JAWABAN UJIAN TENGAH SEMESTER. MATA KULIAH STRUKTUR ALJABAR.
SEMESTER IV - A,B,C,D. 1. Himpunan G tidak kosong dan dilengkapi dengan ...
JAWABAN UJIAN TENGAH SEMESTER MATA KULIAH STRUKTUR ALJABAR SEMESTER IV - A,B,C,D
1. Himpunan G tidak kosong dan dilengkapi dengan operasi biner ∗. 1.a. Syarat sistim (G, ∗) menjadi grup adalah: i. Opreasi biner ∗ bersifat asosiatif. ii. Di G terdapat unsur identitas untuk operasi ∗. iii. Setiap unsur di G memiliki invers untuk operasi ∗. 1.b. Himpunan G adalah himpunan matriks 2×2 yang memiliki determinan sama dengan 1. Terhadap operasi perkalian (·) akan dibuktikan sistim (G, ·) adalah sebuah grup. 0. Untuk kasus seperti ini perlu ditunjukkan terlebih dahulu bahwa operasi perkalian tertutup di G. Ambil A, B di G. dengan demikian |A| = |B| = 1. Tentunya untuk A · B juga merupakan matriks berukuran 2 × 2. Berdasar sifat determinan untuk perkalian matriks berlaku |A · B| = |A| · |B| = 1. Jadi A · B ∈ G. i. Untuk sifat asosiatif tentunya berlaku untuk semua matriks dan tidak terkecuali untuk matriks ini. 1 0 ii. Terdapat unsur identitas yaitu I2 = karena |I2 | = 1. 0 1 a b iii. Ambil sembarang matriks A = di G. Dengan demikian c d berlaku |A|= ad − bc = 1. Selanjutnya pilih matriks B = d −b . Mudah sekali ditunjukkan bahwa |B| = 1 yang −c a berarti B ∈ G dan A·B = I2 . Dengan demikian terbukti bahwa setiap unsur di G memiliki invers. Jadi terbukti bahwa (G, ·) adalah grup. 2. Diketahui (G, ∗) adalah grup dan p ∈ G. Dengan demikian di G berlaku sifat asosiatif, terdapat unsur identitas (namakan i), dan setiap unsurnya punya invers. 2.a Akan ditunjukkan bahwa C(p) = {x ∈ G|p ∗ x = x ∗ p} adalah grup. 0. Ambil a dan b di C(p). Dengan demikian berlaku p ∗ a = a ∗ p dan p ∗ b = b ∗ p. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa a ∗ b ∈ C(p). Untuk itu perhatikan hubungan p ∗ (a ∗ b) = (p ∗ a) ∗ b = (a ∗ p) ∗ b = a ∗ (p ∗ b) = a ∗ (b ∗ p) = (a ∗ b) ∗ p. Dari hubungan ini berarti operasi ∗ tertutup di C(p). i. Karena unsur-unsur di C(p) adalah unsur di G yang merupakan grup maka juga berlaku sifat asosiatif. ii. Unsur identitas di G adalah i dan berlaku pula bahwa i ∗ p = p ∗ i. Dengan demikian i merupakan unsur identitas di C(p).
iii. Misal a ∈ C(p) yang berarti p ∗ a = a ∗ p. Dari sifat identitas diperoleh a ∗ a−1 = i. dengan mengalikan kedua ruas dengan p diperoleh p ∗ a ∗ a−1 = p atau a ∗ p ∗ a−1 = p. Kedua ruas dikalikan dengan a−1 diperoleh a−1 ∗a∗p∗a−1 = a−1 ∗p. Dengan menyederhanakan diperoleh p ∗ a−1 = a−1 ∗ p. Jadi a−1 ∈ C(p) Dari hal tersebut dapat disimpulkan bahwa C(p) adalah grup terhadap operasi ∗. 2.b Dengan cara yang mirip buktikan untuk yang nomor ini 3. Diketahui G adalah grup dengan operasi biner ∗. 3a. Untuk a ∈ G dan n ∈ N: didefinisikan sebagai berikut a0 = i dengan i adalah unsur identitas di G, sedangkan an = |a ∗ a ∗{z· · · ∗ a} n
serta a−n = |a−1 ∗ a−1{z ∗ · · · ∗ a−1}. n
3b. Diketahui a, b di G dan m, n di N. m+n . 3b.1. am ∗ an = |a ∗ a ∗{z· · · ∗ a} ∗ |a ∗ a ∗{z· · · ∗ a} = a | ∗ a ∗{z· · · ∗ a} = a m
n
m+n
3b.2. (am )n = |a ∗ a ∗{z· · · ∗ n} ∗ · · · |∗a ∗ a {z ∗ · · · ∗ a} = amn . m m | {z } n
3b.3. (a∗b)n = (a ∗ b) ∗ (a ∗ b) · · · ∗ (a ∗ b) = |a ∗ a ∗{z· · · ∗ a} ∗ |b ∗ b ∗{z· · · ∗ }b = | {z } an ∗ b n .
n
n
n
4. Diketahui G sebuah grup, a ∈ G. Akan ditunjukkan H = {an |n ∈ Z} adalah sebuah grup. 0 Jelas H 6= ∅ karena a = a1 ∈ H. Selain itu misal am ∈ H dan an ∈ H dengan m, n di Z. Dari sifat yang ada di soal Nomor 3, terlihat bahwa am an = am+n ∈ H karena m + n ∈ Z. Jadi juga tertutup. i. Karena H ⊆ G dan G merupakan grup maka di H juga berlaku sifat asosiatif. ii. Bilangan 0 ∈ Z dengan demikiani = a0 ∈ H. Jadi unsur identitas i ada di H. iii. Misal an ∈ H suatu n ∈ Z. Selanjutnya pilih a−n dan ini tentunya juga di H karena −n ∈ Z. Dari sifat di soal nomor 3 di atas didapat an a−n = an−n = a0 = i. Jadi setiap unsur di H memiliki invers. Dengan demikian H merupakan grup.
