π a~i (aj~j ×ak~k )

pentru i 6= j 6= k. b~i sunt vectorii barici ai ret¸elei cristaline. Referint¸e recomandate 1. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, “How probability arises in quantum mechanics”, Annals of Physics 192, 368-382 (1989) 2. N.K. Tyagi ˆın Am. J. Phys. 31, 624 (1963) d˘ a o demostrat¸ie foarte scurt˘a pentru principiul de incertitudine Heisenberg, pe baza c˘aruia se afirm˘a c˘a m˘ asurarea simultan˘ a a doi operatori hermitici care nu comut˘ a produce o incertitudine relat¸ionat˘ a cu valoarea comutatorului lor. 3. H.N. N´ un ˜ez-Y´epez et al., “Simple quantum systems in the momentum representation”, physics/0001030 (Europ. J. Phys., 2000). 4. J.C. Garrison, “Quantum mechanics of periodic systems”, Am. J. Phys. 67, 196 (1999). 5. F. Gieres, “Dirac’s formalism and mathematical surprises in quantum mechanics”, quant-ph/9907069 (ˆın englez˘ a); quant-ph/9907070 (ˆın francez˘a). 1N. Note 1. Pentru “crearea mecanicii cuantice...”, Werner Heisenberg a fost distins cu premiul Nobel ˆın 1932 (primit ˆın 1933). Articolul “Z¨ ur Quantenmechanik. II”, [“Asupra mecanicii cuantice.II”, Zf. f. Physik 35, 557-615 (1926) (ajuns la redact¸ie ˆın ziua de 16 Noiembrie 1925) de M. Born, W. Heisenberg ¸si P. Jordan, se cunoa¸ste ca “lucrarea celor trei (oameni)” ¸si este considerat ca cel care a deschis cu adev˘arat vastele orizonturi ale mecanicii cuantice. 2. Pentru “interpretarea statistic˘ a a funct¸iei de und˘a ” Max Born a primit premiul Nobel ˆın 1954.

1P. Probleme Problema 1.1: Se consider˘a doi operatori A ¸si B care prin ipotez˘a comut˘ a. ˆIn acest caz se poate deduce relat¸ia: eA eB = e(A+B) e(1/2[A,B]) . Solut¸ie Definim un operator F(t), ca funct¸ie de variabil˘ a real˘ a t, prin: F (t) = e(At) e(Bt) . 22

At Bt + eAt BeBt = (A + eAt Be−At )F (t). Atunci: dF dt = Ae e ′ Acum, aplicˆınd formula [A, F (B)] = [A, B]F (B), avem [eAt , B] = t[A.B]eAt , ¸si deci: eAt B = BeAt + t[A, B]eAt , multiplicˆınd ambele p˘ art¸i ale ecuat¸iei ultime cu exp−At ¸si substituind ˆın prima ecuat¸ie, obt¸inem: dF dt

= (A + B + t[A, B])F (t).

Operatorii A, B ¸si [A,B] comut˘ a prin ipotez˘a . Deci, putem integra ecuat¸ia diferent¸ial˘ a ca ¸si cum A + B ¸si [A, B] ar fi numere (scalare). Vom avea deci: 2

F (t) = F (0)e(A+B)t+1/2[A,B]t . Punˆınd t = 0, se vede c˘ a F (0) = 1, ¸si : 2

F (t) = e(A+B)t+1/2[A,B]t . Punˆınd acum t = 1, obt¸inem rezultatul dorit. Problema 1.2: S˘ a se calculeze comutatorul [X, Dx ]. Solut¸ie Calculul se face aplicˆınd comutatorul unei funct¸ii arbitrare ψ(~r): ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂x x)ψ(~r) = x ∂x ψ(~r) − ∂x [xψ(~r)] [X, Dx ]ψ(~r) = (x ∂x ∂ ∂ = x ∂x ψ(~r) − ψ(~r) − x ∂x ψ(~r) = −ψ(~r). Cum aceast˘ a relat¸ie se satisface pentru orice ψ(~r), se poate deduce c˘a : [X, Dx ] = −1. Problema 1.3: S˘ a se verifice c˘a urma de matrice este invariant˘a la schimb˘ ari de baze ortonormale discrete. Solut¸ie Suma elementelor diagonale ale unei reprezent˘ari matriceale de un operator (cuantic) A ˆıntr-o baz˘ a arbitrar˘a nu depinde de baz˘ a. Se va obt¸ine aceast˘ a propietate pentru cazul schimb˘ arii dintr-o baz˘ a ortonormal˘ a dicret˘ a | ui > ˆın alta ortonormal discret˘a | tk >. Avem: P P P i < ui | ( k | tk >< tk |) A | ui > i < ui | A | ui >= 23

(unde s-a folosit relat¸ia de completitudine pentru starea tk ). Partea dreapt˘a este egal˘ a cu: P

i,j

< ui | tk >< tk | A | ui >=

P

i,j

< tk | A | ui >< ui | tk >,

(este posibil˘ a schimbarea ordinii ˆın produsul de dou˘ a numere scalare). AstP fel, putem ˆınlocui i | ui >< ui | cu unu (relat¸ia de completitudine pentru st˘ arile | ui >), pentru a obt¸ine ˆın final: X i

< ui | A | ui >=

X k

< tk | A | tk > .

A¸sadar, s-a demonstrat proprietatea cerut˘ a de invariant¸˘a pentru urmele matriceale. Problema 1.4: Dac˘a pentru operatorul hermitic N exist˘a operatorii hermitici L ¸si M astfel c˘ a : [M, N ] = 0, [L, N ] = 0, [M, L] 6= 0, atunci funct¸iile proprii ale lui N sunt degenerate. Solut¸ie Fie ψ(x; µ, ν) funct¸iile proprii comune ale lui M ¸si N (fiind de comutator nul sunt observabile simultane). Fie ψ(x; λ, ν) funct¸iile proprii comune ale lui L ¸si N (fiind de comutator nul sunt observabile simultane). Parametrii greci indic˘ a valorile proprii ale operatorilor corespunz˘atori. Consider˘am, pentru a simplifica, c˘ a N are spectru discret. Atunci: f (x) =

X

aν ψ(x; µ, ν) =

X

bν ψ(x; λ, ν) .

ν

ν

Se calculeaz˘ a acum elementul de matrice < f |M L|f >: < f |M L|f >=

Z X

µν aν ψ ∗ (x; µ, ν)

ν

X



λν ′ bν ′ ψ(x; λ, ν )dx .

ν′

Dac˘a toate funct¸iile proprii ale lui N sunt diferite (nedegenerate) atunci P a se cal< f |M L|f >= ν µν aν λν bν . Dar acela¸si rezultat se obt¸ine ¸si dac˘ culeaz˘ a < f |LM |f > ¸si comuatorul ar fi zero. Prin urmare, unele funct¸ii proprii ale lui N trebuie s˘ a fie degenerate.

24

2. BARIERE S¸I GROPI RECTANGULARE Regiuni de potent¸ial constant ˆIn cazul unui potent¸ial rectangular, V (x) este o funct¸ie constant˘a V (x) = V ˆıntr-o regiune oarecare ˆın spat¸iu. ˆIntr-o astfel de regiune, ecuat¸ia Schr¨ odinger poate fi scris˘a : d2 ψ(x) 2m + 2 (E − V )ψ(x) = 0 (1) dx2 ¯h Distingem mai multe cazuri: (i) E > V Introducem constanta pozitiv˘a k, definit˘a prin k=

p

2m(E − V ) ¯h

(2)

Solut¸ia ecuat¸iei (1) se poate atunci scrie: ψ(x) = Aeikx + A′ e−ikx

(3)

unde A ¸si A′ sunt constante complexe. (ii) E < V Aceast˘a condit¸ie corespunde la regiuni de spat¸iu care ar fi interzise pentru particul˘a din punctul de vedere al mi¸sc˘ arii mecanice clasice. ˆIn acest caz, introducem constanta pozitiv˘a q definit˘a prin: q=

p

2m(V − E) ¯h

(4)

¸si solut¸ia lui (1) poate fi scris˘a : ψ(x) = Beqx + B ′ e−qx

(5)

unde B ¸si B ′ sunt constante complexe. (iii) E = V ˆIn acest caz special, ψ(x) este o funct¸ie linear˘ a de x.

Comportamentul lui ψ(x) la o discontinuitate a potent¸ialului S-ar putea crede c˘ a in punctul x = x1 , unde potent¸ialul V (x) este discontinuu, funct¸ia de und˘a ψ(x) se comport˘ a mai ciudat, poate c˘a ˆın mod discontinuu, de exemplu. Aceasta nu se ˆıntˆımpl˘ a : ψ(x) ¸si dψ dx sunt continue, ¸si numai a doua derivat˘ a prezint˘a discontinuitate ˆın x = x1 . 25

Viziune general˘ a asupra calculului Procedeul pentru determinarea st˘ arii stat¸ionare ˆın potent¸iale rectangulare este deci urm˘atorul: ˆın toate regiunile unde V (x) este constant, scriem ψ(x) ˆın oricare dintre cele dou˘ a forme (3) sau (5) ˆın funct¸ie de aplicat¸ie; ˆın continuare ‘lipim’ aceste funt¸ii corespunz˘ator cerint¸ei de continuitate pentru ψ(x) ¸si dψ ın punctele unde V (x) este discontinuu. dx ˆ

Examinarea cˆıtorva cazuri simple S˘ a facem calculul cantitativ pentru st˘ arile stat¸ionare, conform metodei descrise.

Potent¸ial treapt˘ a

V(x)

V0

I

II

x

0

Fig. 2.1 a. Cazul E > V0 ; reflexie part¸ial˘ a S˘ a punem ec. (2) ˆın forma:

k1 =



2mE ¯h

26

(6)

p

2m(E − V0 ) ¯h

k2 =

(7)

Solut¸ia ec. (1) are forma din ec. (3) ˆın regiunile I(x < 0) ¸si II(x > 0): ψI

= A1 eik1 x + A′1 e−ik1 x

ψII

= A2 eik2 x + A′2 e−ik2 x

ˆIn regiunea I ec. (1) ia forma: ψ ′′ (x) +

2mE ψ(x) = ψ ′′ (x) + k2 ψ(x) = 0 h2 ¯

iar ˆın regiunea II: ψ ′′ (x) −

2m [V0 − E]φ(x) = ψ ′′ (x) − q 2 ψ(x) = 0 h2 ¯

Dac˘a ne limit˘ am la cazul unei particule incidente care ‘vine’ de la x = −∞, trebuie s˘ a alegem A′2 = 0 ¸si putem determina raporturile A′1 /A1 ¸si A2 /A1 . Condit¸iile de ‘lipire’ dau atunci: • ψI = ψII ,

′ , • ψI′ = ψII

ˆın x = 0 : A1 + A′1 = A2

(8)

A1 ik1 − A′1 ik1 = A2 ik2

(9)

ˆın x = 0 :

Substituind A1 ¸si A′1 din (8) ˆın (9): A′1 =

A2 (k1 − k2 ) 2k1

(10)

A1 =

A2 (k1 + k2 ) 2k1

(11)

Egalarea constantei A2 ˆın (10) ¸si (11) implic˘ a: A′1 k1 − k2 = A1 k1 + k2 27

(12)

¸si din (11) obt¸inem: A2 2k1 = (13) A1 k1 + k2 ψ(x) este o superpozit¸ia de dou˘ a unde. Prima (termenul ˆın A1 ) corespunde unei particule incidente, de moment p = h ¯ k1 , ˆın propagare de la stˆınga la dreapta. A doua (termenul ˆın A′1 ) corespunde unei particule reflectate, de impuls −¯ hk1 , ˆın propagare ˆın sens opus. Cum deja am ales A′2 = 0, ψII (x) cont¸ine o singur˘a und˘a , care este asociat˘a cu o particul˘a transmis˘a . (Se va ar˘ ata mai departe cum este posibil, folosind conceptul de curent de probabilitate, s˘ a definim coeficientul de transmisie T precum ¸si coeficientul de reflexie R pentru potent¸ialul treapt˘ a ). Ace¸sti coeficient¸i dau probabilitatea ca o particul˘a , sosind de la x = −∞, ar putea trece de potent¸ialul treapt˘ a ˆın x = 0 sau se ˆıntoarce. Astfel obt¸inem: R=|

A′1 2 | A1

(14)

iar pentru T :

k2 A2 2 | | . k1 A1 T ¸ inˆınd cont de (12) ¸si (13), avem: T =

R = 1− T

=

4k1 k2 (k1 + k2 )2

4k1 k2 . (k1 + k2 )2

(15)

(16) (17)

Este u¸sor de verificat c˘ a R + T = 1: este deci sigur c˘a particula va fi transmis˘ a sau reflectat˘ a . Contrar predict¸iilor mecanicii clasice, particula incident˘ a are o probabilitate nenul˘ a de a nu se ˆıntoarce. Deasemenea este u¸sor de verificat, folosind (6), (7) ¸si (17), c˘a dac˘ aE≫ V0 atunci T ≃ 1: cˆınd energia particulei este suficient de mare ˆın comparat¸ie cu ˆın˘ alt¸imea treptei, pentru particul˘a este ca ¸si cum obstacolul treapt˘ a nu ar exista. Considerˆınd solut¸ia ˆın regiunea I: ψI = A1 eik1 x + A′1 e−ik1 x j=−

i¯h ∗ (φ ▽ φ − φ ▽ φ∗ ) 2m 28

(18)

cu A1 eik1 x ¸si conjugata sa A∗1 e−ik1 x : j = − j =

i¯ h [(A∗1 e−ik1 x )(A1 ik1 eik1 x ) − (A1 eik1 x )(−A∗1 ik1 e−ik1 x )] 2m

¯ k1 h |A1 |2 m

a: Acum cu A′1 e−ik1 x ¸si conjugata sa A∗1 eik1 x rezult˘ j=−

¯ k1 ′ 2 h |A | . m 1

Dorim ˆın continuare s˘ a verific˘ am proport¸ia de curent reflectat fat¸˘a de curentul incident (mai precis, dorim s˘ a verific˘ am probabilitatea ca particula s˘ a fie returnat˘a ): R=

| − ¯hk1 |A′ |2 | A′ |j(φ− )| = ¯hk1m 1 = | 1 |2 |j(φ+ )| A1 | m |A1 |2 |

(19)

Similar, proport¸ia de transmisie fat¸˘a de incident¸˘a (adic˘ a probabilitatea ca particula s˘ a fie transmis˘ a ) este, ¸tinˆınd acum cont de solut¸ia din regiunea II: T =

k2 |A2 |2 | | ¯hm

k1 | h¯m |A1 |2 |

a. Cazul E < V0 ; reflexie total˘ a ˆIn acest caz avem: √ k1 =

q2 =

=

k2 A2 2 | | k1 A1

2mE ¯h

p

2m(V0 − E) ¯h

(20)

(21) (22)

ˆIn regiunea I(x < 0), solut¸ia ec. (1) [scris˘a ψ(x)′′ + k2 ψ(x) = 0] are forma 1 dat˘ a ˆın ec. (3): ψI = A1 eik1 x + A′1 e−ik1 x

(23)

iar ˆın regiunea II(x > 0), aceea¸si ec. (1) [acum scris˘a ψ(x)′′ − q22 ψ(x) = 0] are forma ec. (5): ψII = B2 eq2 x + B2′ e−q2 x (24) 29

Pentru ca solut¸ia s˘ a fie ment¸inut˘ a finit˘ a cˆınd x → +∞, este necesar ca: B2 = 0

(25)

Condit¸iile de ‘lipit’ ˆın x = 0 dau ˆın acest caz: • ψI = ψII , ′ , • ψI′ = ψII

ˆın x = 0 : A1 + A′1 = B2′

(26)

A1 ik1 − A′1 ik1 = −B2′ q2

(27)

ˆın x = 0 :

Substituind A1 ¸si A′1 din (26) ˆın (27): A′1 =

B2′ (ik1 + q2 ) 2ik1

B2′ (ik1 − q2 ) 2ik1 ′ Egalarea constantei B2 ˆın (28) ¸si (29) duce la: A1 =

astfel c˘ a din (29) avem:

(28) (29)

A′1 ik1 + q2 k1 − iq2 = = , A1 ik1 − q2 k1 + iq2

(30)

2ik1 2k1 B2′ = = A1 ik1 − q2 k1 − iq2

(31)

Coeficientul de reflexie R este deci: R=|

A′1 2 k1 − iq2 2 k12 + q22 =1 | =| | = 2 A1 k1 + iq2 k1 + q22

(32)

Ca ˆın mecanica clasic˘ a , microparticula este ˆıntotdeauna reflectat˘ a (reflexie total˘ a ). Totu¸si, exist˘a o diferent¸˘a important˘a : datorit˘ a existent¸ei a¸sanumitei unde evanescente e−q2 x , particula are o probabilitate nenul˘ a de a se g˘ asi ‘prezent˘ a ’ ˆın regiunea din spat¸iu care este clasic interzis˘ a . Aceast˘a probabilitate descre¸ste exponent¸ial cu x ¸si ajunge s˘ a fie neglijabil˘a cˆınd x dep˘ a¸se¸ste “zona” 1/q2 corespunz˘atoare undei evanescente. S˘ a not˘ am ¸si c˘a ′ a diferent¸˘a de faz˘a apare din cauza reflexiei, A1 /A1 este complex. O anumit˘ care, fizic, se datoreaz˘ a faptului c˘a particula este ‘ frˆınat˘ a’ (ˆıncetinit˘ a cˆınd intr˘ a ˆın regiunea x > 0. Nu exist˘a analogie pentru aceasta ˆın mecanica clasic˘ a , ci doar ˆın optica fizic˘ a. 30

Potent¸iale tip barier˘ a

V(x)

V0

I

II

III

0

l

x

Fig. 2.2 a. Cazul E > V0 ; rezonant¸e S˘ a punem aici ec. (2) ˆın forma: √ k1 =

k2 =

2mE ¯h

p

2m(E − V0 ) ¯h

(33) (34)

Solut¸ia ec. (1) este ca ˆın ec. (3) ˆın regiunile I(x < 0), II(0 < x < a) ¸si III(x > a) : ψI

= A1 eik1 x + A′1 e−ik1 x

ψII

= A2 eik2 x + A′2 e−ik2 x

ψIII

= A3 eik1 x + A′3 e−ik1 x

Dac˘a ne limit˘ am la cazul unei particule incidente care vine de la x = −∞, trebuie s˘ a alegem A′3 = 0. 31

• ψI = ψII ,

′ , • ψI′ = ψII

• ψII = ψIII ,

ˆın x = 0 : A1 + A′1 = A2 + A′2

(35)

A1 ik1 − A′1 ik1 = A2 ik2 − A′2 ik2

(36)

ˆın x = 0 :

ˆın x = a : A2 eik2 a + A′2 e−ik2 a = A3 eik1 a

′ = ψ′ , • ψII III

(37)

ˆın x = a : A2 ik2 eik2 a − A′2 ik2 e−ik2 a = A3 ik1 eik1 a

(38)

Condit¸iile de continuitate ˆın x = a dau A2 ¸si A′2 ˆın funct¸ie de A3 , ¸si cele din x = 0 dau A1 ¸si A′1 ˆın funt¸ie de A2 ¸si A′2 (¸si deci ˆın funct¸ie de A3 ). Acest procedeu este ar˘ atat ˆın continuare. ′ Substituind A2 din ec. (37) ˆın (38): A2 =

A3 eik1 a (k2 + k1 ) 2k2 eik2 a

(39)

Substituind A2 din ec. (37) ˆın (38): A′2 =

A3 eik1 a (k2 − k1 ) 2k2 e−ik2 a

(40)

Substituind A1 din ec. (35) ˆın (36): A′1 =

A2 (k2 − k1 ) − A′2 (k2 + k1 ) −2k1

(41)

Substituind A′1 din ec. (35) ˆın (36): A1 =

A2 (k2 + k1 ) − A′2 (k2 − k1 ) 2k1

(42)

Acum, substituind ˆın (41) ecuat¸iile (39) ¸si (40), avem: A′1 = i

(k22 − k12 ) (sin k2 a)eik1 a A3 2k1 k2 32

(43)

ˆIn final, substituind ˆın (42) ecuat¸iile (39) ¸si (40): A1 = [cos k2 a − i

k12 + k22 sin k2 a]eik1 a A3 2k1 k2

(44)

A′1 /A1 ¸si A3 /A1 [raporturi care se obt¸in egalˆınd ecuat¸iile (43) ¸si (44), ¸si respectiv separˆınd ˆın ec. (44)] ne permit calculul coeficientului de reflexie R precum ¸si a celui de transmisie T pentru acest caz simplu de barier˘a , fiind ace¸stia dat¸i de: R = |A′1 /A1 |2 =

(k12 − k22 )2 sin2 k2 a , 4k12 k22 + (k12 − k22 )2 sin2 k2 a

(45)

T = |A3 /A1 |2 =

4k12 k22 , 4k12 k22 + (k12 − k22 )2 sin2 k2 a

(46)

Acum este u¸sor de verificar c˘a R + T = 1. b. Cazul E < V0 ; efectul tunel Acum, fie ecuat¸iile (2) ¸si (4): √ 2mE k1 = ¯h q2 =

p

2m(V0 − E) ¯h

(47) (48)

Solut¸ia ec. (1) are forma ec. (3) ˆın regiunile I(x < 0) ¸si III(x > a), ˆın timp ce ˆın regiunea II(0 < x < a) are forma ec. (5): ψI ψII ψIII

= A1 eik1 x + A′1 e−ik1 x = B2 eq2 x + B2′ e−q2 x = A3 eik1 x + A′3 e−ik1 x

Condit¸iile de ‘lipit’ ˆın x = 0 ¸si x = a ne permit calculul coeficientului de transmisie al barierei. De fapt, nu este necesar a efectua ˆınc˘ a odata calculul: este suficient de a face substitut¸ia, ˆın ecuat¸ia obt¸inut˘ a ˆın primul caz din aceast˘ a sect¸iune k2 cu −iq2 .

33

St˘ ari legate ˆın groap˘ a rectangular˘ a a. Groap˘ a de adˆıncime finit˘ a

V(x)

Vo

a F g. 2.3 Fi

x

Groapa finita

ˆIn aceast˘ a parte ne limit˘ am la studiul cazului 0 < E < V0 (cazul E > V0 este identic calculului din sect¸iunea precedent˘a , “barier˘a de potent¸ial”. Pentru regiunile exterioare I (x < 0) ¸si III (x > a) folosim ec. (4): p

2m(V0 − E) ¯h Pentru regiunea central˘ a II (0 < x < a) folosim ec. (2): q=

p

(49)

2m(E) (50) ¯h Solut¸ia ec. (1) are forma ec. (5) ˆın regiunile exterioare ¸si ˆın forma din ec. (3) ˆın regiunea central˘ a: k=

ψI ψII

= B1 eqx + B1′ e−qx = A2 eikx + A′2 e−ikx 34

ψIII

= B3 eqx + B3′ e−qx

ˆIn regiunea (0 < x < a) ec. (1) are forma: 2mE ψ(x) = ψ(x)′′ + k2 ψ(x) = 0 ¯h2

(51)

2m [V0 − E]φ(x) = ψ(x)′′ − q 2 ψ(x) = 0 h2 ¯

(52)

ψ(x)′′ + ¸si ˆın regiunile exterioare: ψ(x)′′ −

Pentru c˘ a ψ trebuie s˘ a fie finit˘ a ˆın regiunea I, trebuie s˘ a avem: B1′ = 0

(53)

B1 = A2 + A′2

(54)

B1 q = A2 ik − A′2 ik

(55)

Condit¸iile de lipire dau: ψI = ψII , ˆın x = 0 :

′ , ψI′ = ψII

ψII = ψIII ,

ˆın x = 0 :

ˆın x = a : A2 eika + A′2 e−ika = B3 eqa + B3′ e−qa

′ = ψ′ , ψII III

(56)

ˆın x = a : A2 ikeika − A′2 ike−ika = B3 qeqa − B3′ qe−qa

(57)

Substituind constantele A2 ¸si A′2 din ec. (54) ˆın ec. (55) obt¸inem, respectiv: A′2 = A2 =

B1 (q − ik) −2ik B1 (q + ik) 2ik

Substituind constanta A2 ¸si constanta A′2 din ec. obt¸inem, respectiv:

(58) (56) ˆın ec.

B3′ e−qa (ik + q) + B3 eqa (ik − q) + A′2 e−ika (−2ik) = 0 2ikA2 eika + B3′ e−qa (−ik + q) + B3 E qa (−ik − q) = 0 35

(57)

(59)

Egalˆınd B3′ din ecuat¸iile (59) ¸si ¸tinˆınd cont de ecuat¸iile (58): B3 e−qa ika = [e (q + ik)2 − e−ika (q − ik)2 ] B1 4ikq

(60)

ˆIns˘ a ψ(x) trebuie s˘ a fie finit˘ a ¸si ˆın regiunea III. Prin urmare, este necesar ca B3 = 0, ¸si deci: eika q − ik 2 ] = −ika = e2ika (61) [ q + ik e Deoarece q ¸si k depind de E, ec. (1) poate fi satisf˘a cut˘ a pentru anumite valori ale lui E. Condit¸ia ca ψ(x) s˘ a fie finit˘ a ˆın toate regiunile spat¸iale impune cuantizarea energiei. S ¸ i mai precis dou˘ a cazuri sunt posibile: (i) dac˘ a: q − ik = −eika (62) q + ik Egalˆınd ˆın ambii membri partea real˘ a ¸si cea imaginar˘a ,respectiv, rezult˘ a: tan( Punˆınd: k0 = obt¸inem:

s

ka q )= 2 k

2mV0 q 2 = k + q2 ¯h

k2 + q 2 k0 1 2 ka = 1 + tan ( ) = = ( )2 ka 2 2 2 k k cos ( 2 )

(63)

(64)

(65)

Ec.(63) este astfel echivalent˘a cu sistemul de ecuat¸ii: ka k )| = 2 k0 ka tan( ) > 0 2

| cos(

(66)

Nivelele de energie sunt determinate de c˘atre intersect¸ia unei linii drepte de ˆınclinare k10 cu primul set de cosinusoide ˆıntrerupte ˆın figura 2.4. Astfel obt¸inem un num˘ ar de nivele de energie, ale c˘aror funct¸ii de und˘a sunt pare. Acest lucru devine mai clar dac˘ a substituim (62) ˆın (58) ¸si (60). Este u¸sor de verificat c˘ a B3′ = B1 ¸si A2 = A′2 , astfel c˘a ψ(−x) = ψ(x). 36

(ii) dac˘ a: q − ik = eika q + ik

(67)

Un calcul de acela¸si tip ne duce la: k ka )| = 2 k0 ka tan( ) < 0 2

| sin(

(68)

Nivelele de energie sunt ˆın acest caz determinate de c˘atre intersect¸ia aceleia¸si linii drepte cu al doilea set de cosinusoide ˆıntrerupte ˆın figura 2.4. Nivelele astfel obt¸inute se afl˘ a ˆıntre cele g˘asite ˆın (i). Se poate ar˘ ata u¸sor c˘a funct¸iile de und˘a corespunz˘atoare sunt impare. y

I P I P 0

π /a

2π /a

3π /a

k 0 4π /a

k

Fig. 2.4

b. Groap˘ a de adˆıncime infinit˘ a ˆIn acest caz este convenabil s˘ a se pun˘a V (x) zero pentru 0 < x < a ¸si infinit ˆın tot restul axei. Punˆınd: s 2mE k= (69) ¯h2 37

ψ(x) trebuie s˘ a fie zero ˆın afara intervalului [0, a], ¸si continu˘ a ˆın x = 0, cˆıt ¸si ˆın x = a. Acum, pentru 0 ≤ x ≤ a: ψ(x) = Aeikx + A′ e−ikx

(70)

Pentru c˘ a ψ(0) = 0, se poate deduce c˘a A′ = −A, ceea ce ne conduce la: ψ(x) = 2iA sin(kx)

(71)

ˆIn plus ψ(a) = 0, astfel c˘ a:

nπ (72) a unde n este un ˆıntreg pozitiv arbitrar. Dac˘a normaliz˘am funct¸ia (71), ¸tinˆınd cont de (72), atunci obt¸inem funct¸iile de und˘a stat¸ionare: k=

ψn (x) =

r

nπx 2 sin( ) a a

(73)

cu energiile:

n2 π 2 ¯h2 (74) 2ma2 Cuantizarea nivelelor de energie este prin urmare extrem de simpl˘a ˆın acest caz: energiile stat¸ionare sunt proport¸ionale cu p˘ atratele numerelor naturale. En =

2P. Probleme Problema 2.1: Potent¸ialul Delta atractiv S˘ a presupunem c˘ a avem un potent¸ial de forma: V (x) = −V0 δ(x);

V0 > 0;

x ∈ ℜ.

Funct¸ia de und˘a ψ(x) corespunz˘atoare se presupune continu˘ a. a) S˘ a se obt¸in˘ a st˘ arile legate (E < 0), dac˘ a exist˘a , localizate ˆın acest tip de potent¸ial. b) S˘ a se calculeze dispersia unei unde plane care ‘cade’ pe acest potent¸ial ¸si s˘ a se obt¸in˘ a coeficientul de reflexie R=

|ψref l |2 |x=0 |ψinc |2 38

unde ψref l , ψinc sunt unda reflectat˘ a ¸si respectiv cea incident˘a . Sugestie: Pentru a evalua comportamentul lui ψ(x) ˆın x=0, se recomand˘a integrarea ecuat¸iei Schr¨ odinger ˆın intervalul (−ε, +ε), dup˘a care se aplic˘ a limita ε → 0. Solut¸ie. a) Ecuat¸ia Schr¨ odinger este: d2 ψ(x) 2m + 2 (E + V0 δ(x))ψ(x) = 0 dx2 ¯ h

(75)

Departe de origine avem o ecuat¸ie diferent¸ial˘a de forma 2mE d2 ψ(x) = − 2 ψ(x). 2 dx ¯h

(76)

Funct¸iile de und˘a sunt prin urmare de forma ψ(x) = Ae−qx + Beqx

pentru

x>0

sau

x < 0,

(77)

q

−2mE/¯ h2 ∈ ℜ. Cum |ψ|2 trebuie s˘ a fie integrabil˘ a , nu putem accepta o parte care s˘ a creasc˘ a exponent¸ial. ˆIn plus funct¸ia de und˘a trebuie s˘ a fie continu˘ a ˆın origine. Cu aceste condit¸ii, cu q =

ψ(x) = Aeqx ;

(x < 0),

−qx

ψ(x) = Ae

;

(x > 0).

(78)

ˆIntegrˆınd ecuat¸ia Schr¨ odinger ˆıntre −ε ¸si +ε, obt¸inem ¯2 ′ h − [ψ (ε) − ψ ′ (−ε)] − V0 ψ(0) = E 2m

Z

+ε −ε

ψ(x)dx ≈ 2εEψ(0)

(79)

Introducˆınd acum resultatul (78) ¸si ¸tinˆınd cont de limita ε → 0, avem − h2 ) [− sau E = −m(V02 /2¯

¯2 h (−qA − qA) − V0 A = 0 2m V02 4

ˆın unit˘ a¸ti

h2 ¯ 2m ].

(80)

ˆIn mod clar exist˘a o singur˘a en-

ergie discret˘a . Constanta de normalizare se g˘ase¸ste c˘a este A =

q

mV0 /¯h2 .

Funct¸ia de und˘a a st˘ arii legate se obt¸ine ψo = AeV0 |x|/2 , cu V0 ˆın unit˘ a¸ti

39

h2 ¯ 2m .

b) Funct¸ia de und˘a pentru o und˘a plan˘ a este dup˘a cum se ¸stie ψ(x) = Aeikx ,

2mE . ¯h2

k2 =

(81)

Se mi¸sc˘ a de la stˆınga la dreapta ¸si se reflect˘ a ˆın potent¸ial. Dac˘a B sau C este amplitudinea undei reflectate sau transmise, respectiv, avem ψ(x) = Aeikx + Be−ikx ; ikx

ψ(x) = Ce

(x < 0),

;

(x > 0).

(82)

Condit¸iile de continuitate ¸si relat¸ia ψ ′ (ε) − ψ ′ (−ε) = −f ψ(0) cu f = 2mV0 /¯ h2 produc f A, f + 2ik 2ik A. C= f + 2ik B=−

A+B = C ik(C − A + B) = −f C

(83)

Coeficientul de reflexie cerut este prin urmare R=

|ψref l |2 |B|2 m2 V02 . | = = x=0 |ψinc |2 |A|2 m2 V02 + h ¯ 4 k2

(84)

Dac˘a potent¸ialul este extrem de puternic (V0 → ∞) se vede c˘a R → 1, adic˘ a unda este reflectat˘ a ˆın totalitate. Coeficientul de transmisie, pe de alt˘a parte, este T =

|ψtrans |2 |C|2 ¯h4 k2 . | = = x=0 |ψinc |2 |A|2 m2 V02 + h ¯ 4 k2

(85)

Dac˘a potent¸ialul este foarte puternic (V0 → ∞) atunci T → 0, adic˘ a , unda transmis˘ a cade rapid de cealalt˘a parte a potent¸ialului. Evident, R + T = 1 cum era de a¸steptat.

40

Problema 2.2: Particul˘ a ˆıntr-o groap˘ a de potent¸ial finit˘ a 1D S˘ a se rezolve ecuat¸ia Schr¨ odinger unidimensional˘ a pentru o groap˘ a de potent¸ial finit˘ a descris˘a prin condit¸iile V (x) =

(

−V0 dac˘ a |x| ≤ a 0 dac˘ a |x| > a .

S˘ a se considere numai st˘ arile legate (E < 0).

V

−a

+a

x

E

−V 0

Fig. 2.5 Solut¸ie. a) Funct¸ia de und˘a pentru |x| < a ¸si |x| > a. Ecuat¸ia Schr¨ odinger corespunz˘atoare este −

¯ 2 ′′ h ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) . 2m

Definim q2 = −

2mE , ¯h2

k2 = 41

2m(E + V0 ) ¯h2

(86)

(87)

¸si obt¸inem: ′′

1) pentru x < −a :

ψ1 (x) − q 2 ψ1 = 0, ψ1 = A1 eqx + B1 e−qx ;

3) pentru x > a :

ψ3 (x) − q 2 ψ3 = 0, ψ3 = B3 eqx + B3 e−qx .

′′

2) pentru − a ≤ x ≤ a : ψ2 (x) + k2 ψ2 = 0, ψ2 = A2 cos(kx) + B2 sin(kx); ′′

b) Formularea condit¸iilor de frontier˘ a. Normalizarea st˘ arilor legate cere ca solut¸ia s˘ a fie zero la infinit. Aceasta ˆınseamn˘a c˘ a B1 = A3 = 0. ˆIn plus, ψ(x) trebuie s˘ a fie continuu diferent¸iabil˘ a . Toate solut¸iile particulare sunt fixate ˆın a¸sa fel ˆıncˆıt ψ precum ¸si prima sa derivat˘ a ψ ′ sunt continue ˆın acea valoare a lui x corespunzˆınd frontierei ˆıntre zona interioar˘ a ¸si cea exterioar˘a . A doua derivat˘a ψ ′′ cont¸ine saltul (discontinuitatea) impus de c˘ atre potent¸ialul particular de tip ‘cutie’ al acestei ecuat¸ii Schr¨ odinger. Toate acestea ne conduc la ψ1 (−a) = ψ2 (−a),

ψ2 (a) = ψ3 (a),

ψ2′ (−a),

ψ2′ (a) = ψ3′ (a).

ψ1′ (−a)

=

(88)

c) Ecuat¸iile de valori proprii. Din (88) obt¸inem patru ecuat¸ii lineare ¸si omogene pentru coeficient¸ii A1 , A2 , B2 ¸si B3 : A1 e−qa = A2 cos(ka) − B2 sin(ka),

qA1 e−qa = A2 k sin(ka) + B2 k cos(ka), B3 e−qa = A2 cos(ka) + B2 sin(ka), −qB3 e−qa = −A2 k sin(ka) + B2 k cos(ka).

(89)

Adunˆınd ¸si sc˘ azˆınd obt¸inem un sistem de ecuat¸ii mai u¸sor de rezolvat: (A1 + B3 )e−qa = 2A2 cos(ka) q(A1 + B3 )e−qa = 2A2 k sin(ka) (A1 − B3 )e−qa = −2B2 sin(ka)

q(A1 − B3 )e−qa = 2B2 k cos(ka).

(90)

Dac˘a se presupune c˘ a A1 + B3 6= 0 ¸si A2 6= 0, primele dou˘ a ecuat¸ii dau q = k tan(ka).

(91)

care pus ˆın ultimele dou˘ a d˘ a A1 = B3 ;

B2 = 0. 42

(92)

De aici, ca rezultat, obt¸inem o solut¸ie simetric˘a , ψ(x) = ψ(−x), sau de paritate pozitiv˘ a. Un calcul practic identic ne duce pentru A1 − B3 6= 0 ¸si pentru B2 6= 0 la q = −k cot(ka) y A1 = −B3 ; A2 = 0. (93) Funct¸ia de und˘a astfel obt¸inut˘ a este antisimetric˘a , corespunzˆınd unei parit˘ a¸ti negative. d) Solut¸ie calitativ˘a a problemei de valori proprii. Ecuat¸ia care leag˘ a q ¸si k, pe care am obt¸inut-o deja, d˘ a condit¸ii pentru autovalorile de energie. Folosind forma scurt˘a ξ = ka,

η = qa,

(94)

obt¸inem din definit¸ia (87) ξ 2 + η2 =

2mV0 a2 = r2. ¯h2

(95)

Pe de alt˘ a parte, folosind (91) ¸si (93) obt¸inem ecuat¸iile η = −ξ cot(ξ).

η = ξ tan(ξ),

Astfel autovalorile de energie c˘autate pot fi obt¸inute construind intersect¸ia acestor dou˘ a curbe cu cercul definit de (95), ˆın planul ξ-η (vezi figura 2.6). η 2

ξ +η

η 2

= r

2 2 2 2 ξ + η =r η = −ξ cot ξ

η = ξ tan ξ 1 2 3

4

ξ

ξ

Fig. 2.6

Cel put¸in o solut¸ie exist˘a pentru valori arbitrare ale parametrului V0 , ˆın cazul parit˘ a¸tii pozitive, pentru c˘a funct¸ia tangent˘a intersecteaz˘ a originea. 43

Pentru paritatea negativ˘a , raza cercului trebuie s˘ a fie mai mare decˆıt o anumit˘ a valoare minim˘a astfel c˘a cele dou˘ a curbe s˘ a se poat˘a intersecta. Potent¸ialul trebuie s˘ a aib˘ a o anumit˘ a adˆıncime relat¸ionat˘ a cu o scal˘ a spat¸ial˘a dat˘ a a ¸si o scal˘ a de mas˘ a dat˘ a m, pentru a permite o solut¸ie de paritate negativ˘a . Num˘ arul de nivele de energie cre¸ste cu V0 , a ¸si masa m. Pentru cazul ˆın care mV a2 → ∞, intersect¸iile se afl˘ a din tan(ka) = ∞

−→

− cot(ka) = ∞

−→

2n − 1 π, 2 ka = nπ, ka =

(96)

unde n = 1, 2, 3, . . . sau combinˆınd: k(2a) = nπ.

(97)

Pentru spectrul de energie acest lucru ˆınseamn˘a c˘a En =

¯ 2 nπ 2 h ( ) − V0 . 2m 2a

(98)

L˘ argind groapa de potent¸ial ¸si/sau masa particulei m, diferent¸a ˆıntre dou˘ a autovalori de energie vecine va descre¸ste. Nivelul cel mai de jos (n = 1) nu este localizat ˆın −V0 , ci un pic mai sus. Aceast˘a diferent¸˘a se nume¸ste energia de punct zero. e) Formele funct¸iilor de und˘a se arat˘ a ˆın figura 2.7 pentru solut¸iile discutate . ψ 1

ψ

4

3

2

x

x

Fig. 2.7: Forme ale functiilor de unda ,

44

Problema 2.3: Particul˘ a ˆın groap˘ a rectangular˘ a 1D infinit˘ a S˘ a se rezolve ecuat¸ia Schr¨ odinger unidimensional˘ a pentru o particul˘a care se afl˘ a intr-o groap˘ a de potent¸ial infinit˘a descris˘a de: V (x) =

(

0 pentru x′ < x < x′ + 2a ∞ pentru x′ ≥ x o x ≥ x′ + 2a.

Solut¸ia ˆın form˘ a general˘ a este ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) unde k=

s

2mE . ¯h2

(99)

(100)

Cum ψ trebuie s˘ a ˆındeplineasc˘a ψ(x′ ) = ψ(x′ + 2a) = 0, se obt¸ine: A sin(kx′ )

+



B cos(kx′ ) = 0 ′

A sin[k(x + 2a)] + B cos[k(x + 2a)] = 0 .

(101) (102)

Multiplicˆınd (101) cu sin[k(x′ + 2a)] ¸si (102) cu sin(kx′ ) ¸si ˆın continuare sc˘ azˆınd ultimul rezultat din primul obt¸inem: B[ cos(kx′ ) sin[k(x′ + 2a)] − cos[k(x′ + 2a)] sin(kx′ ) ] = 0 .

(103)

sau prin intermediul unei identit˘a¸ti trigonometrice: B sin(2ak) = 0

(104)

Multiplicˆınd (101) cu cos[k(x′ +2a)] ¸si sc˘ azˆınd (102) multiplicat˘ a cu cos(kx′ ), se obt¸ine: A[ sin(kx′ ) cos[k(x′ + 2a)] − sin[k(x′ + 2a)] cos(kx′ ) ] = 0 ,

(105)

sau folosind aceea¸si identitate trigonometric˘a : A sin[k(−2ak)] = A sin[k(2ak)] = 0 .

(106)

Cum nu se ¸tine cont de solut¸ia trivial˘a ψ = 0, atunci pe baza ecuat¸iilor (104) ¸si (106) trebuie ca sin(2ak) = 0, care are loc numai dac˘ a 2ak = nπ,

45

cu n un ˆıntreg. Conform celor anterioare k = nπ/2a ¸si cum k2 = 2mE/¯h2 atunci rezult˘ a c˘ a autovalorile sunt date de c˘atre expresia: E=

¯ 2 π 2 n2 h . 8a2 m

(107)

Energia este cuantizat˘ a pentru c˘a numai pentru fiecare kn = nπ/2a le corespunde o energie En = [n2 /2m][π¯h/2a]2 . Solut¸ia ˆın forma general˘ a: nπx nπx ) + B cos( ). 2a 2a

(108)

ψψ ∗ dx = a(A2 + B 2 )

(109)

ψn = A sin( se poate normaliza: 1= ceea ce ne conduce la:

Z

x′ +2a

x′

q

A = ± 1/a − B 2 .

(110)

Substituind aceast˘ a valoare a lui A ˆın (101) se obt¸ine: 1 nπx′ B = ∓ √ sin( ). a 2a

(111)

Substituind acum aceasta valoare a lui B ˆın (110) se obt¸ine: 1 nπx′ A = ± √ cos( ) a 2a

(112)

Folosind semnele superioare pentru A ¸si B, prin substituirea valorilor acestora ˆın (108) se obt¸ine: nπ 1 ψn = √ sin( )(x − x′ ) . a 2a

(113)

Utilizˆınd semnele inferioare pentru A ¸si B se obt¸ine: nπ 1 ψn = − √ sin( )(x − x′ ). a 2a

46

(114)

3. MOMENT CINETIC S¸I SPIN Introducere Din Mecanica Clasic˘ a se ¸stie c˘a , momentul cinetic l pentru particulele macroscopice este dat de l = r × p, (1) unde r ¸si p sunt respectiv vectorul de pozit¸ie ¸si impulsul lineal. Totu¸si, ˆın Mecanica Cuantic˘ a , exist˘a operatori de tip moment cinetic (OTMC) care nu obligatoriu se exprim˘ a (numai) prin operatorii de coordonat˘ ax ˆj ¸si impuls pˆk act¸ionˆınd (numai) asupra funct¸iilor proprii de coordonate. Prin urmare, este foarte important s˘ a se stabileasc˘a , mai ˆıntˆıi de toate, relat¸ii de comutare generale pentru componentele OTMC. ˆIn Mecanica Cuantic˘ a l se reprezint˘a prin operatorul l = −i¯hr × ∇,

(2)

ale c˘ arui componente sunt operatori care satisfac urm˘atoarele reguli de comutare [lx , ly ] = ilz ,

[ly , lz ] = ilx ,

[lz , lx ] = ily ,

(3)

¸si ˆın plus, fiecare dintre ele comut˘ a cu p˘ atratul momentului cinetic, adic˘ a l2 = lx2 + ly2 + lz2 ,

[li , l2 ] = 0,

i = 1, 2, 3.

(4)

Aceste relat¸ii, ˆın afar˘a de a fi corecte pentru momentul cinetic, se satisfac pentru importanta clas˘ a OTMC a operatorilor de spin, care sunt lipsit¸i de analogi ˆın mecanica clasic˘ a. Aceste relat¸ii de comutare sunt bazice pentru a obt¸ine spectrul operatorilor ment¸ionat¸i, precum ¸si reprezent˘arile lor diferent¸iale.

Momentul cinetic orbital Pentru un punct oarecare al unui spat¸iu fix (SF), se poate introduce o funct¸ie ψ(x, y, z), pentru care, s˘ a consider˘am dou˘ a sisteme carteziene Σ ¸si Σ′ , unde ′ Σ se obt¸ine prin rotat¸ia axei z a lui Σ. ˆIn cazul general un SF se refer˘a la un sistem de coordonate diferite de Σ ¸si Σ′ .

47

Acum, s˘ a compar˘am valorile lui ψ ˆın dou˘ a puncte ale SF cu acelea¸si ′ coordonate (x,y,z) ˆın Σ ¸si Σ , ceea ce este echivalent cu rotat¸ia vectorial˘ a ψ(x′ , y ′ , z ′ ) = Rψ(x, y, z)

(5)

unde R este matricea de rotat¸ie ˆın R3 

atunci









cos φ − sin φ 0 x x′    ′   cos φ 0   y  ,  y  =  sin φ 0 0 z z z′ Rψ(x, y, z) = ψ(x cos φ − y sin φ, x sin φ + y cos φ, z).

(6)

(7)

Pe de alt˘ a parte este important de amintit c˘a funct¸iile de und˘a nu depind de sistemul de coordonate ¸si c˘a trasformarea la rotat¸ii ˆın cadrul SF se face cu ajutorul operatorilor unitari ¸si deci pentru a stabili forma operatorului unitar U † (φ) care trece ψ ˆın ψ ′ , se consider˘a o rotat¸ie infinitezimal˘a dφ, ment¸inˆınd numai termenii lineari ˆın dφ atunci cˆınd se face dezvoltarea ˆın serie Taylor a lui ψ ′ ˆın jurul punctului x ψ(x′ , y ′ , z ′ ) ≈ ψ(x + ydφ, xdφ + y, z),   ∂ψ ∂ψ −x ≈ ψ(x, y, z) + dφ y , ∂x ∂y ≈ (1 − idφlz )ψ(x, y, z),

(8)

unde am folosit notat¸ia1 lz = h ¯ −1 (ˆ xpˆy − yˆpˆx ),

(9)

care, dup˘a cum se va vedea mai tˆırziu, corespunde operatorului de proiect¸ie ˆın z al momentului cinetic de acord cu definit¸ia din (2) ¸si ad˘ augˆınd factorul h ¯ −1 , astfel c˘ a rotat¸iile de unghi φ finit se pot reprezenta ca exponent¸iale de tipul: ψ(x′ , y ′ , z) = eilz φ ψ(x, y, z), (10) unde

ˆ † (φ) = eilz φ . U

(11)

Pentru a reafirma conceptul de rotat¸ie, s˘ a ˆıl consider˘am ˆıntr-un tratament ˆ~ mai general cu ajutorul operatorului vectorial A care act¸ioneaz˘ a asupra lui 1

Demostrat¸ia lui (8) se prezint˘ a ca problema 3.1

48

ψ, presupunˆınd c˘ a Aˆx , Aˆy Aˆz au aceea¸si form˘a ˆın Σ ¸si Σ′ , adic˘ a , valorile ˆ~ medii ale lui A calculate ˆın Σ ¸si Σ′ trebuie s˘ a fie egale cˆınd se v˘ad din SF: Z

ψ ∗ (~r′ )(Aˆxˆı′ + Aˆy ˆ′ + Aˆz kˆ′ )ψ ∗ (~r′ ) d~r =

Z

ˆ ∗ (~r) d~r, ψ ∗ (~r)(Aˆxˆı + Aˆy ˆ + Aˆz k)ψ

(12)

unde ˆı′ = ˆı cos φ + ˆsin φ,

ˆ′ = ˆı sin φ + ˆcos φ,

ˆ kˆ′ = k.

(13)

Prin urmare, dac˘ a vom combina (10), (12) ¸si (13) obt¸inem eilz φ Aˆx e−ilz φ = Aˆx cos φ − Aˆy sin φ, eilz φ Aˆy e−ilz φ = Aˆx sin φ − Aˆy cos φ, eilz φ Aˆz e−ilz φ = Aˆz .

(14)

Din nou considerˆınd rotat¸ii infinitezimale ¸si dezvoltˆınd p˘ art¸ile din stˆınga ˆ ˆ ˆın (14) se pot determina relat¸iile de comutare ale lui Ax , Ay ¸si Aˆz cu ˆlz [lz , Ax ] = iAy ,

[lz , Ay ] = −iAx ,

[lz , Az ] = 0,

(15)

¸si ˆın acela¸si mod pentru lx ¸si ly . Condit¸iile bazice pentru a obt¸ine aceste relat¸ii de comutare sunt ⋆ FP se transform˘a ca ˆın (7) cˆınd Σ → Σ′ . ⋆ Componentele Aˆx , Aˆy , Aˆz au aceea¸si form˘a ˆın Σ ¸si Σ′ . ⋆ Vectorii valorilor medii ale lui Aˆ ˆın Σ ¸si Σ′ coincid (sunt egale) pentru un observator din SF. Deasemenea se poate folosi alt˘a reprezentare ˆın care ψ(x, y, z) nu se schimb˘ a cˆınd Σ → Σ′ ¸si operatorii vectoriali se transform˘a ca orice vectori. Pentru a trece la o astfel de representare cˆınd φ se rote¸ste ˆın jurul lui z se ˆ (φ), adic˘ folose¸ste operatorul U a

¸si deci

eilz φ ψ ′ (x, y, z) = ψ(x, y, z),

(16)

ˆ~ ilz φ ˆ~ e−ilz φ Ae = A.

(17)

49

Utilizˆınd relat¸iile date ˆın (14) obt¸inem Aˆ′x = Aˆx cos φ + Aˆy sin φ = e−ilz φ Aˆx eilz φ , Aˆ′y = −Aˆx sin φ + Aˆy cos φ = e−ilz φ Aˆy eilz φ , Aˆ′ = e−ilz φ Aˆz eilz φ . z

(18)

Pentru c˘ a transform˘arile noii reprezent˘ari se fac cu ajutorul operatorilor unitari, relat¸iile de comutare nu se schimb˘ a.

Observat¸ii ⋆ Operatorul Aˆ2 este invariant la rotat¸ii, adic˘ a

⋆ Rezult˘a c˘ a

e−ilz φ Aˆ2 eilz φ = Aˆ′2 = Aˆ2 .

(19)

[ˆli , Aˆ2 ] = 0 .

(20)

⋆ Dac˘a operatorul Hamiltonian este de forma ˆ = 1 pˆ2 + U (|~r|), H 2m

(21)

atunci se ment¸ine invariant la rotat¸ii produse ˆın oricare ax˘a care trece prin originea de coordonate ˆ =0, [ˆli , H]

(22)

unde ˆli sunt integrale de mi¸scare.

Definit¸ie Dac˘a Aˆi sunt componentele unui operator vectorial care act¸ioneaz˘ a asupra unei funct¸ii de und˘a dependent˘a numai de coordonate ¸si dac˘ a exist˘a operatori ˆ li care satisfac urm˘atoarele relat¸ii de comutare: [ˆli , Aˆj ] = iεijk Aˆk ,

[ˆli , ˆlj ] = iεijk ˆlk ,

(23)

atunci, ˆli se numesc componentele operatorului moment cinetic (orbital) ¸si putem s˘ a deducem pe baza lui (20) ¸si (23) c˘a [ˆli , ˆl2 ] = 0. 50

(24)

Prin urmare, cele trei componente operatoriale asociate cu componentele unui moment cinetic clasic arbitrar satisfac relat¸ii de comutare de tipul (23), (24). Mai mult, se poate ar˘ ata c˘a aceste relat¸ii conduc la propriet˘a¸ti geometrice specifice ale rotat¸iilor ˆıntr-un spat¸iu euclidean tridimensional. Aceasta are loc dac˘ a adopt˘ am un punct de vedere mai general ¸si definim un operator moment unghiular J (nu mai punem simbolul de operator) ca orice set de trei observabile Jx , Jy ¸si Jz care ˆındeplinesc relat¸iile de comutare: [Ji , Jj ] = iεijk Jk .

(25)

ˆIn plus, s˘ a introducem operatorul J2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 ,

(26)

p˘ atratul scalar al momentului unghiular J. Acest operator este hermitic pentru c˘ a Jx , Jy ¸si Jz sunt hermitici ¸si se arat˘ a u¸sor c˘a J2 comut˘ a cu cele trei componente ale lui J [J2 , Ji ] = 0. (27) Deoarece J2 comut˘ a cu fiecare dintre componente rezult˘ a c˘a exist˘a un sistem complet de FP, respectiv J2 ψγµ = f (γ 2 )ψγµ ,

Ji ψγµ = g(µ)ψγµ ,

(28)

unde, a¸sa cum se va ar˘ ata ˆın continuare, FP-urile depind de doi subindici, care se vor determina odat˘ a cu forma funct¸iilor f (γ) ¸si g(µ). Operatorii Ji ¸si Jk (i 6= k) nu comut˘ a (ˆıntre ei), adic˘ a , nu au FP ˆın comun. Din motive atˆıt fizice cˆıt ¸si matematice, suntem interesat¸i s˘ a determin˘am funct¸iile proprii 2 comune ale lui J ¸si Jz , adic˘ a vom lua i = z ˆın (28). ˆIn loc de a folosi componentele Jx ¸si Jy ale momentului unghiular J, este mai convenabil s˘ a se introduc˘ a urm˘atoarele combinat¸ii lineare J− = Jx − iJy .

J+ = Jx + iJy ,

(29)

Ace¸sti operatori nu sunt hermitici, a¸sa cum sunt operatorii a ¸si a† ai oscilatorului armonic (vezi capitolul 5), sunt numai adjunct¸i. Se pot deduce u¸sor urm˘atoarele propriet˘a¸ti [Jz , J± ] = ±J± ,

[J+ , J− ] = 2Jz ,

[J 2 , J+ ] = [J 2 , J− ] = [J 2 , Jz ] = 0. 51

(30) (31)

Jz (J± ψγµ ) = {J± Jz + [Jz , J± ]}ψγµ = (µ ± 1)(J± ψγµ ).

(32)

Prin urmare J± ψγµ sunt FP ale lui Jz corespunz˘atoare autovalorilor µ ± 1, adic˘ a funct¸iile respective sunt identice pˆın˘ a la factorii constat¸i (de determinat) αµ ¸si βµ : J+ ψγµ−1 = αµ ψγµ , J− ψγµ = βµ ψγµ−1 .

(33)

Pe de alt˘ a parte α∗µ = (J+ ψγµ−1 , ψγµ ) = (ψγµ−1 J− ψγµ ) = βµ ,

(34)

astfel c˘ a , luˆınd o faz˘a de tipul eia (cu a real) pentru funct¸ia ψγµ se poate face αµ real ¸si egal cu βµ , ceea ce ˆınseamn˘a J+ ψγ,µ−1 = αµψγµ , J− ψγµ = αµψγ,µ−1 ,

(35)

¸si deci γ = (ψγµ , [Jx2 + Jy2 + Jz2 ]ψγµ ) = µ2 + a + b, a = (ψγµ , Jx2 ψγµ ) = (Jx ψγµ , Jx ψγµ ) ≥ 0, b = (ψγµ , Jy2 ψγµ ) = (Jy ψγµ , Jy ψγµ ) ≥ 0.

(36)

Constanta de normalizare a oric˘ arei funct¸ii de und˘a nu este negativ˘a , ceea ce implic˘ a γ ≥ µ2 , (37)

pentru γ fix, valoarea lui µ are limite atˆıt superioar˘ a cˆıt ¸si inferioar˘ a (adic˘ a ia valori ˆıntr-un interval finit). Fie Λ ¸si λ aceste limite (superioar˘ a¸si inferiar˘ a de µ) pentru un γ dat J+ ψγΛ = 0,

J− ψγλ = 0.

(38)

Utilizˆınd urm˘atoarele identit˘a¸ti operatoriale J− J+ = J2 − Jz2 + Jz = J2 − Jz (Jz − 1),

J+ J− = J2 − Jz2 + Jz = J2 − Jz (Jz + 1),

(39)

act¸ionˆınd asupra lui ψγΛ ¸si ψγλ se obt¸ine γ − Λ2 − Λ = 0, γ − λ2 + λ = 0,

(λ − λ + 1)(λ + λ) = 0. 52

(40)

ˆIn plus Λ ≥ λ → Λ = −λ = J → γ = J(J + 1).

(41)

Pentru un γ dat (fix) proiect¸ia momentului µ ia 2J + 1 valori care difer˘a printr-o unitate ˆıntre J ¸si −J. De aceea, diferent¸a Λ − λ = 2J trebuie s˘ a fie un num˘ ar ˆıntreg ¸si deci autovalorile lui Jz numerotate prin m sunt ˆıntregi k = 0, ±1, ±2, . . . ,

m = k,

(42)

sau semiˆıntregi

1 m=k+ , k = 0, ±1, ±2, . . . . (43) 2 O stare de γ = J(J + 1) dat˘ a indic˘ a o degenerare de grad g = 2J + 1 fat¸˘a de autovalorile m (aceasta pentru c˘a Ji , Jk comut˘ a cu J 2 dar nu comut˘ a ˆıntre ele). Prin “stare de moment unghiular J” se ˆınt¸elege ˆın majoritatea cazurilor, o stare cu γ = J(J + 1) care are valoarea maxim˘a a momentului proiectat, respectiv J. Este comun s˘ a se noteze aceste st˘ ari cu ψjm sau de ket Dirac |jmi. S˘ a obt¸inem acum elementele de matrice ale lui Jx , Jy ˆın reprezentarea ˆın care J 2 ¸si Jz sunt diagonale. ˆIn acest caz, din (35) ¸si (39) se obt¸ine c˘a J− J+ ψjm−1 = αm J− ψjm = αm ψjm−1 , J(J + 1) − (m − 1)2 − (m − 1) = α2m , αm =

q

(J + m)(J − m + 1).

(44)

Combinˆınd (44) cu (35) se obt¸ine J+ ψjm−1 =

q

(J + m)(J − m + 1)ψjm ,

(45)

rezult˘ a c˘ a elementul de matrice al lui J+ este

¸si analog

q

(J + m)(J − m + 1)δnm ,

(46)

hjn|J− |jmi = − (J + m)(J − m + 1)δnm−1 .

(47)

hjm|J+ |jm − 1i = q

ˆIn sfˆır¸sit, din definit¸iile (29) pentru J+ , J− se obt¸ine u¸sor hjm|Jx |jm − 1i = hjm|Jy |jm − 1i =

1q (J + m)(J − m + 1), 2 q −i (J + m)(J − m + 1) . 2 53

(48)

Concluzii part¸iale α Propriet˘ a¸ti ale autovalorilor lui J ¸si Jz Dac˘a j(j + 1)¯ h2 ¸si m¯h sunt autovalori ale lui J ¸si Jz asociate cu autovectorii |kjmi, atunci j ¸si m satisfac inegalitatea −j ≤ m ≤ j. β Propriet˘ a¸ti ale vectorului J− |kjmi Fie |kjmi un eigenvector al lui J2 ¸si Jz cu autovalorile j(j + 1)¯ h2 ¸si m¯ h – (i) Dac˘a m = −j atunci J− |kj − ji = 0.

– (ii) Dac˘a m > −j atunci J− |kjmi este un vector propriu nenul al lui J 2 ¸si Jz cu autovalorile j(j + 1)¯ h2 ¸si (m − 1)¯ h. γ Propriet˘ a¸ti ale vectorului J+ |kjmi Fie |kjmi un vector (ket) propriu al lui J2 ¸si Jz cu autovalorile j(j+1)¯ h ¸si m¯ h ⋆ Dac˘a m = j atunci J+ |kjmi = 0.

⋆ Dac˘a m < j atunci J+ |kjmi este un vector nenul al lui J2 ¸si Jz cu autovalorile j(j + 1)¯ h2 ¸si (m + 1)¯ h δ Consecint¸e ale propriet˘ a¸t ilor anterioare Jz |kjmi = m¯h|kjmi, q

J+ |kjmi = m¯h j(j + 1) − m(m + 1)|kjm + 1i, q

J− |kjmi = m¯h j(j + 1) − m(m − 1)|kjm + 1i.

Aplicat¸ii ale momentului cinetic orbital Am considerat pˆın˘ a acum propriet˘a¸tile momentului cinetic derivate numai pe baza relat¸iilor de comutare. S˘ a ne ˆıntoarcem la momentul cinetic l al unei particule f˘ar˘ a rotat¸ie intrinsec˘a ¸si s˘ a vedem cum se aplic˘ a teoria din sect¸iunea anterioar˘ a la cazul particular important [ˆli , pˆj ] = iεijk pˆk .

54

(49)

Mai ˆıntˆıi, ˆlz ¸si pˆj au un sistem comun de funct¸ii proprii. Pe de alt˘a parte, Hamiltonianul unei particule libere ˆ = H

ˆp~ √ 2m

!2

,

fiind p˘ atratul unui operator vectorial are acela¸si sistem complet de FP cu lˆ2 ˆ ˆ ¸si lz . In plus, aceasta implic˘ a c˘a particula liber˘ a se poate g˘asi ˆıntr-o stare cu E, l, m bine determinate.

Valori proprii ¸si funct¸ii proprii ale lui l2 ¸si Lz Este mai convenabil s˘ a se lucreze cu coordonate sferice (sau polare), pentru c˘ a , a¸sa cum vom vedea, diferit¸i operatori de moment cinetic act¸ioneaz˘ a numai asupra variabilelor unghiulare θ, φ ¸si nu ¸si asupra variabilei r. ˆIn loc de a caracteriza vectorul r prin componentele carteziene x, y, z s˘ a determin˘am punctul corespunz˘ator M de raz˘ a vectoare r prin coordonatele sferice tridimensionale x = r cos φ sin θ,

y = r sin φ sin θ,

z = r cos θ,

(50)

cu r ≥ 0,

0 ≤ θ ≤ π,

0 ≤ φ ≤ 2π.

Fie Φ(r, θ, φ) ¸si Φ′ (r, θ, φ) funct¸iile de und˘a ale unei particule ˆın Σ ¸si Σ′ ˆın care rotat¸ia infinitezimal˘a este dat˘ a prin δα ˆın jurul lui z Φ′ (r, θ, φ) = Φ(r, θ, φ + δα), ∂Φ = Φ(r, θ, φ) + δα , ∂φ sau

(51)

Φ′ (r, θ, φ) = (1 + iˆlz δα)Φ(r, θ, φ). Rezult˘a c˘ a

(52)

ˆlz = −i ∂ . ∂φ

∂Φ = ilˆz Φ, ∂φ

(53)

Pentru o rotat¸ie infinitezimal˘a ˆın x 



∂Φ ∂θ ∂Φ ∂φ Φ (r, θ, φ) = Φ + δα + , ∂θ ∂α ∂θ ∂α = (1 + iˆlx δα)Φ(r, θ, φ), ′

55

(54)

ˆıns˘ a ˆıntr-o astfel de rotat¸ie z ′ = z + yδα;

z ′ = z + yδα;

x′ = x

(55)

¸si din (50) se obt¸ine r cos(θ + dθ) = r cos θ + r sin θ sin φδα, r sin φ sin(θ + dθ) = r sin θ sin φ + r sin θ sin φ − r cos θδα, adic˘ a sin θdθ = sin θ sin φ δα →

dθ = − sin φ, dα

(56) (57)

¸si cos θ sin φ dθ + sin θ cos φ dφ = − cos θ δα, dφ dθ cos φ sin θ = − cos θ − cos θ sin φ . dα dα Substituind (57) ˆın (56) duce la

(58)

dφ = − cot θ cos φ . (59) dα Cu (56) ¸si (58) substituite ˆın (51) ¸si comparˆınd p˘ art¸ile din dreapta din (51) se obt¸ine   ∂ ∂ ˆ lx = i sin φ + cot θ cos φ . (60) ∂θ ∂φ ˆIn cazul rotat¸iei ˆın y, rezultatul este similar 



ˆly = i − cos φ ∂ + cot θ sin φ ∂ . ∂θ ∂φ

(61)

Folosind ˆlx , ˆly se pot obt¸ine deasemenea ˆl± , ˆl2 



ˆl± = exp ±iφ ± ∂ + i cot θ ∂ ∂θ ∂φ ˆl2 = ˆl− ˆl+ + ˆl2 + ˆlz , "





,

1 ∂2 1 ∂ ∂ = − 2 ∂φ2 + sin θ ∂θ sin θ ∂θ sin θ

#

.

(62)

Din (62) se vede c˘ a ˆl2 este identic pˆın˘ a la o constant˘a cu partea unghiular˘a a operatorului Laplace la o raz˘ a fix˘a 

∂f 1 ∂ r2 ∇ f= 2 r ∂r ∂r 2



"



1 ∂ 1 ∂f + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ 56



#

1 ∂2 . + sin2 θ ∂φ2

(63)

Funct¸ii proprii ale lui lz ∂Φm ˆ lz Φm = mΦ = −i , ∂φ 1 Φm = √ eimφ . 2π

(64)

Condit¸ii de hermiticitate ale lui ˆlz Z

0



f ∗ ˆlz g dφ

=

Z

2π 0

g∗ ˆlz f

∗



+ f ∗ g(2π) − f ∗ g(0).

(65)

Rezult˘a c˘ aˆ lz este hermitic ˆın clasa de funct¸ii pentru care f ∗ g(2π) = f ∗ g(0).

(66)

Funct¸iile proprii Φm ale lui lˆz apart¸in clasei integrabile L2 (0, 2π) ¸si ˆındeplinesc (66), cum se ˆıntˆımpl˘ a pentru orice funct¸ie care se poate dezvolta ˆın Φm (φ) F (φ) = G(φ) =

k X

k X

ak eikφ ,

k = 0, ±1, ±2, . . . ,

bk eikφ ,

k = ±1/2, ±3/2, ±5/2 . . . ,

(67)

cu k numai ˆıntregi sau numai semiˆıntregi, dar nu pentru combinat¸ii de F (φ) ¸si G(φ). Alegerea corect˘ a a lui m se bazeaz˘ a ˆın FP comune ale lui ˆlz ¸si ˆl2 .

Armonice sferice ˆIn reprezentarea {~r}, funct¸iile proprii asociate cu autovalorile l(l + 1)¯ h2 , ale 2 lui l ¸si m¯ h ale lui lz sunt solut¸ii ale ecuat¸iilor diferent¸iale part¸iale −

1 ∂2 1 ∂ ∂2 + + ∂θ 2 tan θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 −i

!

ψ(r, θ, φ) = l(l + 1)¯ h2 ψ(r, θ, φ),

∂ ψ(r, θ, φ) = m¯hψ(r, θ, φ). ∂φ

(68)

Considerˆınd c˘ a rezultatele generale obt¸inute sunt aplicabile la cazul momentului cinetic, ¸stim c˘ a l este un ˆıntreg sau semiˆıntreg ¸si c˘a pentru l fixat¸i m poate lua numai valorile −l, −l + 1, . . . , l − 1, l. 57

ˆIn (68), r nu apare ˆın operatorul diferent¸ial, a¸sa c˘a se poate considera ca un parametru ¸si se poate ¸tine cont numai de dependent¸a ˆın θ, φ a lui ψ. Se folose¸se notat¸ia Ylm (θ, φ) pentru o astfel de funct¸ie proprie comun˘ a a lui l2 ¸si lz , corespunz˘ atoare autovalorilor l(l + 1)¯ h2 , m¯h ¸si se nume¸ste armonic˘a sferic˘ a. l2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1)¯ h2 Ylm (θ, φ), lz Ylm (θ, φ) = m¯hYlm (θ, φ).

(69)

Pentru a fi cˆıt mai riguro¸si, trebuie s˘ a introducem un indice adit¸ional cu scopul de a distinge ˆıntre diferite solut¸ii ale lui (69), care corespund acelea¸si perechi de valori l, m. ˆIntr-adev˘ar, dup˘a cum se va vedea mai departe, aceste ecuat¸ii au o solut¸ie unic˘ a (pˆın˘ a la un factor constant) pentru fiecare pereche de valori permise ale lui l, m; aceasta pentru c˘a subindicii l, m sunt suficient¸i ˆın contextul respectiv. Solut¸iile Ylm (θ, φ) au fost g˘asite prin metoda separ˘arii variabilelor ˆın coordonate sferice (vezi capitolul Atomul de hidrogen) ψlm (r, θ, φ) = f (r)ψlm (θ, φ), (70) unde f (r) este o funct¸ie de r, care apare ca o constant˘a de integrare din punctul de vedere al ecuat¸iilor diferent¸iale part¸iale din (68). Faptul c˘a f (r) este arbitrar˘a arat˘ a c˘ a L2 ¸si lz nu formeaz˘a un set complet de observabile2 ˆın spat¸iul εr 3 al funct¸iilor de ~r (sau de r, θ, φ). Cu obiectivul de a normaliza ψlm (r, θ, φ), este convenabil s˘ a se normalizeze Ylm (θ, φ) ¸si f (r) ˆın mod separat: Z





0

Z

π 0

sin θ|ψlm (θ, φ)|2 dθ = 1, Z

0



r 2 |f (r)|2 dr = 1.

(71) (72)

Valorile perechii l, m (α): l, m trebuie s˘ a fie ˆıntregi h ∂ ¯ Folosind lz = i ∂φ , putem scrie (69) dup˘a cum urmeaz˘a ¯ ∂ h Ylm (θ, φ) = m¯hYlm (θ, φ), i ∂φ

(73)

2 Prin definit¸ie, operatorul hermitic A este o observabil˘ a dac˘ a acest sistem ortogonal de vectori reprezint˘ a o baz˘ a ˆın spat¸iul configurat¸iilor de st˘ ari. 3 Fiecare stare cuantic˘ a a particulei este caracterizat˘ a printr-o stare vectorial˘ a apart¸inˆınd unui spat¸iu vectorial abstract εr .

58

care arat˘ a c˘ a Ylm (θ, φ) = Flm (θ, φ)eimφ .

(74)

Dac˘a permitem ca 0 ≤ φ < 2π, atunci putem acoperi tot spat¸iul pentru c˘ a funct¸ia trebuie s˘ a fie continu˘ a ˆın orice zon˘ a , astfel c˘a Ylm (θ, φ = 0) = Ylm (θ, φ = 2π),

(75)

eimπ = 1.

(76)

ceea ce implic˘ a A¸sa cum s-a v˘azut, m este un ˆıntreg sau semiˆıntreg; ˆın cazul aplicat¸iei la momentul cinetic orbital, m trebuie s˘ a fie un ˆıntreg. (e2imπ ar fi −1 dac˘ a m ar fi semiˆıntreg). (β): Pentru o valoare dat˘ a a lui l, toate armonicele sferice Ylm corespunz˘atoare se pot obt¸ine prin metode algebrice folosind l+ Yll (θ, φ) = 0,

(77)

care combinat˘ a cu ec. (62) pentru l+ duce la 



d − l cot θ Fll (θ) = 0. dθ

(78)

Aceast˘a ecuat¸ie poate fi integrat˘ a imediat dac˘ a not˘ am relat¸ia cot θdθ =

d(sin θ) . sin θ

(79)

Solut¸ia sa general˘ a este Fll = cl (sin θ)l ,

(80)

unde cl este o constant˘ a de normalizare. Rezult˘a c˘ a pentru orice valoare pozitiv˘a sau zero a lui l, exist˘a o funct¸ie Yll (θ, φ) care este (cu un factor constant asociat) Y ll (θ, φ) = cl (sin θ)l eilφ .

(81)

Folosind act¸iunea lui l− ˆın mod repetat se poate construi tot setul de funct¸ii Yll−1 (θ, φ), . . . , Yl0 (θ, φ), . . . , Yl−l (θ, φ). ˆIn continuare, vedem modul ˆın care se corespund aceste funct¸ii cu perechea de autovalori l(l + 1)¯ h, m¯h (unde l este un ˆıntreg pozitiv arbitrar sau zero ¸si m este alt ˆıntreg astfel c˘a l ≤ m ≤ l ). Pe baza lui (78) ajungem la concluzia c˘a orice funct¸ie proprie Ylm (θ, φ), poate fi obt¸inut˘ a ˆın mod neambiguu din Yll . 59

Propriet˘ a¸ti ale armonicelor sferice α Relat¸ii de recurent¸a ˘ Urmˆınd rezultatele generale avem q

l± Ylm (θ, φ) = h ¯ l(l + 1) − m(m ± 1)Ylm±1 (θ, φ).

(82)

Folosind expresia (62) pentru l± ¸si faptul c˘a Ylm (θ, φ) este produsul ˆıntre o funct¸ie dependent˘ a numai de θ ¸si e±iφ , obt¸inem e±iφ





q ∂ − m cot θ Ylm (θ, φ) = l(l + 1) − m(m ± 1)Ylm±1 (θ, φ) ∂θ

(83)

β Ortonormare ¸si relat¸ii de completitudine Ecuat¸ia (68) determin˘a numai armonicele sferice pˆın˘ a la un factor constant. Acum vom alege acest factor astfel ca s˘ a avem ortonormalizarea funct¸iilor Ylm (θ, φ) (ca funct¸ii de variabilele unghiulare θ, φ) Z





Z

π

0

0

∗ sin θ dθYlm (θ, φ)Ylm (θ, φ) = δl′ l δm′ m .

(84)

ˆIn plus, orice funct¸ie continu˘ a de θ, φ pot fi expresate cu ajutorul armonicelor sferice, adic˘ a f (θ, φ) =

∞ X l X

clm Ylm (θ, φ),

(85)

∗ sin θ dθ Ylm (θ, φ)f (θ, φ).

(86)

l=0 m=−l

unde clm =

Z

0





Z

π 0

Rezultatele (85), (86) sunt consecint¸a definirii armonicele sferice ca baz˘ a ortonormal˘a complet˘ a ˆın spat¸iul εΩ a funct¸iilor de θ, φ. Relat¸ia de completitudine este ∞ X l X

l=0 m=l

∗ Ylm (θ, φ)Ylm (θ ′ , φ) = δ(cos θ − cos θ ′ )δ(φ, φ),

=

1 δ(θ − θ ′ )δ(φ, φ). sin θ

(87)

‘Funct¸ia’ δ(cos θ − cos θ ′ ) apare pentru c˘a integrala peste variabila θ se efectueaz˘a folosind elementul diferent¸ial sin θ dθ = −d(cos θ). 60

Operatorul de paritate P ˆın cazul armonicelor sferice Comportamentul lui P ˆın trei dimensiuni este destul de asem˘ an˘ ator celui ˆıntr-o singur˘a dimensiune, respectiv, cˆınd se aplic˘ a unei funct¸ii ψ(x, y, z) de coordonate carteziene ˆıi modific˘ a numai semnul fiec˘ areia dintre coordonate Pψ(x, y, z) = ψ(−x, −y, −z).

(88)

P are propriet˘a¸tile unui operator hermitic ¸si ˆın plus este un operator unitar precum ¸si proiector deoarece P 2 este un operator identitate hψ(r)|P|ψ(r)i = hψ(r)|ψ(−r)i = hψ(−r)|ψ(r)i,

P 2 |ri = P(P|ri = P| − ri = |ri

(89)

¸si deci P 2 = ˆ1,

(90)

pentru care valorile proprii sunt P = ±1. FP-urile se numesc pare dac˘ aP = ˆ 1 ¸si impare dac˘ a P = −1. ˆIn mecanica cuantic˘a nerelativist˘ a , operatorul H pentru un sistem conservativ este invariant la transform˘ari unitare discrete ˆ = P −1 HP ˆ = H. ˆ P HP

(91)

ˆ comut˘ Astfel H a cu P ¸si deci paritatea st˘ arii este constant˘a de mi¸scare. Deasemenea P comut˘ a cu operatorii ˆl ¸si ˆl± [P, ˆli ] = 0,

[P, ˆl± ] = 0.

(92)

Dac˘a ψ este FP a tripletei P, ˆl ¸si ˆlz , din (92) rezult˘ a c˘a parit˘ a¸tile st˘ arilor ˆ ˆ care difer˘ a numai ˆın lz coincid. In felul acesta se identific˘ a paritatea unei particule de moment unghiular ˆl. ˆIn coordonate sferice, pentru acest operator vom considera urm˘atoarea substitut¸ie r → r, θ →π−θ φ → π + φ. (93) Prin urmare, dac˘ a folosim o baz˘ a standard ˆın spat¸iul funct¸iilor de und˘a a unei particule f˘ar˘ a ‘rotat¸ie proprie’, partea radial˘ a a funct¸iilor ψklm (~r) din baz˘ a nu este modificat˘ a de c˘atre operatorul paritate. Doar armonicele sferice se schimb˘ a . Transform˘arile (93) se traduc trigonometric ˆın: sin(π−θ) → sin θ,

cos(π−θ) → − cos θ 61

eim(π+φ → (−1)m eimφ (94)

¸si ˆın aceste condit¸ii, funct¸ia Yll (θ, φ) se transform˘a ˆın Yll (φ − θ, π + φ) = (−1)l Yll (θ, φ) .

(95)

Din (95) rezult˘ a c˘ a paritatea lui Yll este (−1)l . Pe de alt˘a parte, l− (ca ¸si l+ este invariant la transform˘arile: ∂ ∂ →− , ∂(π − θ) ∂θ

∂ ∂ → ∂(π + φ) ∂φ

ei(π+φ) → −eiφ

cot(π−θ) → −cotθ .

(96) Cu alte cuvinte l± sunt pari. Prin urmare, deducem c˘a paritatea oric˘ arei armonice sferice este (−1)l , adic˘ a este invariant˘a la schimb˘ ari azimutale: Ylm (φ − θ, π + φ) = (−1)l Ylm (θ, φ).

(97)

A¸sadar, armonicele sferice sunt funct¸ii de paritate bine definit˘a , independent˘ a de m, par˘ a dac˘ a l este par ¸si impar˘a dac˘ a l este impar.

Operatorul de spin Unele particule, posed˘ a nu numai moment cinetic ˆın raport cu axe exterioare ci ¸si un moment propriu, care se cunoa¸ste ca spin ¸si pe care ˆıl vom nota cu ˆ Acest operator nu este relat¸ionat cu rotat¸ii normale fat¸˘a de axe ‘reale’ S. ˆın spat¸iu, dar respect˘ a relat¸ii de comutare de acela¸si tip ca ale momentului cinetic orbital, respectiv [Sˆi , Sˆj ] = iεijk Sˆk ,

(98)

odat˘ a cu urm˘atoarele propriet˘a¸ti: (1). Pentru spin, se satisfac toate formulele de la (23) pˆın˘ a la (48) ale momentului cinetic. (2). Spectrul proiect¸iilor de spin, este o secvent¸˘a de numere ˆıntregi sau semiˆıntregi care difer˘ a printr-o unitate. (3). Valorile proprii ale lui Sˆ2 sunt Sˆ2 ψs = S(S + 1)ψs .

(99)

(4). Pentru un S dat, componentele Sz pot s˘ a ia numai 2S + 1 valori, de la −S la +S. 62

(5). FP-urile particulelor cu spin, pe lˆıng˘ a dependent¸a de ~r ¸si/sau p~, depind de o variabil˘ a discret˘a (proprie spinului) σ, care denot˘ a proiect¸ia spinului pe axa z. (6). FP-urile ψ(~r, σ) ale unei particule cu spin se pot dezvolta ˆın FP-uri cu proiect¸ii date ale spinului Sz , adic˘ a ψ(~r, σ) =

S X

ψσ (~r)χ(σ),

(100)

σ=−S

unde ψσ (~r) este partea orbital˘ a ¸si χ(σ) este partea spinorial˘a . (7). Funct¸iile de spin (spinorii) χ(σi ) sunt ortogonale pentru orice pereche σi 6= σk . Funct¸iile ψσ (~r)χ(σ) din suma (100) sunt componentele unei FP a unei particule cu spin. (8). Funct¸ia ψσ (~r) se nume¸ste parte orbital˘ a a spinorului, sau mai scurt orbital. (9) Normalizarea spinorilor se face ˆın felul urm˘ator S X

σ=−S

||ψσ (~r)|| = 1.

(101)

Relat¸iile de comutare permit s˘ a se stabileasc˘a forma concret˘ a a operatorilor (matricelor) de spin care act¸ioneaz˘ a ˆın spat¸iul FP-urilor operatorului proiect¸iei spinului. Multe particule ‘elementare’, cum ar fi electronul, neutronul, protonul, etc. au spin 1/2 ¸si de aceea proiect¸ia spinului lor ia numai dou˘ a valori, respectiv Sz = ±1/2 (ˆın unit˘ a¸ti h ¯ ). Fac parte din clasa fermionilor, datorit˘ a statisticii pe care o prezint˘ a cˆınd formeaz˘a sisteme de multe corpuri. Pe de alt˘ a parte, matricele Sx , Sy , Sz ˆın spat¸iul FP-urilor lui Sˆ2 , Sˆz sunt 1 Sx = 2 1 Sz = 2

0 1 1 0 1 0 0 −1

! !

,

1 Sy = 2

0 −i i 0

,

3 S = 4

1 0 0 1

2

63

!

!

.

, (102)

Definit¸ia matricelor Pauli Matricele σi = 2Si

(103)

se numesc matricele (lui) Pauli. Sunt matrici hermitice ¸si au aceea¸si ecuat¸ie caracteristic˘a λ2 − 1 = 0, (104) ¸si prin urmare, autovalorile lui σx , σy ¸si σz sunt λ = ±1.

(105)

Algebra acestor matrici este urm˘atoarea: ˆ σi2 = I,

σk σj = −σj σk = iσz ,

σj σk = i

X

εjkl σl . + δjk I .

(106)

l

ˆIn cazul ˆın care sistemul cu spin are simetrie sferic˘a ψ1 (r, − 12 ) ,

ψ1 (r, + 12 ),

(107)

sunt solut¸ii diferite datorit˘ a proiect¸iilor Sz diferite. Valoarea probabilit˘a¸tii uneia sau alteia dintre proiect¸ii este determinat˘a de modulul p˘ atrat ||ψ1 ||2 a sau ||ψ2 ||2 ˆın a¸sa fel c˘ ||ψ1 ||2 + ||ψ2 ||2 = 1. (108) Cum FP ale lui Sz are dou˘ a componente, atunci χ1 =

1 0

!

,

χ2 =

0 1

!

,

(109)

astfel c˘ a FP a unei particule de spin 1/2 se poate scrie ca o matrice de o column˘a ! ψ1 . (110) ψ = ψ1 χ1 + ψ2 χ2 = ψ2 ˆIn continuare, orbitalii vor fi substituit¸i prin numere datorit˘ a faptului c˘a ne intereseaz˘ a numai partea de spin.

64

Transform˘ arile la rotat¸ii ale spinorilor Fie ψ funct¸ia de und˘a a unui sistem cu spin ˆın Σ. S˘ a determin˘am probabilitatea proiect¸iei spinului ˆıntr-o direct¸ie arbitrar˘a ˆın spat¸iul tridimensional (3D) care se poate alege ca ax˘a z ′ a lui Σ′ . Cum am v˘azut deja pentru cazul momentului cinetic, exist˘a dou˘ a metode de abordare ¸si solut¸ionare a acestei probleme: ˆ se transform˘a ca un (α) ψ nu se schimb˘ a cˆınd Σ → Σ′ ¸si operatorul Λ a dezvolt˘am ψ ˆın vector. Trebuie s˘ a g˘ asim FP-urile proiect¸iilor Sz′ ¸si s˘ aceste FP-uri. P˘ atratele modulelor coeficient¸ilor dau rezultatul Sˆx′ = Sˆx cos φ + Sˆy sin φ = e−ilφ Sˆx eilφ , Sˆy′ = −Sˆx sin φ + Sˆy cos φ = e−ilφ Sˆy eilφ , Sˆz′ = −Sˆz = eilφ Sˆz ,

(111)

cu rotat¸ii infinitezimale ¸si din relat¸iile de comutare pentru spin se poate g˘ asi ˆl = Sˆz , (112) unde ˆl este generatorul infinitezimal. (β) A doua reprezentare este: Sˆ nu se schimb˘ a cˆınd Σ → Σ′ ¸si componentele lui ψ se schimb˘ a . Transformarea la aceast˘ a reprezentare se face cu o transformare unitar˘a de forma Vˆ † Sˆ′ Vˆ ψ1′ ψ2′

!

ˆ = Λ, ˆ†

= V

ψ1 ψ2

!

.

(113)

Pe baza lui (111) ¸si (113) rezult˘ a c˘a ˆ ˆ iSˆz φ ˆ ˆ Vˆ † e−iSz φ Se V = S, ˆ Vˆ † = eiSz φ ,

(114)

¸si din (114) se obt¸ine ψ1′ ψ2′

!

iSˆz φ

=e 65

ψ1 ψ2

!

.

(115)

Folosind forma concret˘ a a lui Sˆz ¸si propriet˘a¸tile matricelor Pauli se obt¸ine forma concret˘ a Vˆz† , astfel c˘a i

e2φ 0 −i 0 e2φ

Vˆz† (φ) =

!

.

(116)

Un rezultat al lui Euler Se poate ajunge la orice sistem de referint¸˘a Σ′ de orientare arbitrar˘a fat¸˘a de Σ prin numai trei rotat¸ii, prima de unghi φ ˆın jurul axei z, urm˘atoarea rotat¸ie de unghi θ ˆın jurul noii axe de coordonate x′ ¸si ultima de unghi ψa ˆın jurul lui z ′ . Acest rezultat important apart¸ine lui Euler. Parametrii (ϕ, θ, ψa ) se numesc unghiurile (lui) Euler Vˆ † (ϕ, θ, ψa ) = Vˆz†′ (ψa )Vˆx†′ (θ)Vˆz† (ϕ).

(117)

Matricele Vˆz† sunt de forma (116), ˆın timp ce Vˆx† este de forma Vˆx† (ϕ)

cos 2θ i sin 2θ

=

astfel c˘ a

ϕ+ψa

i sin θ2 cos θ2

ei 2 cos θ2 ϕ−ψa iei 2 sin θ2

ˆ†

V (ϕ, θ, ψa ) =

!

,

ψa −ϕ

iei 2 sin θ2 ϕ+ψa e−i 2 cos θ2

(118) !

.

(119)

Rezult˘a deci c˘ a prin rotat¸ia lui Σ, componentele funct¸iei spinoriale se transform˘a dup˘a cum urmeaz˘a ψ1′ = ψ1 ei

ϕ+ψa 2

ψ2′ = iψ1 ei

ϕ−ψa 2

ψa −ϕ θ θ + iψ2 ei 2 sin , 2 2 ϕ+ψa θ θ sin + ψ2 e−i 2 cos . 2 2

cos

(120)

Din (120) se poate vedea c˘ a unei rotat¸ii ˆın E3 ˆıi corespunde o transformare linear˘ a ˆın E2 , spat¸iul euclidean bidimensional, relat¸ionat˘ a cu cele dou˘ a componente ale funct¸iei spinoriale. Rotat¸ia ˆın E3 nu implic˘ a o rotat¸ie ˆın E2 , ceea ce ˆınseamn˘a hΦ′ |ψ ′ i = hΦ|ψi = Φ∗1 ψ1 + Φ∗2 ψ2 .

66

(121)

Din (119) se obt¸ine c˘ a (121) nu se satisface, totu¸si exist˘a o invariant¸˘a ˆın transform˘arile (119) ˆın spat¸iul E2 al funct¸iilor spinoriale, {Φ|ψ} = ψ1 Φ2 − ψ2 Φ1 .

(122)

Transform˘arile lineare care ment¸in invariante astfel de forme bilineare se numesc binare. O m˘ arime fizic˘ a cu dou˘ a componente pentru care o rotat¸ie a sistemului de coordonate este o transformare binar˘a se nume¸ste spin de ordinul ˆıntˆıi sau pe scurt spin.

Spinorii unui sistem de doi fermioni Funct¸iile proprii ale lui i sˆ2 i sˆz , cu i = 1, 2 au urm˘atoarea form˘a !

1 0

i|+i =

,

i|−i =

i

0 1

!

.

(123)

i

Un operator foarte folosit ˆıntr-un sistem de doi fermioni este spinul total Sˆ =1 Sˆ +2 Sˆ

(124)

ˆ σi, care sunt combinat¸ii lineare ale Spinorii lui sˆ2 sˆz sunt ket-uri |S, 2 spinorilor i sˆ i sˆz | + +i =

1 0

| − +i =

0 1

!

!1 2

1 0 1 0

!

!1

, ,

1

| + −i =

1 0

| − −i =

0 1

!

!1 2

0 1 0 1

!

,

!2

.

(125)

2

Funct¸iile spinoriale din (125) se consider˘a ortonormalizate. ˆIn En ket-ul | + +i este de Sz = 1 ¸si ˆın acela¸si timp este funct¸ie proprie a operatorului Sˆ =1 sˆ2 + 2(1 sˆ)(2 sˆ) +2 sˆ2 .

(126)

Dup˘ a cum se poate vedea din Sˆ2 = | + +i = 32 | + +i + 2(1 sˆx ·2 sˆx +1 sˆy ·2 sˆy +1 sˆz ·2 sˆz )| + +i,(127) Sˆ2 = | + +i = 2| + +i = 1(1 + 1)| + +i. (128) 67

Dac˘a se introduce operatorul

se obt¸ine c˘ a

Sˆ− =1 sˆ− +2 sˆ− ,

(129)

[Sˆ− , Sˆ2 ] = 0.

(130)

Atunci (Sˆ− )k |1, 1i se poate scrie ˆın funct¸ie de FP-urile operatorului Sˆ2 , respectiv √ √ Sˆ− |1, 1i = Sˆ− | + +i = 2| + −i + 2| − +i. (131)

Rezult˘a c˘ a Sz = 0 ˆın starea Sˆ− |1, 1i. Pe de alt˘a parte, din condit¸ia de normalizare avem |1, 0i =

√1 (| 2

+ −i + | − +i)

Sˆ− |1, 0i = | − −i + | − −i = α|1, −1i.

(132) (133)

Din condit¸ia de normalizare |1, −1i = |−, −i.

(134)

Exist˘ a ˆınc˘ a o singur˘a combinat¸ie linear independent˘ a de funct¸ii de tip (125) diferit˘ a de |1, 1i, |1, 0i y |1, −1i, respectiv ψ4 =

√1 (| 2

+ −i − | − +i),

Sˆz ψ4 = 0,

Sˆ2 ψ4 .

(135) (136)

Prin urmare ψ4 = |0, 0i.

(137)

ψ4 descrie starea unui sistem de doi fermioni cu spinul total egal zero. Acest tip de stare se nume¸ste singlet. Pe de alt˘a parte, starea a doi fermioni de spin total egal unu se poate numi triplet avˆınd un grad de degenerare g = 3.

Moment unghiular total Momentul unghiular total este un operator care se introduce ca suma momentului unghiular orbital ¸si de spin, respectiv ˆ Jˆ = ˆl + S,

68

(138)

ˆ a¸sa cum am v˘azut, act¸ioneaz˘ unde ˆl ¸si S, a ˆın spat¸ii diferite, dar p˘ atratele ˆ ˆ ˆ lui l ¸si S comut˘ a cu J , adic˘ a [Jˆi , ˆl2 ] = 0,

[Jˆi , Jˆj ] = iεijk Jˆk ,

[Jˆi , Sˆ2 ] = 0,

(139)

Din (139) rezult˘ a c˘ a ˆl2 ¸si Sˆ2 au un sistem comun de FP-uri cu Jˆ2 ¸si Jˆz . S˘ a determin˘am spectrul proiect¸iilor lui Jˆz pentru un fermion. Starea de proiect¸ie de Jˆz maxim se poate scrie ψ¯ = ψll

!

1 0

= |l, l, +i

(140)

¯ → j = l + 1. ˆz ψ = (l + 12 )ψ, 2 Introducem operatorul Jˆ− definit prin Jˆ− = ˆl− + Sˆ− = ˆl− + Pe baza normaliz˘arii α = Jˆ− ψll

1 0

!

0 0 1 0

!

.

(141)

(142)

p

=

(J + M )(J − M + 1) se obt¸ine



2l|l, l − 1, +i + |l, l − 1, −i,

(143)

astfel c˘ a valoarea proiect¸iei lui ˆj− ˆın ˆj− ψ¯ va fi ˆz = (l − 1) +

1 2

=l−

1 2

.

(144)

Rezult˘a c˘ a ˆ− mic¸soreaz˘ a cu o unitate act¸iunea lui Jˆz . ˆIn cazul general avem k k−1 ˆ ˆk− = ˆl− + kˆl− S− .

(145)

Se observ˘ a c˘ a (145) se obt¸ine din dezvoltarea binomial˘a considerˆınd ˆın plus 2 c˘ a sˆ− ¸si toate puterile superioare ale lui sˆ sunt zero. k−1 k ˆk− |l, l, +i = ˆl− |l, l, +i + kˆl− |l, l, −i.

S¸tim c˘ a (ˆl− )k ψl,l =

r

k!(2l)! (2l−k)! ψl,l−k

69

(146)

¸si folosind-o se obt¸ine ˆk− |l, l, +i

=

r

k!(2l)! (2l−k)! |l, l

− k, +i +

Not˘am acum m = l − k ˆl−m − |l, l, +i

=

r

(l−m)!(2l)! (l+m)! |l, m, +i+

r

r

(k+1)!(2l)! (2l−k+1)! k|l, l

− k + 1, −i .

(l−m−1)!(2l)! (2l+m+1)! (l−m)|l, m+1, −i.

(147)

(148)

Valorile proprii ale proiect¸iei momentului unghiular total sunt date de secvent¸a a la j = l − 21 . de numere care difer˘ a printr-o unitate de la j = l + 21 pˆın˘ Toate aceste st˘ ari apart¸in acelea¸si funct¸ii proprii a lui Jˆ ca ¸si |l, l, +i pentru 2 c˘ a [Jˆ− , Jˆ ] = 0 Jˆ2 |l, l, +i = (ˆl2 + 2ˆlSˆ + Sˆ2 )|l, l, +i,

= [l(l + 1) + 2l 21 + 34 ]|l, l, +i

(149)

unde j(j + 1) = (l + 21 )(l + 32 ). ˆIn partea dreapt˘a a lui (149) o contribut¸ie diferit˘a de zero d˘ a numai 1 ˆ ˆ j = lz Sz . Atunci FP-urile obt¸inute corespund perechii j = l + 2 , mj = m+ 12 ¸si sunt de forma 1 1 |l + , m + i = 2 2

s

l+m+1 |l, m, +i + 2l + 1

s

l−m |l, m + 1, −i. 2l + 1

(150)

Num˘ arul total de st˘ ari linear independente este N = (2l + 1)(2s + 1) = 4l + 2,

(151)

din care ˆın (150) s-au construit (2j+1)=2l+3. Restul de 2l −1 funct¸ii proprii se pot obt¸ine din condit¸ia de ortonormalizare: |l − 12 , m − 12 i =

q

l−m 2l+1 |l, m, +i



q

l+m+1 2l+1 |l, m

+ 1, −i.

(152)

Dac˘a dou˘ a subsisteme sunt ˆın interact¸iune ˆın a¸sa fel ˆıncˆıt fiecare moment ˆ unghiular ji se conserv˘ a , atunci FP-urile operatorului moment unghiular total Jˆ = ˆ1 + ˆ2 , (153) se pot obt¸ine printr-o procedur˘a asem˘ an˘ atoare celei anterioare. Pentru valori proprii fixe ale lui ˆ1 ¸si ˆ2 exist˘a (2j1 + 1)(2j2 + 1) FP-uri ortonormalizate 70

ale proiect¸iei momentului unghiular total Jˆz , iar cea care corespunde valorii maxime a proiect¸iei Jˆz , adic˘ a MJ = j1 + j2 , se poate construi ˆın mod unic ¸si prin urmare J = j1 + j2 este valoarea maxim˘a a momentului unghiular total al sistemului. Aplicˆınd operatorul Jˆ = ˆ1 + ˆ2 ˆın mod repetat funct¸iei |j1 + j2 , j1 + j2 , j1 + j2 i = |j1 , j1 i · |j2 , j2 i,

(154)

se pot obt¸ine toate cele 2(j1 + j2 ) + 1 FP ale lui Jˆ = j1 + j2 cu diferit¸i M : −(j1 + j2 ) ≤ M ≤ (j1 + j2 ). De exemplu, FP pentru M = j1 + j2 − 1 este: s

s

j2 |j1 , j1 , j2 , j2 −1i. j1 + j2 (155) ˆ Aplicˆınd ˆın continuare de mai multe ori operatorul J− se pot obt¸ine cele 2(j1 + j2 − 1) − 1 funct¸ii ale lui J = j1 + j2 − 1. Se poate demonstra c˘ a

|j1 +j2 , j1 +j2 −1, j1 , j2 i =

j1 |j1 , j1 −1, j2 , j2 i+ j1 + j2

|j1 − j2 | ≤ J ≤ j1 + j2 astfel c˘ a

max XJ

(2J + 1) = (2J1 + 1)(2J2 + 1)

(156)

min J

¸si deci |J, M, j1 , j2 i =

X

m1 +m2 =M

(j1 m1 j2 m2 |JM )|j1 , m1 , j2 , m2 i ,

(157)

unde coeficient¸ii (j1 m1 j2 m2 |JM ) determin˘a contribut¸ia diferitelor funct¸ii |j1 , m1 , j2 , m2 i ˆın funct¸iile proprii ale lui Jˆ2 , Jˆz de valori proprii J(J + 1), M ¸si sunt numit¸i coeficient¸ii Clebsch-Gordan. Referint¸e: 1. H.A. Buchdahl, “Remark concerning the eigenvalues of orbital angular momentum”, Am. J. Phys. 30, 829-831 (1962)

71

3N. Not˘ a: 1. Operatorul corespunz˘ator vectorului Runge-Lenz din problema Kepler clasic˘ a se scrie "

#

r 1 ˆ~ ˆ A = + (ˆl × pˆ) − (ˆ p × ˆl) . r 2 unde s-au folosit unit˘ a¸ti atomice ¸si s-a considerat Z = 1 (atomul de hidroˆ = gen). Acest operator comut˘ a cu Hamiltonianul atomului de hidrogen H pˆ2 1 2 −r,

adic˘ a este integral˘ a de mi¸scare cuantic˘a . Componentele sale au comutatori de tipul [Ai , Aj ] = −2iǫijk lk ·H, iar comutatorii componentelor RungeLenz cu componentele momentului cinetic sunt de tipul [li , Aj ] = iǫijk Ak , adic˘ a respect˘ a condit¸iile (23). De demonstrat toate aceste relat¸ii poate fi un exercit¸iu util.

3P. Probleme Problema 3.1 S˘ a se arate c˘ a orice operator de translat¸ie, pentru care ψ(y + a) = Ta ψ(y), se poate scrie ca un operator exponent¸ial ¸si s˘ a se aplice acest rezultat pentru y = ~r ¸si pentru rotat¸ia finit˘ a α ˆın jurul axei z. Solut¸ie Demonstrat¸ia se obt¸ine dezvoltˆınd ψ(y + a)) ˆın serie Taylor ˆın vecin˘ atatea infinitezimal˘a a punctului x, adic˘ a ˆın puteri ale lui a ψ(y + a) =

∞ X an dn

n=0

Observ˘ am c˘ a

n! dxn

ψ(x)

n

∞ d X an dx n

n=0

n!

d

= ea dx

d ¸si deci Ta = ea dx ˆın cazul 1D. ˆIn 3D, y = ~r ¸si a → ~a. Rezultatul este ~ T~a = e~a·∇ . Pentru rotat¸ia finit˘ a α ˆın jurul lui z avem y = φ ¸si a = α. Rezult˘a d α dφ

Tα = Rα = e

.

O alt˘ a form˘ a exponent¸ial˘a a rotat¸iei ˆın z este cea ˆın funct¸ie de operatorul moment cinetic a¸sa cum s-a comentat ˆın acest capitol. Fie x′ = x + dx, ¸si 72

considerˆınd numai primul ordin al seriei Taylor ψ(x′ , y ′ , z ′ ) = ψ(x, y, z) + (x′ − x)



∂ ′ ′ ′ ψ(x , y , z ) ~′ ∂x′ r =~ r

∂ +(y − y) ′ ψ(x′ , y ′ , z ′ ) ∂y ~′ r =~r ∂ . +(z ′ − z) ′ ψ(x′ , y ′ , z ′ ) ∂z r~′ =~ r ′

T ¸ inˆınd cont de faptul c˘ a



∂ ∂ ψ(~r′ ) = ψ(~r), ′ ∂xi ′ ∂x i ~ r x′ = x − ydφ, y ′ = y + xdφ,

z ′ = z,

se poate reduce seria din trei dimensiuni la numai dou˘ a ∂ψ(~r) ∂ψ(~r) + (y + xdφ − y) , ∂x ∂y ′ ∂ψ(~r) ∂ψ(~r) = ψ(~r) − ydφ + xdφx , ∂x ∂y    ∂ ∂ +y ψ(~r) . = 1 − dφ −x ∂y ∂x

ψ(~r′ ) = ψ(~r) + (x − ydφ − x)





h



i

∂ ∂ ∂ ∂ Cum iˆlz = x ∂y − y ∂x − y ∂x rezult˘ a c˘a R = 1 − dφ x ∂y . Continuˆınd 1 ˆ ˆın ordinul doi se poate ar˘ ata c˘a se obt¸ine 2! (ilz dφ)2 ¸si a¸sa mai departe. Prin urmare, R poate fi scris ca exponent¸ial˘a ˆ

R = eilz dφ .

Problema 3.2 S˘ a se arate c˘ a pe baza expresiilor date ˆın (14) se poate ajunge la (15).

Solut¸ie S˘ a consider˘am numai termenii lineari ˆın dezvoltarea ˆın serie Taylor (rotat¸ii infinitezimale) ˆ eilz dφ = 1 + iˆlz dφ + 2!1 (iˆlz dφ)2 + . . . ,

73

¸si deci (1 + iˆlz dφ)Aˆx (1 − iˆlz dφ) = Aˆx − Aˆx dφ, (Aˆx + iˆlz dφAˆx )(1 − iˆlz dφ) = Aˆx − Aˆx dφ, Aˆx − Aˆx iˆlz dφ + iˆlz dφAˆx + ˆlz dφAˆx ˆlz dφ = Aˆx − Aˆx dφ, i(ˆlz Aˆx − Aˆx ˆlz )dφ = −Aˆy dφ. Ajungem u¸sor la concluzia c˘a [ˆlz , Aˆx ] = iAˆy . Deasemenea, [ˆlz , Aˆy ] = iAˆx se obt¸ine din: (1 + iˆlz dφ)Aˆy (1 − iˆlz dφ) = Aˆx dφ − Aˆy , (Aˆy + iˆlz dφAˆy )(1 − iˆlz dφ) = Aˆx dφ − Aˆy , Aˆy − Aˆy iˆlz dφ + iˆlz dφAˆy + ˆlz dφAˆy ˆlz dφ = Aˆx dφ − Aˆy , i(ˆlz Aˆy − Aˆy ˆlz )dφ = −Aˆx dφ.

Problema 3.3 σx S˘ a se determine operatorul dˆ dt pe baza Hamiltonianului unui electron cu ~ spin aflat ˆıntr-un cˆımp magnetic de induct¸ie B.

Solut¸ie ˆ p, ˆr, σ ˆ p, ˆr) + σ ~ unde ultimul Hamiltonianul ˆın acest caz este H(ˆ ˆ ) = H(ˆ ˆ · B, termen este Hamiltonianul Zeeman pt. electron. Cum σ ˆx comut˘ a cu impulsurile ¸si coordonatele, aplicarea ecuat¸iei de mi¸scare Heisenberg conduce la: i ˆ i e¯h dˆ σx = [H, σ ˆx ] = − ((ˆ σ y By + σ ˆz Bz )ˆ σx − σ ˆx (ˆ σ y By + σ ˆz Bz )) dt ¯ h h 2me ¯ Folosind [σx , σy ] = iσz , rezult˘ a: e e dˆ σx ~ x. = (ˆ σ y Bz − σ ˆ z By ) = (~σ × B) dt me me

74

4. METODA WKB Pentru a studia potent¸iale mai realiste decˆıt cele de bariere ¸si gropi rectangulare, este necesar de multe ori s˘ a se foloseasc˘a metode care s˘ a permit˘ a rezolvarea ecuat¸iei Schr¨ odinger pentru clase generale de potent¸iale ¸si care s˘ a fie o bun˘a aproximare a solut¸iilor exacte. Scopul diferitelor metode de aproximare este s˘ a ofere solut¸ii suficient de bune ¸si simple, care s˘ a permit˘ a ˆın acest fel ˆınt¸elegerea comportamentului sistemului ˆın form˘ a cuasianalitic˘a . ˆIn cadrul mecanicii cuantice, una dintre cele mai vechi ¸si eficiente metode a fost dezvoltat˘ a ˆın mod aproape simultan de c˘atre G. Wentzel, H. A. Kramers ¸si L. Brillouin ˆın 1926, de la al c˘aror nume deriv˘a acronimul WKB sub care este cunoscut˘a aceast˘ a metod˘ a (corect este JWKB, vezi nota 4N). Este important de ment¸ionat c˘a metoda WKB se aplic˘ a mai ales ecuat¸iilor Schr¨ odinger 1D ¸si exist˘a dificult˘a¸ti serioase ˆın generaliz˘ arile la dimensiuni superioare. Pentru a rezolva ecuat¸ia Schr¨ odinger −

¯ 2 d2 ψ h + u(y)ψ = Eψ 2m dy 2

(1)

presupunem c˘ a potent¸ialul are forma: u(y) = u0 f ¸si facem schimbul de variabil˘ a: ξ2 =

y 

a

¯2 h 2mu0 a2

E u0 y x= . a η=

(2)

(3) (4) (5)

Din ecuat¸ia (5) obt¸inem: dy d d d = =a dx dx dy dy

(6)

2 d  d   d  d  d2 2 d = a = a a = a dx2 dx dy dx dx dy 2

(7)

75

¸si ec. Schr¨ odinger se scrie: − ξ2

d2 ψ + f (x)ψ = ηψ . dx2

(8)

Multiplicˆınd cu −1/ξ 2 ¸si definind r(x) = η − f (x), este posibil s˘ a o scriem ˆın forma: d2 ψ 1 + 2 r(x)ψ = 0 . (9) 2 dx ξ Pentru a rezolva (9) se propune urm˘atoarea solut¸ie: " Z

i ψ(x) = exp ξ

#

x

q(x)dx .

a

(10)

A¸sadar: 

d2 ψ d dψ = dx2 dx x i d2 ψ = =⇒ dx2 ξ

(



" Z

(

i d i q(x) exp = dx ξ ξ

" Z

i i 2 q (x) exp ξ ξ

x

a

x

q(x)dx

a

" Z

#

i ∂q(x) exp q(x)dx + ∂x ξ

#) x

a

q(x)dx

#)

.

Factorizˆınd ψ avem: d2 ψ = dx2

"

#

1 i dq(x) − 2 q 2 (x) + ψ. ξ ξ dx

(11)

Neglijˆınd pe moment dependent¸a ˆın x, ecuat¸ia Schr¨ odinger se poate scrie : "

#

(12)

dq + r − q2 = 0 , dx

(13)

1 1 i ∂q − 2 q2 + + 2r ψ = 0 ξ ξ ∂x ξ

¸si cum ˆın general ψ 6= 0, avem: iξ

care este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a linear˘ a de tip Riccati, a c˘arei solut¸ii se caut˘ a ˆın forma unei serii de puteri ale lui ξ cu presupunerea c˘a ξ este foarte mic. Mai exact seria se propune de forma: q(x) =

∞ X

(−iξ)n qn (x) .

n=0

76

(14)

Substituind-o ˆın Riccati obt¸inem: iξ

∞ X

(−iξ)n

n=0

∞ ∞ X X dqn (−iξ)ν qν = 0 . (−iξ)µ qµ + r(x) − dx ν=0 µ=0

(15)

Printr-o rearanjare a termenilor obt¸inem: ∞ X

(−1)n (iξ)n+1

n=0

∞ ∞ X X dqn (−iξ)µ+ν qµ qν = 0 . + r(x) − dx µ=0 ν=0

(16)

Seriile duble au urm˘atoarea proprietate: ∞ X ∞ X

aµν =

µ=0 ν=0

∞ X n X

am,n−m ,

n=0 m=0

unde: µ = n − m , ν = m . ˆIn acest fel: ∞ X

(−1)n (iξ)n+1

n=0

∞ X n X dqn + r(x) − (−iξ)n−m+m qm qn−m = 0 . dx n=0 m=0

(17)

S˘ a vedem explicit cˆıt¸iva termeni ˆın fiecare din seriile din ecuat¸ia (17): ∞ X

(−1)n (iξ)n+1

n=0 ∞ X n X

n=0 m=0

dq1 dq2 dq0 dqn = iξ + ξ2 − iξ 3 + ... dx dx dx dx

(−iξ)n qm qn−m = q02 − i2ξq0 q1 + . . .

(18)

(19)

Pentru ca ambele serii s˘ a cont¸in˘ a pe iξ ˆın primul termen trebuie s˘ a le scriem: ∞ X

(−1)n−1 (iξ)n

n=1

∞ X n X dqn−1 + r(x) − q02 − (−iξ)n qm qn − m = 0 , dx n=1 m=0

ceea ce ne conduce la: ∞ X

n=1

"

n dqn−1

− (−iξ)

dx



n X

m=0

n

#

"

(−iξ) qm qn−m + r(x) −

q02

#

=0.

(20)

Pentru ca aceast˘ a ecuat¸ie s˘ a se satisfac˘a avem condit¸iile: r(x) − q02 = 0

⇒ 77

q

q0 = ± r(x)

(21)

−(−iξ)n ⇒

n X dqn−1 − (−iξ)n qm qn−m = 0 dx m=0

n X dqn−1 =− qm qn−m dx m=0

n≥1.

(22)

Aceasta ultima este o relat¸ie de recurent¸˘a care apare ˆın metoda WKB. Este momentul s˘ a amintim c˘ a am definit r(x) = η−f (x), η = uE0 & f (x) = uu0 ¸si cu ajutorul ec. (21) obt¸inem: q

q0 = ± η − f (x) = ±

s

u E − =± u0 u0

s

2m(E − u) , 2mu0

(23)

care ne indic˘ a natura clasic˘ √a a impulsului WKB a particulei de energie E ˆın potent¸ialul u ¸si ˆın unit˘ a¸ti 2mu0 . Astfel: q0 = p(x) =

q

η − f (x)

nu este un operator. Dac˘a aproxim˘am pˆın˘ a la ordinul doi, obt¸inem: q(x) = q0 − iξq1 − ξ 2 q2 ¸si folosind relat¸ia de recurent¸˘a WKB (22) calcul˘ am q1 ¸si q2 : dq0 = −2q0 q1 dx ⇒



q1 = −

q1 = −

dq1 = −2q0 q2 − q12 dx

0 1 dq 1 d dx =− (ln |q0 |) 2 q0 2 dx

1 d (ln |p(x)|) 2 dx ⇒

q2 = −

(24)

dq1 dx

− q12 . 2q0

(25)

Din ecuat¸ia (24), ne d˘ am seama c˘a m˘ arimea q1 este panta cu semnul schimbat a lui ln |q0 |; cˆınd q0 este foarte mic, q1 ≪ 0 ⇒ −ξq1 ≫ 0 ¸si prin urmare seria diverge. Pentru a evita acest lucru se impune urm˘atoarea condit¸ie WKB: |q0 | ≫ | − ξq1 | = ξ|q1 | . Este important de observat c˘a aceast˘ a condit¸ie WKB nu se satisface pentru acele puncte xk unde: q0 (xk ) = p(xk ) = 0 . 78

Dar q0 = p =

q

2m(E−u) 2mu0

¸si deci ecuat¸ia precedent˘a ne conduce la: E = u(xk ) .

(26)

ˆIn mecanica clasic˘ a punctele xk care satisfac (26) se numesc puncte de ˆıntoarcere pentru c˘ a ˆın ele are loc schimbarea sensului de mi¸scare a particulei macroscopice. ˆIn baza acestor argumente, putem s˘ a spunem despre q0 c˘a este o solut¸ie clasic˘ a a problemei examinate ¸si c˘a m˘ arimile q1 & q2 sunt respectiv prima ¸si a doua corect¸ie cuantic˘ a ˆın problema WKB. Pentru a obt¸ine funct¸iile de und˘a vom considera numai solut¸ia clasic˘ a ¸si prima corect¸ie cuantic˘ a a problemei pe care le substituim ˆın forma WKB a lui ψ: # " Z # " Z i x i x q(x)dx = exp (q0 − iξq1 )dx ψ = exp ξ a ξ a i ψ = exp ξ



Z

!

x

Z

q0 dx · exp

a

x

a

q1 dx

!

.

Pentru al doilea factor avem: exp

Z

x

a

q1 dx

!

"

1 = exp − 2

Z

#

x

d (ln |p(x)|)dx = dx

a

"

#

x 1 A = exp − (ln |p(x)|) = p , a 2 p(x)

cu A o constant˘ a , ˆın timp ce pentru primul factor se obt¸ine: exp

i ξ

Z

x

a

q0 dx

!

"

i = exp ± ξ

Z

#

x

p(x)dx .

a

Astfel putem scrie ψ ˆın urm˘atoarea form˘a : "

i 1 exp ± ψ =p ξ p(x) ±

Z

x

a

#

p(x)dx ,

(27)

care sunt cunoscute ca solut¸ii WKB ale ecuat¸iei Schr¨ odinger unidimensionale. Solut¸ia general˘ a WKB ˆın regiunea ˆın care condit¸ia WKB se satisface se scrie: ψ = a+ ψ + + a− ψ − . (28) 79

A¸sa cum deja s-a ment¸ionat, nu exist˘a solut¸ie WKB ˆın punctele de ˆıntoarcere, ceea ce ridic˘ a problema modului ˆın care se face trecerea de la ψ(x < xk ) la ψ(x > xk ). Rezolvarea acestei dificult˘a¸ti se face prin introducerea formulelor de conexiune WKB.

Formulele de Conexiune Deja s-a v˘azut c˘ a solut¸iile WKB sunt singulare ˆın punctele de ˆıntoarcere clasic˘ a ; totu¸si aceste solut¸ii sunt corecte la stˆınga ¸si la dreapta acestor puncte xk . Ne ˆıntreb˘ am deci cum schimb˘ am ψ(x < xk ) ˆın ψ(x > xk ) ˆın aceste puncte. R˘ aspunsul este dat de a¸sa numitele formule de conexiune. Din teoria ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare ¸si pe baza analizei de funct¸ii de variabil˘ a complex˘ a se poate demonstra c˘a formulele de conexiune exist˘a ¸si c˘ a sunt urm˘atoarele: ψ1 (x) =



1 1

[−r(x)] 4 2 1

[r(x)] 4



exp −

cos

Z

x

xk

Z

xk

x



q

−r(x)dx →

q

r(x)dx −



π 4

,

(29)

unde ψ1 (x) are numai comportament atenuant exponent¸ial pentru x < xk . Prima formul˘ a de conexiune arat˘ a c˘a funct¸ia ψ(x), care la stˆınga punctului de ˆıntoarcere se comport˘ a atenuant exponent¸ial, trece ˆın dreapta acelui punct ˆıntr-o cosinusoid˘a de faz˘a φ = π4 ¸si de amplitudine dubl˘a fat¸˘a de amplitudinea exponent¸ialei. ˆIn cazul unei funct¸ii ψ(x) mai generale, respectiv o funct¸ie care s˘ a aib˘ a un comportament exponent¸ial cresc˘ ator ¸si atenuant, formula de conexiune corespunz˘ atoare este: 

sin φ +



π 4



1 1

[−r(x)] 4

1 1

[r(x)] 4

cos

exp

Z

xk

x

Z

x

xk

q



q

−r(x)dx ← 

r(x)dx + φ

,

(30)

cu condit¸ia ca φ s˘ a nu ia o valoare prea apropiat˘a de − π4 . Motivul este c˘a π dac˘ a φ = − 4 , funct¸ia sinus se anuleaz˘ a . Aceast˘a a doua formul˘ a de conexiune signific˘a c˘ a o funct¸ie care se comport˘ a ca o cosinusoid˘a la dreapta unui

80

punct de ˆıntoarcere trece ˆın partea sa stˆınga ca o exponent¸ial˘a cresc˘ atoare cu amplitudinea modulat˘ a de c˘atre o sinusoid˘a . Pentru a studia detaliile procedurii de obt¸inere a formulelor de conexiune se poate consulta expunerea din cartea Mathematical Methods of Physics de J. Mathews & R.L. Walker.

Estimarea erorii introduse de aproximat¸ia WKB Am g˘ asit solut¸ia ecuat¸iei Schr¨ odinger ˆın orice regiune unde se satisface condit¸ia WKB. Totu¸si, solut¸iile WKB diverg ˆın punctele de ˆıntoarcere a¸sa cum am semnalat. Vom analiza, de¸si superficial, aceast˘ a problematic˘a cu scopul de a propune formulele de conexiune ˆıntr-o vecin˘ atate redus˘a a punctelor de ˆıntoarcere. S˘ a presupunem c˘ a x = xk este un punct de ˆıntoarcere, unde avem: q0 (xk ) = p(xk ) = 0 ⇒ E = u(xk ). La stˆınga lui xk , adic˘ a ˆın semidreapta x < xk , vom presupune c˘ a E < u(x), astfel c˘a ˆın aceast˘ a regiune solut¸ia WKB este: 

Z

1  ψ(x) = h i 1 exp − ξ u(x)−E 4 a

x

u0



1  i 1 exp ξ h u(x)−E 4 b

+

xk

u0

Z

s

xk

x



u(x) − E  dx u0

s

+



u(x) − E  dx . u0

(31)

ˆIn acela¸si mod, la dreapta lui xk ( ˆın semidreapta x > xk ) presupunem E > u(x). ˆIn consecint¸˘ a solut¸ia WKB ˆın aceast˘ a zon˘ a este: 

i  ψ(x) = h i 1 exp ξ E−u(x) 4 c

Z

xk

u0

+

x



s

i  i 1 exp − ξ h E−u(x) 4 d

u0



E − u(x)  dx u0

Z

x

xk

s

+ 

E − u(x)  dx . u0

(32)

Dac˘a ψ(x) este o funct¸ie real˘ a , va avea aceast˘ a proprietate atˆıt la dreapta cˆıt ¸si la stˆınga lui xk . Vom numi acest fapt “condit¸ia de realitate”, care ˆınseamn˘a c˘ a dac˘ a a, b ∈ ℜ, atunci c = d∗ . 81

Problema noastr˘a este de a conecta aproximat¸iile din cele dou˘ a laturi ale lui xk pentru ca ele s˘ a se refere la aceea¸si solut¸ie. Aceasta ˆınseamn˘a a g˘asi c ¸si d dac˘ a se cunosc a ¸si b, precum ¸si viceversa. Pentru a efectua aceast˘ a conexiune, trebuie s˘ a utiliz˘ am o solut¸ie aproximat˘a , care s˘ a fie corect˘ a de-a lungul unui drum care leag˘a regiunile din cele dou˘ a laturi ale lui xk , unde solut¸iile WKB s˘ a fie deasemenea corecte. Cel mai comun este s˘ a se recurg˘a la o metod˘ a propus˘a de c˘atre Zwann ¸si Kemble care const˘ a ˆın a ie¸si de pe axa real˘ a ˆın vecin˘ atatea lui xk , pe un contur ˆın jurul lui xk ˆın planul complex. Pe acest contur se consider˘a c˘ a solut¸iile WKB continu˘ a s˘ a fie corecte. ˆIn aceast˘ a prezentare vom folosi aceast˘ a metod˘ a , dar numai cu scopul de a obt¸ine un mijloc de a estima erorile ˆın aproximat¸ia WKB. Estimarea erorilor este ˆıntotdeauna important˘a pentru solut¸iile aproximate prin diferite metode ¸si ˆın plus ˆın cazul WKB aproximat¸ia se face pe intervale mari ale axei reale, ceea ce poate duce la acumularea erorilor ¸si la eventuale artefacte datorate ¸sifturilor de faz˘a astfel introduse. S˘ a definim funct¸iile WKB asociate ˆın felul urm˘ator: 

i  W± = h i 1 exp ± ξ E−u(x) 4 1

u0

Z

x

xk

s



E − u(x)  dx , u0

(33)

pe care le consider˘am ca funct¸ii de variabil˘ a complex˘a . Vom folosi t˘aieturi pentru a evita discontinuit˘ a¸tile din zerourile lui r(x) = E−u(x) u0 . Aceste funct¸ii satisfac o ecuat¸ie diferent¸ial˘a care se poate obt¸ine diferent¸iindu-le ˆın raport cu x, conducˆınd la: W±′ W±′′ S˘ a not˘ am:





1 r′ i√ r− = ± W± ξ 4r 

r′ r

2 #

5 1 r ′′ − s(x) = 4 r 16



r′ r

"

1 r ′′ 5 r − + 2+ ξ 4 r 16

atunci W± sunt solut¸ii exacte ale ecuat¸iei: W±′′ +





2

W± = 0 .

,

1 r(x) + s(x) W± = 0 , ξ2 82

(34)

(35)

(36)

dar satisfac numai aproximativ ecuat¸ia Schr¨ odinger, care este regular˘a ˆın x = xk ˆın timp ce ecuat¸ia pentru funct¸iile WKB asociate este singular˘a ˆın acel punct. Vom defini funct¸iile α± (x) care s˘ a satisfac˘a urm˘atoarele dou˘ a relat¸ii: ψ(x) = α+ (x)W+ (x) + α− (x)W− (x)

(37)

ψ ′ (x) = α+ (x)W+′ (x) + α− (x)W−′ (x) ,

(38)

unde ψ(x) este solut¸ie a ecuat¸iei Schr¨ odinger. Rezolvˆınd ecuat¸iile anterioare pentru α± avem: α+ =

ψW−′ − ψ ′ W− W+ W−′ − W+′ W−

α− = −

ψW+′ − ψ ′ W+ , W+ W−′ − W+′ W−

unde num˘ ar˘ atorul este exact Wronskianul lui W+ ¸si W− . Nu este dificil de demonstrat c˘ a acesta ia valoarea − 2ξ i, astfel c˘a α± se simplific˘a la forma: α+ =

 ξ i ψW−′ − ψ ′ W− 2

(39)

 −ξ i ψW+′ − ψ ′ W+ . 2 Efectuˆınd derivata ˆın x ˆın ecuat¸iile (39) ¸si (40), avem:

α− =

(40)

 ξ dα± = i ψ ′ W∓′ + ψW∓′′ − ψ ′′ W∓ − ψ ′ W∓′ . dx 2

(41)

ˆIn paranteze, primul ¸si al patrulea termen se anuleaz˘ a ; amintim c˘a : 1 ψ + 2 r(x)ψ = 0 ξ ′′

W±′′

&





1 + 2 r(x) + s(x) W± = 0 ξ

¸si deci putem scrie ecuat¸ia (41) ˆın forma: 





r ξ r dα± = i −ψ 2 + s W∓ + 2 ψW∓ dx 2 ξ ξ



dα± ξ = ∓ is(x)ψ(x)W∓ (x) , dx 2 care ˆın baza ecuat¸iilor (33) ¸si (37) devine: 



ξ s(x) dα± 2 =∓ i α± + α∓ exp ∓ i dx 2 [r(x)] 21 ξ 83

Z

x

(42)

q

r(x)dx

xk



.

(43)

Ecuat¸iile (42) ¸si (43) se folosesc pentru a estima eroarea care se comite ˆın aproximat¸ia WKB ˆın cazul unidimensional. ± Motivul pentru care dα asur˘a a erorii WKB este dx se poate considera ca m˘ c˘ a ˆın ecuat¸iile (31) ¸si (32) constantele a, b ¸si c, d, respectiv, ne dau numai solut¸ii ψ aproximative, ˆın timp ce funct¸iile α± introduse ˆın ecuat¸iile (37) ¸si (38) produc solut¸ii ψ exacte. Din punct de vedere geometric derivata d˘ a panta dreptei tangente la aceste funct¸ii ¸si indic˘ a m˘ asura ˆın care α± deviaz˘a fat¸˘ a de constantele a, b, c ¸si d. 4N. Not˘ a: Articolele (J)WKB originale sunt urm˘atoarele: G. Wentzel, “Eine Verallgemeinerung der Wellenmechanik”, [“O generalizare a mecanicii ondulatorii”], Zeitschrift f¨ ur Physik 38, 518-529 (1926) [primit 18 June 1926] L. Brillouin, “La m´ecanique ondulatoire de Schr¨ odinger: une m´ethode g´en´erale de resolution par approximations successives”, [“Mecanica ondulatorie a lui Schr¨ odinger: o metod˘ a general˘ a de rezolvare prin aproxim˘ari succesive”], Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 183, 24-26 (1926) [primit 5 July 1926] H.A. Kramers, “Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung”, [“Mecanica ondulatorie ¸si cuantizarea semiˆıntreag˘ a ”], Zf. Physik 39, 828-840 (1926) [primit 9 Sept. 1926] H. Jeffreys, “On certain approx. solutions of linear diff. eqs. of the second order”, [“Asupra unor solut¸ii aproximative a ecuat¸iilor diferent¸iale lineare de ordinul doi”], Proc. Lond. Math. Soc. 23, 428-436 (1925)

4P. Probleme Problema 4.1 S˘ a se foloseasc˘ a metoda WKB pentru o particul˘a de energie E care se mi¸sc˘ a ˆıntr-un potent¸ial u(x) de forma ar˘ atat˘a ˆın figura 4.1.

84

u(x)

E

x1

x2

x

Fig. 4.1

Solut¸ie Ecuat¸ia Schr¨ odinger corespunz˘atoare este: d2 ψ 2m + 2 [E − u(x)] ψ = 0 . dx2 ¯ h

(44)

Dup˘ a cum putem vedea: (

2m r(x) = 2 [E − u(x)] h ¯

este pozitiv˘a pentru a < x < b este negativ˘a pentru x < a, x > b.

Dac˘a ψ(x) corespunde zonei ˆın care x < a, la trecerea ˆın intervalul a < x < b, formula de conexiune este dat˘ a de ecuat¸ia (29) ¸si ne spune c˘a : ψ(x) ≈

A 1

[E − u] 4

 Z cos 

x

a

s



2m π 2 (E − u)dx − 4 ¯h

(45)

unde A este o constant˘ a arbitrar˘a . Cˆınd ψ(x) corespunde zonei x > b, la trecerea ˆın intervalul a < x < b avem ˆın mod similar: ψ(x) ≈ −

B [E − u]

1 4



cos 

Z

b

x

85

s



2m π , 2 (E − u)dx − 4 ¯h

(46)

unde B este o constant˘ a arbitrar˘a . Motivul pentru care formula de conexiune este din nou ecuat¸ia (29), se ˆınt¸elege examinˆınd ce se ˆıntˆımpl˘ a cˆınd particula ajunge la al doilea punct clasic de ˆıntoarcere x = b. Acesta produce inversia direct¸iei de mi¸scare ¸si atunci particula apare ca venind de la dreapta spre stˆınga. Cu alte cuvinte, ne g˘asim ˆın prima situat¸ie (de la stˆınga la dreapta) numai c˘ a v˘azut˘ a ˆıntr-o oglind˘ a ˆın punctul x = a. Aceste dou˘ a expresii trebuie s˘ a fie acelea¸si independent de constantele A ¸si B, astfel c˘ a: 

cos 

Z



⇒ cos 

x

a

Z

s

s

x

a





2m π = − cos  2 (E − u)dx − 4 h ¯

Z

x

 Z 2m π  + cos 2 (E − u)dx −

4

h ¯



b

b

x

s

s



2m π 2 (E − u)dx − 4 ¯h 

2m π =0. 2 (E − u)dx − 4 ¯h (47)

Amintind c˘ a: 

A+B cos A + cos B = 2 cos 2





A−B cos 2



,

ecuat¸ia (47) se scrie:  

1 2 cos   2  

1 ·cos   2

Z

x

a

Z

s

x

a

s

2m π 2 (E − u)dx − 4 + h ¯

2m π 2 (E − u)dx − 4 − h ¯

Z

b

x

Z

s

b

x

s



2m π  · 2 (E − u)dx − 4 ¯h 

2m π  = 0 , (48) 2 (E − u)dx + 4 ¯h

ceea ce implic˘ a pentru argumentele acestor cosinusoide c˘a sunt multipli π ˆıntregi de 2 ; argumentul celui de-a doua cosinusoide nu ne duce la nici un rezultat netrivial, a¸sa c˘ a ne fix˘am atent¸ia numai asupra argumentului primei cosinusoide, care este esent¸ial pentru obt¸inerea unui rezultat important:  Z

1 2

x a

s

2m π 2 (E − u)dx − 4 + h ¯ ⇒

Z

b

a

Z

s

b x

s



2m π n = π 2 (E − u)dx − 4 2 ¯h

2m π 2 (E − u)dx − 2 = nπ ¯h 86

pt. n impar



Z

b

a

Z

s

2m 1 2 (E − u)dx = (n + 2 )π ¯h

bq

1 (49) 2m(E − u)dx = (n + )π¯h . 2 a Acest rezultat este foarte similar regulilor de cuantizare Bohr - Sommerfeld. Amintim c˘ a postulatul lui Bohr stabile¸ste c˘a momentul unghiular al unui electron care se mi¸sc˘ a pe o ‘orbit˘ a permis˘a ’ ˆın jurul nucleului atomic este cuantizat˘ a ¸si valoarea sa este: L = n¯h, n = 1, 2, 3, . . .. Amintim deasemenea c˘ a regulile de cuantizare Wilson - Sommerfeld stabilesc c˘a orice coordonat˘a a unui sistem fizic care variaz˘ a periodic ˆın timp trebuie s˘ a satisfac˘a condit¸ia H cuantic˘ a : pq dq = nq h; unde q este o coordonat˘a periodic˘ a , pq este impulsul asociat acesteia, nq este un num˘ ar ˆıntreg ¸si h este constanta lui Planck. Se vede c˘ a rezultatul obt¸inut ˆın aproximat¸ia WKB este cu adev˘arat foarte asem˘ an˘ ator. ⇒

Problema 4.2 S˘ a se estimeze eroarea care se comite ˆın solut¸ia WKB ˆıntr-un punct x1 6= xk , cu xk un punct clasic de ˆıntoarcere, pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘a y ′′ + xy = 0. Solut¸ia acestei probleme este important˘ a ˆın studiul cˆımpurilor uniforme, a¸sa cum sunt cele gravitat¸ionale sau cele electrice produse de pl˘ aci plane ˆınc˘ arcate.

Solut¸ie: Pentru aceast˘ a ecuat¸ie diferent¸ial˘a avem: ξ = 1,

r(x) = x

&

s(x) = −

5 −2 x . 16

r(x) = x are un singur zero ˆın xk = 0, astfel c˘a pentru x ≫ 0: W± = x

− 41



exp ±i

Z

x√



xdx = x

0

− 14



2 3 exp ± ix 2 3



.

(50)

Derivˆınd W± pˆın˘ a la a doua derivat˘a ˆın x, ne d˘ am seama c˘a se satisface urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘a : W±′′ + (x −

5 −2 x )W± = 0 . 16 87

(51)

Solut¸ia exact˘a y(x) a acestei ecuat¸ii diferent¸iale o scriem ca o combinat¸ie linear˘ a de W± , a¸sa cum s-a indicat ˆın sect¸iunea corespondent˘a estim˘arii erorii ˆın aproximat¸ia WKB; amintim c˘a s-a propus o combinat¸ie linear˘ a de forma: y(x) = α+ (x)W+ (x) + α− (x)W− (x) Pentru x mari, o solut¸ie general˘ a a ecuat¸iei noastre diferent¸iale se poate scrie ˆın aproximat¸ia WKB ˆın forma: 1

y(x) = Ax− 4 cos



2 3 x2 + δ 3



cˆınd x → ∞ ,

(52)

a calcul˘ am astfel c˘ a α+ → A2 eiδ ¸si α− → A2 e−iδ pentru x → ∞. Vrem s˘ eroarea datorat˘ a acestei solut¸ii WKB. O m˘ asur˘a a acestei erori este devierea lui α+ ¸si a lui α− fat¸˘ a de constantele A. Pentru aceasta folosim ecuat¸ia: 



ξ s(x) dα± = ∓ ip α± + α∓ exp ∓2i dx 2 r(x)

Z

x

xk

q







r(x)dx

¸si efectuˆınd substitut¸iile corespunz˘atoare avem: 





1 i 2 3 5 dα± A ±iδ A ∓iδ =∓ e + e exp ∓2i x 2 − x−2 x− 2 dx 2 16 2 2 3

.

(53)

S ¸ tim c˘ a ∆α± reprezint˘ a schimb˘ arile pe care le prezint˘a α± cˆınd x variaz˘ a ˆıntre x1 ¸si ∞, ceea ce ne permite calculul prin intermediul lui: 2 ∆α± = A/2 A = ±i

Z

∞ x1

dα± dx = dx 

5 ±iδ 2 − 23 e x + e∓2iδ 32 3 1

Z



x1







5 4 3 x− 2 exp ∓i x 2 dx . 3

(54)

Al doilea termen din paranteze este mai put¸in important decˆıt primul pentru 5 3 c˘ a exponent¸iala complex˘ a oscileaz˘ a ˆıntre 1 ¸si −1 ¸si deci x− 2 < x− 2 . Prin urmare: 5 ∆α± −3 ≈ ± ie±iδ x1 2 (55) A/2 48 ¸si cum putem vedea eroarea care se introduce este ˆıntr-adev˘ar mic˘ a dac˘ a tinem cont ¸si de faptul c˘ a exponent¸iala complex˘a oscileaz˘ a ˆıntre −1 ¸si 1, iar − 32

x1

este deasemenea mic.

88

5. OSCILATORUL ARMONIC (OA) Solut¸ia ecuat¸iei Schr¨ odinger pentru OA Oscilatorul armonic (OA) poate fi considerat ca o paradigm˘a a Fizicii. Utilitatea sa apare ˆın marea majoritate a domeniilor, de la fizica clasic˘ a pˆın˘ a la electrodinamica cuantic˘ a ¸si teorii ale obiectelor colapsate gravitat¸ional. Din mecanica clasic˘ a ¸stim c˘a multe potent¸iale complicate pot fi aproximate ˆın vecin˘ atatea pozit¸iilor de echilibru printr-un potent¸ial OA 1 V (x) ∼ V ′′ (a)(x − a)2 . 2

(1)

Acesta este un caz unidimensional. Pentru acest caz, funct¸ia Hamiltonian˘ a clasic˘ a a unei particule de mas˘ a m, oscilˆınd cu frecvent¸a ω are urm˘atoarea form˘ a: p2 1 H= + mω 2 x2 (2) 2m 2 ¸si Hamiltonianul cuantic corespunz˘ator ˆın spat¸iul de configurat¸ii este : ˆ = 1 (−i¯h d )2 + 1 mω 2 x2 H 2m dx 2

(3)

1 ¯ 2 d2 ˆ =−h + mω 2 x2 . (4) H 2 2m dx 2 Dat faptul c˘ a potent¸ialul este independent de timp, FP Ψn ¸si autovalorile En se determin˘a cu ajutorul ecuat¸iei Schr¨ odinger independent˘a de timp : ˆ n = En Ψn . HΨ

(5)

Considerˆınd Hamiltonianul pentru OA , ecuat¸ia Schr¨ odinger pentru acest caz este : " # d2 Ψ 2mE m2 ω 2 2 + − x Ψ=0. (6) dx2 ¯h2 ¯h2 Am suprimat subindicii lui E ¸si Ψ pentru c˘a nu au nici o important¸˘a aici. Definind: 2mE (7) k2 = ¯h2 mω λ= , (8) ¯h 89

ecuat¸ia Schr¨ odinger devine: d2 Ψ + [k2 − λ2 x2 ]Ψ = 0 , dx2

(9)

cunoscut˘a ca ecuat¸ia diferent¸ial˘a Weber ˆın matematic˘ a. Vom face ˆın continuare transformarea: y = λx2 .

(10)

ˆIn general, cu schimbul de variabil˘ a de la x la y , operatorii diferent¸iali iau forma: d dy d = (11) dx dx dy d2 d2 y d dy 2 d2 d dy d ( ) = + ( ) = . dx2 dx dx dy dx2 dy dx dy 2

(12)

Aplicˆınd aceast˘ a regul˘ a evident˘a transform˘arii propuse obt¸inem urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a ˆın variabila y : y

k2 1 d2 Ψ 1 dΨ + + [ − y]Ψ = 0 , dy 2 2 dy 4λ 4

sau, definind : κ= obt¸inem: y

E k¯2 k2 = = , 2λ 2mω ¯ω h

d2 Ψ 1 dΨ κ 1 + [ − y]Ψ = 0 . + 2 dy 2 dy 2 4

(13)

(14)

(15)

S˘ a trecem la rezolvarea acestei ecuat¸ii, efectuˆınd mai ˆıntˆıi analiza sa asimptotic˘a ˆın limita y → ∞. Pentru aceasta. se rescrie ecuat¸ia anterioar˘ a ˆın forma : 1 dΨ κ 1 d2 Ψ + + [ − ]Ψ = 0 . (16) 2 dy 2y dy 2y 4 Observ˘ am c˘ a ˆın limita y → ∞ ecuat¸ia se comport˘ a astfel: d2 Ψ∞ 1 − Ψ∞ = 0 . dy 2 4

(17)

Aceast˘a ecuat¸ie are ca solut¸ie: Ψ∞ (y) = A exp

−y y + B exp . 2 2

90

(18)

Elimin˘am exp y2 luˆınd A = 0 pentru c˘a diverge ˆın limita y → ∞ ¸si r˘ amˆınem cu exponent¸iala atenuat˘ a . Putem sugera acum c˘ a Ψ are urm˘atoarea forma: −y ψ(y) . (19) Ψ(y) = exp 2 Substituind-o ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru y ( ec. 15) se obt¸ine: y

d2 ψ dψ κ 1 1 + ( − )ψ = 0 . + ( − y) 2 dy 2 dy 2 4

(20)

Ceea ce am obt¸inut este ecuat¸ia hipergeometric˘a confluent˘a z

4

dy d2 y + (c − z) − ay = 0 . 2 dz dz

: (21)

Solut¸ia general˘ a a acestei ecuat¸ii este : y(z) = A 1 F1 (a; c, z) + B z 1−c 1 F1 (a − c + 1; 2 − c, z) ,

(22)

unde funct¸ia hipergeometric˘a confluent˘a este definit˘a prin : 1 F1 (a; c, z)

=

∞ X (a)n xn

n=0

(c)n n!

.

(23)

Comparˆınd acum ecuat¸ia noastr˘a, cu ecuat¸ia hipergeometric˘a confluent˘a, se observ˘ a c˘ a solut¸ia general˘ a a primei este : 1 1 ψ(y) = A 1 F1 (a; , y) + B y 2 2

1 F1 (a

1 3 + ; , y) 2 2

(24)

unde

κ 1 − ). (25) 2 4 Dac˘a ment¸inem aceste solut¸ii ˆın forma ˆın care se prezint˘a , condit¸ia de normalizare pentru funct¸ia de und˘a nu se satisface, pentru c˘a din comportamentul asimptotic al funct¸iei hipergeometrice confluente 5 rezult˘ a ( considerˆınd numai comportamentul dominant exponent¸ial ) : a = −(

Ψ(y) = e 4 5

−y 2

ψ(y) →

y

1

const. e 2 y a− 2 .

Deasemenea cunoscut˘ a ca ecuat¸ia diferent¸ial˘ a Kummer. Comportamentul asimptotic pentru | x |→ ∞ este: 1 F1 (a; c, z)



Γ(c) e−iaπ x−a Γ(c−a)

91

+

Γ(c) x a−c e x Γ(a)

.

(26)

Aceast˘a ultim˘ a aproximat¸ie ne duce la o divergent¸˘a ˆın integrala de normalizare, care fizic este inacceptabil˘a . Ceea ce se face ˆın acest caz, este s˘ a se impun˘a condit¸ia de terminare a seriei 6 , adic˘ a , seria are numai un num˘ ar finit de termeni fiind deci un polinom de grad n. Observ˘ am astfel c˘ a faptul de a cere ca integrala de normalizare s˘ a fie finit˘ a (dup˘ a cum ¸stim condit¸ie obligatorie pentru semnificat¸ia fizic˘ a ˆın termeni de probabilit˘ a¸t i), ne conduce la truncarea seriei, fapt care ˆın acela¸si timp produce cuantizarea energiei. Consider˘ am ˆın continuare cele dou˘ a cazuri posibile : 1) a = −n ¸si B = 0 κ 1 − =n. (27) 2 4 FP-urile sunt date de: Ψn (x) = Dn exp ¸si energia este:

2)

a+

1 2

= −n

1 −λx2 2 1 F1 (−n; , λx ) 2 2

1 En = h ¯ ω(2n + ) . 2

(28)

(29)

¸si A = 0 κ 1 1 − =n+ . 2 4 2

(30)

FP-urile sunt acum: Ψn (x) = Dn exp

−λx2 3 x 1 F1 (−n; , λx2 ) , 2 2

(31)

iar energiile stat¸ionare sunt: 1 En = h ¯ ω[(2n + 1) + ] . 2

(32)

Polinoamele obt¸inute ˆın urma acestei trunc˘ari a seriei hipergeometrice se numesc polinoame Hermite ¸si se pot scrie ca urm˘atoarele funct¸ii hipergeometrice : 1 2 (2n)! (33) H2n (η) = (−1)n 1 F1 (−n; , η ) n! 2 6

Condit¸ia de truncare a seriei pentru funct¸ia hipergeometric˘ a confluent˘ a 1 F1 (a; c, z) este a = −n, cu n un ˆıntreg nenegativ ( adic˘ a , include zero ).

92

3 2(2n + 1)! η 1 F1 (−n; , η 2 ) . (34) n! 2 Putem acum combina rezultatele obt¸inute ( pentru c˘a unele ne dau valorile pare ¸si altele pe cele impare ) ˆıntr-o singur˘a expresie pentru autovalori ¸si funct¸ii proprii : H2n−1 (η) = (−1)n

Ψn (x) = Dn exp

√ −λx2 Hn ( λx) 2

(35)

1 hω n = 0, 1, 2 . . . (36) En = (n + )¯ 2 Spectrul de energie al OA este echidistant, adic˘ a , exist˘a aceea¸si diferent¸˘a hω ˆıntre oricare dou˘ ¯ a nivele. Alt˘a observat¸ie pe care o putem face, este ˆın leg˘ atur˘ a cu valoarea minim˘a de energie pe care o are oscilatorul; poate ˆın mod surprinz˘ ator este diferit˘a de zero; acesta se consider˘a un rezultat pur cuantic, pentru c˘ a dispare dac˘ ah ¯ → 0. Se cunoa¸ste ca energia de punct zero ¸si faptul c˘ a este diferit˘ a de zero , este o caracteristic˘a a tuturor potent¸ialelor confinante . Constanta de normalizare poate fi calculat˘ a u¸sor ¸si are valoarea: Dn =

"s

λ 1 π 2n n!

#1 2

.

(37)

Prin urmare se obt¸in funct¸iile proprii normalizate ale OA unidimensional : Ψn (x) =

"s

λ 1 π 2n n!

#1 2

exp(

√ −λx2 ) Hn ( λx) . 2

(38)

Operatori de creare a ˆ† ¸si anihilare a ˆ Exist˘ a o alt˘ a form˘ a de a trata oscilatorul armonic fat¸˘a de cea convent¸ional˘ a de a rezolva ecuat¸ia Schr¨ odinger. Este vorba de metoda algebric˘ a sau metoda operatorilor de scar˘ a , o metod˘ a foarte eficient˘a care se poate aplica cu mult succes a multe probleme de mecanic˘ a cuantic˘a de spectru discret. † Definim doi operatori nehermitici a ¸si a : a=

r

ip mω (x + ) 2¯ h mω 93

(39)

r

ip mω (x − ). (40) 2¯ h mω Ace¸sti operatori sunt cunoscut¸i ca operator de anihilare ¸si operator de creare, respectiv (justificarea acestor denumiri se va vedea mai departe, de¸si se poate spune c˘ a vine din teoria cuantic˘a a cˆımpurilor ). S˘ a calcul˘ am acum comutatorul acestor doi operatori: a† =

[a, a† ] =

ip ip 1 mω [x + ,x − ]= (−i[x, p] + i[p, x]) = 1 , 2¯ h mω mω 2¯ h

(41)

unde am folosit comutatorul: [x, p] = i¯h .

(42)

Prin urmare operatorii de creare ¸si anihilare nu comut˘ a , satisf˘acˆınd relat¸iile de comutare : [a, a† ] = 1 . (43) ˆ: S˘ a definim deasemenea importantul operator de num˘ ar N ˆ = a† a . N

(44)

Acest operator este hermitic dup˘a cum se poate demonstra u¸sor folosind (AB)† = B † A† : ˆ † = (a† a)† = a† (a† )† = a† a = N ˆ . N

(45)

Considerˆınd acum c˘ a: a† a =

ˆ p2 i H 1 mω 2 (x + 2 2 ) + [x, p] = − 2¯ h m ω 2¯ h ¯hω 2

(46)

observ˘ am c˘ a Hamiltonianul se scrie ˆıntr-o form˘a simpl˘ a ˆın funct¸ie de operatorul de num˘ ar : ˆ =h ˆ + 1) . H ¯ ω(N (47) 2 Operatorul de num˘ ar are acest nume datorit˘ a faptului c˘a autovalorile sale sunt exact subindicii funct¸iei de und˘a asupra c˘areia act¸ioneaz˘ a: ˆ | n >= n | n > , N

(48)

| Ψn > = | n > .

(49)

unde am folosit notat¸ia:

94

Aplicˆınd acest fapt lui (47) avem : 1 ˆ | n >= h H ¯ ω(n + ) | n > . 2

(50)

ˆ | n >= E | n > pe baza c˘areia Dar ¸stim din ecuat¸ia Schr¨ odinger c˘a H rezult˘ a c˘ a autovalorile energetice sunt date de : 1 En = h ¯ ω(n + ) . 2

(51)

Acest rezultat este identic (cum ¸si trebuia s˘ a fie ) cu rezultatul (36). ˆIn continuare s˘ a ar˘ at˘ am de ce operatorii a ¸si a† au numele pe care le au. Pentru aceasta s˘ a calcul˘ am comutatorii: ˆ , a] = [a† a, a] = a† [a, a] + [a† , a]a = −a , [N

(52)

rezultate care se obt¸in din [a, a] = 0 ¸si (43). Similar, s˘ a calcul˘ am: ˆ , a† ] = [a† a, a† ] = a† [a, a† ] + [a† , a† ]a = a† . [N

(53)

Cu ace¸sti doi comutatori putem s˘ a scriem: ˆ † | n >) = ([N ˆ , a† ] + a† N ˆ) | n > N(a ˆ) | n > = (a† + a† N †

(54) †

= a (1 + n) | n >= (n + 1)a | n > .

Cu un procedeu similar se obt¸ine deasemenea: ˆ (a | n >) = ([N ˆ , a] + aN ˆ ) | n >= (n − 1)a | n > . N

(55)

Expresia (54) implic˘ a c˘ a se poate considera ket-ul a† | n > ca eigenket al operatorului de num˘ ar , unde autovaloarea increment˘a cu unu, adic˘ a , a fost produs˘a o cuant˘ a de energie prin act¸iunea lui a† asupra ket-ului. Aceasta explic˘a numele de operator de creare (creat¸ie). Comentarii urmˆınd aceea¸si linie de rat¸ionament acela¸si tip de concluzie rezult˘ a pentru operatorul a, ceea ce ˆıi d˘ a numele de operator de anihilare ( o cuant˘a de energie este eliminat˘ a cˆınd act¸ioneaz˘ a acest operator ). Ecuat¸ia (54) deasemenea implic˘ a proport¸ionalitatea ket-urilor a† | n > ¸si | n + 1 >: a† | n >= c | n + 1 > , (56) 95

unde c este o constant˘ a care trebuie determinat˘a . Considerˆınd ˆın plus c˘ a: (a† | n >)† =< n | a = c∗ < n + 1 | , (57) putem realiza urm˘atorul calcul: < n | a(a† | n >) = c∗ < n + 1 | (c | n + 1 >)

(58)

< n | aa† | n >= c∗ c < n + 1 | n + 1 >

(59)

< n | aa† | n >=| c |2 .

(60)

ˆ =1, [a, a† ] = aa† − a† a = aa† − N

(61)

ˆ +1 aa† = N

(62)

Dar din relat¸ia de comutare pentru operatorii a ¸si a† :

avem c˘ a: Substituind ˆın (60):

ˆ + 1 | n >=< n | n > + < n | N ˆ | n >= n + 1 =| c |2 . =



n+1|n+1> .

(65)

Urmˆınd acela¸si procedeu se poate ajunge la o relat¸ie pentru operatorul de anihilare : √ (66) a | n >= n | n − 1 > . S˘ a ar˘ at˘ am acum c˘ a valorile lui n trebuie s˘ a fie ˆıntregi nenegativi. Pentru aceasta, recurgem la cerint¸a de pozitivitate a normei, aplicˆınd-o ˆın special vectorului de stare a | n >. Aceast˘a condit¸ie ne spune c˘a produsul interior (intern) al acestui vector cu adjunctul s˘ au ((a | n >)† =< n | a† ) trebuie s˘ a fie mai mare sau egal˘ a cu zero : (< n | a† ) · (a | n >) ≥ 0 .

(67)

Dar aceast˘ a relat¸ie nu este decˆıt : ˆ | n >= n ≥ 0 . < n | a† a | n >=< n | N 96

(68)

Prin urmare n nu poate fi negativ ¸si trebuie s˘ a fie ˆıntreg pentru c˘a dac˘ a nu ar fi prin aplicarea consecutiv˘ a a operatorului de anihilare ne-ar duce la valori negative ale lui n, ceea ce este ˆın contradict¸ie cu ce s-a spus anterior. Este posibil s˘ a se exprime starea n (| n >) direct ˆın funct¸ie de starea baz˘ a (| 0 >) folosind operatorul de creare. S˘ a vedem cum se face aceast˘ a iterat¸ie important˘ a: | 1 >= a† | 0 > (a† )2 a† | 2 >= [ √ ] | 1 >= [ √ ] | 0 > 2 2! † a (a† )3 | 3 >= [ √ ] | 2 >= [ √ ] | 0 > 3 3!

(69) (70) (71)

.. . (a† )n | n >= [ √ ] | 0 > n!

(72)

Putem deasemenea aplica aceast˘ a metod˘ a pentru a obt¸ine FP-urile ˆın spat¸iul configurat¸iilor. Pentru a realiza acest lucru, vom pleca din starea baz˘ a: a | 0 >= 0 . (73)

ˆIn reprezentarea x avem:

a ˆΨ0 (x) =

r

mω ip (x + )Ψ0 (x) = 0 . 2¯ h mω

(74)

Amintindu-ne forma pe care o ia operatorul impuls ˆın reprezentarea x, putem ajunge la o ecuat¸ie diferent¸ial˘a pentru funct¸ia de und˘a a st˘ qarii funh ¯ , cu damentale; s˘ a introducem deasemenea urm˘atoarea definit¸ie x0 = mω care avem : d (75) (x + x20 )Ψ0 = 0 dx Aceast˘a ecuat¸ie se poate rezolva u¸sor, ¸si prin normalizare ( integrala sa de la −∞ la ∞ trebuie s˘ a fie pus˘a egal˘a cu unu ), ajungem la funct¸ia de und˘a a st˘ arii fundamentale : 1 − 1 ( x )2 Ψ0 (x) = ( q√ )e 2 x0 πx0 97

(76)

Restul de FP, care descriu st˘ arile excitate ale OA , se pot obt¸ine folosind operatorul de creat¸ie. Procedeul este urm˘atorul: 1 d )(x − x20 )Ψ0 dx 2x0 d 1 1 2 1 † 2 ) (x − x20 )2 Ψ0 . Ψ2 = √ (a ) Ψ0 = √ ( √ dx 2 2! 2x0 Ψ1 = a† Ψ0 = ( √

(77) (78)

Continuˆınd, se poate ar˘ ata prin induct¸ie c˘a : 1 x 2 1 1 2 d n − 2 ( x0 ) . Ψn = q √ ) e 1 (x − x0 n+ dx π2n n! x0 2

(79)

Evolut¸ia temporal˘ a a oscilatorului ˆIn aceast˘ a sect¸iune vom ilustra prin intermediul OA modul ˆın care se lucreaz˘ a cu reprezentarea Heisenberg ˆın care st˘ arile sunt fixate ˆın timp ¸si se permite evolut¸ia temporal˘ a a operatorilor. Vom considera operatorii ca funct¸ii de timp ¸si vom obt¸ine ˆın mod concret cum evolut¸ioneaz˘ a operatorii de pozit¸ie , impuls, a ¸si a† ˆın timp pentru cazul OA. Ecuat¸iile de mi¸scare Heisenberg pentru p ¸si x sunt : dˆ p ∂ = − V (ˆ x) dt ∂x ˆ

(80)

pˆ dˆ x = . (81) dt m De aici rezult˘ a c˘ a ecuat¸iile de mi¸scare pentru x y p ˆın cazul OA sunt: dˆ p = −mω 2 x ˆ dt

(82)

pˆ dˆ x = . (83) dt m Prin urmare, dispunem de o pereche de ecuat¸ii cuplate , care sunt echivalente unei perechi de ecuat¸ii pentru operatorii de creat¸ie ¸si anihilare, care ˆıns˘ a nu sunt cuplate. ˆIn mod explicit : da dt da dt

= =

r r

iˆ p mω d (ˆ x+ ) 2¯ h dt mω

(84)

p x i dˆ mω dˆ ( + ). 2¯ h dt mω dt

(85)

98

Substituind (82) ¸si (83) ˆın (85) : da = dt

r

mω pˆ ( − iω x ˆ) = −iωa . 2¯ h m

(86)

Similar, se poate obt¸ine o ecuat¸ie diferent¸ial˘a pentru operatorul de creat¸ie : da† = iωa† dt

(87)

Ecuat¸iile diferent¸iale pe care le-am obt¸inut pentru evolut¸ia temporal˘ a a operatorilor de creat¸ie ¸si anihilare , pot fi integrate imediat, dˆınd evolut¸ia explicit˘a a acestor operatori: a(t) = a(0)e−iωt †



iωt

a (t) = a (0)e

(88) .

(89)

Se poate remarca din aceste rezultate ¸si din ecuat¸iile (44) ¸si (47) c˘a atˆıt Hamiltonianul ca ¸si operatorul de num˘ ar , nu depind de timp, a¸sa cum era de a¸steptat. Cu cele dou˘ a rezultate anterioare , putem s˘ a obt¸inem operatorii de pozit¸ie ¸si impuls ca funct¸ii de timp, pentru c˘a sunt dat¸i ˆın funct¸ie de operatorii de creat¸ie ¸si anihilare: x ˆ =

s

¯ h (a + a† ) 2mω

s

pˆ = i

m¯hω † (a − a) . 2

(90) (91)

Substituind-i se obt¸ine: x ˆ(t) = x ˆ(0) cos ωt +

pˆ(0) sin ωt mω

pˆ(t) = −mω x ˆ(0) sin ωt + pˆ(0) cos ωt .

(92) (93)

Evolut¸ia temporal˘ a a acestor operatori este aceea¸si ca ˆın cazul ecuat¸iilor clasice de mi¸scare. Astfel, am ar˘ atat forma explicit˘a de evolut¸ie a patru operatori bazici ˆın cazul OA , ar˘ atˆınd modul ˆın care se lucreaz˘ a ˆın reprezentarea Heisenberg.

99

OA tridimensional La ˆınceputul analizei noastre a OA cuantic am f˘acut comentarii ˆın leg˘atur˘ a cu important¸a pentru fizic˘ a a OA . Dac˘a vom considera un analog tridimensional, ar trebui s˘ a consider˘am o dezvoltare Taylor ˆın trei variabile7 ret¸inˆınd termeni numai pˆın˘ a ˆın ordinul doi inclusiv, ceea ce obt¸inem este o form˘ a cuadratic˘a (ˆın cazul cel mai general). Problema de rezolvat ˆın aceast˘ a aproximat¸ie nu este chiar atˆıt de simpl˘a cum ar p˘ area dintr-o prim˘a examinare a potent¸ialului corespunz˘ator : V (x, y, z) = ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + f yz .

(94)

Exist˘ a ˆıns˘ a multe sisteme care posed˘ a simetrie sferic˘a sau pentru care aproximat¸ia acestei simetrii este satisf˘ac˘atoare. ˆIn acest caz: V (x, y, z) = K(x2 + y 2 + z 2 ) ,

(95)

ceea ce este echivalent cu a spune c˘a derivatele part¸iale secunde ( nemixte ) iau toate aceea¸si valoare ( ˆın cazul anterior reprezentate prin K). Putem ad˘ auga c˘ a aceast˘ a este o bun˘a aproximat¸ie ˆın cazul ˆın care valorile derivatelor part¸iale secunde mixte sunt mici ˆın comparat¸ie cu cele nemixte. Cˆınd se satisfac aceste condit¸ii ¸si potent¸ialul este dat de (95) spunem c˘a sistemul este un OA tridimensional sferic simetric. Hamiltonianul pentru acest caz este de forma: 2 2 ˆ = −¯h ▽2 + mω r 2 , (96) H 2m 2 unde Laplaceanul este dat ˆın coordonate sferice ¸si r este variabila sferic˘a radial˘ a. Fiind vorba de un potent¸ial independent de timp, energia se conserv˘ a ; ˆın plus dat˘ a simetria sferic˘ a , momentul cinetic deasemenea se conserv˘ a . Avem deci dou˘ a m˘ arimi conservate, ceea ce ne permite s˘ a spunem c˘a fiec˘ areia ˆıi corespunde un num˘ ar cuantic. Putem s˘ a presupunem c˘a funct¸iile de und˘a depind de dou˘ a numere cuantice (de¸si ˆın acest caz vom vedea c˘a apare ˆınc˘ a unul ). Cu aceste comentarii, ecuat¸ia de interes este : 7

Este posibil s˘ a se exprime dezvoltarea Taylor ˆın jurul lui r0 ca un operator exponent¸ial

: e

∂ + ∂ + ∂ ) [(x−xo )+(y−yo )+(z−zo )]( ∂x ∂y ∂z

100

f (ro ) .

ˆ nl = Enl Ψnl . HΨ

(97)

Laplaceanul ˆın coordonate sferice este : ˆ2 ∂2 L 2 ∂ − + ∂r 2 r ∂r h ¯ 2r2 ¸si rezult˘ a din faptul cunoscut : ▽2 =

1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ 2 = −¯ L h2 [ (sin θ ) + ]. sin θ ∂θ ∂θ sin θ 2 ∂ϕ2

(98)

(99)

ˆ 2 sunt armonicele sferice, respectiv: Funct¸iile proprii ale lui L ˆ 2 Ylm (θ, ϕ) = −¯h2 l(l + 1)Ylm (θ, ϕ) L l l

(100)

Faptul c˘ a armonicele sferice poart˘ a num˘ arul cuantic ml face ca acesta s˘ a fie introdus ˆın funct¸ia de und˘a Ψnlml . Pentru a realiza separarea variabilelor ¸si funct¸iilor se propune substitut¸ia: Rnl (r) Ylml (θ, ϕ) . (101) r Odat˘ a introdus˘a ˆın ecuat¸ia Schr¨ odinger va separa partea spat¸ial˘a de cea unghiular˘a ; ultima se identific˘ a cu un operator proport¸ional cu operatorul moment cinetic p˘ atrat, pentru care funct¸iile proprii sunt armonicele sferice, ˆın timp ce ˆın partea spat¸ial˘a obt¸inem ecuat¸ia : Ψnlml (r, θ, ϕ) =

2mEnl m2 ω 2 2 l(l + 1) )Rnl (r) = 0 . (102) − r − r2 h2 ¯ ¯h2 Folosind definit¸iile (7) ¸si (8) , ecuat¸ia anterioar˘ a ia exact forma lui (9), cu except¸ia termenului de moment unghiular, care ˆın mod comun se cunoa¸ste ca barier˘ a de moment unghiular. ′′ Rnl +(

l(l + 1) )Rnl = 0 . (103) r2 Pentru a rezolva aceast˘ a ecuat¸ie , vom pleca dela analiza sa asimptotic˘a . Dac˘a vom considera mai ˆıntˆıi r → ∞, observ˘ am c˘a termenul de moment unghiular este neglijabil, astfel c˘a ˆın aceast˘ a limit˘ a comportamentul asimptotic este identic aceluia a lui (9), ceea ce ne conduce la: ′′ Rnl + (k2 − λ2 r 2 −

101

−λr 2 ˆın lim r → ∞ . (104) 2 Dac˘a studiem acum comportamentul ˆın jurul lui zero, vedem c˘a termenul dominant este cel de moment unghiular, adic˘ a , ecuat¸ia diferent¸ial˘a (102) se converte ˆın aceast˘ a limit˘ a ˆın : Rnl (r) ∼ exp

l(l + 1) Rnl = 0 . r2 Aceasta este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a de tip Euler la dou˘ a solut¸ii independente: ′′ Rnl −

Rnl (r) ∼ r l+1 sau

r −l

(105) 8

ˆın

, a c˘arei rezolvare duce lim r → 0 .

(106)

Argumentele anterioare ne conduc la a propune substitut¸ia : −λr 2 φ(r) . 2 S-ar putea deasemenea face ¸si urm˘atoarea substitut¸ie: Rnl (r) = r l+1 exp

Rnl (r) = r −l exp

−λr 2 v(r) , 2

(107)

(108)

care ˆıns˘ a ne conduce la acelea¸si solut¸ii ca ¸si (107) ( de ar˘ atat acest lucru este un bun exercit¸iu). Substituind (107) ˆın (103) , se obt¸ine urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a pentru φ : φ′′ + 2(

l+1 − λr)φ′ − [λ(2l + 3) − k2 ]φ = 0 . r

(109)

Cu schimbarea de variabil˘ a w = λr 2 , obt¸inem: wφ′′ + (l +

3 1 3 κ − w)φ′ − [ (l + ) − ]φ = 0 , 2 2 2 2

(110)

2

k unde am introdus κ = 2λ = ¯hEω . Am ajuns din nou la o ecuat¸ie diferent¸ial˘a de tip hipergeometric confluent˘a cu solut¸iile ( a se vedea (21) ¸si (22)):

3 3 1 φ(r) = A 1 F1 [ (l+ −κ); l+ , λr 2 ]+B r −(2l+1) 2 2 2 8

1 F1 [

1 1 1 (−l+ −κ); −l+ , λr 2 ] . 2 2 2 (111)

O ecuat¸ie de tip Euler este de forma : xn y (n) (x) + xn−1 y (n−1) (x) + · · · + xy ′ (x) + y(x) = 0 .

Solut¸iile ei sunt de tipul xα , care se substituie ¸si se g˘ ase¸ste un polinom ˆın α.

102

A doua solut¸ie particular˘a nu poate fi normalizat˘a , pentru c˘a diverge puternic ˆın zero, ceea ce oblig˘ a a lua B = 0, deci : 1 3 3 φ(r) = A 1 F1 [ (l + − κ); l + , λr 2 ] . 2 2 2

(112)

Folosind acelea¸si argumente ca ˆın cazul OA unidimensional, respectiv, a impune ca solut¸iile s˘ a fie regulare ˆın infinit, ˆınseamn˘a condit¸ia de truncare a seriei, ceea ce implic˘ a din nou cuantizarea energiei . Truncarea este ˆın acest caz: 1 3 (l + − κ) = −n , (113) 2 2 unde introducˆınd explicit κ, obt¸inem spectrul de energie : 3 Enl = h ¯ ω(2n + l + ) . 2

(114)

Putem observa c˘ a pentru OA tridimensional sferic simetric exist˘a o en3 ergie de punct zero 2 ¯ hω. Funct¸iile proprii nenormalizate sunt: Ψnlm (r, θ, ϕ) = r l e

−λr 2 2

1 F1 (−n; l

3 + , λr 2 ) Ylm (θ, ϕ) . 2

(115)

5P. Probleme Problema 5.1 S˘ a se determine autovalorile ¸si funct¸iile proprii ale OA ˆın spat¸iul impulsurilor. Hamiltonianul cuantic de OA este: 2 ˆ = pˆ + 1 mω 2 x ˆ2 . H 2m 2

ˆIn spat¸iul impulsurilor, operatorii x ˆ ¸si pˆ au urm˘atoarea form˘a : pˆ → p ∂ . ∂p Prin urmare Hamiltonianul cuantic OA ˆın reprezentarea de impuls este : x ˆ → i¯h

2 2 ˆ = p − 1 mω 2 ¯h2 d . H 2m 2 dp2

103

Avem de rezolvat problema de autovalori ( ceea ce ˆınseamn˘a de obt¸inut funct¸iile proprii ¸si autovalorile) dat˘ a prin (5) , care cu Hamiltonianul anterior, este urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘a : d2 Ψ(p) 2E p2 + ( − )Ψ(p) = 0 . 2 dp2 m¯h ω 2 m2 ¯h2 ω 2

(116)

Se poate observa c˘ a aceast˘ a ecuat¸ie diferent¸ial˘a , este identic˘a , pˆın˘ a la constante, cu ecuat¸ia diferent¸ial˘a din spat¸iul configurat¸iilor ( ec. (6) ). Pentru a exemplifica o alt˘ a form˘a de a o rezolva, nu vom urma exact acela¸si drum. Definim doi parametri, analogi celor din (7) ¸si (8): 1 2E . (117) λ= 2 2 m¯ hω m¯h ω Cu aceste definit¸ii, ajungem la ecuat¸ia diferent¸ial˘a (9)¸si deci solut¸ia c˘autat˘ a ( ˆın urma efectu˘arii analizei asimptotice ) este de forma: k2 =

1

Ψ(y) = e− 2 y φ(y) ,

(118)

unde y este dat de y = λp2 ¸si λ este definit ˆın (117). Substituind (118) ˆın (116) , avˆınd grij˘a s˘ a punem (118) ˆın variabila p . Se obt¸ine astfel o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a pentru φ : d2 φ(p) dφ(p) + (k2 − λ)φ(p) = 0 . (119) − 2λp 2 dp dp √ Vom face acum schimbul de variabil˘ a u = λp , care ne conduce la ecuat¸ia Hermite : d2 φ(u) dφ(u) − 2u + 2nφ(u) = 0 , (120) 2 du du cu n un ˆıntreg nenegativ , ¸si unde am pus : k2 − 1 = 2n . λ De aici ¸si din definit¸iile date ˆın (117) rezult˘ a c˘a autovalorile de energie sunt date de : 1 En = h ¯ ω(n + ) . 2 Solut¸iile pentru (120) sunt polinoamele Hermite φ(u) = Hn (u) ¸si funct¸iile proprii nenormalizate sunt : √ λ 2 Ψ(p) = Ae− 2 p Hn ( λp) .

104

Problema 5.2 S˘ a se demonstreze c˘ a polinoamele Hermite pot fi expresate ˆın urm˘ atoarea reprezentare integral˘ a: 2n Hn (x) = √ π

Z



−∞

2

(x + iy)n e−y dy .

(121)

Aceast˘a reprezentare a polinoamelor Hermite nu este foarte uzual˘ a , de¸si se poate dovedi util˘ a ˆın unele cazuri. Ceea ce vom face pentru a realiza demonstrat¸ia , este s˘ a dezvolt˘am integrala ¸si s˘ a demonstr˘am c˘a ceea ce se obt¸ine este identic cu reprezentarea ˆın serie a polinoamelor Hermite pentru care avem : ] [n 2 X (−1)k n! (2x)n−2k , (122) (n − 2k)!k! k=0 unde simbolul [c] unde se termin˘a seria signific˘a cel mai mare ˆıntreg mai mic sau egal cu c. Primul lucru pe care ˆıl vom face este s˘ a dezvolt˘am binomul din integral˘ a folosind binecunoscuta teorem˘ a a binomului: (x + y)n = Astfel: (x + iy)n =

n X

n! xn−m y m . (n − m)!m! m=0 n X

n! im xn−m y m , (n − m)!m! m=0

(123)

care substituit ˆın integral˘ a duce la: Z ∞ n n! 2n X 2 m n−m √ i x y m e−y dy . π m=0 (n − m)!m! −∞

(124)

Din forma expresiei din integral˘ a putem s˘ a vedem c˘a este diferit˘a de zero cˆınd m este par , ˆın cazul impar integrala se anuleaz˘ a din motive evidente. Folosind notat¸ia par˘ a m = 2k avem: n

[2] Z ∞ 2n X n! 2 2k n−2k √ i x 2 y 2k e−y dy . π k=0 (n − 2k)!(2k)! 0

105

(125)

Cu schimbul de variabil˘ a u = y 2 , integrala devine o funct¸ie gamma : n

[2] Z ∞ 1 2n X n! √ uk− 2 e−u du , i2k xn−2k π k=0 (n − 2k)!(2k)! 0

(126)

respectiv Γ(k + 12 ) , care ˆın plus se poate exprima prin factoriali ( desigur pentru k ˆıntreg ) : (2k)! √ 1 Γ(k + ) = 2k π. 2 2 k! Substituind aceast˘ a expresie ˆın sum˘a ¸si folosind faptul c˘a i2k = (−1)k se obt¸ine [n]

2 X

(−1)k n! (2x)n−2k , (n − 2k)!k! k=0

(127)

care este identic cu (122) , ceea ce completeaz˘ a demonstrat¸ia.

Problema 5.3 S˘ a se arate c˘ a relat¸ia de incertitudine Heisenberg se satisface efectuˆınd calculul cu funct¸iile proprii ale OA . Trebuie s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a pentru oricare Ψn se satisface: < (∆p)2 (∆x)2 > ≥

¯2 h , 4

(128)

unde notat¸ia ˆınseamn˘a valoare medie. Vom calcula ˆın mod separat < (∆p)2 > ¸si < (∆x)2 > , unde fiecare din aceste expresii este : < (∆p)2 >=< (p− < p >)2 >=< p2 −2p < p > + < p >2 >=< p2 > − < p >2 , < (∆x)2 >=< (x− < x >)2 >=< x2 −2x < x > + < x >2 >=< x2 > − < x >2 . Mai ˆıntˆıi vom ar˘ ata c˘ a atˆıt media lui x cˆıt ¸si a lui p sunt zero. Pentru media lui x avem: < x >=

Z



−∞

x[Ψn (x)]2 dx .

106

Aceast˘a integral˘ a se anuleaz˘ a datorit˘ a imparit˘a¸ttii expresiei de integrat, care este manifest˘ a . Rezult˘a deci c˘a : < x >= 0 .

(129)

Acelea¸si argumente sunt corecte pentru media lui p , dac˘ a efectu˘am calculul ˆın spat¸iul impulsurilor, respectiv cu ajutorul funct¸iilor obt¸inute ˆın problema 1 . Este suficient s˘ a vedem c˘a forma funt¸ional˘ a este acea¸si (se schimb˘ a doar simbolul). Deci: < p >= 0 .

(130)

S˘ a calcul˘ am acum media lui x2 . Vom folosi teorema virialului 9 . Observ˘ am mai ˆıntˆıi c˘ a: 1 < V >= mω 2 < x2 > . 2 Prin urmare este posibil˘ a relat¸ionarea mediei lui x2 direct cu media potent¸ialului ˆın acest caz (¸si deci folosirea teoremei virialului). < x2 >=

2 . mω 2

(131)

Avem nevoie deasemenea de media energiei totale : < H >=< T > + < V > , pentru care din nou se poate folosi teorema virialului ( pentru n = 2 ) : < H >= 2 < V > .

(132)

Astfel, se obt¸ine: < x2 >= 9

¯ ω(n + 12 ) h = mω 2 mω 2

Amintim c˘ a teorema virialului ˆın mecanica cuantic˘ a afirm˘ a c˘ a: 2 < T >=< r · ▽V (r) > .

Pentru un potent¸ial de forma V = λxn se satisface: 2 < T >= n < V > , unde T reprezint˘ a energia cinetic˘ a ¸si V este energia potent¸ial˘ a.

107

(133)

< x2 >=

1 ¯ h (n + ) . mω 2

(134)

Similar, media lui p2 se poate calcula explicit: < p2 >= 2m
= 2m < T >= m < H >= m¯hω(n + ) . 2m 2

(135)

Cu (133) ¸si (135) avem: 1 < (∆p)2 (∆x)2 >= (n + )2 ¯h2 . 2

(136)

Pe baza acestui rezultat ajungem la concluzia c˘a ˆın st˘ arile stat¸ionare ale OA, care practic nu au fost folosite ˆın mod direct, relat¸ia de incertitudine Heisenberg se satisface ¸si are valoarea minim˘a pentru starea fundamental˘a n = 0.

Problema 5.4 S˘ a se obt¸in˘ a elementele de matrice ale operatorilor a, a† , x ˆ ¸si pˆ. S˘ a g˘ asim mai ˆıntˆıi elementele de matrice pentru operatorii de creat¸ie ¸si anihilare, care sunt de mult ajutor pentru a obt¸ine elemente de matrice pentru restul operatorilor. Vom folosi relat¸iile (65) ¸si (66), care duc la: √ √ (137) < m | a | n >= n < m | n − 1 >= nδm,n−1 . ˆIn mod similar pentru operatorul de creat¸ie avem rezultatul: √ √ < m | a† | n >= n + 1 < m | n + 1 >= n + 1δm,n+1 .

(138)

S˘ a trecem acum la calculul elementelor de matrice ale operatorului de pozit¸ie. Pentru al efectua , s˘ a exprim˘ am operatorul de posit¸ie ˆın funct¸ie de operatorii de creat¸ie ¸si anihilare. Folosind definit¸iile (39) ¸si (40) , se demonstreaz˘ a imediat c˘ a operatorul de posit¸ie este dat de : x ˆ=

s

¯ h (a + a† ) . 2mω

108

(139)

Folosind acest rezultat, elementele de matrice ale operatorului x ˆ pot fi calculate ˆın manier˘a imediat˘ a: = 2mω

√ ¯ √ h [ nδm,n−1 + n + 1δm,n+1 ] . 2mω

(140)

Urmˆınd acela¸si procedeu putem calcula elementele de matrice ale operatorului impuls, considerˆınd c˘a pˆ este dat ˆın funct¸ie de operatorii de creat¸ie ¸si anihilare ˆın forma : s m¯hω † (a − a) , (141) pˆ = i 2 ceea ce ne conduce la: s

< m | pˆ | n >= i

√ m¯hω √ [ n + 1δm,n+1 − nδm,n−1 ] . 2

(142)

Se poate vedea u¸surint¸a cu care se pot face calculele dac˘ a se folosesc elementele de matrice ale operatorilor de creat¸ie ¸si anihilare. Finaliz˘am cu o observat¸ie ˆın leg˘ atur˘ a cu nediagonalitatea elementelor de matrice obt¸inute. Aceasta este de a¸steptat datorit˘ a faptului c˘a reprezentarea folosit˘a este cea a operatorului de num˘ ar ¸si nici unul dintre cei patru operatori nu comut˘ a cu el.

Problema 5.5 S˘ a se g˘ aseasc˘ a valorile medii ale lui x ˆ2 ¸si pˆ2 pentru OA unidimensional ¸si s˘ a se foloseasc˘ a acestea pentru calculul valorilor medii (de a¸steptare) ale energiei cinetice ¸si celei potent¸iale. S˘ a se compare acest ultim rezultat cu teorema virialului. Mai ˆıntˆıi s˘ a obt¸inem valoarea medie a lui x ˆ2 . Pentru aceasta recurgem la expresia (139), care ne conduce la : x ˆ2 =

h ¯ (a2 + (a† )2 + a† a + aa† ) . 2mω

(143)

Se aminte¸ste c˘ a operatorii de creat¸ie ¸si anihilare nu comut˘ a ˆıntre ei . Avˆınd (143) putem calcula valoarea medie a lui x ˆ2 : = < n | x ˆ2 | n > 109

q ¯ q h [ n(n − 1)δn,n−2 + (n + 1)(n + 2)δn,n+2 2mω n δn,n + (n + 1) δn,n ] , (144)

= + ceea ce arat˘ a c˘ a:

=< n | x ˆ2 | n >=

¯ h (2n + 1) . 2mω

(145)

Pentru calcularea valorii medii a lui pˆ2 folosim (141) pentru a exprima acest operator ˆın funct¸ie de operatorii de creat¸ie ¸si anihilare: pˆ2 = −

m¯hω 2 (a + (a† )2 − aa† − a† a) , 2

(146)

ceea ce ne conduce la: < pˆ2 >=< n | pˆ2 | n >=

m¯hω (2n + 1) . 2

(147)

Ultimul rezultat ne d˘ a practic media energiei cinetice : pˆ2 1 ¯hω < Tˆ >=< >= < pˆ2 >= (2n + 1) . 2m 2m 4

(148)

Valoarea medie a energiei potent¸iale este: 1 ¯hω 1 ˆ2 >= mω 2 < x ˆ2 >= (2n + 1) , < Vˆ >=< mω 2 x 2 2 4

(149)

unde s-a folosit (145). Observ˘ am c˘ a aceste valori medii coincid pentru orice n, ceea ce este ˆın conformitate cu teorema virialului, care ne spune c˘a pentru un potent¸ial cuadratic ca cel de OA, valorile medii ale energiei cinetice ¸si potent¸iale trebuie s˘ a coincid˘ a ¸si deci s˘ a fie jum˘atate din valoarea medie a energiei totale.

110

6. ATOMUL DE HIDROGEN Introducere ˆIn acest capitol vom studia atomul de hidrogen, rezolvˆınd ecuat¸ia Schr¨ odinger independent˘ a de timp cu un potent¸ial produs de dou˘ a particule ˆınc˘ arcate electric cum este cazul electronului ¸si protonului, cu Laplaceanul ˆın coordonate sferice. Din punct de vedere matematic, se va folosi metoda separ˘arii de variabile, dˆınd o interpretare fizic˘ a funct¸iei de und˘ a ca solut¸ie a ecuat¸iei Schr¨ odinger pentru acest caz important, odat˘ a cu interpretarea numerelor cuantice ¸si a densit˘a¸tilor de probabilitate. Scala spat¸ial˘ a foarte mic˘ a a atomului de hidrogen intr˘ a ˆın domeniul de aplicabilitate al mecanicii cuantice, pentru care fenomenele atomice au fost o arie de verificare ¸si interpretare a rezultatelor ˆınc˘ a de la bun ˆınceput. Cum mecanica cuantic˘ a d˘ a , ˆıntre altele, relat¸ii ˆıntre m˘ arimile observabile ¸si cum principiul de incertitudine modific˘ a radical definit¸ia teoretic˘ a a unei “observabile” este important s˘ a ˆınt¸elegem ˆın mod cˆıt mai clar not¸iunea cuantic˘ a de observabil˘ a ˆın cˆımpul atomic. De acord cu principiul de incertitudine, pozit¸ia ¸si impulsul unei particule nu se pot m˘ asura simultan sub o anumit˘ a precizie impus˘a de comutatorii cuantici. De fapt, m˘ arimile asupra c˘ arora mecanica cuantic˘a d˘ a rezultate ¸si pe care le relat¸ioneaz˘ a sunt ˆıntotdeauna probabilit˘a¸ti. ˆIn loc de a afirma, de exemplu, c˘a raza orbitei electronului ˆıntr-o stare fundamental˘a a atomului de hidrogen este ˆıntotdeauna 5.3 × 10−11 m, mecanica cuantic˘a afirm˘a c˘a aceasta este doar raza medie; dac˘ a efectu˘am un experiment adecuat, vom obt¸ine exact ca ˆın cazul experimentelor cu detectori macroscopici pe probe macroscopice diferite valori aleatorii dar a c˘aror medie va fi 5.3 × 10−11 m. A¸sadar, din punctul de vedere al erorilor experimentale nu exist˘a nici o diferent¸˘a fat¸˘a de fizica clasic˘ a. Dup˘ a cum se ¸stie, pentru calculul valorilor medii ˆın mecanica cuantic˘a este necesar˘a o funct¸ie de und˘a corespunz˘atoare Ψ. De¸si Ψ nu are o interpretare fizic˘ a direct˘ a , modulul p˘ atrat | Ψ |2 calculat ˆıntr-un punct arbitrar din spat¸iu ¸si la un moment dat este proport¸ional cu probabilitatea de a g˘ asi particula ˆıntr-o vecin˘ atate infinitezimal˘a a acelui punct acel loc ¸si la momentul dat. Scopul mecanicii cuantice este determinarea lui Ψ pentru o microparticul˘a ˆın diferite condit¸ii experimentale. ˆInainte de a trece la calculul efectiv al lui Ψ pentru cazul electronului hidrogenic, trebuie s˘ a stabilim unele rechizite generale (care trebuie s˘ a se 111

respecte ˆın orice situat¸ie). ˆIn primul rˆınd, pentru c˘a | Ψ |2 este proport¸ional cu probabilitatea P de a g˘ asi particula descris˘a prin Ψ, integrala | Ψ |2 pe tot spat¸iul trebuie s˘ a fie finit˘ a , pentru ca ˆıntr-adev˘ar particula s˘ a poat˘a fi localizat˘ a . Deasemenea, dac˘ a Z



−∞

| Ψ |2 dV = 0

(1)

particula nu exist˘a , iar dac˘ a integrala este ∞ nu putem avea semnificat¸ie 2 fizic˘ a ; | Ψ | nu poate fi negativ˘a sau complex˘a din simple motive matematice, astfel c˘ a unica posibilitate r˘ amˆıne ca integrala s˘ a fie finit˘ a pentru a avea o descriere acceptabil˘ a a unei particule reale. ˆIn general, este convenabil de a identifica | Ψ |2 cu probabilitatea P de a g˘asi particula descris˘a de c˘atre Ψ ¸si nu doar simpla proport¸ionalitate cu P. Pentru ca | Ψ |2 s˘ a fie egal˘a cu P se impune Z ∞

pentru c˘ a

−∞

Z

| Ψ |2 dV = 1 , ∞

PdV = 1

−∞

(2)

(3)

este afirmat¸ia matematic˘ a a faptului c˘a particula exist˘ a ˆıntr-un loc din spat¸iu la orice moment. O funct¸ie care respect˘a ec. 2 se spune c˘a este normalizat˘a . Pe lˆıng˘ a aceast˘ a condit¸ie fundamental˘a , Ψ trebuie s˘ a aib˘ a o valoare unic˘ a, pentru c˘ a P are o singur˘a valoare ˆıntr-un loc ¸si la un moment determinat. O alt˘ a condit¸ie pe care Ψ trebuie s˘ a o satisfac˘a este c˘a atˆıt ea cˆıt ¸si derivatele ∂Ψ ∂Ψ , , trebuie s˘ a fie continue ˆın orice punct arbitrar. sale part¸iale ∂Ψ ∂x ∂y ∂z Ecuat¸ia Schr¨ odinger este considerat˘a ecuat¸ia fundamental˘a a mecanicii cuantice ˆın acela¸si sens ˆın care legea fort¸ei este ecuat¸ia fundamental˘a a mecanicii newtoniene cu deosebirea important˘a c˘a este o ecuat¸ie de und˘a pentru Ψ. Odat˘ a ce energia potent¸ial˘a este cunoscut˘a , se poate rezolva ecuat¸ia Schr¨ odinger pentru funct¸ia de und˘a Ψ a particulei, a c˘arei densitate de probabilitate | Ψ |2 se poate determina pentru x, y, z, t. ˆIn multe situat¸ii, energia potent¸ial˘ a a unei particule nu depinde explicit de timp; fort¸ele care act¸ioneaz˘ a asupra ei se schimb˘ a ˆın funct¸ie numai de posit¸ia particulei. ˆIn aceste condit¸ii, ecuat¸ia Schr¨ odinger se poate simplifica eliminˆınd tot ce se refer˘ a la t. S˘ a not˘ am c˘ a se poate scrie funct¸ia de und˘a unidimensional˘ aa unei particule libere ˆın forma Ψ(x, t) = Ae(−i/¯h)(Et−px) 112

= Ae−(iE/¯h)t e(ip/¯h)x = ψ(x)e−(iE/¯h)t .

(4)

Ψ(x, t) este produsul ˆıntre o funct¸ie dependent˘a de timp e−(iE/¯h)t ¸si una stat¸ionar˘ a , dependent˘ a numai de pozit¸ie ψ(x). ˆIn cazul general ˆıns˘ a , ecuat¸ia Schr¨ odinger pentru o stare stat¸ionar˘ a se poate rezolva numai pentru anumite valori ale energiei E. Nu este vorba de dificult˘a¸ti matematice, ci de un aspect fundamental. “A rezolva” ecuat¸ia Schr¨ odinger pentru un sistem dat ˆınseamn˘a a obt¸ine o funct¸ie de und˘a ψ care nu numai c˘ a satisface ecuat¸ia ¸si condit¸iile de frontier˘ a impuse, ci este o funct¸ie de und˘a acceptabil˘ a , respectiv, funct¸ia ¸si derivata sa s˘ a fie continue, finite ¸si univoce. Astfel, cuantizarea energiei apare ˆın mecanica ondulatorie ca un element teoretic natural, iar ˆın practic˘ a ca un fenomen universal, caracteristic tuturor sistemelor microscopice stabile .

Ecuat¸ia Schr¨ odinger pentru atomul de hidrogen ˆIn continuare, vom aplica ecuat¸ia Schr¨ odinger atomului de hidrogen, despre care se ¸stia pe baza experimentelor Rutherford c˘a este format dintr-un proton, particul˘a cu sarcina electric˘ a +e ¸si un electron de sarcin˘a -e ¸si care fiind de 1836 de ori mai u¸sor decˆıt protonul este cu mult mai mobil. Dac˘a interact¸iunea ˆıntre dou˘ a particule este de tipul u(r) = u(| ~r1 −~r2 |), problema de mi¸scare se reduce atˆıt clasic cˆıt ¸si cuantic la mi¸scarea unei singure particule ˆın cˆımpul de simetrie sferic˘a . ˆIntr-adev˘ar Lagrangeanul: 1 1 L = m1~r˙12 + m2~r˙22 − u(| ~r1 − ~r2 |) 2 2

(5)

se transform˘a folosind: ¸si

ˆın Lagrangeanul: L=

~r = ~r1 − ~r2

(6)

~ = m1~r1 + m2~r2 , R m1 + m2

(7)

1 ~˙ 2 1 ˙2 M R + µ~r − u(r) , 2 2

(8)

unde M = m1 + m2

113

(9)

¸si

m1 m2 . (10) m1 + m2 Pe de alt˘ a parte, introducerea impulsului se face cu formulele Lagrange µ=

∂L ~˙ P~ = = MR ˙~ ∂R

(11)

∂L = m~r˙ , ∂~r˙

(12)

¸si ~p =

ceea ce permite scrierea funct¸iei Hamilton clasice H=

p2 P2 + + u(r) . 2M 2m

(13)

Astfel, se poate obt¸ine operatorul hamiltonian pentru problema corespunz˘atoare cuantic˘ a cu comutatori de tipul [Pi , Pk ] = −i¯hδik

(14)

[pi , pk ] = −i¯hδik .

(15)

¸si Ace¸sti comutatori implic˘ a un operator Hamiltonian de forma ¯2 2 ¯2 2 h ˆ =− h H ∇R − ∇ + u(r) , 2M 2m r

(16)

care este fundamental pentru studiul atomului de hidrogen cu ajutorul ecuat¸iei Schr¨ odinger ˆın forma stat¸ionar˘ a ˆ = Eψ , Hψ

(17)

ceea ce presupune c˘ a nu se iau ˆın considerare efecte relativiste (viteze apropriate de cele ale luminii ˆın vid). Energia potent¸ial˘ a u(r) este cea electrostatic˘ a u=−

e2 4πǫ0 r

(18)

Exist˘ a dou˘ a posibilit˘ a¸ti: prima, de a exprima u ˆın funct¸ie de coordop 2 2 natele carteziene x, y, z substituind r prin x + y + z 2 , a doua, de a exprima ecuat¸ia Schr¨ odinger ˆın funct¸ie de coordonatele polare sferice r, θ, φ. 114

ˆIn virtutea simetriei sferice a situat¸iei fizice, vom trata ultimul caz pentru c˘ a problema matematic˘ a se simplific˘a considerabil. Prin urmare, ˆın coordonate polare sferice, ecuat¸ia Schr¨ odinger este 







∂ 2 ψ 2m 1 + 2 (E − u)ψ = 0 r 2 sin2 θ ∂φ2 ¯ h (19) 2 2 Substituind (18) ¸si multiplicˆınd toat˘a ecuat¸ia cu r sin θ, se obt¸ine 1 ∂ ∂ψ r2 r 2 ∂r ∂r



∂ 1 ∂ψ + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ





+



∂ψ ∂ ∂ψ ∂ 2 ψ 2mr 2 sin2 θ ∂ r2 +sin θ sin θ + 2+ sin2 θ ∂r ∂r ∂θ ∂θ ∂φ ¯h2

!

e2 +E ψ =0. 4πǫ0 r (20) Aceast˘a ecuat¸ie este ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu derivate part¸iale pentru funct¸ia de und˘a ψ(r, θ, φ) a electronului ˆın atomul de hidrogen. ˆImpreun˘a cu diferitele condit¸ii pe care ψ(r, θ, φ) trebuie s˘ a le ˆındeplineasc˘a [de exemplu, ψ(r, θ, φ) trebuie s˘ a aib˘ a o valoare unic˘ a pentru fiecare punct spat¸ial (r, θ, φ)], aceast˘ a ecuat¸ie specific˘ a de manier˘a complet˘ a comportamentul electronului hidrogenic. Pentru a vedea care este acest comportament, vom rezolva ec. 20 pentru ψ(r, θ, φ) ¸si vom interpreta rezultatele obt¸inute.

Separarea de variabile ˆın coordonate sferice Ceea ce este cu adev˘arat util ˆın scrierea ecuat¸iei Schr¨ odinger ˆın coordonate sferice pentru atomul de hidrogen const˘ a ˆın faptul c˘a astfel se poate realiza u¸sor separarea ˆın trei ecuat¸ii independente, fiecare unidimensional˘ a. Procedeul de separare este de a c˘auta solut¸iile pentru care funct¸ia de und˘a ψ(r, θ, φ) are forma unui produs de trei funct¸ii, fiecare ˆıntr-una din cele trei variabile sferice: R(r), care depinde numai de r; Θ(θ) care depinde numai de θ; ¸si Φ(φ) care depinde numai de φ ¸si este practic analog separ˘arii ecuat¸iei Laplace. Deci ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) . (21) Funct¸ia R(r) descrie variat¸ia funct¸iei de und˘a ψ a electronului de-a lungul razei vectoare dinspre nucleu, cu θ ¸si φ constante. Variat¸ia lui ψ cu unghiul zenital θ de-a lungul unui meridian al unei sfere centrat˘ a ˆın nucleu este descris˘a numai de c˘ atre funct¸ia Θ(θ) pentru r ¸si φ constante. ˆIn sfˆır¸sit, funct¸ia Φ(φ) descrie cum variaz˘ a ψ cu unghiul azimutal φ de-a lungul unei paralele a unei sfere centrat˘ a ˆın nucleu, ˆın condit¸iile ˆın care r ¸si θ sunt ment¸inute constante. 115

Folosind ψ = RΘΦ, vedem c˘a ∂ψ dR = ΘΦ , ∂r dr

(22)

dΘ ∂ψ = RΦ , ∂θ dθ ∂ψ dΦ = RΘ . ∂φ dφ

(23) (24)

Evident, acela¸si tip de formule se ment¸ine pentru derivatele de ordin superior nemixte. Subtituindu-le ˆın ec. 20, dup˘a ˆımp˘ art¸irea cu RΘΦ se obt¸ine 















!

dR sin θ d dΘ 1 d2 Φ 2mr 2 sin2 θ sin2 θ d + r2 + sin θ + R dr dr Θ dθ dθ Φ dφ2 ¯h2

e2 +E = 0. 4πǫ0 r (25) Al treilea termen al acestei ecuat¸ii este funct¸ie numai de unghiul φ, ˆın timp ce ceilalt¸i doi sunt funct¸ii de r ¸si θ. Rescriem ecuat¸ia anterioar˘ a ˆın forma ∂R sin2 θ ∂ sin θ ∂ ∂Θ 2mr 2 sin2 θ r2 + sin θ + R ∂r ∂r Θ ∂θ ∂θ ¯h2

!

1 ∂2Φ . Φ ∂φ2 (26) Aceast˘a ecuat¸ie poate fi corect˘ a numai dac˘ a cei doi membri sunt egali cu aceea¸si constant˘ a , pentru c˘a sunt funct¸ii de variabile diferite. Este convenabil s˘ a not˘ am aceast˘ a constant˘a cu m2l . Ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru funct¸ia Φ este 1 ∂2Φ = m2l . (27) − Φ ∂φ2 e2 +E 4πǫ0 r

=−

Dac˘a se subtituie m2l ˆın partea dreapt˘a a ec. 26 ¸si se divide ecuat¸ia rezultant˘a cu sin2 θ, dup˘a o regrupare a termenilor, se obt¸ine 

1 d dR r2 R dr dr



2mr 2 + h2 ¯

e2 +E 4πǫ0 r

!



1 d m2l dΘ = 2 − Θ sin θ dθ sin θ dθ sin θ



.

(28) ˆInc˘a odat˘ a se prezint˘ a o ecuat¸ie ˆın care apar variabile diferite ˆın fiecare membru, ceea ce oblig˘ a la egalarea ambilor cu aceea¸si constant˘a . Din motive care se vor vedea mai tˆırziu, vom nota aceast˘ a constant˘a prin l(l+1). Ecuat¸iile pentru funct¸iile Θ(θ) ¸si R(r) sunt 

1 d dΘ m2l 2 − Θ sin θ dθ sinθ dθ sin θ 116



= l(l + 1)

(29)

¸si



1 d dR r2 R dr dr



2mr 2 + ¯h2

e2 +E 4πǫ0 r

!

= l(l + 1) .

(30)

Ecuat¸iile 27, 29 ¸si 30 se scriu ˆın mod normal ˆın forma d2 Φ + m2l Φ = 0 , dφ2 

1 d dΘ sin θ sin θ dθ dθ 

1 d dR r2 2 r dr dr



"



2m + ¯h2

(31) #

"

m2l Θ=0, + l(l + 1) − sin2 θ e2 +E 4πǫ0 r

!

#

l(l + 1) − R=0. r2

(32) (33)

Fiecare dintre aceste ecuat¸ii este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a ordinar˘a pentru o funct¸ie de o singur˘a variabil˘ a . ˆIn felul acesta s-a reu¸sit simplificarea ecuat¸iei Schr¨ odinger pentru atomul de hidrogen care, init¸ial, era o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a part¸ial˘ a pentru o funct¸ie ψ de trei variabile.

Interpretarea constantelor de separare: numere cuantice Solut¸ia pentru partea azimutal˘ a Ec. 31 se rezolv˘a u¸sor pentru a g˘asi urm˘atoarea solut¸ie Φ(φ) = Aφ eiml φ ,

(34)

unde Aφ este constanta de integrare. Una dintre condit¸iile stabilite mai ˆınainte pe care trebuie s˘ a le ˆındeplineasc˘a o funct¸ie de und˘a (¸si prin urmare deasemenea Φ, care este o component˘a a funct¸iei complete ψ) este s˘ a aib˘ a o valoare unic˘ a pentru fiecare punct din spat¸iu f˘ar˘ a except¸ie. De exemplu, se observ˘ a c˘ a φ ¸si φ + 2π se identific˘ a ˆın acela¸si plan meridian. De aceea, trebuie ca Φ(φ) = Φ(φ + 2π), adic˘ a Aeiml φ = Aeiml (φ+2π) . Aceasta se poate ˆındeplini numai cˆınd ml este 0 sau un num˘ ar ˆıntreg pozitiv sau negativ (±1, ±2, ±3, ...). Acest num˘ ar ml se cunoa¸ste ca num˘ arul cuantic magnetic al atomului de hidrogen ¸si este relat¸ionat cu direct¸ia momentului cinetic L pentru c˘ a s-a putut fi asociat cu efectele cˆımpurilor magnetice axiale asupra electronului. Num˘ arul cuantic magnetic ml este determinat de c˘atre

117

num˘ arul cuantic orbital l, care la rˆındul s˘ au determin˘a modulul momentului cinetic al electronului. Interpretarea num˘ arului cuantic orbital l nu este nici ea f˘ar˘ a unele probleme. S˘ a examin˘ am ec. 33, care corespunde p˘ art¸ii radiale R(r) a funct¸iei de und˘a ψ. Aceast˘a ecuat¸ie este relat¸ionat˘ a numai cu aspectul radial al mi¸sc˘ arii electronilor, adic˘ a , cu apropierea ¸si dep˘ artarea de nucleu (pentru elipse); totu¸si, este prezent˘ a ¸si energia total˘a a electronului E. Aceast˘a energie include energia cinetic˘ a a electronului ˆın mi¸scare orbital˘ a care nu are nimic de-a face cu mi¸scarea radial˘ a . Aceast˘a contradict¸ie se poate elimina cu urm˘atorul rat¸ionament: energia cinetic˘ a T a electronului are dou˘ a p˘ art¸i: Tradial datorat˘ a mi¸sc˘ arii de apropiere ¸si dep˘ artare de nucleu, ¸si Torbital datorat˘ a mi¸sc˘ arii ˆın jurul nucleului. Energia potent¸ial˘a V a electronului este energia electrostatic˘ a . Prin urmare, energia sa total˘a este E = Tradial + Torbital −

e2 . 4πǫ0 r

(35)

Substituind aceast˘ a expresie a lui E ˆın ec. 33 obt¸inem, dup˘a o regrupare a termenilor, 

1 d dR r2 2 r dr dr



#

"

2m ¯ 2 l(l + 1) h R=0. + 2 Tradial + Torbital − 2mr 2 h ¯

(36)

Dac˘a ultimii doi termeni din paranteze se anuleaz˘ a ˆıntre ei, obt¸inem o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a pentru mi¸scarea pur radial˘ a . Impunem deci condit¸ia Torbital =

¯ 2 l(l + 1) h . 2mr 2

(37)

Energia cinetic˘ a orbital˘ a a electronului este ˆıns˘ a Torbital =

1 mv 2 2 orbital

(38)

¸si cum momentul cinetic L al electronului este L = mvorbital r ,

(39)

putem exprima energia cinetic˘ a orbital˘ a ˆın forma Torbital = 118

L2 2mr 2

(40)

De aceea avem

L2 ¯ 2 l(l + 1) h = 2mr 2 2mr 2

¸si deci L=

q

l(l + 1)¯ h.

(41)

(42)

Interpretarea acestui rezultat este c˘a , ˆıntrucˆıt num˘ arul cuantic orbital l este limitat la valorile l = 0, 1, 2, ..., (n − 1), electronul poate avea numai momentele cinetice L care se specific˘ a prin intermediul ec. 42. Ca ¸si ˆın cazul energiei totale E, momentul cinetic se conserv˘ a ¸si este cuantizat, iar unitatea sa natural˘a de m˘ asur˘a ˆın mecanica cuantic˘a este ¯h = h/2π = 1.054 × 10−34 J.s. ˆIn mi¸scarea planetar˘a macroscopic˘a , num˘ arul cuantic care descrie momentul unghiular este atˆıt de mare c˘a separarea ˆın st˘ ari discrete ale momentului cinetic nu se poate observa experimental. De exemplu, un electron al c˘ arui num˘ ar cuantic orbital este 2, are un moment cinetic L = 2.6 × 10−34 J.s., ˆın timp ce momentul cinetic al planetei noastre este 2.7 × 1040 J.s.! Se obi¸snuie¸ste s˘ a se noteze st˘ arile de moment cinetic cu litera s pentru l = 0, cu p pentru l = 1, d pentru l = 2, etc. Acest cod alfabetic provine din clasificarea empiric˘a a spectrelor ˆın a¸sa numitele serii principal˘a , difuz˘a ¸si fundamental˘ a , care este anterioar˘ a mecanicii cuantice. Combinarea num˘ arului cuantic total cu litera corespunz˘atoare momentului cinetic este o alt˘ a notat¸ie frecvent folosit˘a pentru st˘ arile atomice. De exemplu, o stare ˆın care n = 2, l = 0 este o stare 2s, iar una ˆın care n = 4, l = 2 este o stare 4d. Pe de alt˘ a parte, pentru interpretarea num˘ arului cuantic magnetic, vom ¸tine cont c˘ a la fel ca pentru impulsul lineal, momentul cinetic este un vector ¸si deci pentru al descrie se necesit˘ a specificarea direct¸iei, sensului ¸si modulului s˘ au. Vectorul L este perpendicular planului ˆın care are loc mi¸scarea de rotat¸ie ¸si direct¸ia ¸si sensul s˘ au sunt date de regula mˆıinii drepte (de produs vectorial): degetul mare are direct¸ia ¸si sensul lui L cˆınd celelalte patru degete sunt ˆın direct¸ia de rotat¸ie. Dar ce semnificat¸ie se poate da unei direct¸ii ¸si sens ˆın spat¸iul limitat al unui atom de hidrogen ? R˘ aspunsul este simplu dac˘ a ne gˆındim c˘a un electron care gireaz˘ a ˆın jurul unui nucleu reprezint˘a un circuit minuscul, care ca dipol magnetic prezint˘ a un cˆımp magnetic corespunz˘ator. ˆIn consecint¸˘a , un electron atomic cu moment cinetic interact¸ioneaz˘ a cu un cˆımp magnetic extern B. Num˘ arul cuantic magnetic ml specific˘ a direct¸ia lui L, determinat˘a

119

de componenta lui L ˆın direct¸ia cˆımpului. Acest fenomen se cunoa¸ste ˆın mod comun drept cuantizare spat¸ial˘a . Dac˘a alegem direct¸ia cˆımpului magnetic ca ax˘a z, componenta lui L ˆın aceast˘ a direct¸ie este Lz = ml ¯h . (43) Valorile posibile ale lui ml pentru o valoare dat˘ a a lui l, merg de la +l pˆın˘ a la −l, trecˆınd prin 0, astfel c˘ a orient˘arile posibile ale vectorului moment cinetic L ˆıntr-un cˆımp magnetic sunt 2l + 1. Cˆınd l = 0, Lz poate avea numai valoarea zero; cˆınd l = 1, Lz poate fi h ¯ , 0, sau −¯h; cˆınd l = 2, Lz ia numai una dintre valorile 2¯ h, h ¯ , 0, −¯h, sau −2¯ h, ¸si a¸sa mai departe. Ment¸ion˘ am c˘a L nu poate fi exact alineat (paralel sau a Lz este p antiparalel) cu B, pentru c˘ h momentului unghiular total. ˆıntotdeauna mai mic decˆıt modulul l(l + 1)¯ Cuantizarea spat¸ial˘ a a momentului cinetic orbital al atomului de hidrogen se arat˘ a ˆın fig. 6.1.

Fig. 6.1: Cuantizarea spat¸ial˘a a momentului cinetic pentru st˘ari l = 2, L =



6¯ h.

Trebuie s˘ a consider˘am electronul caracterizat de c˘atre un anumit ml ca avˆınd o orientare determinat˘a a momentului s˘ au cinetic L fat¸˘a de un cˆımp magnetic extern ˆın cazul ˆın care acesta se aplic˘ a. ˆIn absent¸a cˆımpului magnetic extern, direct¸ia axei z este complet arbitrar˘ a . De aceea, componenta lui L ˆın orice direct¸ie pe care o alegem este

120

ml ¯ h; cˆımpul magnetic extern ofer˘a o direct¸ie de referint¸˘a privilegiat˘a din punct de vedere experimental. Dece este cuantizat˘ a numai componenta lui L ? R˘ aspunsul se relat¸ioneaz˘ a cu faptul c˘ a L nu poate fi direct¸ionat de manier˘a arbitrar˘a ; ˆıntotdeauna descrie un con centrat pe axa de cuantizare ˆın a¸sa fel ˆıncˆıt proiect¸ia sa Lz este ml ¯ h. Motivul pentru care se produce acest fenomen este principiul de incertitudine: dac˘ a L ar fi fix ˆın spat¸iu, ˆın a¸sa fel ˆıncˆıt Lx , Ly ¸si Lz ar avea valori bine definite, electronul ar fi confinat ˆıntr-un plan bine definit. De exemplu, dac˘ a L ar fi fixat de-a lungul direct¸iei z, electronul ar avea tendint¸a de a se ment¸ine ˆın planul xy (fig. 6.2a).

Fig. 6.2: Principiul de incertitudine interzice o direct¸ie fix˘a ˆın spat¸iu a momentului cinetic.

Acest lucru poate s˘ a aib˘ a loc numai ˆın situat¸ia ˆın care componenta pz a impulsului electronului ˆın direct¸ia z este infinit de incert˘ a , ceea ce desigur este imposibil dac˘ a face parte din atomul de hidrogen. Totu¸si, cum ˆın realitate numai o component˘ a Lz a lui L ˆımpreun˘a cu L2 au valori definite ¸si | L |>| Lz |, electronul nu este limitat la un plan unic (fig. 6.2b), iar dac˘ a ar fi a¸sa, ar exista o incertitudine ˆın coordonata z a electronului. Direct¸ia lui L se schimb˘ a ˆın mod constant (fig. 6.3), astfel c˘a valorile medii ale lui Lx ¸si Ly sunt 0, de¸si Lz are ˆıntotdeauna valoarea ml ¯h.

121

Fig. 6.3: Vectorul moment cinetic prezint˘ a o precesie constant˘ a ˆın jurul axei z.

Solut¸ia pentru Φ trebuie s˘ a satisfac˘a deasemenea condit¸ia de normalizare, care este dat˘ a de c˘ atre ec. 2. Deci pentru Φ avem Z



0

| Φ |2 dφ = 1

(44)

¸si substituind Φ se obt¸ine Z

0



A2φ dφ = 1 .

(45)

√ a de Astfel Aφ = 1/ 2π ¸si deci Φ normalizat˘a este dat˘ 1 Φ(φ) = √ eiml φ . 2π

(46)

Solut¸ia pentru partea polar˘ a Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a pentru partea polar˘ a Θ(θ) are o solut¸ie mai complicat˘ a fiind dat˘ a de polinoamele Legendre asociate Plml (x) = (−1)ml (1−x2 )ml /2

2 ml /2 dml +l dml ml (1 − x ) P (x) = (−1) (x2 −1)l . l dxml 2l l! dxml +l (47)

122

Aceste funct¸ii satisfac urm˘atoarea relat¸ie de ortogonalitate Z

1

−1

[Plml (cosθ)]2 dcosθ =

2 (l + ml )! . 2l + 1 (l − ml )!

(48)

ˆIn cazul mecanicii cuantice, Θ(θ) este dat˘ a de polinoamele Legendre normalizate, respectiv, dac˘ a Θ(θ) = Aθ Plml (cosθ) ,

(49)

atunci condit¸ia de normalizare este dat˘ a de Z

1

−1

A2θ [Plml (cosθ)]2 dcosθ = 1 .

(50)

Prin urmare constanta de normalizare pentru partea polar˘ a este Aθ =

s

2l + 1 (l − ml )! 2 (l + ml )!

(51)

¸si prin urmare, funct¸ia Θ(θ) deja normalizat˘a este Θ(θ) =

s

2l + 1 (l − ml )! ml P (cosθ) 2 (l + ml )! l

(52)

Pentru obiectivele noastre, cea mai important˘a proprietate a acestor funct¸ii este c˘ a , a¸sa cum s-a ment¸ionat deja, exist˘a numai cˆınd constanta l este un num˘ ar ˆıntreg egal sau mai mare decˆıt | ml |, care este valoarea absolut˘ a a lui ml . Aceast˘a condit¸ie se poate scrie sub forma setului de valori disponibile pentru ml ml = 0, ±1, ±2, ..., ±l . (53)

Unificarea p˘ art¸ilor azimutal˘ a ¸si polar˘ a : armonicele sferice Solut¸iile pentru p˘ art¸ile azimutal˘ a ¸si polar˘ a se pot uni pentru a forma armonicele sferice, care depind de φ ¸si θ ¸si contribuie la simplificarea manipul˘arilor algebrice ale funct¸iei de und˘a complet˘ a ψ(r, θ, φ). Armonicele sferice se introduc ˆın felul urm˘ator: Ylml (θ, φ)

ml

= (−1)

s

2l + 1 (l − ml )! ml P (cosθ)eiml φ . 4π (l + ml )! l

(54)

Factorul suplimentar (−1)ml nu produce nici o problem˘a pentru c˘a ec. Schr¨ odinger este linear˘ a ¸si homogen˘a ¸si este convenabil pentru studiul del momentului cinetic. Se cunoa¸ste ca factorul de faz˘a Condon-Shortley, efectul s˘ au fiind de a introduce o alternant¸˘a a semnelor ±. 123

Solut¸ia pentru partea radial˘ a Solut¸ia pentru partea radial˘ a R(r) a funct¸iei de und˘a ψ a atomului de hidrogen este ceva mai complicat˘ a ¸si aici este unde apar diferent¸e mai mari fat¸˘a de ecuat¸ia Laplace ˆın electrostatic˘ a . Rezultatul final se exprim˘ a ˆın funct¸ie de polinoamele asociate Laguerre (Schr¨ odinger 1926). Ecuat¸ia radial˘ a se poate rezolva ˆın form˘ a analitic˘ a exact˘a numai cˆınd E este pozitiv sau pentru una din urm˘atoarele valori negative En (ˆın care caz electronul este legat atomului)   1 me4 En = − , (55) 2 2 2 32π ǫ0 ¯h n2 unde n este un num˘ ar ˆıntreg numit num˘ arul cuantic principal ¸si descrie cuantizarea energiei electronului ˆın atomul de hidrogen. Aceast spectru discret a fost obt¸inut pentru prima dat˘ a de c˘atre Bohr cu metode empirice de cuantizare ˆın 1913 ¸si apoi de c˘atre Pauli ¸si respectiv Schr¨ odinger ˆın 1926. O alt˘ a condit¸ie care trebuie s˘ a fie satisf˘acut˘ a pentru a rezolva ecuat¸ia radial˘ a este ca n s˘ a fie ˆıntotdeauna mai mare decˆıt l. Valoarea sa minim˘a este l + 1. Invers, condit¸ia asupra lui l este l = 0, 1, 2, ..., (n − 1)

(56)

Ecuat¸ia radial˘ a se poate scrie ˆın forma #

"

2me2 2mE 2 dR d2 R r + r − l(l + 1) R = 0 , + r 2 2 + 2r dr dr ¯h2 4πǫ0 ¯h2

(57)

Dup˘ a ˆımp˘ art¸irea cu r 2 , se folose¸ste substitut¸ia χ(r) = rR pentru a elimina termenul ˆın dR si a obt¸ine forma standard a ec. Schr¨ odinger radiale cu dr ¸ 2 potent¸ial efectiv U (r) = −const/r + l(l + 1)/r (potent¸ial electrostatic plus barier˘a centrifugal˘ a ). Aceast˘a procedur˘a se aplic˘ a numai pentru a discuta o nou˘ a condit¸ie obligatorie de frontier˘ a , obti ¸ nerea spectrului fiind prin intermediul ecuat¸iei pentru R. Diferent¸a ˆıntre o ec. Schr¨ odinger radial˘ a ¸si una ˆın toat˘ a linia real˘ a este c˘a o condit¸ie de frontier˘ a suplimentar˘ a trebuie impus˘a ˆın origine (r = 0). Potent¸ialul coulombian apart¸ine unei clase de potent¸iale care se numesc slab singulare, pentru care limr→0 = U (r)r 2 = 0. Se ˆıncearc˘ a solut¸ii de tipul χ ∝ r ν , ceea ce implic˘ a ν(ν − 1) = l(l + 1) cu solut¸iile ν1 = l + 1 ¸si ν2 = −l, exact ca ˆın cazul electrostaticii. Solut¸ia negativ˘a se elimin˘ a ˆın cazul l 6= 0 pentru c˘a duce la divergent¸a integralei de normalizare ¸si deasemenea nu respect˘a normalizarea la funct¸ia delta ˆın cazul

124

spectrului continuu, iar cazul ν2 = 0 se elimin˘ a din condit¸ia de finitudine a energiei cinetice medii.Concluzia final˘ a este c˘a χ(0) = 0 pentru orice l. Revenind la analiza ecuat¸iei pentru funct¸ia radial˘ a R, se pune mai ˆıntˆıi problema adimensionaliz˘ arii ecuat¸iei. Aceasta se face observˆınd c˘a se poate forma o singur˘a scal˘ a de spat¸iu ¸si timp din combinat¸ii ale celor trei constante fizice care intr˘ a ˆın aceast˘ a problem˘a respectiv e2 , m ¸si ¯h. Acestea sunt raza 2 Bohr a0 = h ¯ /me2 = 0.529 · 10−8 cm. ¸si t0 = h ¯ 3 /me4 = 0.24210−16 sec., care se numesc unit˘ a¸ti atomice. Folosind aceste unit˘ a¸ti obt¸inem 



(58)





(59)

d2 R 2 dR 2 l(l + 1) + + 2E + − R=0, dr 2 r dr r r2

√ unde ne intereseaz˘ a spectrul discret (E < 0). Cu notat¸iile n = 1/ −E ¸si ρ = 2r/n se ajunge la: n 1 l(l + 1) d2 R 2 dR + + − − R=0. 2 dρ ρ dρ ρ 4 ρ2 2

Pentru ρ → ∞, ecuat¸ia se reduce la ddρR2 = R4 cu solut¸ii R ∝ e±ρ/2 . Se accept˘ a pe baza condit¸iei de normalizare numai exponent¸iala atenuat˘ a . Pe de alt˘ a parte asimptotica de zero, a¸sa cum am comentat deja, este R ∝ ρl . Prin urmare, putem substitui R printr-un produs de trei funct¸ii radiale R = ρl e−ρ/2 F (ρ), dintre care primele dou˘ a sunt p˘ art¸ile asimptotice, iar a treia este funct¸ia radial˘ a ˆın regiunea intermediar˘a , care ne intereseaz˘ a cel mai mult pentru c˘ a ne d˘ a spectrul energetic. Ecuat¸ia pentru F este ρ

dF d2 F + (2l + 2 − ρ) + (n − l − 1)F = 0 . dρ2 dρ

(60)

care este un caz particular de ecuat¸ie hipergeometric˘a confluent˘a ˆın care cei doi parametri ‘hiper’geometrici depind de n, l ¸si care se poate identifica cu ın fizica matematic˘ a ecuat¸ia pentru polinoamele Laguerre asociate L2l+1 n+l (ρ) ˆ . Astfel, forma normalizat˘a a lui R este: 2 Rnl (r) = − 2 n

s

(n − l − 1)! −ρ/2 l 2l+1 e ρ Ln+l (ρ) , 2n[(n + l)!]3

(61)

unde s-a folosit condit¸ia de normalizare a polinoamelor Laguerre: Z

∞ 0

2 2 e−ρ ρ2l [L2l+1 n+l (ρ)] ρ dρ =

125

2n[(n + l)!]3 . (n − l − 1)!

(62)

Avem deci solut¸iile fiec˘ areia dintre ecuat¸iile care depind numai de o singur˘a variabil˘ a ¸si prin urmare putem construi funct¸ia de und˘a pentru fiecare stare electronic˘ a ˆın atomul de hidrogen, respectiv dac˘ a ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ), atunci funct¸ia de und˘a complet˘ a este 2l+1 (αr)Plml (cosθ)eiml φ , ψ(r, θ, φ) = NH (αr)l e−αr/2 Ln+l

unde NH = − n22

r

2l+1 (l−ml )! (n−l−1)! 4π (l+ml )! [(n+l)!]3

(63)

¸si α = 2/na0 .

Utilizˆınd armonicele sferice, solut¸ia se scrie ˆın felul urm˘ator 2 ψ(r, θ, φ) = − 2 n

s

(n − l − 1)! ml (αr)l e−αr/2 L2l+1 n+l (αr)Yl (θ, φ) . [(n + l)!]3

(64)

Aceast˘a formul˘ a se poate considera rezultatul matematic final pentru solut¸ia ec. Schr¨ odinger ˆın cazul atomului de hidrogen pentru oricare stare stat¸ionar˘ a a electronului s˘ au. ˆIntr-adev˘ar, se pot vedea ˆın mod explicit atˆıt dependent¸a asimptotic˘a cˆıt ¸si cele dou˘ a seturi ortogonale complete, polinoamele Laguerre asociate ¸si respectiv armonicele sferice, corespunz˘atoare acestei ecuat¸ii lineare cu derivate part¸iale de ordinul doi. Coordonatele parabolice [ξ = r(1 − cos θ), η = r(1 + cos θ), φ = φ], sunt un alt set de variabile ˆın care ec. Schr¨ odinger pentru atomul de hidrogen este u¸sor de separat (E. Schr¨ odinger, Ann. Physik 80, 437, 1926; P.S. Epstein, Phys. Rev. 28, 695, 1926; I. Waller, Zf. Physik 38, 635, 1926). Solut¸ia final˘ a se exprim˘ a ca produsul unor factori de natur˘a asimptotic˘a, armonice azimutale ¸si dou˘ a seturi de polinoame Laguerre asociate ˆın ξ, respectiv η. Spectrul energetic (−1/n2 ) ¸si degenerarea (n2 ) evident nu se modific˘ a.

Densitatea de probabilitate electronic˘ a ˆIn modelul lui Bohr al atomului de hidrogen, electronul se rote¸ste ˆın jurul nucleului pe traiectorii circulare sau eliptice. Dac˘a se realizeaz˘ a un experiment adecuat, s-ar putea vedea c˘a electronul ar fi ˆıntotdeauna situat ˆın limitele expeimentale la o distant¸˘a fat¸˘a de nucleu r = n2 a0 (unde n este num˘ arul cuantic care numeroteaz˘a orbita ¸si a0 = 0.53 ˚ A este raza orbitei celei mai apropiate de nucleu, cunoscut˘a ca raza Bohr) ¸si ˆın planul ecuatorial θ = 90o , ˆın timp ce unghiul azimutal φ poate varia ˆın timp. Teoria cuantic˘ a a atomului de hidrogen modific˘ a concluziile modelului lui Bohr ˆın dou˘ a aspecte importante. ˆIn primul rˆınd, nu se pot da valori 126

exacte pentru r, θ, φ, ci numai probabilit˘a¸ti relative de a g˘asi electronul ˆıntro zon˘ a infinitezimal˘a dat˘ a a spat¸iului. Aceast˘a imprecizie este, desigur, o consecint¸˘ a a naturii ondulatorii a electronului. ˆIn al doilea rˆınd, nu se poate gˆındi c˘ a electronul se mi¸sc˘ a ˆın jurul nucleului ˆın sensul convent¸ional clasic, pentru c˘ a densitatea de probabilitate | ψ |2 nu depinde de timp ¸si poate varia considerabil ˆın funct¸ie de zona infinitezimal˘a unde se calculeaz˘ a. Funct¸ia de und˘a ψ a electronului ˆın atomul de hidrogen este ψ = RΘΦ unde R = Rnl (r) descrie cum se schimb˘ a ψ cu r cˆınd numerele cuantice orbital ¸si total au valorile n ¸si l; Θ = Θlml (θ) descrie la rˆındul lui variat¸ia lui ψ cu θ cˆınd numerele cuantice magnetic ¸si orbital au valorile l ¸si ml ; ˆın sfˆır¸sit, Φ = Φml (φ) d˘ a schimbarea lui ψ cu φ cˆınd num˘ arul cuantic magnetic are valoarea ml . Densitatea de probabilitate | ψ |2 se poate scrie | ψ |2 =| R |2 | Θ |2 | Φ |2 .

(65)

Densitatea de probabilitate | Φ |2 , care m˘ asoar˘ a posibilitatea de a g˘asi electronul la un unghi azimutal φ dat, este o constant˘a care nu depinde de φ. Prin urmare, densitatea de probabilitate electronic˘ a este simetric˘a fat¸˘a de axa z, independent de starea cuantic˘a “magnetic˘ a ” (atˆıta timp cˆıt nu se aplic˘ a un cˆımp magnetic extern), ceea ce face ca electronul s˘ a aib˘ a aceea¸si probabilitate de a se g˘ asi ˆın orice direct¸ie azimutal˘ a . Partea radial˘ a R a funct¸iei de und˘a , spre deosebire de Φ, nu numai c˘a variaz˘ a cu r, ci ¸si o face ˆın mod diferit pentru fiecare combinat¸ie de numere cuantice n ¸si l. Fig. 6.4 arat˘ a grafice ale lui R ˆın funct¸ie de r pentru st˘ arile 1s, 2s, ¸si 2p ale atomului de hidrogen. R este maxim ˆın centrul nucleului (r = 0) pentru toate st˘ arile s, ˆın timp ce este zero ˆın r = 0 pentru toate st˘ arile care au moment cinetic.

R

nl

( r)

1s 2p

2s

5

10

15

r(a 0)

Fig. 6.4: Grafice aproximative ale funct¸iilor radiale R1s , R2s , R2p ; (a0 = 0.53 ˚ A).

127

2 2

dP/dr=4πr R

1s

2s 2p 5

r(a 0)

15

10

Fig. 6.5: Densitatea de probabilitate de a g˘ asi electronul atomului de hidrogen ˆıntre r ¸si r + dr fat¸˘a de nucleu pentru st˘arile 1s, 2s, 2p.

Densitatea de probabilitate electronic˘ a ˆın punctul r, θ, φ este proport¸ional˘ a cu | ψ |2 , dar probabilitatea real˘ a ˆın elementul de volum infinitezimal dV este | ψ |2 dV . ˆIn coordonate polare sferice dV = r 2 sin θdrdθdφ ,

(66)

¸si cum Θ ¸si Φ sunt funct¸ii normalizate, probabilitatea numeric˘a real˘ a P (r)dr de a g˘ asi electronul la o distant¸˘a fat¸˘a de nucleu cuprins˘a ˆıntre r ¸si r + dr este 2

2

P (r)dr = r | R | dr = r 2 | R |2 dr

Z

π

0

2

| Θ | sin θdθ

Z

0



| Φ |2 dφ (67)

P (r) este reprezentat˘ a ˆın fig. 6.5 pentru acelea¸si st˘ ari ale c˘aror funct¸ii radiale R apar ˆın fig. 6.4; ˆın principiu, curbele sunt foarte diferite. Observ˘ am imediat c˘ a P (r) nu este maxim˘a ˆın nucleu pentru st˘ arile s, a¸sa cum este R, avˆınd maximul la o distant¸˘ a finit˘ a de acesta. Valoarea cea mai probabil˘a a lui r pentru un electron 1s este exact a0 , care este raza Bohr. Totu¸si, valoarea 128

medie a lui r pentru un electron 1s este 1.5a0 , ceea ce pare ciudat la prima vedere, pentru c˘ a nivelele de energie sunt acele¸si ˆın mecanica cuantic˘a ¸si ˆın modelul lui Bohr. Aceast˘a aparent˘a discrepant¸˘a se elimin˘ a dac˘ a se ¸tine cont de faptul c˘ a energia electronului depinde de 1/r ¸si nu direct de r, iar valoarea medie a lui 1/r pentru un electron 1s este exact 1/a0 . Funct¸ia Θ variaz˘ a cu unghiul polar θ pentru toate numerele cuantice l ¸si ml , except¸ie f˘acˆınd l = ml = 0, care sunt st˘ ari s. Densitatea de probabilitate | Θ |2 pentru o stare s este o constant˘a (1/2), ceea ce ˆınseamn˘a c˘a , ˆıntrucˆıt | Φ |2 este deasemenea constant˘a , densitatea de probabilitate electronic˘ a 2 ˆ | ψ | are aceea¸si valoare pentru o valoare a lui r dat˘ a , ˆın toate direct¸iile. In alte st˘ ari, electronii au un comportament unghiular care uneori ajunge s˘ a fie foarte complicat. Aceasta se poate vedea ˆın fig.6.5, unde se arat˘ a densit˘a¸tile de probabilitate electronic˘ a pentru diferite st˘ ari atomice ˆın funct¸ie de r ¸si θ. (Termenul care se reprezint˘ a este | ψ |2 ¸si nu | ψ |2 dV ). Deoarece | ψ |2 este independent de φ, o reprezentare tridimensional˘ a a lui | ψ |2 se obt¸ine prin rotat¸ia unei reprezent˘ ari particulare ˆın jurul unei axe verticale, ceea ce poate ar˘ ata c˘ a densit˘a¸tile de probabilitate pentru st˘ arile s au simetrie sferic˘a , ˆın timp ce toate celelalte nu o posed˘ a . Se obt¸in ˆın acest fel loburi mai mult sau mai put¸in pronunt¸ate, care au forme caracteristice pentru fiecare stare ˆın parte ¸si care ˆın chimie joac˘a un rol important ˆın determinarea modului ˆın care interact¸ioneaz˘ a atomii ˆın interiorul moleculelor. 6N. Not˘ a: 1. E. Schr¨ odinger a obt¸inut premiul Nobel ˆın 1933 (ˆımpreun˘a cu Dirac) pentru “descoperirea de noi forme productive ale teoriei atomice”. Schr¨ odinger a scris o remarcabil˘a serie de patru articole intitulat˘ a “Quantisierung als Eigenwertproblem” [“Cuantizarea ca problem˘a de autovalori”] (I-IV, primite la redact¸ia revistei Annalen der Physik ˆın 27 Ianuarie, 23 Februarie, 10 Mai ¸si 21 Iunie 1926).

6P. Probleme Problema 6.1 - S˘ a se obt¸in˘ a formulele pentru orbitele stabile ¸si pentru nivelele de energie ale electronului ˆın atomul de hidrogen folosind numai argumente bazate pe lungimea de und˘a de Broglie asociat˘aelectronului ¸si valoarea ‘empiric˘a ’ 5.3 · 10−11 m pentru raza Bohr. h ˆın timp Solut¸ie: Lungimea de und˘a a electronului este dat˘ a de λ = mv 2 mv 1 e2 ce dac˘ a egal˘ am fort¸a electric˘ a cu fort¸a centripet˘a , respectiv r = 4πǫ 2 0 r 129

obt¸inem c˘ a viteza electronului este dat˘ a de v =

q

e .ˆIn aceste condit¸ii, 4πǫ0 mr 4πǫ0 r a folosim m . Acum, dac˘ √

lungimea de und˘a a electronului este λ = he valoarea 5.3×10−11 m pentru raza r a orbitei electronice, vedem c˘a lungimea de und˘a a electronului este λ = 33 × 10−11 m. Aceast˘a lungime de und˘a are exact aceea¸si valoare ca circumferint¸a orbitei electronului, 2πr = 33 × 10−11 m. Dup˘ a cum se poate vedea, orbita electronului ˆın atomul de hidrogen corespunde astfel unei unde “ˆınchis˘ a ˆın ea ˆıns˘ a¸si” (adic˘ a de tip stat¸ionar). Acest fapt se poate compara cu vibrat¸iile unui inel de alam˘ a . Dac˘a lungimile de und˘a sunt un submultiplu al circumferint¸ei sale, inelul ar putea continua starea sa vibratorie pentru foarte mult timp cu disipare redus˘a (st˘ ari ‘proprii’ de vibrat¸ie sau unde stat¸ionare). Dac˘a ˆıns˘ a num˘ arul de lungimi de und˘a nu este ˆıntreg se va produce o interferent¸˘a negativ˘a pe m˘ asur˘a ce undele se propag˘a de-a lungul inelului ¸si vibrat¸iile vor disp˘area foarte repede. Astfel, se poate afirma c˘ a un electron se poate roti indefinit ˆın jurul nucleului f˘ar˘ aa radia energia de care dispune atˆıta timp cˆıt orbita cont¸ine un num˘ ar ˆıntreg de lungimi de und˘a de Broglie. Cu acestea, avem condit¸ia de stabilitate nλ = 2πrn , unde rn este raza orbitei care cont¸ine n lungimi de und˘a . Substituind λ, avem r

nh 4πǫ0 rn = 2πrn , e m ¸si deci orbitele stabile ale electronului sunt n2 ¯h2 ǫ0 . πme2 Pentru nivelele de energie, avem E = T +V ¸si prin substituirea energiilor potent¸ial˘ a ¸si cinetic˘ a obt¸inem rn =

1 e2 E = mv 2 − , 2 4πǫ0 r sau echivalent En = −

e2 . 8πǫ0 rn

Substituind valoarea lui rn ˆın ultima ecuat¸ie obt¸inem En = −

me4 8ǫ20 ¯h2



130

1 n2



.

Problema 6.2 - Teorema lui Uns¨old spune c˘a , pentru orice valoare a num˘ arului cuantic orbital l, densit˘a¸tile de probabilitate, sumate peste toate subst˘arile posibile, de la ml = −l pˆın˘ a la ml = +l dau o constant˘a independent˘ a de unghiurile θ sau φ, adic˘ a +l X

ml =−l

| Θlml |2 | Φml |2 = ct.

Aceast˘a teorem˘ a arat˘ a c˘a orice atom sau ion cu subst˘ari ˆınchise prezint˘a o distribut¸ie sferic simetric˘a de sarcin˘a electric˘ a . S˘ a se verifice teorema Uns¨ old pentru l = 0, l = 1 ¸si l = 2. √ √ Solut¸ie: Avem pentru l = 0, Θ00 = 1/ 2 ¸si Φ0 = 1/ 2π, deci vedem c˘ a | Θ0,0 |2 | Φ0 |2 =

1 . 4π

Pentru l = 1 avem +1 X

ml =−1

| Θlml |2 | Φml |2 =| Θ1,−1 |2 | Φ−1 |2 + | Θ1,0 |2 | Φ0 |2 + | Θ1,1 |2 | Φ1 |2 .

√ Pe √ de alt˘ a parte funct√ ¸iile de und˘a sunt: √Θ1,−1 = ( 3/2)sinθ, Φ−1 = √ −iφ (1/√2π)e , Θ1,0 = ( 6/2)cosθ, Φ0 = 1/ 2π, Θ1,1 = ( 3/2)sinθ, Φ1 = (1/ 2π)eiφ , care substituite ˆın ecuat¸ia anterioar˘ a conduc la +1 X

ml =−1

| Θlml |2 | Φml |2 =

3 3 3 3 sen2 θ + cos2 θ + sen2 θ = 8π 4π 8π 4π

¸si din nou obt¸inem o constant˘a . Pentru l = 2 avem +2 X

ml =−2

| Θlml |2 | Φml |2 =

| Θ2,−2 |2 | Φ−2 |2 | Θ2,−1 |2 | Φ−1 |2 + | Θ2,0 |2 | Φ0 |2 + | Θ2,1 |2 | Φ1 |2 + | Θ2,2 |2 | Φ2 |2 √ √ (1/ 2π)e−2iφ , ¸si funct¸iile√de und˘a sunt: Θ2,−2 = (√15/4)sin2 θ, Φ−2 = √ −iφ Θ2,−1 = ( 15/2)sinθcosθ, Φ−1 = (1/ 2π)e , Θ2,0 = ( 10/4)(3cos2 θ − 131

√ √ √ 1), 2π, Θ2,1√= ( 15/2)sinθcosθ, Φ1 = (1/ 2π)eiφ , Θ2,2 = √ Φ0 = 1/ ( 15/4)sin2 θ, Φ2 = (1/ 2π)e2iφ , care substituite ˆın ecuat¸ia anterioar˘ a dau +2 X

ml =−2

| Θlml |2 | Φml |2 =

5 , 4π

ceea ce din nou verific˘ a teorema Uns¨old. Problema 6.3 - Probabilitatea de a g˘asi un electron atomic a c˘arui funct¸ie de und˘a radial˘ a este cea de stare fundamental˘a R10 (r) ˆın afara unei sfere de raz˘ a Bohr a0 centrat˘ a ˆın nucleu este Z



a0

| R10 (r) |2 r 2 dr .

S˘ a se calculeze probabilitatea de a g˘asi electronul ˆın starea fundamental˘a atomic˘ a la o distant¸˘ a de nucleu mai mare de a0 . Solut¸ie: Funct¸ia de und˘a radial˘ a care corespunde st˘ arii fundamentale este R10 (r) =

2 3/2 a0

e−r/a0 .

Substituind-o ˆın integral˘ a obt¸inem Z



a0

| R(r) |2 r 2 dr =

4 a30

Z



a0

r 2 e−2r/a0 dr ,

sau Z



a0

"

4 a2 a3 a0 | R(r) | r dr = 3 − r 2 e−2r/a0 − 0 re−2r/a0 − 0 e−2r/a0 2 2 4 a0 2

2

Aceasta ne conduce la: Z



a0

| R(r) |2 r 2 dr =

5 ≈ 68% !! , e2

care este probabilitatea cerut˘ a ˆın aceast˘ a problem˘a .

132

#∞ a0

.

7. CIOCNIRI CUANTICE Introducere Pentru init¸iere ˆın teoria cuantic˘a de ˆımpr˘a¸stiere ne vom servi de rezultate deja cunoscute de la ˆımpr˘a¸stierea clasic˘ a ˆın cˆımpuri centrale ¸si vom presupune anumite situat¸ii care vor simplifica calculele f˘ar˘ a ˆıns˘ a a ne ˆındep˘arta prea mult de problema “real˘ a”. S ¸ tim c˘a ˆın studiul experimental al unei ciocniri putem obt¸ine date care ne pot ajuta s˘ a ˆınt¸elegem distribut¸ia materiei “t¸int˘ a”, sau mai bine spus interact¸iunea ˆıntre fasciculul incident ¸si “t¸int˘a”. Ipotezele pe care le vom presupune corecte sunt: i) Particulele nu au spin, ceea ce nu ˆınseamn˘a c˘a acesta nu este important ˆın ciocniri. ii) Ne vom ocupa numai de dispersia elastic˘ a pentru care posibila structur˘ a intern˘ a a particulelor nu se ia ˆın considerare. iii) T ¸ inta este suficient de subt¸ire pentru a putea neglija ˆımpr˘a¸stierile multiple. iv) Interact¸iunile sunt descrise printr-un potent¸ial care depinde numai de pozit¸ia relativ˘a a particulelor. Aceste ipoteze elimin˘ a o serie de efecte cuantice ¸si m˘ a resc corectitudinea unor rezultate bazice din teoria ciocnirilor clasice. Astfel definim: I(θ, ϕ) dσ = , dΩ I0

(1)

unde dσ este elementul de unghi solid, I0 este num˘ arul de particule incidente pe unitate de arie ¸si IdΩ este num˘ arul de particule dispersate ˆın elementul de unghi solid dΩ. Cu aceste concepte binecunoscute ¸si cu ajutorul m˘ arimii asimptotice parametru de impact b asociat fiec˘ arei particule clasice incidente ajungem la importanta formul˘ a clasic˘ a b db dσ = | |. (2) dΩ sin θ dθ Dac˘a dorim s˘ a cunoa¸stem ˆın termeni cuantici fenomenologia de ciocnire, trebuie s˘ a studiem evolut¸ia ˆın timp a unui pachet de unde. Fie Fi fluxul de particule al fascicolului incident, adic˘ a , num˘ arul de particule pe unitate de timp care intersecteaz˘ a o suprafat¸˘a unitar˘a transversal˘ a axei de propagare. Vom pozit¸iona un detector departe de zona de act¸iune efectiv˘ aa 133

potent¸ialului, care subˆıntinde un unghi solid dΩ; cu acesta putem ˆınregistra num˘ arul de particule dn/dt dispersate ˆın unitatea de timp ˆın dΩ ˆın direct¸ia (θ, ϕ). Detector D (dn/dt ~ F idΩ ) dΩ

θ z

0 V(r)

Flux inc. F i

Fig. 7.1

dn/dt este proport¸ional cu dΩ ¸si Fi . S˘ a numim σ(θ, ϕ) coeficientul de proport¸ionalitate ˆıntre dn ¸si Fi dΩ: dn = σ(θ, ϕ)Fi dΩ ,

(3)

care este prin definit¸ie sect¸iunea diferent¸ial˘a transversal˘ a. Num˘ arul de particule pe unitatea de timp care ajung la detector este egal cu num˘ arul de particule care intersecteaz˘ a o suprafat¸˘a σ(θ, ϕ)dΩ situat˘ a perpendicular pe axa fasciculului. Sect¸iunea total˘a de dispersie este prin definit¸ie: Z σ=

σ(θ, ϕ)dΩ .

(4)

Cum putem orienta axele de coordonate conform alegerii dorite, o vom face ˆın a¸sa fel ca axa fasciculului incident de particule s˘ a coincid˘ a cu axa z (aceasta pentru simplificarea calculelor, unde vom folosi coordonatele sferice). ˆIn regiunea negativ˘a a axei, pentru t negativ mare, particula va fi practic liber˘ a : nu este afectat˘a de V (r) ¸si starea sa se poate reprezenta prin unde plane. Prin urmare funct¸ia de und˘a trebuie s˘ a cont¸in˘ a termeni de forma 134

eikz , unde k este constanta care apare ˆın ecuat¸ia Helmholtz. Prin analogie cu optica, forma undei dispersate este: f (r) =

eikr . r

(5)

ˆIntr-adev˘ ar: (∇2 + k2 )eikr 6= 0

(6)

¸si

eikr =0 (7) r pentru r > r0 , unde r0 este orice num˘ ar pozitiv. Presupunem c˘ a mi¸scarea particulei este descris˘a de Hamiltonianul: (∇2 + k2 )

H=

p2 + V = H0 + V . 2µ

(8)

V este diferit de zero numai ˆıntr-o mic˘ a vecin˘ atate ˆın jurul originii. S ¸ tim c˘ a un pachet de unde ˆın t = 0 se poate scrie: ψ(r, 0) =

1 3

(2π) 2

Z

ϕ(k) exp[ik · (r − r0 )]d3 k ,

(9)

unde ψ este o funct¸ie semnificativ nenul˘ a ˆın segmentul (l˘argimea) ∆k centrat ˆın jurul lui k0 . Presupunem deasemena c˘a k0 este paralel la r0 , dar de sens opus. Pentru a vedea ˆın mod cantitativ ce se ˆıntˆımpl˘ a cu pachetul de unde cˆınd la un moment ulterior ciocne¸se ¸tinta ¸si este dispersat de aceasta ne putem folosi de dezvoltarea lui ψ(r, 0) ˆın funct¸iile proprii ψn (r) ale lui H, P respectiv ψ(r, 0) = n cn ψn (r). Astfel, pachetul de unde la timpul t este: ψ(r, t) =

X n

i cn ϕn (r) exp(− En t) . ¯h

(10)

Aceasta este o funct¸ie proprie a operatorului H0 ¸si nu a lui H, dar putem substitui aceste funct¸ii proprii cu funct¸ii proprii particulare ale lui H, pe care (+) le vom nota cu ψk (r). Forma asimptotic˘a a acestora din urm˘a este de tipul: (+)

ψk (r) ≃ eik·r + f (r) unde, cum este uzual, p = h ¯ k ¸si E = 135

eikr , r

¯ 2 k2 h 2m .

(11)

Aceasta corespunde unei unde plane ca fascicul incident ¸si o und˘a sferic˘a divergent˘ a, despre care se poate spune c˘a este rezultatul interact¸iunii ˆıntre fascicul ¸si ¸tint˘ a. Aceste solut¸ii ale ec. Schr¨ odinger exist˘a ˆın realitate, ¸si putem dezvolta ψ(r, 0) ˆın unde plane ¸si ψk (r): ψ(r, 0) =

Z

ϕ(k) exp(−ik · r0 )ψk (r)d3 k ,

(12)

2 2

k . Se poate spune deci c˘a unda sferic˘a divergent˘a nu are nici unde h ¯ ω = ¯h2m o contribut¸ie la pachetul de unde init¸ial.

ˆImpr˘ a¸stierea unui pachet de unde Orice und˘a sufer˘ a ˆın cursul propag˘arii o dispersie. De aceea nu se poate ignora efectul undei divergente din acest punct de vedere. Se poate folosi urm˘atorul truc:

ω=

h ¯ ¯h ¯ 2 h k = [k0 + (k − k0 )]2 = [2k0 · k − k20 + (k − k0 )2 ] , (13) 2m 2m 2m

pentru a neglija ultimul termen ˆın paranteze. Substituind ω ˆın ψ, cerem ca: 2mr0 h ¯ 2 si deci: 2m (k − k0 ) T ≪ 1, unde T ≃ ¯ hk0 ¸ (∆k)2 r0 ≪1. k0

(14)

Aceast˘a condit¸ie ne spune c˘a pachetul de unde nu se disperseaz˘ a ˆın mod apreciabil chiar ¸si atunci cˆınd se deplaseaz˘a pe o distant¸˘a macroscopic˘a r0 . Alegˆınd direct¸ia vectorului k al undei incidente de-a lungul uneia dintre cele trei direct¸ii carteziene, putem scrie ˆın coordonate sferice ikr ψk (r, θ, ϕ) ≃ eikz + f (k,θ,ϕ)e . r ˆIntrucˆıt H, operatorul Hamiltonian (que hemos considerat pˆın˘ a acum nu ca operator pentru c˘ a rezultatele sunt acelea¸si) este invariant la rotat¸iile ˆın axa z, putem alege condit¸iile de frontier˘ a deasemenea invariante, astfel c˘a : f (θ)eikr ikz . ψk (r, θ, ϕ) ≃ e + r Acest tip de funct¸ii se cunosc ca unde de ˆımpr˘a¸stiere. Coeficientul f (θ) al undei divergente se cunoa¸ste ca amplitudine de ˆımpr˘a¸stiere.

136

Amplitudinea de probabilitate ˆın ˆımpr˘ a¸stieri Ecuat¸ia Schr¨ odinger de rezolvat este: i¯ h

∂ψ ¯h2 2 =− ∇ ψ + V (r, t)ψ . ∂t 2m

(15)

Expresia P (r, t) = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t) = |ψ(r, t)|2

(16)

se interpreteaz˘a , cf. lui Max Born, ca o densitate de probabilitate dac˘ a funct¸ia de und˘a se normalizeaz˘a astfel ca: Z

|ψ(r, t)|2 d3 r = 1 .

(17)

Desigur integrala de normalizare a lui ψ trebuie s˘ a fie independent˘a de timp. Acest lucru se poate nota ˆın felul urm˘ator: I=

∂ ∂t

Z

P (r, t)d3 r =



Z



(ψ ∗

∂ψ ∂ψ ∗ + ψ)d3 r ∂t ∂t

(18)

¸si din ec. Schr¨ odinger: i¯h 2 i ∂ψ = ∇ ψ − V (r, t)ψ ∂t 2m ¯h

(19)

rezult˘ a: i¯ h I= 2m

Z

i¯h [ψ ∇ − (∇ ψ )ψ]d r = 2m Ω ∗

2

2

i¯ h = 2m



3

Z

A

Z



∇ · [ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ]d3 r =

[ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ]n dA ,

(20)

unde s-a folosit teorema Green pentru evaluarea integralei de volum. dA este elementul de suprafat¸˘ a pe frontiera care delimiteaz˘ a regiunea de integrare ¸si [ ]n denot˘ a componenta ˆın direct¸ia normal˘a la elementul de suprafat¸˘a dA. Definind: ¯h S(r, t) = [ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ] , (21) 2im obt¸inem: ∂ I= ∂t

Z



3

P (r, t)d r = −

Z



137

3

∇ · Sd r = −

Z

A

Sn dA ,

(22)

pentru pachete de und˘a ˆın care ψ se pune zero la distant¸e mari ¸si integrala de normalizare converge, integrala de suprafat¸˘a este zero cˆınd Ω este tot spat¸iul. Se poate demonstra (se poate consulta P. Dennery & A. Krzywicki, Mathematical methods for physicists) c˘a integrala de suprafat¸˘a este zero, astfel c˘ a integrala de normalizare este constant˘a ˆın timp ¸si deci se satisface cerint¸a init¸ial˘ a . Din aceea¸si ecuat¸ie pentru S obt¸inem: ∂P (r, t) + ∇ · S(r, t) = 0 , ∂t

(23)

care este o ecuat¸ie de continuitate cu fluxul de densitate P ¸si curent de densitate S, f˘ar˘ a nici un fel de surse (pozitive sau negative). Dac˘a interpret˘am h ¯ ∇ ca un fel de ‘operator’ vitez˘a (ca ¸si ˆın cazul timpului nu se poate vorbi im de un operator vitez˘a ˆın sens riguros), atunci: ¯h ∇ψ) . (24) im Calculul efectiv al densit˘a¸tii de curent pentru o und˘a de ˆımpr˘a¸stiere este de hk 2 tip ‘truc’ ¸si nu ˆıl consider˘am ilustrativ. Rezultatul final este jr = mr 2 |f (θ)| , unde direct¸ia θ = 0 nu se include. S(r, t) = Re(ψ ∗

Funct¸ia Green ˆın teoria de ˆımpr˘ a¸stiere 2

h ¯ ∇2 +V )ψ = O alt˘ a form˘ a de a scrie ecuat¸ia Schr¨ odinger de rezolvat este (− 2m 2mE 2mV Eψ sau (∇2 + k2 )ψ = U ψ unde: k2 = ¯h2 ¸si U = ¯h2 . Rezult˘a mai convenabil de transformat aceast˘ a ecuat¸ie la o form˘a integral˘ a . Aceasta se poate face dac˘ a vom considera U ψ din partea dreapt˘a a ecuat¸iei ca o inomogeneitate, ceea ce ne permite s˘ a construim solut¸ia ecuat¸iei cu ajutorul funct¸iei Green (nucleu integral), care prin definit¸ie este solut¸ia lui: (∇2 + k2 )G(r, r′ ) = δ(r − r′ ) . (25)

Solut¸ia ecuat¸iei Schr¨ odinger se d˘ a ca suma solut¸iei ecuat¸iei omogene ¸si a solut¸iei inomogene de tip Green: ψ(r) = λ(r) −

Z

G(r, r′ )U(r′ )ψ(r′ )d3 r′ .

(26)

C˘ aut˘ am acum o funct¸ie G care s˘ a fie un produs de funt¸ii linear independente, cum sunt de exemplu undele plane: ′

G(r, r =

Z



A(q)eiq·(r−r ) dq . 138

(27)

Folosind ecuat¸ia 25, avem: Z



A(q)(k2 − q 2 )eiq·(r−r ) dq = δ(r − r′ ) ,

(28)

care se transform˘a ˆıntr-o identitate dac˘ a: A(q) = (2π)−3 (k2 − q 2 )−1 .

(29)

De aici rezult˘ a: 1 G(r, r ) = (2π)3 ′

Z

eiqR 3 d q, k2 − q 2

(30)

cu R = |r − r′ |. Dup˘ a un calcul folosind metode de variabil˘ a complex˘a 10 , ajungem la: 1 eikR . (31) G(R) = − 4π R Aceast˘a funct¸ie nu este determinat˘a ˆın mod univoc; funct¸ia Green poate fi oricare solut¸ie a ecuat¸iei 25; Alegerea uneia particulare se face prin impunerea condit¸iilor de frontier˘ a asupra funct¸iilor proprii ψk (r). Funct¸ia Green obt¸inut˘ a ˆın aceste condit¸ii este: ′

eik|r−r | G(r, r ) = − 4π|r − r′ | ′

!

.

(32)

ˆIn acest fel, ajungem la ecuat¸ia integral˘ a pentru funct¸ia de und˘a de ciocnire: m ψ(k, r) = ϕ(k, r) − 2π¯h2

Z



eik|r−r | U (r′ )ψ(k, r)dr , r − r′

(33)

Z

(34)

unde ϕ este o solut¸ie a ecuat¸iei Helmholtz. Notˆınd |r − r′ | = R: 2

2

2

2

(∇ + k )ψ = (∇ + k )[ϕ +

G(r, r′ )U (r′ )ψ(r′ )d3 r ′ ]

¸si presupunˆınd c˘ a putem schimba ordinea operat¸iilor ¸si pune operatorul ∇2 ˆın interiorul integralei: (∇2 + k2 )ψ =

Z

(∇2 + k2 )G(r, r′ )U (r′ )ψ(r′ )d3 r ′ = U (r)ψ(r) ,

ceea ce ne arat˘ a c˘ a se verific˘ a faptul c˘a G(R) = 10

Se poate vedea problema 7.1.

139

1 eikR 4π R

este solut¸ie.

(35)

Teorema optic˘ a Sect¸iunea diferent¸ial˘ a total˘ a este dat˘ a de: σtot (k) =

Z

dσ dΩ . dΩ

(36)

S˘ a exprim˘ am acum f (θ) ca funct¸ie de ¸siftul de faz˘a Sl (k) = e2iδl (k) ˆın forma: ∞ 1X (2l + 1)eiδi (k) sin δl (k)Pl (cos θ) (37) f (θ) = k l=0 atunci σtot = Z

[ [ Folosind acum

R

Z

∞ 1X [ (2l + 1)eiδl (k) sin δl (k)Pl (cos θ)] k l=0

∞ 1X (2l′ + 1)eiδl′ (k) sin δl′ (k)Pl′ (cos θ)] . k l′ =0

Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) = σtot =

4π ′ 2l+1 δll

(38)

obt¸inem

∞ 4π X (2l + 1) sin δl (k)2 . k2 l=0

(39)

Ceea ce ne intereseaz˘ a este c˘a : ∞ ∞ 1X 1X iδl (k) Imf (0) = (2l + 1)Im[e sin δl (k)]Pl (1) = (2l + 1) sin δl (k)2 = k l=0 k l=0

k σtot . (40) 4π Aceast˘a relat¸ie este cunoscut˘a ca teorema optic˘ a . Semnificat¸ia sa fizic˘ a este c˘ a interferent¸a undei incidente cu unda dispersat˘ a la unghi zero produce “ie¸sirea” particulei din unda incident˘a , ceea ce permite conservarea probabilit˘a¸tii.

Aproximat¸ia Born S˘ a consider˘am situat¸ia din Fig. 7.2:

140

M

r

|r − r’ |

u

O

P

L

Fig. 7.2

Punctul de observare M este departe de P, care se afl˘ a ˆın regiunea de ′ influent¸˘ a a potent¸ialului U , cu r ≫ L, r ≪ l. Segmentul MP, care corespunde la |r − r′ |, este ˆın aceste condit¸ii geometrice aproximativ egal cu proiect¸ia lui MP pe MO: |r − r′ | ≃ r − u · r′ ,

(41)

unde u este vectorul unitar (versor) ˆın direct¸ia r. Atunci, pentru r mare: ′

1 eikr −iku·r 1 eik|r−r | ≃ − e . G=− r→∞ 4π |r − r′ | 4π r

(42)

Substituim G ˆın expresia integral˘ a a funct¸iei de und˘a de ciocnire pentru a obt¸ine: Z 1 eikr ψ(r) = eikz − e−iku·r U (r′ )ψ(r′ )d3 r ′ . (43) 4π r Aceasta deja nu mai este o funct¸ie de distant¸a r = OM , ci numai de θ ¸si ψ; atunci: Z 1 f (θ, ψ) = − e−iku ·r U (r′ )ψ(r′ )d3 r ′ . (44) 4π Definim acum vectorul de und˘a incident ki ca un vector de modul k dirijat de-a lungul axei polare a fasciculului astfel c˘a : eikz = eiki ·r ; similar, kd , de modul k ¸si cu direct¸ia fixat˘a prin θ ¸si ϕ, se nume¸ste vector de und˘a ‘deplasat’ ˆın direct¸ia (θ, ϕ): kd = ku Vectorul de und˘a transferat ˆın direct¸ia (θ, ϕ) se introduce prin: K = kd − ki . 141

kd K θ

ki Fig. 7.3

Cu aceasta, putem scrie ecuat¸ia integral˘ a de dispersie ˆın forma: ψ(r) = eiki ·r +

Z

G(r, r′ )U (r′ )ψ(r′ )d3 r ′

(45)

Acum putem ˆıncerca rezolvarea acestei ecuat¸ii ˆın mod iterativ. Punˆınd r → r′ ; r′ → r′′ , putem scrie: ′

ψ(r′ ) = eiki ·r +

Z

G(r′ , r′′ )U (r′′ )ψ(r′′ )d3 r ′′ .

Z

G(r, r′ )U (r′ )eiki ·r d3 r ′ +

(46)

Substituind ˆın 45 obt¸inem: ψ(r) = eiki ·r +



Z Z

G(r, r′ )U (r′ )G(r′ , r′′ )U (r′′ )ψ(r′′ )d3 r ′′ d3 r ′ .

Z Z

G(r, r′ )U (r′ )G(r′ , r′′ )U (r′′ )eiki ·r d3 r ′ d3 r ′′ +

(47)

Primii doi termeni din partea dreapt˘a sunt cunoscut¸i ¸si numai al treilea cont¸ine funct¸ia necunoscut˘ a ψ(r). Putem repeta acest procedeu: ˆınlocuind r cu r′′ ¸si r′ cu r′′′ obt¸inem ψ(r′′ ) , pe care putem s˘ a o reintroducem ˆın ec. 47: Z ′ ψ(r) = eiki ·r + G(r, r′ )U (r′ )eiki ·r + Z Z Z

′′

′′

G(r, r′ )U (r′ )G(r′ , r′′ )U (r′′ )eiki ·r G(r′′ , r′′′ )U (r′′′ )ψ(r′′′ ) .

(48)

Primii trei termeni sunt cunoscut¸i; funct¸ia necunoscut˘ a ψ(r) se afl˘ a ˆın al ˆ patrulea termen. In acest fel, prin iterat¸ii construim funct¸ia de und˘a de dispersie stat¸ionar˘ a . Not˘am c˘ a fiecare termen ˆın dezvoltarea ˆın serie prezint˘a o putere superioar˘ a ˆın potent¸ial fat¸˘a de cel precedent. Putem continua ˆın acest fel pˆın˘ a cˆınd obt¸inem o expresie neglijabil˘a ˆın partea dreapt˘a , ¸si obt¸inem ψ(r) ˆın funct¸ie numai de m˘ arimi cunoscute. 142

Substituind expresia lui ψ(r) ˆın f (θ, ϕ) obt¸inem dezvoltarea ˆın serie Born a amplitudinii de ˆımpr˘a¸stiere. Limitˆındu-ne la primul ordin ˆın U , trebuie ′ s˘ a se fac˘a doar substituirea lui ψ(r′ ) cu eiki ·r ˆın partea dreapt˘a a ecuat¸iei pentru a obt¸ine: f (B) (θ, ϕ) =

−1 4π

Z





eiki ·r U (r′ )e−iku·r d3 r ′ = Z

−1 4π

Z



e−i(kd −ki )·r U (r′ )d3 r ′ =

′ −1 (49) e−iK·r U (r′ )d3 r ′ 4π K este vectorul de und˘a transferat definit mai ˆınaite. Vedem c˘a sect¸iunea de dispersie se relat¸ioneaz˘ a ˆın mod simplu cu potent¸ialul, dac˘ a ¸tinem cont h2 ¯ 2 de V (r) = 2m U (r) ¸si σ(θ, ϕ) = |f (θ, ϕ)| . Rezultatul este:

σ

(B)

m2 (θ, ϕ) = 2 4 | 4π ¯h

Z

e−iK·r V (r)d3 r|2

(50)

Direct¸ia ¸si modulul vectorului undei dispersate K depinde de modulul k al lui ki ¸si kd precum ¸si de direct¸ia de ˆımpr˘a¸stiere (θ, ϕ). Pentru θ ¸si ϕ dat¸i, sect¸iunea eficace este o funct¸ie de k, energia fasciculului incident. Analog, pentru o energie dat˘ a , σ (B) este o funct¸ie de θ ¸si ϕ. Aproximat¸ia Born permite ca studiind variat¸ia sect¸iunii eficace diferent¸iale ˆın funct¸ie de direct¸ia de ˆımpr˘a¸stiere ¸si energia incident˘a s˘ a obt¸inem informat¸ii asupra potent¸ialului V (r). 7N. Not˘ a: Unul dintre primele articole de ˆımpr˘a¸stiere cuantic˘a este: M. Born, “Quantenmechanik der Stossvorg¨ ange” [“Mecanica cuantic˘a a proceselor de ciocnire”], Zf. f. Physik 37, 863-867 (1926)

7P. Probleme Problema 7.1 Calculul de variabil˘ a complex˘ a a funct¸iei Green Reamintim c˘ a am obt ¸ inut deja rezultatul: 1 R eiqR 3 d q , cu R = |r − r′ |. Cum d3 q = q 2 sin θdqdθdφ, G(r, r′ ) = (2π) 3 k 2 −q 2 ajungem, dup˘a ce integr˘ am ˆın variabilele unghiulare , la: i R ∞ (e−iqR −eiqR ) ′ G(r, r ) = 4π2 R −∞ qdq . k 2 −q 2 i a separ˘am integrala ˆın dou˘ a p˘ art¸i: S˘ a punem: C = 4π2 R ; ¸si s˘ 143

R

−iqR

R

iqR

∞ e ∞ e C( −∞ k 2 −q 2 qdq − −∞ k 2 −q 2 qdq) . S˘ a facem acum q → −q ˆın prima integral˘ a: R −∞ eiqR R ∞ eiqR R ∞ e−i(−q)R (−q)d(−q) = qdq = − −∞ ∞ −∞ k 2 −(−q)2 k 2 −q 2 k 2 −q 2 qdq astfel c˘ a: R ∞ qeiqR dq) . G(r, r′ ) = −2C( −∞ k 2 −q 2 Substituind C, obt¸inem: R ∞ qeiqR G(r, r′ ) = 2π−i2 R −∞ dq k 2 −q 2 ˆIn aceast˘ a form˘ a integrala se poate evalua cu ajutorul reziduurilor polilor pe care ˆıi posed˘ a , folosind metodele de variabil˘ a complex˘a . Not˘am c˘a exist˘a poli simpli ˆın pozit¸iile q =+ k. −

Fig. 7.4: Reguli de contur ˆın jurul polilor pentru G+ ¸si G−

Folosim conturul din figura 7.4, care ˆınconjoar˘ a polii ˆın modul ar˘ atat, pentru c˘ a acesta d˘ a efectul fizic corect, pentru c˘a de acord cu teorema reziduurilor, 1 eikr (Imk > 0) , G(r) = − 4π r 1 e−ikr G(r) = − 4π r (Imk < 0) Solut¸ia care ne intereseaz˘ a este prima, pentru c˘a d˘ a unde dispersate divergente, ˆın timp ce a doua solut¸ie reprezint˘a unde dispersate convergente. Mai mult, combinat¸ia linear˘ a 1 cos kr 1 lim [G + G ] = − 4π ǫ→0 k+iǫ k−iǫ 2 r corespunde undelor stat¸ionare.

144

Evaluarea formal˘ a a integralei se poate face luˆınd k2 − q 2 → k2 + iǫ − q 2 , R ∞ qeiqR R∞ qeiqR astfel c˘ a : −∞ k2 −q2 dq → −∞ (k 2 +iǫ)−q 2 dq . Aceasta este posibil pentru R > 0, de aceea conturul pentru calcul va fi situat√ ˆın semiplanul complex superior. Astfel, polii integrantului se afl˘ a ˆın: 2 + iǫ ≃+ (k + iǫ ). Procedeul de luare a limitei cˆ k ınd ǫ → 0 trebuie q =+ − − 2k efectuat dup˘ a evaluarea integralei. Problema 7.2 Forma asimptotic˘ a a funct¸iei radiale Cum s-a v˘azut deja ˆın capitolul Atomul de hidrogen partea radial˘ a a ec. Schr¨ odinger se poate scrie: l(l+1)¯ h2 2 d 2mE 2m d2 Rnlm (r) = 0 . ( dr 2 + r dr )Rnlm (r) − 2 ]Rnlm (r) + 2 [V (r) + 2mr h ¯ h2 ¯ n, l, m sunt numerele cuantice sferice. De acum ˆınainte nu se vor mai scrie din motive de comoditate. R este funct¸ia de und˘a radial˘ a (depinde numai de r). Vom presupune c˘ a potent¸ialele cad la zero mai repede decˆıt 1/r, ¸si ˆın plus c˘ a limr→0 r 2 V (r) = 0. 1 d2 d2 2 d u Folosim acum u(r) = rR, ¸si cum: ( dr 2 + r dr ) r = r dr 2 u, avem d2 dr 2 u

2

h + 2m [E − V (r) − l(l+1)¯ 2mr 2 ]u = 0 . h2 ¯ Not˘am c˘ a potent¸ialul prezint˘a un termen suplimentar: h2 V (r) → V (r) + l(l+1)¯ 2mr 2 , care corespunde unei bariere centrifugale repulsive. Pentru o particul˘a liber˘ a V (r) = 0 ¸si ecuat¸ia devine l(l+1) d2 2 d 2 [ dr 2 + r dr ) − r 2 ]R + k R = 0 . Introducˆınd variabila ρ = kr, obt¸inem l(l+1) d2 R 2 dR dρ2 + ρ dρ − ρ2 R + R = 0 . Solut¸iile acestei ecuat¸ii sunt a¸sa numitele funct¸ii Bessel sferice. Solut¸ia regular˘a este: d l sin ρ )( ρ ), jl (ρ) = (−ρ)l ( ρ1 dρ iar cea iregular˘a : d l cos ρ )( ρ ). nl (ρ) = −(−ρ)l ( 1ρ dρ Pentru ρ mare, funct¸iile de interes sunt funct¸iile Hankel sferice: (1) (2) (1) hl (ρ) = jl (ρ) + inl (ρ) ¸si hl (ρ) = [hl (ρ)]∗ . De interes deosebit este comportamentul pentru ρ ≫ l:

jl (ρ) ≃

lπ 1 sin(ρ − ) ρ 2

1 lπ nl (ρ) ≃ − cos(ρ − ) . ρ 2 145

(51) (52)

¸si atunci (1) hl ≃ − ρi ei(ρ−lπ/2) . Solut¸ia regular˘a ˆın origine este: Rl (r) = jl (kr) Forma asimtotic˘ a este (folosind ec. 51) 1 [e−ikr−lπ/2 − eikr−lπ/2 ] . Rl (r) ≃ 2ikr Problema 7.3 Aproximat¸ia Born pentru potent¸iale Yukawa S˘ a consider˘am un potent¸ial de forma: e−αr , (53) r cu V0 ¸si α constante reale ¸si α pozitiv˘a . Potent¸ialul este atractiv sau repulsiv ˆın funct¸ie de semnul lui V0 ; cu cˆıt este mai mare |V0 |, cu atˆıt este mai intens potent¸ialul. Presupunem c˘a |V0 | este suficient de mic pentru ca aproximat¸ia Born s˘ a funct¸ioneze. Conform formulei obt¸inute anterior, amplitudinea de dispersie este dat˘ a de: V (r) = V0

R

−αr

1 2mV0 f (B) (θ, ϕ) = − 4π e−iK·r e r d3 r . h2 ¯ Cum acest potent¸ial depinde numai de r, integr˘ arile unghiulare se pot face u¸sor, ajungˆınd astfel laR forma: −αr 1 2mV0 4π ∞ sin |K|r e r rdr . f (B) (θ, ϕ) = 4π h2 |K| 0 ¯ A¸sadar, obt¸inem: 1 0 . f (B) (θ, ϕ) = − 2mV h2 α2 +|K|2 ¯

Din figur˘a se observ˘ a c˘ a : |K| = 2k sin 2θ ; prin urmare:

σ (B) (θ) =

4m2 V02 1 h4 [α2 +4k 2 sin ¯

θ2 2 ] 2

.

Sect¸iunea total˘ a se obt¸ine prin integrare: R (B) 4m2 V 2 (B) σ = σ (θ)dΩ = ¯h4 0 α2 (α4π 2 +4k 2 ) .

146

8. UNDE PART ¸ IALE Introducere Metoda undelor part¸iale se refer˘a la particule care interact¸ioneaz˘ a ˆıntr-o regiune restrˆıns˘ a de spat¸iu cu o alta, care prin caracteristicile sale este cunoscut˘ a ca centru de ˆımpr˘a¸stiere (de exemplu faptul c˘a se poate considera fix˘a ˆ ). In afara acestei regiuni, interact¸ia ˆıntre cele dou˘ a particule se poate considera neglijabil˘ a . ˆIn acest fel este posibil s˘ a se descrie particula ˆımpr˘a¸stiat˘ a cu urm˘atorul Hamiltonian: H = H0 + V ,

(1)

unde H0 corespunde Hamiltonianului de particul˘a liber˘ a . Deci problema noastr˘a este de a rezolva urm˘atoarea ecuat¸ie: (H0 + V ) | ψi = E | ψi .

(2)

Este evident c˘ a spectrul va fi continuu (studiem cazul ˆımpr˘a¸stierii elastice). Solut¸ia ecuat¸iei precedente este dat˘ a de: | ψi =

1 V | ψi+ | φi . E − H0

(3)

Cu o analiz˘ a u¸soar˘ a putem s˘ a vedem c˘a pentru V = 0 obt¸inem solut¸ia | φi, adic˘ a , solut¸ia corespunz˘atoare particulei libere. Trebuie notat c˘a 1 ˆıntr-un anumit sens este anomal, pentru c˘a are un continuu operatorul E−H 0 de poli pe axa real˘ a care coincid cu valorile proprii ale lui H0 . Pentru a ‘sc˘ apa’ de aceast˘ a problem˘a s˘ a producem o mic˘ a deplasare ˆın direct¸ia imaginar˘a (±iǫ) a t˘ aieturii de pe axa real˘ a: | ψ± i =

1 V | ψ ± i+ | φi E − H0 ± iε

(4)

Aceast˘a ecuat¸ie este cunoscut˘a ca ecuat¸ia Lippmann-Schwinger. ˆIn final deplasarea polilor va fi ˆın sens pozitiv de la axa imaginar˘a (pentru ca principiul de cauzalitate s˘ a nu fie violat [cf. Feynman]). S˘ a lu˘ am reprezentarea x:   Z 1 ′ ′ ′ hx | ψ ± i = hx | φi + d3 x x| |x hx | V | ψ ± i . (5) E − H0 ± iε 147

Primul termen din partea dreapt˘a corespunde unei particule libere ˆın timp ce al doilea termen se interpreteaz˘a ca o und˘a sferic˘a care ‘iese’ din centrul de ˆımpr˘a¸stiere. Nucleul integralei anterioare se poate asocia cu o funct¸ie Green (sau propagator) ¸si este foarte simplu s˘ a se calculeze: 

′ ¯2 h 1 |x G± (x, x ) = x| 2m E − H0 ± iε ′





1 e±ik|x−x | , =− ′ 4π | x − x |

(6)

unde E = h ¯ 2 k2 /2m. A¸sa cum am v˘azut mai ˆınainte funct¸ia de und˘a se poate scrie ca o und˘a plan˘ a plus una sferic˘a care iese din centrul de ˆımpr˘a¸stiere (pˆın˘ a la un factor constant): hx | ψ + i = ek·x +

eikr ′ f (k, k ) . r

(7)



M˘arimea f (k, k ) care apare ˆın ec. 7 se cunoa¸ste ca amplitudine de dispersie ¸si se poate scrie explicit ˆın forma: ′

f (k, k ) = −

1 2m ′ (2π)3 2 hk | V | ψ + i . 4π ¯h

(8)

S˘ a definim acum un operator T astfel c˘a : T | φi = V | ψ + i

(9)

Dac˘a multiplic˘ am ecuat¸ia Lippmann-Schwinger cu V ¸si folosim definit¸ia anterioar˘ a obt¸inem: T | φi = V | φi + V

1 T | φi . E − H0 + iε

(10)

Iterˆınd ecuat¸ia anterioar˘ a (ca ˆın teoria de perturbat¸ii) putem obt¸ine aproximat¸ia Born ¸si corect¸iile sale de ordin superior.

Metoda undelor part¸iale S˘ a consider˘am acum cazul unui potent¸ial central nenul. ˆIn acest caz, pe ~ 2 ¸si L; ~ de aici se baza definit¸iei (9) se deduce c˘a operatorul T comut˘ a cu L spune c˘ a T este un operator scalar. ˆIn acest fel pentru a u¸sura calculele este convenabil s˘ a se foloseasc˘a coordonate sferice, pentru c˘a dat˘ a simetria

148

problemei, operatorul T va fi diagonal. Acum, s˘ a vedem ce form˘a ia expresia (8) pentru amplitudinea de dispersie: ′

f (k, k ) = const.

X Z ′

dE



lml m

unde const. =







′ ′



′ ′



dE hk | E l m ihE l m | T | ElmihElm | ki , (11)

1 2m − 4π (2π)3 . h2 ¯

f (k, k ) = −

Z

Dup˘ a cˆıteva calcule se obt¸ine:

4π 2 X X ′ ∗ Tl (E)Ylm (k )Ylm (k) . k l m

(12)

Alegˆınd sistemul de coordonate astfel ca vectorul k s˘ a aib˘ a aceea¸si direct¸ie cu axa orientat˘ a z, se ajunge la concluzia c˘a la amplitudinea de dispersie vor contribui numai armonicele sferice cu m egal cu zero; dac˘ a definim θ ca ′ unghiul ˆıntre k ¸si k vom avea: ′

Yl0 (k ) =

s

2l + 1 Pl (cosθ) . 4π

(13)

Cu urm˘atoarea definit¸ie: πTl (E) , k ec. (12) se poate scrie ˆın forma urm˘atoare: fl (k) ≡ −



f (k, k ) = f (θ) =

∞ X

(14)

(2l + 1)fl (k)Pl (cosθ) .

(15)

l=0

Pentru fl (k) se poate da o interpretare simpl˘a pe baza dezvolt˘arii unei unde plane ˆın unde sferice. Astfel putem scrie funct¸ia hx | ψ + i pentru valori mari ale lui r ˆın forma "

#

1 eikr ikz = hx | ψ i = e + f (θ) r (2π)3/2 +

"

X 1 eikr − ei(kr−lπ) (2l + 1)P (cos θ) l 2ikr (2π)3/2 l "

!

+

X l

eikr (2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) r

X Pl (cos θ) ei(kr−lπ) 1 (2l + 1) − [1 + 2ikf (k)] = l 2ik r r (2π)3/2 l

eikr

#

.

(16)

Aceast˘a expresie se poate interpreta dup˘a cum urmeaz˘a . Cei doi termeni exponent¸iali corespund unor unde sferice, primul unei unde emergente ¸si al doilea uneia convergente; ˆın plus efectul de ˆımpr˘a¸stiere se vede convenabil ˆın coeficientul undei emergente, care este egal cu unu cˆınd nu exist˘a dispersor. 149

#

Deplas˘ ari (¸sifturi) de faz˘ a S˘ a ne imagin˘ am acum o suprafat¸˘a ˆınchis˘ a centrat˘ a ˆın dispersor. Dac˘a presupunem c˘ a nu exist˘a creare ¸si nici anihilare de particule se verific˘ a: Z

j · dS = 0 ,

(17)

unde regiunea de integrare este suprafat¸ definit˘a mai ˆınainte ¸si j este densitatea de curent de probabilitate. ˆIn plus, datorit˘ a conserv˘ arii momentului cinetic ecuat¸ia anterioar˘ a trebuie s˘ a se verifice pentru fiecare und˘a part¸ial˘a (cu alte cuvinte, toate undele part¸iale au diferite valori ale proiect¸iilor momentului cinetic, ceea ce le face diferite. Formularea teoretic˘ a ar fi echivalent˘ a dac˘ a se consider˘a pachetul de unde ca un flux de particule care nu interact¸ioneaz˘ a ˆıntre ele; mai mult, pentru c˘a potent¸ialul problemei noastre este central, momentul cinetic al fiec˘ arei “particule” se va conserva ceea ce ne permite s˘ a spunem c˘ a particulele continu˘ a s˘ a fie acelea¸si). Cu aceste considerat¸ii, putem s˘ a afirm˘am c˘a atˆıt unda divergent˘ a cˆıt ¸si cea emergent˘a difer˘ a cel mult printr-un factor de faz˘a . Deci, dac˘ a definim: Sl (k) ≡ 1 + 2ikfl (k)

(18)

| Sl (k) |= 1 .

(19)

trebuie s˘ a avem Rezultatele anterioare se pot interpreta cu ajutorul conserv˘ arii probabilit˘ a¸tilor ¸si erau de ‘a¸steptat’ pentru c˘a nu am presupus c˘a exist˘a creare ¸si anihilare de particule, astfel c˘a influent¸a centrului dispersor consist˘a pur ¸si simplu ˆın a ad˘ auga un factor de faz˘a ˆın componentele undelor emergente ¸si ˆın virtutea unitarit˘a¸tii factorului de faz˘a ˆıl putem scrie ˆın forma: Sl = e2iδl ,

(20)

unde δl este real ¸si este funct¸ie de k. Pe baza definit¸iei (18) putem s˘ a scriem: fl =

eiδl sin(δl ) 1 e2iδl − 1 = = . 2ik k k cot(δl ) − ik

Sect¸iunea total de ˆımpr˘a¸stiere ia forma urm˘atoare: σtotal =

Z

| f (θ)|2 dΩ = 150

(21)

1 k2

Z

0



Z

1

d(cos(θ))



−1

XX l′

l

=



(2l + 1)(2l + 1)eiδl sin(δl )eiδl′ sin(δl′ )Pl Pl′

4π X (2l + 1) sin 2 (δl′ ) . k2 l

(22)

Determinarea ¸sifturilor de faz˘ a S˘ a consider˘am acum un potent¸ial V astfel c˘a se anul˘ a pentru r > R, unde parametrul R se cunoa¸ste ca “raz˘ a de act¸iune a potent¸ialului”, astfel c˘a regiunea r > R evident trebuie s˘ a corespund˘ a unei unde sferice liber˘ a (neperturbat˘a ). Pe de alt˘ a parte, forma cea mai general˘ a de dezvoltare a unei unde plane ˆın unde sferice este: hx | ψ + i =

X 1 il (2l + 1)Al (r)Pl (cos θ) (r > R) , (2π)3/2 l

(23)

unde coeficientul Al este prin definit¸ie: (2) (2)

(1) (1)

Al = cl hl (kr) + cl hl (kr) , (1)

¸si unde hl tice sunt:

(2)

¸si hl

(24)

sunt funct¸iile Hankel sferice ale c˘aror forme asimpto(1)

hl



ei(kr−lπ/2) ikr

e−i(kr−lπ/2) . ikr Examinˆınd forma asimptotic˘a a expresiei (23) care este: (2)

hl

∼−

"

X e−i(kr−lπ) eikr 1 − (2l + 1)P l 2ikr 2ikr (2π)3/2 l

#

,

(25)

se poate vedea c˘ a: (1)

cl

1 = e2iδl 2

(2)

cl

=

1 . 2

(26)

Aceasta permite scrierea funct¸iei de und˘a radial˘ a pentru r > R ˆın forma: Al = e2iδl [cos δl jl (kr) − sin δl nl (kr)] . 151

(27)

Folosind ecuat¸ia anterioar˘ a putem evalua evalua derivata sa logaritmic˘ a ˆın r=R, i.e., exact la frontiera zonei de act¸iune a potent¸ialului: βl ≡



r dAl Al dr



r=R

"





j cos δl − nl (kR) sin δl = kR l jl cos δl − nl (kR) sin δl

#

.

(28)



jl este derivata lui jl ˆın raport cu kr ¸si evaluat˘ a ˆın r = R. Alt rezultat important pe care ˆıl putem obt¸ine cunoscˆınd resultatul anterior este ¸siftul de faz˘a : ′ kRjl (kR) − βl jl (kR) . (29) tan δl = ′ kRnl (kR) − βl nl (kR) Pentru a obt¸ine solut¸ia completa a problemei ˆın acest caz este necesar s˘ a se fac˘a calculele pentru r < R, adic˘ a , ˆın interiorul razei de act¸iune al potent¸ialului. Pentru cazul unui potent¸ial central, ecuat¸ia Schr¨ odinger ˆın trei dimensiuni este: 



2m l(l + 1) d2 ul + k2 − 2 V − ul = 0 , dr 2 r2 ¯h

(30)

unde ul = rAl (r) este supus˘a condit¸iei de frontier˘ a ul |r=0 = 0. Astfel, putem calcula derivata logaritmic˘ a, care ˆın virtutea propriet˘a¸tii de continuitate a derivatei logaritmice (care este echivalent˘a cu continuitatea derivatei ˆıntr-un punct de discontinuitate) ne conduce la: βl |interior = βl |exterior .

(31)

Un exemplu: ˆımpr˘ a¸stierea pe o sfer˘ a solid˘ a S˘ a trat˘ am acum un caz specific. Fie un potent¸ial definit prin: V =

(

∞ rR.

(32)

Se ¸stie c˘ a o particul˘a nu poate penetra ˆıntr-o regiune unde potent¸ialul este infinit, astfel c˘ a funct¸ia de und˘a trebuie s˘ a se anuleze ˆın r = R; din faptul c˘ a sfera este impenetrabil˘a rezult˘ a deasemenea c˘a : Al (r) |r=R = 0 .

(33)

Astfel, din ec. (27) avem: tan δl =

jl (kR) . nl (kR)

152

(34)

Se vede c˘ a se poate calcula u¸sor ¸siftul de faz˘a pentru orice l. S˘ a consider˘am acum cazul l = 0 (ˆımpr˘a¸stiere de und˘a s) pentru care avem: δl = −kR ¸si din ec. (27): sin kr cos kr 1 cos δ0 + sin δ0 = sin(kr + δ0 ) . (35) kr kr kr Vedem c˘ a fat¸˘ a de mi¸scarea liber˘ a exist˘a o contribut¸ie adit¸ional˘ a de o faz˘a . Este clar c˘ a ˆıntr-un caz mai general diferitele unde vor avea diferite ¸sifturi de faz˘a ceea ce provoac˘ a o distorsie tranzitorie ˆın pachetul de unde dispersat. S˘ a studiem acum cazul energiilor mici, i.e., kR 0, (47) 2m r unde m este masa redus˘a a sistemului ˆın interact¸ie ¸si evident E > 0 deoarece trat˘ am cazul dispersiei f˘ar˘ a producere de nici un fel de st˘ ari legate. Ecuat¸ia anterioar˘ a este echivalent˘ a urm˘atoarei expresii (pentru valori adecuate ale constantelor k ¸si γ) : 

∇2 + k 2 +



2γk ψ(r) = 0 . r

(48)

Dac˘a nu consider˘am bariera centrifugal˘a a potent¸ialului efectiv (unde s) ne g˘ asim ˆın condit¸iile unei interact¸iuni coulombiene pure ¸si putem propune o solut¸ie de forma: ψ(r) = eik·r χ(u) , (49) cu u = ikr(1 − cos θ) = ik(r − z) = ikw , k · r = kz . ψ(r) este solut¸ia complet˘ a a ecuat¸iei Schr¨ odinger ¸si se poate a¸stepta un comportament asimptotic format din dou˘ a p˘ art¸i, respectiv de und˘a plan˘ a ik·r −1 ikr e ¸si und˘a sferic˘ a r e . Definind noi variabile: z=z

w =r−z

λ=φ,

cu ajutorul relat¸iilor anterioare, ec. (48) ia forma: #

"

d d2 − iγ χ(u) = 0 . u 2 + (1 − u) du du 155

(50)

Pentru a rezolva aceast˘ a ecuat¸ie, trebuie studiat mai ˆıntˆıi comportamentul s˘ au asimptotic, dar cum acesta a fost deja prezentat, funct¸ia de und˘a asimptotic˘a normalizat˘a care se obt¸ine ˆın final ca rezultat al tuturor calculelor anterioare este: 1 ψk (r) = (2π)3/2

i[k·r−γln(kr−k·r)]

e

fc (k, θ)ei[kr+γln2kr] + r

!

.

(51)

Dup˘ a cum vedem, funct¸ia de und˘a anterioar˘ a prezint˘a termeni care o fac s˘ a difere apreciabil de ec. (7). Acest lucru se datoreaz˘ a faptului c˘a fort¸a coulombian˘ a este de raz˘ a infinit˘a de act¸iune. Efectuarea calculului exact pentru amplitudinea de ˆımpr˘a¸tiere coulombian˘ a este destul de dificil de realizat. Aici vom da numai rezultatul final pentru funct¸ia de und˘a normalizat˘a : 1 ψk (r) = (2π)3/2

g∗ (γ) γ ei[kr+γln2kr] ei[k·r−γln(kr−k·r)] + 1 g1 (γ) 2k sin(θ/2)2 r

!

,

(52) 1 . unde g1 (γ) = Γ(1−iγ) ˆIn ceea ce prive¸ste analiza de unde part¸iale o vom reduce la prezentarea rezultatelor deja discutate ˆıntr-un mod cˆıt mai clar posibil. Mai ˆıntˆıi scriem funct¸ia de und˘a (49) ψ(r) ˆın urm˘atoarea form˘a : ψ(r) = eik·r χ(u) = Aeik·r

Z

C

eut tiγ−1 (1 − t)−iγ dt ,

(53)

unde A este o constant˘ a de normalizare ¸si toat˘a partea integral˘ a este transformata Laplace invers˘ a a transformatei directe a ecuat¸iei (50). O form˘a convenabil˘ a a ecuat¸iei anterioare este: ψ(r) = A cu

Z

C

eik·r (1 − t)eikrt (1 − t)d(t, γ)dt

d(t, γ) = tiγ−1 (1 − t)−iγ−1 .

(54) (55)

ˆIn cadrul analizei de unde part¸iale proced˘ am la a scrie: ψ(r) =

∞ X

(2l + 1)il Pl (cos θ)Al (kr) ,

(56)

eikrt jl [kr(1 − t)](1 − t)d(t, γ) .

(57)

l=0

unde Al (kr) = A

Z

C

156

Aplicˆınd relat¸iile ˆıntre funct¸iile Bessel sferice ¸si funct¸iile Hankel sferice avem: (1) (2) Al (kr) = Al (kr) + Al (kr) . (58) Evaluarea acestor coeficient¸i nu o vom prezenta aici (fiind destul de complicat˘ a ). Rezult˘a c˘ a: (1) (59) Al (kr) = 0 (2)

Al (kr) ∼ −

  Aeπγ/2 [2πig1 (γ)] e−i[kr−(lπ/2)+γ ln 2kr] − e2iηl (k) ei[kr−(lπ/2)+γ ln 2kr] 2ikr (60)

unde e2iηl (k) =

Γ(1 + l − iγ) . Γ(1 + l + iγ)

(61)

Calculul amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere coulombian˘ a Dac˘a efectu˘am transformata Laplace a ec. (50) obt¸inem: χ(u) = A

Z

C

eut tiγ−1 (1 − t)−iγ dt .

(62)

Conturul C merge de la −∞ la ∞ ¸si se ˆınchide pe deasupra axei reale. ˆIn aceste condit¸ii, vedem c˘ a exist˘a doi poli: cˆınd t = 0 ¸si t = 1. Cu schimbul de variabil˘ a s = ut obt¸inem: χ(u) = A

Z

C1

es siγ−1 (u − s)−iγ .

(63)

χ(u) trebuie s˘ a fie regular˘a ˆın zero ¸si ˆıntr-adev˘ar: χ(0) = (−1)−iγ A

Z

C1

es ds . = (−1)−iγ A2πi s

(64)

Luˆınd acum limita u → ∞, s˘ a facem o deplasare infinitezimal˘a (pentru a elimina faptul c˘ a polii sunt pe contur) ¸si cu un schimb de variabil˘ a astfel (s0 ±iε) s a aceast˘ a expresie tinde la zero cˆınd u → ∞. c˘ a u = − iκ , vedem c˘ Deci, putem s˘ a dezvolt˘ am (u − s) ˆın serie de puteri de us pentru polul cu s = 0. Dar aceast˘ a dezvoltare nu este bun˘a ˆın s = 1, pentru c˘a ˆın acest tinde la 1 cˆınd caz s = −s0 + i(κ ± ε) ¸si de aici rezult˘ a c˘a us = 1 − (s0 ±iε) κ

157



κ → ∞; dar dac˘ a facem schimbul de variabil˘ a s = s − u aceast˘ a problem˘a se elimin˘ a: χ(u) = A

Z



s iγ−1

[e s

C2

−iγ

(u − s)



s +u

]ds + [e







iγ−1

(−s ) (u + s )

]ds





.

(65) Dezvoltˆınd seriile de puteri este u¸sor de calculat integralele precedente, dar ˆın rezultat trebuie s˘ a se ia limita us → 0 pentru a obt¸ine formele asimptotice corecte pentru ˆımpr˘a¸stierea coulombian˘ a: h

i

χ(u) ∼ 2πiA u−iγ g1 (γ) − (−u)iγ−1 eu g2 (γ) 2πg1 (γ) = i 2πg2 (γ) = i

Z

Z

es siγ−1 ds

C2

C2

es s−iγ ds .

(66)

Dup˘ a acest ¸sir de schimb˘ ari de variabile, ne ˆıntoarcem la s-ul original pentru a obt¸ine: (u∗ )iγ = (−i)iγ [k(r − z)]iγ = eγπ/2 eiγ ln k(r−z) (u)−iγ = (i)−iγ [k(r − z)]−iγ = eγπ/2 e−iγ ln k(r−z) .

(67)

Calculul lui χ odat˘ a efectuat, este echivalent cu a avea ψk (r) pornind de la (49).

Aproximat¸ia eikonal˘ a Vom face o scurt˘a expozit¸ie a aproximat¸iei eikonale a c˘arei filosofie este aceea¸si cu cea care se face cˆınd se trece de la optica ondulatorie la optica geometric˘ a ¸si de aceea este corect˘ a cˆınd potent¸ialul variaz˘ a put¸in pe distant¸e comparabile cu lungimea de und˘a a pachetului de unde dispersat, adic˘ a , pentru cazul E >> |V |. Astfel aceast˘ a aproximat¸ie poate fi considerat˘a ca o aproximat¸ie cuasiclasic˘a . Mai ˆıntˆıi propunem c˘a funct¸ia de und˘a cuasiclasic˘a are forma binecunoscut˘ a: ψ ∼ eiS(r)/¯h , (68) unde S satisface ecuat¸ia Hamilton-Jacobi, cu solut¸ia: S = h ¯

Z

z

−∞



k2 −

1/2 2m p 2 ′2 V dz ′ + constant˘a . b + z 2 ¯h

158

(69)

Constanta aditiv˘a se alege ˆın a¸sa fel ˆıncˆıt: S → kz h ¯

V →0.

pentru

(70)

Termenul care multiplic˘ a potent¸ialul se poate interpreta ca un schimb de faz˘a al pachetului de unde, avˆınd urm˘atoarea form˘a explicit˘a −m ∆(b) ≡ 2k¯h2

Z



V

−∞

p



b2 + z 2 dz .

(71)

ˆIn cadrul metodei de unde part¸iale aceast˘ a aproximat¸ie are urm˘atoarea aplicat¸ie. S ¸ tim c˘ a aproximat¸ia eikonal˘ a este corect˘a la energii ˆınalte, unde exist˘a multe unde part¸iale care contribuie la dispersie. Astfel putem considera l ca o variabil˘ a continu˘ a ¸si prin analogie cu mecanica clasic˘ a punem l = bk. ˆIn plus, cum deja am ment¸ionat lmax = kR, care substituit ˆın expresia (15) conduce la: f (θ) = −ik

Z

bJ0 (kbθ)[e2i∆(b) − 1]db .

(72)

8P. Probleme Problema 8.1 S˘ a se obt¸in˘ a deplasarea de faz˘a (¸siftul) ¸si sect¸iunea diferent¸ial˘a de ˆımpr˘a¸stiere la unghiuri mici pentru un centru de ˆımpr˘a¸stiere de potent¸ial U (r) = rα2 . S˘ a se ¸tin˘ a cont de faptul c˘a ˆın ˆımpr˘a¸stierile de unghiuri mici principala contribut¸ie o dau undele part¸iale cu l mari. Solut¸ie: Rezolvˆınd ecuat¸ia #

"

l(l + 1) 2mα − 2 2 =0 Rl + k2 − r2 ¯ r h ′′

cu condit¸iile de frontier˘ a Rl (0) = 0, Rl (∞) = N , unde N este un num˘ ar finit, obt¸inem √ Rl (r) = A rIλ (kr) , 159

"

unde λ = (l +

1 2 2)

+

2mα h2 ¯

#1/2

¸si I este prima funct¸ia Bessel modificat˘ a.

Pentru determinarea lui δl se folose¸ste expresia asimptotic˘a a lui Iλ : Iλ (kr) ∝



2 πkr

1/2

sin(kr −

λπ π + ). 2 4

Prin urmare 

π 1 δl = − λ−l− 2 2



"

2mα π 1 = −  (l + )2 + 2 2 2 ¯h

#1/2



Condit¸ia l mari de care se vorbe¸ste ˆın problem˘a ne conduce la: δl = −

πmα , (2l + 1)¯ h2

de unde se vede c˘ a |δl | ≪ 1 pentru l mari. Din expresia general˘ a a amplitudinii de ˆımpr˘a¸stiere f (θ) =

∞ 1 X (2l + 1)Pl (cos θ)(e2iδl − 1) , 2ik l=0

la unghiuri mici e2iδl ≈ 1 + 2iδl ¸si ∞ X

Pl (cos θ) =

l=0

Astfel: f (θ) = − Prin urmare:

1 . 2 sin 2θ

παm 1 . k¯h2 2 sin 2θ

dσ π 3 α2 m θ = ctg . 2 dθ 2 2¯ h E

160





1  − l+ . 2