materi Struktur Aljabar - WordPress.com

STRUKTUR ALJABAR II

Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

RING (GELANGGANG)

Definisi: Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan perkalian), yang memenuhi aksioma, antara lain: 1. Tertutup terhadap penjumlahan

a, b G ‫׀‬c G a + b = c

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

a, b, c G a b c a b c

3. Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan 0 G a G 0 + a = a + 0 = a

4. Setiap elemen anggota G mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan a G a G (-a) + a = a + (-a) = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan a, b G a + b = b + a

6. Tertutup terhadap oprasi perkalian a, b G ‫׀‬c G a b = c

7. Assosiatif terhadap oprasi perkalian

a, b, c G a b c a b c

8. Distributif perkalian terhadap penjumlahan a, b, c G

a (b + c) = (a b) + (a c)

(b + c) a = (b a) + (c a)

→ distribusi kiri → distribusi kanan

Contoh1: Selidiki apakah I6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap oprasi “ + ” dan “” merupakan ring


Jawab:

0

1

2

3

4

5

5

0

0

0

0

0

0

0

5

0

1

0

1

2

3

4

5

5

0

1

2

0

2

4

0

2

4

5

0

1

2

3

0

3

0

3

0

3

5

0

1

2

3

4

0

4

2

0

4

2

0

1

2

3

4

5

0

5

4

3

2

1

+

0

1

2

3

4

5

0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

2

3

4

3

3

4

4

4

5

5

1) Tertutup terhadap penjumlahan

(2,3 I6) ‫ ׀‬5 I 2 + 3 = 5 I6

2) Assosiatif terhadap penjumlahan

2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 0+5

=2+3

5

= 5

3) Terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan 0 I 3 I 0 + 3 = 3 + 0 = 3

4) Setiap anggota elemen I6 mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 4 I 2 I 2 + 4 = 4 + 2 = 0

5) Komutatif terhadap penjumlahan 1, 4 I 1 + 4 = 4 + 1 = 5

6) Tertutup terhadap perkalian

3, 2 I ‫׀‬0 I 2 3 = 0

7) Assosiatif terhadap perkalian

2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 2 5=22 4 = 4

8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan

2, 3, 4 I 2 (3 + 4) = (2 3) + (2 4) 21

2

= 0 + 2 = 2


Contoh2: Selidiki apakah himpunan bilangan kompleks terhadap oprasi “+” dan “” suatu ring Jawab: K = {a + bi ‫׀‬a,b є R, R himpunan bilangan riil dan i=√1 } 1) Tertutup terhadap oprasi penjumlahan “+” Missal: K K

K a b i є K K a b i

= (a bi) + (a b i)

= a a + (b b )i є K

K tertutup terhadap oprasi penjumlahan 2) Assosiatif terhadap oprasi penjumlahan Missal:

K a b i K a b i K a b i

єK

(K K ) + K

=

K + (K K )

{(a b i) + (a b i)} + (a b i) = (a b i) + {(a b i) + (a b i)} (a a a ) + (b b b ) i

K assosiatif terhadap oprasi penjumlahan

= (a a a ) + (b b b ) i

3) Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan K a b i

єK

0 K a b i є K 0 + (a b i) = (a b i) + 0 = a b i K mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan “+”

4) Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan (a b i є K) ( a b i є K)

a b i + (a b i) = (a b i) + (a b i ) = 0

Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 5) Komutatif terhadap oprasi penjumlahan K a b i є K , maka K a b i

a b i) + (a b i = (a b i + a b i) a a ) + (b b ) i = a a) + (b b )i


6) Tertutup terhadap oprasi perkalian “” Missal: K K

K a b i є K K a b i

= (a b i a b i)

= a a b b + (a b a b)i є K

K tertutup terhadap oprasi perkalian 7) Assosiatif terhadap oprasi perkalian “” Missal:


єK

(K K ) K

=

K (K K )

{(a b i) (a b i)} (a b i) = (a b i) {(a b i) (a b i)}

K assosiatif terhadap oprasi perkalian

8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan Missal:


єK

(a b i) {(a b i)} (a b i)} = (a b i) (a b i) (a b i) (a b i)

K distributif perkalian terhadap penjumlahan

KARAKTERISTIK RING Definisi:

Jika R suatu Ring atau (R ; + ; ) ring untuk elemen sembarang a є R. jika dapat

ditemukn bilangan bulat positif terkecil n sehingga n.a=0 elemn nol(0) dari ring R, maka karakteristik dari ring R adalah n. Jika n tidak dapat ditemukan, maka karakteristik dari ring R adalah nol(0) atau tidak terhingga Contoh Berapa karakteristik dari ring R bilangan bulat modulo.5 Jawab

50=0

51=0

52=0 53=0

54=0

Jadi karakteristik dari I5 adalah 5 http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

PEMBAGI NOL Definisi: Suatu elemen a є ring R disebut pembagi nol bila hanya terdapat elemen b ≠ 0 єR a.b=b.a=0

PEMBAGI NOL SEJATI Definisi: Jika a є ring R suatu pembagi nol (a ≠ 0) dan b ≠ 0 є Ring, maka a disebut pembagi nol sejati (PNS). Jadi a ≠ 0 dan b ≠ 0 → a. b = 0 Contoh 1. Bilangan bulat modulo 6 I6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Jawab: 2 x 3 = 3 x 2 = 0 (mod 6) Jadi bilang bulat modulo 6 memuat PNS 2. Bilangan bulat modulo 5 I5 = {0, 1, 2, 3, 4} Jawab: I5 tidak memuat pembagi nol sejati karena tidak ada anggota I5 yang dikalikan hasilnya nol(0)

MACAMMACAM-MACAM RING 1. Ring Unit Definisi:

Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring unit bila hanya bila R juga memenuhi sifat terdapat

elemen satuan terhadap perkalian “” ( z R)(a R) z . a = a . z = a


2. Ring Unit Komutatif Definisi:

Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring bila R juga bersifat komutatif perkalian maka R disebut ring unit komutatif

a, b R a . b = b . a

Contoh:

1) Selidiki apakah R’ = {x + y√3

‫ ׀‬x, y є

Riil} suatu ring unit komutatif terhadap

oprasi penjumlahan “+” dan perkalian “x” Jawab: Akan dibuktikan R’ = {x + y√3 ‫ ׀‬x, y є Riil} suatu ring unit komutatif •

Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian Missal elemen satuan dari R’ adalah (x + y√3)

є R dengan x, y є Riil, maka

(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3) •

Mempunyai elemen satuan o Elemen satuan kiri (x + y√3) (a + b√3)

= (a + b√3)

(xa + 3yb) + (xb+ ya) √3

= (a + b√3)

xa + 3yb

=a

→ ax + 3by = a

xb + ya

=b

→

x y

%$& $% & % ' & $% &

3&$ % 3&$ % % &' 3&$ %

2

%2 3&

%&%&

%2 3&

2

2 %2 3&

bx + ay = b

=1 (

= )* +,* 0

Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 o Elemen satuan kanan (a + b√3) (x + y√3)

(ax + 3by) + (ay + bx) √3

= (a + b√3) = (a + b√3)

ax + 3by = a

→ ax + 3by = a

bx + ay

→

=b


bx + ay = b

% 3&

2 $ $ 2 % % 3& = 1 x %& 3& 2 %2 3& $ $

y

& % ' & $% &

% % &' 3&$ %

%&%&

%2 3&

2

(

= )* +,* 0

Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 •

Komutatif terhadap perkalian (x + y√3) (a + b√3)

= (a + b√3) (x + y√3)

(xa + 3yb) + (ya + xb) √3 = (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3

R’ komutatif, karena perkalian bilangan Riil bersifat komutatif

x y 2) Selidiki apakah M = -.y x 0 0

0 01 ‫ ׀‬x, y Riil 0

Suatu ring unit yang komutatif terhadap oprasi penjumlahan dan perkalian Jawab: Akan dibuktikan M adalah Ring unit yang komutatif •

Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian “”

x y Misal elemen satuan dari M adalah .y x 0 0

dengan x, y R, maka x y 0 a .y x 01 .b 0 0 0 0

Elemen satuan kiri

0 01 M 0

x y b 0 a b 0 a 01 .b a 01 .y x 0 0 0 0 0 0 0

x y 0 a b 0 .y x 01 .b a 01 0 0 0 0 0 0 ax by bx ay 0 .ay bx by ax 01 0 0 0 ax + by = a

-bx – ay = -b

a

.b 0

a = .b 0

0 a 01 .b 0 0

b 0 a 01 0 0

b 0 a 01 0 0

bx + ay = b a abx + a2y = ab

ax – by = a b abx – b2y = ab (a2+b2) y = 0

bx + 0 = b http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

b 0 a 01 0 0

x=1

y=0

1 jadi elemen satuan kirinya adalah .0 0

Elemen satuan kanan

x y 0 a b 0 .b a 01 .y x 01 0 0 0 0 0 0 ax by bx ay 0 .ay bx by ax 01 0 0 0 ax + by = a

0 0 1 01 0 0 a = .b 0

a = .b 0

b 0 a 01 0 0

b 0 a 01 0 0

bx + ay = b a abx + a2y = ab

ax – by = a b abx – b2y = ab

-bx – ay = -b

(a2+b2) y = 0

bx + 0 = b

•

1 jadi elemen satuan kanannya adalah .0 0 Komutatif terhadap oprasi perkalian

x y 0 a .y x 01 .b 0 0 0 0

0 0 1 01 0 0

x y b 0 a b 0 a 01 .b a 01 .y x 0 0 0 0 0 0 0

y=0

x=1

0 01 0

HOMOMOERPHISMA Definisi:

Diketahui (R; +; ) dan (R’; +; ) ring

Didefinisikan suatu fungsi f dari R ke R’ atau f : R → R’ , maka fungsi f disebut

homomorphisme dari R → R’ bila dan hanya bila 1. a, b R f (a + b) = f(a) + f(b)

2. a, b R f (a b) = f(a) f(b)

Jika homomorphisma injektif, maka f disebut monomorphisma Jika homomorphisma surjektif, maka f disebut epimophirsma Jika homomorphisma bijektif, maka f disebut isomorphisma Jika homomorphisma yang domain dan kodomainnya sama disebut endhomorphisma Suatu isomomorphisma yang domainda kodomainnya sama disebut automorphisma


Contoh:

Jika (R ; + ; ) ring bilangan bulat dan (R’ ; + ; ) ring bilangan genap. Oprasi “+” seperti pada R’ sedangkan oprasi “” pada R’ didefinisikan ab = Jika f didefinisikan dari R

),

; a, b R

R’ dengan f(x)= 2x, x R. Maka apakah f suatu

homomorphisma yang bijektif (isomorphisma) Jawab: f:R

R’ dengan f(x) = 2x, x R

akan dibuktikan isomorphisma (homomorphisma yang injektif dan surjektif) 1) ( a, b R) 2) ( a, b R)

f (a + b) = f(a) + f(b) 2(a + b) = 2a + 2b 2a + 2b = 2a + 2b

f (a b) = f(a) f(b)

2 (a b) = 2a 2b 2 ab

= 2 (2ab)

2 ab = 2ab f injektif f surjektif

a ≠ b → f(a) ≠ f(b)

(2a R’) ( a R)

atau

2a ≠ 2b

f(a) = 2a

◊ f isomorphisma

SUB RING Definisi:

Suatu himpunan (R’; +; ) yang tidak kosong disebut sub ring dari ring (R; +; ) bila hanya bila terhadap oprasi yang sama dengan R, R’ juga ring dan R’ 4 ring R dan R’ ≠ 0

disebut subring dari ring (R; +; ) bila hanya bila memenuhi: 1. a, b R (a - b) R 2. a, b R a . b R

Contoh

Selidiki apakah ring himpunan bilangan genap merupakan sub ring dari ring himpunan bilangan bulat


Jawab: G : { bilangan bulat genap} atau G : {2n ‫ ׀‬n є B} Akan dibuktikan G subring dari bilangan bulat Jika diambil

X1 = 2n1

; n1 є B

X2 = 2n2

; n2 є B

Maka 1) X1 - X2

= 2n1 - 2n2 = 2 (n1 - n2) є G

Karena n1 , n2 є B → 2) X1 . X2

(n1 - n2) є B

→

2(n1 - n2) є G

→

2n1 n2 є G

= (2n1 ) (2n2) = 2 (2n1 n2) є G

Karena n1, n2 є B →

n1 n2 є B

Karena syarat 1) dan 2) terpenuhi maka G subring dari B


→

2 (2n1 n2) є G