Limit dan Kekontinuan Fungsi - FMIPA Personal Blogs - ITB

Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Limit Fungsi Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real

1/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi

Misalkan kita mempunyai dua besaran x dan y = f (x ).


2/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi

Misalkan kita mempunyai dua besaran x dan y = f (x ). Masalahnya kita tidak dapat menghitung nilai f di x = a.


2/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi

Misalkan kita mempunyai dua besaran x dan y = f (x ). Masalahnya kita tidak dapat menghitung nilai f di x = a. Selanjutnya, kita mengganti x dengan nilai yang dekat dengan a, apakah nilai f (x ) akan cukup dekat dengan nilai f (a)?


2/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi

Misalkan kita mempunyai dua besaran x dan y = f (x ). Masalahnya kita tidak dapat menghitung nilai f di x = a. Selanjutnya, kita mengganti x dengan nilai yang dekat dengan a, apakah nilai f (x ) akan cukup dekat dengan nilai f (a)? Dapatkah pendekatan f (a) dengan f (x ) dibuat lebih kecil dari suatu bilangan e > 0 yang diberikan.


2/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi

Misalkan kita mempunyai dua besaran x dan y = f (x ). Masalahnya kita tidak dapat menghitung nilai f di x = a. Selanjutnya, kita mengganti x dengan nilai yang dekat dengan a, apakah nilai f (x ) akan cukup dekat dengan nilai f (a)? Dapatkah pendekatan f (a) dengan f (x ) dibuat lebih kecil dari suatu bilangan e > 0 yang diberikan. Jika ini dapat dilakukan untuk sebarang e > 0, maka ini berkaitan dengan lim f (x ) = f (a) x →a


2/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi Definisi Formal Limit Fungsi Satu Variabel

Definition Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I .


3/1

Limit Fungsi


Definition Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti

lim f (x ) = L

x →a


3/1

Limit Fungsi



lim f (x ) = L

x →a

jika untuk setiap e > 0,


3/1

Limit Fungsi



lim f (x ) = L

x →a

jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga


3/1

Limit Fungsi



lim f (x ) = L

x →a

jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku

|f ( x ) − L| < e


3/1

Limit Fungsi



lim f (x ) = L

x →a

jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku

|f ( x ) − L| < e Perhatikan bahwa |f (x ) − L| < e dapat dibaca sebagai error |f (x ) − L| lebih kecil dari e > 0 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real

3/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi Definisi Formal Limit Fungsi Dua Variabel

Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e

3 b

2

b

b

B

A

C

1

f

−1

1

2

3

4

5

6

−1 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real

4/1

Limit Fungsi


Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e Definition Misalkan f terdefinisi pada himpunan buka D, kecuali mungkin di titik (a, b ) ∈ D.


5/1

Limit Fungsi


Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e Definition Misalkan f terdefinisi pada himpunan buka D, kecuali mungkin di titik (a, b ) ∈ D. Arti dari lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = L adalah


5/1

Limit Fungsi


Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e Definition Misalkan f terdefinisi pada himpunan buka D, kecuali mungkin di titik (a, b ) ∈ D. Arti dari lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = L adalah untuk setiap e > 0, ada δ > 0 sehingga


5/1

Limit Fungsi


Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e Definition Misalkan f terdefinisi pada himpunan buka D, kecuali mungkin di titik (a, b ) ∈ D. Arti dari lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = L adalah untuk setiap e > 0, ada δ > 0 sehingga untuk setiap (x, y ) ∈ D, 0 < k(x, y ) − (a, b )k < δ berlaku |f (x, y ) − L| < e


5/1

Limit Fungsi


Misalkan f terdefinisi pada interval I kecuali mungkin di x = a ∈ I . Arti limx →a f (x ) = L jika untuk setiap e > 0, kita selalu dapat mencari δ > 0 sehingga untuk x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x ) − L| < e Definition Misalkan f terdefinisi pada himpunan buka D, kecuali mungkin di titik (a, b ) ∈ D. Arti dari lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = L adalah untuk setiap e > 0, ada δ > 0 sehingga untuk setiap (x, y ) ∈ D, 0 < k(x, y ) − (a, b )k < δ berlaku |f (x, y ) − L| < e Arti dari k(x, y ) − (a, b )k =

q

( x − a ) 2 + ( y − b )2


5/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi Contoh

Example Buktikan bahwa lim(x,y )→(a,b) x = a dan lim(x,y )→(a,b) y = b Solution Untuk membuktikan lim(x,y )→(a,b) x = a, ambil e > 0, kita harus mencari δ > 0 sehingga q ∀ (x, y ) , (x − a)2 + (y − b )2 < δ berlaku |x − a| < e


6/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi Contoh

Example Buktikan bahwa lim(x,y )→(a,b) x = a dan lim(x,y )→(a,b) y = b Solution Untuk membuktikan lim(x,y )→(a,b) x = a, ambil e > 0, kita harus mencari δ > 0 sehingga q ∀ (x, y ) , (x − a)2 + (y − b )2 < δ berlaku |x − a| < e Dalam hal ini, pilih δ > 0 sebagai . . .


6/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi, Contoh Perhitungan Example Buktikan bahwa lim(x,y )→(2,1) x 2 y = 4. Solution Untuk membuktika lim(x,y )→(2,1) x 2 y = 4, ambil e > 0, kita harus mencari δ > 0 sehingga q ∀ (x, y ) , (x − 2)2 + (y − 1)2 < δ berlaku x 2 y − 4 < e


7/1

Limit Fungsi


Teknik yang paling sederhana adalah mencari konstanta C sehingga q 2 x y − 4 ≤ C ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2

yang berlaku di sekitar (2, 1) .


7/1

Limit Fungsi


Teknik yang paling sederhana adalah mencari konstanta C sehingga q 2 x y − 4 ≤ C ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2

yang berlaku di sekitar (2, 1) . Jika ini sudah diperoleh, maka


7/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi, Contoh Perhitungan Solution q Untuk membuktikan x 2 y − 4 ≤ C (x − 2)2 + (y − 1)2 berlaku di sekitar (2, 1) .


8/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi, Contoh Perhitungan Solution q Untuk membuktikan x 2 y − 4 ≤ C (x − 2)2 + (y − 1)2 berlaku di sekitar (2, 1) . Dalam hal ini

2 x y − 4 = x 2 y − 4y + 4y − 4 ≤ | y | x 2 − 4 + 4 | y − 1|

= | y | | x + 2| | x − 2| + 4 | y − 1|


8/1

Limit Fungsi


2 x y − 4 = x 2 y − 4y + 4y − 4 ≤ | y | x 2 − 4 + 4 | y − 1|

= | y | | x + 2| | x − 2| + 4 | y − 1|

Sekarang, kita akan menaksir nilai |y | |x + 2| jika (x, y ) di sekitar (2, 1).


8/1

Limit Fungsi


2 x y − 4 = x 2 y − 4y + 4y − 4 ≤ | y | x 2 − 4 + 4 | y − 1|

= | y | | x + 2| | x − 2| + 4 | y − 1|

Sekarang, kita akan menaksir nilai |y | |x + 2| jika (x, y ) di sekitar (2, 1). Untuk itu, kita batasi nilai (x, y ) yang memenuhi q ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 < 1


8/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi, Contoh Perhitungan Solution Dengan membatasi

q

(x − 2)2 + (y − 1)2 < 1, maka

|x − 2| < 1 dan |y − 1| < 1


9/1

Limit Fungsi


q

(x − 2)2 + (y − 1)2 < 1, maka

|x − 2| < 1 dan |y − 1| < 1

Oleh karena itu harga

| x + 2| = | x − 2 + 4| ≤ | x − 2| + 4 ≤ 5 | y | = | y − 1 + 1| ≤ | y − 1| + 1 ≤ 2


9/1

Limit Fungsi


q

(x − 2)2 + (y − 1)2 < 1, maka

|x − 2| < 1 dan |y − 1| < 1

Oleh karena itu harga

| x + 2| = | x − 2 + 4| ≤ | x − 2| + 4 ≤ 5 | y | = | y − 1 + 1| ≤ | y − 1| + 1 ≤ 2 Jadi x 2 y − 4 ≤ |y | |x + 2| |x − 2| + 4 |y − 1|dapat dituliskan sebagai 2 x y − 4 ≤ 5 · 2 · | x − 2| + 4 · 2 | y − 1| q ≤ 10 (|x − 2| + |y − 1|) ≤ 20 (x − 2)2 + (y − 1)2


9/1

Limit Fungsi

Limit Fungsi, Contoh Perhitungan Solution Berdasarkan q 2 x y − 4 ≤ 20 (x − 2)2 + (y − 1)2 < e

maka 0 ≤ δ
0 sehingga 2 p x 2 2 0 < x + y < δ berlaku p 0 dan akan dicari δ > 0 sehingga 2 p x 2 2 0 < x + y < δ berlaku p 0 dan akan dicari δ > 0 sehingga 2 p x 2 2 0 < x + y < δ berlaku p