19 mars 2008 ... Ce cours s'inspire très largement du cours écrit par Yves Jannot, trouvé sur le ... 1
Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques.
L3 Parcours Physique Chimie Thermodynamique: Transferts thermiques 1 Nathalie Daniault 19 mars 2008
1. Ce cours s’inspire très largement du cours écrit par Yves Jannot, trouvé sur le web à l’adresse suivante http://www.thermique55.com/, du livre “Introduction aux transferts thermiques” de Dominique Marchio et Paul Reboux, cours de l’Ecole des Mines de Paris et du dossier “Transmission de l’énergie thermique” par Alain Degiovanni, Techniques de l’ingénieur, BE 8200.
Table des matières 1 Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Définition des grandeurs fondamentales . . . . . . . . . . . 1.2.1 Température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur . . . . . 1.3.1 Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Expression des flux d’énergie . . . . . . . . . . . .
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2 Transfert de chaleur par conduction 2.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conduction en régime permanent . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Notion de résistance thermique . . . . . . . . . 2.2.3 Transfert unidirectionnel . . . . . . . . . . . . 2.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état 2.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Nombres sans dimension . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Quelques cas d’école . . . . . . . . . . . . . .
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10 10 12 12 12 12 16 16 16 17
3 Transfert de chaleur par rayonnement 3.1 Généralités, définitions . . . . . . . . . . 3.1.1 nature du rayonnement . . . . . . 3.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . 3.2 Lois du rayonnement . . . . . . . . . . . 3.2.1 Loi de Lambert . . . . . . . . . . 3.2.2 Lois physiques . . . . . . . . . . 3.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques 3.3.1 Problème général . . . . . . . . . 3.3.2 Plans parallèles infinis . . . . . .
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20 20 20 20 23 23 23 25 25 26
4 Transfert de chaleur par convection 4.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . 4.1.1 Dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convection: généralités, définitions . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Convection naturelle et forcée . . . . . . . . . . 4.2.2 Régime d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Expression du flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée . 4.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle
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27 27 27 27 28 30 30 30 30 31 31
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4.4
Introduction à la convection avec changement d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 1
Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques 1.1 Introduction La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’extérieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre. La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps) l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibre initial et l’état d’équilibre final. Les deux notions fondamentales en transferts thermiques sont la température et la chaleur. La température (T) caractérise l’état d’un corps ; la chaleur (Q) exprime un échange énergie. Lorsque deux points dans l’espace sont à des températures différentes, il y a systématiquement transfert de chaleur toujours du corps “chaud” vers le corps “froid”. C’est une conséquence directe du deuxième principe de la thermodynamique. Considérons un système isolé:
T1
T2
δQ
dS = dS1 + dS2 ¶ µ δQ −δQ 1 1 dS = + = δQ − T1 T2 T1 T2 T2 − T 1 dS = δQ T 1 T2 dS > 0 ⇒ T2 > T1 Ce processus est irréversible, car bien qu’isolé du milieu extérieur, il y a création d’entropie.
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1.2 Définition des grandeurs fondamentales 1.2.1
Température
C’est une variable d’état qui, du point de vue de la structure intime de la matière, caractérise le degré d’agitation de ses particules. R = L’énergie cinétique EC de chaque particule est liée à la température T par EC = 23 kT , où k = N 8,314 −23 −1 = 1,38 10 JK . Avec k la constante de Boltzmann, R, la constante des gaz parfaits et N le 6,025 1023 nombre d’Avogadro. Elle résulte donc de la détermination d’une moyenne et, de ce fait, il est impossible, en toute rigueur, de définir la température en un point géométrique. L’unité de la température est définie comme suit (JO 23/12/75):”le Kelvin (K) est la fraction 1/273.16 de la température thermodynamique du point triple de l’eau”. On utilise fréquemment la température Celsius définie par la différence T − T0 entre deux températures thermodynamiques T et T0 avec T0 = 273.16K. Un intervalle ou une différence de températures peuvent s’exprimer soit en Kelvin soit en degrés Celsius. Champ de température Nous dirons qu’à l’instant t la température d’un corps est uniforme si, en cet instant, tous les appareils de mesure indiquent la même valeur T quelle que soit leur position. Nous dirons en outre qu’elle est constante si T est indépendante de l’instant d’observation. Si ces deux conditions ne sont pas réalisées, nous dirons que la température est une fonction scalaire T(x,y,z,t) des coordonnées du repère d’espace-temps.
Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la température T(x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champ de température. Nous distinguerons deux cas: – Champ de température indépendant du temps: le régime est dit permanent ou stationnaire. – Évolution du champ de température avec le temps: le régime est dit variable ou instationnaire. Gradient de température À l’intérieur d’un corps homogène, on peut définir à chaque instant t des surfaces isothermes caractérisées par T(x,y,z,t)=cste. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à la surface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température:
grad (T)
isotherme T0
∂T − −−→ → grad(T ) = n avec ∂n
(
− → n Vecteur unitaire de la normale ∂T ∂n dérivée de la température le long de la normale 4
´ ³ − → ∂T ∂T En coordonnées cartésiennes le vecteur gradient de température ∇T a pour coordonnées 1 ∂T ∂x , ∂y , ∂z .
1.2.2
Chaleur
Définitions Le premier principe de la thermodynamique affirme l’existence d’une fonction d’état d’équilibre thermodynamique, l’énergie interne U(A) correspondant à un état déterminé (ici l’état A) et définie à une constante additive près. L’augmentation d’énergie interne U(B) - U(A) est due à : – la réalisation d’un travail macroscopique W(A → B), par exemple des forces de pression. – la réalisation d’un transfert d’énergie microscopique, qui donc ne se voit pas, mais existe néanmoins, qui est appelé, par définition, la chaleur lors de la transformation Q(A → B). On déduit donc la définition formelle de la chaleur (parce qu’on a énoncé le premier principe, non évident per se) : Q(A → B) = U(B)- U(A) - W(A → B) le long de la transformation de A à B Si nous insistons sur « le long de la transformation », c’est que l’intégrale curviligne (par exemple des forces de pression ) n’est pas indépendante du chemin suivi pour aller de A vers B. La chaleur est donc une forme d’énergie au même titre que le travail d’un système de forces au cours d’un déplacement. La prise en compte d’une quantité de chaleur Q implique une situation évolutive. Il s’agit forcément d’un échange d’énergie entre plusieurs corps (ou entre plusieurs domaines d’un même corps) au cours d’un laps de temps déterminé. L’unité est le Joule (J). Flux de chaleur Si entre deux instants t et t’, l’interaction étudiée s’accompagne d’un échange de chaleur δQ, on appelle flux thermique moyen la quantité δQ/(t′ − t) et, par un passage à la limite, on peut définir: – Un flux thermique instantané (c’est une puissance) en Watt (W): Φ(W ) =
δQ(J) dt(s)
– Un flux thermique à travers une surface, c’est la quantité de chaleur qui traverse la surface par unité de temps. – Ramené à l’unité de surface on parle de densité de flux thermique (W m−2 ): ϕ(W
m−2 )
=
δQ(J) S(m2 ) dt(s) 1
où S est l’aire de la surface traversée
– On peut également définir le vecteur densité de flux thermique en tout point ϕ ~: dΦ = ϕ ~ .~n.dS
où ~n normale à la surface dS
ϕ ~ caractérise en chaque point M du milieu, la direction, le sens et l’intensité du flux thermique. L’ ensemble des ϕ ~ constitue un champ de vecteurs analogue aux autres champs physiques: champ électrique, champ de forces ... – Lignes de courant, tubes de courants Les lignes de courant sont les courbes tangentes en chaque point aux vecteurs densité de flux ϕ ~ ; l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de courant. 1. − → − → → → → → → → soit ∇T = A− x + B− y + C− z et dl = dx− x + dy − y + dz − z → − → − ∇T. dl = dT = Adx + Bdy + Cdz dT = ∂T dx + ∂T dy + ∂T dz ∂x ∂y ∂z ∂T ∂T ⇒ A = ∂T ; B = ; C = ∂x ∂y ∂z
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Chaleur spécifique Lorsqu’un corps reçoit, ou perd, de l’énergie sous forme de chaleur, on constate expérimentalement que sa température augmente ou baisse. l’énergie calorifique correspond – pour les gaz et les liquides, à l’agitation moléculaire (EC = 23 kT ); – pour les solides, à l’agitation de vibration autour d’une position. Pour une même quantité d’énergie, la masse (m) à échauffer intervient en diluant cette chaleur: plus la masse est importante, plus la variation de température ∆T est faible (il y a plus de molécules à mettre en mouvement avec la même énergie). Enfin la qualité de la matière intervient, sous la forme d’un coefficient c, appelé chaleur spécifique (ou massique): la chaleur spécifique(J kg −1 K −1 ) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température de l’unité de masse de 1 degré Celsius. L’équation fondamentale régissant la quantité de chaleur en fonction des variables citées (à pression constante) est: Q = mc∆T Avec m la masse (quantité de matière) du système concerné, c, la chaleur spécifique de la matière dont est constitué le système et ∆T la variation de température. Changement d’état: Chaleur latente L’équation ci dessus (1.1) s’applique pour un état (ou phase) fixé de la matière. Or la matière peut se trouver sous trois états différents (solide, liquide, vapeur) qui correspondent à des états de désorganisation (entropie) croissante. Lorsqu’il y a changement d’état (de phase), la température ne varie pas tant qu’il reste deux phases en présence: par exemple, dans la casserole, l’eau est à 100o C que le gaz (la quantité de chaleur fournie) soit fort ou moyen, il y a seulement plus ou moins d’eau qui s´évapore. À chaque unité de masse évaporée, il a fallu apporter une certaine quantité d’énergie: c’est la chaleur latente de changement de phase (L): – chaleur latente de fusion (solidification): passage de l’état solide à l’état liquide; – chaleur latente de vaporisation (liquéfaction): passage de l’état liquide à l’état vapeur; – chaleur latente de sublimation (condensation): passage de l’état solide à l’état vapeur; L(J kg −1 ) quantité de chaleur nécessaire pour évaporer l’unité de masse d’un corps pour qu’il change d’état et Q = mL (= ∆H variation d’entropie)
1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur 1.3.1
Bilan d’énergie
Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventaire des différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être: Φst flux de chaleur stocké Φg flux de chaleur généré Φe flux de chaleur entrant Φs flux de chaleur sortant
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dans le système (S) ¯ ¯ ¯
On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie par unité de temps (en W) du système (S): Φe + Φg = Φs + Φst 6
(1.1)
(S)
Φg
Φst
Φs
Φe
1.3.2
Expression des flux d’énergie
Il faut maintenant établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans le bilan d’énergie, nous obtiendrons l’équation différentielle dont la résolution permettra de connaître l’évolution de la température en chaque point du système. Conduction C’est le transfert de chaleur dans la masse d’un milieu matériel, sans déplacement de matière, sous l’influence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corps s’effectue selon deux mécanismes distincts: une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et une transmission par les électrons libres. C’est donc un mécanisme de chocs qui intervient. S
T1
T1 > T2
T2
−λS ∂T ∂x x
La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier: la densité de flux de chaleur 2 est proportionnelle au gradient de température: −−→ − → − → ϕ W m−2 = −λgrad T = −λ ∇T
(1.2)
et sous forme algébrique, le flux de chaleur unidirectionnel s’écrit:
Φ = −λS ∂T ∂x
Φ(W )
Flux de chaleur transmis par conduction
λ(W m−1 K −1 ) Conductivité thermique du milieu avec x(m) Variable d’espace dans la direction du flux S(m2 ) Aire de la section de passage du flux de chaleur
* Le gradient de température en chaque point est normal à la surface isotherme passant par ce point ** Nous pouvons écrire la quantité de chaleur ayant traversé la surface dS pendant l’intervalle de temps dt: ∂T −−→ dS dt dQ = −λgrad T.~n dS dt = −λ ∂n Convection C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide. Le mouvement du fluide peut avoir deux causes. Ou bien il est imposé de l’extérieur par une machine (pompe, − → → 2. − ϕ est souvent noté jQ dans la littérature
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ventilateur , compresseur) ; c’est la convection forcée. Ou bien le contact du fluide avec la surface du solide (paroi) plus chaude ou plus froide crée des différence de masse volumique, génératrices de mouvement au sein du fluide ; c’est la convection naturelle. Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton:
Φ = hS(Tp − T∞ ) avec
Φ(W ) h(W m−2 K −1 )
T
p (K) T ∞ (K)
S(m2 )
Flux de chaleur transmis par convection Coefficient de transfert de chaleur par convection Température de surface du solide Température du fluide loin de la surface du solide Aire de la surface de contact solide/fluide
(1.3)
T∞ Φ
S
TP
La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, de sa température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide. rayonnement C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide). C’est une transmission d’énergie à distance, entre deux corps séparés ou non par un milieu matériel. C’est le cas de l’énergie qui nous vient du soleil. L’interprétation physique est la suivante: tout corps émet des particules désignées par “photons”; ceux ci se déplacent à la vitesse de la lumière et transportent une énergie fonction de leur “longueur d’onde”. Un corps C émettant des photons dans toutes les directions possibles, certains d’entre eux sont reçus par l’autre corps C’ et éventuellement absorbés, en tout ou partie. Bien entendu, le corps C’ émet aussi des photons dont certains seront reçus et absorbés par C. le bilan net se traduit par un échange d’énergie entre C et C’. Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation:
4 ) avec Φ = σǫp S(Tp4 − T∞
Φ(W ) σ (W m−2 K −4 )
ǫp Tp (K) T∞ (K) S(m2 )
Flux de chaleur transmis par rayonnement Constante de Stephan = 5.67 10−8 Facteur d’émission de la surface Température de la surface Température du milieu environnant la surface Aire de la surface
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(1.4)
T∞
Φ
S
TP
Stockage d’énergie Le stockage d’énergie dans un corps correspond à une augmentation de son énergie interne au cours du temps d’où (à pression constante):
Φst = ρ V c
∂T ∂t
avec
Φst(W ) ρ (kgm−3 ) V 3 (m )
c(J kg−1 K −1 ) T (K)
t(s)
Flux de chaleur stocké Masse volumique Volume Chaleur spécifique Température temps
(1.5)
ρ, V et c sont supposés constants, le produit ρV c est appelé la capitance thermique du corps. Génération d’énergie Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertie en énergie thermique. Nous pouvons l’écrire sous la forme:
Φg = qV ˙
avec
Φg(W )
q˙
(W m V 3 (m )
−3 )
Flux d’énergie thermique générée Densité volumique d’énergie générée par unité de temps Volume
(1.6)
Combinaison des modes de transfert Le transfert de chaleur ou transfert thermique se réalise généralement par une combinaison de plusieurs mode. Par exemple, le système chauffage central, combine la convection (en général forcée) pour chauffer le fluide dans la chaudière, la conduction pour chauffer les parois du radiateur et la convection (en général naturelle) pour chauffer l’air autour du radiateur. Dans le cas du chauffage d’un solide (non transparent au sens strict du terme) par radiation, la transmission de chaleur sera une combinaison de radiation et de conduction. C’est le cas du verre chauffé par le rayonnement solaire. Dans ce cas, le transfert pourra être également combiné avec une convection naturelle derrière la vitre d’une pièce. On notera que parfois le transfert thermique s’accompagne d’un transfert de matière. Par exemple, c’est le cas de l’ébullition où une partie du liquide subit une transformation de phase et le gaz ainsi créé se déplace.
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Chapitre 2
Transfert de chaleur par conduction 2.1 L’équation de la chaleur Dans sa forme monodirectionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un mur plan:
Φg Φx
L
Φx+dx
L>>e
Φst
x
0
x+dx
e
Considérons un système d’épaisseur dx dans la direction x et de section d’aire S normalement à la direction Ox. Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit 1 :
Φx + Φg = Φx+dx + Φst avec
Φx Φ
³
´
= − λx S ∂T ∂x x = qS ˙ ³dx ´ = − λx S ∂T ∂x
g
Φx+dx Φ
= ρ c Sdx ∂T ∂t
st
x+dx
En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par dx nous obtenons: ³
λx S ∂T ∂x
´
x+dx
³
− λx S ∂T ∂x
dx
´
x
+ qS ˙ =ρcS
∂T ∂t
soit ∂ ∂T λx S ∂x ∂x µ
¶
+ qS ˙ =ρcS
∂T ∂T ∂ λx =⇒ ∂t ∂x ∂x µ
¶
+ q˙ = ρ c
∂T ∂t
et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleur dans le cas le plus général: ∂T ∂ λx ∂x ∂x µ
¶
∂ ∂T + λy ∂y ∂y µ
¶
∂ ∂T + λz ∂z ∂z µ
1. avec V = Sdx
10
¶
+ q˙ = ρ c
∂T ∂t
soit 2 − → ³ − → ´ ∇. λ. ∇T + q˙ = ρ c
∂T ∂t
(2.1)
cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas: – (a) Si le milieu est isotrope (pas de direction privilégiée): λx = λy = λz = λ – (b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système: q˙ = 0 – (c) Si le milieu est homogène, λ n’est fonction que de la température T Les hypothèses (a)+(b) permettent d’écrire: Ã
∂2T ∂2T ∂2T λ + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
!
∂T − → − → + ( ∇λ).( ∇T ) = ρ c ∂t
avec l’hypothèse (c) (λ = f (T )) 3 : Ã
∂2T ∂2T ∂2T + + λ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
!
dλ + dT
"µ
∂T ∂x
¶2
+
¶2
∂T ∂y
µ
+
µ
∂T ∂z
¶2 #
=ρc
∂T ∂t
– (d) si de plus λ est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson 4 : ∂T ∂t
a∇2 T =
(2.2)
le rapport a(m2 s−1 ) = ρλc est appelé diffusivité thermique. La diffusivité thermique exprime l’aptitude d’un corps à transmettre la chaleur plutôt qu’à l’absorber. – (e) En régime permanent (champ de température indépendant du temps), nous obtenons l’équation de Laplace: ∇2 T = 0
(2.3)
Par ailleurs les hypothèses (a), (c) et (d) permettent d’écrire 5 : – Équation de la chaleur en coordonnées cylindrique (r,θ,z): 1 ∂ ∂T r r ∂r ∂r µ
¶
1 ∂2T ∂2T q˙ 1 ∂T + + = r2 ∂θ2 ∂z 2 λ a ∂t
+
Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température T ne dépend que de r distance à l’axe et du temps t (2.4) peut s’écrire sous une forme simplifiée: 1 ∂ r ∂r
³
´
r ∂T ∂r +
q˙ λ
=
1 ∂T a ∂t
– Équation de la chaleur en coordonnées sphériques (r,θ,ϕ): 1 ∂ ∂T r2 r2 ∂r ∂r µ
¶
+
∂ 1 ∂T sin θ r2 sin θ ∂θ ∂θ µ
¶
+
∂2T 1 q˙ 1 ∂T + = 2 λ a ∂t r2 sin θ ∂ϕ2
Dans le cas d’un problème à symétrie sphérique où la température T ne dépend que de r distance au centre de symétrie et du temps t (2.5) peut s’écrire sous une forme simplifiée: 1 ∂ r 2 ∂r
³
´
r2 ∂T ∂r +
q˙ λ
=
1 ∂T a ∂t
− → → 2. avec ∇.(− − ) l’opérateur différentiel divergence d’un champ de vecteurs 3. on a alors pour chaque terme dérivé de λ(T ) ∂λ ∂T = ∂x ∂x
³
∂λ ∂T ∂T ∂x
´
∂T ∂λ = ∂x ∂T
³
∂T ∂x
4. avec ∇2 l’opérateur différentiel Laplacien, qui peut aussi s’écrire ∆ 5. voir annexe I
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´2
=
dλ dT
³
∂T ∂x
´2
2.2 Conduction en régime permanent 2.2.1
Généralités
L’équation de transfert se réduit à: −−→ div(λgrad T ) + q˙ = 0 Dans le cas de la conduction morte (pas de source interne), le système est à flux conservatif puisque: −−→ div(λgrad T ) = 0 → div(~ ϕ) = 0
2.2.2
Notion de résistance thermique
Pour un système sans source interne et dont la conductivité thermique λ est indépendante de la température, on introduit la notion de résistance thermique d’un tube de courant (analogue à la résistance électrique). Soit un tube de courant compris entre deux surface isothermes (voir figure):
Φ = −λ(s) S(s) dT ds il vient λ(s)dsS(s) = − dT Φ
soit en intégrant entre les deux surfaces isothermes ss12 R 2 le flux étant conservatif ss12 λ(s)dsS(s) = T1 −T Φ que l’on peut écrire T1 − T2 = R Φ R avec R résistance du tube de courant: R = ss12 λ(s)dsS(s) R
ds λ(s) S(s)
=−
R T2 T1
dT Φ
Une analogie est alors possible avec la loi d’Ohm:
U = RI ⇔ ∆T = RΦ Z s2 ds où R = s1 λ(s) S(s)
2.2.3
(2.4) (2.5)
Transfert unidirectionnel
Mur simple On se place dans le cas où l’écoulement est unidirectionnel et qu’il n’y a pas de génération ni de stockage d’énergie. On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermique λ, et de grandes dimensions transversales dont les faces extrêmes sont à des températures T1 et T2 .
12
T1
λ Φx
Φx+dx
Section S
T2 x x+dx
0
e
Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 2.5) R=
Z
e
0
1 ds = λ(s) S(s) λS
Z
e
ds =
0
e λS
et le flux de chaleur traversant la surface S du mur selon (2.4) : Φ(W ) =
(T1 −T2 )
(2.6)
e λS
Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité (I = U R ) qui définit l’intensité du courant comme le rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsi e comme un potentiel thermique et le terme R(KW −1 ) = λS apparaît comme la résistance thermique d’un mur plan d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent suivant: ϕ T1
T2 R=
e λS
Mur multicouches C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaît que les températures Tf 1 et Tf 2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S: Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 2.5) R=
e λS
avec e, épaisseur du mur et S sa surface. D’où RT =
N X en
n=1
λn S
+
1 1 + h1 S h2 S
Et le flux Φ échangé lors de la traversée du mur: Φ(W ) =
1 h1 S
+
Tf l1 − Tf l2 + λeBBS + λeCCS +
eA λA S
1 h2 S
Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait pas de discontinuités de températures aux interfaces. En réalité, compte tenu de la rugosité de surfaces, une
13
Tf l1
T2
T1 1 h1 S
eA λA S
T4
T3 RAB
eB λB S
RBC
eC λC S
Tf l2 1 h2 S
micro-couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et crée une résistance thermique R (l’air est isolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente (2.7) s’écrit alors: Φ(W ) =
Tf l1 −Tf l2 e e e 1 + λ AS +RAB + λ BS +RBC + λ CS + h 1S h1 S 2 A B C
(2.7)
Le schéma électrique équivalent est le suivant: Remarque: une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes. Mur composite C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes. Considérons à titre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux.
En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener au calcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique R équivalente 14
d’une portion de mur de largeur L et de hauteur l = l1 + l2 + l3 en utilisant les lois d’association des résistances en série et en parallèle 6 par la relation: R = R1 + R 2 + avec R1 = R3 = R6 =
1
+ R6 + R7 + R14 + R15 e1 1 ; R2 = h1 lL λ1 lL e2 e2 e2 ; R4 = ; R5 = λ2 l 1 L λ1 l 2 L λ2 l 3 L e3 1 ; R7 = λ1 lL h2 lL 1 R3
selon le schéma électrique équivalent:
R3 R1
R4
R2 T1
Tf l1
R7
R6
Tf l2
T4
R5 T3
T2
Cylindre creux long
On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1 , de rayon extérieur r2 , de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2 . On suppose que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial. Le flux de chaleur est radial et la résistance thermique du cylindre, par application de l’équation 2.5 s’écrit: R=
Z
s2
s1
1 ds = λ(s) S(s) λ
Z
r2
r1
dr 1 r2 = ln 2πrL 2πλL r1 µ
¶
Et par application de la relation ∆T = RΦ, on obtient: Φ(W ) = −λ2πL
T1 − T 2 2πλL(T1 − T2 ) = ln (r1 /r2 ) ln (r2 /r1 )
6. Φ = Φ 3 + Φ4 + Φ5 =
T2 − T3 1 T2 − T3 T2 − T3 1 1 + + = (T2 − T3 ) + + R3 R4 R5 R3 R4 R5
³
15
´
2.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état 2.3.1
Problème général
La formulation générale de l’équation de la chaleur est (2.2) ³ − ∂T → ´ ∇. λ ∇T + q˙ = ρ c ∂t
Elle nécessite une condition initiale T0 en tout point, et deux conditions aux limites. Envisageons le cas particulier où la conductivité ne dépend pas de la température dans la gamme de températures considérée. On obtient alors l’équation de Fourier: ∇2 T +
2.3.2
q˙ 1 ∂T = λ a ∂t
Nombres sans dimension
le nombre de variables dans un problème de transfert thermique peut être réduit par l’introduction de nombres sans dimensions. Montrons le sur cet exemple de conduction unidirectionnelle avec dégagement de chaleur interne. Soit: ∂2T + λq˙ = a1 ∂T ∂t ∂x2 ∂T ∂x = 0 λ ∂T ∂x = −h(T −
pour 0 < x < l et t > 0 pour x = 0 et t > 0 T∞ )
pour x = l et t > 0
T = T0
pour 0 < x < l et t = 0
En utilisant les nombres sans dimension suivant: x∗ = xl , θ = G=
T −T∞ T0 −T∞ ,
ql ˙2 λ(T0 −T∞) ,
Bi =
hl λ
Nombre de Biot
F0 =
at l2
Nombre de Fourier
le système devient: ∂2θ ∂θ + G = ∂F ∂x∗2 0 ∂θ = 0 ∂x∗ ∂θ λ ∂x∗ = −Bi θ
pour 0 < x∗ < 1 et F0 > 0
θ=1
pour 0 < x∗ < l et F0 = 0
pour x∗ = 0 et F0 > 0 pour x∗ = 1 et F0 > 0
Deux nombres adimensionnels sont particulièrement importants en régime variable: Résistance thermique interne 1 l / hS , l est la dimension caractéristique du – Le nombre de Biot: Bi = Résistance thermique externe = λS milieu, l = r pour une sphère. Bi =
hl λ
(2.8)
Il mesure l’épaisseur thermique du domaine: on dit que le milieu est mince thermiquement (dans le sens de l) si le nombre de Biot est inférieur à 1. Cela signifie que la résistance externe bloque l’écoulement de chaleur. On peut alors considérer la température uniforme suivant la dimension de l. 16
– Le nombre de Fourier: Fo =
λ ∆T l2 l ρcl3 ∆T t
=
at l2
(2.9)
C’est le rapport du flux à travers l2 à la vitesse de stockage dans l3 , ou encore rapport de la chaleur traversant sur la chaleur accumulée. Le nombre de Fourier caractérise la pénétration de la chaleur en régime variable.
2.3.3
Quelques cas d’école
Milieu à température uniforme On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est à priori contradictoire car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas: Considérons par exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la température Ti dans un bain à température T0 maintenue constante. Si on suppose que la température de la bille est uniforme, ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut écrire le bilan thermique 7 de cette bille entre deux instants t et t+dt: dT dT hS T − T0 hS −hS(T − T0 ) = ρ c V ⇒ =− dt ⇒ = exp − t dt T − T0 ρcV Ti − T 0 ρcV µ
ρcV hS
On remarque que le regroupement du système:
¶
est homogène à un temps, on l’appellera τ la constante de temps
τ(s) =
ρcV hS
1
0.9
0.8
(T−T0)/(Ti−T0)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
τ
10 t (s)
12
14
16
18
20
Cette grandeur est fondamentale dans la mesure où elle donne l’ordre de grandeur de temps du phénomène ¡ t¢ T −T0 physique, on a en effet : Ti −T0 = exp − τ . Ceci s’apparente à la décharge d’un condensateur, ce qui permet de poursuivre l’analogie électrique: τ = RC, R(KW −1 ) = 1/hS est la résistance superficielle et C(JK −1 ) = ρcV est la capacité thermique. La définition des nombres sans dimension (Biot et Fourier) permet d’évaluer l’évolution de la température de la bille par T − T0 = exp (−Bi Fo ) Ti − T 0 7. Il n’y a pas de conduction car la température est uniforme dans la bille, il n’y a que de la convection: on écrit ici “variation d’énergie = somme des flux entrants”.
17
Milieu semi-infini, problème unidirectionnel Un milieu semi infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pour que la perturbation appliquée sur une face ne soit pas ressentie par l’autre face. Le milieu semi infini est initialement à la température uniforme Ti . On impose brutalement la température T0 sur sa surface, cette condition est appelée condition de Dirichlet. Ti = T (x,t = 0) T0 = T (x = 0,t) Milieu semi infini
0
x
l’équation de la chaleur s’écrit: ∂2T ∂x2
=
1 ∂T a ∂t avec les conditions aux limites:
T (x,0) = Ti
T (x = 0,t) = T0
lim T (x,t) = Ti x→∞
On effectue le changement de variables suivant: ∂ T¯ 1 ∂T ∂ 2 T¯ ∂2T 1 i T¯ = TT0−T −Ti d’où ∂x = T0 −Ti ∂x , ∂x2 = T0 −Ti ∂x2 et L’équation devient: ∂ 2 T¯ ∂x2
=
∂ T¯ ∂t
=
1 ∂T T0 −Ti ∂t .
1 ∂ T¯ a ∂t
avec les conditions aux limites:
¯ T (x,0) = 0
T¯(x = 0,t) = 1
lim T¯ (x,t) = 0 x→∞
On pourra utiliser pour résoudre cette équation aux dérivées partielles soit la méthode de superposition, soit la transformation de Laplace soit des méthodes numériques appropriées. Milieu semi-infini, température sinusoidale imposée en surface, régime périodique établi
T (x,t = 0) = Ti T (x = 0,t) = T0 cos ωt + Ti
Milieu semi infini x
0
l’équation de la chaleur s’écrit: ∂2T 1 ∂T = 2 ∂x a ∂t avec les conditions aux limites:
(
T (x = 0,t) = T0 cos ωt + Ti T (∞,0) = Ti
On effectue le changement de variables suivant: T¯ = T − Ti d’où 18
∂T ∂x
=
∂ T¯ ∂ 2 T ∂x , ∂x2
=
∂ 2 T¯ ∂x2
et
∂T ∂t
=
∂ T¯ ∂t .
Les conditions aux limites deviennent T¯(x = 0,t) = T0 cos ωt et T¯(∞,0) = 0 L’équation devient: ∂ 2 T¯ 1 ∂ T¯ = ∂x2 a ∂t
(2.10)
En régime permanent forcé une solution de 2.10 s’écrit en notation complexe: h
T¯ = X(x).ℜ eıωt
i
(2.11)
où l’excitation étant de nature périodique, on recherche une solution périodique de même fréquence ω que l’excitation. Donc 2.10 devient: eıωt Or ı =
(1+ı)2 2
ıω ∂2X ıω ∂2X ıω ∂2X ıωt = Xe ⇒ = X ⇒ − X=0 2 2 2 ∂x a ∂x a ∂x a
d’où: (1 + ı)2 ∂2X − ωX = 0 ∂x2 2a q
Les racines de l’équation caractéristique sont ±(1 + ı) X(x) = Ae−(1+ı)
√ω
2a
x
ω 2a
Donc
+ Be(1+ı)
√ω
2a
x
X(x) doit tendre vers une limite finie quand x tend vers +∞, donc B = 0. L’équation 2.11 devient: √ω √ω √ω T¯ = T − Ti = Ae−(1+ı) 2a x eıωt = Ae− 2a x eı(ωt− 2a x) Soit, en notation réelle T − Ti = T0 e−
√ω
2a
x
cos (ωt −
r
ω x) 2a
En tenant compte des conditions aux limites. – L’amplitude des oscillations décroît rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface. – L’amplitude des oscillations décroît rapidement quand la fréquence d’excitation augmente: une excitation de fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur une faible profondeur. – Entre les températures q T1 et T2 de deux points distants respectivement de x1 et x2 de la surface, il existe ω un déphasage égal à 2a (x1 − x2 ): la connaissance de ω et la mesure de la température au sein du milieu en deux points situés à des distances connues x1 et x2 de la surface peut permettre d’évaluer la diffusivité thermique a.
19
Chapitre 3
Transfert de chaleur par rayonnement 3.1 Généralités, définitions 3.1.1
nature du rayonnement
Tous les corps, quelque soit leur état, solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. le rayonnement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différentes longueurs d’ondes comme l’a démontré l’expérience de William Herschel:
Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température Te caractérisant l’énergie reçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe Te = f (λ) on obtient la répartition spectrale de l’énergie rayonnée pour la température T0 de la source. On constate que: – l’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde λm variable avec T0 . – l’énergie n’est émise que sur un intervalle [λ1 ,λ2 ] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement thermique.
3.1.2
Définitions
Classification Les grandeurs physiques seront distinguées selon: – La composition spectrale du rayonnement: si elle concerne un intervalle spectral étroit dλ autour d’une longueur d’onde λ elle est dite monochromatique – La distribution spatiale du rayonnement: si elle caractérise une direction donnée de propagation elle est dite directionnelle (Gx ). 20
Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre et/ou à l’ensemble des directions de l’espace elle est dite totale. Définitions relatives aux sources Flux On appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notée Φ(W ) par S dans tout l’espace qui l’entoure, sur toutes les longueurs d’ondes. – le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solide dΩ 1 est noté d2 Φ. – le flux envoyé dans tout l’espace par un élément de surface dS est noté dΦ. – le flux envoyé par une surface S dans un angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dΦx Z dS dS cos α
α ~ n
r dΩ
O Y
X
Intensité énergétique dans une direction Source ponctuelle, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelle On appelle intensité énergétique Ix le flux par unité d’angle solide émis par une source ponctuelle dans un angle solide dΩ entourant la direction Ox: Ix(W sr−1 ) =
d dΩ (dΦx )
=
d2 Φx dΩ
(3.1)
Luminance énergétique dans une direction (brillance) Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, directionnelle
− → dS ~n α
Ox Soit α l’angle fait par la normale ~n à la surface émettrice dS avec la direction Ox suivant laquelle la surface possède une intensité énergétique Ix : Lx(W m−2 sr−1 ) =
Ix dSx
=
Ix dS cos α
=
d2 Φx dΩdS cos α
(3.2)
On déduit des relations précédentes l’expression du flux d2 Φx envoyé par un élément de surface dSi de luminance Lx sur un autre élément dSk : α 1. dΩ = dS rcos : l’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface dS est par définition l’aire de la surface intersection 2 de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface dS.
21
Ox αk
−→ dSk
r −→ dSi
αi
d2 Φx = Ix dΩ = Lx dSix dΩ = Lx dSi cos αi dΩ où dΩ est l’angle solide duquel depuis la surface dSi on voit la surface dSk donc: dΩ = k cos αk d2 Φx = Lx dSi cos αirdS 2
dSk cos αk r2
(3.3)
Émittance énergétique (radiance) Source étendue dS, toutes les longueurs d’onde λ du spectre, toutes les directions L’émittance monochromatique d’une source à la température T vaut: MλT (W m−3 ) =
dΦλ+dλ λ dS dλ
(3.4)
L’émittance totale est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par l’élément de surface dS sur tout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température T de la source: MT (W m−2 ) =
λ=∞ R
MλT dλ =
λ=0
dΦ dS
(3.5)
Définitions relatives aux récepteurs Éclairement C’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface réceptrice, en provenance de l’ensemble des directions. Réception du rayonnement ϕ ρ
λ λΤ reflechi
ϕλ incident
ϕλα λΤ
corps a T
absorbe
ϕ τ λ λΤ transmis
Quand un rayon incident d’énergie Φλ frappe un corps à la température T, une partie Φλ ρλT de l’énergie incidente est réfléchie par la surface S, une autre partie Φλ αλT est absorbée par le corps qui s’échauffe, et le reste Φλ τλT est transmis et continue son chemin: 22
On a évidemment Φλ = Φλ ρλT + Φλ αλT + Φλ τλT d’où ρλT + αλT + τλT = 1. On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissant ρλT , absorbant αλT et filtrant τλT qui sont fonction de la nature du corps, de son épaisseur, de la longueur d’onde λ et de l’angle d’incidence. Si on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réfléchissant ρT , absorbant αT et filtrant τT totaux. Corps noir, corps gris Corps noir C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident. Il est défini par αT = 1. Propriétés du corps noir: – tous les corps noirs rayonnent de la même manière. – le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température. – puisqu’il absorbe tout, il ne réfléchit rien du rayonnement incident ; il apparaît noir à température ordinaire. – c’est un concept théorique. Corps gris Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant αλT est indépendant de la longueur d’onde λ du rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par αλT = αT .
3.2 Lois du rayonnement 3.2.1
Loi de Lambert
Dans le cas où la source est isotrope, la luminance est indépendante de la direction Lx = L. or Ln = et Lα =
In S Iα S cos α
)
Ln = Lα ⇒ Iα = In cos α
In
In α
Iα
Iα
L S
α
L
Luminance d’une source isotrope
Intensite energetique d’une source isotrope
C’est la Loi de Lambert pour une source isotrope. Remarque: lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, on montre, après intégration sur toutes les directions, qu’émittance et luminance sont proportionnelles. M(W m−2 ) = πL avec M et L émittance et luminance totales.
3.2.2
Lois physiques
Loi de Kirchoff À une température T donnée et pour une longueur d’onde λ donnée, le rapport les corps. 23
MλT αλT
est le même pour tous
pour le corps noir: αλT = 1, le rapport chromatique du corps noir donc:
MλT αλT
est donc égal à M0λT en appelant M0λT l’émittance mono-
MλT (W m−3 ) = αλT M0λT L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatique par l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérêt de connaître le rayonnement émis par le corps noir. Dans le cas du corps gris on peut généraliser cette loi ce qui facilite les applications. En effet, pour un corps gris αλT = αT , donc: MT (W m−2 ) =
Z∞
MλT dλ =
0
Z∞
αλT M0λT dλ = αT
0
Z∞
M0λT dλ
0
En appelant M0T l’émittance totale du corps noir à la température T, nous obtenons pour un corps gris: MT (W m−2 ) = αT M0T Rayonnement du corps noir émittance monochromatique Elle est donnée par la loi de Planck: M0λT (W m−3 ) =
C¡1 λ−5 ¢ C exp λT2 −1
avec
C1 = 3.742 10−16 W m−2 C2 = 1.4385 10−2 m.K
(3.6)
La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les variations de M0λT en fonction de la longueur d’onde pour diverses températures.
Remarques – La longueur d’onde λM pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température T de la source: λM (m) =
2.897 10−3 T
et M0λ
C’est la loi (du déplacement) de Wien. 24
MT
(W m−3 )
T = 0.410 10 µ
¶5
(3.7)
– pour le soleil (T ≈ 5777K) 90% de l’énergie est émise entre 0.31 et 2.5µm, le maximum étant situé dans le spectre visible. Par contre un corps noir à 373K(100o C) a son émission maximale vers λ = 8µm dans l’Infra Rouge. émittance totale M0T L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne l’émittance totale M0T du corps noir qui n’est plus fonction que de la température T, on obtient la loi de Stephan-Boltzmann: M0T (W m−2 ) = σT 4 avec σ = 5,675 10−8 W m−2 K −4
(3.8)
Rayonnement des corps non noirs Émissivité On définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans les même conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelés émissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par: ǫλT =
MλT M0λT
et ǫT =
MT M 0T
(3.9)
D’après la Loi de Kirchoff, on montre que: αλT = ǫλT Cas des corps gris Ils sont caractérisés par αλT = αT soit d’après ce qui précède: ǫλT = ǫT or MT = ǫT M0T ; nous en déduisons l’émittance du corps gris à la température T: MT (W m−2 ) = ǫT σT 4
(3.10)
3.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques 3.3.1
Problème général
Considérons deux surfaces opaques S1 et S2 séparées par un milieu parfaitement transparent, et à des températures respectives T1 et T2 . Le problème industriel consiste à déterminer le flux net Φ échangé entre les deux surfaces. La surface S1 émet un flux Φ1 dont une partie seulement, soit Φ12 vient frapper S2 . De ce flux Φ12 , une partie est absorbée par S2 , le reste est réfléchi (puisqu’il s’agit de surfaces opaques) ; une partie frappe S1 et ainsi de suite. De même, S2 émet un flux Φ2 dont une partie seulement, soit Φ21 vient frapper S1 . De ce flux Φ21 , une partie est absorbée par S1 , le reste est réfléchi et ainsi de suite. Finalement le flux net échangé Φ s’obtient en effectuant pour l’une des surfaces, par exemple pour S1 , un bilan thermique tenant compte: – du flux qu’elle émet, soit −Φ1 (perte), – des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ12 et absorbe une partie, – du flux émis par S2 dans sa direction soit Φ21 , dont elle absorbe une partie, – des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion de Φ21 , et dont elle absorbe une partie. Dans le cas général, le calcul nécessite le recours à la résolution numérique.
25
3.3.2
Plans parallèles infinis
Ce cas est particulièrement simple car on est certain que le flux émis par chaque plan vient frapper l’autre. On suppose que les plans sont gris, alors Φ1 émis par S1 frappe S2 , qui absorbe ǫ2 Φ1 et réfléchi (1 − ǫ2 )Φ1 . le schéma ci-après amorce les répartitions de Φ1 . On voit que les flux absorbés successifs, tant pour S1 que pour S2 sont en progression géométrique de raison q = (1 − ǫ1 )(1 − ǫ2 ). Les bilans 2 s’établissent donc ainsi relativement à Φ1
S1 perd Φ1
S1 absorbe
S2 absorbe
ǫ1 (1−ǫ2 ) 1−(1−ǫ1 )(1−ǫ2 ) Φ1
ǫ2 1−(1−ǫ1 )(1−ǫ2 ) Φ1
S1
S2 ǫ2 Φ1
Φ1 ǫ1 (1 − ǫ2 )Φ1 ǫ1 (1 − ǫ1 )(1 − ǫ2 )2 Φ1
(1 − ǫ2 )Φ1
(1 − ǫ1 )(1 − ǫ2 )Φ1 (1 − ǫ1 )2 (1 − ǫ2 )2 Φ1
(1 − ǫ1 )(1 − ǫ2 )2 Φ1
ǫ2 (1 − ǫ1 )(1 − ǫ2 )Φ1
(1 − ǫ1 )n (1 − ǫ2 )n Φ1
Il faut maintenant effectuer le même calcul relativement au flux Φ2 émis par S2 . Il suffit d’échanger les rôles de S1 et S2 et de changer les indices:
S2 perd Φ2
S2 absorbe
S1 absorbe
ǫ2 (1−ǫ1 ) 1−(1−ǫ1 )(1−ǫ2 ) Φ2
ǫ1 1−(1−ǫ1 )(1−ǫ2 ) Φ2
Il est maintenant possible de faire le bilan complet de S1 ; tous calculs faits on trouve que S1 perd (et donc que S2 reçoit) un flux net Φ égal à: Φ=
ǫ2 Φ1 − ǫ1 Φ2 ǫ1 + ǫ2 − ǫ1 ǫ2
Dans le cas de corps gris, Φ1 et Φ2 peuvent s’exprimer en fonction des températures par la loi de Stéphan: Φ1 = ǫ1 σS1 T14 et Φ2 = ǫ2 σS2 T24 . Comme les aires des surfaces en regard ont même valeur S: Φ(W ) = rσS(T14 − T24 ) avec
1 1 1 = + −1 r ǫ1 ǫ2
r est le coefficient de transfert. Dans le cas de surfaces noires il est égal à 1. De ce fait Φ(W ) = σS(T14 −T24 ). Pour des surfaces grises r est inférieur à l’unité. 2. la somme d’une suite infinie de raison q inférieur à 1 a pour valeur
26
1−q ∞ 1−q
≈
1 1−q
Chapitre 4
Transfert de chaleur par convection 4.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle 4.1.1
Dimensions fondamentales
On peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d’un nombre limité de dimensions fondamentales. Exemples: Vitesse: LT −1 , viscosité dynamique: M L−1 T −1 , force: M LT −2 . Sur ces exemples on voit que le nombre de dimensions fondamentales est de 3: Masse M, Longueur (L), Temps (T). Ces trois dimensions fondamentales ne sont pas toujours suffisantes. Pour les problèmes de transfert de chaleur, il est nécessaire d’ajouter une 4eme dimension: la température θ, on pourra y ajouter si nécessaire la quantité de chaleur Q (Q, homogène à un travail qui s’exprime en fonction des dimensions fondamentales par Q = M L2 T −2 n’est pas une vraie dimension fondamentale).
4.1.2
Principe de la méthode
Si on peut représenter mathématiquement une loi physique en exprimant la variable physique G1 en fonction d’un certain nombre d’autres variables physiques indépendantes G2 , · · · Gn , c’est à dire si G1 = f (G2 ,G3 , · · · Gn ) ou encore f (G1 ,G2 , · · · Gn ) = 0 le problème peut être simplifié de la manière suivante: – on écrit pour chaque variable Gi l’équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales. On dispose alors de n équations qui ont nécessité p dimensions fondamentales pour caractériser toutes les grandeurs physiques. – on prélève p de ces n équations que l’on considère comme équations de base. Il faut que chaque dimension fondamentale apparaisse au moins une fois sur l’ensemble des p équations. – les (n-p) équations restantes se présentent alors sous forme de (n-p) rapports sans dimensions appelés groupements π qui sont des grandeurs “réduites”, On obtient alors une équation réduite: g(π1 ,π2 , · · · πn ) = 0 Un groupement π est le rapport d’une équation aux dimensions d’une grandeur physique n’appartenant pas à l’ensemble des équations de base au produit des équations de base, chacune d’elle étant portée à une certaine puissance: [Gi ] πi = ai [G1 ] [G2 ]bi · · · [Gp ]ei Pour chaque dimension fondamentale M, L, T, θ, Q figurant au dénominateur, on fait la somme des exposants que l’on identifie avec l’exposant de la même dimension figurant dans l’équation aux dimensions de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un système linéaire de p équations dont la résolution permet de déterminer les p exposants des équations de base du dénominateur. Il suffit alors d’écrire le rapport π en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations aux dimensions de départ.
27
4.1.3
Exemple d’application
Considérons un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se propose de déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à une convection forcée: Tube
h Fluide θf
Vitesse u Temperature θp
h
Détermination des grandeurs physiques Il faut déterminer tous les paramètres dont dépend la densité de flux de chaleur Φ (liée à h par Φ = h∆T ). Ce sont ici: – Les caractéristiques du fluide: – – – –
λ coefficient de conductibilité thermique cp chaleur massique ρ masse volumique µ viscosité dynamique
– Les caractéristiques de l’écoulement: – u vitesse moyenne du fluide – La géométrie de la surface d’échange – D diamètre de la conduite – L’écart de température fluide-paroi ∆T d’où: f (λ,cp ,ρ,µ,u,D,∆T,Φ) = 0 Équation aux dimensions des grandeurs Il faut ensuite écrire l’équation aux dimensions fondamentales M, L, T, θ, Q de chacune des grandeurs, ce qui s’écrit ici: λ : QT −1 L−1 θ−1 cp :
QM −1 θ−1
ρ:
M L−3
µ:
M T −1 L−1
u:
LT −1
D:
L
∆T : Φ:
θ QT −1 L−2
28
Détermination des groupements π Il faut maintenant choisir 5 équations de base (toutes les dimensions fondamentales ont été utilisées) de façon à ce que les 5 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l’ensemble des équations. Prenons par exemple λ, ρ, u, D, ∆T , il reste Φ, cp et µ. On écrit alors les rapports sans dimension correspondant à ces variables sous la forme: π1 =
cp µ Φ ; π2 = ; π3 = (∆T )a1 λb1 ρc1 Dd1 ue1 (∆T )a2 λb2 ρc2 Dd2 ue2 (∆T )a3 λb3 ρc3 Dd3 ue3
Pour chaque rapport de π, on remplace les grandeurs physiques par leur équation aux dimensions ce qui donne par exemple pour π1 : [π1 ] =
QT −1 L−2 θa1 (QT −1 L−1 θ−1 )b1 (M L−3 )c1 Ld1 (LT −1 )e1
Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénominateurs relatifs à une même dimension ce qui conduit au système: (Q) : (T ) : (L) : (θ) : (M ) :
1 −1 −2 0 0
Le rapport π1 s’écrit donc:
b1 = 1 = b1 = −b1 − e1 a1 = 1 e1 = 0 = −b1 − 3c1 + d1 + e1 ⇒ c1 = 0 = a1 − b1 d1 = −1 = c1 π1 =
ΦD ∆T λ
ce qui avec Φ = h∆T peut encore s’écrire: π1 =
hD λ
On obtient de la même manière π2 =
µ ρuDcp et π3 = λ ρDu
Le théorème de Vaschy-Buckingham nous permet d’affirmer que la relation: f (λ,cp ,ρ,µ,u,D,∆T,Φ) = 0 entre 8 variables peut s’exprimer à l’aide des trois nombres sans dimension π1 , π2 , π3 sous la forme: f (π1 ,π2 ,π3 ) = 0 ou π1 = f (π2 ,π3 ) Signification physique de ces groupements D 1 – π1 = hD λ est le Nombre de Nusselt. Il peut aussi s’écrire: N u = λ / h . C’est donc le rapport de la résistance thermique de conduction à la résistance thermique de convection. Il caractérise le type de transfert de chaleur. µ – π3 = ρDu = R1e , c’est l’inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le type de transfert de chaleur. ρuDc
c µ
p – π2 = λ p , c’est le nombre de Peclet. On peut aussi l’écrire: P e = ρuD µ . λ et faire apparaître un c µ nouveau nombre sans dimension P r = pλ appelé Nombre de Prandtl. Ce nombre est calculable pour un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend que de la température) et caractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. On préfère donc chercher une relation sous la forme N u = f (Re,P r)
29
Quelques groupements sans dimension Groupement ρDu µ cp µ Pr = λ N u = hD λ ρuDcp Pe = λ h M a = ρuc p
Re =
Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl Nombre de Nusselt Nombre de Peclet Nombre de Margoulis
4.2 Convection: généralités, définitions Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts de chaleur par convection.
4.2.1
Convection naturelle et forcée
Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue: – La convection libre ou naturelle: Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de masse volumique résultant des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur). – La convection forcée:Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de températures.
4.2.2
Régime d’écoulement
Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de considérer le régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite: – En régime laminaire: L’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. Entre deux filets fluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc: – par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides. – par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filets fluides. – En régime turbulent: l’écoulement n’est pas unidirectionnel: l’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est en général négligeable par rapport à la convection.
4.3 Expression du flux de chaleur De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités de mouvement des molécules lors des chocs inter moléculaires, on explique la transmission de la chaleur par la transmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs. Cette liaison intime des phénomènes de viscosité et de transfert de chaleur conduisent à l’analogie de Reynolds: dans un écoulement fluide avec transfert de chaleur dans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude
30
Quelque soit le régime d’écoulement, il demeure une sous-couche laminaire dont l’épaisseur est d’autant plus réduite que l’écoulement est grand. L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans cette sous-couche laminaire. Quelque soit le régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le film laminaire qui joue le rôle d’isolant thermique. On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que le flux de chaleur rencontrerait en conduction à travers une paroi dont l’épaisseur serait celle du film laminaire et qui possèderait les mêmes caractéristiques thermiques que le fluide soit: e R= avec λ
(
e : épaisseur du film laminaire λ : conductivité thermique du fluide
Rigoureusement la densité de flux de chaleur s’écrit alors: Φ(W m−2 ) =
e (Tp − Ti ) λ
où Tp(K) est la température de la paroi et Ti(K) est la température à la limite du film laminaire. Pour un régime thermique bien établi, on peut considérer en première approximation que par suite des courants de convection la masse fluide au-delà du film laminaire est à température constante et prendre comme loi de la densité de flux de chaleur la relation: Φ(W m−2 ) =
e (Tp − T∞ ) avec T∞(K) : température du fluide loin de la paroi λ
Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque l’on ne connaît pas l’épaisseur e du film laminaire. C’est ce qui amène à définir un coefficient de transfert superficiel ou coefficient de transfert de chaleur par convection par: h(W m−2 K −1 ) =
λ e
Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur Φ est donné par la relation dite loi de Newton: Φ(W ) = hS∆T
4.3.1
(4.1)
Calcul du flux de chaleur en convection forcée
L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels (cf §4.1.3): N u = f (Re,P r) Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante: – Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl – Suivant la valeur de Re et de Pr, choix de la corrélation – Calcul de Nu par application de cette corrélation u – Calcul de h = λN D et de Φ = hS(Tp − T∞ )
4.3.2
Calcul du flux de chaleur en convection naturelle
Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à température T0 . Si l’on porte la paroi à une température T = T0 + ∆T , le fluide en contact avec la paroi va s’échauffer et la masse du volume unité va passer de ρ0 à ρ0 − ∆ρ: 31
Fluide a T0 , ρ0
Fluide a T0 , ρ0
f~ = ∆ρ~g V = 1u m = ρ0 − ∆ρ
V = 1u m = ρ0 Tp = T0
Tp = T0 + ∆T t=0
t
Il sera donc soumis à une force ascensionnelle f~ = −∆ρ~g . Pour un volume unité (u) m = ρ d’où: ∆ρg = ργ et γ = ∆ρ ρ g, où γ est l’accélération ascensionnelle du fluide. En introduisant le coefficient de dilatation volumique du fluide défini par β =
1 ∆ρ ρ ∆T
il vient:
γ = βg∆T Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient de convection dépend des caractéristiques du fluides λ,ρ,µ, cp , β, g, de la paroi, caractérisée par la longueur L et de l’écart de températures aux bornes du film ce que l’on peut traduire par une relation du type: Φ = f (λ,ρ,µ,cp ,β,g,L,∆T ) qui se réduit dans le système M,L,T,θ,Q à une relation entre trois nombres adimensionnels N u = f (Gr,P r) où Gr =
βg∆T ρ2 L3 est le nombre de Grashof µ2
4.4 Introduction à la convection avec changement d’état Lorsqu’une paroi cède (algébriquement) de la chaleur à un mélange liquide-vapeur, il en résulte un changement d’état, donc un transfert de masse de l’une des phases vers l’autre. Dans le cas d’un apport de chaleur, il y a diminution de la phase liquide. Lorsqu’il existe une surface de séparation continue entre le liquide et sa vapeur, on emploie le terme d’évaporation 1 . dans le cas général, l’interface est constituée par la surface d’un grand nombre de bulles contenant la phase vapeur: c’est l’ébullition. S’il y a au contraire retrait de chaleur, on assiste à une condensation. Dans tous les cas, le transfert de masse exige un déséquilibre thermodynamique. Au voisinage d’un même point, les températures des deux phases sont généralement différentes, de même que leurs pressions. Dans l’ébullition en particulier, la pression de la vapeur Psat (Te ) d’une bulle entourée d’eau surchauffée à Te (Te > Tsat (Te ) ) est supérieure à celle du liquide Pe , en raison des phénomènes de tension superficielle. L’observation visuelle met en évidence plusieurs régimes de transfert de masses auxquels correspondent des régimes différents de transfert thermique. Là s’arrêtera notre cours, nous laissant perplexes devant une casserole d’eau bouillante ...
1. – Vaporisation: passage de l’état liquide à l’état gazeux sous l’effet de la chaleur (latente) – Évaporation: transformation d’un liquide en vapeur par sa surface libre à toute température – Ébullition: état d’un liquide soumis à l’action de la chaleur et dans lequel se forment des bulles de vapeur
32
Annexe Dans un repère orthogonale et curviligne x1 , x2 , x3 un vecteur élémentaire est donné par: − → dl = (h1 dx1 , h2 dx2 , h3 dx3 ) où h1 , h2 , h3 sont fonctions de x1 , x2 , x3 → → ~ ∇. ~ − ~ ×− Les expressions générales pour ∇u, v et ∇ v s’écrivent : − → ∇u
=
− →− ∇.→ v
³
=
1 h1 h2 h3
− → − ∇ ×→ v =
1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u h1 ∂x1 , h2 ∂x2 , h3 ∂x3
1 h1 h2 h3
³
∂ ∂x1 (h2 h3 v1 )
´
+
∂ ∂x2 (h1 h3 v2 )
+
´
∂ ∂x3 (h1 h2 v3 )
− → → → e x1 h1 − e x2 h2 − e x3 h3 ∂ ∂x2
∂ ∂x1
h1 v1
∂ ∂x3
h2 v2
h3 v3
→ → → où − e x1 , − e x2 , − e x3 sont les vecteurs unitaires du repère (x1 , x2 , x3 ) et (v1 , v2 , v3 ) les composantes dans → ce repère du vecteur − v.
Coordonnées cylindriques x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z − → dl = (dρ, ρdθ, dz) =⇒ h1 = 1, h2 = ρ, h3 = 1 − → v = (vρ , vθ , vz ) − → ∇u
=
∂u 1 ∂u ∂u ∂ρ , ρ ∂θ , ∂z
− →− ∇.→ v
³
=
1 ρ
∂ ∂ρ (ρvρ )
=
1 ∂ ρ ∂ρ (ρvρ )
− → − ∇ ×→ v
=
− →2
− → − → ∇ u = ∇.( ∇u) = =
1 ρ
1 ρ
³
³
+
+
∂ ∂θ (vθ )
1 ∂vθ ρ ∂θ
+
´
∂ ∂z (ρvz )
+
∂vz ∂z
− → → → eρ − e θρ − ez ∂ ∂ρ
∂ ∂θ
∂ ∂z
vρ
ρvθ
vz
∂u ∂ ∂ρ (ρ ∂ρ )
1 ∂ ρ ∂ρ
´
³
´
+
ρ ∂u ∂ρ +
33
∂ 1 ∂u ∂θ ( ρ ∂θ ) 1 ∂2u ρ2 ∂θ2
+
+
∂2u ∂z 2
´
∂ ∂u ∂z (ρ ∂z )
Coordonnées sphériques x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ − → dl = (dr, rdθ, r sin θdϕ) =⇒ h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ − → v = (vr , vθ , vϕ ) − → ∇u
=
− →− ∇.→ v
=
− → − ∇ ×→ v
=
=
− →2 − → − → ∇ u = ∇.( ∇u) = =
³
1 ∂u ∂u 1 ∂u ∂r , r ∂θ , r sin θ ∂ϕ
³
´
∂ ∂ 1 ∂ (r2 sin θ vr ) + ∂θ (r sin θ vθ ) + ∂ϕ (r sin θ ∂r 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂vϕ 2 (r vr ) + r sin θ ∂θ (sin θ vθ ) + r sin θ ∂ϕ r 2 ∂r r2
1 r
r2
− → → → er − e θr − eϕ ∂ ∂r
∂ ∂θ
∂ ∂ϕ
vr
r vθ
r sin θ vϕ
1 sin θ
1 ∂ r 2 ∂r
³
³
∂u ∂ 2 ∂r (r sin θ ∂r )
´
r2 ∂u ∂r +
+
∂ 1 r 2 sin θ ∂θ
34
∂ ∂u ∂θ (sin θ ∂θ )
³
´
vϕ )
´
sin θ ∂u ∂θ +
+
´
∂ 1 ∂u ∂ϕ ( sin θ ∂ϕ )
∂2u 1 r 2 sin2 θ ∂ϕ2
