fichier PDF

Magnétisme D’après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.

Pôles et force magnétique Pierre d’aimant: magnétite (oxyde de fer Fe3O4) 19ème siècle Oersted: lien entre électricité et magnétisme: • Charges électriques génèrent champs électriques • Charges électriques en mouvement génèrent champs magnétiques Æ Électromagnétisme 2 pôles: pôle nord de l’aimant Æ le nord géographique pôles identiques se repoussent pôles différents s’attirent

Pas de monopôle ?

Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.2

Fractionnement d’un aimant Chaque nouvelle partie est à nouveau bipolaire Magnétisme n’est pas produit par des « charges magnétiques » mais par des charges électriques en mouvement

Aimant constitué de petits aimants dipolaires Atomes et électrons (spin) dipôles magnétiques Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.3

Force et champ magnétiques Action à distance : chaque aimant établit un champ magnétique (B) dans l’espace qui l’entoure • Champ exerce moment de force sur aiguille magnétique • Moment de force Æ champ (unité le Tesla) • Sens du champ: du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille Lignes de champ entrent par pôle sud et sortent par pôle nord

Ni sources, ni puits magnétiques Æ Courbes fermées Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.4

Magnétisme terrestre Dipôle géant ≡ courte tige aimantée au centre de la terre (5×10-5 Tesla) inclinée de 11,5° par rapport axe de rotation (longitude 70° ouest) Noyau terrestre: liquide ou solide ? Inversion du champ !!! ~ 300 fois (dernière, il y a ~30.000 ans) Actuellement:Pôle nord magnétique au pôle sud géographique + pôles enterrés (800 km) ≠ pôles géomagnétiques et pôles géographiques Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.5

Magnétisme à l’échelle atomique Courant dans une boucle produit un champ magnétique Æ Mouvement électrons autour noyau produit un faible champ Champ intense produit par propriété quantique des électrons eux-mêmes: le spin, moment cinétique intrinsèque Æ Champ dipolaire intrinsèque NB. Électron:particule ponctuelle Æ rotation autour de son axe n’a pas de sens en mécanique newtonienne Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.6

Diamagnétisme et paramagnétisme

En général: Électrons en paires de spin opposé dans les atomes Æ moment cinétique total nul (pas de champ) Toutefois: Orbites légèrement modifiées dans champ magnétique intense Æ modification moment cinétique (faible champ) DIAMAGNÉTISME Électrons non couplés en paires (nombre impair): Dipôle magnétique non nul pour l’atome Atomes orientés au hasard Æ pas de champ Champ magnétique externe Æ alignement des atomes substance PARAMAGNÉTIQUE NB. Aimantation disparaît en l’absence de champ Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.7

Ferromagnétisme • Substances comportant un nombre important d’électrons célibataires (fer, cobalt, nickel et dérivés…) • Atomes avec dipôle magnétique important s’alignent • Blocage des dipôles en orientation parallèle • Aimantation permanente à température ambiante • Substances FERROMAGNÉTIQUES NB. Aimantation ne disparaît qu’à haute température (grande agitation thermique) Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.8

Domaines magnétiques Substances ferromagnétiques: • Domaines microscopiques (~5×10-5m): îlots de dipôles magnétiques alignés • Orientation aléatoire • Champ magnétique faible: - extension de ces domaines - aimantation instable - désaimantation spontanée Exemple: fer doux à la disparition du champ • Champ magnétique intense: - domaines se réorientent - pas de changement de taille - aimantation permanente • Température de Curie: - ferromagnétisme disparaît - matière devient paramagnétique Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.9

Perméabilité

Rappel: diélectrique Æ réduction interne du champ électrique Milieu diamagnétique Æ (faible) réduction interne du champ magnétique Milieu paramagnétique Æ (faible) augmentation interne du champ magnétique Milieu ferromagnétique Æ forte augmentation

Perméabilité magnétique Effet opposé dans les supraconducteurs (parfaitement conducteurs et diamagnétiques) Sous la température critique (Tc) champ magnétique (presque) complètement expulsé (profondeur ~10-7-10-8 m)

Effet Meissner


Courants et champs Particule chargée en mouvement ou au repos Æ champ électrique Particule chargée en mouvement (relatif) Æ champ magnétique Courant dans un fil: - champ tangentiel à un cylindre coaxial au fil - module identique pour un rayon donné - proportionnel au courant - sens: règle de la main droite I B∝ r Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.11

Champ d’un courant rectiligne μ I Coefficient de proportionnalité ? B= Champ dépend du lieu dans lequel se trouve le fil 2π r Æ Perméabilité magnétique μ et facteur de proportionnalité μ/2π μ0 I -7 Dans le vide: μ0 = 4π×10 T.m/A Æ B = π 2 r -7 Air: μair/μ0=1 + 3,6×10 Eau: μeau/μ0 = 1 — 0,88×10-5 Milieu diamagnétique: μ < μ0 Milieu paramagnétique: μ > μ0 Mais μr=μ/μ0≈1 Milieu ferromagnétique: μ μ0 et varie avec B ! Æ équation du champ plus complexe …

}


Exemple: ligne de trolleybus Ligne rectiligne de 100 A dirigé vers l’est à 10 m au dessus du sol. Champ magnétique au niveau du sol ?

(4 π × 10 −7 T.m / A)(100 A) B= = 2, 0 × 10 −6 T 2 π(10m) Soit 4 % du champ magnétique terrestre Règle de la main droite: → B dirigé vers le nord sous la ligne


Champ d’une spire circulaire • La spire densifie les lignes de champ en son centre Æ champ plus intense • Direction donnée par la règle de la main droite • Dipôle magnétique dans la direction normale à la spire μ 0I Bz = 2R NB. Pas de symétrie cylindrique Æ pas de facteur π Autre règle de la main droite Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.14

Spires contiguës • Plusieurs spires coaxiales accolées • Même courant dans chaque spire • Les champs s’additionnent μ 0I Æ Pour N spires: B z = N 2R NB. Longueur de la bobine petite par rapport au rayon peut être négligée En dehors de l’axe de la bobine, Le champ s’affaiblit rapidement Bobine de ce type s’oriente dans le champ d’un aimant permanent Æ galvanomètre Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.15

Solénoïdes • Solénoïde: conducteur enroulé sous forme d’hélice • Solénoïde long et étroit (L > 10R) Æ champ interne intense et uniforme • Champ externe tend vers 0 pour LR • Propagation du courant d’une extrémité à l’autre Æ petite composante de champ supplémentaire • Si spires serrées: courant longitudinal devient négligeable • Applications: sonneries électriques, hautparleurs, circuits électroniques … Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.16

Champ d’un solénoïde • Proportionnel à I • Proportionnel au nombre de tours par unité de longueur: n=N/L Æ Expérimentalement: Bz ≈ μ0n I Plus exactement, champ axial au point P: 1 B z = μ 0nI(cos θd − cos θg ) 2 Remarques: • Pour LR, θd → 0 et θg → π • Aux extrémités B = ½ B central Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.17

Électroaimant

• Introduction d’un noyau ferromagnétique dans le solénoïde • Aimantation du noyau • Renforcement du champ • Si noyau en fer doux, désaimantation à la coupure du courant


Calcul du champ magnétique Loi d’Ampère • Charge magnétique virtuelle qm → • Subit force qmB dans champ magnétique • Déplacement sur un cercle dans plan ⊥ en segments Δl → • Travail ΔW = qmB&Δl (B& composante de B & au déplacement) • Conducteur long et rectiligne: B& = B = μ0I/2πr • Donc, travail total: W = Σqm B&Δl = qmBΣΔl = qmB(2πr) Et ΣB&Δl = μ0 I Résultat indépendant de qm !


Loi d’Ampère

JG G • Passage à la limite : v ∫ B.dl = v∫ B&dl • Si chemin fermé n’entoure pas le conducteur: JG G v∫ B.dl =

v∫ B dl = B ∫ &

b

1 a

dl + (0)∫ dl + ( −B 2 )∫ dl + (0)∫ dl c

d

a

b

c

d

JG G μ 0I μ 0I v∫ B.dl = 2πr1 (r1θ) + 0 − 2πr2 (r2 θ) + 0 = 0 JG G • Chemin fermé quelconque: B.dl = Bdl cos φ JG G μ 0I μ 0I dl cos φ = rdθ Æ v ∫ B.dl = v∫ 2πr (rdθ) = 2π v∫ dθ 2π JG G v∫ B.dl = μ 0I Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.20

Loi d’Ampère • Chemin quelconque n’entourant pas le fil JG G et v∫ dθ = 0 v∫ B.dl = 0 →

• Si plusieurs fils: B = somme vectorielle des champs et ΣB&Δl = μ0ΣIin Æ Loi d’Ampère

JG G in B.d l = μ I 0∑ v∫

NB. Fil rectiligne, chemin ampérien: cercle coaxial avec le fil JG G μ 0I v∫ B.dl = B& (2πr) = B(2πr) Æ B = 2πr


Exemple: champ d’un long solénoïde Définition du chemin ampérien: Rectangle 12341 entourant les spires Côté 12: B& ≠ 0 (interne) Côtés 23 et 41 ⊥ B (contribution nulle) Côté 34: Bφ ≈ 0 si éloigné du solénoïde JG G in Æ Si L est la longueur du côté 12: v B.d l = B L = B L = μ I & 0∑ ∫ in Longueur L, nL spires parcourues par courant I Æ ∑ I = nLI Donc B L = μ0nLI et Bz ≈ μ0n I Champ extérieur défini à partir d’un chemin ampérien circulaire extérieur de rayon r μ 0 I • Faible (ne dépend pas de n) Bφ = d’un fil rectiligne 2 πr • Identique au champ Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.22

Loi de Biot et Savart Production d’un élément de champ dB ? • Élément de charge dq en mouvement sur distance dl • B proportionnel à dq et à sa vitesse (dl/dt) • dB ∝ dq(dl/dt) et I = dq/dt donc dB ∝ I dl • Champ perpendiculaire au plan formé par le → → vecteur r et le vecteur dl orienté dans la → ^ direction du courant (direction de dl×r) • Par analogie avec la gravitation et la loi de Coulomb, dB doit décroître comme 1/r2 • Introduction de la perméabilité Æ loi de Biot et Savart G JG μ 0 I dl × rˆ μ 0 I dl sin θ Vectorielle: dB = Scalaire: dB = 2 2 π 4 r 4π r Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.23

Exemple: champ d’un fil rectiligne infiniment long

μ 0 I dl sin θ Intégrale de la forme scalaire B = ∫ 4π r2 dl = dy et toutes les contributions de courant I dl sont & en P (s’ajoutent μ 0 dy sin θ I∫ algébriquement): B = 2 4π

r

y = -x/tan θ et dy = x dθ/sin2θ et sin θ = x/r μ0 xdθ μ0 xdθ B= I∫ 2 = I∫ 2 4 π r sin θ 4 π ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ sin θ μ0 I π ⎝ sin θ ⎠ B= sin θdθ ∫ O 4π x

μ0 I μ0 I π B= [ − cos θ]0 = 4π x 2π x


Force magnétique

Action du courant sur un aimant Æ → réaction de l’aimant sur le courant: force magnétique (FM) → → Charge q, vitesse v champ magnétique B : FM ∝ q v B (charge au repos Æ force nulle) → → Force ⊥ plan des vecteurs v et B (sens Æ signe de q) G G G FM = q v × B Module: FM = qvBsinθ NB. Pas de coefficient Æ définition Tesla Champ qui produit une force de 1 N sur une charge de 1 C de vitesse 1 m/s ⊥ au champ Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.25

Exemple: électroaimant

→ NB. FM

→ FM

Champ 3,0 T vers le nord Proton: v=5,0×106 m/s dans plan ⊥ ouest à 30° du champ FM ? Module: FM = q v B sinθ =(+1,6×10-19 C)(5,0×106 m/s) ×(3,0 T)(sin 30°) = 1,2×10-12 N Règle de la main droite: dirigée vers l’est →

est toujours ⊥ v Æ force de déflexion (nouvelle direction, module inchangé) Æ pas d’accélération tangentielle

n’exerce aucun travail, énergie de la particule constante Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.26

Trajectoire d’une particule chargée→

→

Particule charge +q, vitesse v ⊥ B → Déplacement dans plan ⊥ B → → FM ⊥ v vers le centre : force centripète Trajectoire circulaire (rayon R) mv 2 FM = FC = R mv 2 θ = 90° Æ q vB = R mv Rayon dépend de la quantité R= qB de mouvement et de B • Champ électrique: accélération de la particule • Rayon maintenu constant par / B Æ synchrocyclotron • Exemples: accélérateurs et collisionneurs du CERN Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.27

Dipôles du LHC 1234 aimants de 15m de long :

Solénoïdes autour de Chaque tube faisceau


Aurores polaires et ceintures de radiation Champ magnétiques cosmiques: focalisation particules Champ uniforme: v cste dans direction B Æ hélice axée sur B Champ non uniforme: pôle sud dipôle poussé vers l’arrière force plus grande qu’attraction pôle nord Décélération Æ bouteille magnétique Idem pour particule chargée Rayons cosmiques piégés dans champ magnétique terrestre Æ ceintures de Van Allen Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.29

Exemples

NGC4261


Forces sur les conducteurs Charges en mouvement dans conducteur Æ force Nombre de porteurs de charge: Slη (produit volume Sl par densité volumique η) Vitesse de migration vm Dans champ B: FM = (qevmB sinθ)(Slη) Courant: I = ηvmSqe Æ FM = I l B sinθ → →

Direction force: règle main droite (v×B)

G G G B non uniforme ou fil non rectiligne Æ dFM = Idl × B Force résultante Æ Intégration sur le circuit Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.31

Exemple: force magnétique sur une spire Spire dans champ magnétique uniforme et vertical de 0,10 T FC = DE = 30 cm; CD = 20 cm → Courant 1,0 A. FM ? Règle main droite Æ → FMFC

+

→ FMDE

→ FM

=0Æ

vers l’intérieur → FM

=

→ FMCD

FM = I l B sinθ = (1,0 A)(0,20 m)(0,10 T)(sin 90°) = 0,020 N Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.32

Moment de force sur une spire

Bobine rectangulaire (N spires) légère verticale (longueurs lh et lv), courant I dans champ B horizontal et uniforme → Côtés horizontaux: FM s’annulent → Côtés verticaux: FM Æ moment de→force Bobine (dipôle) tourne Æ axe z & B FM = N I lv B Distance entre point application force et centre: ½ lh → → ÆMoment de la force: ½ lh × FM τ = 2(½lhFM sinφ ) = N I lvlhB sinφ τ = N I S B sin φ Ne dépendPhysique queDeuxième de la surface S ! Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.33

Le galvanomètre à cadre mobile Moment de force ne dépend que de la surface Æ indépendant de la forme de la bobine • Bobine suspendue à un ressort • Couple de rappel ∝ τ • Noyau ferromagnétique concentre champ aimant permanent • Champ ~ radial • φ ≈ 90° indépendant position bobine • Moment de force mesure courant dans bobine (τ = N I S B sin φ) Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.34

Moment magnétique dipolaire Moment de force sur une spire : τ = I S B sin φ → Moment magnétique dipolaire μM d’une spire: vecteur ⊥ plan spire et de module I S Pour une bobine (N spires) : N I S Direction définie par règle main droite →

Moment de force d’un champ B sur une spire: G G G τ = μM × B Le moment magnétique tend à s’aligner sur le champ (≡ aiguille d’une boussole Æ dipôle magnétique) Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.35

Exemple: magnéton de Bohr • Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène: • Électron en orbite autour du proton • Rayon 0,0529 nm; vitesse 2,2×106 m/s • Moment magnétique orbital de l’électron μB ? 2 πr Surface: S = πr2 Période de rotation: T = v qe Courant: I = T 1 ⎛ qe ⎞ 2 ⎛ q ev ⎞ 2 μB = ⎜ ⎟ ( πr ) = ⎜ ⎟ ( πr ) = q e vr 2 ⎝ T ⎠ ⎝ 2 πr ⎠ 1 μB = (1, 6 × 10 −19 C)(2, 2 × 10 6 m / s)(0, 529 × 10 −10 m) 2 μB = 9,3×10-24 A.m2 Æ magnéton de Bohr Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.36

Moteur électrique à courant continu Électroaimant libre (rotor) de tourner dans champ → magnétique B aimant fixe (stator) Alignement

→ μM

→

avec B

Inertie + inversion courant Æ position équilibre opposée Inversion réalisée par 2 demi anneaux du rotor en contact avec des balais (courant inversé à chaque demi-tour) Æ Le rotor tourne de manière continue


Exemple: les flagelles des bactéries

flagellarassembly-l.mov


Interaction entre 2 fils parallèles 2 fils parallèles à distance d Courant I1 et I2 Champ conducteur 2 au niveau conducteur 1: μ 0 I2 B2 = dirigé vers la gauche 2 πd μ 0I1I2 FM l: longueur segment conducteur 1 Æ = I1B 2 = 2 πd l Force par unité de longueur: dirigée vers le bas Expression symétrique: forces de même modules mais de sens opposés Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.39

Redéfinition de l’ampère et du Coulomb 2 conducteurs parallèles parcourus par courants de même sens s’attirent 2 conducteurs parallèles parcourus par courants de sens opposés se repoussent Ampère: intensité de courant constante circulant dans 2 conducteurs parallèles infiniment long séparés d’un mètre dans le vide et produisant une force magnétique de 2×10-7 N/m l’un sur l’autre. NB. Ampère: Coulomb: quantité de charge électrique Unité transportée en 1 seconde par un courant d’un fondamentale Ampère. Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.40

Exemple: origine définition Ampère Force par unité de longueur s’exerçant sur chacun des 2 fils parallèles très long séparés dans le vide par une distance d’un mètre parcourus par des courants de 1 A de sens opposés? −7

FM μ 0I1I2 (4 π × 10 T.m / A)(1, 0A)(1, 0A) = = 2 πd 2 π(1, 0m) l FM = 2 × 10 −7 N / m l
