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Elementos de Matemáticas para Economıa / Daniel Ricardo Casas. Hernández. ... Matemáticas / Economıa / Funciones (Matemáticas) / Derivadas ... Page 9 ...

Daniel Ricardo Casas Hernández

El presente texto está dirigido particularmente a los estudiantes de las especializaciones en Evaluación de proyectos, Mercado de capitales y Finanzas, de la Facultad de Economía de la Universidad del Rosario. Se desarrolla para estudiar funciones de varias variables, funciones homogéneas, curvas de nivel, derivadas parciales, elasticidad parcial, optimización con y sin restricción, integrales como cálculo de áreas y antiderivadas y, por último, introducción al álgebra de matrices.

Daniel Ricardo Casas Hernández

Elementos de

matemáticas para la economía

Elementos de matemáticas para la economía

La Colección Lecciones de Ciencias Humanas, de la Escuela de Ciencias Humanas de la Universidad del Rosario, presenta libros que aportan elementos importantes para enriquecer el trabajo del estudiante y del docente, tanto dentro como fuera del aula. Se apoya en la experiencia pedagógica de los autores, quienes durante su carrera han podido advertir las más frecuentes fallas, malentendidos, errores o dificultades que obstaculizan el aprendizaje de los saberes que procuran transmitir.

Daniel Ricardo Casas Hernández

Colección Lecciones de Ciencias Humanas

Colección Lecciones de Ciencias Humanas y de Economía

Docente de la Universidad del Rosario desde 1999, donde se ha desempeñado como profesor de Matemáticas en pregrado y posgrado, en las facultades de Economía y Administración de Empresas y Negocios. También ha sido integrante de la Línea de Pensamiento Formal de la Escuela de Ciencias Humanas.

´ ELEMENTOS DE MATEMATICAS PARA ECONOM´IA ESCUELA DE CIENCIAS HUMANAS FACULTAD DE ECONOM´IA

´ ELEMENTOS DE MATEMATICAS PARA ECONOM´IA

Daniel Ricardo Casas Hern´andez

d

´ LECCIONES DE CIENCIAS HUMANAS Y DE ECONOM´IA COLECCION 2007 Editorial Universidad del Rosario 2007 Universidad Colegio Mayor de Nuestra Se˜ nora del Rosario, Escuela de Ciencias Humanas, Facultad de Econom´ıa c 2007 Daniel Ricardo Casas Hern´

andez c

c

ISBN: 978-958-8298-57-3 Primera edici´ on: Bogot´ a, D.C., agosto de 2007 Coordinaci´ on editorial: Editorial Universidad del Rosario Correcci´ on de estilo: Leonardo Holgu´ın Rinc´ on Diagramaci´ on: Juana Vall-Serra Dise˜ no de cubierta: Antonio Alarc´ on Impresi´ on: Javegraf Editorial Universidad del Rosario Calle 13 No. 5-83 Tels.: 336 6582/83, 243 2380 [email protected] Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Editorial Universidad del Rosario. ´ CASAS HERNANDEZ, Daniel Ricardo Elementos de Matem´ aticas para Econom´ıa / Daniel Ricardo Casas Hern´ andez.—Facultad de Econom´ıa; Escuela de Ciencias Humanas. Bogot´ a: Editorial Universidad del Rosario, 2007. 146 p.—(Colecci´ on Lecciones de Ciencias Humanas y de Econom´ıa). ISBN: 978-958-8298-57-3 Matem´ aticas / Econom´ıa / Funciones (Matem´ aticas) / Derivadas (Matem´ aticas) / Integrales (Matem´ aticas) / Matrices (Matem´ aticas) / Determinantes (Matem´ aticas) / I. T´ıtulo / II. Serie. 513.1 SCDD 20 Impreso y hecho en Colombia Printed and made in Colombia

Contenido

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Pr´ ologo 1. Funciones 1.1. Funciones de una variable independiente . . 1.2. Funciones de varias variables independientes 1.2.1. Funci´ on lineal . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Funci´ on Cobb-Douglas . . . . . . . . 1.2.3. Funci´ on tipo CES . . . . . . . . . . 1.2.4. Funci´ on tipo Leontief . . . . . . . . 1.3. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Funciones homog´eneas . . . . . . . . . . . .

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2. Derivadas 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. An´ alisis marginal de funciones de varias variables 2.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Elasticidad parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Funciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . 2.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Derivada impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ ELEMENTOS DE MATEMATICAS PARA ECONOM´IA

2.10. Tasa marginal de sustituci´ on . . . . 2.11. Optimizaci´ on . . . . . . . . . . . . . ´ 2.11.1. Optimos libres . . . . . . . . 2.11.2. Multiplicadores de Lagrange . 3. Integrales 3.1. Integral definida . . . . . . . . 3.2. Integrales indefinidas . . . . . . 3.2.1. M´etodos de sustituci´ on 3.2.2. Integral por partes . . . 3.2.3. Fracciones parciales . . 3.3. Integrales impropias . . . . . .

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4. Matrices y determinantes 4.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Suma de matrices . . . . 4.1.2. Producto de matrices . . 4.2. Determinantes . . . . . . . . . . 4.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . 4.4. Matriz inversa . . . . . . . . . . . 4.5. Modelo input-output de Leontief

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88 88 92 94 101 104 106 112

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Bibliograf´ıa

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Soluci´ on de ejercicios seleccionados

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Pr´ologo

Este libro recoge las notas de clase empleadas en el curso “C´alculo y ´ algebra matricial”, el cual ha sido desarrollado en el ciclo nivelatorio de las especializaciones: mercado de capitales, finanzas y evaluaci´ on de proyectos, ofrecidas por la Facultad de Econom´ıa de la Universidad del Rosario. Los temas presentados constituyen elementos importantes de las matem´ aticas aplicadas en microeconom´ıa y macroeconom´ıa, lo cual es un eslab´ on en la estructura de los programas de especializaci´ on a los cuales est´ a dirigido. Por eso se ha procurado exponer ejemplos relacionados con los diferentes escenarios de algunas teor´ıas econ´ omicas. Soy un convencido de que las matem´ aticas gozan de una fama equivocada respecto a la dificultad de aprenderlas; en mi experiencia docente he procurado mostrar que la belleza de este conjunto de conocimientos est´ a asociada con la sencillez; la voluntad (como para muchos otros prop´ ositos en la vida), es uno de los aspectos b´asicos para emprender el camino de estudiarlas, as´ı como unas nobles y sinceras ganas de dejarse coquetear por sus no evidentes piropos. Agradezco a cada uno de los estudiantes con quienes he podido incrementar el gusto y el placer de compartir y aprender algunos temas de las matem´ aticas. Tambi´en agradezco al profesor Jaime Garc´ıa por la lectura y las sugerencias realizadas; a Martha Rojas y Gonzalo Palau de la Facultad de Econom´ıa de la Universidad del Rosario, quienes han confiado en mi vocaci´ on docente; a Jos´e Luis Guevara de la Editorial Universidad del Rosario por la revisi´ on, las recomendaciones y sugerencias al presente trabajo, y a mi hermano Mauricio Casas por su apoyo en la transcripci´ on de algunas secciones. Finalmente, expreso mi gratitud a la Universidad del Rosario por brindarme el espacio para desarrollar y ahora publicar este trabajo.

Medios, tecnologias y comunicacion.p65

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19/04/07, 09:18 p.m.

Daniel Ricardo Casas Hernández

El presente texto está dirigido particularmente a los estudiantes de las especializaciones en Evaluación de proyectos, Mercado de capitales y Finanzas, de la Facultad de Economía de la Universidad del Rosario. Se desarrolla para estudiar funciones de varias variables, funciones homogéneas, curvas de nivel, derivadas parciales, elasticidad parcial, optimización con y sin restricción, integrales como cálculo de áreas y antiderivadas y, por último, introducción al álgebra de matrices.

Daniel Ricardo Casas Hernández

Elementos de

matemáticas para la economía

Elementos de matemáticas para la economía

La Colección Lecciones de Ciencias Humanas, de la Escuela de Ciencias Humanas de la Universidad del Rosario, presenta libros que aportan elementos importantes para enriquecer el trabajo del estudiante y del docente, tanto dentro como fuera del aula. Se apoya en la experiencia pedagógica de los autores, quienes durante su carrera han podido advertir las más frecuentes fallas, malentendidos, errores o dificultades que obstaculizan el aprendizaje de los saberes que procuran transmitir.

Daniel Ricardo Casas Hernández

Colección Lecciones de Ciencias Humanas

Colección Lecciones de Ciencias Humanas y de Economía

Docente de la Universidad del Rosario desde 1999, donde se ha desempeñado como profesor de Matemáticas en pregrado y posgrado, en las facultades de Economía y Administración de Empresas y Negocios. También ha sido integrante de la Línea de Pensamiento Formal de la Escuela de Ciencias Humanas.

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