Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones representadas en intervalos o
.... x x. Multiplicando toda la inecuación por 1. − , queda otra equivalente: 06.
INECUACIONES Y SISTEMAS Una inecuación es una desigualdad algebraica ( letras y números relacionados por los signos o ≥ ) en la que aparece al menos una incógnita. Por ejemplo, 3x − 2 ≤ 3 − 2 x . Igual que ocurre con las ecuaciones, se trata de buscar los valores que puede tomar la(s) incógnita(s) para que se cumpla la ‘condición’ dada: ¿Qué números cumplen que su triple menos dos es menor o igual que tres menos su doble? Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones representadas en intervalos o semirrectas, aunque también pueden tener 1, 2, 3…. o ninguna solución, e incluso tener como soluciones a todos los números reales. ¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Hay que ir transformándolas en inecuaciones equivalentes cada vez más sencillas. Las reglas que permiten pasar de una inecuación a otra equivalente son: • Regla de la suma: si a los dos miembros de la inecuación sumamos o restamos un mismo número, obtenemos una inecuación equivalente. • Regla del producto: si a los dos miembros de la inecuación los multiplicamos o dividimos: - Por un número positivo: la inecuación que se obtiene es equivalente a la primera. - Por un número negativo: la inecuación que se obtiene es equivalente a la primera, cambiando el sentido de la desigualdad. Resolvemos el ejemplo: 3x − 2 ≤ 3 − 2 x aplicando la regla de la suma: 3x + 2 x ≤ 3 + 2 → 5 x ≤ 5 5 aplicando ahora la regla del producto por un número positivo: x ≤ → x ≤ 1 5 Las soluciones de la inecuación son todos los números reales menores o iguales que 1, es decir, la semirrecta (−∞,1] INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA En general, las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven siguiendo los siguientes pasos: 1º) Se suprimen los paréntesis 2º) Se eliminan los denominadores con el m.c.m., si los hay. 3º) Se trasponen términos, dejando la incógnita a un lado y los números a otro, obteniendo una inecuación del tipo: ax < b, ax ≤ b, ax > b, ax ≥ b 4º) Despejamos la incógnita. INECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE UNO CON UNA INCÓGNITA Cuando la expresión algebraica que aparece en la inecuación tiene grado 2 o mayor, la resolveremos por el método de la factorización. Este método consiste en factorizar el polinomio que se obtiene al trasponer términos en la inecuación para que en uno de los miembros de la inecuación quede 0. 1
La factorización de polinomios se realiza por el método de Ruffini, y en el caso de que el polinomio tenga grado 2, también se puede factorizar resolviendo la ecuación de segundo grado resultante. ¡OJO! Cuando el coeficiente principal (el coeficiente del monomio de grado mayor) tiene signo negativo, hay que cambiar el signo a los dos miembros, y a la desigualdad. Ejemplos: 1. Inecuación de grado 2 con coeficiente principal positivo: 2 x 2 − 2 x > 2 x − 3 + x 2 Trasponiendo términos, se obtiene la inecuación equivalente: 2 x 2 − x 2 − 2 x − 2 x + 3 > 0 → x 2 − 4 x + 3 > 0 . La ecuación de segundo grado resultante, por lo tanto, es: x 2 − 4 x + 3 = 0 que al resolverla se obtienen dos soluciones: x1 = 3, x 2 = 1 Factorizando el polinomio de segundo grado: x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1) ⋅ ( x − 3) Luego la inecuación que tenemos que resolver es equivalente a: ( x − 1) ⋅ ( x − 3) > 0 Lo que se resume en buscar los valores de x para los que el producto de dos factores es > 0. Se resume en el siguiente esquema: 1
3
(x-1)
-
+
+
(x- 3)
-
-
+
(x- 1) (x- 3)
+
0
-
0
+
Luego hay dos intervalos donde el producto es > 0: (−∞,1) y (3,+∞ ) . Los dos intervalos son abiertos ya que la desigualdad es estricta. 2. Inecuación de grado 2 con coeficiente principal negativo: − x 2 − x + 6 ≥ 0 Multiplicando toda la inecuación por − 1 , queda otra equivalente: x 2 + x − 6 ≤ 0 (por la regla del producto negativo, hay que cambiar el signo de la desigualdad). Ahora se resuelve esta inecuación igual que en el ejemplo anterior. 3. Inecuación de grado 2 con una única solución: x 2 − 4 x + 4 > 0 Al resolver la ecuación de segundo grado, se obtiene una única solución x = 2, y al factorizar 2 el polinomio, la inecuación queda de la siguiente forma: ( x − 2 ) > 0 . La división de la recta en este caso queda en dos partes ya que sólo hay una raíz. Al hacer el estudio del signo, deducimos que las soluciones son: (− ∞,2) y (2,+∞ ) . O lo que es lo mismo, todos los números reales excepto el 2. Ejercicio: ¿Qué ocurriría si la inecuación fuese x 2 − 4 x + 4 ≥ 0 , o x 2 − 4 x + 4 < 0 , o x 2 − 4x + 4 ≤ 0 ? 4. Inecuación de grado 2 sin solución real: 3x 2 − 12 x + 15 ≥ 0 2
Al resolver la ecuación de segundo grado, observamos que no tiene soluciones reales (la raíz sale negativa). En estos casos lo que tenemos que hacer es estudiar el signo en cualquier valor, ya que será siempre el mismo (o positivo o negativo). Al no hacerse cero nunca no cambia de signo. Resulta positivo para cualquier valor de x, por lo tanto las soluciones son todos los números reales. 5. Inecuación de grado mayor que 2: 6 x 3 + 2 x 2 − 40 x + 24 ≥ 0 . La resolvemos por factorización del polinomio: 6 x 3 + 2 x 2 − 40 x + 24 . Aplicando Ruffini:
6 2 6 -3 6
2
-40
12
28 -24
14 -12 -18
12
-4
0
24
0
El polinomio se descompone factorialmente en: ( x − 2 ) ⋅ ( x + 3) ⋅ (6 x − 4) y las raíces son 2 x1 = 2, x 2 = −3, x3 = . Se trata de estudiar cuándo el producto de estos tres factores es 3 mayor o igual que cero. Lo hacemos en una tabla como en el caso anterior: -3
2/3
2
(x − 2)
-
-
-
+
(x + 3)
-
+
+
+
(6 x − 4)
-
-
+
+
-
0 +
(x − 2)(x + 3)(6 x − 4)
-
0
+
0
Con lo que concluimos que los intervalos en los que se cumple la inecuación son: 2 − 3, 3 y [2,+∞ ) .
3
INECUACIONES RACIONALES Una inecuación racional con una incógnita es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente expresada en forma de cociente de polinomios en una de las siguientes formas: P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) < 0, ≤ 0, > 0, ≥0 Q (x ) Q (x ) Q (x ) Q (x ) Para resolver este tipo de inecuaciones, factorizamos los dos polinomios y procedemos como en los casos anteriores estudiando el signo del cociente en cada tramo de la recta real. Lo vemos con un ejemplo: 3x − 1 ≥ 0 , para resolverla debemos descomponer factorialmente el x −x−2 polinomio del denominador: x 2 − x − 2 = ( x + 1) ⋅ ( x − 2 ) por lo que la inecuación se transforma en 3x − 1 la siguiente: ≥0 (x + 1) ⋅ (x − 2) Estudiamos ahora el signo del cociente de los polinomios dividiendo la recta en las raíces de los 1 mismos: 3x − 1 = 0 → x = el numerador tiene una sola raíz. 3 2 x − x − 2 = 0 → x1 = −1, x 2 = 2 el denominador tiene dos raíces. Luego en total 1 tenemos tres raíces en el cociente: − 1, y 2 3 -1 1/3 2
Dada la inecuación:
2
3x − 1
-
-
+
+
(x + 1)
-
+
+
+
(x − 2)
-
-
-
+
3x − 1 (x + 1) ⋅ (x − 2)
-
no existe
+
-
no
+
existe
Observando la última fila de la tabla anterior, vemos que la inecuación se cumple para los valores 1 1 de x siguientes: − 1 < x ≤ y para 2 < x , lo que se resume en los intervalos: − 1, y (2,+∞ ) 3 3 Obsérvese que para lo valores de x = -1 y x = 2 la inecuación no tiene sentido al ser el denominador 0, por eso se han eliminado estos valores de los intervalos aunque la desigualdad sea ≥ . Actividades:
4
Intenta resolver las siguientes inecuaciones: x 3 + 2x 2 − x − 2 < 0 x 4 − x 3 − 8 x 2 + 12 x ≤ 0 x 4 − 6 x 3 + 30 x > 25 x 4 − x 3 − x 2 − 2x ≤ 0 2x − 8 e) 0 4x 2 − 1
a) b) c) d)
5
