Grundwissen Mathematik 5. Klasse. 5.A Zahlen. 5.A.1 Menge N der natürlichen
Zahlen. N = {1; 2; 3; 4; …} Bsp.: 5 ist eine natürliche Zahl: 5 ∈ N „5 ist Element ...
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Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5.A.10 Größenvergleich ganzer Zahlen Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer (kleiner), die auf der Zahlengerade weiter rechts (links) liegt.
5.A Zahlen 5.A.1 Menge N der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; 4; …} Bsp.: 5 ist eine natürliche Zahl: 5 ∈ N „5 ist Element von N“ 0 ist keine natürliche Zahl: 0 ∉ N „0 ist nicht Element von N“
Bsp.: −5 < −3 und −3 < 2 bzw. 2 > −3 und −3 > −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Anordung in einer steigenden Ungleichungskette: −5 < −3 < 2 „−5 kleiner −3 kleiner 2“
5.A.2 Primzahlen Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler (1 und sich selbst) hat. Die ersten Primzahlen: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; … 5.A.3 Quadratzahlen 12 =
1
62 = 36
112 = 121
162 = 256
212 = 441
22 =
4
72 = 49
122 = 144
172 = 289
222 = 484
32 =
9
82 = 64
132 = 169
182 = 324
232 = 529
42 = 16
92 = 81
142 = 196
192 = 361
242 = 576
52 = 25
102 = 100
152 = 225
202 = 400
252 = 625
5.A.4 Zehnerpotenzen 100 = 101 102 103
104 =
1 eins
=
= 100 hundert
106
=
= 1.000 tausend
109
= 1.000.000.000 eine Milliarde
=
10 zehn
100.000 hunderttausend
Ziffer
3
5
0
Subtraktion Bsp.: 97 Minuend
Multiplikation Bsp.: 13
M
HT
ZT
T
H
Z
E
2
4
7
8
2
1
9
5.A.8 Runden von Zahlen Abgerundet wird bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4, aufgerundet wird bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9.
negative ganze Zahlen
null
2
−
65
minus
Subtrahend
1. Faktor
·
8
mal
2. Faktor
97 Wert der Summe
=
32 Wert der Differenz
=
104 Wert des Produkts
PRODUKT
Division Bsp.: 48 Dividend
:
4
durch
Divisor
=
12 Wert des Quotienten
QUOTIENT
Potenzieren 4 Bsp.: 3
=
3·3·3·3 4 Faktoren „3“
=
81 Wert der Potenz
5.C Kombinatorik „Zahlenschloss“ 3 7 0 Bsp.: 3 Rädchen mit jeweils 8 Einstellungen: 3 Es gibt 8 = 8 · 8 · 8 = 512 Kombinationen.
Zahlengerade 1
=
POTENZ
5.A.9 Menge Z der ganzen Zahlen Z = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}
0
65 2. Summand
Basis hoch Exponent
Bsp.: 26.453 (Z) ≈ 26.450 ; 26.453 (H) ≈ 26.500 ; 26.453 (T) ≈ 26.000 ; 26.453 (ZT) ≈ 30.000
−1
+ plus
DIFFERENZ
5.A.7 Römische Zahlzeichen I=1; X = 10 ; C = 100 ; M = 1000 V=5; L = 50 ; D = 500 Bsp.: I = 1 ; II = 2 ; III = 3 ; IV = 4 ; V = 5 ; VI = 6 ; VII = 7 ; VIII = 8 ; IX = 9 ; X = 10 ; CCLX = 260 ; MCMLXXIV = 1974
−5 −4 −3 −2
1. Summand
SUMME
5.A.6 Zehnersystem Der Wert jeder Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie in der Zahl steht (Stellenwertsystem). Mrd HM ZM
5.B Rechenarten und Termbegriffe
1.000.000 eine Million
5.A.5 Stufenzahlen im Zehnersystem 1; 10; 100; 1.000; 10.000; 100.000; 1.000.000; …
Stellenwert
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Zwei Zahlen, die den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen haben, heißen Gegenzahlen. Bsp.: −3 ist die Gegenzahl von 3 (und umgekehrt).
Addition Bsp.: 32
10.000 zehntausend
105
5.A.11 Betrag und Gegenzahl Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von Null auf der Zahlengerade. Bsp.: Der Betrag von −3 ist 3.
3
4
5
positive ganze Zahlen (natürliche Zahlen)
„Bücherregal“ Bsp.: Verschiedene Reihenfolgen A C D B von 4 Büchern in einem Regal: Es gibt 4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24 Möglichkeiten.
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5.D Rechnen mit ganzen Zahlen 5.D.1 Reihenfolge beim Rechnen „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“
Bsp.:
2+3·4 aber: (2 + 3) · 4 2 5·3 = 2 aber: (5 · 3) =
= 2 + 12 = 14 = 5 · 4 = 20 5 · 9 = 45 2 15 = 225
5.D.2 Subtrahieren ohne Schranken Ist der Subtrahend größer als der Minuend, so ist der Differenzwert negativ. Den Betrag des Differenzwertes erhält man, indem man vom Subtrahend den Minuend subtrahiert. Bsp.: 467 − 513 = −46 i)i Vorzeichen: Differenzwert negativ „−“ ii) Betrag: 513 − 467 = 46 5.D.3 Kurzschreibweise und Klammern auflösen Kurzschreibweise Auflösen bei Add. und Subtr.: von Klammern: + (+a) = + a + (a + b) = +a + b + (−a) = − a + (a − b) = +a − b − (+a) = − a − (a + b) = −a − b − (−a) = + a − (a − b) = −a + b 5.D.4 Berechnung von Mischtermen Bsp.: = a − b + c + d − e − f = Pluszahlen unterstreichen! = (a + c + d) − (b + e + f) Summe der Summe der Pluszahlen minus Minuszahlen
5.D.5 Multiplikation und Division ganzer Zahlen Bsp.: (+4) · (+5) = +20 (+12) : (+2) = +6 (+4) · (−5) = −20 (+12) : (−2) = −6 (−4) · (+5) = −20 (−12) : (+2) = −6 (−4) · (−5) = +20 (−12) : (−2) = +6 i)i Vorzeichen: • Gleiche Vorzeichen: („+“ und „+“ oder „−“ und „−“) → Ergebnis positiv „+“ i)i Vorzeichen: • Verschiedene Vorzeichen: („+“ und „−“ oder „−“ und „+“) → Ergebnis negativ „−“ ii) Betrag: Produkt der Beträge: 4 · 5 = 20 bzw. Quotient der Beträge: 12 : 2 = 6
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5.D.6 Potenzen mit negativer Basis 5.D.6 bzw. Produkte mit vielen Faktoren i)i Vorzeichen: • Gerader Exponent bzw. gerade Anzahl „−“: → Ergebnis positiv „+“: i)i Vorzeichen: • Ungerader Exponent bzw. ungerade Anzahl „−“: → Ergebnis negativ „−“ ii) Betrag: Potenzwert bei pos. Basis bzw. Produkt der Beträge 5.D.7 Rechengesetze Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) • der Addition: a+b=b+a • der Multiplikation: a·b=b·a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) • der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) • der Multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c) Distributivgesetze (Verteilungsgesetz): • a · (b ± c) = a · b ± a · c = (b ± c) · a • (a ± b) : c = a : c ± b : c
5.D.8 Rechenvorteile mit den Distributivgesetzen
• Ausklammern eines gemeinsamen Faktors: 7 · 13 + 7 · 17 = 7 · (13 + 17) = 7 · 30 = 210 • Ausklammern des gemeinsamen des Divisors: 56 : 4 − 16 : 4 = (56 − 16) : 4 = 40 : 4 = 10 • „Ausmultiplizieren“: 3 · 37 = 3 · (30 + 7) = 3 · 30 + 3 · 7 = 90 + 21 = 111 • „Ausdividieren“: 87 : 3 = (90 − 3) : 3 = 90 : 3 − 3 : 3 = 30 − 1 = 29
5.E Größen und ihre Einheiten 5.E.1 Geld 1 € = 100 ct 1 ct = 0,01 € 5.E.2 Länge 1 km = 1.000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm km 1
100
m 10
1m = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm = 1 mm = 0,1 cm = 5.E.3 Masse 1 t = 1.000 kg = 1 kg = 1.000 g = 1 g = 1.000 mg t 1
100
kg 10
1
dm 1
1
cm 1
mm 1
0,01 m 0,01 dm = 0,001 m 1.000.000 g 1.000.000 mg
100
g 10
1
100
mg 10
1
1 kg = 0,001 t 1 g = 0,001 kg = 0,000.001 t 1 mg = 0,001 g = 0,000.001 kg 5.E.4 Zeit 1 a = 12 Monate ; 1d = 24 h 1 a = 365 d 1h = 60 min = 3.600 s 1 a = Schaltjahr: 366 d ; 1 min = 60 s
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5.E.5 Flächeninhalt
5.F.5 Koordinatensystem 2
Ein Quadratzentimeter (1 cm ) ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge a = 1 cm. 2
1 km 1 ha 1a 2 1m 2 1 dm 2 1 cm
km2 1
= = = = = =
100 ha = 100 a = 2 100 m = 2 100 dm = 2 100 cm = 2 100 mm
ha 10
1 ha 1a 2 1m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm
m2
a 1
= = = = = =
10
1
10
10
1
2
1.000.000 m 2 1.000.000 dm 2 1.000.000 cm 2 1.000.000 mm
cm2
5
x
IV. Quadrant
1
10
Symmetrieachse
mm2 1
10
1
2
0,01 km 0,01 ha 0,01 a 2 0,01 m 2 0,01 dm 2 0,01 cm
= = = = =
2
0,000.1 km 0,000.1 ha = 0,000.1 a = 2 0,000.1 m = 2 0,000.1 dm =
0,000.001 km 0,000.001 ha 0,000.001 a 2 0,000.001 m
2
5.F.7 Geometrische Grundfiguren Quadrat Rechteck Ecke a
Diagonale Seitenlänge a
Punkt A
Gerade
C
Halbgerade
E
5.F.2 Winkel Bezeichnungen:
Raute
s
B
Strecke [AB] = s
g
D
Gerade CD = g
h
F
Halbgrade [EF = h
α = 90°
Rechter Winkel: Gestreckter Winkel: β = 180°
α
Vollwinkel:
0° < α < 90°
Parallelogramm
Trapez
Drachenviereck
Kreis Mittelpunkt M
Radius r
Es gilt: d=2·r
Durchmesser d
Besondere Winkel:
Schenkel
spitzer Winkel
Länge l
Bezeichnungen:
P
Strecke
Breite b
a
5.F.1 Geometrische Grundelemente
stumpfer Winkel
γ = 360°
überstumpfer Winkel
90° < β < 180°
p
l
5.F.8 Umfangslänge von Rechteck und Quadrat Vorstellung: „Einmal außen rum!“ Rechteck: Quadrat:
180° < γ < 360°
UR = 2 · l + 2 · b = 2 · (l + b) UQ = 4 · a
5.F.9 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Vorstellung: „Was man ausmalen muss!“ Rechteck: Quadrat:
AR = l · b („Länge mal Breite“) 2 AQ = a · a = a
5.F.10 Geometrische Grundkörper Würfel Quader
5.F.3 Besondere Lage von Geraden Senkrechte Geraden Parallele Geraden l⊥g
1
III. Quadrant
5.F Geometrie
Scheitel S
0
−5
5.F.6 Achsensymmetrische Figuren
dm2 1
I. Quadrant P(3|2)
1 cm2 = 100 mm2
1 cm
10.000 a = 2 10.000 m = 2 10.000 dm = 2 10.000 cm = 2 10.000 mm
y
II. Quadrant
1 cm
Ecke
7g g
p
a 6 Seitenflächen
Fläche
Höhe h
12 Kanten a
g a
l steht senkrecht auf g, l ist ein Lot zu g (und umgekehrt).
Geraden mit einem gemeinsamen Lot heißen parallel. p ist parallel zu g (und umgekehrt).
Pyramide
8 Ecken
Breite b
Kantenlänge a
Prisma
Kegel
Länge l
Zylinder
Kugel
5.F.4 Streckenlänge und Abstände Länge der Strecke [AB]
Abstand Punkt-Gerade
Abstand paralleler Geraden
P A
B AB = 1,5 cm
p d(P; g) = 1,2 cm g
d(p; g) = 1,3 cm
5.F.11 Oberfläche von Quader und Würfel Vorstellung: „Was man anmalen muss!“ Quader:
g
Abstand: Länge der Lotstrecke!
Würfel:
OQ = 2 · l · b + 2 · l · h + 2 · b · h = OQ = 2 · (l · b + l · h + b · h) 2 OW = 6 · a · a = 6 · a