Equivalencia del teorema de los senos y del coseno - cremc

Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce

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Equivalencia del teorema de los senos y del coseno Prof. Enrique Díaz González En el tema de Trigonometría del curso de Precálculo se discuten dos teoremas importantes que tienen que ver con un triángulo: el teorema (o ley) de los senos y el teorema (o ley) del coseno. En este artículo queremos probar una proposición que no aparece en la mayoría de los libros de Precálculo y que, sin embargo, los relaciona. La proposición es la siguiente: el teorema del coseno implica el teorema de los senos y, recíprocamente, el teorema de los senos implica el teorema del coseno. En otras palabras, el teorema de los senos es equivalente al teorema del coseno.

1. El teorema de los senos ⇒ Teorema del coseno Consideremos un triángulo ABC y el círculo circunscrito correspondiente. Una hipótesis importante es la relación α + β + γ = 180° que se verifica en cualquier triángulo.

C

γ a r b

γ

r

β

B

r

α

α

c/2

A

c De la figura se deduce que senγ = 2 r Análogamente se obtiene:

⇒ c = 2r ⋅ senγ a = 2r ⋅ senα b = 2r ⋅ senβ

(*) (**) (***)

Revista 360 / No 4/ 2009


De estas igualdades se obtiene el teorema de los senos:

2

a b c = = = 2r senα senβ senγ

Para demostrar el teorema del coseno, tomando como hipótesis las igualdades anteriores, tenemos las siguientes igualdades: 2 ⋅ sen 2α ⋅ sen 2 β = sen 2α ⋅ sen 2 β + sen 2α ⋅ sen 2 β 2 ⋅ sen 2α ⋅ sen 2 β = (1 − cos 2 β ) ⋅ sen 2α + (1 − cos 2 α ) ⋅ sen 2 β 2 ⋅ sen 2α ⋅ sen 2 β = sen 2α − cos 2 β ⋅ sen 2α + sen 2 β − cos 2 α ⋅ sen 2 β sen 2α ⋅ cos 2 β + sen 2 β ⋅ cos 2 α = sen 2α + sen 2 β − 2 ⋅ sen 2α ⋅ sen 2 β Sumando a ambos miembros el término 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos α ⋅ cos β resulta: sen 2α ⋅ cos 2 β + sen 2 β ⋅ cos 2 α + 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos α ⋅ cos β

=

sen 2α + sen 2 β + 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos α ⋅ cos β − 2 ⋅ sen 2α ⋅ sen 2 β Escribiendo como cuadrado el primer miembro y factorizando el segundo, se tiene: ( senα ⋅ cos β + senβ ⋅ cos α ) 2 = sen 2α + sen 2 β + 2 ⋅ senα ⋅ senβ (cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ ) [ sen(α + β )]2 = sen 2α + sen 2 β + 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos(α + β ) Como γ = 180° − (α + β )

,

senγ = sen[180° − (α + β )] = sen(α + β ) y cos[180° − (α + β )] = − cos(α + β ) = cos γ

resulta: sen 2 γ = sen 2α + sen 2 β − 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos[180° − (α + β )] sen 2 γ = sen 2α + sen 2 β − 2 ⋅ senα ⋅ senβ ⋅ cos γ

Multiplicando por 4r 2 : 4r 2 ⋅ sen 2 γ = 4r 2 ⋅ sen 2α + 4r 2 ⋅ sen 2 β − 2 ⋅ 2r ⋅ senα ⋅ 2r ⋅ senβ ⋅ cos γ Reemplazando en esta fórmula las igualdades (*), (**), y (***) resulta: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ , que es el teorema del coseno.

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Permutando los valores para a , b y c se tienen las otras expresiones similares a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β

y

2. El teorema del coseno ⇒ El teorema de los senos

Considerando el mismo triángulo anterior, queremos probar que a partir del teorema del coseno se cumple la relación:

senα senβ senγ = = . a b c

Partiendo de

sen 2 γ se tiene: c2

sen 2 γ 1 − cos 2 γ (1 + cos γ ) ⋅ (1 − cos γ ) = = c2 c2 c2 Por el teorema del coseno: cos γ =

a2 + b2 − c2 2ab

Sustituyendo en la expresión anterior, resulta:

2

sen γ = c2

(1 +

2ab + a 2 + b 2 − c 2 2ab − a 2 − b 2 + c 2 a2 + b2 − c2 a2 + b2 − c2 ) ⋅ (1 − ) ( )⋅( ) 2ab 2ab 2ab 2ab = c2 c2

[(a + b) 2 − c 2 ] ⋅ [c 2 − (a − b) 2 ] (a + b + c) ⋅ (a + b − c) ⋅ (c + a − b) ⋅ (c − a + b) = 4 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ c2 4 ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ c2 Efectuando el mismo procedimiento para

(*)

sen 2α resulta: a2

sen 2α 1 − cos 2 α (1 + cos α ) ⋅ (1 − cos α ) = = a2 a2 a2 Por el teorema del coseno: cos α =

b2 + c2 − a2 2⋅b⋅c

Sustituyendo en la expresión anterior, resulta:

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(2bc + b 2 + c 2 − a 2 ) ⋅ (2bc − b 2 − c 2 + a 2 ) b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 (1 + ) ⋅ (1 − sen 2α 2bc 2bc 4 ⋅ b2 ⋅ c2 = = = 2 2 a a a2 [(b + c) 2 − a 2 ] ⋅ [a 2 − (b − c) 2 ] (b + c + a ) ⋅ (b + c − a ) ⋅ (a + b − c) ⋅ (a − b + c) = (**) 4 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ c2 4 ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ c2 Comparando (*) y (**) vemos que son iguales y por lo tanto:

sen 2 γ sen 2α = c2 a2

Tomando la raíz cuadrada positiva resulta:

senγ senα = c a Reiterando el procedimiento anterior para la expresión

sen 2 β se obtiene el mismo resultado y, b2

senα senβ senγ = = , que es el teorema de los senos. a b c Se ha demostrado entonces que estos dos teoremas son equivalentes.

por lo tanto,

Referencias Innocenti, I. V & F. Villanueva M. (1982). Lecciones de Trigonometría. Mexico: Editorial Limusa. Dence, J. B & T.P. Dence. (1994). A First Course of Collegiate Mathematics. Florida: Krieger Pub. Co. Dobbs, D. E . (1984). The Sine Law and Cosine Law are Equivalent. Mathematics Computer Education

Enrique Díaz González, [email protected] Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois.

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