Formelsammlung Festigkeitslehre - PDF Archive

Fachhochschule Kempten

Formelsammlung Festigkeitslehre

Grundlagen Spannungen F = n (S. 3) A

=

Ft A

σ: τ: F: A:

(S. 3)

Einachsiger Spannungszustand nur  !

[

 j , k=

 x  xy  yx  y

]

Normalspannung Tangentialspannung Kraft Fläche

(S. 9)

Spannungstensor zweiachsig

[

 x  xy  xz  j , k =  yx  y  yz  zx  zy  z Spannungstensor dreiachsig

]



(S. 9)



  y  − y I ,I I= x ± 2xy  x 2 2 2 2  x = I⋅cos  I I⋅sin  2 2  y = I⋅sin  I I⋅cos   xy = yx= I − I I ⋅sin⋅cos    y M= x 2  − I I R= I 2



2

σ: τ: M: R:

Normalspannung Tangentialspannung Kreismittelpunkt Kreisradius

(S. 11)

Mohrscher Spannungskreis

1. σy antragen 2. σx antragen 3. Kreismittelpunkt ermitteln 4. τyx antragen 5. Kreisradius ermitteln 6. Schnittpunkte Kreis mit σ-Achse ergeben Hauptnormalspannungen 7. Winkel α ergibt sich aus der Geometrie (Zentriwinkel 2α)

y

τ

2α

τyx

σx

σ

τy

x

σ

y

R

α

M

σy

y

σII

x σ

x

hier:

 x  y ,  yx 0 ,  I  I I (weitere drei Fälle) 1 von 14

σI x



Verformungen (Dehnung) l =el  T (S. 31) = l l =

 E

q =−⋅

(S. 37)

Zugversuch

ε: εel: ε l: ε q: εV: εΔT: σ: E: Δl: l: ν:

(S. 37)

Zugversuch

 x  y  z ⋅1−2  2 V ≈ x  y  z V =

1  x = ⋅[  x −⋅ y  z  ] E 1  y = ⋅[  y −⋅ z  x  ] E 1  z = ⋅[  z −⋅ x  y  ] E

(S. 32/38)

Dehnung elastische Dehnung Längsdehnung Querdehnung Volumendehnung Temperaturdehnung Normalspannung Elatizitätsmodul, E-Modul Längenänderung Ausgangslänge Querkontraktionszahl

(S. 38)

für dreiachsigen Spannungzustand

=00,5

(S. 40)

Spannungen durch Dehnungen ausgedrückt  x = x⋅E (S. 39) einachsig

E ⋅ x ⋅ y  1− 2 E  y= ⋅ y ⋅ x  1− 2  x=

(S. 39)

zweiachsig

E ⋅[ 1−⋅ x ⋅ y  z  ] 1⋅1−2  E  y= ⋅[ 1−⋅ y ⋅ z  x  ] 1⋅1−2  E  z= ⋅[ 1−⋅ z ⋅ x  y  ] 1⋅1−2   x=

(S. 39)

dreiachsig

Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Hook'sches Gesetz

 tan = =E 

α: ε: σ: E:

(S. 37)

2 von 14

Neigung der Hook'schen Geraden Dehnung Normalspannung Elatizitätsmodul, E-Modul



Schubmodul

G=

τ

E 2⋅1

G=

(S. 42)

 

(S. 40)

τ

γ

Scherversuch

τ

G: Schubmodul, Gleitmodul E: Elastizitätsmodul γ: Schubwinkel ν: Querkontraktionszahl τ: Tangentialspannung

τ Al

Cu

Fe

E [ mmN ]

68.600

113.800

206.000

G [ mmN ]

26.500

42.200

80.400

2

2

Sicherheit

S=

K 

K S

 zul =

(S. 42)

σ: σzul : K: S:

(S. 42)

S 1

vorhandene Spannung zulässige Spannung Werkstoffkennwert Sicherheitsfaktor

S =1,22 S =24 S =1,54

gegen Fließen: gegen Bruch: gegen Knickung:

Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2 1 σV: Vergleichsspannung  V = ⋅  x  y    x  y  4 2yx (S. 44) 2 σ: Normalspannung







Normalspannungshypothese (spröde Werksttoffe; Zug)



2

 V =   x − y  4  yx 2

τ:

Tangentialspannung

α0: σMax: τmax: φ:

Korrekturfaktor für τ Kennwert für jeweiligen Belastungsfall Kennwert für jeweiligen Belastungsfall aus jeweiliger Hypothese für σ=0

(S. 44)

Schubspannungshypothese (zähe Werkstoffe; Zug/Druck)

 V = 2x  2y − x⋅ y 3 2yx

(S. 49)

Gestaltänderungsenergiehypothese

Anstrengungsverhältnis nach BACH

  0⋅ 1  (S. 49) 0= ⋅ max  max σ und τ durch verschiedene Lastfälle

Normalspannungshypothese: Schubspannungshypothese: Gestaltänderungsenergiehypothese:

=1 =2 =  3

3 von 14



Schnittlasten Allgemein

Q=−

dM dx

dQ dx

q=

Q: q: M: N: x:

(S. 51)

q(x)

Querkraft Streckenlast Moment (Biegemoment) Normalkraft Bauteillänge

dx

Definition Schnittufer

q(x)

M

M+dM

N Q

M

Q+dQ

Ι

+

N+dN

Q

N

M

-

N Q

dx Klammerfunktion (FÖPPL-Symbol)

{

〈 x−x i 〉n = mit :

0 für x x i

x: x i:

n

〈 x− x i 〉 für x x i

Laufvariable Bereichsvariable

(S. 66)

{

0 für xx i n= 1 für x x i d 〈 x−x i 〉n =n⋅〈 x− x i 〉n−1 dx 1 ⋅〈 x− x i 〉n1 ∫ 〈 x− xi 〉n dx= 1n

(S. 66)

Beanspruchung stabförmiger Bauteile Zug- und Druckbeanspruchung F (S. 68) = E⋅A

αK:

Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft



⋅g⋅ l⋅x−  l=

E

x2 2



(S. 70)

Stäbe mit veränderlicher Last und konstantem Querschnitt

 x=

F E⋅A x

(S. 73)

Stäbe mit konstanter Last und veränderlichem Querschnitt

F A  max = K⋅ n  n=

(S. 74)

Stäbe mit Geometrie- und / oder Laständerung

4 von 14

Spannungskonzentrationsfaktor (Kerbfaktor) ε: Dehnung ρ: Dichte des Werkstoffes σn: Nennspannung σmax: Maximalspannung A: Fläche E: Elatizitätsmodul, E-Modul F: Kraft g: Erdbeschleunigung l: Ausgangslänge x: Laufvariable



Stäbe unter Temperatureinfluß

 l=l 0⋅⋅T

(S. 74)

 ges =T el =⋅T 

 E

(S. 74)

Überlagerung elastischer Dehnungen

−5

⋅10

[ K −1 ]

Fe

Cu

Al

1,23

1,70

2,38

α: εges: εel: εΔT: σ: E: ΔT: Δl: l0:

Längenausdehnungskoeffizient Dehnung elastische Dehnung Temperaturdehnung Normalspannung Elatizitätsmodul, E-Modul Temperaturunterschied in K Längenänderung Ausgangslänge

ε: σ: E: S: Δl: l:

Dehnung Stabspannung Elatizitätsmodul, E-Modul Stabkraft Längenänderung Ausgangslänge

A: F: L: a: m: n: τ:

Scherfläche Kraft gesamte, nutzbare Nahtlänge Schweißnahtdicke Anzahl der Nieten / Bolzen Anzahl der Schnitte Scherspannung

σ p: σl: Aproj: F n: d: l: s:

Flächenpressung Lochleibung projizierte Fläche senkrecht zu Fn Kraft Durchmesser Länge Blechdicke

Statisch bestimmte Stabsysteme

∑ S ix=0 ∑ S iy=0

(S. 77)

Stabspannungen

}

i i E i  l i = E ⋅l i i  l i =i⋅l i i =

(S. 78)

Längenänderung

Statisch unbestimmte Stabsysteme siehe Seite 78 im Skript!

Abscherbeanspruchung F a =  a zul (S. 82) n⋅m⋅A

a zul ≈

Bolzen- / Nietverbindung

 schw=

F  schw zul a⋅L

Re

3

(S. 82)

Schweißverbindung

 kleb=

F  kleb zul A

(S. 82)

Klebe- / Lötverbindung

Beanspruchung bei Berührung Beanspruchung bei flächenhafter Berührung

 p=

Fn  p zul A proj

(S. 83)

Ebene Flächen (Trapezführung)

 p=

F l⋅d

(S. 83)

Gewölbte Flächen (Wellenzapfen)

l=

F d⋅s

(S. 83)

(Niete, Bolzen)

5 von 14



Beanspruchung bei linien- / punkthafter Berührung (Hertz'sche Pressung)

r=

r 1⋅r 2 r 1r 2

E=





E 1⋅ 1− E 2⋅ 1− 2 2

3⋅F⋅r a= 2⋅E



Zylinder



F⋅E 2⋅r⋅l 8⋅r⋅F a= ⋅l⋅E

Querkontraktionszahl Druckspannung Elastizitätsmodul der Berührstelle Kraft halbe Breite / Radius der Berührfläche Berührungslänge Radius

Kugel

r1

r2

(S. 84)

da

r2  ∞

Berührfläche 2a

(S. 84)

positiv r2

Zylinder gegen Zylinder

r=r 1

Radius

r1

l



ν: σD: E: F: a: l: r:

(S. 84)

Kugel gegen Kugel

 D=

2 1

2

1 3 3⋅F E  D= ⋅ ⋅ 2 r 



2⋅E 1⋅E 2

negativ

2a

Kugel / Zylinder gegen Ebene

Biegebeanspruchung Flächenträgheitsmoment (S. 86)

y

dA x

z

I =I z a 2⋅A

A

η

(S. 93)

y

Koordinatenursprung im Schwerpunkt

a

I z =∫ y 2⋅dA

Koordinatenverschiebung (parallele Achsen); Satz von STEINER





(S. 113)

Koordinatenverdrehung; Mohr'scher Trägheitskreis

1. Iy antragen 2. Iz antragen 3. Kreismittelpunkt ermitteln 4. Izy antragen 5. Kreisradius ermitteln 6. Schnittpunkte Kreis mit I-Achse ergeben Hauptflächenträgheitsmomente 7. Winkel α ergibt sich aus der Geometrie (Zentriwinkel 2α)

z

y

Iz

M

Iy

II

I

R

Iz

α

2α

y

III

Flächenträgheitsmoment um η Flächenträgheitsmoment um z Zentrifugalmoment polares Flächenträgheitsmoment Abstand z-Achse zu η-Achse Fläche

2

I I I y I z I I ,I I= y z ± I 2zy 2 2 2⋅I zy tan 2 = I y −I z I p =I y I z = I I I I I

Iz

Iη : Iz: Izy: Ip : a: A:

y

6 von 14



Zentrifugalmoment

I yz =∫ y⋅z⋅dA

Iyz: A: S:

(S. 111)

A

Koordinatenursprung im Schwerpunkt

I yz = I yz  y s⋅z s⋅A

(S. 114)

Zentrifugalmoment Fläche Schwerpunkt dA

Koordinatenverschiebung; Satz von STEINER

y S

I yz =0 !

für symmetrische Bauteile

y

z

z

y

ys

A z

zs

x

Einfache Biegeformel (anwendbar für Iyz=0)

I z =∫ y ⋅dA I W z= z y max M  x =− ⋅y Iz M M  max = ⋅y max = Iz Wz 2

σd

M

Iz: W z: ymax: y: M: σmax: σx: dA:

(S. 86)

y

axiales Flächenträgheitsmoment Widerstandsmoment maximaler Randfaserabstand Faserabstand Biegemoment Maximalspannung Biegespannung Flächenelement

M

z

x

σz

Schiefe Biegung (doppelte Biegung bei Kreisquerschnitten)

M b=  M 2z M 2y M tan = z My Mb =± ⋅z Iy 1

   

y

y1

(S. 100)

z

1

 max =±

My

Mb

Mb ⋅R Iy

x

Mz

α R

z1

Iy1: Mb : My: Mz: R: α: σ:

Flächenträgheitsmoment resultierendes Moment Momemte in y-Richtung Momemte in z-Richtung Radius des Kreisquerschnittes Winkel der Koordinatendrehng Biegespannung

1

Schiefe Biegung (Profile mit zwei zueinander senkrechten Achsen)

Mz M ⋅y max ± y⋅z max Iz Iy M M =± z ± y Wz Wy

Iy/z: Flächenträgheitsmomente My: Momemte in y-Richtung Mz: Momemte in z-Richtung W y/z: Widerstandsmomente σ: Biegespannung ymax: maximaler Randfaserabstand in y zmax: maximaler Randfaserabstand in z

=±

(S. 103)

7 von 14



Schubspannungen in symmetrischen Querschnitten

mittel =

Q A

3 max = ⋅mittel 2

(S. 119)

Rechteckquerschnitt

4 max = ⋅mittel 3 Kreisquerschnitt

max =2⋅mittel

τ: Q: A:

Schubspannung Querkraft Fläche

E: I: E*I: M: Q: f: q: w'': α:

Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment Biegesteifigkeit Biegemoment Querkraft maximale Durchbiegung Streckenlast Krümmung der Biegelinie Winkel der Durchbiegung

(S. 119)

Kreisringquerschnitt

Durchbiegung von Trägern

w ''=−

M E⋅I

(S. 135)

Gleichung der elastischen Linie

w '''=−

Q E⋅I

w ''''=−

wmax = f

q E⋅I

w' =

f und α aus Tabellen!

Torsionsbeanspruchung Stäbe mit Kreis(ring)querschnitt und konstantem Durchmesser

=

M t⋅l G⋅I p

max =

Mt Wt

Am: von der Profilmittellinie eingeschlossene Fläche G: Schubmodul Ip: polares Flächenträgheitsmoment Mt: Torsionsmoment T: Schubfluß (pro Längeneinheit) W t: Widerstandsmoment der Torsion c: Drehfederkonstante l: Bauteillänge t: Wanddicke s: τ: Schubspannung φ: Verdrehwinkel

(S. 165)

Torsion einer abgesetzten Welle

1 1 =∑ c ci

=

Mt c

(S. 173)

Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser

W t= =

I t  x r  x

=∫

M  x ⋅dx G⋅I p  x

(S. 179)

Mt Wt

Dünnwandige, geschlossene Profile mit beliebigem Querschnitt

M t =2⋅⋅t⋅A m

W t =2⋅t min⋅A m

(S. 187)

(S. 188)

T =⋅t

(S. 184)

1.Bredt'sche Formel

Mt M max = = t 2⋅t min⋅A m W t

(S. 188)

ds ∫ M ⋅l t  s = t ⋅ G 4⋅A 2m 2. Bredt'sche Formel

 =Drillung (S. 190) l

4⋅A2m⋅t I t= Umfang für t=const.

8 von 14

(S. 190)

4⋅A2m I t= ∫ t ds  s

(S. 190)



Dünnwandige offene Profile (Flachmaterial)

1 I t = ⋅b3⋅h 3 max =

1 W t = ⋅b 2⋅h 3

(S. 192)

3⋅M t 2

b ⋅h

=

(S. 192)

Mt ⋅l G⋅I t

Allgemein für dünnwandige offene Profile

 I t = ⋅∑ hi⋅bi3 3

(S. 192)

W t=

It b max

b: h: l: G: I t: Mt : W t: τ: φ: η:

kleine Abmessug des Rechtecks große Abmessung des Rechtecks Bauteillänge Schubmodul polares Flächenträgheitsmoment Torsionsmoment Widerstandsmoment der Torsion Schubspannung Verdrehwinkel Konstante aus Tabelle

Zusammengesetzte Beanspruchung (S. 195ff)

Biegung und Normalkraft können direkt addiert werden, da beides Normalspannungen sind!

 1,2 =−

N M ∓ A W

Bei Biegung und Schub müssen Vergleichsspannungen (siehe Seite 3) ermittelt werden, welche kleiner sein muß als die zulässige Spannung. Bei Biegung und Torsion müssen an gezielten Punkten Vergleichsspannungen (siehe Seite 3) ermitelt werden. Und zwar an den Stellen mit der größten Spannung. Bei Längskraft und Torsion muß eine Vergleichsspannung (siehe Seite 3) am Rand ermittelt werden, da dort die größten Spannungen sind. Bei Schub und Torsion können die Spannungen direkt addiert werden, aber es muß auf die Richtung geachtet werden. Bei Biegung, Schub, Längskraft und Torsion analog der vorhergehenden Beispiele.

Dünnwandige Bauteile Dünnwandige Ringe Dünnwandiger Ring unter Innen- oder Außendruck

 t=

pi⋅d i 2⋅t

 t =−

(S. 211)

Innendruck

p a⋅d a 2⋅t

Außendruck

d  t = pi − p a ⋅ 2⋅t

d: p: t: σ t:

Durchmesser Druck Wandstärke Tangentialspannung

r: E: T: α: σ:

Zylinderradius E-Modul Temperatur Längenausdehnungskoeffizient Spannung

r: v: σ: ρ: ω:

Ringradius Geschwindigkeit Spannung Dichte Winkelgeschwindigkeit

(S. 211)

Näherungsformel

Kreiszylinder unter Temperatureinfluss (und Spannung)





  r= ⋅T ⋅r E

(S. 213)

Kreiszylindrischer Ring unter Fliehkraft

 t =⋅v 2

(S. 217)

v=r⋅

=

⋅n 30

9 von 14



Dünnwandige Behälter Kreiszylindrischer Behälter unter Innen- oder Außendruck

pi⋅d 4⋅t

 a=

t=

(S. 219)

axiale Richtung

pi⋅d 2⋅t

(S.219)

Umfangsrichtung

 t =2⋅ a

d: p: t: σ:

Behälterdurchmesser Druck Wanddicke Spannung

d: p: t: σ:

Behälterdurchmesser Druck Wanddicke Spannung

bei Außendruck: Sigma negativ Kugelbehälter unter Innen- oder Außendruck

=

pi⋅d 4⋅t

(S. 221)

1  max = ⋅ max 2 Kugel

Zylinder

Stabilitätsprobleme Knickung Knickspannungsdiagramm σK σd

1: Quetschen 2: plastisches Knicken (Tettmair) 3: elastisches Knicken (Euler)

Quetschgrenze

a

Tettmair-Gerade (für Grauguss Parabel)

σdF

a: σd-Abschnitt der Tettmair-Gerade b: Steigung der Tettmair-Gerade

σdP

Euler-Hyperbel (σK) 1

2

λF

F=

3

λP

λ



a− dF b

 P =⋅

Material

E [ mmN ]

S235

2,1*105

E335

5

GG20

E  dP a [ mmN ]

b [ mmN ]

104

310

1,14

0

2,1*10

89

335

0,62

0

1,0*10

80

776

12

0,05

P

2

5

2

10 von 14

2

c [ mmN ] 2



Knickung im elastischen Bereich (Euler-Bereich)

F ⋅w=0 E⋅I

(S. 225)

Differentialgleichung



F ⋅l=n⋅ E⋅I

(S. 226)

n. Eigenwert, Eigenform der Knickung

mit

n=1

F K=

folgt

2⋅E⋅I min

(S. 226)

l 2K

Eulersche Knicklast



I min A

=

(S. 226)

Trägheitsradius



lK i min

(S. 226)

Trägheitsradius Knicklänge Durchbiegung Querschnitt E-Modul Knicklast Flächenmoment des kleinsten A Sicherheit gegen Knicken Schlankheitsgrad Druck-Fließgrenze Druck-Proportionalitätsgrenze Knickspannung

Schlankheitsgrad

F K 2⋅E K= = 2 A 

 dP =

(S. 226)

Knickspannung (Euler-Hyperbel)

F   d vorh =  K A SK

2⋅E 2P

(S. 227)

Druck-Proportionalitätsgrenze

I min

(S. 230)

Festigkeitsbedingung

F vorh⋅l 2K⋅S K 2⋅E

(S. 229)

Mindestflächenmoment

S K =510

 dP≈0,8⋅ dF Die vier Eulerfälle (Knicklängen)

F

F

F

lK = l

l K= 2 l

l

F

11 von 14

lK ≈ 0,7 l

i min =

i: l: w: A: E: F: Imin: SK: λ: σdF: σdP: σK:

lK = 0,5 l

w' '



Knickung im plastischen Bereich (Tettmair-Bereich)

 K =a−b⋅

(S. 231)

Knickspannunng für Stahl

 K =a−b⋅c⋅2

(S. 231)

Knickspannung für Grauguss

 d vorh=

F K  A SK

(S. 231)

Festigkeitsbedingung

Quetschen

 d vorh= gilt für

  F  d zul = dF bzw. dB A SF SB

(S. 230)

 F

a: b: c: A: F: SK: λ: σ d: σK:

Werkstoffkennwert Werkstoffkennwert Werkstoffkennwert Querschnitt Kraft Sicherheit gegen Knicken Schlankheitsgrad Druckspannung Knickspannung

A: F: S: λ: σ d: σdB: σdF:

Querschnitt Kraft Sicherheit gegen Bruch / Fließen Schlankheitsgrad Druckspannung Druckfestigkeit Druck-Fließgrenze

A: F: ω:

Querschnitt Kraft Knickzahl

ω-Verfahren (Nachrechnung von Druckstäben)

F ⋅  d zul A

(S. 234)

Bei λ kleiner 20 kein Nachweis nötig! λ

20

60

80

100

120

140

160

S235

1,04

1,30

1,55

1,90

2,43

3,31

4,32

S335

1,06

1,41

1,79

2,53

3,65

4,96

6,48

Formänderungsarbeit Formänderungsarbeit bei eindimensionaler Beanspruchung (Zug, Druck) 2 1  1 2 1 wi: spezifische innere Arbeit wi = ⋅ = ⋅ ⋅E = ⋅⋅ 2 E 2 2 E: E-Modul spezifische innere Arbeit

W i =wi⋅V

für

W i =∫ wi dV

V: W i: ε: σ:

=const. für

V

≠const.

Volumen gesamte innere Arbeit Dehnung Spannung

Formänderungsarbeit bei Querkraftbeanspruchung 2 1 1  1 2 wi: spezifische innere Arbeit wi = ⋅⋅= ⋅ = ⋅ ⋅G 2 2 G 2 G: Schubmodul spezifische innere Arbeit

W i =wi⋅V

für

W i =∫ wi dV V

V: W i: γ: τ:

=const. für

≠const.

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Volumen gesamte innere Arbeit Schubwinkel Schubspannung



Formänderungsarbeit bei Biegebeanspruchung l M b2 1 E: W i = ⋅∫ dx (S. 238) I: 2 0 E⋅I

Elastizitätsodul Flächenmoment der Biegung Mb: Biegemoment W i: gesamte innere Arbeit

Formänderungsarbeit bei Torsionsbeanspruchung l M2 1 G: Schubmodul W i = ⋅∫ t dx (S. 238) I: Flächenmoment der Torsion 2 0 G⋅I Mb: Torsionsmoment W i: gesamte innere Arbeit

Energiemethoden Verfahren von Castigliano ∂ M b  x l M b  x⋅ dW ∂F =∫ dx= y dF 0 E  x⋅I  x ∂ M b  x M b  x⋅ dW ∂M =∫ dx= dM 0 E  x⋅I  x l

(S. 244)

(S. 244)

y: E: F: I: M: W: φ:

Durchbiegung an Kraftangriffsstelle Elastizitätsmodul Kraft Flächenmoment Moment gesamte innere Arbeit Winkel der Durchbiegung

Verfahren von Menabrea Berechnung von Auflagergrößen bei statisch unbestimmten Systemen.

∂ M b  x M b  x⋅ ∂ Li dW =∫ dx=0 dLi 0 E  x⋅I  x l ges

(S. 249)

E: I: L: M: W:

Elastizitätsmodul Flächenmoment zusätzliche Auflagergrößen Moment gesamte innere Arbeit

Bauteilfestigkeit bei Schwingbeanspruchung Kerbwirkungsfaktor   K = D (S. 253)  DK  K =1 K⋅ K −1

(S. 253)

k =01

nach Thum

Oberflächenfaktor D C O= D Bauteiloberfläche

(S. 254)

Probe

Größenfaktor D C G= D

Bauteilgröße

=K 1⋅K 2⋅K 31

(S. 254)

Probe

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CO: CG: K1: K2: K3: αK: βK: ηK: σD: σDK:

Oberflächenfaktor Größenfaktor Umfeldstützwirkung Statistik Größenabhängigkeit der Kerbwirkung Kerbwirkungsfaktor Kerbempfindlichkeitszahl Dauerfestigkeit Dauerfestigkeit mit Kerbe



Überlagerung der Einflußgrößen  D ⋅C O⋅C G (S. 254)  a  zul =  K⋅S D

SD: Sicherheit gegen Dauerbruch σa: Ausschlagsspannung

Probe

Beanspruchung umlaufender Bauteile Rotierender Stab ⋅2 2 2   x= ⋅ l − x  2 l=

⋅2 3 ⋅l 3⋅E

(S. 255)

(S. 256)



m ⋅l   max =2⋅ ⋅l 12 2 2 2 A



A: l: E: ρ: σ: ω:

Stabquerschnitt Stablänge Elastizitätsmodul Bauteildichte Spannung Winkelgeschwindigkeit

r: E: ρ: σ t: ω:

Bauteilradius Elastizitätsmodul Bauteildichte Tangentialspannung Winkelgeschwindigkeit

ra: ri: r: E: ε: ν: ρ: σ: ω:

Außenradius Innenradius Radius an beliebiger Stelle Elastizitätsmodul Dehnung Querkontraktionszahl Dichte Normalspannung Winkelgeschwindigkeit

(S. 256)

nur für Stab mit Punktmasse am Ende

Rotierender Ring dünn → Beanspruchung in Schalenrichtung

 t =⋅v 2=⋅r 2⋅2  r=

⋅r 3⋅2 E

(S. 257)

 r =0

(S. 257)

Beanspruchung von Flächentragwerken Scheiben

 

r i2 r i2 r 2 3  r =⋅ ⋅r ⋅ ⋅ 1 2 − 2 − 2 8 ra r ra 2

2 a

Radialspannung einer rotierenden Scheibe



(S. 262)

r 2 r 2 13⋅ r 2 3  t =⋅2⋅r 2a⋅ ⋅ 1 i2  i2 − ⋅ 8 3 r 2a ra r Tangentialspannung einer rotierenden Scheibe

1 r = ⋅  r −⋅ t  E 1 t = ⋅  t −⋅ r  E



(S. 261)

Dehnungen der umlaufenden Scheibe

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