Grundwissen Mathematik 5. Klasse - Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium

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Grundwissen Mathematik 5. Klasse. 5.A Zahlen. 5.A.1 Menge N der natürlichen Zahlen. N = {1; 2; 3; 4; …} Bsp.: 5 ist eine natürliche Zahl: 5 ∈ N „5 ist Element ...
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach

Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5.A.10 Größenvergleich ganzer Zahlen Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer (kleiner), die auf der Zahlengerade weiter rechts (links) liegt.

5.A Zahlen 5.A.1 Menge N der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; 4; …} Bsp.: 5 ist eine natürliche Zahl: 5 ∈ N „5 ist Element von N“ 0 ist keine natürliche Zahl: 0 ∉ N „0 ist nicht Element von N“

Bsp.: −5 < −3 und −3 < 2 bzw. 2 > −3 und −3 > −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Anordung in einer steigenden Ungleichungskette: −5 < −3 < 2 „−5 kleiner −3 kleiner 2“

5.A.2 Primzahlen Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler (1 und sich selbst) hat. Die ersten Primzahlen: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; … 5.A.3 Quadratzahlen 12 =

1

62 = 36

112 = 121

162 = 256

212 = 441

22 =

4

72 = 49

122 = 144

172 = 289

222 = 484

32 =

9

82 = 64

132 = 169

182 = 324

232 = 529

42 = 16

92 = 81

142 = 196

192 = 361

242 = 576

52 = 25

102 = 100

152 = 225

202 = 400

252 = 625

5.A.4 Zehnerpotenzen 100 = 101 102 103

104 =

1 eins

=

= 100 hundert

106

=

= 1.000 tausend

109

= 1.000.000.000 eine Milliarde

=

10 zehn

100.000 hunderttausend

Ziffer

3

5

0

Subtraktion Bsp.: 97 Minuend

Multiplikation Bsp.: 13

M

HT

ZT

T

H

Z

E

2

4

7

8

2

1

9

5.A.8 Runden von Zahlen Abgerundet wird bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4, aufgerundet wird bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9.

negative ganze Zahlen

null

2



65

minus

Subtrahend

1. Faktor

·

8

mal

2. Faktor

97 Wert der Summe

=

32 Wert der Differenz

=

104 Wert des Produkts

PRODUKT

Division Bsp.: 48 Dividend

:

4

durch

Divisor

=

12 Wert des Quotienten

QUOTIENT

Potenzieren 4 Bsp.: 3

=

3·3·3·3 4 Faktoren „3“

=

81 Wert der Potenz

5.C Kombinatorik „Zahlenschloss“ 3 7 0 Bsp.: 3 Rädchen mit jeweils 8 Einstellungen: 3 Es gibt 8 = 8 · 8 · 8 = 512 Kombinationen.

Zahlengerade 1

=

POTENZ

5.A.9 Menge Z der ganzen Zahlen Z = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}

0

65 2. Summand

Basis hoch Exponent

Bsp.: 26.453 (Z) ≈ 26.450 ; 26.453 (H) ≈ 26.500 ; 26.453 (T) ≈ 26.000 ; 26.453 (ZT) ≈ 30.000

−1

+ plus

DIFFERENZ

5.A.7 Römische Zahlzeichen I=1; X = 10 ; C = 100 ; M = 1000 V=5; L = 50 ; D = 500 Bsp.: I = 1 ; II = 2 ; III = 3 ; IV = 4 ; V = 5 ; VI = 6 ; VII = 7 ; VIII = 8 ; IX = 9 ; X = 10 ; CCLX = 260 ; MCMLXXIV = 1974

−5 −4 −3 −2

1. Summand

SUMME

5.A.6 Zehnersystem Der Wert jeder Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie in der Zahl steht (Stellenwertsystem). Mrd HM ZM

5.B Rechenarten und Termbegriffe

1.000.000 eine Million

5.A.5 Stufenzahlen im Zehnersystem 1; 10; 100; 1.000; 10.000; 100.000; 1.000.000; …

Stellenwert

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Zwei Zahlen, die den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen haben, heißen Gegenzahlen. Bsp.: −3 ist die Gegenzahl von 3 (und umgekehrt).

Addition Bsp.: 32

10.000 zehntausend

105

5.A.11 Betrag und Gegenzahl Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von Null auf der Zahlengerade. Bsp.: Der Betrag von −3 ist 3.

3

4

5

positive ganze Zahlen (natürliche Zahlen)

„Bücherregal“ Bsp.: Verschiedene Reihenfolgen A C D B von 4 Büchern in einem Regal: Es gibt 4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24 Möglichkeiten.

Grundwissen Mathematik 5. Klasse

5.D Rechnen mit ganzen Zahlen 5.D.1 Reihenfolge beim Rechnen „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“

Bsp.:

2+3·4 aber: (2 + 3) · 4 2 5·3 = 2 aber: (5 · 3) =

= 2 + 12 = 14 = 5 · 4 = 20 5 · 9 = 45 2 15 = 225

5.D.2 Subtrahieren ohne Schranken Ist der Subtrahend größer als der Minuend, so ist der Differenzwert negativ. Den Betrag des Differenzwertes erhält man, indem man vom Subtrahend den Minuend subtrahiert. Bsp.: 467 − 513 = −46 i)i Vorzeichen: Differenzwert negativ „−“ ii) Betrag: 513 − 467 = 46 5.D.3 Kurzschreibweise und Klammern auflösen Kurzschreibweise Auflösen bei Add. und Subtr.: von Klammern: + (+a) = + a + (a + b) = +a + b + (−a) = − a + (a − b) = +a − b − (+a) = − a − (a + b) = −a − b − (−a) = + a − (a − b) = −a + b 5.D.4 Berechnung von Mischtermen Bsp.: = a − b + c + d − e − f = Pluszahlen unterstreichen! = (a + c + d) − (b + e + f) Summe der Summe der Pluszahlen minus Minuszahlen

5.D.5 Multiplikation und Division ganzer Zahlen Bsp.: (+4) · (+5) = +20 (+12) : (+2) = +6 (+4) · (−5) = −20 (+12) : (−2) = −6 (−4) · (+5) = −20 (−12) : (+2) = −6 (−4) · (−5) = +20 (−12) : (−2) = +6 i)i Vorzeichen: • Gleiche Vorzeichen: („+“ und „+“ oder „−“ und „−“) → Ergebnis positiv „+“ i)i Vorzeichen: • Verschiedene Vorzeichen: („+“ und „−“ oder „−“ und „+“) → Ergebnis negativ „−“ ii) Betrag: Produkt der Beträge: 4 · 5 = 20 bzw. Quotient der Beträge: 12 : 2 = 6

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5.D.6 Potenzen mit negativer Basis 5.D.6 bzw. Produkte mit vielen Faktoren i)i Vorzeichen: • Gerader Exponent bzw. gerade Anzahl „−“: → Ergebnis positiv „+“: i)i Vorzeichen: • Ungerader Exponent bzw. ungerade Anzahl „−“: → Ergebnis negativ „−“ ii) Betrag: Potenzwert bei pos. Basis bzw. Produkt der Beträge 5.D.7 Rechengesetze Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) • der Addition: a+b=b+a • der Multiplikation: a·b=b·a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) • der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) • der Multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c) Distributivgesetze (Verteilungsgesetz): • a · (b ± c) = a · b ± a · c = (b ± c) · a • (a ± b) : c = a : c ± b : c

5.D.8 Rechenvorteile mit den Distributivgesetzen

• Ausklammern eines gemeinsamen Faktors: 7 · 13 + 7 · 17 = 7 · (13 + 17) = 7 · 30 = 210 • Ausklammern des gemeinsamen des Divisors: 56 : 4 − 16 : 4 = (56 − 16) : 4 = 40 : 4 = 10 • „Ausmultiplizieren“: 3 · 37 = 3 · (30 + 7) = 3 · 30 + 3 · 7 = 90 + 21 = 111 • „Ausdividieren“: 87 : 3 = (90 − 3) : 3 = 90 : 3 − 3 : 3 = 30 − 1 = 29

5.E Größen und ihre Einheiten 5.E.1 Geld 1 € = 100 ct 1 ct = 0,01 € 5.E.2 Länge 1 km = 1.000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm km 1

100

m 10

1m = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm = 1 mm = 0,1 cm = 5.E.3 Masse 1 t = 1.000 kg = 1 kg = 1.000 g = 1 g = 1.000 mg t 1

100

kg 10

1

dm 1

1

cm 1

mm 1

0,01 m 0,01 dm = 0,001 m 1.000.000 g 1.000.000 mg

100

g 10

1

100

mg 10

1

1 kg = 0,001 t 1 g = 0,001 kg = 0,000.001 t 1 mg = 0,001 g = 0,000.001 kg 5.E.4 Zeit 1 a = 12 Monate ; 1d = 24 h 1 a = 365 d 1h = 60 min = 3.600 s 1 a = Schaltjahr: 366 d ; 1 min = 60 s

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5.E.5 Flächeninhalt

5.F.5 Koordinatensystem 2

Ein Quadratzentimeter (1 cm ) ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge a = 1 cm. 2

1 km 1 ha 1a 2 1m 2 1 dm 2 1 cm

km2 1

= = = = = =

100 ha = 100 a = 2 100 m = 2 100 dm = 2 100 cm = 2 100 mm

ha 10

1 ha 1a 2 1m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm

m2

a 1

= = = = = =

10

1

10

10

1

2

1.000.000 m 2 1.000.000 dm 2 1.000.000 cm 2 1.000.000 mm

cm2

5

x

IV. Quadrant

1

10

Symmetrieachse

mm2 1

10

1

2

0,01 km 0,01 ha 0,01 a 2 0,01 m 2 0,01 dm 2 0,01 cm

= = = = =

2

0,000.1 km 0,000.1 ha = 0,000.1 a = 2 0,000.1 m = 2 0,000.1 dm =

0,000.001 km 0,000.001 ha 0,000.001 a 2 0,000.001 m

2

5.F.7 Geometrische Grundfiguren Quadrat Rechteck Ecke a

Diagonale Seitenlänge a

Punkt A

Gerade

C

Halbgerade

E

5.F.2 Winkel Bezeichnungen:

Raute

s

B

Strecke [AB] = s

g

D

Gerade CD = g

h

F

Halbgrade [EF = h

α = 90°

Rechter Winkel: Gestreckter Winkel: β = 180°

α

Vollwinkel:

0° < α < 90°

Parallelogramm

Trapez

Drachenviereck

Kreis Mittelpunkt M

Radius r

Es gilt: d=2·r

Durchmesser d

Besondere Winkel:

Schenkel

spitzer Winkel

Länge l

Bezeichnungen:

P

Strecke

Breite b

a

5.F.1 Geometrische Grundelemente

stumpfer Winkel

γ = 360°

überstumpfer Winkel

90° < β < 180°

p

l

5.F.8 Umfangslänge von Rechteck und Quadrat Vorstellung: „Einmal außen rum!“ Rechteck: Quadrat:

180° < γ < 360°

UR = 2 · l + 2 · b = 2 · (l + b) UQ = 4 · a

5.F.9 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Vorstellung: „Was man ausmalen muss!“ Rechteck: Quadrat:

AR = l · b („Länge mal Breite“) 2 AQ = a · a = a

5.F.10 Geometrische Grundkörper Würfel Quader

5.F.3 Besondere Lage von Geraden Senkrechte Geraden Parallele Geraden l⊥g

1

III. Quadrant

5.F Geometrie

Scheitel S

0

−5

5.F.6 Achsensymmetrische Figuren

dm2 1

I. Quadrant P(3|2)

1 cm2 = 100 mm2

1 cm

10.000 a = 2 10.000 m = 2 10.000 dm = 2 10.000 cm = 2 10.000 mm

y

II. Quadrant

1 cm

Ecke

7g g

p

a 6 Seitenflächen

Fläche

Höhe h

12 Kanten a

g a

l steht senkrecht auf g, l ist ein Lot zu g (und umgekehrt).

Geraden mit einem gemeinsamen Lot heißen parallel. p ist parallel zu g (und umgekehrt).

Pyramide

8 Ecken

Breite b

Kantenlänge a

Prisma

Kegel

Länge l

Zylinder

Kugel

5.F.4 Streckenlänge und Abstände Länge der Strecke [AB]

Abstand Punkt-Gerade

Abstand paralleler Geraden

P A

B AB = 1,5 cm

p d(P; g) = 1,2 cm g

d(p; g) = 1,3 cm

5.F.11 Oberfläche von Quader und Würfel Vorstellung: „Was man anmalen muss!“ Quader:

g

Abstand: Länge der Lotstrecke!

Würfel:

OQ = 2 · l · b + 2 · l · h + 2 · b · h = OQ = 2 · (l · b + l · h + b · h) 2 OW = 6 · a · a = 6 · a