Metodi matematici per l'ingegneria. - Corsi di Laurea a Distanza

Metodi matematici per l'ingegneria. Lezioni del prof. Marco Codegone

appunti di Capuzzo Alessandro v 1.3

Note dell'autore:

Sicuramente non sostituiscono un libro di testo, probabilmente non sono un lavoro sensazionale, senza dubbio sono molti gli errori, di vario genere; ma questi appunti, presi guardando le videolezioni di Marco Codegone (professore di analisi matematica presso il Politecnico di Torino) sono il frutto di settimane di lavoro e a me personalmente sono stati molto utili. Ho deciso quindi di renderli disponibili in rete per chiunque pensasse di ricavarne un qualche vantaggio, poichè penso che la condivisione sia il bene che salverà il mondo e perchè ciò avvenga, bisogna uscire dalla logica del guadagno a tutti i costi, convincendosi che contribuire disinteressatamente alla ricchezza culturale del proprio paese non è tempo perso, né mancato guadagno, ma il bene più grande che si possa fare a sé stessi, ... e ai propri figli. Capuzzo Alessandro

... buon lavoro.

Indice generale Numeri complessi..........................................................................................1

Forma cartesiana..............................................................................................................................1 Complesso coniugato.......................................................................................................................3 Forma trigonometrica.......................................................................................................................4 Formula di Eulero............................................................................................................................6 Esempi.............................................................................................................................................6 Proprietà del modulo e dell'argomento............................................................................................9 Seni e coseni complessi.................................................................................................................11 Seni e coseni iperbolici..................................................................................................................13 Logaritmo complesso.....................................................................................................................14 Esponenziale complesso................................................................................................................15

Funzioni a valori complessi.........................................................................17

Funzioni reali di variabile reale.....................................................................................................17 Funzioni complesse di variabile reale............................................................................................18

Funzioni periodiche.....................................................................................19 Analisi armonica..........................................................................................21

Armoniche elementari....................................................................................................................21 Energia di un'armonica elementare................................................................................................24

Polinomi di Fourier......................................................................................25

Energia di un polinomio di Fourier................................................................................................29 Polinomio di Fourier di x(t)...........................................................................................................30

Serie di Fourier............................................................................................35

Funzioni continue a tratti...............................................................................................................35 Norma e prodotto scalare...............................................................................................................36 Traslazioni.....................................................................................................................................37 Riscalamento (dilatazione, omotetia)............................................................................................37 Convergenza puntuale e convergenza uniforme............................................................................38

Funzioni di variabile complessa..................................................................43

Funzioni reali di variabile complessa...........................................................................................43 Funzioni complesse di variabile complessa...................................................................................44 Integrali di linea in campo complesso...........................................................................................47

Funzioni analitiche......................................................................................49

Formule integrali di Cauchy..........................................................................................................53 1° Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................56 2° Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................57 Esistenza delle derivate di ogni ordine di f(z)...............................................................................57

Sviluppi in serie...........................................................................................59

Sviluppi in serie di Taylor..............................................................................................................59 Giustificazione della formula di Eulero.........................................................................................62 Sviluppi in serie di Laurent............................................................................................................63

Singolarità ...................................................................................................67

Singolarità isolate..........................................................................................................................68 Poli di 1° ordine.............................................................................................................................69 Poli di ordine qualunque................................................................................................................72 Singolarità essenziali.....................................................................................................................75 Punto all'infinito di C.....................................................................................................................77 Singolarità non uniformi................................................................................................................80 Singolarità non isolate...................................................................................................................80

Tabelle riassuntive.........................................................................................................................82 Osservazioni finali.........................................................................................................................83

Residui.........................................................................................................85

Calcolo pratico dei residui in poli del 1° ordine............................................................................88 Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1........................................................................90 Integrali impropri col metodo dei residui......................................................................................92 Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale).................................................................95 Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario)....................................................96

Decomposizione in fratti semplici ............................................................101

Poli semplici................................................................................................................................101 Poli multipli.................................................................................................................................106 Poli complessi coniugati..............................................................................................................109

Distribuzioni..............................................................................................115

Funzionali....................................................................................................................................115 Limiti (nel senso delle distribuzioni)...........................................................................................115 Derivate distribuzionali................................................................................................................120 Modelli (ingresso - uscita)...........................................................................................................125 Prodotto di convoluzione.............................................................................................................125 Proprietà del prodotto di convoluzione........................................................................................130

Trasformata di Fourier...............................................................................131

Trasformata della porta................................................................................................................131 Trasformata della campana razionale..........................................................................................132 Trasformata della delta di Dirac..................................................................................................133 Trasformata della costante 1........................................................................................................134 Antitrasformata di Fourier...........................................................................................................135 Proprietà della trasformata di Fourier..........................................................................................136 Altre trasformate..........................................................................................................................145 Trasformata del gradino unitario.................................................................................................146 Equazioni nel dominio delle distribuzioni...................................................................................147 Esempi di trasformate di Fourier.................................................................................................150 Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta.................................................156 Distribuzioni limitate...................................................................................................................159 Distribuzioni a crescita lenta........................................................................................................160 Treno di impulsi...........................................................................................................................161 Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche......................................................................165 Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici..................................................................168

Trasformata di Laplace..............................................................................175

Trasformata di Laplace bilatera...................................................................................................175 Proprietà della trasformata di Laplace.........................................................................................180 Esercizi su trasformate fondamentali...........................................................................................184 Trasformata di Laplace unilatera.................................................................................................191 Antitrasformata di Laplace..........................................................................................................192 Esercizi di antitrasformazione.....................................................................................................193 Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0................................................................197 Considerazioni pratiche...............................................................................................................200 Teorema del valor finale..............................................................................................................201 Teorema del valore iniziale..........................................................................................................201 Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali..........................................................202 Applicazione ad un modello concreto.........................................................................................203 Separazione dei termini di transitorio e di regime.......................................................................206

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi

Numeri complessi I numeri complessi si possono presentare in tre forme: Forma cartesiana Forma trigonometrica Forma esponenziale

Forma cartesiana Il numero complesso in forma cartesiana si scrive nel seguente modo: z x

jy

con j si intende l'unità immaginaria, ovvero è quel numero complesso che verifica la seguente uguaglianza:

j

2

1

Nei corsi di matematica normalmente l'unità immaginaria è simboleggiata dalla lettera i , mentre nei corsi di applicazione all'elettronica si utilizza la lettera j , perché la i è riservata alla corrente. Noi ci uniformiamo a quest'ultima indicazione in quanto il nostro corso ha una forte inclinazione alle applicazioni elettroniche. Il vantaggio della forma cartesiana è che si possono leggere immediatamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso: Re z x

Im z

y

La forma cartesiana presenta invece qualche difficoltà quando se ne vogliono cercare il modulo e l'argomento. Rappresentando in un piano cartesiano il numero complesso, si utilizza l'asse delle ascisse per la parte reale e l'asse delle ordinate per la parte immaginaria e la loro composizione individua un punto nel piano che lo rappresenta.

y

z x

jy

Il modulo di un numero complesso rappresenta quella che è la distanza del punto del piano xy dall'origine, dunque: z

x

x

2

y

2

.

Invece l'argomento di un numero complesso è l'angolo formato dalla semiretta che parte dall'asse delle x e ruota fino ad incontrare il numero z

E' chiaro che se facciamo una rotazione in senso antiorario indichiamo l'angolo positivamente, se la facciamo in senso orario, lo indichiamo negativamente. Come facciamo ad individuare il valore di

? Se guardiamo in figura abbiamo il triangolo

Forma cartesiana - Pag. 1

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi rettangolo Oxz. In questo triangolo quindi si ha, grazie alla trigonometria: tg

y x

arctg

è l'angolo adiacente al cateto Ox ed opposto al cateto xz,

y x Bisogna però fare una certa attenzione nel calcolo di , perché la funzione tangente non è invertibile in tutto il suo dominio: è una funzione periodica di periodo ed essendo la funzione arcotangente l'inversa della funzione tangente

2

2

esclusivamente nell'intervallo

, 2 2 la formula così com'è vale solo se l'angolo compreso in tale intervallo, ovvero:

, è

quando la parte reale del numero complesso è positiva, la formula per ricavarlo è quella scritta sopra. Se invece l'angolo si trova fuori da questo intervallo, ovvero: 2

quando la parte reale del numero complesso è (vedi negativa, bisogna aggiungere o togliere figura : la freccia indica lo spostamento necessario per rientrare nel dominio dell'arcotangente partendo con fuori del dominio ).

dell'arcotangente, questo spostamento vale Concludendo: se

x Re z 0

arg z

arctg

y x

se

x Re z 0

arg z

arctg

y x

- Pag. 2


Complesso coniugato Il simbolo z * rappresenta il complesso coniugato di parte immaginaria : se

jy , z * x

z x

z e si ottiene cambiando il segno della

jy

y

z x

Dal punto di vista geometrico ricavare il complesso coniugato corrisponde a fare una simmetria rispetto all'asse reale.

jy

La forma cartesiana permette di fare agevolmente somme e sottrazioni, ma diventa un po' più problematica tutte le volte che dobbiamo fare prodotti o potenze. Infatti si vede subito che nella forma cartesiana il numero complesso corrisponde ad un binomio, con tutte le conseguenze del caso: un prodotto porta a 4 termini, una potenza ancora peggio.

x z

*

x

jy

Vediamo un esempio: z

4 3 4j

dunque: Re z

4 3

Im z

4

E' sempre molto importante valutare subito modulo ed argomento: z

4 3

2

4

2

8 (osserviamo che il modulo è sempre positivo)

Ciò vuol dire che la distanza dall'origine di z è 8. E' molto importante da comprendere: è come dire che il nostro numero complesso sta su di una circonferenza di centro l'origine e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamo adesso l'argomento: dobbiamo subito fare una riflessione sul segno della parte reale. Nel nostro caso è negativa per cui dobbiamo aggiungere

arg z arctg

4 4 3

arctg

1 3

6

7 6

Complesso coniugato - Pag. 3


Forma trigonometrica Il numero complesso si scrive nella forma: z

cos

j sen

Quando il numero complesso è espresso in forma trigonometrica leggiamo subito il valore del modulo ( ) e dell'argomento ( ). E' invece necessario qualche calcolo per le parti reale ed immaginaria: Re z

Im z

cos

sen

Il complesso coniugato di z si ottiene cambiando il segno alla parte immaginaria oppure cambiando il segno all'argomento: z*

cos

j sen

cos

j sen

La validità del secondo membro è facilmente verificabile in quanto il coseno è una funzione pari, cos sen sen dunque cos ed il seno è una funzione dispari, dunque . La forma trigonometrica evidenzia il fatto che il complesso coniugato si ottiene semplicemente (infatti in questo modo si ottiene la simmetria del numero cambiando segno all'angolo complesso rispetto all'asse delle x). Vediamo un esempio. 4 3

z 5 cos

4 3

j sen

Per rappresentare questo numero nel piano cartesiano osserviamo che il numero starà su di una 4 circonferenza di raggio 5 ed il suo modulo formerà un angolo di con l'asse delle x. 3 Calcoliamo le parti reale ed immaginaria Re 5 cos

4 3

Im z 5 sin

4 3

1 2

5

5 2 3 2

5

5 3 2

Il numero complesso può essere così espresso in forma cartesiana:

z

5 3 5 2 2

ed il coniugato è

z*

5 3 = 5 2 2

5 cos

4 3

j sen

4 3

Forma trigonometrica - Pag. 4


Vogliamo fare adesso delle considerazioni che ci introducano alla forma esponenziale. La seguente uguaglianza è sicuramente ovvia: z

z z

z

z Circonferenza unitaria

Geometricamente questo vuol dire che ogni numero complesso può essere scritto come il prodotto di un numero reale z per un numero complesso che sta sulla circonferenza unitaria z . z

z z

Abbiamo fatto questa osservazione perché per ora vogliamo occuparci esclusivamente di numeri complessi che hanno modulo 1. Prendiamo i seguenti numeri complessi e scriviamoli in forma trigonometrica: z1

1

z 1 cos

1

j sen

1

z2

1

z 2 cos

2

j sen

2

e moltiplichiamoli tra loro: z 1 z 2 cos

1

cos

sen

2

1

sen

j cos

2

1

sen

2

sen

1

cos

2

2

sen

1

cos

2

ricordando le formule di addizione e sottrazione z 1 z 2 cos

1

cos

sen

2 cos

1

1

sen

j cos

2

1

sen

sen

2

1

2

risulta z 1 z 2 cos

1

2

j sen

1

2

Questo è un risultato estremamente interessante perché illustra che per fare il prodotto di due numeri complessi ci siamo ricondotti a fare una somma tra gli argomenti. Vi è un'analogia con la forma esponenziale: a

e e

b

e

a b

- il prodotto degli esponenziali si traduce in una somma degli esponenti; il prodotto dei numeri complessi si traduce in una somma degli argomenti. Questo ci porta a riflettere sulla possibilità che potrebbe esserci una forma di rappresentazione dei numeri complessi come esponenziale. In effetti è così, ma certo non può essere una forma esponenziale di tipo reale, perché se si volesse rappresentare ad esempio il numero complesso j : j cos

2

j sen

2

, è chiaro che una forma esponenziale del tipo Forma trigonometrica - Pag. 5

e 2 sarebbe un numero

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi reale, dunque non andrebbe bene. Bisognerà in qualche misura introdurre un oggetto nuovo. La forma corretta è la seguente in quanto l'esponente non è un numero reale ma un numero immaginario: z1 e

j

1

z2 e

j

2

Questa rappresentazione traduce molto bene anche il prodotto, infatti volendo fare il prodotto di due numeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomenti: z1 z 2 e

j

1

e

j

e

2

j

1

2

Bisognerebbe però essere sicuri che questo tipo di notazione è in qualche misura coerente con tutte le proprietà degli esponenziali. Più avanti nel corso, quando avremo gli strumenti necessari, dimostreremo che è così. Siamo dunque giunti alla

Formula di Eulero ej

cos

j sen

Questa è una formula fondamentale nel nostro cammino. Familiarizziamo un po' con essa effettuando una divisione tra due numeri complessi: z1 cos z2

j

1

j sin

2

1

2

=

e j e

1

2

e

j

1

2

Utilizzando la formula di Eulero possiamo scrivere un numero complesso nel seguente modo:

z

e

j

La forma esponenziale è una forma in cui si leggono agevolmente modulo e argomento ed è estremamente pratica per fare le operazioni di prodotto, di potenza, di radice n-sima. Per esempio l'elevamento a potenza diviene il seguente: zn

ej

n

n

ej

n

n

e jn

Esempi Vediamo un esempio pratico. Prendiamo

z 3 3 3j

e facciamone la potenza ottava. Diciamo subito che se dovessimo eseguire questo calcolo in forma cartesiana, ci ritroveremmo a dover fare il prodotto di un binomio con due addendi per sé stesso 8 volte, ed il calcolo diventerebbe una cosa estremamente faticosa. Se invece scriviamo il numero complesso in forma esponenziale questo diventa molto semplice: z

3 3

2

32

36 6 Esempi - Pag. 6

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi arg z arctg

3

osserviamo che a 0 , quindi non si aggiunge

6

3 3

per cui la potenza è z

8

6e

j

8 6

8

6 e

j8

6

z

E' molto importante verificare cosa succede graficamente, facendo una rappresentazione geometrica; fare l'ottava potenza è significato elevare il modulo all'ottava potenza; ed avere fatto una rotazione, moltiplicando l'argomento per 8.

z8

Vediamo un altro esempio. Ci poniamo la questione di fare la radice n-sima di z . Ricordando che fare la radice n-sima significa fare un elevamento a potenza frazionaria, possiamo scrivere: n

z

n

e

j

e

j

1 n

Si tratta anche in questo caso di sfruttare le proprietà dell'esponenziale, tenendo però conto della periodicità di che rimane pur sempre un angolo della circonferenza goniometrica, per cui risulta: n

z

n

e

j

e

j

1 n

e

j

2k

1 j n

Aggiungere un multiplo di 2 a ci fa ottenere lo stesso numero complesso. Dobbiamo quindi tenerne conto e sviluppare la radice come segue: n

z

n

e

j

e

j

1 n

e

j

2k

1 j n

1 n

e

j

n

2 kj n

con k

Osserviamo adesso che se se noi facciamo variare k non otteniamo infinite radici distinte, perché k 0 porta allo stesso angolo a cui porta nell'insieme k 0,1,2 ,... , n 1

k n , per cui sarà sufficiente far variare k

Traduciamo in un esempio numerico. Calcolare 4

2 2 3j

Il primo problema che affrontiamo è scrivere il numero nella forma esponenziale: 2

2 2 3

2

arg z arctg

2 3 2

2 3

3

2

16 4

4 3

(in questo caso a o per cui si aggiunge

possiamo scrivere: Esempi - Pag. 7

)

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi 4

2 2 3j

4

4e

j

4 3

4

4e

j

3

2 kj 4

Rappresentiamo nel piano complesso le radici quarte di z . Osserviamo che hanno tutte lo stesso modulo: 4 4 2 2 . Quello che cambia è l'angolo perché dobbiamo variare il parametro k. Osserviamo che al variare di k si ottengono sempre gli stessi 4 punti, quindi per ottenere radici distinte si prende, come già detto, solo k 0,1 ,2,3

z0 z1

z3 z2

I punti sono i vertici di un poligono regolare che ha tanti lati quanto è l'indice della radice (in questo caso abbiamo un quadrato regolare inscritto nella circonferenza di raggio

2 .

Vediamo un altro esempio. 5

1

Scriviamo il numero in forma esponenziale (quando il numero è così semplice è più facile ricavarsi modulo e argomento graficamente che far calcoli) Il modulo è 1, l'anomalia o argomento è 5

1

5

ej

ej

1 5

e

j

5

per cui

2 kj 5

La prima radice la otteniamo mettendo modulo è sempre 1.

k 0 , il

2 Aggiungendo multipli di otteniamo gli altri 5 punti (che corrispondono ai vertici di un pentagono regolare iscritto nella circonferenza unitaria).

Vediamo un altro esempio.

Esempi - Pag. 8

-1

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi 6

1

6

e

j

e

1 6

j

e

j

2 kj 6

6

In questo caso le altre radici si ottengono 2 attraverso una rotazione di 6

-1

Questo tipo di esercizi è molto utile per cui si consiglia lo studente di eseguire per sé i seguenti: 3

1

4

1

5

1

6

1

3

1

4

1

1

E' chiaro che bisogna ricordarsi che 1 e j 0 ,

3

4

j

j e

j

j

5

j

6

j

3

j

4

j

5

j

2

Proprietà del modulo e dell'argomento z1 z 2

z1 z2

Scriviamo i numeri complessi nella loro forma esponenziale z1

1

e

z1 z2

j

1

z2

1

e

j

1

2

e

2 j

2

e

j

1

2

2

e

j

1

2

Risulta evidente dunque l'identità z1 z 2

z1 z2

arg z 1 z 2 z1 z2 arg

1

2

1

2

arg z 1 arg z 2

z1 z2 z1 z2

arg z 1 arg z 2

Le dimostrazioni sono tutte immediate scrivendo il numero complesso sotto forma esponenziale.

Vediamo un esempio concreto. Proprietà del modulo e dell'argomento - Pag. 9

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi 2 2 j j4 e 1 3j

z

Supponiamo di essere interessati, come spesso capita, a vedere subito il modulo e l'argomento di questo numero complesso. Questo calcolo diviene semplice se noi utilizziamo le proprietà che abbiamo appena mostrato: j 2 2j e 4 1 3j

z

arg z arg 2 2 j

8 1 4 arg 1

2 3j

arg e

j

4

arctg 1 arctg 3

4

4

3

4

6

Osservazione z e j corrisponde ad una rotazione, in quanto il modulo di z non cambia, mentre l'argomento viene moltiplicato per . Per esempio

z j porta ad una rotazione di

Questo evidenzia una caratteristica di 0

1

j1

j

j

1

j3

j

j

4

di

z .

j , proviamo a svilupparne le potenze: j

2

j

2

-1

1

1

............

-j

Si può vedere dal grafico che effettivamente ogni prodotto per j corrisponde ad una rotazione di , per cui calcolare le potenze di j diventa effettivamente semplice (si divide l'indice della 2 potenza per 4 e si prende il resto della divisione ...)

Proprietà del modulo e dell'argomento - Pag. 10


Seni e coseni complessi Consideriamo ez ex

jy

x

e e

jy

e ricordando la formula di Eulero x

e e

jy

x

e cos y

j sen y

abbiamo così potuto scrivere e elevato ad un qualunque numero complesso. Possiamo subito osservare che e

z

e

x

arg e z y Abbiamo appena trattato una forma un pochino più completa della formula di Eulero: e z e x cos y

j sen y

Facciamo le seguenti considerazioni, abbiamo e

j

cos

j sen

iniziamo subito col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'esponenziale complesso può essere visto come una combinazione lineare di coseni e seni. Cerchiamo il complesso coniugato j

e

cos

j sen

e adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze, ottenendo e

j

e

j

2 cos

e

cos

j

e 2

j

osserviamo che il coseno può essere visto come una combinazione lineare di esponenziali complessi, e questo è un fatto molto importante. Facciamo adesso la sottrazione membro a membro

e

j

e

j

2 j sin

sen

ej

e 2

j

j

osserviamo che anche il seno può essere espresso come combinazione lineare di 2 esponenziali complessi. Mettere come argomento di seno e coseno un numero complesso è di difficile interpretazione (non sappiamo dire cosa significa), ma se noi sfruttiamo le uguaglianze che ci siamo appena ricavati, è possibile farlo (perché un esponenziale complesso ha significato, come già visto precedentemente), dunque possiamo procedere con le seguenti definizioni: ejz e 2

jz

cos z

e jz e 2j

jz

sen z

definizione di coseno complesso definizione di seno complesso

Vediamo un esempio. Abbiamo

Seni e coseni complessi - Pag. 11

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi z

2j

vogliamo calcolarne il seno: sen

2j

e

j

2j

e 2j

j

2j

j

se adesso riflettiamo su quanto vale e j il numero reale -1. Lo stesso vale per e sen

e

2j

2

e

2

e e

e 2j

j

j

e

2

, notiamo che ha modulo 1 ed argomento . L'equazione diventa:

, dunque è

2

2j

molte volte il j a denominatore disturba, quindi lo si porta a numeratore moltiplicando e dividendo per j : sen

e

2j

2

e2 j 2j j

e

2

e2

2

j

Osserviamo che il seno di un numero complesso è un numero complesso. Vediamo un altro esempio. Calcolare

sin

j log 2

2

dobbiamo anche in questo caso ricorrere alla definizione di seno complesso: sin

2

j log 2

e

j

2

l log 2

e 2j

j

2

j log 2

e

j

2

e

log 2

e 2j

j

2

e

log 2

j2 2j

j

1 2

1

1 4

5 4

in questo caso abbiamo ottenuto un numero reale (ricordiamo che il numero reale è un caso particolare del numero complesso). Vogliamo sottolineare con grande rilievo che il risultato è un numero reale > 1. Questo fatto sembrerebbe in contrapposizione con le normali regole del seno, ma non dimentichiamo che abbiamo fatto il seno di un numero complesso: il modulo di un seno complesso può essere più grande di uno.

Seni e coseni complessi - Pag. 12


Seni e coseni iperbolici Introduciamo adesso le funzioni iperboliche, che con gli strumenti che abbiamo introdotto, diventano di comprensione piuttosto semplice. Definizione in ambito reale di seno e coseno iperbolico

senh

e

e 2

e

cosh

e 2

Definizione in ambito complesso di seno e coseno iperbolico ez e 2

senh z

z

cosh z

ez e 2

z

Possiamo osservare che così come seno e coseno complesso sono una combinazione di esponenziali complessi, anche seno e coseno iperbolici complessi sono una combinazione di esponenziali complessi, anche se ovviamente diversa. Dunque possiamo concludere che l'esponenziale complesso comprende dentro di sé tutte queste funzioni, ovvero, attraverso opportune combinazioni di di esponenziale complesso si ottengono le funzioni seno e coseno circolari, seno e coseno iperbolici, complessi. Essendoci dunque questo legame con l'esponenziale complesso, possiamo dedurre che ci sarà anche un legame tra le funzioni seno e coseno circolari e seno e coseno iperbolici. sen j z

Calcoliamo il sen j z

ej

jz

e 2j

j jz

e

z

ez

2j

e

z

ez j 2j j

e

z

2

ez

j

ez e 2

z

j

j senh z

Abbiamo trovato un legame molto stretto tra seno complesso di z e seno iperbolico complesso di z. Analogamente si ottengono le altre relazioni. Il quadro generale risultante è il seguente: sen jz

j senh z

senh jz

j senz

cos jz cosh z cosh jz cos z

Seni e coseni iperbolici - Pag. 13


Logaritmo complesso Il logaritmo complesso si scrive nella forma log z Si utilizza la stessa notazione del logaritmo di un numero reale; sarà il contesto a segnalarci se si tratta del logaritmo di un numero reale o del logaritmo di un numero complesso. Prendiamo come definizione di logaritmo quella che si ottiene in modo naturale, facendo il logaritmo del numero complesso scritto sotto forma esponenziale: z

e

j

per cui

log z log

ej

diventa allora abbastanza naturale definire il logaritmo di un numero complesso in modo che siano rispettate le proprietà che avevano i logaritmi dei numeri reali. E' possibile scomporre il logaritmo di un prodotto in una somma di logaritmi: log

ej

log

log e j

ricordando la periodicità dell'argomento, dobbiamo scrivere: log

e

j

log

log e

j

log

log e

j

k

j

log

j

2 k j

Dunque grazie ai conti che abbiamo fatto possiamo dare la definizione di logaritmo di un numero complesso log z log

j

2 k j

Osserviamo il grafico. Facendo il logaritmo, otteniamo un numero complesso con parte reale uguale al logaritmo di 2 k j e parte immaginaria uguale a j

2

Vediamo che è solo la parte immaginaria ad essere periodica di periodo 2 k . Questo, si traduce nel fatto che esso starà su di una retta parallela all'asse delle ordinate (la x è costante) ed apparirà, partendo da un'ordinata uguale a (con k=0) con un periodo di 2 j . Il logaritmo ci porta dunque ad infiniti valori immaginari.

log

Vediamo un esempio. log 1

j 3 log 2 e

j

3

2k

j

log 2

j

3

2k

j

Logaritmo complesso - Pag. 14


Esponenziale complesso Attraverso il logaritmo complesso si può anche definire l'esponenziale con base complessa: z

e

log z

e

log z

j

2k

j

Anche per l'esponenziale quando la base è complessa otteniamo infiniti risultati. Terminiamo il capitolo riguardante i numeri complessi con alcune osservazioni. In campo complesso: vi sono radici di numeri negativi vi sono logaritmi di numeri negativi seno e coseno possono avere moduli maggiori di 1 l'esponenziale complesso comprende seni e coseni

Esponenziale complesso - Pag. 15


Esponenziale complesso - Pag. 16

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi

Funzioni a valori complessi Funzioni reali di variabile reale Occupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo però intervenire i numeri complessi. Consideriamo

x t

Re e

1

j t

t

Re e e

jt

t

Re e cos t

j sen t

t

e cos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che però è complessa. Qualcuno si chiederà perché non abbiamo subito preso l'espressione finale e t cos t . La risposta è che nel nostro corso capiterà spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, è quindi molto importante capire come una funzione reale possa essere rappresentata da una funzione complessa. Mostriamo il grafico della funzione cercando di e x cos x capire come un grafico di questo tipo possa essere immediatamente percepito senza passare attraverso lo studio di funzione. La funzione cos t è nota. Ci sono dei punti in cui essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti ha valori che sono compresi tra -1 e 1. L'osservazione è che se noi prendiamo i punti in cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumerà il valore della funzione esponenziale. Possiamo dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t 1 , che saranno ripeto i punti in cui la funzione prodotto varrà e t . Lo stesso ragionamento si può fare per i punti in cui cos t 1 (prendendo però i valori di e t , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1). Infine nei punti in cui cos t 0 la funzione prodotto starà sull'asse delle x. Per tutti i valori interni avremo dei valori compresi, sarà dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato è una modulazione in ampiezza di una funzione periodica che ha un andamento sinusoidale. Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perché più indicato nelle applicazioni matematiche. Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri complessi: x t

Im e

jt

Im cos t

j sen t

Im cos t

Dunque abbiamo rappresentato la funzione

j sen t

sen t

sen t come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


Funzioni complesse di variabile reale Vediamo adesso le funzioni a valori complessi di variabile reale. Sia

e s t con

x t

s

j

costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ). x t

e

st

j

e

t

t

e e

j

t

t

e

cos

t

j sen

t

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Re e st e t cos t osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostro numero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo visto prima;

Im e

st

t

e sin

t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa Modulo: x t

e

j

t

e

st

t

e e

j

t

e

t

e

j

t

t

e

è un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo è 1

e t è un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo è l'esponenziale stesso e t . Il modulo della nostra funzione complessa è dunque un esponenziale reale. Argomento: arg x t

arg e

j

t

arg e t e j

t

t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare (è una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche

Funzioni periodiche Una funzione periodica è tale se si verifica la seguente uguaglianza

x t

x t T

Infatti aggiungere una costante reale alla nostra variabile t, significa traslare la nostra funzione a sinistra di T , dal momento che la funzione traslata è uguale alla funzione stessa ne consegue che la funzione è periodica di periodo T . Risulta immediato osservare che se T è il periodo di una funzione, risultano essere periodi della stessa funzione anche i suoi multipli, ovvero:

x t

x t kT

con

k

se x t non è una funzione costante e T è il più piccolo numero reale positivo, per il quale si ha x t x t T allora T è detto periodo fondamentale o lunghezza d'onda. Vediamo un esempio. Quello rappresentato in figura è un segnale T (traslando la periodico di periodo funzione del periodo se ne ottiene una uguale)

x t

Richiamiamo adesso alcuni altri oggetti che sono importanti nella descrizione di una funzione periodica:

T 1 T 2 T

T

periodo f

1 f

0

t

frequenza angolare

2

Nel caso dell'esempio avendo f

T

frequenza

1 T

2 T

T

si ottengono

1

2

2

TRUCCO: nelle funzioni sinusoidali il valore della frequenza angolare corrisponde al coefficiente della variabile t. Funzioni periodiche - Pag.19

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche Vediamo cosa succede raddoppiando la frequenza. Osservando il grafico, vediamo che abbiamo ottenuto una funzione periodica con periodo fondamentale che è esattamente uguale alla metà del precedente (però anche il vecchio periodo rimane periodo della funzione anche se non più fondamentale).

x t

0

Funzioni periodiche - Pag.20

t


Funzioni a valori complessi Funzioni reali di variabile reale Occupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo però intervenire i numeri complessi. Consideriamo

x t

Re e

1

j t

t

Re e e

jt

t

Re e cos t

j sen t

t

e cos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che però è complessa. Qualcuno si chiederà perché non abbiamo subito preso l'espressione finale e t cos t . La risposta è che nel nostro corso capiterà spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, è quindi molto importante capire come una funzione reale possa essere rappresentata da una funzione complessa. Mostriamo il grafico della funzione cercando di e x cos x capire come un grafico di questo tipo possa essere immediatamente percepito senza passare attraverso lo studio di funzione. La funzione cos t è nota. Ci sono dei punti in cui essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti ha valori che sono compresi tra -1 e 1. L'osservazione è che se noi prendiamo i punti in cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumerà il valore della funzione esponenziale. Possiamo dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t 1 , che saranno ripeto i punti in cui la funzione prodotto varrà e t . Lo stesso ragionamento si può fare per i punti in cui cos t 1 (prendendo però i valori di e t , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1). Infine nei punti in cui cos t 0 la funzione prodotto starà sull'asse delle x. Per tutti i valori interni avremo dei valori compresi, sarà dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato è una modulazione in ampiezza di una funzione periodica che ha un andamento sinusoidale. Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perché più indicato nelle applicazioni matematiche. Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri complessi: x t

Im e

jt

Im cos t

j sen t

Im cos t

Dunque abbiamo rappresentato la funzione

j sen t

sen t

sen t come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


Funzioni complesse di variabile reale Vediamo adesso le funzioni a valori complessi di variabile reale. Sia

e s t con

x t

s

j

costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ). x t

e

st

j

e

t

t

e e

j

t

t

e

cos

t

j sen

t

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Re e st e t cos t osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostro numero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo visto prima;

Im e

st

t

e sin

t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa Modulo: x t

e

j

t

e

st

t

e e

j

t

e

t

e

j

t

t

e

è un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo è 1

e t è un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo è l'esponenziale stesso e t . Il modulo della nostra funzione complessa è dunque un esponenziale reale. Argomento: arg x t

arg e

j

t

arg e t e j

t

t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare (è una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier

Polinomi di Fourier I seguenti polinomi n

Pn t

0

k 1

k

cos k

k

sen k

t

k

sen k

t

n

Pn t

0

k 1

n

Pn t

k

k

n

e

jk

t

k

t

sono sommatorie delle armoniche elementari che abbiamo appena studiato. Osserviamo che la frequenza di ciascun addendo è k volte la frequenza fondamentale, quindi . I polinomi di Fourier possiamo dire che la frequenza angolare di tutto il polinomio è uguale a hanno dunque

T

periodo fondamentale

1 T

f

2 T

frequenza fondamentale

T

frequenza angolare fondamentale

T

1 f

2

in k=1 e tutti gli altri addendi hanno periodo e frequenze che sono multipli di questi. Tutte le considerazioni che abbiamo fatto per le armoniche si possono fare anche per i polinomi di Fourier, in particolar modo vorremmo richiamare la seguente: *

se

k

con

k

k 0

allora abbiamo la piena equivalenza tra i polinomi nelle tre forme, in quanto il polinomio nella forma complessa è di fatto un polinomio reale, sono verificate perciò le uguaglianze

k k 0

* k

k

j

2 Re * k

k

k

2 Im

k

0

Esempio 1 : onda triangolare Consideriamo il seguente polinomio Pn t

1 2

n k

n,k o

1 k 1 j 2k t e k2 2

Polinomi di Fourier - Pag.25

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier osserviamo subito che

1k 1 k2 2

k

la frequenza angolare del polinomio

T

è 2 , quindi

2

osserviamo anche che il termine

k

1

vale -2 per k dispari e zero per k pari

1

Prendiamo adesso il polinomio per n = 1 P1 t

1 2

2

e

2

j 2t

2

e

2

j 2t

molte volte è comodo esprimere il polinomio in termini di seno e coseno, abbiamo P1 t

1 2

2

e

2

j 2t

2 2

1 2

e j 2t

2 2

e

j 2t

e j 2t

1 2

4 2

cos 2 t

Analogamente possiamo calcolare il polinomio per n = 3 P3 t

1 2

2 2

9

e

j 6t

2 2

e

2

j 2t

2

e j 2t

2 9

2

e j 6t

mettiamo in evidenza alcuni termini P3 t

1 2

4 2

cos 2 t

4 2

cos 6 t

Vediamo i grafici. P1 t

P3 t

P5 t Polinomi di Fourier - Pag.26


P7 t

Aumentando n si accentua la vicinanza del polinomio di Fourier al segnale triangolare. Esempio 2 : onda quadra. n

Pn t

k

j

n,k o

1

k

la frequenza angolare

T

2

k

1 e

jkt

è 1, quindi

2

Calcoliamo i polinomi P1 t

2j

e

jt

2j

2j

mettendo in evidenza P1 t

2j

e jt e

P3 t

2j e 3

P3 t

4 sen 3 t 3

j 3t

e jt otteniamo 2j

jt

2j

e

jt

4j

2 j sen t 2j

e

jt

j sen t

2 j j 3t e 3

Vediamo i grafici. P1 t Polinomi di Fourier - Pag.27


P3 t

P5 t

P7 t

Questa volta abbiamo un'onda quadra. Anche in questo caso, all'aumentare di n ci si avvicina sempre più al segnale di base. Esempio 3 : onda a dente di sega. n

Pn t

1 k

n,k o

1 j e jk k

osserviamo che P1 t

1

P2 t

1

1

t

, T je

1 2

j t

je

j2 t

1

jej 1

1 2

2 , f t

1

je

j t

2

sen t 1

jej

t

1 j e j2 2

t

1

Vediamo i grafici. P1 t Polinomi di Fourier - Pag.28

1

sen 2 t

2

sen t


P3 t

P5 t

P7 t

Energia di un polinomio di Fourier Vediamo adesso cos'è l'energia di un polinomio di Fourier T

2

Pn t

o

n

T o

Pn t

h

n

2

dt =

jh he

o

k

k

ke

n

n

t

2

n

T

* k

n

e

jk

jk

t

t

dt =

n

T

dt

o

n

n

T o

k

h

jk ke n

n

k

n

h

n

t k * k

ej

h k

* k

n t

e

jk

t

dt =

dt

quando h è diverso da k siamo sicuri che l'integrale è zero, in quanto l'esponenziale ha proprio periodo T. Rimane dunque solo il caso in cui h=k che porta a Pn t

2

n

T o

k

2 n

k

n

2

dt T k

n

k

Questo risultato ci dice che l'energia di un polinomio di Fourier è strettamente legata ai suoi Energia di un polinomio di Fourier - Pag.29

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier coefficienti. Se invece vogliamo esprimere l'energia nel caso in cui ci troviamo di fronte a polinomi di Fourier nella forma reale è sufficiente ricordare la relazione tra i coefficienti: essendo Pn t

1 2

k

2

2 0

T

j

k

T 2

e ricordando che

k

n

2 k

k 1

0

0

(la sommatoria comincia da 1), si ha

2 k

Polinomio di Fourier di x(t) Da ciò che abbiamo visto, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei polinomi di Fourier in qualche misura associati a delle funzioni. Vediamo in che modo questo può essere fatto. La strada è quella di cercare un polinomio di Fourier in modo che la sua differenza con il segnale x (t) abbia un'energia minima:

x t

2

Pn t

minima

Vediamo con qualche calcolo come è fatto il polinomio di Fourier che ha questa caratteristica. Indichiamo con 1 T

ck

T

x t e

0

jk

t

dt

il coefficiente del polinomio di Fourier cercato. Partiamo dalla definizione di energia

Pn t

T

2

x t

0

2

Pn t

dt =

ricordiamo che il quadrato di una quantità complessa è uguale a tale quantità moltiplicata per il proprio coniugato =

T 0

x t

Pn t

x t

Pn t

*

dt =

ricordiamo inoltre che il complesso coniugato di due addendi è uguale al complesso coniugato di ciascun addendo, poi sviluppiamo il prodotto = =

T 0 T 0

x t

Pn t 2

x t

Pn t

x t 2

*

Pn t

Pn t

k

n

k

e jk

dt =

x* t P n t

adesso dobbiamo esplicitare n

*

Pn t

x t P *n t dt :

t

e sostituirlo nell'integrale

Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.30

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier T

=

2

x t

0

T

dt

0

energia di x(t)

2

Pn t

n

T

dt k

energia di P n t

k

n

0

*

x t e

jk

t

dt

* k

T 0

T c *k

x t e

jk

t

dt

T ck

ricordando dunque le definizioni di energia di una funzione e di un polinomio di Fourier, possiamo scrivere n

2

= xc t

k

n

2

T

k

n

*

k

k

n

* k

T ck

T ck =

raccogliamo la T e dentro la sommatoria aggiungiamo e togliamo n

2

= xc t

2

T k

*

k

n

k k

n

2

= xc t

T k n

2

= xc t

n

ck 2 T

T k

n

ck

2

* k

ck

ck

* k

ck

ck

n

T k

n

k

* k

ck

k

n

ck

2

2

ck

2

:

=

c*k

n k

2

ck

ck

c*k =

2

Riflettiamo adesso sul risultato ottenuto. Siamo partiti dalla differenza tra le energie del segnale e del polinomio, dicendo che la loro differenza doveva essere minima. Osserviamo che il primo addendo è l'energia di x(t), che è data. c k è un coefficiente che si calcola ed ha valori ben precisi a seconda della funzione x(t). è invece un valore che possiamo cambiare, in quanto fa parte proprio del polinomio di Fourier che vogliamo trovare. k

Dunque i primi due addendi non cambiano al variare di k , perché sono legati ad x(t), mentre il terzo addendo cambia il suo valore ed essendo un modulo lo cambia tra numeri positivi. Possiamo dunque dire che la differenza è minima quando è minimo il terzo addendo, che è minimo quando è uguale a zero. Per cui deve essere k

1 T

ck

T 0

x t e

jk

t

dt

Questa espressione è dunque molto importante perché ci fornisce il coefficiente del polinomio di Fourier di x(t). Diamo dunque un nome a questo polinomio associato ad x(t) e ricapitoliamo la sua espressione: n

Xn t

x

n

ck e j k

t

Ricordiamo anche che siamo partiti da una funzione periodica x(t) di periodo T. Trovata questa espressione per un segnale complesso, il passaggio ai segnali reali rispetta gli stessi rapporti che ci sono per i polinomi di Fourier già visti: n

Xn t

a0

k 1

a k cos k

t b k sen k

t


Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier a k c k c*k *

ak ck ck

1 T

T

2 T

T

0

0

jk

x t e

t

1 T

dt

x t cos k

T 0

x t e jk t dt

t dt ,

1 T

T 0

x t e jk

t

e

jk

t

dt

k 0

allo stesso modo bk

2 T

*

j ck ck

T 0

x t sen k

t dt

k 0

Ricapitolando si hanno le tre forme Forma a a 0 c0

x t 1 T

T 0

bk

j c k c*k

T 0

x t cos k

2 T

T 0

t b k sen k

t

a0

k 0

t dt

k 1

k 0

r k sen k

t qk

a 2k b 2k

q k arctan

ak bk

se b k 0

Forma c

c k e jk

x t k

c0 a0 ck

a k cos k

t dt ,

x t sen k x t

Forma b rk

k 1

x t dt

2 T

a k c k c*k

a0

1 T

1 a 2 k

T 0

t

x t dt

j bk

1 T

T 0

x t e

jk

t

dt

k 0

c

*

k

ck

k 0

Osservazione 1 Nel calcolo dei coefficienti di un polinomio di Fourier di un segnale x(t) interviene il calcolo di un integrale tra 0 e T di una funzione periodica y(t). Fare questo integrale è la stessa cosa che fare un integrale tra t 0 e t 0 T , come si vede dal grafico



0

t0

T

t0 T

Geometricamente è evidente che le due aree sono uguali. Con semplici passaggi è possibile dimostrarlo anche analiticamente. Lo scopo di questa osservazione è che quando noi andiamo a cercarci i coefficienti del polinomio di Fourier, possiamo farlo nell'intervallo più comodo. Generalmente l'applicazione più usata di questa osservazione è la seguente: T 0

T 2 T 2

y t dt

y t dt

Osservazione 2 Abbiamo visto che 0

x t n

T k

n

ck 2

Pn t

2

xc t

xc t

2

n

T k

n

ck

2

n

T k

n

k

ck 2

2

Questa viene chiamata disuguaglianza di Bessel e ci dice che l'energia del polinomio di Fourier associato ad un segnale x(t) è sicuramente minore o uguale all'energia del segnale stesso.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier

Serie di Fourier Funzioni continue a tratti Una funzione x(t) si dice continua a tratti in un intervallo I =[a,b] se è continua in I eccetto che in un numero finito di punti t i a , b e inoltre

lim x t t

esiste finito

-

ti

lim x t t

esiste finito

+

ti

lim x t t

esiste finito

a+

lim x t t

esiste finito

b-

Diciamo per esempio che i segnali considerati nei paragrafi precedenti (onda triangolare, onda quadra, onda a dente di sega, ...) sono delle funzioni continue a tratti. Se esistono i limiti descritti sopra infatti, le funzioni, nell'intervallo I, avranno un numero finito di discontinuità (che sono discontinuità di 1° specie ovvero di tipo salto, appunto perché esistono finiti il limite destro e sinistro, anche se diversi). Nei paragrafi precedenti ci siamo occupati di vedere cos'è la differenza tra l'energia di un segnale periodico x(t) ed il rispettivo polinomio di Fourier. Abbiamo visto che essa è xc t

Xn t

2

xc t

2

n

T k

n

ck

2

a partire da questo presupposto vogliamo fare la seguente riflessione: se pensassimo di prendere degli n sempre più grandi, cosa succederebbe dell' energia della differenza? Bene, per n che tende all'infinito essa potrebbe tendere a zero. In questo caso (per n ) si ha l'identità di Parseval: 2

xc t

T k

ck

2

questa identità riguarda una serie.

L'identità di Parseval si verifica se la funzione x(t) è periodica e continua a tratti. Si usa anche scrivere la seguente uguaglianza x t k

ck e j k

t

nel senso della energia

Intendiamo x(t) uguale alla serie del secondo membro nel senso che la differenza tra x(t) e la sommatoria finita tra -n ed n (che viene detta ridotta n-sima) tende a zero quando n tende a più infinito.

Norma e prodotto scalare Non sembrerebbe molto evidente il legame con i vettori, ma c'è. Vediamo in che senso. La radice Norma e prodotto scalare - Pag.35

Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier quadrata dell'energia di un segnale si chiama norma o norma quadratica.

xc t

norma quadratica

:

L'uguaglianza vista prima

x t

ck e

k

jk

t

che era nel senso della energia, può dunque essere definita un' uguaglianza nel senso delle norme (se tende a zero una quantità, tende a zero anche la sua radice quadrata). Si può dire anche che la serie di Fourier, se x(t) è continua a tratti, converge in norma quadratica a x(t) . Ipotizzando adesso che (come al solito) x(t) sia periodica di periodo T, definiamo il suo prodotto scalare con un segnale y(t) anch'esso periodico. T

x t ,y t

0

* x t y t dt prodotto scalare tra due funzioni definite in T

NOTA : E' lecito mettere il coniugato di y(t) in quanto si intende y(t) come un segnale reale che può benissimo essere espresso come funzione di variabile complessa; beninteso che se manca la parte immaginaria, il coniugato di un numero reale non è altro che il numero reale stesso. Se noi facciamo il prodotto scalare di x(t) con sé stessa, otteniamo T

x t ,x t

0

T

*

x t x t dt

0

x t

2

dt

x t

2

osserviamo dunque che c'è un legame tra la norma quadratica ed il prodotto scalare: la norma quadratica di un segnale è il prodotto scalare di questo segnale per sé stesso. Possiamo dunque sfruttare questi nuovi strumenti per riprendere alcune considerazioni fatte in precedenza. Facciamo il prodotto scalare delle seguenti armoniche elementari e

jk

t

,e

jh

t

T 0

e

jk

t

e

jh

t

dt

T 0

e

j k h

t

dt

se h k l'integrale vale 0 (essendo la funzione periodica) se h k l'integrale vale T dunque se le due funzioni sono uguali (h=k), il loro prodotto scalare è uguale al periodo, se sono diverse, è nullo. Ricordiamo che la definizione di prodotto scalare di due vettori, dice che esso è nullo se questi sono ortogonali. Quindi, rispetto alla definizione che qui abbiamo dato di prodotto scalare, possiamo dire che due armoniche distinte che siano diverse tra di loro, sono ortogonali . Ricordando la formula che ci descrive il coefficiente di un polinomio di Fourier 1 T x t e j k t dt , la possiamo riscrivere nel seguente modo, sfruttando la definizione 0 T di prodotto scalare appena data k

ck

k

ck

1 x t ,e jk T

t

si può dunque interpretare il coefficiente come la proiezione della funzione x(t) sulla componente e j k t (tale è il prodotto scalare tra due vettori). Si riesce in questo modo a costruire tutta una serie di relazioni tra i polinomi di Fourier con le stesse regole che governano i vettori. Norma e prodotto scalare - Pag.36


Traslazioni sia il segnale periodico

x t ck

x t T 1 T

T 0

x t e ck e j k

x t k

continuo a tratti e siano jk

t

dt

i suoi coefficienti e sia

t

la sua serie di Fourier.

e supponiamo di traslarlo di t 0 : x t

x t t0

otteniamo, risolvendo il semplice seguente integrale (lascio al lettore il compito di farlo) ck

1 T

T 0

x t e

jk

t

dt c k e

jk

t0

e quindi la serie di Fourier traslata è ck e j k t e

x t k

jk

t0

Riscalamento (dilatazione, omotetia) sia il segnale

x t ck

x t T 1 T

T 0

x t k

x t e ck e j k

continuo a tratti e siano jk

t

t

dt

i suoi coefficienti e sia la sua serie di Fourier.

e supponiamo di riscalarlo di a , con a 0

x t

x at

si osserva subito che questo significa modificare la frequenza angolare. Si ottiene, per quanto riguarda i coefficienti di Fourier che ck ck e la serie risulta essere x t k

ck e j k

at

cambia la frequenza angolare

Riscalamento (dilatazione, omotetia) - Pag.37


Convergenza puntuale e convergenza uniforme Analizziamo adesso alcuni problemi riguardanti la convergenza delle serie in generale. Le due questioni di cui vogliamo parlare sono appunto la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.

Convergenza puntuale Prendiamo delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo pensare anche a dei polinomi di Fourier, se n va da più a meno infinito possiamo pensare a delle serie di Fourier) yn t

n

con

oppure n

facciamo la ridotta k-sima n

Sn t

yk t

k 0

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a più infinito S t k 0

yk t

Supponiamo adesso di avere l'intervallo I con t I , di fissare un ben preciso punto dell'intervallo dato t 0 e di fare la sommatoria calcolata in t 0 n

S n t0

k 0

yk t0

y n t 0 è un ben preciso numero che Si osserva abbiamo ottenuto una serie numerica, perché dipende appunto da y 1 , y 2 e così via, calcolati in t 0 . Allora ha senso porsi la questione di vedere cosa succede nel limite della successione numerica che abbiamo ottenuto lim S n t 0

k

Se questo limite esiste finito e vale S, viene detto somma della serie nel senso puntuale. lim S t 0

k

S t0

k 0

yk t0

Se il limite esiste finito per ogni t o I , allora possiamo generalizzare il concetto e parlare di convergenza puntuale in un intervallo S t k 0

yk t

con t I

Cerchiamo adesso di portare questo discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie x t k

ck e j k

t

con T

2

se anche in questo caso fissiamo un punto calcolato nel punto t 0

(uguaglianza sempre nel senso della energia) t0

e andiamo a considerare il polinomio di Fourier

Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.38

Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier n

X n t0

k

ck e

n

jk

t0

possiamo dire che abbiamo anche in questo caso una successione numerica, e per n che tende ad infinito abbiamo

X t

X t0

se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:

x t

è continua a tratti in

0,T

x t

è regolarizzata

x' t

è anch'essa continua a tratti in

0,T

NOTA: Una funzione è regolarizzata se nei punti di discontinuità t i si ha la seguente proprietà: con t i

t

t

-

+

risulta

x t -i

e lim x t

0,T

t

t

+

x t i+

x t -i

x ti

x ti

e lim x t

2

e se agli estremi del suo intervallo si ha x 0

+

lim x t 0+

t

e risulta

x 0

x T

e

-

lim x t t

x T

x 0+

T-

x T2

A queste condizioni la serie converge puntualmente al segnale x(t). Se ciò avviene l'uguaglianza ck e j k

x t k

t

è nel senso puntuale.

Convergenza uniforme Prendiamo anche in questo caso delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo pensare anche a dei polinomi di Fourier) yn t

con

n

oppure n

facciamo la ridotta k-sima n

Sn t

k

n

yk t

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a infinito S t k

yk t

vogliamo vedere in che modo questa sommatoria si avvicina al limite. Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.39

Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier Facciamo la seguente considerazione 0

Se esiste una funzione S(t) per cui S t

Sn t

n0 :

n n0

e

t I si ha

S t

si dice che S n t

per n

converge a

S t

in modo uniforme in I.

Dunque la serie corrispondente converge in modo uniforme (o uniformemente). Vediamo graficamente cosa vuol dire: n > n0 , e tutti i

per tutti gli

t 0 I , le ridotte

Sn t

S t

S t

S t

essere comprese tra

S t

Sn t

, devono

e S t

.

Se questo si verifica si parla di convergenza uniforme.

Prendiamo adesso una serie di Fourier X t

X t T

se un punto t i è punto di discontinuità per uniformemente in un intorno di t i .

X t

, allora la serie non può convergere

La convergenza uniforme è dunque una richiesta di convergenza più restrittiva della richiesta di convergenza puntuale. La diretta conseguenza di questo fatto sarà che negli intorni dei punti di discontinuità, la serie di Fourier produrrà delle difficoltà nella convergenza (questo è interessante dal punto di vista applicativo). Se invece la funzione è continua in un intervallo I e la sua derivata prima esiste ed è continua a tratti, allora abbiamo la convergenza uniforme. Osservazione. Prendiamo il coefficiente di una serie di Fourier. ck

1 T

T 2 T 2

x t e

jk

t

dt

2 T

moltiplichiamo ambo i membri per il periodo


Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier T 2

T ck

se consideriamo T 2

T ck

T 2

X

dove

jk

x t e

T 2

t

2 k T

k

x t e

dt

j

k

t

dt

possiamo scrivere X

k

è il nostro integrale calcolato in

k

k

.

Diamo dei valori a T, per esempio prendendo T 2

e k 1

prendendo T 10

e k 1

k

1

k

0,2

oppure

osserviamo che più è grande il periodo, più è piccola Variando

k

.

k si ottengono infiniti valori discreti tanto più vicini quanto T è maggiore.

Prendiamo adesso una funzione qualunque, non periodica ed integrabile in un intervallo I, ad tale che assume valore 1 nell'intervallo esempio una funzione x t 1,1 e 0 fuori da questo intervallo. T 2

Osserviamo che se 1

X

k

sin

k k

1

j

e

sin

kt

k k

dt

1 l'integrale del coefficiente si riduce al seguente e

j

k

j 2 sin

k

t

1

k

1

cos

k

t

j sin j

k

k

t

1

j cos

k

t sin

1

k

k

t

1

= 1

(il coseno si semplifica da sé)

k

Come abbiamo detto per T molto grande si può pensare di ottenere valori discreti sempre più ravvicinati fino ad ottenere quasi il grafico di una funzione continua.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier Possiamo dunque, operando sulle serie di Fourier, pensare di operare anche su funzioni non periodiche facendo tendere il periodo ad infinito (ottenendo così funzioni continue nella variabile k ) ed introducendo dunque la trasformata di Fourier, della quale ci occuperemo però più avanti.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa

Funzioni di variabile complessa Riprendiamo adesso il cammino che avevamo intrapreso parlando di funzioni complesse, introducendo le

Funzioni reali di variabile complessa Esempi di funzioni di variabile complessa a valori reali sono f z

z

f z

arg z

f z

Re z

f z

Im z

Osserviamo che in realtà ci possiamo collegare alle funzioni di più variabili, perché la variabile complessa equivale a 2 variabili reali. Si hanno: f z

z

f z

arg z = arctg

f z

Re z

=x

cos

f z

Im z = y

sin

= x2 y2 y x

Ragionare sulle funzioni di variabili complesse ci porta pertanto nel campo delle funzioni di più variabili dove, ovviamente, le cose sono un po' più complesse che su di una sola variabile. Facciamo dei richiami con un paio di esempi. Esempio. f z

1 z a

con a

Se vogliamo rappresentare questa funzione dobbiamo metterci nello spazio tridimensionale. Il piano è il luogo dove si muove la variabile z e le quote, ovvero la terza dimensione, saranno i valori che la funzione assume al variare di z . Il grafico sarà dunque quello a fianco.

Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa Facciamo un altro esempio. f z

e

z

e

x

jy

x

e e

jy

e

x

La funzione di fatto è un esponenziale reale, infatti è costante in y.

Funzioni complesse di variabile complessa Facciamo subito alcuni esempi f z

z

f z

z*

f z

ez

Essendo la funzione di variabile complessa, come abbiamo già detto non si può più parlare di funzione di una variabile ma il nostro discorso si traduce in funzioni di due variabili. Non si può più dunque parlare di derivata della funzione, ma bisogna parlare di derivate parziali, o derivate direzionali, o comunque bisogna riprendere la definizione di derivata per dare una definizione alla derivata di variabile complessa. Vediamo in che modo possiamo ragionare sulle derivate. Parliamo di rapporto incrementale. Vediamo come si definisce il rapporto incrementale per una variabile complessa lim z

f z

0

z z

f z

z abbiamo indicato un incremento della variabile z , a partire da un punto z 0 . Si dove con capisce subito che non è sufficiente aver fissato la lunghezza dell'incremento, per determinarne la natura, in quanto esso stesso può assumere una qualsiasi direzione nel piano complesso; dunque il limite dipenderà dalla direzione lungo la quale si prende l'incremento. Consideriamo, per dimostrare tale asserzione, il rapporto incrementale delle funzioni di esempio precedenti

Esempio 1. Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa Prendiamo la funzione f z

z

*

e facciamo il limite del rapporto incrementale lungo differenti direzioni. z

Ricordiamo innanzitutto che

x

j

y y 0 ). Otteniamo

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( lim

f z

x x

z 0 y 0

f z

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla funzione f z lim x

f z

*

x x

0

z*

lim x

z*

z*

x z* 1 x

0

Proviamo adesso a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle y ( lim

f z

j

z 0 x 0

y j y

x 0 ). Otteniamo

f z

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione lim y

f z

j j

0

y y

*

z

*

lim y

z

0

*

j j

y z y

*

1

Ci accorgiamo dunque che il limite del rapporto incrementale dipende decisamente dalla direzione lungo la quale viene calcolato. Osservazione lim

f z

z z

f z

f x

f z

z z

f z

f

z 0 y 0

lim

z 0 x 0

j y

è la derivata parziale fatta rispetto a x.

È la derivata parziale fatta rispetto a y, con la costante

1 . j

I calcoli si potevano infatti fare senza fare il limite del rapporto incrementale, ma semplicemente esprimendo la funzione complessa in forma cartesiana e derivando rispetto ad x ed y. Riprendiamo la funzione f z

z* x

j y e facciamone le derivate parziali (moltiplicando la 1 derivata parziale della y per il coefficiente , pensando la funzione come una funzione di due j variabili reali in cui intervengono dei coefficienti immaginari (che sono costanti): x

jy x

1

x jy j y

1

Esempio 2. Prendiamo la funzione Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa f z

e

z

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( f z

lim

x x

z 0 y 0

y 0 ). Otteniamo

f z

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione lim x

e

z

x

e

z

z

lim

x

0

x

x

e e

1

e

x

0

z

Osserviamo che abbiamo un limite di quelli fondamentali (che fa 1) moltiplicato per la costante e z . Muoviamoci adesso lungo la direzione parallela all'asse delle y ( f z

lim

j

z 0 x 0

y j y

x 0 ). Otteniamo

f z

cioè lim y

0

ez

j

j

y

ez y

ez e j y 1 j y

lim y

0

a questo punto si potrebbe trarre subito la stessa conclusione raggiunta calcolando il precedente limite (cioè che siamo di fronte ad un limite fondamentale), ma siccome in questo caso intervengono coefficienti immaginari che non erano presenti quando nei moduli precedenti studiavamo i limiti, eseguiamo qualche ulteriore passaggio facendo intervenire la formula di Eulero lim y

0

ez e j y 1 j y

lim y

e z cos

y

0

j sen j y

y 1

lim e y

0

z

cos y 1 j y

j sen y j y

abbiamo così due limiti fondamentali ez

cos 1 lim j y 0

y 1 y

lim y

0

sen

y y

ez

0 1 j

ez

Ci si accorge che la derivata parziale fatta rispetto ad x dà lo stesso risultato della derivata parziale fatta rispetto a jy . Osservazione finale. Abbiamo visto che ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali, cambiando la direzione di derivazione, cambia il valore del limite del rapporto incrementale, mentre sembrerebbe che ce ne siano altre per le quali, anche cambiando la direzione dell'incremento, il valore del limite del rapporto incrementale non cambia.

Integrali di linea in campo complesso Vogliamo dare significato all'integrale f z dz


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa Pensiamo a f z come a una funzione decomposta in due funzioni reali di variabile reale nel seguente modo f z u x , y j v x , y e nello stesso modo trattiamo il differenziale di z dz dx

j dy

L'integrale risulta dunque essere il seguente f z dz

u x,y

u x , y dx v x , y dy

j v xy

dx

jv x , y dx

j dy = j u x , y dy =

separando la parte reale dalla parte immaginaria u x , y dx v x , y dy

j

v x , y dx u x , y dy =

questi sono integrali di linea di forme differenziali e si possono semplificare se è possibile esprimere la curva , o come una funzione della sola x, o come una funzione della sola y, ovvero nel seguente modo : x,g x

dx dx ,

dy g ' x dx

: h y ,y

dy dy ,

dx h ' y dy

oppure

Applicando la trasformazione ai nostri integrali otteniamo per esempio per il primo u x , y dx v x , y dy

x1 x0

u x , g x dx v x , g x g ' x dx

quindi il nostro integrale di linea di partenza non è altro che la somma di due integrali di una sola variabile. Applichiamo ad alcuni esempi il calcolo dell'integrale di linea e facciamolo su due diverse curve, e 1 , che hanno però la caratteristica di avere in comune i punti di partenza e di arrivo. Proviamo con z * facendo il calcolo osserviamo che

z * dz

Proviamo con e z facendo il calcolo osserviamo che

e z dz

z * dz .

1

1

e z dz .

Dunque ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali cambiando il cammino di integrazione cambia il valore dell'integrale, mentre ce ne sono altre per le quali, pur cambiando il cammino d'integrazione, il valore dell'integrale sembrerebbe non cambiare.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche

Funzioni analitiche Le considerazioni fatte nel paragrafo precedente ci consentono di proseguire il nostro cammino con altre considerazioni molto importanti. Definizione 1 f z :

Supponiamo di avere se

f z

lim z

z z

0

f z

esiste indipendentemente dalla direzione dell'incremento

allora si dice che la funzione f' z

lim z

f z

z z

0

f z :

è derivabile e si scrive

f z

si usano anche le seguenti scritture equivalenti f' z

Df z

df dz

Ci sono dunque dei casi di funzione complessa in cui si può parlare di derivata. Definizione 2 Supponiamo di avere essa è detta olomorfa in se

z

,

f z :

(regione connessa e regolare di

)

f' z

(cioè se in tutta la regione esiste la derivata, nel senso che abbiamo dato in Definizione 1 Prendiamo per esempio la funzione f z

z

*

abbiamo visto che dà risultati differenti a seconda che noi facciamo il limite del rapporto incrementale in una direzione parallela all'asse x o parallela all'asse y, quindi la funzione non ha derivata, dunque non è olomorfa. Invece la funzione f z

ez

ha un limite del rapporto incrementale che non dipende dalla direzione (come avevamo infatti dedotto dai conti fatti nei paragrafi precedenti) ed è dunque derivabile in tutto ed è ivi olomorfa.

Teorema. Funzioni analitiche - Pag.49

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche Le seguenti affermazioni sono equivalenti 1)

f z

è olomorfa in

2)

f z

è infinite volte derivabile ed è analitica

3)

f z

soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann:

, (cioè esiste

f' z

) f x

1 j

f y

Facciamo qualche commento al teorema. del La condizione di olomorfia chiedeva l'esistenza della derivata prima in una certa regione piano complesso. Il teorema ci dice che allora f z è infinite volte derivabile. Questo è per noi una grossa sorpresa, perché nello studio delle funzioni di variabile reale a valori reali, l'esistenza della derivata prima non diceva nulla circa l'esistenza della derivata seconda, mentre per le funzioni di variabile complessa, l'esistenza della derivata indica automaticamente che la funzione è derivabile per ogni ordine ed è quindi analitica (anche se dobbiamo precisare che l'uso del termine analitica è utilizzato quanto la serie di Taylor converge con un raggio di convergenza non nullo, il teorema ci dice che olomorfia ed analiticità sono equivalenti). La condizione 3 invece ci dice che se la derivata rispetto ad x e la derivata rispetto ad y esistono e 1 , allora la funzione è olomorfa. Questa è di gran sono uguali, a meno del fattore moltiplicativo j lunga la condizione più debole e più semplice da verificare. Consideriamo ad esempio la funzione f z

ez

abbiamo già visto che ez ez x

ez j y

ez

dunque la condizione di Cauchy-Riemann è soddisfatta. La funzione è olomorfa e analitica. Facciamo un breve cenno di dimostrazione. E' evidente che 2) analiticità

1) omotetia

(se esistono tutte le derivate, esiste anche la derivata prima) 1) omotetia

3) cond. di C.-R.

(se esiste la derivata prima, esistono le derivate parziali)

Dimostriamo adesso che Funzioni analitiche - Pag.50

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche 3) cond. Di C.-R.

1) omotetia

Scriviamo il differenziale della funzione f dx x

df

f z

:

f dy y

e ricordando la condizione di Cauchy-Riemann f x

1 j

f y

j

f x

f y

sostituiamo j

f dx x

df

f dy x

f dx x

j dy

f dz x

questo ci permette di concludere che df dz

f x

ovvero la funzione è derivabile. Rimandiamo la dimostrazione che 1) omotetia

2) analiticità

a quando faremo le serie di Taylor. Ricordando che una funzione complessa può anche essere vista nel seguente modo u x,y

f

jv x,y

la condizione di Cauchy-Riemann può essere così riscritta, separando la parte reale e la parte immaginaria di u e di v u x v x

v y u y

Grazie a questa forma di scrittura possiamo fare alcune ulteriori considerazioni, prendiamo la prima di queste equazioni e facciamo la derivata rispetto alla x: Dx

u x

2

v y

2

u x2

v

y x

deriviamo adesso rispetto alla y la seconda equazione Dy

v x

u y

2

v

x y

2

u y2

ne consegue immediatamente che 2

u x2

2

u y2

ovvero Funzioni analitiche - Pag.51

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche 2

2

u x2

u 0 y2

2

x

uguaglianza che si usa anche scrivere nel seguente modo

2 2

y

2

u 0 e viene chiamato operatore di

L'operatore tra parentesi tonde viene descritto col simbolo Laplace. L'equazione di Laplace è dunque

u 0 e, grazie ai passaggi che abbiamo appena svolto possiamo dire che se è soddisfatta la condizione di Cauchy Riemann, l'equazione di Laplace risulta vera. Quando una funzione reale di due variabili reali soddisfa l'equazione di Laplace, possiamo dire che è una funzione armonica. Un ragionamento analogo ci porta a dire che anche la parte immaginaria di un'equazione complessa, che soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann, è una funzione armonica. Vediamo un esempio. Abbiamo f z

ze jz

con

z x

jy

Ci chiediamo se è una funzione analitica ed il modo più semplice per verificarlo è controllare se soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann f x

e jz

f j y

j ze jz

ejz

1 jz jz e ze j

j ze jz

Le due derivate parziali sono uguali, dunque la condizione di Cauchy-Riemann è verificata, la funzione è analitica. Decomponiamo adesso la funzione in parte reale e parte immaginaria f z

j y ejx

x

= x e y cos x

y

x

y e y sen x

u x,y

j y e yejx

x

jy e

y

cos x

j sen x =

j y e y cos x x e y sen x v x,y

Lasciamo allo studente l'esercizio di verificare l'uguaglianza di Cauchy-Riemann secondo gli altri due possibili procedimenti.

Formule integrali di Cauchy Iniziamo parlando del teorema di Cauchy. Supponiamo di essere nel piano complesso e di avere una regione omega composta da una o più curve chiuse, semplicemente connessa (nel senso che due punti qualsiasi di questa regione possono essere collegati tra loro da una curva tutta contenuta in omega). Diciamo inoltre che ha bordo e rappresentiamolo nel seguente modo:

Formule integrali di Cauchy - Pag.52

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche 1

2

3

4

sta per bordo orientato.

1

Per di ciascuna di queste curve è importante dare l'orientamento: si dice che un bordo è orientato positivamente, quando percorrendo questo bordo la regione rimane alla sinistra del percorso.

2 3

4

Nel caso in figura, per avere un bordo orientato positivamente, la curva 1 deve essere percorsa in senso antiorario mentre le altre curve (i buchi) devono essere percorse in senso orario. In regioni di questo tipo vale il seguente Teorema di Cauchy se

f z

è analitica in

, allora

1

f z dz 0 Facciamo un cenno di dimostrazione. f z dz

Abbiamo

per riuscire a comprendere meglio questo integrale lungo un percorso parte reale e parte immaginaria di f z , per cui f z dz

u x,y

u x , y dx v x , y dy

jv x,y j

dx

, bisogna esplicitare

j dy =

v x , y dx u x , y dy

A questo punto, descrivendo come una funzione di x, a valori in y, (con le opportune scomposizioni della curva, se non avesse le caratteristiche di una funzione) questi integrali di linea possono essere visti come la somma (o sottrazione) di integrali ordinari. C'è però un risultato noto che riguarda proprio gli integrali in cui compaiono solo funzioni reali, ed è il seguente. Si intendono le funzioni u e v come le componenti di un vettore, ed allo stesso modo dx e dy , per cui l'integrando non è altro che il prodotto scalare di due vettori e viene esplicitato, nel nostro caso, come segue. Prendendo per esempio il primo integrale si ottiene u v

dx dy

se le funzioni u e v sono definite in tutta la regione delimitata da derivabili con derivata continua, allora l'integrale è nullo se è vero che

e sono ivi continue e

1 Perchè ciò possa essere detto è necessario avere analiticità in una regione più grande che contiene sia suo bordo.


che il

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche v x

u 0 y

ma questa è una delle condizioni di Cauchy-Riemann e siccome noi abbiamo supposto all'inizio che f z è analitica in siamo sicuri che è verificata. Allo stesso modo può essere trattato il secondo integrale, quindi la loro somma è uguale a zero, e questo prova il teorema di Cauchy2. Vediamo adesso quale interesse possiamo avere per il teorema di Cauchy con un esempio esplicativo. Supponiamo di essere in campo complesso e di avere una regione supponiamo di indicare con il contorno 1 della regione. Supponiamo infine di voler fare l'integrale su di f z in dz . A 1 questo punto dobbiamo fare attenzione al fatto che l'integrale non è nullo, in quanto la regione non è tutta analitica (il buco interno è un punto dove le proprietà della funzione non sono conosciute).

dove

f z

è analitica, e

1

2

una circonferenza tutta Chiamiamo 2 compresa dentro come quella rossa in figura, allora possiamo applicare il teorema di Cauchy al seguente integrale 1

2

f z dz 0

ma c'è una proprietà estremamente importante che riguarda i cammini di integrazione ordinari in campo reale. Ricordiamo che quando si doveva calcolare l'integrale b

c

f dt

a

a

b

f dt

c

f dt

si poteva spezzare il cammino di integrazione nella somma di due integrali. Poiché abbiamo visto che l'integrale di linea in campo complesso si riduce ad integrali ordinari in campo reale, dove questa proprietà vale, possiamo affermare che 1

2

f z dz

1

f z dz

2

f z dz 0

e di nuovo in modo analogo a quello che succede per gli integrali ordinari, possiamo dire che se scambiamo gli estremi di integrazione, cambiamo il segno all'integrale, quindi cambiando il verso di percorrenza di cambiamo il segno all'integrale, per cui 2 1

f z dz

2

f z dz

1

f z dz

2

f z dz 0

possiamo dunque concludere che 1

f z dz

2

f z dz

La straordinaria importanza di questa conclusione sta nel fatto di verificare che fare l'integrale su 2 Evidentemente rinviando i dettagli ad un problema che è classico in ambito reale e che riguarda i campi vettoriali.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche è la stessa cosa di fare l'integrale su 1 , quindi il teorema di Cauchy ci permette di deformare il cammino di integrazione (restando comunque sempre all'interno della regione di analiticità) e fare un integrale, piuttosto che su di una curva molto frastagliata e complessa, su di una circonferenza che invece è estremamente semplice da integrare. 2

Vediamo un esempio esplicito. Prendiamo la funzione 1 z

f z

e consideriamo il cammino 1 , estremamente complicato, rappresentato in figura. Si chiede di fare l'integrale su f z di in dz . Notiamo 1 f z innanzitutto che è analitica dappertutto escluso che nel punto 0. Noi, però, grazie al teorema di Cauchy possiamo disegnare la circonferenza unitaria ed osservare che la curva 2 può essere sostituita dalla 1 circonferenza unitaria in quanto la regione compresa tra le due curve è tutta di analiticità per f z .

1

2

Abbiamo quindi 1

f z dz

1

1 dz z

2

1 dz z

Poco fa abbiamo visto come é possibile esprimere la curva come funzione, o della variabile x o della variabile y, ma è possibile esprimere la curva anche attraverso delle coordinate polari. Possiamo descrivere i punti che stanno sulla circonferenza unitaria, attraverso gli esponenziali complessi, nel seguente modo : z e j . Infatti al variare di descriviamo tutti i punti della circonferenza 2 unitaria quando 0 . E' dunque molto facile anche dire che dz D e j d jej d Siamo dunque nelle condizioni di trasformare il nostro integrale in integrale ordinario lungo una circonferenza unitaria: 2

1 dz z

2 0

1 jej d j e

j

2 0

d

dz

lungo una curva, in un

j2

Come abbiamo visto il calcolo dell'integrale si è rivelato di una semplicità estrema. Passiamo adesso alle formule integrali di Cauchy

1° Formula integrale di Cauchy se

f z

è analitica in

,e

1° Formula integrale di Cauchy - Pag.55


z0 f z0

, allora f z dz z z0

1 2

j

Vediamo qualche cenno di dimostrazione, calcolando l'integrale della formula.

z0

Prendiamo la regione (per semplicità la prendiamo senza buchi ma la questione non modifica il ragionamento che stiamo facendo), con il suo bordo orientato . Osserviamo subito che fare l'integrale su , poiché la regione è tutta di analiticità, è la stessa cosa che fare di centro z 0 e raggio , proprio grazie al teorema di l'integrale su di una circonferenza Cauchy. Cerchiamo dunque di rappresentare i punti di : prendiamo l'equazione di una j circonferenza di raggio sul piano complesso z e ed effettuiamo una traslazione per j imporre che il suo centro sia z 0 , ottenendo z z 0 e . Il suo modulo è dunque z z0 , ed il suo differenziale, derivando ovviamente il secondo membro rispetto a , j diventa dz j e d . L'integrale che noi vogliamo calcolare allora diventa f z0

1

f z0

2

2

j

0

e e

j

j j

j e d

1 2

2 0

f z0

e

j

d

osserviamo adesso che, proprio grazie al teorema di Cauchy, questo integrale è sempre uguale, qualunque sia (purché la circonferenza di raggio stia dentro la regione ). Facendo allora il limite per che tende a zero di tutto l'integrale, continueremo ad avere lo stesso risultato, otteniamo dunque f z0

1 2

2 0

f z0 d

f z0 2 2

f z0

Si è dimostrato quindi che l'uguaglianza è valida. Facciamo adesso una interessante riflessione che mette in evidenza l'importanza di questa formula. Sia f z analitica in , z0 , allora possiamo dire, grazie alla formula di Cauchy, che la sua conoscenza è determinata dalla conoscenza dei suoi valori nel bordo. Riscriviamo infatti la formula utilizzando uno zeta generico e non fissato, cambiando il nome alla variabile indipendente f z

f

1 2

j

z

d

quindi possiamo conoscere il valore di un generico punto z se conosciamo la funzione sul bordo.

1° Formula integrale di Cauchy - Pag.56


2° Formula integrale di Cauchy f z

sia

analitica in

z0

, allora

f z dz 0 z z0

1 2

,

j

Se il punto è esterno, il valore del nostro integrale è nullo. E' dalle formule integrali di Cauchy che noi possiamo dedurre il fatto che una funzione analitica ha infinite derivate. Supponiamo di avere una funzione olomorfa, condizione necessaria per la validità delle formule di Cauchy, e studiamo la

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) Partiamo dalla prima formula integrale di Cauchy f

1

f z

2

j

d

z

e deriviamo parzialmente rispetto a dx f x

f x

1

D

2

j

jy

f

1

d

2

j

1 x

2

jy

f

1

d

2

j

z

2

d

per cui f x

f

1 2

j

z

2

d

deriviamo adesso rispetto a j dy f j y

f x

1

D

2

j

jy

d

f

1 2

j

j x

jy

2

d

f

j 2

j

z

2

d

per cui f j y

f

j 2

j

z

2

d

f y

f

1 2

j

z

2

d

le due derivate parziali danno lo stesso risultato e questa uguaglianza dice che la funzione soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann. Questo ci permette di dire che df dz

f x

f y

e quindi

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.57

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche f' z

f

1 2

j

z

2

d

Partendo adesso dall'espressione di derivata prima di f appena ottenuta, possiamo derivare ancora ottenendo f

2

f '' z

2

j

z

3

d

e se si prosegue così, constatando che le due derivate parziali sono uguali, si giunge alla fn z

f

n! 2

j

z

n 1

d

espressione della derivata n-sima, che è anche la giustificazione del fatto che una funzione complessa, se ha derivata prima, ha ogni ordine di derivata.

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.58

Appunti di Capuzzo Alessandro - Sviluppi in serie

Sviluppi in serie Sviluppi in serie di Taylor f z

Sia

analitica in

,

z0

.

Costruiamo la circonferenza centrata in z 0 , in modo tale che sia tutta contenuta in abbia raggio . Abbiamo dimostrato nel capitolo precedente che la funzione f z ha infinite derivate in ogni punto di . Dimostriamo adesso che sotto queste ipotesi vale la seguente f z

z : z z0 dove

n 0

f

an

an z z0

ed

z0

n

n

z0 n!

Queste sono potenze con esponente positivo e si chiamano serie di Taylor e c'è una perfetta analogia con le serie di Taylor già studiate in ambito reale (al posto della z c'era la x). E' importante per lo studente imparare ad esplicitare (è bene farlo spesso le prime volte che si maneggiano le serie): f z

an z z0

n 0

n

a0 a1 z z0

a 2 z z 0 2 +...

Diamo un cenno di dimostrazione. Partiamo dalla formula integrale di Cauchy, prendendo uno z qualunque interno alla circonferenza z 0 con in modo che risulti z z 0 Osserviamo che se noi dividiamo z0 > risulta vero che z z0

z z0

prima per

e poi per

z z0 z0

prendiamo dunque la 1° formula integrale f z

f

1 2

j

z

d

e vediamo di scrivere in modo opportuno il denominatore dell'integrale (aggiungiamo e togliamo (e mettiamo in evidenza

z0 ) z0 )

z =

z0 z0

z z0 1

=

z z0 z0

Sviluppi in serie di Taylor - Pag.59

z0

, essendo

Appunti di Capuzzo Alessandro - Sviluppi in serie z z0 , esso corrisponde ad uno meno una certa z0 quantità complessa, il cui modulo lo ritroviamo nella diseguaglianza che ci eravamo ricavati in precedenza, ovvero 1

osserviamo adesso il contenuto di

z z0

z z0 z0

osserviamo però che noi avevamo preso z in modo tale che fosse dentro la circonferenza di raggio , per cui risulta ovvio che z z0

k 1 questo rapporto è uguale ad un valore k=1 - Pag.90

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui h z

z 1

2

ed essendo n 2 dobbiamo farne la derivata prima calcolata nella singolarità ovvero nel punto 1. h

1

1

2 z 1

4

z 1

quindi il residuo della funzione nel punto 1 è uguale a 4.

f z

sen z 3 z

la funzione è singolare nel punto z 0 0 e se facciamo lo sviluppo di Laurent ci accorgiamo che è un polo del 2° ordine. sen z sia analitica (in zero infatti il suo limite è 1, è un limite z fondamentale) e riscrivere la funzione nel seguente modo

Dobbiamo quindi pensare che

f z

sen z z z2

per cui si ha che il residuo vale Rf 0

d sen z dz z

z 0

z cos z sen z 2 z

z 0

non dobbiamo dimenticarci mai che dobbiamo vedere questa funzione sempre come un limite, che 0 in questo caso, svolgendo i calcoli risulterebbe indeterminato . Per capire quanto vale 0 possiamo provare a fare lo sviluppo di Taylor a numeratore

Rf 0

cos z sen z z2

1 z 0

z2 + ... z z 2!

z3 + ... 3!

z2

0 z 0

Sommando i termini del numeratore si vede che lo sviluppo di Taylor parte da una potenza cubica, quindi di ordine maggiore e predominante sul denominatore. In questo caso il residuo è zero, bisogna dunque stare attenti a non pensare che siccome il residuo è nullo la funzione sia analitica, perché è un polo del 2° ordine ed in z 0 abbiamo una singolarità.

f z

ez z 1

2

si vede che z 1 è un polo del 2° ordine e che h z Rf 1

h1 1

ez

z 1

e z , per cui

e

Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1 - Pag.91

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui

Integrali impropri col metodo dei residui Cominciamo con il caso in cui la funzione integranda è razionale del tipo f x

P x Q x

con

grado di P x

2 grado di Q x

siamo nel caso in cui l'integrale improprio f x dx è convergente, sempre nel caso che Q(x) non abbia zeri sull'asse reale. Estendendo la variabile x al piano complesso dove Re z = x, il calcolo dell'integrale può essere fatto col metodo dei residui: siano gli z k poli di f z

con Im z k !0, 1 k n (nella regione) e

siano gli z i poli semplici di f z

con Im z i 0, 1 i m (nel bordo della regione)

allora abbiamo n

f x dx 2

j k 1

Rf

z

zk

1 2i

m 1

Rf

z

zi

Facciamo un cenno di dimostrazione.

R

-R

+R

Se noi scriviamo l'integrale di linea di f z supponiamo privo di singolarità, abbiamo

dove la linea è l'asse reale, che inizialmente

Integrali impropri col metodo dei residui - Pag.92

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui f x dx

f z dz

,

integrale improprio

R

lim

R

R

integrale di linea su "

f z dz

integrale improprio pensato come limite

lim

R, R

R

f z dz

integrale di linea su #

Adesso chiudiamo il cammino con una semicirconferenza R di raggio R centrata nell'origine e cerchiamo di capire quanto vale l'integrale di quest'ultima per R che tende ad infinito f z dz

f z dz

f z dz

1 dz 2 z

k

essendo il grado di P x

2 grado di Q x

se osserviamo che stiamo integrando su di una semicirconferenza possiamo porre z Re

j

dz R e

0 j

jd

dz

Rd

per cui l'integrale diventa f z dz

1 dz 2 z

k

o

1 Rd 2 R

R

0

R

è dunque lecito sommare zero ad un'uguaglianza nel seguente modo f x dx

lim

f z dz

R, R

R

lim

R

R

f z dz

R,R

R

f z dz

ma con R sufficientemente grande da racchiudere tutte le singolarità nel semipiano positivo, possiamo osservare che ci ritroviamo di fronte ad un integrale di linea su di una curva chiusa con delle singolarità al suo interno, possiamo quindi applicare il teorema dei residui. Si ha dunque n

f x dx 2

j k 1

Rf

zk

z

Se siamo invece nel caso in cui si hanno delle singolarità sull'asse reale esse contribuiranno per la metà della loro sommatoria; giungeremo così alla formula inizialmente enunciata n

f x dx 2

j k 1

Rf

z

zk

1 2i

m 1

Rf

z

zi

.

Vediamo qualche esempio. 1 1 x2

dx

La prima osservazione che possiamo fare è che noi questo integrale improprio lo sapevamo già calcolare. Quello che vogliamo fare infatti è introdurre un metodo nuovo ed alternativo per il calcolo degli integrali impropri, che si dimostra comunque più rapido ed efficace di quello tradizionale. Il primo passo da fare è dunque pensare all'integrale come cammino sull'asse reale del piano complesso di una funzione complessa nel seguente modo. Integrali impropri col metodo dei residui - Pag.93

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui 1 1 x

1

dx

2

,

1 z

2

dz

Le singolarità sono nel punto j e nel punto -j, nel semipiano positivo c'è la sola singolarità j, possiamo dunque subito dire che 1 1 x x

dx 2

2

jR

j

1 1 x

2

2

2

1 x

2

z

dx 2

1 2z

j

,

z

j

2 2 2

1 z

dz

Anche in questo caso le singolarità sono nel punto j e nel punto -j, nel semipiano positivo c'è la sola singolarità j, ma adesso sono poli doppi. Calcoliamo il residuo R

z

d z2 dz j z

2

1 z

2 2

2j 2j

=

2z j z 2

2

j 2 2j

2j

4

z

j

2

8j 4j 16

2

z2 2 j z j z 4 4j 16

2j j z

j

2

j

j

j2 2 j j 4

j

=

j 4

L'integrale vale dunque x2 dx 2 2 2 1 x

j

j

4

2

Per persuaderci sull'efficacia del metodo dei residui lasciamo allo studente il calcolo dell'integrale secondo il metodo tradizionale (è molto più complesso) x

2

1 x4

z

dx

2

1 z4

,

dz

Vediamo che le singolarità sono le radici quarte di z=-1 4

$

1

4

$e j

2k

j

e

j

4

k

2 j 4

Vediamo che nel semipiano superiore abbiamo e

j

4

, ej

3 4

.

Abbiamo quindi x2 dx 1 x4

,

z2 dz 2 1 z4

j

z2 4 z3

e

j

4

z2 4 z3

e

3j

= 4

Integrali impropri col metodo dei residui - Pag.94

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui =2 =

2

1 e 4

j j

j

1 e 4

4

j 2 cos

3j

4

4

2

j

2 cos

2

1 e 4

j2

4

e

j

4

e

j

4

2

je

j

2

2 cos

4

=

$2

4

2

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale) Si ha da calcolare il seguente integrale improprio P t j at e dt Q t

a ", t ", t 0 e

grado di P t

grado di Q t

essendo a e t reali, abbiamo una combinazione di seni e coseni complessi. Le singolarità dipendono tutte dal termine frazionario. NOTA: Il calcolo dell'integrale è diverso a seconda che il modulo dell'esponenziale tenda a zero sul semipiano positivo o sul semipiano negativo. Calcoliamo il modulo dell'esponenziale, ma prima portiamo t nel piano complesso passando ad una variabile complessa s t e

j%

jas

e

j at

ja j%

e

jat

e

a%

a%

e

passaggio che abbiamo potuto fare ricordando che il modulo di un esponenziale con argomento un immaginario puro è uguale ad uno. Quindi il comportamento dell'esponenziale dipende dal valore di a. a!0 , il modulo dell'esponenziale tende a zero quando %

; semipiano superiore

a 0 , il modulo dell'esponenziale tende a zero quando %

; semipiano inferiore

Per cui n

a!0 P s jas e ds Q s

2

j k 1

Rf

zk

s

1 2i

n 1

Rf

zi

s

singolarità sul semipiano positivo per gli z k che hanno parte immaginaria!0 n

a 0

2

j h 1

Rf

s

zh

1 2i

n 1

Rf

s

zi

singolarità sul semipiano negativo per gli z h che hanno parte immaginaria 0

con f s

P s jas e Q s

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale) - Pag.95

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui Questo perché, se ricordiamo che per calcolare gli integrali impropri attraverso i residui era necessario chiudere il percorso di integrazione con una curva che aveva integrale nullo, adesso, essendovi la complicazione dell'esponenziale, questa curva tende a zero nel semipiano superiore se a è positivo, ed in quello inferiore se a è negativo.

R

Inoltre nel semipiano negativo cambia il segno perché si inverte il cammino di integrazione (vedi figura)

R

+R

1R

Vediamo un esempio. e jat dt 1 t2 Dobbiamo dunque distinguere due casi n

a!0

2

j

a

R k 1

jat

e 1 t2

j

2

j

e 2j

n

a 0

2

j

e

a

a

R k 1

jat

e 1 t2

j

2

j

e 2j

e

a

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario) Si ha da calcolare il seguente integrale improprio &0

j

&0

j

P s st e ds Q s

t " e

grado di P s

grado di Q s

Questo tipo di integrali riveste un'estrema importanza nel proseguo di questo corso (calcolo delle antitrasformate di Laplace).

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario) - Pag.96

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui La situazione è quella descritta in figura: il cammino di integrazione va da &0 j a &0 j .

%

Anche in questo caso, per risolvere l'integrale dobbiamo osservare il segno del parametro t, in quanto ci dà lo zero dell'esponenziale.

&0

&

Infatti abbiamo e

st

e

&t

j%t

e& t &

t!0

&t

t 0

e

&

0 0

Possiamo quindi osservare che n &0 &0

j j

t!0

P s st e ds Q s

2

j k 1 n

t 0

2

Rf

j k 1

Rf

Re s k & 0

sk

s

s

Re s k !& 0

sk

La dimostrazione è di nuovo legata al fatto che quando il cammino di integrazione è una retta parallela agli assi coordinati, possiamo pensare di nuovo all'integrale come il limite di un integrale tra & 0 jR e & 0 jR , con R che tende a più infinito e possiamo nuovamente chiudere il cammino con delle semicirconferenze. Evidentemente bisogna scegliere il semipiano di destra od il semipiano di sinistra a seconda che il modulo dell'esponenziale tenda a zero quando & o quando & . Quindi il ruolo dell'esponenziale complesso è quello di indicarci su quale semipiano dobbiamo lavorare. Se t!0 sarà allora il semipiano di sinistra, se t 0 sarà il semipiano di destra. Vediamo qualche esempio. 1 2

j

&0

j

&0

j

1 s

2

1

e s t ds dove & 0 !0

Il lemma di Jordan ci dice che questo integrale è uguale alle seguenti espressioni 1 2

j

&0

j

1

&0

j

s2 1

st

e ds

t!0 t 0

1

n

2

2 j 1 2 2 j

j k 1 n

Rf

j k 1

Rf

sk

s

s

sk

Re s k & 0 Re s k !& 0

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario) - Pag.97

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui nel nostro caso i poli sono ' j e si trovano entrambi nel semipiano a sinistra della curva di integrazione. Quindi nel semipiano di destra la funzione è analitica e l'integrale vale dunque zero, mentre nel semipiano di sinistra vale 1 2

j

2

j Rf

j

s

Rf

j

s

Quindi non dobbiamo fare altro che calcolare i due residui e sommarli. st

Rf

e s 2

j

s

s

j

e jt j 2

st

Rf

j

s

e

e s 2

s

jt

2

j

j

L'integrale risulta essere jt

e j 2

per t!0

int

per t 0

int 0

jt

e

j sin t

2

Si usa scrivere questo risultato come u t sint dove u t è la funzione gradino unitario, la quale vale uno per t>0 e zero per t