MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA ... - Lukman8

1

MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA PENARIKAN AKAR PANGKAT TIGA DARI BILANGAN BULAT DENGAN HASIL HAMPIRAN

OLEH LUKMANUDIN D07.090.135

PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATHLA’UL ANWAR BANTEN 2012

Penarikan Akar Pangkat Tiga

Seminar Matematika FKIP

2

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN

Judul

: Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat Dengan Hasil Hampiran

Nama

: Lukmanudin

NIM

: D07.090.135

Diajukan pada mata kuliah

: Seminar Pendidikan Matematika

Telah di setujui oleh :

MOH. ISTO, M.Pd NIP:



3

KATA PENGANTAR

Alhamdulilah, segala puji bagi Allah SWT karena dengan rahmat, hidayah serta inayah-Nya. Penyusun dapat menyelesaikan makalah seminar pendidikan matematika yang berjudul “Penarikan Akar Pangkat Tiga Penarikan Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat Dengan Hasil Hampiran” dengan baik. Makalah disusun oleh penyusun untuk memenuhi tugas mata kuliah seminar pendidikan matematika. Penyusun menyadari bahwa penyusunan makalah ini tidak lepas dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyatakan terima kasih kepada 1. bapak Moh Isto,M.Pd selaku dosen mata kuliah seminar pendidikan matematika yang telah memberi bimbingan dan arahan selama proses penyusunan. 2. Keluarga dan teman-teman khususnya mahasiswa FKIP program study pendidikan matematika yang memberikan semangat dan bantuan kepada penulis. Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu kritik sebagai perbaikan sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.

Malingping, ..Desember 2012

Penulis



4

DAFTAR ISI

Halaman LEMBAR PENGESAHAN .....……………………………………………....

i

KATA PENGANTAR........………………………………………………..….

ii

DAFTAR ISI ….................................……………………………………......

iii

BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang ………..........………………………………………

1

B. Maksud Tujuan ..................................................................................

1

C. Rumusan Masalah..............................................................................

2

D. Tujuan Penulisan...............................................................................

2

E. Manfaat Penulisan...............................................................................

2

BAB 2 PEMBAHASAN A. Kajian Teori ...................………………………….………..........

3

1. Definisi.......................................................................................

3

2. Materi Pendukung .....................................................................

4

B. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sempurna .................................... ..

5

C. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sembarang Dengan Hasil Hampiran.

7

BAB 3 PENUTUP A. Kesimpulan ...................................………………………….........

10

B. Saran …...........................…………………………..........................

10

DAFTAR PUSTAKA ………………..............................................................

11



5

BAB 1 PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari maupun di bidang pendidikan formal, oleh karena itu matematika sebaiknya di ajarkan sejak mereka mulai mengenal angka atau pada tingkat SD agar matematika itu sendiri tidak di anggap sebagai pelajaran yang sulit, membosankan, tidak menarik bahkan menakutkan. Untuk itu banyak orang yang terus berusaha mencari cara cepat dalam penyelesaian masalah matematika agar dapat lebih mudah dipahami serta menyenangkan. Salah satu bidang dalam matematika adalah aljabar yang telah dikenal sejak berabad-abad yang lalu, pelajaran matematika pada siswa SD yang berkenaan dengan aljabar adalah “ akar pangkat “. Akar pangkat terdiri dari akar pangkat dua, akar pangkat tiga dan seterusnya. Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pemangkatan tiga. Beberapa cara mencari akar pangkat tiga di antaranya dengan menggunakan metode coba-coba, pohon faktor (mencari faktorisasi primanya), logaritma, atau menggunakan kalkulator. Yang akan dibahas pada makalah ini adalah menentukan cara cepat menghitung hasil dari akar pangkat tiga tanpa memerlukan waktu yang lama ataupun menggunakan kalkulator khususnya akar pangkat 3 sempurna yaitu dengan menggunakan pola atau dengan angka satuan setelah di pengkat tiga, agar terlihat lebih mudah, dan menyenangkan sehingga dapat dipahami oleh siswa SD, SMP, SMA, maupun kita sebagai calon pendidik ataupun pendidik. Kedua menarik akar pangkat tiga dari angka sembarang, pada pembahasan ini menggunakan deret binomial dengan hasil hampiran yang mendekati nilai akar pangkat tiga menggunakan kalkulator.

B. Batasan Masalah Agar pembahasan tidak meluas, maka penuis membatasi masalah hanya pada penarikan akar pangkat tiga.



6

C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas maka rumusan masalah dalam makalah ini adalah “penarikan akar pangkat tiga dari bilangan bulat dengan hasil hampiran. Menggunakan aplikasi deret binomial.

D. Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan. Selain tugas mata kuliah seminar pendidikan matematika juga untuk mengetahui cara cepat penarikan akar pangkat tiga sempurna dan bilangan sembarang.

E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan makalah ini adalah: 1. Bagi guru dan mahasiswa untuk menambah pengetahuan dan wawasan mengenai penarikan akar pangkat tiga. 2. Bagi guru untuk lebih mudah dan dalam proses belajar mengajar.



7

BAB 2 PEMBAHASAN A. Kajian teori 1. Definisi Bentuk akar bagian dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan

dengan a , b ∈ B dan b ≠ 0. Sedangkan bilangan

rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan dengan a , b, ∈B dan b ≠ 0. Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional. Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu: lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk: (

dibaca "akar pangkat n dari a") dengan: disebut bentuk akar (radikal), disebut lambang bentuk akar,

n disebut indeks (pangkat akar), a disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan

asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa

bilangan riil negatif. Bentuk akar terbagi atas 2 jenis: i.

Akar Senama Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama. Contoh1: mempunyai indeks 2. mempunyai indeks 3.



8

ii. Akar sejenis Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama. Contoh 2: 2

5

mempunyai indeks 3, radikannya 2.

2. Materi Pendudukung a. Turunan i.

Teorema D Aturan pangkat Jika f (x) = xn, dengan n bilangan real , maka f’(x) = nxn, yakni:

ii. Teorema L Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = (f g)(x). jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f g terdeferensialkan di x dan

 f  g ' x  f ' g xg ' x yakni: dy dy du  . dx du dx

iii. Teorema K Turunan Tingkant Tinggi Turunan

Penulisan f’

Penulisan D

Penulisan Leibniz

Pertama

f’(x)

Dxy

dy dx

Kedua

f’’(x)

Dx2 y

d2y dx 2

Ketiga

f’’’(x)

Dx3 y

d3y dx 3

Ke-n

f n(x)

Dxn y

dny dx n

b. Deret Taylor dan Maclaurin Teorema C (Deret Binomial) Untuk tiap bilangan real p dan |x| < 1 berlaku



9

1  x  p

 p  p  p  1    x    x 2    x 3 .......... 1 2 3

dengan  p  p( p  1) p  2 p  3.......( p  k  1)    k! k

Bukti parsial Andaikan f(x) = 1  x  kemudian p

f ( x)  1  x 

 f (0)  1

p

f ' x   p(1  x) p 1

 f ' (0)  p

f ' ' ( x)  p( p  1)(1  x)

p 2

 f ' (0)  p( p  1)

f ' ' ' ( x)  p( p  1)( p  2)(1  x)

p 3

 f ' (0)  p( p  1)( p  2)

Misalkan Tuliskan deret dari

dengan maka di peroleh dari teorema C

1  x 3

 1  2   1  2  5            1 3  3  2  3  3  3  3   1 x  x  x  .. 3 2! 3!

1  x 3

1 1 5  1  x  x 2  x 3  ... 3 9 81

1

1

B. Penarikan Akar Pangkat Tiga Sempurna Bentuk akar pangkat tiga adalah kebalikan dari pagkat tiga Contoh 3 : Perhatikan perpangkatan tiga berikut. 33 = 3 × 3 × 3 = 27

dan

43 = 4 × 4 × 4 = 64

53 = 5 x 5 x 5 = 125 63 = 6 x 6 x 6 = 216

Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pangkat tiga. 3

27 = 3 karena 33 = 27

3

64 = 4 karena 43 = 64

Untuk menarik akar pangkat tiga dengan dengan dua digit mungkin mudah, tapi untuk tiga, empat atau lebih akan sedikit susah. Contoh 4 Diketahui volum sebuah kubus adalah 39.304 cm3. Tentukan panjang sisinya



10

Untuk menjawab soal tersebut volume kubus S3 untuk menghitung panjang sisinya kita harus diakarkan pangkat 3 Untuk memudahkan penarikan akar pangkat tiga pada contoh diatas pertama kita buat pola dulu, pola pertama dari bilangan 1 – 9 dengan ambil angka terakhir dan pola kedua dari kelipatan bilangan 10 Tabel 1 pola 1 – 9 N3

N

Angka Akhir

1

1x1x1=1

1

2

2x2x2=8

8

3

3 x 3 x 3 = 27

7

4

4 x 4 x 4 = 64

4

5

5 x 5 x 5 = 125

5

6

6 x 6 x 6 = 216

6

7

7 x 7 x 7 = 343

3

8

8 x 8 x 8 = 542

2

9

9 x 9 x 9 = 729

9

Tabel 2 Pola kelipatan 10 N

N3

Angka Akhir

10

1.000

1

20

8.000

8

30

27.000

7

40

64.000

4

50

125.000

5

60

216.000

6

70

343.000

3

80

542.000

2

90

729.000

9

100

1.000.000

0

Penyelesaian soal diatas  Perhatikan pola bilangan kubik, 39.304 terletak diantara 27.000 dan 64.000, sehingga hasil dari menjadi


terletak antara 30 dan 40 dan dapat dituliskan = 30 + n < 40 , dengan 0 < n < 40 , n ϵ B .


11

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 4, jadi nilai n = 4  30 + 4 = 34  Jadi panjang sisi kubus adalah 34 cm

Contoh 2:

..??

 Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.000 dan 8.000, sehingga hasil dari

terletak antara 10 dan 20 dan dapat dituliskan

= 10 + n < 20 , dengan 0 < n < 10 , n ϵ B .

menjadi

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 2 3 jadi nilai n = =2  Didapat

= 10+ n = 10+ 2 = 12

Contoh 3:

..??

 Perhatikan pola bilangan kubik, 175.616 terletak diantara 125.000 dan 216.000, sehingga hasil dari

terletak antara 50 dan 60 dan dapat dituliskan = 50 + n < 60 , dengan 0 < n < 10 , n ϵ B .

menjadi

 Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 6, nilai n = 6  Didapat

C. Penarikan

= 50 + n = 50 + 6 = 56

Akar Pangkat Tiga Sembarang Dengan Hasil

Hampiran. Penarikan akar pangkat tiga sembarang dengan hasil angka hampiran, didalam makalah seminar ini aplikasi Deret Taylor dan Maclaurin pada teorema C (deret binomial) Cara deret binomial Untuk tiap bilangan riil p dan -1 < x < 1

1  x  p

 p  p  p  1    x    x 2    x 3 .......... 1 2 3




12

Maka formula untuk akar pangkat tiga adalah :

1  x

1 3

1 1 5  1  x  x 2  x3 3 9 81

Contoh 4 Dengan menggunakan deret binomial hitunglah Penyelesaian Kita dapat menulis

menjadi

Atau 1

 6 3 2.1   dengan memasukan x =  8

atau – 0,75 pada Formula diatas diperoleh

1

1 1 5  6 3 2 3 1    1   0.75   0,75   0,75 3 9 81  8 1 5  1  0,25  0.5625  0,421875 9 81  0,75  0,0625  0,02604667  0,66145333 1

 6 3 2.1   = 2 x (0,66145333) = 1,32291667  8 Maka

= 1,32291667

Dengan menggunakan kalkulator

= 1,25992105

Dengan selisih 0,06299559 Contoh 5

Penyelesaian Dapat ditulis

menjadi

maka x = - 0,5

2.1  0,53 masukan deret binomial dengan x = 0,5 1



13

1  0,53 1

1 1 1  1  x  x2  x3 3 9 81 1 1 5 2 3  1   0,5   0,5   0,5 3 9 81  1  0.166667  0,027778  0,007716

= 0,797836 = 2 x 0,797836 = 1,595672 Maka

= 1,595672

Hasil dari kalkulator adalah 1,587401



14

BAB 3 PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan dapat dikemukan kesimpulan sebagai berikut: 1. Teorema D Aturan pangkat Jika f (x) = xn, dengan n bilangan real , maka f’(x) = nxn, yakni:

2. Teorema L Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = (f g)(x). jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f g terdeferensialkan di x dan

 f  g ' x  f ' g xg ' x yakni:

dy dy du  . dx du dx

3. Teorema C (Deret Binomial) Untuk tiap bilangan real p dan |x| < 1 berlaku

1  x  p

 p  p  p  1    x    x 2    x 3 .......... 1 2 3


B. Saran Dengan melihat kesimpulan diatas, kepada pengajar matematika baik disekolah maupun perguruan tinggi hendaklah dalam pembelajaran dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada siswa/mahasiswa, berkaitan dengan pembelajaran deret binomial.



15

DAFTAR PUSTAKA

Purwanto, Heri dkk.2005. Kalkulus 1. Jakarta: PT Ercontara Rajawali Setyaningsing, Sri dkk.2005. Matematika Dasar 2. Bogor: Pusat Komputasi. J Purcell Edwin. Kalkulus dan geometri analitus jilid 2. Jakarta: Erlangga http://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/ (tanggal akses 2 desember 2012 pukul 20.00) http://chelseawijaya20.blogspot.com/2012/06/mencari-dan-menentukan-akan-pangkat.html (tanggal akses 2 desember 2012 pukul 20.20)

