MODUL STATISTIKA - WordPress.com

MODUL STATISTIKA

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com e-mail : [email protected]

Page 2 of 64

Kegiatan Pembelajaran 1

A.

STANDAR KOMPETENSI Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B.

KOMPETENSI DASAR Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika dan sampel

C.

INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mengidentifikasi statistik dan statistika sesuai dengan defenisinya.

D.

2

Mengidentifikasi populasi dan sampel berdasarkan karakteristiknya

3

Menyebutkan macam-macam data dan memberikan contohnya.

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Siswa mampu membedakan pengertian statistik dan statistika 2. Siswa mampu menjelaskan pengertian populasi 3. Siswa mampu menjelaskan pengertian sampel 4. Siswa mampu memberikan contoh populasi 5. Siswa mampu memberikan contoh sampel 6. Siswa mampu membedakan macam-macam data 7. Siswa mampu memberikan contoh macam-macam data 8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 3 of 64

E. URAIAN MATERI

Data Dalam Bentuk Statistik Deskriptif 1. Pengertian statistik dan statistika a. Statistik

adalah

kumpulan

data

mengenai

suatu

keadaan

yang

dapat

menggambarkan keadaan tersebut. b. Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data. Statistika secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu: a. Statistika deskriptif (deduktif) adalah metode statistika yang menggambarkan statistik, disini berupa kegiatan pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik atau diagram. b. Statistika inferensial (induktif) adalah bagian dari statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi. 2. Pengertian populasi dan sampel a. Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan). b. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek penelitian yang bersifar representatif (mewakili populasi)

Contoh : 1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut. Dari contoh di atas maka Populasinya adalah sekarung beras dan Sampelnya adalah segenggam beras 2. Seorang kepala kelurahan ingin mengetahui seberapa pendapatan rata-rata warganya. Karena waktu dan biaya, ia hanya mengambil dua RW saja untuk didata jumlah pendapatannya. Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 4 of 64

Populasinya adalah Penduduk kelurahan Sampelnya adalah dua RW dari kelurahan tersebut 3. Macam-macam data a. Datum adalah informasi tentang suatu masalah atau keadaan. b. Data adalah sekumpulan informasi yang dapat menggambarkan suatu keadaan. Berarti data adalah kumpulan dari datum-datum atau dapat dikatakan bahwa data adalah bentuk jamak dari datum.

Contoh : Nilai ulangan susulan matematika dari 6 siswa kelas X- A SMA Merpati Samarinda adalah 7, 5, 6, 8, 9 ,6.

7 5 6 8 9 6 datum datum datum datum datum datum 144444444424444444443 Data

Data dapat dkelompokkan dengan berbagai cara, diantaranya adalah : a. Data kuantitatif dan data kualitatif •

Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau menghitung yang hasilnya selalu berupa bilangan Contoh : - Kumpulan nilai matematika kelas X SMA y Samarinda - Harga beras di Pasar Pagi Samarinda Data kuantitatif di bagi 2 jenis yaitu : Data diskret (data tercacah) adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung. Contoh : - Data Gaji karyawan PT. Maju Mundur - Data jumlah anak dalam suatu keluarga Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur Contoh : - Data tinggi badan siswa SMA 10 Samarinda


Page 5 of 64

•

Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki oleh objek yang diteliti yang hasilnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan. Contoh : - Data olahraga favourit siswa SMA 10 Samarinda. -

Data kualitas hasil panen padi di Tenggarong

Syarat data yang baik •

Objektif yaitu data harus dapat memberikan gambaran tentang keadaan yang sebenarnya

•

Terpercaya (believable) yaitu data diperoleh dari sumber yang tepat atau dapat dipercaya

•

Representatif yaitu data yang diambil secara sampel harus bisa mewakili semua data yang merupakan populasinya

•

Relevan yaitu data yang diperoleh harus benar-benar sesuai dan berhubungan dengan obyek atau permasalahan yang diteliti

•

Terkini (up to date) yaitu data yang diperoleh merupakan data yang terbaru (terkini) dan bukan merupakan data usang yang sudah tidak sesuai lagi.

F. Tugas 1. Seorang peneliti ingin mengetahui ada tidaknya bakteri E. Sakazaki pada susu formula bayi. Untuk itu ia memeriksa 50 susu formula bayi dari berbagai merek. Apa yang menjadi populasi dan sampel penelitian tersebut? 2. Seorang petugas laboratorium ingin menyelidiki pencemaran air di Sungai Mahakam, tentukanlah populasi dan sampel dari pencemaran air di Sungai Mahakam tersebut? 3. Seorang peneliti dalam bidang pendidikan ingin mengetahui tingkat kelulusan siswa SMA di Samarinda. Tentukanlah populasi dan sampel dari penelitian tersebut! 4. Buatkanlah permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan populasi dan sampel? 5. Klasifikasikan data berikut sebagai data kualitatif dan data kuantitatif. Jika termasuk data kuantitatif maka tentukan apakah data tersebut diskret atau kontinu. a. Banyak mobil yang dimiliki oleh setiap keluarga b. Berat badan dari sekelompok gajah c. Suhu udara suatu samudra sepanjang hari Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 6 of 64

d. Warna mobil yang ada di parkiran sekolah SMA Bunga Harapan Samarinda e. Data cita-cita siswa SD Bunga Harapan Samarinda f. Data ukuran sepatu siswa di kelasmu

Pilihlah satu jawaban yang paling benar 1. Kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan suatu persoalan disebut ..... a. statistik b. statistika c. sampel d. populasi e. data 2. Pengetahuan tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menyajikan dan menafsirkan data disebut ..... a. statistik b. statistika c. kinematika d. ekonomimetri e. statis 3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah ..... a. mengumpulkan data b. mengolah data c. mempelajari teori statistik d. menganalisis data e. menyimpulkan dan mengambil keputusan 4. Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi disebut ..... a. statistika deskriptif b. statistika induktif c. populasi d. sampel e. sampling Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 7 of 64

5. Di bawah ini yang bukan merupakan syarat data yang baik adalah ..... a. relevan b. representatif c. up to date d. objektif e. banyak 6. Sebagian data yang diambil dari objek penelitian dan bersifat representatif disebut a. populasi b. sampel c. sensus d. sampling e. referendum 7. Di bawah ini merupakan alasan sampling kecuali ..... a. biaya b. tenaga c. waktu d. sistematis e. efektif 8. Yang termasuk data kontinu adalah ..... a. jumlah karyawan b. jumlah keuntungan c.jumlah penjualan d. jumlah kendaraan e. jumlah pemakaian listrik 9. Yang termasuk data diskret adalah ..... a. Tinggi badan Ardi = 170 cm b. jumlah siswa tingkat 3 = 120 orang c. Berat badan Dadang = 52 kg d. Suhu badan Ika = 27,5 0C e. Jarak rumah Shinta ke sekolah = 7 km


Page 8 of 64

10. Suatu data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan disebut ..... a. data statistik b. data diskret c. data kontinu d. data kualitatif e. data kuantitatif 11. Yang dimaksud data tunggal adalah ..... a. data yang isinya hanya satu datum saja b. data yang nilainya sama dengan satu c. data yang tidak/belum diklasifikasikan menuut aturan tertentu d. data yang berdiri sendiri e. data yang berfrekuensi 12. Data yang bersumber dari hasil pengukuran disebut dengan ..... a. data kontinu b. data diskret c. data primer d. data sekunder e. data asli

G.

ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala. Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara.. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga


Page 9 of 64


A.

STANDAR KOMPETENSI Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B.

KOMPETENSI DASAR Membaca dan menyajikan data dalam tabel dan diagram

C.

INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram 2. Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram 3. Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram 4. Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

D.

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel 2. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang 3. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang daun 4. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram pitogram 5. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis 6. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran 7. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi 8. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram 9. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon 10. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk ogive


Page 10 of 64

E. URAIAN MATERI Membaca Dan Menyajikan Data 1. Data Tunggal 1.1 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori tertentu dalam suatu daftar. Dalam penyusunan tabel ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu : •

Judul dibuat jelas dan singkat. Apabila perlu diberi keterangan yang dicantumkan di kaki tabel

•

Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak dapat diberi nomor. Pencantuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.

•

Jika dianggap perlu data dapat dikelompokkan. Kelompok data yang akan dibandingkan, diletakkan berdekatan.

•

Keterangan di bawah (foot note) dimuat untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel

•

Sumber data dicantumkan untuk mengetahui darimana data yang bersangkutan diperoleh, dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya.

Contoh : JUMLAH PELANGGAN DAN PEMAKAI INTERNET DI SAMARINDA TAHUN 2005 – 2009

Tahun

Pelanggan

Pemakai

Jumlah

2005

866

8.081

8.947

2006

1.087

11.226

12.313

2007

1.500

16.400

17.900

2008

1.709

20.001

21.710

2009

2.010

25.195

27.205

Sumber : Diskenminfo Samarinda


Page 11 of 64

1. 2 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram a. Diagaram batang Diagaram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang digunakan untuk menyajikan data diskrit. Contoh : Jumlah pemakai dan pelanggan internet Di Samarinda tahun 2005 – 2009 adalah sebagai berikut : Tahun

Pelanggan

Pemakai

Jumlah

2005

866

8.081

8.947

2006

1.087

11.226

12.313

2007

1.500

16.400

17.900

2008

1.709

20.001

21.710

2009

2.010

25.195

27.205

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda 30000

27.205

Jum lahh

25000

21.710

20000

17.900

15000 10000

12.313 8.947

5000 0

1 2005

2 2006

3 2007

4 2008

5 2009

Tahun

Jenis diagram Batang tegak Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

27.205

2009 21.710

Tahun

2008 17.900

2007 12.313

2006 1 2005

8.947 0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Jumlah

Jenis diagram Batang mendatar Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 12 of 64

b. Diagram Batang Daun Diagram batang digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Dalam diagram daun data yang terkumpul di urutkan terlebih dahulu dari data terkecil sampai data terbesar. Diagram batang daun terdiri atas dua bagian yaitu bagian batang dan bagian daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan. Contoh : Hasil ulangan matematika kelas X –H SMA Mawar adalah sebagai berikut : 32

75

39

46

56

63

89

38

92

58

54

44

69

93

64

51

81

64

88

45

41

69

56

60

74

72

48

78

78

77

57

74

64

64

72

84

75

86

52

66

49

87

37

Sajikan data di atas dalam bentuk diagram batang daun Penyelesaian Batang 9 8 7 6 5 4 3

Daun 23 146789 224455788 03444699 1246678 145689 2789

c. Diagram Piktogram Diagram lambang adalah penyajian data statistik dalam bentuk gambar-gambar dengan ukuran tertentu untuk menunjukkan nilai masing-masing data. Contoh Jumlah Siswa di Kota Bangun berdasarkan Tingkat Pendidikannya Tahun 2007 ditunjukkan pada tabel dibawah ini


Page 13 of 64

Tingkat Pendidikan

Jumlah Siswa 4.000 3.000 2.500 3.500

TK SD SLTP SLTA

Data di atas jika disajikan dalam diagram pitogram adalah.... Tingkat Pendidikan

Lambang

Jumlah 4.000 3.000 2.500 3.500

TK SD SLTP SLTA Keterangan :

= 500

d. Diagram Garis Diagram garis biasanya dipakai untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Misalnya data tentang produksi dari tahun ke tahun, nilai ekspor suatu jenis barang dari tahun ke tahun dan sebagainya. Contoh Data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 sebagai berikut : No

Bulan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober Nove,ber Desember Jumlah

Curah Hujan 290 580 230 320320 100 50 90 110 170 290 310 220 2.760

Sumber : Kantor BMG Stasiun Bandung


Page 14 of 64

Data diatas jika disajikan dalam diagram garis adalah 600

580

550 500 450 400 350 320

300

290

310

290

250

230

220

200 170

150 100

100

110

90

50

50 Desember

Nove,ber

Oktober

September

Agustus

Juli

Juni

Mei

April

Maret

Februari

Januari

0

e. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perbandingan. Diagram lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran besar sudut juring lingkaran sebanding dengan nilai data yang disajikan. Contoh : Pekerjaan dari 300 penduduk Desa Makmur pada tahun 2009 ditunjukkan dala tabel berikut : Pekerjaan

Frekwensi

Petani

90

Peternak

10

Pedagang

120

Guru

50

Karyawan

30

Jumlah

300


Page 15 of 64

Untuk dapat menyajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran maka kita harus mencari besar sudut juring dan persentase dari masing-masing jenis pekerjaan , caranya sebagai berikut. Pekerjaan

Frekwensi

Besar sudut pusat juribng 90 × 360o = 108o 300

90 × 100% = 30% 300

Presentase

Petani

90

Peternak

10

10 × 360o = 12o 300

10 × 100% = 3,33% 300

Pedagang

120

120 × 360o = 144o 300

120 × 100% = 40% 300

Guru

50

50 × 360o = 60o 300

50 × 100% = 16,67% 300

Karyawan

30

30 × 360o = 36o 300

30 × 100% = 10% 300

Jumlah

300

Diagaramnya adalah sebagai berikut

an aw ry Ka % 10

Guru 17%

Petani 30%

Pe ter nak 3%

Pedagang 40%


Page 16 of 64

2. Menyajikan data berkelompok 2. 1 Tabel Distribusi Frekuensi Untuk data yang berukuran besar (lebih dari 30 datum) maka lebih mudah jika kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel frekuensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian. Tabel distribusi frekuensi adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu.

a. Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut: 1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

R = datum terbesar – datum terkecil

2. Tentukan banyaknya kelas / kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu :

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya datum 3. Tentukan Interval Kelas

I=

R k

4. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah 5. Tentukan Tepi kelas

Tepi atas Kelas = Batas atas kelas + 0,5 Tepi bawah Kelas = Batas bawah kelas - 0,5


Page 17 of 64

Contoh Berikut ini merupakan nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda : 75

84

68

82

68

90

62

88

93

76

88

79

73

73

61

62

71

59

75

85

75

65

62

87

74

93

95

78

72

63

82

78

66

75

94

77

63

74

60

68

89

78

96

97

78

85

60

74

65

71

67

62

79

97

78

85

76

65

65

71

73

80

65

57

88

78

62

76

74

53

73

67

86

81

72

65

76

75

77

85

Data di atas dapat kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah : 1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R Datum terbesar = 97 Datum terkecil = 53 Sehingga R = datum terbesar – datum terkecil = 97 – 53 = 44 2. Tentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu : k = 1 + 3,3 log n k = 1 + 3,3 log 80 k = 1 + 3,3 (1,9031) (diambil dari kalkulator/table logaritma) k = 1 + 6,3 = 7,3 k≈ 7 2. Tentukan Interval Kelas

R k 44 I= 7 I = 6,3 diambil 7; karena jika diambil 6, ada data yang tidak masuk I=


Page 18 of 64

3. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah Batas bawah kelas = 52 Batas atas kelas = 58 Sehingga tabelnya adalah sebagai berikut

Kelas

Turus

52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 - 86 87 – 93 94 – 100 Jumlah

Batas Batas Frekuensi bawah atas 2 17 11 27 10 8 5 80

52 59 66 73 80 87 94

58 65 72 79 86 93 100

Tepi bawah kelas 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5

Tepi atas kelas 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

b. Frekuensi kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah distribusi yang menyatakan frekuensi total yang ada di bawah batas bawah tau frekuensi total yang ada di atas batas bawah suatu kelas. Distribusi kumulatif yang ada di bawah batas bawah disebut frekuensi

kumulatif kurang dari dan yang ada di atas atau sama dengan batas bawah disebut frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan. b. Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam persen.

2.2 Data dalam bentuk Diagram dan Grafik Maksud dan tujuan menyajikan data statistik dalam bentuk diagram maupun grafik adalah agar mudah memberikan informasi secara visual. Penyajian data dalam bentuk diagram atau grafik sangat efektif untuk menyebarkan informasi baik melalui surat kabar, majalah maupun laporan-laporan statistik. Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 19 of 64

1. Histogram Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya batang-batang berimpit. Untuk buat histogram yang diperhatikan adalah tepi kelas.

Contoh : Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas

Frekuensi

52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 - 86 87 – 93 94 – 100 Jumlah

2 17 11 27 10 8 5 80

Tepi bawah kelas 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5

Tepi atas kelas 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

30

25

20

15

10

5

0

51,5

58,5

65,5 72,5

1 79,5

86,5

93,5 100,5

2. Poligon Dari histogram jika titik-titik tengah pada batang dihubungkan dengan garis maka garis tersebut disebut poligon.


Page 20 of 64

Contoh Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas

Frekuensi

Tepi bawah kelas

Tepi atas kelas

Nilai tengah

52 – 58

2

51,5

58,5

59 – 65

17

58,5

65,5

66 – 72

11

65,5

72,5

73 – 79

27

72,5

79,5

80 - 86

10

79,5

86,5

87 – 93

8

86,5

93,5

94 – 100

5

93,5

100,5

Jumlah

80

52 + 58 = 55 2 59 + 65 = 62 2 66 + 72 = 69 2 73 + 79 = 76 2 80 + 86 = 83 2 87 + 93 = 90 2 94 + 100 = 97 2

30

25

20

15

10

5

0

55

62

69

76 1

83

90

97


Page 21 of 64

3. Ogive Jika garis diagram poligon frekuensi kumulatif dijadikan kurva mulus maka kurva tersebut disebut ogif. Ada 2 macam ogif yaitu : • Ogif positif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif kurang dari • Ogif negatif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif lebih dari Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dari menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas. Frekuensi kumulatif lebih dari (fkl) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas.

Contoh :

Kelas

Frekuensi

52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 - 86 87 – 93 94 – 100 Jumlah

2 17 11 27 10 8 5 80

Tepi bawah kelas 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5

Tepi atas kelas 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

Fkum kurang dari TA 2 19 30 57 67 75 80

Fkum lebih dari TB 80 78 61 50 23 13 5

Ogive Kurang Dari/Ogiv Positif 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 51,5

58,5

65,5

72,5

79,5

86,5

93,5

100,5


Page 22 of 64

Ogive Lebih Dari/ogive Negatif 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 51,5

58,5

65,5

72,5

79,5

86,5

93,5

100,5

F. TUGAS 1. Hasil Penjualan berbagai alat elektronik di toko ”Sinar” disajikan dalam diagram berikut : Kipas angin Setrika 10% 12% Kompor gas 18%

Dispenser 25%

Televisi 20%

Lemari Es 15%

Jika diketahui banyaknya kipas angin yang terjual ada 24 buah tentukan : a. banyaknya dispenser yang terjual b. banyaknya kompor gas yang terjual 2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda, siukur sampai sentimeter terdekat. 168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153, 154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166, 175, 158, 166, 164, 167, 159 Sajikan data diatas dalam bentuk Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 23 of 64

a. Tabel distribusi frekuensi data kelompok b. Histogram c. Ogive Positif

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala. Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara.. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga


Page 24 of 64


A. STANDAR KOMPETENSI Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR Menentukan ukuran Pemusatan Data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Manpu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (mean, median dan modus) 2. Manpu menentukan ukuran pemusatan data kelompok (mean, median dan modus)

D. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Menghitung nilai mean data tunggal 2. Menghitung rata-rata gabungan 3. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rumus 4. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rata-rata sementara 5. Menghitung nuilai median data tunggal 6. Menghitung nilai median data berkelompok dengan menggunakan rumus 7. Menghitung nilai modus data tunggal 8. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan rumus 9. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan histogram 10. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan ogive


Page 25 of 64

E. URAIAN MATERI

Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat dimana data cenderung berkumpul. Ada 3 ukuran pemusatan data yang biasa digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median dan modus.

A. Data Tunggal 1. Rata-rata Hitung (mean) Mean ( x ) adalah nilai rata-rata dari data. Mean paling sering dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Mean data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi dengan ukuran data tersebut. Misalkan kita memiliki data berukuran n dengan nilai-nilai x1, x2, ..., xn maka :

x1 + x 2 + .... + xn 1 x1 + x 2 + ...... + x n = n n

(

x =

)

sehingga, n

∑x x =

i

i =1

n

Jika data dalam bentuk tabel distribusi data tunggal berbobot maka rata-ratanya adalah adalah : k

∑ x. f x =

i

i =1

n


Page 26 of 64

Contoh 1. Rata-rata dari data 7, 6, 4, 5, 3, 8 9 adalah Penyelesaian

7+6+ 4+5+3+8+9 7 42 = 7 =6

x=

2. Jika data umur (dalam bulan) dari 10 kelinci disajikan dalam tabel di bawah, maka rata-rata umur kelinci adalah: Umur (bulan) 3 5 8 9 11 13 Total

Frekuensi 2 3 1 1 2 1 10

Penyelesaian x=

(3.2 + 5.3 + 8.1 + 9.1 + 11.2 + 13.1) 73 = = 7,3 10 10

3. Rata-rata dari 4 buah data adalah 5, jika data ditambah satu lagi maka rata-ratanya menjadi 5,5. Maka besar data penambah adalah Penyelesaian

Misalkan ke 4 data adalah a, b, c, d Data penambah adalah x Sehingga :


Page 27 of 64

a+b+c+d 4 a+b+c+d 5= 4 20 = a + b + c + d a+b+c+d + x x= 5 a+b+c+d + x 5,5 = 5 27,5 = 20 + x 27,5 − 20 = x x = 7,5 x=

4. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa sebanyak 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi…… Penyelesaian x=

∑x n

51 =

∑x

40 ∑ x = 2040

jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan maka perhitungannya menjadi

x=

∑ x − 90

n −1 2040 − 90 = 39 1950 = 39 = 50


Page 28 of 64

2. Median Median (Me) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagaian yang sama banyak. Median untuk data berukuran n dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut: •

Urutkan data dari datum terkecil sampai datum terbesar atau sebaliknya

•

Jika jumlah datum ganjil, median adalah nilai dari datum ke

•

Jika

jumlah

datum

genap,

maka

median

n +1 2

adalah

nilai

dari

 n n   datum ke   + datum ke  + 1  2 2   2 Contoh 1. Perhatikan data terurut berikut. Carilah mediannya. a. 11

13

13

14

15

16

19

20

20

b.

10

10

12

16

20

25

25

27

5

28

Penyelesaian

a. 11

13

13

14

15

16

19

20

20

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

n = 9 (ganjil) maka mediannya adalah  9 + 1 Me = datum ke   = datum ke 5 = x5 = 15  2 

b.

5

10

10

12

16

20

25

25

27

28

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

n = 10 (genap) maka nilai mediannya


Page 29 of 64

  10   10   datum ke   + datum ke  + 1  2 2   datum ke − 5 + datum ke − 6 Me = 2 16 + 20 Me = 2 Me = 18

Me =

1 2

2. Diketahui data terdiri dari 3 pengamatan mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan 10. Pengamatan yang terbesar adalah ….

Penyelesaian Dimisalkan ke 3 data tersebut setelah diurutkan adalah a, b, c

karena diketahui mediannya 15 maka nilai b = 15 jangkauan nya 10 berarti c – a = 10 ⇒ c = 10 + a sehingga

a+b+c 3 a+b+c 15 = 3 45 = a + 15 + 10 + a 45 = 2a + 25 2a = 20 a = 10 maka c = 10 + 10 c = 20 x=

Jadi ketiga data tersebut adalah 10, 15, 20

3. Median data di bawah adalah Nilai

6

7

8

9

Frekuensi

7

13

15

5


Page 30 of 64

Penyelesaian Dari tabel diketahui jumlah data adalah 7 + 13 + 15 + 5 = 40 Ternyata data genap, maka mediannya adalah

  40   40   datum ke   + datum ke  + 1   2  2  Me =  2 x 20 + x 21 Me = 2 Jadi mediannya terletak diantara datum ke-20 dan ke 21 Datum ke 20 adalah 7 dan datum ke 21 adalah 8, sehingga Me adalah

7+8 2 15 Me = 2 Me = 7,5 Me =

3. Modus Pada sebuah kelompok data, modus (Mo) adalah nilai yang paling sering muncul yaitu nilai-nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dalam satu kelompok data, modus tidak mungkin tunggal, pada kasus lain ada juga kelompok data yang tidak memiliki modus karena tiap datum memiliki frekuensi yang sama.

Contoh Modus dari data 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8. adalah…

Penyelesaian Datum 3 sebanyak 3 kali Datum 4 sebanyak 1 kali Datum 5 sebanyak 1 kali Datum 6 sebanyak 2 kali Datum 7 sebanyak 4 kali Datum 8 sebanyak 2 kali Sehingga modus data di atas adalah 7


Page 31 of 64

B. Data Kelompok 1. Mean/Rata-rata. Jika kita hanya mempunyai data berkelompok tanpa mengetahui detail setiap data dalam kelompok tersebut, maka mean ditentukan dari nilai titik tengah kelompokkelompok tersebut. Rataan ( x ) data berkelompok dihitung sebagai berikut : k

∑ x =

xi . f1

i =1 k

∑

f1

i =1

dengan xi adalah titik tengah kelas ke-i

selain cara diatas untuk menghitung rata-rata suatu databis menggunakan rumus ratarata sementara yakni : n

∑ f .d i

x = xs +

i

i =1 n

∑f

i

i =1

Dimana : •

x s = rata-rata sementara biasanya diambil pada nilai tengah pada kelas dengan frekuensi tertinggi.

•

di = simpangan (deviasi) yakni nilai tengah tiap-tiap kelas dikurang rata-

(

rata sementara ( xi − x s

)

Contoh Tentukan rata-rata hitung dari data berikut : Nilai 1 - 50 51 – 100 101 – 150 151 – 200 201 – 250 251 – 300

Frekuensi 4 7 10 16 30 13 Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 32 of 64

Penyelesaian

Nilai

Frekuensi

1 - 50

4

51 – 100

7

101 – 150

10

151 – 200

16

201 – 250

30

251 – 300

13

∑

80

xi 1 + 50 = 25,50 2 51 + 100 = 75,50 2 101 + 150 = 125,50 2 151 + 200 = 175,50 2 201 + 250 = 225,50 2 251 + 300 = 275,50 2

xi.fi 102 528,50

Dari

tabel

diketahui

1255 2808 6765 3581,5 15040

∑ f = 80 ∑ x . f = 15040 i

i

i

Maka rata-ratanya adalah

x=

∑x .f ∑x i

i

i

15040 80 x = 188 x=

Selain cara di atas rata-rata juga bisa kita tentukan dengan menggunakan rata-rata sementara yaitu :


Page 33 of 64

Jika rata-rata sementara diambil 225,5

Nilai

Frekuensi

1 - 50

4

51 – 100

7

101 – 150

10

151 – 200

16

201 – 250

30

251 – 300

13

∑

80

xi

1 + 50 = 25,50 2 51 + 100 = 75,50 2 101 + 150 = 125,50 2 151 + 200 = 175,50 2 201 + 250 = 225,50 2 251 + 300 = 275,50 2

di

fi.di

25,5 - 225,5 = - 200

- 800

75,5 – 225, 5 = - 150

- 1050

- 100

- 1000

- 50

- 800

0

0

50

650 - 3000

Maka :

 3000  x = 225,5 +  −   80  x = 225,5 − 37,5 x = 188

2. Median Data kelompok biasanya tersaji dalam bentuk daftar distribusi. Median untuk data berkelompok ditentukan oleh rumus berikut ini :

n   − f kum   Me = tb + i 2  f Me      Dimana : • tb = tepi bawah kelas median n • kelas median 2 • n = frekuensi/banyaknya data • i = interval kelas • fkum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median • fMe = frekuensi pada kelas median Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 34 of 64

Contoh Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut. Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 49

5

50 – 59

14

60 – 69

16

70 – 79

12

80 – 89

3

Penyelesaian Dari tabel dia atas diketahui •

n = 50 Berarti median terletak antara datum ke

50 50 = 25 dan datum ke + 1 = 26 . Kedua 2 2

datum terletak di kelas 60 – 69 •

tepi bawah kelas median adalah 60 – 0,5 = 59,5

•

fkum = 5 + 14 =19

•

fMe = 16

•

i = 50 – 40 = 10

maka :

n   − f kum   Me = tb + i 2  f Me       50  − 19    = 59,5 + 10 2  16      6 = 59,5 + 10   16  = 59,5 + 10(0,375) = 59,5 + 3,75 = 63,25 Jadi median adalah 63,25 Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 35 of 64

3. Modus Pada kasus distribusi frekuensi berkelompok, kelas yang paling tinggi frekuensinya disebut kelas modus. Nilai modus dapat ditentukan sesuai dengan rumus berikut :

 d1   Mo = tb + i d + d  1 2  Dimana : •

tb = tepi bawah kelas modus

•

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

•

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

•

i

= panjang kelas

Contoh 1. Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut :

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 49

5

50 – 59

14

60 – 69

16

70 – 79

12

80 – 89

3

Penyelesaian Diketahui : •

Kelas modusterletak pada kelas ke 3

•

tb =59,5

•

d1 = 16 – 14 = 2

•

d2 = 16 – 12 = 4

•

i = 50 – 40 = 10

maka : Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 36 of 64

 d1   Mo = tb + i  d1 + d 2   2  = 59,5 + 10  2+4 1 = 59,5 + 10   3 = 59,5 + 10(0,333) = 59,5 + 3,33 = 62,83 Jadi modusnya 62,83

2. Tentukanlah modus dari data yang dinyatakan dengan histogram seperti berikut ini

18 16 14 12 10 8 6 4 2

39,5

44,5

49,5

54,5

59,5

64,5

Penyelesaian Berdasarkan histogram diketahui

Kelas modus terletak pada kelas 49,5 – 54,5 Tepi bawah kelas 49,5 Panjang kelas 54,5 – 49,5 = 5 d1= 18 – 14 = 4 d2= 18 – 10 = 8 Sehingga :


Page 37 of 64

 4  Mo = 49,5 + 5   4+8 = 49,5 + 5(0,333) = 49,5 + 1,66 = 51,16 Jadi modusnya adalah 51,16 3. Tentukan mean, median dan modus dari ogive di bawah 45 40

40

38

35

34

30 27

25 20 16

15 10

8

5

4 1

0 25,5

30,5

35,5

40,5

45,5

50,5

55,5

60,5

65,5

70,5

Penyelesaian Data dari ogif negative kita sajikan dalam table berikut Nilai

Frekuensi

xi

xifi

31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 - 70 Jumlah

2 4 7 11 8 4 3 1 40

33 38 43 48 53 58 63 68 404

66 152 301 528 424 232 189 68 1960


Page 38 of 64

Mean 1960 40 x = 49 x=

Median n   − f kum   Me = tb + i 2  f Me       20 − 13  = 45,5 + 5   11  7 = 45,5 + 5   11  = 45,5 + 3,18 = 48,68

Modus  4  Mo = 45,5 + 5   4 +3 = 45,5 + 5(0,571) = 45,5 + 2,86 = 48,36

F. TUGAS 1. Data berikut menunjukkan hasil 20 pertandingan hoki dari suatu tim. Banyak gol

1

2

3

4

Jumlah pertandingan

10

7

2

1

Tentukan rata-rata banyak gol di setiap pertandingan!

2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3


Page 39 of 64

menit. Tentukan rata-rata lamanya waktu (dalam detik) yang dilakukan oleh seluruh sukarelawan tersebut!

3. Hitunglah mean dari data berikut ini ! a. 5, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 9 b. 12, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18

4. Hitunglah mean dari data berikut ini : Nilai

3

4

5

6

7

Frekuensi

2

3

5

4

1

5. Hitunglah mean dari data berikut ini !

Nilai

Frekuensi

50 – 52

5

53 – 55

18

56 – 58

42

59 – 61

27

62 – 64

8

6. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 64,5. Ternyata dua siswa ikut ulangan susulan. Setelah nilai kedua siswa itu digabung, rata-ratanya menjadi 65,1. Jika siswa pertama mendapat nilai 69, tentukan nilai yang diperoleh siswa kedua! 7. Tentukanlah median dari data berikut ini : 6, 8, 5, 2, 6, 4, 6, 7, 3, 5 8. Tentukan median dari data nilai ulangan bahasa Inggris sejumlah siswa berikut :

Nilai

Frekuensi

21 – 25

3

26 – 30

7

31 – 35

8

36 – 40

12

41 – 45

6

46 – 50

4

9. Perhatikan nilai ujian yang dinyatakan pada tabel berikut ini: Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 40 of 64

Nilai

56

59

60

63

67

71

86

91

Frekuensi

2

3

8

10

9

5

2

1

Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi

dari rata-rata

nilai ujian tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang lulus

10. Tentukan modus dari berikut berikut ini : 55 50

48

45

50

44

40 35

34

30 25 20

18

15 10 5

10 4

0

49,5

54,5

59,5

64,5

69,5

74,5

79,5

84,5

89,5

11. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 7,2. Jika nilai matematika Anggi ditambahkan maka rata-ratanya menjadi 7,3. Berapakah nilai Anggi 12. Kelas X- A siswanya berjumlah 40 orang, mempunyai X- B siswanya berjumlah

nilai rata-rata 63,15. Kelas

38 orang, mempunyai nilai rata-rata 68,62. Kelas X- C

siswanya berjumlah 39 orang, mempunyai nilai rata-rata 65,23. Tentukan nilai ratarata dari seluruh siswa tersebut 13. Rata-rata data di bawah adalah 6 maka nilai x Nilai

4

5

6

7

8

9

Frekuensi

5

x

12

8

3

2

14. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rataan hitung sumbangan setiap siswa seluruh kelompok tersebut.


Page 41 of 64

15. Perhatikan histogram di bawah 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

43

32

21

11 9 3 1

29,5

39,5

49,5

59,5 1 69,5

79,5

89,5

99,5

Dari data di atas tentukan a. Mean b. Median c. Modus

G.



Page 42 of 64

Kegiatan Pembelajaran 4 A. STANDAR KOMPETENSI Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR Menentukan ukuran penyebaran data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Menentukan ukuran letak data tunggal (Kuartil, Desil, dan Persentil) 2. Menentukan ukuran letak data berkelompok (Kuartil, Desil, dan Persentil) 3. Menentukan ukuran penyebaran data tunggal 4. Menentukan ukuran penyebaran data berkelompok

D. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Siswa mampu menentukan jangkauan data tunggal 2. Siswa mampu menentukan jangkauan data kelompok 3. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data tunggal 4. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data kelompok 5. Siswa mampu menghitung simpangan baku data tunggal 6. Siswa mampu menghitung simpangan baku data kelompok 7. Siswa mampu menghitung kuartil data tunggal 8. Siswa mampu menghitung kuartil data kelompok 9. Siswa mampu membedakan nilai kuartil suatu data 10. Siswa mampu menentukan desil data tunggal 11. Siswa mampu menentukan desil dari data kelompok’ 12. Siswa mampu menentukan jangkauan desil suatu data 13. Siswa mampu menentukan persentil data tunggal 14. Siswa mampu menghitung persentil data kelompok 15. Siswa mampu menentukan jangkauan persentil suatu data 16. Siswa mampu menentukan nilai angka baku suatu data 17. Siswa mampu menentukan nilai koefisien variasi suatu data 18. Siswa mampu menentukan nilai kemiringan suatu data Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 43 of 64

E. URAIAN MATERI

Ukuran Letak Dan Penyebaran Data A. UKURAN LETAK DATA Data Tunggal 1. Kuartil Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak pada data dengan banyaknya data n ≥ 4 . Kuartil dibagi menjadi 3 yakni : a. Kuartil pertama/bawah (Q1) Kuartil bawah (Q1) adalah membagi

1 bagian, untuk menentukan Q1 adalah 4

Letak Kuartil bawah (Q1 ) = Datum ke

n +1 4

b. Kuartil kedua/tengah (Q2) Kuartil tengah membagi data terurut menjadi

2 1 atau bagian, cara menentukan 4 2

adalah 2(n + 1)   • Datum ke 4 , jika n ganjil  n n  Kuartil tengah (Q2 )   2 datum ke + Datum ke + 1   2 2  , jika n genap •  4 c. Kuartil ketiga/atas (Q3) kuartil atas membagi data terurut menjadi

Kuartil atas (Q3 ) = datum ke

3 bagian, cara menentukan : 4

3(n + 1) 4

Langkah- langkah menentukan kuartil ke-i atau Qi terutama jika datanya genap adalah : •

Hitunglah

•

Jika

i (n + 1) 4

i (n + 1) = r , dimana r adalah bilangan bulat maka Qi = datum ke r ( xr ) 4 Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 44 of 64

•

i (n + 1) = r , dimana r bukan bilabgan bulat, dan Qi terletak pada datum ke r dan 4

Jika

r + 1 maka :

 i (n + 1)  Qi = datum ke − r +  − r (datum ke r + 1 − datum ke r )  4 

Contoh 1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) dan kuartil atas (Q3) dari data 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Penyelesaian

Kuartil bawah (Q1) Q1 pada datum ke

14 + 1 = 3,75 4

Q1 = datum ke − 3 + (3,75 − 3)(datum ke 4 − datum ke 3) = 4 + (0,75)(4 − 4) = 4 + (0,75)(0) =4 Jadi kuartil bawah (Q1) adalah 4

Kuartil tengah (Q2) Q2 terletak pada datum ke

14  14  +  + 1 2  2 

Q2 terletak diantara datum ke 7 dan 8, sehingga 7+7 2 =7

Q2 =

Jadi kuartil tengahnya Q2 adalah 7

Kuartil Atas (Q3) Q3 terletak pada datum ke

3(14 + 1) = 11,25 4


Page 45 of 64

Q3 = datum ke − 11 + (11,25 − 11)(datum ke 12 − datum ke 11) = 8 + (0,25)(9 − 8) = 8 + (0,25)(1) = 8,25 Jadi kuartil atasnya (Q3) adalah 8,25 2. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 Penyelesaian

Kuartil bawah Q1 terletak pada datum

7 +1 =2 4

Jadi kuartil bawahnya (Q1) adalah 4

Kuartil tengah Q2 terletak pada datum

7 +1 =4 2


Kuartil atas Q3 terletak pada datum

3(7 + 1) =6 4


2. Desil Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Untuk membagi data menjadi 10 bagian sama besar diperlukan sembilan sekat.

Misalkan

x1, x2, ..., xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan Di adalah hasil yang dicari, dengan i = 1, 2, ..., 9. Desil dirumuskan dengan

i (n + 1) 10 • i = 1, 2, 3, ..., 9 • n = ukuran data

Di = Datum ke −

Langkah- langkah menentukan desil ke-i atau Di adalah :


Page 46 of 64

•

Hitunglah

•

Jika

•

Jika

i (n + 1) 10

i (n + 1) = r , dimana r adalah bilangan bulat maka Di = datum ke r ( x r ) 10 i (n + 1) = r , dimana r bukan bilabgan bulat, dan Di terletak pada datum ke r dan 10

r + 1 maka :  i (n + 1)  Di = datum ke − r +  − r (datum ke r + 1 − datum ke r )  10 

3. Persentil Persentil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seratus bagian. Untuk data dengan banyaknya data n ≥ 100 maka ada 99 persentil. Persentil biasanya dilambangkan dengan P. Untuk membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar diperlukan sembilan puluh sembilan sekat. Untuk menentukan persentil maka urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Persentil di rumuskan : i (n + 1) 100 • i = 1, 2, 3, ..., 99

Pi = Datum ke −

• n = ukuran data Langkah menentukan persentil sama dengan menentukan letak kuartil dan desil

Contoh : Tentukan D1, D9, P10 dan P70 dari data

7 5 6 5 3 6 4 8 2 6 8 7

Penyelesaian Data di urutkan 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8

Desil ke-1 (D1) 1(12 + 1) 10 13 = datum ke 10 = datum ke 1,3

D1 = datum ke

Datum ke 1, 3 terletak antara datum ke 1 dan datum ke 2, dan r = 1 sehingga Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 47 of 64

D1 = 2 + (1,3 − 1)(3 − 2) D1 = 2 + 0,3(1) D1 = 2,3 Jadi desil ke-1 (D1) adalah 2,3

Desil ke-9 (D9) 9(12 + 1) 10 117 = datum ke 10 = datum ke 11,7

D9 = datum ke

Datum ke 11,7 terletak antara datum ke 11 dan datum ke 12, dan r = 11 sehingga D9 = 8 + (11,7 − 11)(8 − 8) D9 = 8 + 0,7(0) D9 = 8 Jadi desil ke-9 (D9) adalah 8

Persentil ke-10 (P10) 10(12 + 1) 100 130 = datum ke 100 = datum ke 1,3

P10 = datum ke

Datum ke 2,6 terletak antara datum ke 2 dan datum ke 3, dan r = 2 sehingga P10 = 2 + (1,3 − 1)(3 − 2 ) P10 = 2 + 0,3(1) P10 = 2,3

Persentil ke-70 (P70) 70(12 + 1) 100 910 = datum ke 100 = datum ke 9,1

P70 = datum ke

Datum ke 9,1 terletak antara datum ke 9 dan datum ke 10, dan r = 9 sehingga


Page 48 of 64

P70 = 7 + (9,1 − 9)(7 − 7 ) P70 = 7 + 0,1(0) P70 = 7

DATA BERKELOMPOK 1. Kuartil Menentukan kuartil pada data kelompok sama seperti menentukan median pada data kelompok. Kuartil pada data kelompok di rumuskan

 n   i  − f kum  4  Qi = tb + p     f Qi    

2. Desil Desil untuk data kelompok dapat dicari dengan rumus berikut :  n   i  − f kum  10  Di = tb + p     fQi    

3. Persentil Persentil dirumuskan :   n    i  − f kum  100   Pi = tb + p    f Pi    

Contoh : Berat badan dari 50 siswa ditunjukkan pada tabel di bawah Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

5 14 16 12 3 Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 49 of 64

Dari data di atas tentukan : a. Kuartil atas dan bawah b. Desil ke- 6 (D6 ) c. Persentil ke-20 (P20)

Penyelesaian a. Kuartil

Kelas Q1 adalah

50 = 12,5 maka Q1 terletak pada datum ke 12 dan datum ke 4

14 maka terletak pada kelas 50 – 59 sehingga  12,5 − 5  Q1 = 49,5 + 10   14  = 49,5 + 10(0,54) = 49,5 + 5,4 = 54,9

Jadi kuartil bawahnya adalah 54,9

Kelas Q3 adalah

3(50 ) = 37,5 maka Q3 terletak pada datum ke 37 dan datum 4

ke 38 maka terletak pada kelas 70 – 79 sehingga  37,5 − 35  Q3 = 69,5 + 10   12  = 69,5 + 10(0,18) = 69,5 + 1,8 = 71,3

Jadi kuartil atasnya adalah 71,3 b. Desil ke- 6 Kelas D6 adalah

6(50) = 30 10

maka D6 terletak pada datum ke 30 terletak pada

kelas 60 – 69 sehingga


Page 50 of 64

 30 − 19  D6 = 59,5 + 10   16  = 59,5 + 10(0,688) = 59,5 + 6,88 = 66,38

Jadi desil ke-6 adalah 66,38 c. Persentil ke-20 Kelas P20 adalah

20(50 ) = 10 maka P20 terletak pada datum ke 10 terletak pada 100

kelas 50 – 59 sehingga  10 − 5  P20 = 49,5 + 10   14  = 49,5 + 10(0,357 ) = 49,5 + 3,57 = 53,07

Jadi persentil ke- 20 adalah 53,07

B. UKURAN PENYEBARAN DATA Data Tunggal 1. Jangkauan Jangkauan = J = Nilai datum terbesar – nilai datum terkecil

2. Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. Simpangan rata-rata (SR) dirumuskan n

∑x SR =

i

−x

i =1

n

Dimana : • n = ukuran data/banyaknya data • x = rata-rata • xi = datum ke i Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 51 of 64

3. Ragam n

∑ (x S2 =

i

−x

)

2

i =1

n

4. Simpangan Baku n

∑ (x S = S2 =

i

−x

)

2

i =1

n

Contoh : Nilai ulangan susulan matematika adalah 5, 7, 10, 9, 7, 8, 8, 6, 8, maka tentukan a. Jangkauan b. Simpangan rata-rata c. Ragam d. Simpangan Baku Penyelesaian

a. Jangkauan = x max − x min = 10 − 5 =5

b. Simpangan rata-rata n

∑x SR =

i

−x

i =1

n 5 + 7 + 10 + 9 + 7 + 8 + 8 + 6 + 8 x= 9 68 = 9 = 7, 6

Sehingga simpangan rata-ratanya adalah


Page 52 of 64

5 − 7,6 + 7 − 7,6 + 10 − 7,6 + 9 − 7,6 + 7 − 7,6 + 8 − 7,6 + 8 − 7,6 + 6 − 7,6 + 8 − 7,6 9 2,6 + 0,6 + 2,4 + 1,4 + 0,6 + 0,4 + 0,4 + 1,6 + 0,4 = 9 10,4 = 9 = 1,16

SR =

c. Ragam n

∑ (x

i

S2 =

−x

)

2

i =1

n (5 − 7,6)2 + (7 − 7,6)2 + (10 − 7,6)2 + (9 − 7,6)2 + (7 − 7,6)2 + (8 − 7,6)2 + (8 − 7,6)2 + (6 − 7,6)2 + (8 − 7,6)2 = 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − 2,6 ) + (− 0,6 ) + (2,4 ) + (1,4 ) + (− 0,6 ) + (0,4 ) + (0,4 ) + (− 1,6) + (0,4 ) ( = 9 6,76 + 0,36 + 5,76 + 1,96 + 0,36 + 0,16 + 0,6 + 0,36 + 0,16 = 9 18,24 = 9 = 2,03

d. Simpangan baku S = S2 = 2,03 ≈ 1,42

5. Jangkauan Antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah Jangkauan antarkuartil (H ) = Q3 − Q1

6. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil adalah setengah dari hamparan Qd =

H (Q3 − Q1 ) = 2 2


Page 53 of 64

7. Langkah Satu langkah (L) sama dengan satu setengah kali hamparan 1 1 L = 1 H = 1 (Q3 − Q1 ) 2 2

8. Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama. Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga. • Pagar Dalam = Q1 − L • Pagar Luar = Q3 + L

Contoh : Diketahui data terurut dari banyak novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut : 4, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 18. Tentukan a. Jangkauan antarkuartil b. Simpangan kuartil c. Langkah d. Pagar luar dan pagar dalam

Penyelesaian

a. Jangkauan antarkuartil

n +1 , 4 8 +1 = Datum ke 4 = Datum ke 2,25

• Q1 = Datum ke

Q1 = 6 + (2,25 − 2)(7 − 6) Q1 = 6,25


Page 54 of 64

3(8 + 1) 4 27 = datum ke 4 = 6,75

• Q3 = datum ke

Q3 = 12 + (6,75 − 6)(13 − 12) Q3 = 12,75 Sehingga jangkauan antarkuartil

H = Q3 − Q1 = 12,75 − 6,25 = 6,5 b. Simpangan kuartil H 2 6,5 = 2 = 3,25

Qd =

c. Langkah 3 H 2 3 = (6,5) 2 = 9,75

L =

d. Pagar • Pagar luar = Q1 − L = 6,25 − 9,75 = −3,5 • Pagar dalam = Q3 + L = 12,75 + 9,75 = 22,5


Page 55 of 64

Data Kelompok 1. Jangkauan Jangkauan = J = Nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama

2. Simpangan rata-rata n

∑f SR =

xi − x

i

i =1

n

Dengan : n = ukuran data xi = nilai tengah kelas ke i fi = Frekuensi kelas ke i x = rata-rata

3. Ragam n

∑ f (x i

S2 =

−x

i

)

2

i =1

n

4. Simpangan Baku n

∑ f (x i

S=

i

−x

)

2

i =1

n

Contoh Soal Perhatikan data tinggi badan berikut : Nilai

Frekuensi

141 – 147 148 – 154 155 – 161 162 – 168 169 – 175 176 – 182 183 – 189

2 7 12 10 9 7 3


Page 56 of 64

Dari data di atas tentukan : a. Jangkauan b. simpangan rata-rata c. Ragam d. Simpangan baku Penyelesaian Titik Tengah (xi) 144 151 158 165 172 179 186

Nilai 141 – 147 148 – 154 155 – 161 162 – 168 169 – 175 176 – 182 183 – 189

x=

Frekuensi (fi)

xi . fi

2 7 12 10 9 7 3 50

288 1.057 1.896 1.650 1.548 1.253 558 8250

xi − x -21 -14 -7 0 7 14 21

(

f i xi − x

(x − x )

f i xi − x

42 98 84 0 63 98 63 448

441 196 49 0 49 196 441 1372

882 1.372 588 0 441 1.372 1.323 5978

2

i

∑fx ∑f

i i i

8250 50 = 165 =

a. Jangkauan J = 186 – 144 = 42 b. Simpangan rata-rata n

∑f SR =

i

xi − x

i =1

n

448 50 = 8,96 =


)

2

Page 57 of 64

c. Ragam n

∑ f (x i

S2 =

i

−x

)

2

i =1

n

5978 50 = 119,56 =

d. Simpangan baku

S = 119,56 = 10,9

Rataan Kuartil Rataan kuartil (RK) dirumuskan RK =

(Q1 + Q3 ) 2

Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan Rt =

(Q1 + 2Q2 + Q3 ) 4

Angka Baku •

Nilai standar atau angka baku (z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya.

•

Angka baku digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih di dalam kelompoknya masing-masing.

•

Angka baku dilambangkan dengan z-score yang dirumuskan sebagai berikut :

z=

x−x S


Page 58 of 64

Contoh Nilai ujian matematika Delon adalah 85, rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76 dan simpangan baku 9. Sedangkan nilai ujian pelajaran Fisika adalah 90 dengan rata-rata kelas 80 dan simpangan bakunya 15. Dalam pelajaran manakah pelajaran Delon lebih baik? Penyelesaian Untuk pelajaran matematika : x = 85, x = 76 dan S = 9 dan Untuk pelajaran Fisika : x = 90, x = 80 dan S = 15 x−x S Untuk nilai matematika

z= •

85 − 76 9 9 zm = 9 zm = 1 zm =

•

Untuk nilai Fisika 90 − 80 15 10 zF = 15 zF = 0,67 zF =

Jadi kedudukan nilai matematika Delon lebih baik dari pada nilai Fisika-nya.

Koefisien Variasi Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data dalam suatu kelompok. •

Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan data-data tersebut homogen

•

Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin besar menunjukkan data-data tersebut semakin beragam (heterogen) Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 59 of 64

•

Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut : KV =

S × 100% x

Contoh Dari hasil tes matematika di suatu kelas diketahui bahwa : Pada sub kompetensi geometri : rata-ratanya 76 dengan simpangan baku 9 dan pada sub kompetensi statistika : rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 15, maka

pada sub

kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam? Penyelesaian •

Untuk geometri S × 100% x 9 = × 100% 76 = 11,8%

KV =

•

Untuk statistika S × 100% x 15 = × 100% 80 = 18,75%

KV =

Jadi, nilai statistika lebih bervariasi dibandingan dengan geometri.

Ukuran Kemiringan Ukuran kemiringan disebut juga kecondongan. Ukuran kemiringan suatu distribusi frekuensi dapat menunjukkan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-rata hitungnya bersifat simetris atau tidak. Ada 3 macam bentuk kurva berdasarkan kemiringannya : 1. Simetris yaitu nilai-nilai data tersebar secara merata di sebelah kiri dan sebelah kanan dari nilai rata-ratanya.


Page 60 of 64

a) Bentuk simetris tidak mempunyai ukuran kemiringan atau ukuran kemiringannya sama dengan 0 b) Nilai mean = median = modus 2. Positif dengan kurva condong ke kanan a) Ukuran kemiringannya bernilai positif b) Modus < median < mean 3. Negatif dengan kurva condong ke kiri a) Ukuran kemiringannya bernilai negatif b) Modus > median > mean

Koefisien Kemiringan Koefisien kemiringan selalu brnilai antara -1 dan 1. Kemiringan distribusi frekuensi dapat kita tentukan dengan menghitung nilai koefisien kemiringannya. a.

Koefisien kemiringan pertama dari Karl Pearson (KP1)

KP1 =

x − Mo S

b. Koefisien kemiringan kedua dari Karl Pearson (KP2) KP2 =

c.

(

3 x − Mo S

)

Koefisien kemiringan dari Al Bawley (KB)

KB =

Q3 − 2Q2 + Q1 Q3 − Q1

d. Koefisien kemiringan dari Kelly (KY)

KB =

P90 − 2 P10 + Q10 P90 − P10

Contoh Kuartil dari sekelompok data yaitu : Q1, Q2, Q3 berturut-turut adalah 30, 42, dan 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 61 of 64

Penyelesaian

KB =

Q3 − 2Q2 + Q1 Q3 − Q1

50 − 2(42 ) + 30 50 − 30 −4 = 20 = −0,2 =

Karena KB = - 0,2 < 0 maka kurva condong ke kiri (kemiringan negatif)

Ukuran Keruncingan Ukuran keruncingan adalah suatu ukuran yang digunakan untuk menentukan runcing atau tidaknya suatu kurva distribusi frekuensi sehingga dapat diketahui apakah kumpulan data terkonsentrasi di sekitar mean atau menyebar. Ada tiga bentuk kurva distribusi frekuensi yaitu 1. Pliatikurtis yaitu kurva yang bentuknya agak mendatar atau lebih tumpul. Kurva ini menunjukkan nilai data-datanya lebih menyebar 2. Mesokurtis yaitu kurva dengan keruncingan sedang dan simetris sehingga dianggap menggambarkan distribusi normal 3. Leptokurtis yaitu kurva yang bentuknya sangat runcing. Kurva ini menunjukkan nilai data-datanya terpusat atau terkonsentrasi di sekitar nilai rata-ratanya. Ukuran keruncingan disebut dengan koefisien kurtosis yaitu dengan rumus :

α=

Qd Q − Q1 = 3 P90 − P10 P90 − P10

F. TUGAS 1. Diketahui data sebagai berikut : Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 62 of 64

155 172

186 162 168 196 153

186 163

170 210

160 201 185

175 168 180 194

Tentukan : a. Jangkauan b. Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas c. Hamparan d. Simpangan kuartil 2. Diketahui data sebagai berikut :

Nilai

Frekuensi

41 – 50

19

51 – 60

11

61 – 70

18

71 – 80

22

81 – 90

20

91 – 100

10

Dari data di atas tentrukanlah, Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas, hamparan serta Simpangan kuartil 3. Tentukan D9, D1, dan jangkauan desil dari data berikut ini : 6, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 10, 12, 11, 11, 7, 7, 10, 12, 13 4. Tentukan desil ke 3 dari data berikut ini :

Berat

Frekuensi

51 – 55

4

56 – 60

16

61 – 65

15

66 – 70

35

71 – 75

22

76 - 80

8

5. Tentukan P10, P50 dan P90 dari data berikut ini : 2, 4, 5, 2, 6, 5, 7, 8, 5, 9, 6, 4, 10, 9, 7 Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 63 of 64

6. Tentukan jangkauan persentil dari data berikut ini : Nilai 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 - 50

Frekuensi 6 4 6 8 4 2

7. Berat badan Arif 85 kg. Jika berat rata-rata seluruh siswa dalam kelas 79 kg dan simpangan bakunya 0,05, maka berapakah angka baku untuk berat badan arif? 8. Mean dari sekelompok data adalah 75. Jika sebuah data yang besarnya 72 mempunyai angka baku -0,25, tentukan simpangan bakunya? 9. Diketahui data berikut ini : Data A : 16

35

48

57

66

70

79

Data B : 42

45

50

53

58

63

67

Data C : 13

40

54

60

65

75

78

Tentukan nilai koefisien variasi ketiga data, dan data manakah yang paling seragam? 10. Distribusi frekuensi dari nilai ulangan matematika kelas 3 mempunyai rata-rata = 75, modus = 67 dan simpangan standar = 12,5. Tentukanlah koefisien kemiringan kurva tersebut. 11. Tentukanlah simpangan rata-rata, ragam, simpangan baku, dan koefisien variasi dari data berikut ini : 6 4 8 2 10 12. Tentukanlah simpangan kuartil, jangkauan desil dan P30 dari data berikut 4 5 4 5 3 4 6 7 4 8 13. Diketahui tabel berikut ini : Nilai

Frekuensi

11 – 15

1

16 – 20

4

21 – 25

8

26 – 30

10

31 – 35

9


Page 64 of 64

36 – 40

6

41 - 45

2

Tentukanlah : a.

Simpangan baku

b.

Simpangan kuartil

c.

Jangkauan persentil

14. Rata-rata tinggi badan siswa pria di kelas XI A adalah 163 cm dengan simpangan baku 6. Jika angka baku untuk tinggi Erwin adalah -0,5 maka tentukanlah tinggi badan Erwin. 15. Berikut adalah data berat badan 100 orang karyawan pabrik konveksi ” MAJU ” :

Berat badan (kg)

Frekuensi

60 – 62

5

63 – 65

18

66 – 68

42

69 – 71

27

72 – 74

8

Total

100

Tentukanlah koefisien kemiringan dengan rumus kedua Karl Pearson (KP2)

G.

