6. Matematika SMA. LOGARITMA. Logaritma adalah invers dari eksponen.
Dengan demikian logaritma dan eksponen mempunyai hubungan : c b a c a b
log.
EXPONEN DAN LOGARITMA
Bab 2
A. EXPONEN. Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Bulat. 1. a m .a n 2.
a
m
a
n
a
a
(m
n)
3. a m .b m
(m n)
4.
( a .b )
a
m
a
b
m
b
m
5. a
m
n
a
m .n
m
Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Rasional/Pecah.
1. a
1
1
n
a
2. a 0
n
3.
n
1; ( a
n
a. b
1
n
a
4.
0)
n
a
n
ab
( a .b ) n ; n
,a
0
0
1
m
5. a 7.
n
n
m n
a
a
m
m .n
n
n
m
a
a;m
;n 0; n
6.
0
n
a
n
b
a
a
b
b
n
;a
0 dan b
0
0
Menyederhanakan bentuk :
a
2b
Untuk ( a 2 b ) 0 berlaku : m + n = a dan m x n = b
a
2 b
n dengan m
m
0 jika dan hanya jika
n
Contoh : 8
4 3
...
8 4 3 Jawab : 8
4 3
8
2 12
6
2
8
4 3
8
2 12
6
2
a. 3
2 3
b. 3
c. 2
2 3
c
Merasionalkan penyebut a
c a
c b
a
c a
(a b
c b
a
b
6
2
6
d. 2
3
c(a a
(a
b)
c(a a
6
2 12
2
8
2
4 3
2
3
4
e. 2
3
c a
b)
b)
2
atau
(a
(a
6
2 3
b
b)
.
b
b) 2
b
c a
b) 2
b
c b
a
c a
b c
b
a
b
( a
b)
c( a
( a
b)
a
( a
b)
c( a
( a
b)
a
b) b b) b
1 Matematika SMA
Soal Latihan :
1.
Nilai dari
3
(12
n)
3
a. 2.
(2n 7)
9
adalah ...
5n
1
9
b.
3 Jika f ( x )
13
x
3 maka
1
c.
f (a
2b
c)
9
2 f (b )
1
1 n m
a
1
3
b. 0 3
125 a b
a.
3
2 3
6
2
ab
3
1 27
3
b.
a b
2
1 3
6.
1 y
x
1 2
x y
4
49
45
e. a
e. ( 3
11 )
m n
... 2
2 3
d.
2
e.
a b
2 3
2
a b
2
adalah … 1 y
d. x – y e. y – x
x 6 adalah …
c.
3
d.
2
2
e. 7
3
2 30
adalah …
2 10
b. 6
c. 3 2
128 8.
f (c )
2
d. 1
20
18
7
12
2
c.
2 6
Nilai dari bentuk
( f ( b ))
2b )
2
xy
y
2 6 b. 7
a. 3
a b
1 x
e. f ( a
f (c )
c. ab
1
Bentuk sederhana dari a. 5
7.
b.
6
6
2
ab
Bentuk sederhana dari a.
3
2
c. ½
6
y 5.
2
adalah sama dengan …
m n
a
9
f (c )
d.
f (c )
a. –1 4.
c.
f (a )
1
3.
f (c )
2 f ( a ) f (b )
b.
e.
...
f ( a )( f ( b )) a. f ( a )
2
d.
32
8
d. 2 3 e. 2 6 sama dengan …
Nilai dari bentuk
27 a. 2 6 9.
b.
2
6
3
c. 4
Bentuk sederhana dari 3
a.
2 (3
10. Jika
2
3
2
3
12.
4 3
8
4 3
a. 3
2 3
2
3
5
2
e.
9
5
11 )
c.
11 ) d.
2 (3
4 (3
11 )
c. –2
d. 2
e. 3
...
a. 3 2 3 b. 3 6 3 3
2
adalah …
b. –3
8
d.
b 6 , a dan b bilangan bulat maka a + b = …
a
a. –5 11.
9
6
11
b. 4 ( 3
11 )
2
2
c. 2
2 3
d. 2
2 3
e. 2
3
3
...
3 2
2
b. 3
1 3
2
c. 3
1 3
2
d. 3
3 2
2
e. 3
2 3
2
2 Matematika SMA
1
1
13. Diketahui x 2 x a. 7 b. 8 3
4
14.
5
b.-1
1
5
3
... d. 10
e. 11
a. 3
b. 3
1
2 5
c. 3 4
3
7x
2
6
5
(x
y 3
2 3
e. 5
1 3
=… 3
c. 13
d. 14
e. 15
5
1
6y
4
e. 2
2
2
4
3
8 b. 12
d. 4
2
2
a. 11 17. Bentuk dari
5 6
3
2
3
16
3
d. 1
...
64
2
16. Nilai dari 27
c. 0
3
729
243
a. (1
1
...
2
a. –2 15.
x
2
1
2
27
3 , Nilai dari x c. 9
2
)x
untuk x = 4 dan y = 27 adalah …
2
b. (1
2 2 )9 2
2 2 )9 3
c. (1
2 2 )18 3
d. (1 2 2 ) 27 2 e. (1 2 2 ) 27 3 18. Untuk bilangan 0,646464… jika dinyatakan dalam pecahan biasa adalah … 2 7 64 a. b. c. d. 0,65 e. 4 3 9 99 19. Nilai dari a. 4
7 7 7 ...
20. Nilai dari a. 4
30
...
b. 5
c. 6 30
30
b. 5
...
d. 7
e. 8
d. 7
e. 8
...
c. 6
B. PERSAMAAN EXPONEN 1. 2. 3. 4.
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
a
g (x)
f ( x)
g ( x)
b
f (x)
f ( x)
0
b
g (x)
dibawa ke bentuk log.
g (x)
h(x)
Bentuk f ( x ) f ( x) Dengan kemungkinan : - ekponen sama atau g(x)=h(x) f ( x) - bilangan pokok
1
1 , dengan syarat h(a)+g(a)=genap - bilangan pokok f ( x ) - bilangan pokok f(x)=0, dengan syarat h(a).g(a)>0 5. Bentuk persamaan yang dapat dikembangkan menjadi persamaan kuadrat. Cara Cerdik :
a
mx
n
b
px
q
maka
x
a
m
b
p
log
b
q
a
n
Contoh Soal : 1.
3
x 1
4
x 1
, maka harga x sebesar …
3
A.
4
log 12
B.
12
log
Cara biasa :
4 3
4
C.
3
log 12
D. log 12
E. log
4 3
Cara singkat :
3 Matematika SMA
3
x 1
4
log 3
(x
x 1
log 4
1) log 3
x log 3 log 3
log 3
log 3 . 4
log 12
x
x log 4
x (log 4
x
3
1
4
1
log
4 3
log 4
3
1
4 1
log
4
1
3
log 12
12
x log 3
log 3)
4 3
log 12
4 3
log
1) log 4
x log 4
x log
4 3
x 1
(x
log 4
log 12
A=3;b=4;m=1;n=1;p=1;q= 1
x 1
Contoh : 2. Jika diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar persamaan x 6
a. 10
b. 10
5
c. 10
4
2 log x
d. 10
Cara biasa :
x
2 log x
2 log
x
g
log 1000
2 log x 2 1
10 =
x1 . x 2
e. 10
a log
1000
log x log x 2
3
...
2
Cara cerdik :
2 log x
log x
1000 , maka nilai x 1 . x 2
2
x
g
b log x
Maka : x1 . x 2
g
c
0
b a
3 2
Sehingga :
0
1 100
x 1 .x 2
100
2
3
2 1
1 100
C. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN. 1. Untuk 0 a. b.
a
1 Fs. Turun
Jika a
f (x)
Jika a
f (x)
2. Untuk a a. a
f (x)
b. a
f (x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
1 Fs. Naik
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
Contoh : 2
Nilai x yang memenuhi 3 x 3 x a. 1 x 2 b. 2 x 3 Jawab : x
2
3
x
2
3
x
2
3x
2
x (x
5x 6 0 2 )( x 3) 0
2
x
3x 4
9
3x 4
3
4
4
9
c.
x 1
3
adalah … x
2
d.
x
e.
2
x
3
x 1 2 ( x 1)
2x
2
3
Soal Latihan :
4 Matematika SMA
3x
1
3
1. Jika persamaan
243
1 3
a. 2
2
3 3
1
3
x 2
1 3
b. 5
dan x 0 memenuhi persamaan tersebut. Maka nilai dari 1
9
c. 2
2 3
d.
1 3
e.
3 4
x 0 adl
1 3
2
1
2
2.
Nilai x yang memenuhi hubungan 5 x
3.
a. –5 Jika 2 x a. 1
4.
Jika x
25
adalah …
25
c. –3 d. 1 e. 3 2 4 , Nilai x adalah … b. 4 c. 27 d. 81 e. 256 x p 0 dan x 1 memenuhi x dengan p bilangan rasional , maka p = … 3 3 x x x
4 9
b.
3
Nilai x yang memenuhi 5 a. 125 b. 64
6.
Penyelesaian persamaan 2 a. –1 b. 1
x
7.
Himpunan penyelesaian dari 2 3 atau x 2} A. { x / x B. { x / x
2 atau x
C. { x / x
5 9
c.
5.
8.
1
b. –4
x 1
1 3
a.
6
2x 6
1
d.
3x 4
4
x 1
7 9
x 5
2
x
d. 9
e. 2
adalah p dan q , dengan p > q . Nilai p-q = … (E.98) c. 5 d. 6 e. 7
3}
2
6 x 11
adalah …(E.97) 2} D. { x / 3 x E. { x / 2
6 atau x
e.
3 adalah …
x
c. 27 2
2 3
x
3}
1} 2
1
Himpunan penyelesaian dari
3
2x 1
27 adalah …(E.96)
3 1
A.
B.
1
4
9.
1
C. 2
5
1
5
B.
4
3
3x 7
x
2
D. 2
49
adalah
2
5x 3
27
2x 3
y
27
x
9 y 3 a. x = 2 , y = 2
3x 2
x
1 3
y
2
x
a. 15. 9
12
x 1
a. ½
3
x y
adalah
2
(x
2
3x 4)
. Nilai
. = …(E.99) E. –22
dan . Nilai D. 3 10
D. 1 dan -
(x
7 2
2
. = … (p) E. 6
adalah ……(kd.94) E. - 12 dan 9
2 x 3)
c. x = 1 , y = 2
d. x = 3 , y = 1
e. x = 3 , y = 0
d. 1
e. xy
2
:
6
1
b. x = 2 , y = 1
4
1
5
ialah …
1
1
dan D. –10
C. 1
12. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan 1000 A. 1 dan - 92 B. 1 dan 92 C. –1 dan 72 13. Harga x dan y dari persamaan
1
E.
2 x 3
C. –8
11. Penyelesaian persamaan 3 A. –6 B. –3
1
adalah …(E.00)
C. 1
6 x 16
2x
14. x
2 2x
2
10. Akar-akar persamaan 7 A. 8 B. –4
x
4
2 27
3
E.
4
Nilai x yang memenuhi persamaan A.
D. {3}
x
3
sama dengan …
1
x
b.
3
12
2
x y
7
c.
12
xy
2
4x 1
3 b. 2
c. – ½
d.1
e. –1
5 Matematika SMA
Bab 2
LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari eksponen. Dengan demikian logaritma dan eksponen mempunyai hubungan : b
log a
c
a
c
b
Sifat-sifat : 1. a log b
a
log c
b
a
8. log
c
b
a
p
log
c
2. a log 1 3. a log b .c
p
log b
p
log a
a
a
a
log b
10. a log b
log c
p
b
9. log b
0
c
b
0
log a
1 p
b
a
4. log
a
a
log b
11. a
log c
a
log b
b
c a
5. a log b n 6. a log
n
a
n a
b
12. a m
log b n
log b
7. a log b . b log c
a
log b
b
1
a
13. log b a
14. n log b
log c
m
b
log a m
m
a
log b
n
Contoh : Jika 2 log 7 A. 2
2 3
3 2
B.
a
log 7
log 7
log 49
...
C.
a
log 7
a
8
a , maka
a
2 3
D.
3
a
2
E.
8 7
a
a
log 2
a log 2 8
Jadi : log 49
log 7
2
2 . log 7
2 .a log 2
2
log 2
3
3 . log 2
3 log 2
3
a
Persamaan Logaritma
a
a p . log f ( x )
b
p
f ( x)
b
Langkah-penyelesaian : 1. a log f ( x ) f (x)
log a
a
log g ( x )
g (x)
2. Syarat : f ( x )
log a
f ( x) f ( x)
0 dan g ( x )
g ( x) g ( x)
0
Contoh soal : Himpunan penyelesaian persamaan 9 A.
1 2
B.
2
3
log( 2 x 1 )
C. 3
25 adalah …
D.
1
,3
E.
2 ,3
2
6 Matematika SMA
Cara biasa : 3
9
3
Cara singkat :
log( 2 x 1 ) 3
2
3
25
3
log( 2 x 1 )
2 . log( 2 x 1 )
5
2
2x
1
5, x
3
25
3
3
2 log( 2 x 1 ) 3
3
log( 2 x 1 )
a
f ( x)
25
2
5
a
log b
2
2x
log c
1
5
x
a
f ( x ) maks
log
3
b
c
2
2
Contoh Soal : 2
f ( x)
log( x
A. 4
2
5)
x ), nilai maksimumnya adalah …
log( 3
B. 8
C. 12
D. 15
Cara biasa : 2
f ( x)
E. 16 Cara singkat :
log( x
= 2 log( x = 2 log(
2
5)
5 )( 3 x
2
log( 3
f ( x ) maks
x)
2x
f ( x ) maks syarat
x ),
log
x
5
3
2
x
2
log 16
4
2
15 )
f ( x)
'
0
maka f(x)’=-2x-2=0 , x = -1 f ( x ) maks
f ( 1)
2
log[
( 1)
2 ( 1)
15 ]
2
log 16
4
b n
a log
2
n
x
b log x
c
0 , maka x 1 . x 2
n
a
Contoh Soal : Bila x 1 dan x 2 adalah akar-akar log x (logx - 4)=log 0,001, maka nilai x 1 . x 2 =… A. 0,1 B. 10 C. 100 D. 1000 E. 10.000 Cara singkat : Cara biasa : log x (logx - 4)=log 0,001 , missal log x = p log x (logx - 4)=log 0,001=-3 2 p(p-4) = -3 log x 4 log x 3 0 p
2
4p
3
0
a=1 ,b=3, c=2 ,n=10
( p 3)( p 1) 0 p=3 p=1 log x = 3 log x = 1 x = 1000 x = 10 Jadi x 1 . x 2 =10.000
4
b
maka x 1 . x 2
n
a
10
1
10
4
10 . 000
Pertidaksamaan Logaritma. Pertidaksamaan Logaritma bentuk : a
log x
a
log y
x
y untuk a
a
log x
a
log y
1 dengan syarat x
0, y
0
Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi 2
log( 2 x
Maka 2 x x
1)
2
1
x
log( x
3)
3
4
Syarat : 2 x 1 0 maka x 1 3 Syarat : x 3 0 aka x Jadi nilai x yang memenuhi 1 x
4
7 Matematika SMA
SOAL LATIHAN : 1.
Jika
3.
3
2 3
a. 2.
1
log 2 x
1 2
3
b.
3 2
3
Jika log a. 512
log
n
2(a
a. 5.
b) 3 1
a
7.
2r Jika 2 log 3
a. 8.
3
ab
a
ab
9
2
3
a dan
3
a
2
10. log x
3
3
ab
a
ab
b)
e.
5 2
x 1
3
3r
e.
2
ab
d.
b
2
ab
a
ab
5
b.
2
a
5b a
d.
3b
4 , maka
a
2 2
A.
1 2
x
y B.
36 3
1 2
x dan x
3
A.
1
B.
(5 x
x
3 y)
3
e.
2
ab
a
ab
40
e.
3
a
e.
3b
3a
b
5a
e. -2
2
3
x z 2
y z
adalah …
2
14
e.
3
23 4
2
6)
1 2
e. 4 . log 5
d. 4
log 245
D.
5x
2
adalah …
y
1
C. 1
2
15. Diketahui 2 log 3
4r
1 2
(x
adalah …(E.98) E.
y)
log( 3 x
1 2
x
y
2 adalah
1)
dan
,untuk
... (E.97)
3
1 2
4
y . Nilai 1 2
C.
2y
log
3 2
c. 4 . 3 log 12
log 7
14. Penyelesaian persamaan log( 3 x
-
b)
3
5b
log
d.
log 5
2
, nilai
3
b. 2 . 5 log 12
13. Diketahui 3 log 5
10
c.
12. Bentuk sederhana dari : a. 4 . 5 log 12
a
d. 2
log z
25
log
1
log 27 dipenuhi nilai x sama dengan …
3 , dan
3
2
, maka nilai ( x + 1 ) = …
2 3x
3
a.
2 (1
d. –40
3 a
n
...
c. 4
2 , log y
2
log 56 adalah …
21
a
c.
b. 6
11. Jika a log x
1 e. m
e. 3
ab 1 a 5 maka log 3 b
5a
3
2
...
d.
3
c.
b , dan 2
1
n
sama dengan …
2
c. 20
3a
2
3
1
3r
3
log 9
a. 8
e. 0
2(a
d.
log( ab )
40
b. log 8
d. 12
3
...
log b
a , log 3
5a b 1
b)
4 b , maka nilai
log 7
16
dan
e.
d. m
15
d.
log 5
4r
1
Jika log 2
c
c.
b.
3a
a 3 1
1
3
b.
Jika log
a.
2 (1
c. 2 r maka
b.
3
b . Nilai log
c.
log( ca )
a. 40 9.
b)
3 2
log 27
3
a.
b
b.
Jika
a 3
1
a. 1 6.
c. m – n = 1
1
a dan log 3
2 (1
8 3
d. 2 3
n ) maka
1
log( bc ) 25
m n
b.
b.
c. 64
log( m
m
Diketahui log 2
3
1 , maka x dama dengan …
log x
log
n
4 3
c.
3
b. 128 m
Jika log
2
a. m + n = 1 4.
, nilai x adalah …
x dan
B.
1 2
2
D. 2
E. 3
3 2
log 5
(5 x
y , maka
3 y ) C.
16. Penyelesaian pertidaksamaan 5 log( x
3)
1 2
2
(3 x 5
log 45 15 sama dengan … (E.96) 5 y ) D. x
log( x
1)
2
x
y
y
2
E. x y
xy
1 adalah … (E.00)
8 Matematika SMA
A. x > 3 B. x > 4 C. 3 x2, maka nilai 3x1 – x2
= a. – 5
b. – 1
c. 4
d.5
e. 7
7. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …. a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …. a. x > 6
b. x > 8
c. 4 < x < 6
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan a. x < –14 b. x < –15
c. x < –16
d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8
1
3
8
64
2x
2
a.
5
0
e.27
c. x > 1
d. x > 2
e. x > 7
16. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah …. a. –3 < x < 1
b. –2 < x < 0
c. –3 < x < 0
d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2
e. –3 < x < –2 atau 0 < x < 1
17. Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =…. a. 23
b. 24
c. 25
18. Nilai 2x yang memenuhi 4 x a. 2
2
3
b. 4
16
x 5
d. 26
e. 27
adalah ….
c. 8
d. 16 2
e. 32
2
2
19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x – 3x + 2 ) < log ( 10 – x ), x R adalah …. a. d.
x x
2 x
x
1 atau 2
x
b.
4
x
x
1 atau x
c.
2
x
2
x
4
e. { }
10
20. Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah …. a. x < 2
b. x > 1
c. x < 1 atau x > 2
d. 0 < x < 2
e. 1 < x < 2
Kunci Jawaban Eksponen dan logaritma 1. C
2. B
3. A
4. B
5. E
6. B
7. A
8. C
9. C
10. D
11. E 12. B 13. B 14. E 15. E 16. A 17. E 18. B 19. D 20. E
11 Matematika SMA
