MATERI MATEMATIKA KELAS X

MATERI MATEMATIKA KELAS X Author : machmudah Dra Publish : 05-08-2011 10:48:27

MATERI KELAS X

Macam –

macam bilangan real

1.1. Bilangan Asli Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf A, dan ditulis A = (1,2,3,4, ….) 1.2. Bilangan Cacah Gabungan bilangan nol dan bilangan asli disebut bilangan cacah Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf C, dan ditulis (0,1,2,3, ….) 1.3. Bilangan Bulat Gabungan bilangan negative dan bilangan cacah disebut bilangan bulat Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf B, dan ditulis B = (…, -2,-1,0,1,2, …) 1.4. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai , dengan a,b Ð„ B dan b ≠ 0 , jadi himpunan bilangan rasional ditulis : Q = ( / a,b Ð„ B, dan b ≠ 0)

1.5. Bilangan Irasional Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai , dengan a,b Ð„ B dan b ≠ 0 Himpunan bilangan dilambangkan dengan huruf I, contoh – contoh bilangan irasional adalah , , log 2, π, dsb. 1.6. Bilangan Real Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional disebut bilangan real. Operasi pada bilangan bulat 2.1. Penjumlahan Bilangan Bulat 2.1.1. a+b=b+a a,b Ð„ B 2.1.2. a + (b + c) = (a + b) + c a,b, c Ð„ B 2.2. Pengurangan bilangan bulat 2.2.1. a – b = a + (-b) 2.3. Perkalian bilangan bulat 2.3.1. axb=bxa a,b Ð„ B 2.3.2. a x (b x c) = (a x b) x c a,b, c Ð„ B 2.3.3. a x (b + c) = (a x b) = (a x b) + (a x c) a,b, c Ð„ B 2.3.4. a x (b – c) = (a x b) – (a x c) a,b, c Ð„ B 2.4. Pembagian bilangan bulat Bilangan positif : bilangan positif = bilangan positif Bilangan positif : bilangan negatif = bilangan negatif Bilangan negatif : bilangan negatif = bilangan positif

Operasi pada bilangan pecahan

Page 1

,

MATERI MATEMATIKA KELAS X 3.1.Penjumlahan bilangan pecahan + = 3.2. Pengurangan bilangan bulat = 3.3. Perkalian bilangan bulat x = 3.4. Pembagian bilangan pecahan : = x Konversi bilangan pecahan 4.1. Konversi bilangan pecahan ke bentuk persen = …% dapat diselesaikan dengan cara = 100 % 4.2. Konversi pecahan ke decimal Dapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebutnya.

Perbandingan 5.1. =

Perbandingan senilai.

5.2. = Contoh :

Contoh : harga buku dengan jumlah buku Perbandingan berbalik nilai

Jumlah pekerja dengan lama waktu menyelesaikan pekerjaan Waktu dengan kecepatan

a.

Pengertian Perpangkatan

Jika a suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif, maka a sebanyak n factor. a = a x a x a x a x . . . x a sebanyak n factor b.

Jenis Pangkat Suatu Bilangan

Pangkat sebenarnya a

x a

Bukti : a x a

= a

= (axaxax ...xa) x (axaxax...xa) = axaxaxaxaxax...xa

Page 2

didefinisikan sebagai perkalian a

MATERI MATEMATIKA KELAS X = a a

: a

=

=

a : a Bukti : a : a

=

=

=

= = a

(a

= a

)

Bukti : (a )

a

Jika m > n dan a Jika m < n dan a

= (a x a = a = a

xa

x ...xa

0 0

)

Pangkat tak sebenarnya Pangkat nol

a Bukti : a a Bukti : a

= 1 = a

Jika a =

0

=1

=

n

= a x

0

=

=

=

Pangkat Pecahan ü Pangkat pecahan a Bukti : Jika x = a , maka = atau x = Jika x = a , maka = atau x = Jika x = a , maka = atau x = ü Pangkat pecahan a = a =( )

=a =a =a

untuk n

2 dan n

bilangan asli

Pangkat dari perkalian bilangan Jika n bilangan bulat positif dan a,b R, maka berlaku ketentuan sebagai berikut : (axb) = a x b Bukti : (axb) = (axb) (axb) (axb)x ...x (axb) = (axaxax...xa)x(bxbxbxbx...xb) = a x b

Page 3

MATERI MATEMATIKA KELAS X

Pangkat dari pembagian bilangan Jika n bilangan bulat positif dan a,b = , b 0 Bukti : = x x x x...x = =

a.

R, maka berlaku ketentuan sebagai berikut :

Pengertian Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk menjadi desimal tidak terhingga. Contoh : , , b.

atau bilangan yang banyaknya

Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar bilangan rasional yang penggantinya bukan bilangan rasional. Contoh : = 1,414213 . . . bentuk akar = 3 bukan bentuk akar 2.1 Menyederhanakan bentuk akar Dalam menyederhanakan bentuk akar menggunakan sifat : = . Bukti : = ( a.b ) = a . b = . 2.2 Operasi aljabar bentuk akar 2.2.1 Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila masing-masing suku sejenis, artinya bilangan itu mempunyai akar pangkat dan basis yang sama, maka berlaku ketentuan sebagai berikut : a b = (a b) a b = (a b) 2.2.2 Perkalian dan pembagian bentuk akar 2.2.2.1 x = 2.2.2.2 x = 2.2.2.3 c x d = (c x d ) 2.2.2.4 = 2.2.2.5 = 2.2.2.6 = a 2.2.3 Merasionalkan Penyebut pecahan bentuk akar Merasionalkan penyebut suatu pecahan, berarti mengubah pecahan tersebut menjadi pecahan baru yang ekuivalen, dengan penyebut bilangan rasional. 2.2.3.1 Pecahan berbentuk Jika a dan b bilangan bulat dan b 0, maka berlaku ketentuan sebagai berikut : = x = 2.2.3.2 Pecahan berbentuk

Page 4

MATERI MATEMATIKA KELAS X Untuk merasionalkan penyebut bentuk tersebut diatas, pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan dari penyebut tersebut. Dalam hal ini : a+ sekawannya a asekawannya a + sehingga didapat bentuk rasional sebagai berikut : = x = = x = 2.2.3.3 Pecahan berbentuk Bentuk rasional penyebutnya adalah sebagai berikut : = x = = x = II. Konsep Logaritma Pada pembahasan bilangan berpangkat, telah diketahui bahwa 2 = 8 disebut bilangan berpangkat, 2 disebut bilangan dasar (basis), 3 disebut pangkat (eksponen), dan 8 disebut hasil perpangkatan . Sekarang perhatikan bentuk 2 = 8, berapakah nilai x? Untuk mencari nilai x pada bentuk 2 = 8 disebut invers dari perpangkatan (logaritma). Karena 2 = 8, mka selanjutnya dikatakan bahwa 3 adalah logaritma 2 dari 8 yang ditulis log 8 = 3. secara umum, persamaannya ditulis sebagai berikut : a =c log c = b, a > 0, a 1 dan c > 0 Sifat – sifat Logaritma 1.1 Logaritma hasil kali bilangan-bilangan Logaritma hasil kali bilangan-bilangan sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya. log ( a x b ) = log a + log b Bukti : Misalnya log a = m dan log b = n Karena log a = m a=p log b = n b=p Maka : (axb) = p . p (axb) = p log ( a x b ) = log p log ( a x b ) = m + n log ( a x b ) = log a + log b 1.2 Logaritma hasil bagi suatu bilangan Logaritma sebuah hasil bagi sama dengan logaritma bilangan yang dibagi dikurangi logaritma pembaginya. log = log a - log b Bukti : Misalnya log a = m dan log b = n Karena log a = m a=p log b = n b=p Maka : = = =p log = log p

Page 5

MATERI MATEMATIKA KELAS X log = m - n log = log a - log b 1.3 Logaritma suatu bilangan berpangkat Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan logaritma bilangan itu dikalikan dengan pangkatnya. log a = n x log a Bukti : Misalnya log a = m a=p Maka : a = (p ) a = p log a = log p log a = n.m log a = n x log a 1.4 Penggantian bilangan pokok logaritma log a = Bukti : Misalnya log a = m a=p Maka : Kedua ruas diambil logaritmanya dengan bilangan pokok q : log a = log p log a = m . log p m = log a = 1.5 Perkalian logaritma bilangan log a x log b = log b Bukti : log a x log b = x = x = 1. = = log b 2. Pengertian pertidaksamaan linier Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka yang memuat pertidaksamaan dimana peubahnya berpangkat satutanda

3. Penyelesaian pertidaksamaan linier 4.1. Pertidaksamaan linier dengan satu peubah, cara penyelesaiannya : Memindahkan variable keruas kiri dan konstanta keruas kanan Menyelesaikan masing – masing ruas 4.2. Pertidaksamaan linier dengan dua peubah Untuk x, y Ð„ R, penyelesaian pertidaksamaan linier dengan dua peubah berupa daerah yang diasir pada system koordinat.

Page 6


BAB II PERRSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 1. Pengertian Persamaan Linier 1.1. persamaan linier dengan satu peubah mepunyai bentuk umum : ax + b = 0 dengan a,b Ð„ R dan a ≠ 0 1.2. Persamaan linier dengan dua peubah mempunyai bentuk umum : ax + by + c = 0 , a,b,c Ð„ R , a,b ≠ 0

2.. PERSAMAAN GARIS Â– Persamaan garis yang melalui titik ( ) dan gradien Â– Persamaan garis yang melalui titik dan adalah : SMART : Â– Persamaan garis yang melalui

dan

adalah : ,

adalah

SMART persamaan garis lurus Â– Persamaan garis melalui Â– Persamaan garis melalui Â– Maka x

dan sejajar garis adalah (ab ab) dan tegak lurus garis adalah (ba ba)

JARAK TITIK TERHADAP GARIS Jarak titik ( ) terhadap garis

adalah

5. PERSAMAAN KUADRAT Bentuk

jenis

Umum

, untuk

jenis akar

Â– real berlainan (punya 2 akar real) bila Â– real bila Â– kembar (punya 1 akar real) bila Â– tidak real(tidak punya penyelesaia bilangan real) bila

Page 7


jumlah

,selisih dan hasil kali

Â– Â– Â– Â– Â– Â–

(

persamaan kuadrat yang akar-akarnya Â–

pemfaktoran

Â–

ABC

Â–

Melengkapkan kuadrat

dan

6. hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar akar Â– Â– Â– Â– Â– Â–

jika kedua akar adalah real dan positif, maka D > 0 ; ; jika kedua akar adalah real sama maka D > 0 ; ; jika kedua akar adalah real sama, maka D = 0 jika kedua akar adalah real sama dan berlawanan tanda, maka D > 0 ; jika kedua akar berkebalikan maka D > 0 ; jika salah satu akar nol ,maka D > 0 ; c = 0

Persamaan linier dua variabel Bentuk umum persamaan linier dua variabel [ Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda pertidaksamaan ” < , >,

”

Â– Pertidaksamaan linier adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertingginya satu Â– Bentuk umum pertidaksamaan linier adalah ax + b” < , >, ” 0 dengan a,b Ð„ R dan a ≠ 0

Page 8


2.

Penyelesaian pertidaksamaan linier

Â– Pertidaksamaan linier dengan satu peubah, cara penyelesaiannya : Memindahkan variabel keruas kiri dan konstanta keruas kanan Menyelesaikan masing – masing ruas

3.

Pertidaksamaan linier dengan dua peubah

Untuk x, y Ð„ R, penyelesaian pertidaksamaan linier dengan dua peubah berupa daerah yang diasir pada system koordinat.

Bab III Program linear Definisi : Program linier merupakan cabang ilmu Matematika, yang bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi obyektif (fungsi sasaran). Langkah – langkah penyelesaian : Tentukan model matematika yang sesuai. Gambarlah grafik dari model matematika tersebut. Tentukan daerah fisibel (yang mungkin). Tentukan titik vertex. Cari nilai optimal dari fungsi obyektif pada titik – titik vertex.

Mencari persamaan garis :

x

Page 9


y

b

a

atau ax + by = ab

Diketahui gambar garis memotong sumbu x dan sumbu y.

Page 10


Persamaan garis melalui

dan

adalah

BAB IV. Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks : Jika A = dan B = , maka : 1. A + B = + = 2. A – B =

–

=

Perkalian Matriks : Jika A = , maka kA = k = Jika A = , dan B = , maka AB = = Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika memenuhi :

=

Sifat - Sifat Matriks : 1. A + B = B + A 2. Jika A = , maka Transpose matriks A adalah 3. Jika , maka matriks A disebut matriks Simetris 4. Jika A I = I A = A, maka I disebut matriks identitas perkalian dan Determinan Matriks :

Jika A = , maka determinan A = det(A) = = = ad – bc Jika A = , maka det(A) = = = (aei + bfg + cdh) – (bdi + afh + ceg) atau dengan menggunakan minor kofaktor, yaitu : Jika A = , maka det(A) = = a – b + c Jika Determinan matriks A sama dengan nol, maka matriks A disebut matriks Singular, sebaliknya jika Determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks A disebut matriks non Singular.

Invers Matriks ordo 2 x 2 : 1. Jika A = , maka invers matriks A adalah = adjoint A = 2. Jika AX = B, maka X = B dan jika XA = B, maka X = B

Page 11


BAB V . LOGIKA I. 1. LOGIKA MATEMATIKA Lima penghubung logika matematika :

1. Negasi (Ingkaran) Notasi : ~ atau –

2. Konjungsi (Dan ) Notasi :

3. Disjungsi (Atau) Notasi :

4. Implikasi (Jika … , Maka … ) Notasi :

5. Biimplikasi ( … Jika dan hanya Notasi :

jika … )

Page 12


p

q

~p

~q

p

q

p

q

p

q

Page 13

MATERI MATEMATIKA KELAS X p

q

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

Page 14

MATERI MATEMATIKA KELAS X S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

Page 15

MATERI MATEMATIKA KELAS X S

B

B

Tabel kebenarannya :

Sifat – sifat :

1.

4.

7.

Page 16


2.

5.

8.

3.

6.

Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontra Posisi : 1. Implikasi : (ekuivalen dengan) 3. Kontra Posisi : 2. Inversi : (ekuivalen dengan) 4. Konversi :

Kalimat berkuantor : 1. artinya : Semua, atau Setiap (dalam fakta tidak ada yang tidak masuk pernyataan). 2. artinya : Ada, beberapa, sebagian, atau lebih dari satu (dalam fakta boleh ada yang tidak masuk dalam

Page 17

MATERI MATEMATIKA KELAS X pernyataan dan harus ada minimal satu yang masuk pernyataan). Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan Majemuk :

1.

Negasi Konjungsi

~ (p Ù q) º p v ~ q

3.

Negasi Implikasi

~ (p

q) º p Ù ~ q

2.

Negasi Disjungsi

~ (p v q) º ~ p Ù ~ q

4.

Negasi Biimplikasi

~ (p « q) º (p Ù ~ q) (q Ù ~ p)

Page 18


Model Penarikan Kesimpulan :

Modus Ponens

Modus Tollens

Silogisme

p p

q (B) ... Premis 1 (B) ... Premis 2 (B) ... Kesimpulan

p ~q

q (B) ... Premis 1 (B) ... Premis 2 (B) ... Kesimpulan

\q

\~ p

p q

q r

(B) ... Premis 1 (B) ... Premis 2

Page 19

MATERI MATEMATIKA KELAS X \p

r

(B) ... Kesimpulan

Negasi untuk Kalimat berkuantor : 1. dibaca : “Tidak benar bahwa semua x adalah p” atau “Ada x yang tidak p” 2. dibaca : “Tidak benar bahwa ada x yang p”

Page 20