Fungsi Logaritma dan Eksponen

Matematika Dasar

FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN

Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers dan dinyatakan sebagai :

y = b log x ⇔ x = b y ; x, b > 0

Sifat-sifat logaritma : b

1. log 1 = 0 b

2. log b = 1 b

b

b

3. log ac = log a + log c b

b

b

4. log a/c = log a - log c b

r

b

5. log a = r log a 6.

b

log a =

c

log a

c

log b

Bilangan Natural

Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinsikan sebagai :

(

)

x 1 e = lim ( 1 + x) x = lim 1 + 1 x = 2 ,718... x→ 0 x→∞

Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai : x1

ln x = ∫

1t

dt , x > 0

e

ln x = log x

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

[ ]

Turunan fungsi logaritma natural : Dx ln x =

[

]

Jadi secara umum : Dx ln u =

1 x

1 du 1 ⇔ ∫ du = ln u + C . u dx u

Eksponen Natural

Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasikan :

y = ex ⇔ x = ln y

Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah : 1. eln y = y , ∀y > 0 2. ln ex = x , ∀x ∈ R

Turunan dan integral dari eksponen natural:

( )

du Dx eu = eu ⇔ ∫ eu du = e u + C dx Misal a > 0 dan x ∈ R. Didefinisikan : a x = ex ln a . Maka :

[ ]

(i) Dx a u = (ln a ) a u (ii) ∫ a u du =

du dx

1 au + C ln a

Misal y =a log x =

(

)

ln x 1 . Maka Dx a log x = . ln a x ln a

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

(

)

Jadi secara umum Dx a log u =

1 du u ln a dx

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari :

(

)

2/ 3 x 2 + 3) ( 3x + 2 ) 2 ( 5. y =

1. y = ln x 2 − 5x + 6

x+1

2. y = x ln x 3. y =

x 4. y =

6. y = ln (sin x )

ln x 2

7. y + ln ( xy ) = 1 x + 13

( x − 4) 3 2 x + 1

( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut : 8. ∫

4 dx 2x + 1

4

3 dx 1 − 2 x 1

12. ∫

4x + 2 9. ∫ 2 dx x +x+5 10. ∫

2 x (ln x)

4

1 dx 1 x 1+ x

13. ∫

(

16. y =

log x

2 dx

x3

11. ∫ 2 dx x +1 ( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y’ dari : 4 14. y = 32 x − 4 x

(

)

15. y =10 log x 2 + 9

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

)

Matematika Dasar

( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut :

(

)

2 17. ∫ x 2 x dx

20. ∫ e− x sec 2 2 − e− x dx

18. ∫ 105x−1dx

21. ∫ (cos x ) esin x dx

2 19. ∫ ( x + 3) e x + 6x dx

22. ∫ e2 ln x dx

( Nomor 23 sd 29 ) Hitung nilai integral tentu : ln 2

23. ∫

e − 3x dx

0 e dx

1

28. ∫ e2 x + 3dx

0x+ e

0

(

)

ln 3

ex

25. ∫ 3 − ex dx 1

26.

(

)

27. ∫ ex 3 − 4e x dx 0

24. ∫

2

ln 5

2 e3 x 29. ∫ 2 dx 1 x

dx ∫ x − ln 3 e + 4

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung