LIMIT FUNGSI. Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut
adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit ...
SMA - 1
LIMIT FUNGSI Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit yang akan dibahas di bawah pada bab ini. •
Limit Fungsi Aljabar 0 a. Bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan 2 cara : 0
1. Memfaktorkan : Lim ( x − a) f ( x) Lim F ( x) = x → a G ( x) x → a ( x − a) g ( x)
Contoh : Lim Lim 2 x 2 − 2 = x →1 x → 1 x −1
Lim 2( x 2 − 1) = x →1 ( x − 1)
2( x − 1)( x + 1) ( x − 1)
=
Lim 2( x + 1) x →1 1
=
2(1 + 1) = 4 1
2. L’Hospital
Lim Lim F ' ( x) F(x) = x→a x → a G ' ( x) Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital
Lim 2 x 2 − 2 Lim = x → 1 x −1 x →1
4x 4.1 = =1 1 1
(turunan 2 x 2 − 2 adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 2
b. Bentuk tak tentu
~ dapat diselesaikan dengan cara : ~
Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut : Contoh : x 3 − 2 Lim Lim x−3 x x = x →~ x 2 x →~ x 2 + x − 12 x 12 + − x2 x2 x2
Lim = x →~
=
1 3 − x x 1 12 1+ − 2 x x
0−0 =0 1+ 0 − 0
Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sbb : Lim ax m + bx m −1 + ... x →~ px n + qx n −1 + ... a p Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0 Jika m = 0 hasilnya
Jadi
x−3 = 0 Æ karena pangkat pembilang < pangkat penyebut x →~ x + x − 12 Lim
c. Untuk
2
Lim f ( x) , Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar, x → a g ( x) maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x).
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 3 Contoh : Lim x→5
x + 4 − 14 − x x 2 − 2 x − 15
=
Lim x→5
x + 4 − 14 − x . x 2 − 2 x − 15
=
Lim ( x + 4) − (14 − x) x → 5 ( x 2 − 2 x − 15)( x + 4 + 14 − x)
=
=
x + 4 + 14 − x x + 4 + 14 − x
2 x − 10
Lim
x → 5 ( x − 5)( x + 3)( x + 4 + 14 − x) Lim
2
x → 5 ( x + 3)( x + 4 + 14 − x)
=
=
=
2( x − 5)
Lim
x → 5 ( x − 5)( x + 3)( x + 4 + 14 − x) 2
(5 + 3)( 5 + 4 + 14 − 5) 2 8( 9 + 9)
=
2 1 1 = = 8(3 + 3) 4(6) 24
Soal ini dapat juga diselesaikan dengan rumus sbb : =
Lim x→a
f ( x) − g ( x) h( x )
f ' ( x) − g ' ( x) 1 = ' x→a h ( x) 2 f ( x) Lim
Lim x→5
x + 4 − 14 − x = x 2 − 2 x − 15
* f(x) = x + 4 Æ f ' ( x) = 1 * g(x) = 14- x Æ g ' ( x) = -1 * h(x) = x 2 + 2 x − 15 Æ h ' ( x) = 2x + 2 1 1 = * 2 f ( x) 2 ( x + 4)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 4
x=5 Æ
Lim x→5
1 2 (5 + 4)
=
1 6
Lim f ' ( x) − g ' ( x) x + 4 − 14 − x 1 = 2 ' x→5 x − 2 x − 15 h ( x) 2 f ( x) =
Lim 1 − (−1) 1 . x → 5 2x − 2 6
=
1 − (−1) 1 . 2x − 2 6
=
2 1 2 1 . = = 10 − 2 6 48 24
Contoh soal limit aljabar yang lain : Lim x →~
(x
2
)
− 2 x + 5 − x 2 + 2 x + 11 =
Apabila menemui soal seperti gunakan rumus sbb:
( ax x →~ Lim
2
)
+ bx + c − ax 2 + px + q =
b− p 2 a
; berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)
Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1 Sehingga
•
b− p 2 a
=
−2−2 2 1
=
−4 = -2 2
Limit Fungsi Trigonometri a. Untuk x → 0 -
Lim sin kx = k dan x→0 x Lim tan kx =k x→0 x
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 5
-
Lim sin ax a = x → 0 tan bx b
-
Lim 1 − cos 2nx 2 sin 2 nx = = x→0 x2 x2
- Jika mengandung fungsi cos x, cot x atau csc x, maka diubah menjadi sin x atau tan x # cot x =
1 1 ; csc x = tan x sin x
# sin 2 x + cos 2 x = 1 Æ cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 – (sin x .sin x) 1 = 1 – ( - ( cos 2x – 1) ) 2 1 1 = 1+ cos 2x 2 2 1 = ( 1 + cos 2x) 2
sin 2 x = sin x . sin x = -
= -
1 2
(
cos (x+x) – cos (x-x)
)
1 ( cos 2x – 1) 2
Contoh soal :
Lim
1.
sin 10 x 10 = =5 x → 0 2x 2
2.
Lim x→0
Lim cos(2 x + 2 x) − 1 cos 4 x − 1 = = x→0 x tan 2 x x tan 2 x
cos (2x+2x) = cos 2x . cos2x – sin 2x.sin2x = cos 2 2 x - sin 2 2 x = 1 - sin 2 2 x - sin 2 2 x = 1 – 2 sin 2 2 x WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 6
=
1 − 2 sin 2 2 x − 1 x→0 x tan 2 x
=
Lim − 2 sin 2 2 x x → 0 x tan 2 x
=
− 2 sin 2 x sin 2 x x→0 x tan 2 x
=
3.
4.
Lim
Lim
Lim sin 2 x sin 2 x = -2 . 2 .1 = -4 -2 x→0 x tan 2 x
Lim ( x − 7) sin(2 x − 6) Lim ( x − 7) sin 2( x − 3) = 2 x→3 x→3 ( x + 5)( x − 3) x + 2 x − 15
=
( x − 7) sin 2( x − 3) x → 3 ( x + 5) ( x − 3)
=
(3 − 7) −4 .2 = .2=-1 (3 + 5) 8
Lim
Lim 1 − cos 2 ( x − 2) = x → 2 3 x 2 − 12 x + 12 cos 2 ( x − 2) = 1 - sin 2 ( x − 2) 3x 2 − 12 x + 12 = 3( x 2 − 4 x + 4) = 3 ( x − 2) 2
Lim 1 − cos 2 ( x − 2) = 2 x → 2 3 x − 12 x + 12 x→2 Lim = x→2 Lim = x→2 Lim
=
1 − (1 − sin 2 ( x − 2)) 3( x − 2) 2 sin 2 ( x − 2) 3( x − 2) 2 1 sin( x − 2) sin( x − 2) 3 ( x − 2) ( x − 2)
1 1 . 1. 1 = 3 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 7
5.
Lim 1 − cos x = x → 0 cos 3 x − cos x
1 1 * cos x = cos ( x + x) 2 2 1 1 1 1 = cos x cos x - sin x sin x 2 2 2 2 1 1 = cos 2 x - sin 2 x 2 2 1 1 = 1 - sin 2 x - sin 2 x 2 2 1 = 1 – 2 sin 2 x 2 1 1 (3x+x) sin (3x-x) 2 2 = - 2sin 2x sin x
* cos 3x – cos x = - 2 sin
1 1 − (1 − 2 sin 2 x) Lim Lim 1 − cos x 2 = x → 0 cos 3 x − cos x x → 0 − 2 sin 2 x sin x 1 x 2 = x → 0 − 2 sin 2 x sin x
Lim
2 sin 2
1 1 sin x x Lim 2 2 = x→0 sin 2 x sin x sin
1
= -
2. 1 =- 1. 1 = - 1 2 2 4 2 8
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
