91. Matematika XI SMK/MAK. Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi
? Film ini disukai karena terlihat lebih nyata. Sebenarnya, apa arti kata dimensi ...
Sumber: www.wikipedia.org
Letak Suatu Tempat di Permukaan Bumi Pernahkah kalian mendengar istilah film 3 dimensi? Film ini disukai karena terlihat lebih nyata. Sebenarnya, apa arti kata dimensi? Dimensi berasal dari bahasa Latin yaitu dimension yang berarti menentukan ukuran. Dimensi merupakan suatu parameter atau ukuran yang digunakan untuk mendefinisikan karakteristik suatu objek, misalnya panjang, lebar, dan berat objek tersebut. Di dalam matematika, dimensi digunakan untuk menentukan posisi suatu objek terhadap ruang. Besarnya dimensi pada ruang sama dengan banyak parameter yang digunakan pada objek tersebut. Dimensi hampir diterapkan pada berbagai disiplin ilmu dengan parameter dan ruang yang relevan dengan topik yang tengah dibahas. Sebagai contoh, penerapan pada ilmu geografi parameter yang digunakan adalah meter atau kaki. Pada ilmu ekonomi, parameter yang digunakan adalah cost (banyak pembelian atau penjualan) dan price (harga). Contoh lain adalah menentukan letak suatu tempat di atas permukaan bumi dengan menggunakan pedoman garis lintang dan garis bujur. Artinya, parameter yang digunakan sebanyak 2 buah. Dengan demikian dimensi yang digunakan untuk menentukan letak adalah dimensi dua. Pembahasan lebih lanjut tentang geometri dimensi dua akan kita pelajari pada bab berikut.
Matematika XI SMK/MAK
91
Sudut
Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia
Kapal Monmouth
Kedaulatan suatu negara bersifat mutlak. Atas dasar ini, setiap negara memunyai sistem keamanan dengan kelebihannya masing-masing. Sebagai contoh kapal Monmouth yang merupakan kapal pengawal Angkatan Laut Kerajaan Inggris. Kapal ini dilengkapi dengan teknologi paling canggih untuk memperkecil deteksi oleh radar, inframerah, dan sumber-sumber magnetis lainnya. Radar dapat mendeteksi jarak benda-benda dengan mengukur waktu yang diperlukan oleh gelombang radio untuk sampai ke benda, dipantulkan, dan kembali ke radar penangkap sinyal. Semakin banyak permukaan berbentuk vertikal pada benda, semakin mudah pula benda terdeteksi oleh radar. Kemudahan terdeteksinya suatu kapal oleh radar disebut ”signature”. Kapal perang Monmouth mempunyai signature pada semua permukaan vertikalnya yang dibuat miring sebesar 7°.
Uraian Materi Besar Suatu Sudut 1. Pengertian Sudut Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah sinar (ruas garis) dan bertemu pada satu titik. Sudut dapat dipahami pula sebagai suatu bangun yang terbentuk oleh dua sinar (dua sinar ini disebut kaki sudut). Dari gambar di samping disebut sudut B atau sudut β atau sudut ABC dinotasikan ∠ABC yang dibatasi oleh dua JJJJG
A
B
β C
JJJJJG
buah ruas garis (sinar) dan serta satu titik sudut B. Besarnya sudut ditentukan oleh besarnya rotasi yang diperlihatkan oleh arah anak panah.
2. Macam-Macam Satuan Sudut a.
Satuan Derajat ( . . . °) Satuan derajat disebut juga ”satuan sudut sexagesimal ”, yaitu keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Diketahui sudut satu keliling lingkaran adalah 360°. Misalkan besar sudut α adalah 1° dan panjang busur AB =
keliling lingkaran maka
satu derajat adalah keliling lingkaran. Selanjutnya untuk keakuratan pengukuran, satuan derajat dibagi lagi menjadi satuan yang lebih kecil yaitu menit ( ' ) dan detik ( '' ). Hubungan antara derajat, menit, dan detik sebagai berikut. 1° = 60' 1' = 60'' 92
Geometri Dimensi Dua
b.
Satuan Radian (rad) Satuan radian disingkat rad. Apabila busur AB (∩ AB) sama dengan jari-jari lingkaran (r) maka besar sudut tersebut adalah satu radian. B Perhatikan gambar di samping.
!" !
π =π
=
∩ #
Perbandingan
C
r
A O
= = , menunjuk
kan ukuran sudut AOB. Nilai bilangan itu disebut ukuran radian. Busur ABC adalah bangun setengah lingkaran πr, sehingga: $ $ #
c.
= π ⋅ = π
Centisimal/gon/grade Satuan gon ditulis 1g. Satuan gon menyatakan panjang busur lingkaran =
%
keliling lingkaran tersebut. Jadi, besar sudut pusat
lingkaran = 400g. 3.
Konversi Satuan Sudut Sesuai dengan prosedur mengenai perhitungan besar sudut, satuan sudut dalam derajat dapat dikonversikan ke satuan sudut dalam radian atau sebaliknya. a. Mengubah Radian ke Derajat atau Sebaliknya π rad = 180° ⇔ 1 rad =
⇔ 1 rad =
&° π
, π = 3,14
&° *%
180° = π rad ⇔
1° =
⇔
1° =
1 rad = 57,3248408° 1 rad = b.
1° = 0,017 rad
360°
57°17'45''
Mengubah Radian ke Gon (1g) atau Sebaliknya π rad = 200g ⇔ 1 rad =
⇔ 1 rad = 1 rad = c.
Perlu Tahu
&° , π = 3,14 π & *% rad
( π )
, π = 3,14
( )
*%
π
⇔
1g = rad, π = 3,14
⇔
1g = rad
63,69 g
*%
1g = 0,016 rad
1°
=
° ( & )
⇔200g = 180°
1°
=
1,11 g
⇔
Sudut dalam Lingkaran
200g = π rad
Mengubah Derajat ke Gon atau Sebaliknya 180° = 200g ⇔
Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia
Satu lingkaran penuh mempunyai sudut sebesar 360°. Lingkaran dibagi ke dalam 360° untuk alasan sejarah, yaitu diambil dari banyaknya hari dalam setahun dalam kalender Babilonia kuno. Astronom Yunani, Hipparchos dikenal karena membagi lingkaran menjadi 360°.
&°
1g = 1
g
= 0,9°
Matematika XI SMK/MAK
93
Contoh: 1.
Konversikan sudut 31,56° ke bentuk satuan derajat, menit, dan detik! Penyelesaian: 31,56° = 31° + 0,56' = 31° +
⎛ @ ⎞⎟ ⎠
= 31° + 33,6' = 31° + 33' + 0,6' 33'
2.
+
⎛ ⎜ ⎝
>
@@ ⎞⎟ ⎠
= 31° + 33' + 36'' Jadi, 31,56° = 31°33'36''.
Aplikasi Gambar di samping adalah sebuah packing. Hitung sudut α dan β dari gambar di samping dalam satuan radian! Penyelesaian: Sudut antara 2 lubang:
α=
°
= 60°
β = (90° – α) × 0,017 rad
= 60° × 0,017 rad = 1,02 rad
= 30° × 0,017 rad = 0,51
α
β
Latihan 1 Kerjakan soal-soal berikut! 1. 2.
Nyatakan ke dalam satuan radian! a. 15,3° b. 60° Nyatakan ke dalam satuan derajat! a.
3.
π
Z
b.
π
Z
c.
120g
d. 240g
c.
25g
d. 100g
c.
π
Nyatakan ke dalam satuan grade/gon! a.
30°
b.
42°
Z
4.
Nyatakan derajat berikut ke dalam derajat, menit, dan detik! a. 45,5° b. 60,75° c. 60,42° d. 50,36°
5.
Pada trasmisi roda gigi pada kepala pembagi, perbandingan roda cacing dan batang cacing adalah 40 : 1. Hitunglah hasil berikut! a. Sudut yang ditempuh roda cacing bila batang cacing diputar sebanyak 1 putaran. b. Putaran batang cacing agar roda cacing berputar 1 radian. (jawabannya dalam satuan derajat)
roda gigi cacing
batang cacing
94
d. π
Geometri Dimensi Dua
