FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI - Vidyagata

21 downloads 858 Views 350KB Size Report
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono. 119. FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI. 1. FUNGSI INVERS a. Fungsi Linear. Contoh : Jika y = f(x) = 2x + 6 , maka ...
FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI

Bab 18

1. FUNGSI INVERS F(x) x

y F’(x )

a. Fungsi Linear Contoh : Jika y = f(x) = 2x + 6 , maka invers dari f(x) adalah … A. 2x – 6 1

B. 6 – 2x

C.

(x

(x

D.

2

2)

E.

6

1

x

2

6

Jawab : y = 2x + 6

Cara cerdik :

2x = y + 6

f(x)=ax + b

y

x y

6)

6 2 x

1

f

1

x

1

x

b a

y = 2x + 6

f

6 2

6 2

b. Fungsi Pecahan f (x)

ax

b

cx

d

1

f

dx

(x)

b

cx

a

Contoh : f (x)

4x x

1

f

1

(x)

4x

1

x

4

4

c. Fungsi Eksponen a

f ( x)

a

bx

1

f

( x)

log x b

Contoh : 3

f ( x)

3

5x

f

1

( x)

log x

3

1

log x 5

5

d. Fungsi kuadrat f (x)

ax

2

bx

c

f

1

(x)

1 a

(x

D 4a

)

b 2a

contoh :

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

119

f ( x)

x

2

4x

2

1

f

( x)

8

1( x

)

4

4 2

= x 2 2 2. Komposisi Fungsi Jika f : A B dan g : B C maka h : A C disebut fungsi komposisi dari f dan g dan ditulis dengan gof Jadi h ( x ) gof ( x ) g [ f ( x )] Contoh : Jika f ( x ) x 1 dan ( fog )( x ) 3 x 2 4 maka g(x) = … A. g(x)=3x + 4 B. g(x)= 3x + 3 C. g(x) = 3x 2 + 4 D. g ( x ) 3( x 2 1) E. g ( x ) 3( x 2 3) Jawab : ( fog )( x ) f ( g ( x ))

3x

g ( x) 1 g ( x)

3x

3x

2

2

3x

2

:

4

4

2

4

3

3( x

2

1)

Cara cerdik f (x)

diketahui

( fog )( x )

atau :

g ( x)

m aka g ( x )

1

f

o ( fog )( x )

diketahui

f ( x)

ax

b

fo g

px

q

3x

2

= 3x

px

g (x)

q

b

a

4 1

2

3

Contoh : Diketahui f (2 x 3)

2

3( x x

2

1) 5 , f(x) = …

4x

Cara cerdik : f (m x

n)

ax

2

bx

c

f (x)

2

f (m x n )  

ax b  x c

diinverskan

dim asukkan

Jawab : 2x

x

3 in versn ya

3 2

f ( x)

x

3 2

4

x

3 2

5

1 4

x

2

7

x

2

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

53 4

120

Soal Latihan : R , f(x) = 2x + 3 . Maka f 1 ( x )

1. Fungsi f : R A.

1

x

B.

3

2

y

2. Diketahui f ( x )

1 2 2

x

C.

3

,x

B. –1

3. Bila f : x

5

2x

B. 5 log

2)

C. 2x log 5

x

B. 2 x (4 x 2

1

D. 4(2 x 1) 2

log x 2

1

2 log x

A. 2

A.

3x

6 , m aka f

1

2(2 x

1 3 x

2

2x 3

x

B.

8. Invers f ( x ) A. ( x 2)

3

2

C.

3 3

(1

1

E. 2 log 5 x

...

2)

f

2

sama dengan …

x

D. –2

E. –3

1 2

1

1

3

D.

2x

3 2x

E. 1

2

3 maka ( fog ) ( x )

2x

2

D.

… E.

2

2x

3

2x

2

2 adalah

x )5

B. 1 ( x 2) 5 / 3 C. 1 ( x 2) 5 / 3 D. 1 ( x 2) 5 / 3

5/3

9. Jika f(x) = 3x dan g ( x ) A. f(x)

x

3

3 , maka log( gof ( x ))

B. g(x) 2

10. Jika f ( x )

C.

dan g ( x )

3 2x

D. 5 lo g x

= 1

B.

1

A. 2

log x 2

2 log x

C. x

, maka f ( x )

...

E. 3 log x

D. 3 f(x) f ( 2x ) sama dengan …

C. –1

B. 1

E. (1 ( x 2) 5 )1 / 3

D. –2

E. –3

11. Jika f(x) = x 2 +1 dan g(x) = 2x – 1 , maka (f o g )(x) = … A. 2x 2 +1 B. 2x 2 + 2x + 1 C. 4x 2 - 4x + 2 D. 4x 2 +2x + 2 12. Jika f(x) = 4x dan f(g(x))= A.

1 4

(x – 1 )

B.

E. 3 x 2

1)

C. –1

1

3)

E. 2

C. (2 x 1)(4 x 2

, maka f ( x )

6

7. Jika f ( x ) A.

2

B. 1

6. f ( x )

x(x

2

D. 1

2 , maka ( gof )( x )

2) 1

E. 4(2 x 1)

2

5. Jika f ( x )

2

1

adalah …

1

4. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 4 x 2 A. 2(4 x 2

D.

3)

C. 0

maka f

A. 5 log 2x

(x

nilai dari f 1 ( 4) ...

3

2

A. –2

1

...

1 4

1 2

x

E. 4x 2 +2x - 2

1 , maka g(x)= …

(-x+1)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

C.

1 8

(-x – 2 )

D.

1 8

( -x + 2 ) E.

1 8

(-x + 2 )

121

13. Jika f(x) =

1 2x

1

A. –2

dan (f o g )(x) = B. 2

x 3x

C.

2 1

maka g(x) sama dengan … D. –3

2

1

E.

3

14. Jika f(x) = 5 dan f (x) invers dari f(x), maka nilai f (5 5 ) adalah … 3x

1

A. – ½

B.

15. Jika f(x) =

B.

3

1

C. ½

6

3 +3 , maka f

1

A.

1

1

x

1

D. 1

1

E.

3

(x) = …

3

C. ( x

3)

2

1

D. (x

x

3)

2

1

E. (x

3)

2

Cintailah ilmu maka engkau akan dicintainya

Soal – soal fungsi dan fungsi invers ujian nasional 1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6 dan g(x) = 2x – 1. Jika nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah …. a.

3

2

dan

2

3

b.

3

2

dan 2

3

c.

3

dan 2

11

d.

3

2

dan

2

3

e.

3

dan - 2

11

2. Diketahui ( f o g )(x) = 4 2 x 1. Jika g(x) = 2x – 1, maka f(x) = …. a.

4

x 2

b. 4 2 x 3 . c.

2

4x 1

2

d. 2 2 x e. 3. Jika

1

2

1

2x 1

f (x)

1 2

1 x

1

dan

( fog )( x )

2

x

1,

maka fungsi g adalah g(x) = ….

a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x + 3 e. 5x – 4

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

122

4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = …. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150 5. Fungsi f : R

R didefinisikan sebagai

f (x)

2x

1

3x

4

,

x

3

. Invers dari fungsi f adalah

4

f –1(x)= …. a. b. c.

4x

1

3x

2

4x

1

3x

2

4x 2

d. e.

2

,x

3 2

,x

3

1

2

,x

3x

4x

1

3x

2

4x

1

3x

2

3 2

,x

3 2

,x

3

6. Diketahui

f (x

1)

x 2x

1 1

,x

1

dan f–1(x) adalah invers dari f(x). Rumus f –1(2x – 1) =

2

…. x

2

2x

1

a.

2x

b. c.

x

1

x

1

,x

2x

2x

4

1

2 1

4x

e.

3

,x

3

2x

d.

2 1

4x

1

,x

3

,x

3 1

,x

4 2

4

7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = …. a. – 2 b. – 1 c. 1 d. 2 e. 3 8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) = –2x2 – 4x – 1. Nilai g(– 2 ) = …. a. – 5 b. – 4 c. – 1

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

123

d. 1 e. 5 9. Diketahui

2

f (x)

3x

4x

,x

1

1

. Jika f

–1

(x) adalah invers fungsi f, maka f

–1

(x–2)=

4

…. a.

4

x

4x

5

4

x

4

4x

5

x

2

4x

3

b. c.

x

d.

5 4 3

,x

4 3

3 x

4x

,x

,x

4x

e.

5

,x

4 5

,x 5

4

Kunci jawaban 1. A

2.A

3.D

4.B

5.C

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

6.B

7.D

8.B

9.A

124

PEMBAHASAN

1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f (x) = 3x2 - 4x + 6 dan g (x) = 2x - 1. Jika nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah …… 2

a. 3 b. c.

dan -2

3

2

3

dan 2

3

3

dan 2

11

d.

3

2

dan -2

3

3

e.

dan -2

11

Jawab: ( f o g )(x) = 101 f ( g (x ) = 101 f ( 2x - 1) = 101 3 ( 2x – 1 )2 – 4 ( 2x - 1) + 6 = 101 3 ( 4x2 - 4x + 1) - 8x + 4 + 6 – 101 = 0 12x2 – 12x + 3 – 8x – 91 = 0 12 x

2

20 x

88

=0

4 3x

2

3x

x=

5x

22

11 x 11

3

3

0

2 2 3

0

dan x = -2

JAWABAN : A. 3

2 3

dan -2

2. Diketahui ( f o g ) = 4 2 x 1 . Jika g (x) = 2x – 1, maka f(x ) = … a. 4 x 2 b. 4 2 x 3 c. 2 4 x

1

1

d. 2 2 x

1

2 1 2

2x 1

e. 2 1 Jawab : Misal f(x) = 4 ax b ( f o g )(x) = 4 2 x 1 f( 2x – 1 ) = 4 2 x 1

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

125

= 42x 1 2ax – a + b = 2x + 1 2a = 2 a=1 -a + b = 1 -1 + b = 1 b=2 Jadi f(x) = 4 a 2 x 1 b = 4 x JAWABAN : A. 4 x 2 4

a 2x 1

b

2

3. Jika f(x) = x 1 dan ( f o g )(x) = 2 x 1 , maka fungsi g adalah g(x) = …. a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x + 3 e. 5x – 4 Jawab : ( f o g )(x) = 2 x 1 x

1 g x

2 x

1

2 x

1

2

g x

2

1

g(x) + 1 = 4 ( x + 1 ) g(x) + 1 = 4x + 4 g(x) = 4x + 3 JAWABAN : D. 4x + 3 4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p =…. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150 Jawab : g(f(x)) = f(g(x)) g ( 2x + p ) = f ( 3x + 120) + p 3 ( 2x + p ) + 120 = 2 ( 3x + 120 ) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p p = 120 JAWABAN : D. 120 5. Fungsi f : R f adalah f a. b. c. d.

4x

1

3x 4x

2 1

3x 4x

2 1

2 3x 4x 1 3x

2

1

R didefinisikan sebagai f x

2x

1

3x

4

,x

3 4

.

Invers dari fungsi

…….

x 2

,x

3 ,x

,x ,x

2 3 2 3 2 3

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

126

e.

4x

1

3x

2

,x

2

Jawab : 2x

1

3x

4

y y 3x

4

2x

1

4y

1

2x

3 yx

4y

1

x 2

3y

4y

1

x

2

3y 4x

1

f

1

2

3x 4x

JAWABAN : C.

2

1

a. b. c. d. e.

2x x

1 2

1

2x

1

,x

1

2

dan f

1

x adalah invers dari f(x). Rumus

1 2 3

,x

4x 3 x 1 ,x 2x 1 2x 1

3

.....

,x

2x 1 2x 1

2

,x

3x x

6. Diketahui f x 1 f

1

4 1 2 3

,x

4x 3 x 1 ,x 2x 4

4 2

Jawab : x

y

1

2x

1

y 2x

1

2 yx

y

x 2y

1

x

y 2y

f x

1

x

1

x

1 y

1

1 1 1

x

1

2x

JAWABAN : C.

1 x 2x

1 1

,x

1 2

7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = … a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : ( f o g )(x) = f(g(x)) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

127

= f(5x + 4) = 6(5x + 4) – 3 = 30x + 24 – 3 = 30x + 21 ( f o g )(a) = 81 30x + 21 = 81 30x = 81 – 21 30x = 60 x=2 JAWABAN : D. 2 8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) = …. a. -5 b. -4 c. -1 d. 1 e. 5 Jawab : ( f o g )( x + 1) = 2 x 2 4 x 1 f(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 1 2(g( x + 1 )) + 1 = 2 x 2 4 x 1 2(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 2 g( x + 1 ) =

2x

2

4x

2x

2

4x

1 . Nilai g(-2) =

2

2 2

g( x + 1 ) = x 2x 1 2 2 2 2 1 g(-2) = =-4+4–1 = -1 JAWABAN : C. -1 2

9. Diketahui f x f

a. b. c. d. e.

1

x

4

2 x

4x x

5 2

4x 3 x 4x

,x

4x

,x ,x ,x

5

1 4

. Jika f

1

x adalah invers fungsi f, maka

1 4 5 4

3 x

1

,x

....

,x

4x 5 x 4

4x

3x

3 4 3 4 5 4

Jawab :

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

128

2

y

3x

4x

1

y 4x

1

4 yx

y

4 yx

3x

2

y

3

2

y

x 4y 2

x

2 2

1

=

3x

y

4y

f

3x

3 2

x

4x

3

JAWABAN : C.

2

x

4x

3

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

129