Kekontinuan Fungsi dan Teorema Nilai Antara Definisi 1 ...

Kekontinuan Fungsi dan Teorema Nilai Antara Definisi 1(Kekontinuan) Misalkan F didefinisikan pada selang buka yang memuat c. Dikatakan f kontinu di c jika dan hanya jika lim f (x) = f (c).

x→c

Catatan: Pada pembahasan limit fungsi di c tidak diperlukan keterdefinisian f di c yakni f (c) boleh ada atau tidak, namun pada kekontinuan f di c, f (c) harus ada, lebih dari itu kekontinuan memerlukan tiga hal, yaitu (i) f (c) ada, (ii) lim f (x) ada, x→c

(iii) lim f (x) = f (c). x→c

Berikut ini diberikan contoh-contoh fungsi kontinu, yang dinyatakan dalam teorema. Teorema A (Kekontinuan Fungsi Polinom dan Rasional) Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c, kecuali pada bilangan yang membuat penyebutnya 0. Teorema B (Kekontinuan Fungsi Nilai Mutlak dan Akar ke-n). Fungsi nilai mutlak kontinu disetiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c. Jika n genap, fungsi akar ke-n kontinu disetiap bilangan real positip. Teorema C (Kekontinuan Fungsi Sinus dan Cosinus) Fungsi Sinus dan Cosinus kontinu disetiap bilangan real c. Teorema D Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang kontinu di c, k ∈ R. Maka (i) kf kontinu di c, (ii) f + g kontinu di c, (iii) f − g kontinu di c’ (iv) f g kontinu di c, (v)

f g

kontinu di c, asalkan g(c) 6= 0, 1

(vi) f n kontinu di c, √ (vii) Jika n genap n f kontinu di c, asalkan f (c) > 0. √ (viii) Jika n ganjil n f kontinu di c Teorema E (Teorema Limit Komposisi) Misalkan lim g(x) = L dan f kontinu di L, maka x→c





lim f (g(x)) = f lim g(x) = f (L).

x→c

x→c

Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f ◦ g kontinu di c. Catatan: Teorema tersebut dapat dipergunakan untuk memeriksa kekontinuan dari suatu fungsi yang merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih, seperti terlihat dalam contoh berikut ini. Contoh 1 Misalkan f (x) = sin2 |3x2 − 4x − 15|. Selidiki kekontinuan dari fungsi f tersebut. Jawab: Misalkan r(x) = 3x2 − 4x − 15, q(x) = x2 , p(x) = sin(x), perhatikan bahwa f (x) = p(q(r(x))), karena p, q dan r kontinu di setiap bilangan real c (kontinu dimana-mana), maka menurut Teorema E, f kontinu di semua bilangan real. Teorema Nilai Antara (TNA) Misalkan f kontinu pada interval I. Misalkan a dan b termuat di I. Misalkan W suatu bilangan diantara f (a) dan f (b). Maka, terdapat bilangan c diantara a dan b sedemikian sehingga f (c) = W . Berikut ini diberikan contoh penggunaan Teorema Nilai Antara. Contoh 2 Diketahui f (x) = 10x4 − 7x3 − 2. Selidiki apakah f mempunyai akar (pembuat nol) ? Jawab: Perhatikan bahwa f (0) = −2 dan f (1) = 1. Karena f polinom maka f kontinu dimana-mana. Sekarang pilih W = 0, berarti W berada diantara f (0) dan f (1). Karena semua hipotesis TNA terpenuhi maka terdapat titik c diantara 0 dan 1 sedemikian sehingga f (c) = W = 0. Dengan demikian terdapat satu titik c diantara 0 dan 1 sedemikian sehingga f (c) = 0, hal itu berarti f paling 2

sedikit mempunyai satu akar. Contoh 3 Misalkan f kontinu pada [0, 1] dan 0 ≤ f (x) ≤ 1, untuk semua x ∈ [0, 1]. Tunjukkan bahwa f mempunyai titik tetap pada [0, 1] (tunjukkan bahwa terdapat c ∈ [0, 1] sedemikian sehingga f (c) = c). Jawab: Misalkan g(x) = f (x) − x. Karena f kontinu pada [0, 1] dan fungsi h(x) = x kontinu pada [0, 1], maka g kontinu pada [0, 1]. Sekarang perhatikan bahwa g(0) = f (0) − 0 = f (0) ≥ 0 g(1) = f (1) − 1 ≤ 1 − 1 = 0. Selanjutnya perhatikan untuk kasus salah satu f (0) = 0 atau f (1) = 1 maka g(0) = 0 atau g(1) = 0, hal itu berarti terdapat titik c = 0 atau c = 1 sedemikian sehingga 0 = g(c) = f (c) − c. Dengan kata lain terdapat titik sedemikian sehingga f (c) = c. Kasus yang lainnya adalah f (0) 6= 0 dan f (1) 6= 1, diperoleh g(0) > 0 dan g(1) < 0. Pilih W = 0, menurut TNA yang dikenakan pada g, terdapat c diantara 0 dan 1 sedemikian sehingga g(c) = W = 0. Dengan kata lain terdapat c diantara 0 dan 1 sedemikian sehingga g(c) = f (c) − c = 0. Dengan demikian terbukti bahwa f mempunyai titik tetap.

3