Manuale matematica

Divisibilità, M.C.D. e m.c.m. (UbiLearning) - 1

La divisibilità Dalla divisione di due numeri a e a’ per uno stesso numero b si ottengono resti uguali se, e soltanto se, la differenza (a - a’) è divisibile per b. Dato un numero a, ogni numero divisibile per a è detto suo multiplo; ogni numero per il quale a è divisibile è detto suo divisore. I multipli di un numero di determinano moltiplicando il numero stesso per ogni termine della successione dei numeri naturali, escluso lo zero, o anche sommando se stesso alla somma precedente a formare una serie. Esempio 𝑀(4) = {4 ∙ 1, 4 ∙ 2, 4 ∙ 3, 4 ∙ 4, . . . , 4 ∙ 𝑛} 𝑀(4) = {4, 8, 12, 16, . . . } I multipli di un numero sono infiniti. 𝑴(𝒏) ≥ 𝒏

cardinalità 𝑴(𝒏) = ∞

Quando la divisione fra un numero a e un numero b dà resto zero si dice che b è divisore di a. I divisori di un numero coincidono con i suoi sottomultipli. In generale, per valori che non siano zero, di due numeri m e n, m divide n, si indica con 𝑚|𝑛. Esempio 𝐷(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Il numero 6 è un divisore di 24 perché 24 / 6 = 4, quindi si può affermare che 3|24. Può altresì essere detto che 24 è divisibile per 6, 24 è un multiplo di 6, 6 divide il 24 o che 6 è un fattore di 24. E’ evidente che i divisori di un numero sono finiti e compresi tra 1 e il numero stesso. ∀𝑛 ∈ ℕ, 1 ≤ 𝐷(𝑛) ≤ 𝑛 Un qualsiasi numero ammette come divisori banali l’unità e il numero stesso. ∀𝑛 ∈ ℕ, 1|𝑛 𝑒 𝑛|𝑛 Esempio 𝐷(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 1 ≤ 𝐷(24) ≤ 24 1|24 𝑒 24|24 Un numero uguale alla somma dei suoi divisori, escluso se stesso, è detto numero perfetto. Esempio: 6=1+2+3. Un numero minore della somma è detto numero difettivo (Esempio: 10>1+2+5), quello maggiore della somma dei suoi divisori escluso se stesso è detto numero abbondante (Esempio: 12