Jawaban UTS Statistika Matematika II. Catatan: Jawaban untuk tipe soal yang
sering dibahas tidak dibuat secara lengkap. Selanjutnya, beberapa langkah juga
...
Jawaban UTS Statistika Matematika II Catatan: Jawaban untuk tipe soal yang sering dibahas tidak dibuat secara lengkap. Selanjutnya, beberapa langkah juga dipersingkat untuk memberikan kesempatan Anda mengeksplorasi lebih lanjut kemampuan Anda. Jika ada hal yang kurang jelas hubungi saya atau lihat blog! 1. Tipe soal seperti ini sudah sering dibicarakan dan dibahas di kelas :-) Gunakan metode fungsi pembangkit momen. (a) X − Z ∼ N (µ, σ 2 + 1). (b) (Z12 + Z22 )/2 ∼ GAM(1, 1) atau EXP(1). 2. Bukti: P P ¯ 2 dan V = U1 + U2 . Bentuk Misalkan U = ni=1 (Xi − µ)2 /σ 2 dan U2 = ki=1 (Zi − Z) Pn V =
i=1 (Xi σ2
− µ)2
k X ¯ 2 + (Zi − Z) i=1
P ¯ 2 (k − 1) ki=1 (Zi − Z) = + (k − 1) 1 Pn (Xi − µ)2 S2 + (k − 1) Z . = i=1 2 σ 1 Pn
i=1 (Xi σ2
2
− µ)
(1)
Kita tahu bahwa U1 ∼ χ2 (n) dan U2 ∼ χ2 (k − 1). Mengingat peubah acak X dan Z saling bebas, maka distribusi peubah acak V pada persamaan (1) dapat dihitung dengan metode fungsi pembangkit momen sebagai berikut: MV (t) = MU1 (t)MU2 (t) = (1 − 2t)−n/2 (1 − 2t)−(k−1)/2 = (1 − 2t)−(n+k−1)/2 .
(2)
BentukP (2) adalah fungsi pembangkit momen dari χ2 (n + k − 1). Jadi terbukti P n k ¯ 2 ∼ χ2 (n + k − 1). bahwa i=1 (Xi − µ)2 /σ 2 + i=1 (Zi − Z) 3. Soal tipe ini juga sudah sering dibahas. Sebagai catatan batas pengintegralan adalah θ sampai ∞. Dengan demikian Z ∞ E(X) = 2θ2 x−2 dx = 2θ. θ
¯ Selanjutnya menyamakan momen pertama dan momen sampel diperoleh θˆ = X/2. 4. Terlebih dahulu dihitung fungsi kemungkinannya (likelihood ) untuk fungsi densitas
1
peluang tersebut. n Y 1 L(θ1 , θ2 ) = exp[−(xi − θ1 )/θ2 ] θ i=1 2
1 1 exp[−(xi − θ1 )/θ2 ] · · · exp[−(xn − θ1 )/θ2 ] n θ2 θ2 1 = n exp{−[(x1 − θ1 ) + · · · + (xn − θ1 )]/θ2 } θ2 X n 1 = n exp − (xi − θ1 )/θ2 , θ1 ≤ semua xi < ∞. θ2 i=1 =
(3)
Untuk θ2 > 0, fungsi L(θ1 , θ2 ) dimaksimumkan dengan memilih θ1 sebesar mungkin. Namun, sebesar-besarnya θ1 akan selalu lebih kecil daripada nilai minimum X1 , . . . , Xn . Jadi θˆ = min(X1 , . . . , Xn ). Untuk mencari pendugaan untuk θ2 dapat dilakukan dengan mencari fungsi log kemungkinan persamaan (3): ` = log L(θ1 , θ2 ) X n 1 (xi − θ1 )/θ2 = log n exp − θ2 i=1 = −n log θ2 −
n X
(xi − θ1 )/θ2 .
(4)
i=1
Menurunkan parsial terhadap persamaan (4) diperoleh Pn (xi − θ1 ) n ∂` = − + i=1 2 . ∂θ2 θ2 θ2 Menyamakan persamaan (5) dengan 0 diperoleh n − + θˆ2
Pn
i=1 (xi − 2 θˆ2
θˆ1 )
=0
atau θˆ2 =
Pn
i=1 (xi
− θˆ1 )
n (xi − min(x1 , . . . , xn )) = i=1 . n P Jadi diperoleh θˆ1 = min(X1 , . . . , Xn ) dan θˆ2 = ni=1 (xi − min(X1 , . . . , Xn ))/n Pn
2
(5)
