NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 12

WISKUNDE V1 FEBRUARIE/MAART 2011

PUNTE: 150 TYD: 3 uur

Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye, 3 diagramvelle en 1 inligtingsblad.

Kopiereg voorbehou

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

2 NSS

DBE/Feb.– Mrt. 2011

INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat die vrae beantwoord word. 1.

Hierdie vraestel bestaan uit 12 vrae.

2.

Beantwoord AL die vrae.

3.

Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy in die bepaling van jou antwoorde gebruik het, duidelik aan.

4.

Volpunte sal nie noodwendig aan antwoorde alleen toegeken word nie.

5.

Jy mag 'n goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en niegrafies) gebruik, tensy anders vermeld.

6.

Rond antwoorde, indien nodig, tot TWEE desimale plekke af, tensy anders vermeld.

7.

Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken NIE.

8.

DRIE diagramvelle vir die beantwoording van VRAAG 5.3, VRAAG 10.4 en VRAAG 12.2 is aan die einde van hierdie vraestel aangeheg. Skryf jou sentrumnommer en eksamennommer op hierdie bladsye in die ruimtes voorsien en plaas die bladsye agterin jou ANTWOORDEBOEK.

9.

'n Inligtingsblad, met formules, is aan die einde van die vraestel ingesluit.

10.

Nommer die antwoorde korrek volgens die nommeringstelsel wat in hierdie vraestel gebruik is.

11.

Skryf leesbaar en bied jou werk netjies aan.

Kopiereg voorbehou

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

3 NSS


VRAAG 1 1.1

1.2

Los op vir x, korrek tot TWEE desimale plekke, waar nodig: 1.1.1

x( x − 1) = 12

(3)

1.1.2

2 x 2 + 3x − 7 = 0

(4)

1.1.3

7 x 2 + 18 x − 9 > 0

(4)

Los vir x en y gelyktydig op: 2x − y = 7

x 2 + xy = 21 − y 2 1.3

(7)

Vereenvoudig volledig, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:  5 

35 + 3  5 

35 − 3  

(3) [21]

VRAAG 2 Die ry 3 ; 9 ; 17 ; 27 ; … is 'n kwadratiese ry. 2.1

Skryf die volgende term neer.

(1)

2.2

Bepaal 'n uitdrukking vir die n de term van die ry.

(4)

2.3

Wat is die waarde van die eerste term van die ry wat groter as 269 is?

(4) [9]

VRAAG 3 3.1

3.2

8

. Bewys, sonder 2 die gebruik van 'n sakrekenaar, dat die som van die reeks tot oneindigheid 16 + 8 2 is. Die eerste twee terme van 'n oneindige meetkundige ry is 8 en

(4)

Die volgende meetkundige reeks word gegee: x = 5 + 15 + 45 + … tot 20 terme. 3.2.1

Skryf die reeks in sigma-notasie.

(2)

3.2.2

Bereken die waarde van x.

(3) [9]

Kopiereg voorbehou

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

4 NSS


VRAAG 4 4.1

4.2

Die som tot n-terme van 'n ry getalle word gegee as: S n =

n (5n + 9) 2

4.1.1

Bereken die som tot 23 terme van die ry.

(2)

4.1.2

Bereken vervolgens die 23 ste term van die ry.

(3)

Die eerste twee terme van 'n meetkundige ry en 'n rekenkundige ry is dieselfde. Die eerste term is 12. Die som van die eerste drie terme van die meetkundige ry is 3 meer as die som van die eerste drie terme van die rekenkundige ry. Bepaal TWEE moontlike waardes vir die gemene verhouding, r, van die meetkundige ry.

(6) [11]

VRAAG 5 Oorweeg die funksie f ( x) =

3 −2. x −1

5.1

Skryf die vergelykings van die asimptote van f neer.

(2)

5.2

Bereken die afsnitte van die grafiek van f met die asse.

(3)

5.3

Teken die grafiek van f op DIAGRAMVEL 1.

(3)

5.4

Skryf die waardeversameling (terrein) van y = − f(x) neer.

(1)

5.5

Beskryf, in woorde, die transformasie van f na g as g ( x ) =

Kopiereg voorbehou

−3 − 2. x +1

(2) [11]

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

5 NSS


VRAAG 6 'n Parabool f sny die x-as by B en C en die y-as by E. Die as van simmetrie van die parabool x 7 se vergelyking is x = 3 . Die lyn deur E en C se vergelyking is g ( x) = − . 2 2

y

x

B

O

3

C g

E

f

6.1

Toon dat die koördinate van C (7 ; 0) is.

(1)

6.2

Bereken die x-koördinaat van B.

(1)

6.3

Bepaal die vergelyking van f in die vorm y = a( x − p) 2 + q .

(6)

6.4

Skryf die vergelyking van die grafiek van h, die refleksie van f in die x-as, neer.

(1)

6.5

Skryf die maksimum waarde van t(x) as t(x) = 1 – f(x).

(2)

6.6

Los op vir x as f (x 2 − 2) = 0.

(4) [15]

Kopiereg voorbehou

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

6 NSS


VRAAG 7 x 1 Oorweeg die funksie f ( x) =   . 3

7.1

Is f 'n stygende of dalende funksie? Gee 'n rede vir jou antwoord.

7.2

Bepaal f

7.3

Skryf die vergelyking van die asimptoot van f(x) – 5 neer.

(1)

7.4

Beskryf die transformasie van f na g as g ( x) = log 3 x .

(2) [7]

−1

(2) (2)

( x) in die vorm y = …

VRAAG 8 8.1

8.2

R1 430,77 is belê in 'n fonds wat i% p.j. maandeliks saamgestel, betaal. Na 18 maande het die fonds 'n waarde van R1 711,41 gehad. Bereken i.

(4)

'n Vader het besluit om 'n huis van R800 000 vir sy gesin te koop. Hy stem in om maandelikse paaiemente van R10 000 op 'n lening, wat 'n rentekoers van 14% p.j. maandeliks saamgestel vra, te betaal. Die eerste paaiement is aan die einde van die eerste maand gemaak. 8.2.1

Toon dat die lening in 234 maande klaar betaal sal wees.

(4)

8.2.2

Veronderstel onverwagte uitgawes duik op en die vader kon nie enige paaiemente aan die einde van die 120ste, 121ste, 122ste en 123ste maande betaal nie. Aan die einde van die 124ste maand, het hy sy betaling vermeerder sodat hy nog steeds die lening in 234 maande kon klaar betaal, deur 111 gelyke maandelikse paaiemente. Bereken die waarde van hierdie nuwe paaiement.

(7) [15]

VRAAG 9 9.1

Gebruik die definisie om f ( x) = 1 − 3x 2 te differensieer. (Gebruik eerste beginsels.)

(4)

9.2

4 1  Bereken D x 4 − 3 − 4  . x x  

(3)

9.3

Bepaal

Kopiereg voorbehou

dy dx

(

)2

as y = 1 + x .

(3) [10]

Blaai om asseblief

Wiskunde/V1

7 NSS


VRAAG 10 Gegee: g ( x) = ( x − 6)( x − 3)( x + 2) 10.1

Bereken die y-afsnit van g.

(1)

10.2

Skryf die x-afsnitte van g neer.

(2)

10.3

Bepaal die draaipunte van g.

(6)

10.4

Teken die grafiek van g op DIAGRAMVEL 2.

(4)

10.5

Vir watter waardes van x is g(x) . g / (x) < 0 ?

(3) [16]

VRAAG 11 'n Boer het 'n stuk grond in die vorm van 'n reghoekige driehoek OMN, soos in die diagram hieronder aangedui. Hy ken 'n reghoekige stuk grond PTOR toe aan sy dogter en laat dit aan haar oor om P enige plek langs die grenslyn MN te kies. Laat OM = a, ON = b en laat P(x ; y) enige punt op MN wees. y

N (0 ; b)

T

P(x ; y) x

O

R

M (a ; 0)

11.1

Bepaal 'n vergelyking van MN in terme van a en b.

11.2

Bewys dat die dogter se grond 'n maksimum area sal hê as sy P by die middelpunt van MN kies.

Kopiereg voorbehou

(2)

Blaai om asseblief

(6) [8]

Wiskunde/V1

8 NSS


VRAAG 12 Tydens voorbereiding vir die 2010 Wêreldbeker-sokkertoernooi, het 'n groep beleggers besluit om 'n gastehuis te bou met enkel- en dubbelslaapkamers om aan besoekers te verhuur. Hulle het die volgende beperkings vir die gastehuis daargestel: • • • •

Daar moet ten minste een enkelslaapkamer wees. Hulle beoog om ten minste 10 slaapkamers altesaam te bou, maar nie meer as 15 nie. Verder moet die getal dubbelslaapkamers ten minste twee keer die getal enkelslaapkamers wees. Daar moet nie meer as 12 dubbelslaapkamers te wees nie.

Laat die getal enkelslaapkamers x en die getal dubbelslaapkamers y wees. 12.1

Skryf die beperkings as 'n stelsel van ongelykhede neer.

(6)

12.2

Stel die stelsel van ongelykhede voor op die grafiekpapier wat op DIAGRAMVEL 3 voorsien word. Dui die gangbare gebied met skakering aan.

(7)

Kan die gastehuis, volgens hierdie beperkings, 8 dubbelslaapkamers hê? Motiveer jou antwoord.

(2)

12.3

12.4

5

enkelslaapkamers

en

Die huurkoste vir 'n enkelslaapkamer is R600 per nag en vir 'n dubbelslaapkamer R900 per nag. Hoeveel van elke tipe slaapkamer moet die kontrakteurs bou sodat die gastehuis die grootste inkomste per nag kan genereer? Gebruik 'n soeklyn om jou antwoord te bepaal en aanvaar dat al die slaapkamers in die gastehuis bespreek is. (3) [18] TOTAAL:

Kopiereg voorbehou

150

Wiskunde/V1

DBE/Feb.– Mrt. 2011 NSS

SENTRUMNOMMER: EKSAMENNOMMER: DIAGRAMVEL 1 VRAAG 5.3

4

y

3 2 1 -7

-6

-5

-4

-3

-2

O

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Kopiereg voorbehou

x 1

2

3

4

5

6

7

Wiskunde/V1


SENTRUMNOMMER: EKSAMENNOMMER: DIAGRAMVEL 2 VRAAG 10.4

y 30

20

10

x -3

-2

O

-1 -10

-20

-30

Kopiereg voorbehou

1

2

3

4

5

6

7

Wiskunde/V1


SENTRUMNOMMER: EKSAMENNOMMER: DIAGRAMVEL 3 VRAAG 12.2 y 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x

0

1

2

3

Kopiereg voorbehou

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Wiskunde/V1


INLIGTINGSBLAD: WISKUNDE

− b ± b 2 − 4ac x= 2a A = P (1 + ni )

A = P (1 − ni )

n

n

∑1 = n

∑i =

i =1

i =1

n(n + 1) 2

Tn = ar n −1

F=

Sn =

[

]

(

x (1 + i ) − 1 i n

)

a r n −1 r −1 P=

A = P(1 − i ) n

A = P(1 + i ) n

Tn = a + (n − 1)d

Sn =

;

S∞ =

r ≠1

n (2a + (n − 1)d ) 2

a ; −1 < r < 1 1− r

x[1 − (1 + i )− n ] i

f ( x + h) − f ( x ) h h→ 0

f ' ( x) = lim

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

y = mx + c

y − y1 = m( x − x1 )

( x − a )2 + ( y − b )2 In ∆ABC:

 x + x2 y1 + y 2   ; M  1 2   2 m=

y 2 − y1 x 2 − x1

m = tan θ

= r2

a b c = = sin A sin B sin C area ∆ABC =

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos A

1 ab. sin C 2

sin (α + β ) = sin α . cos β + cos α . sin β

sin (α − β ) = sin α . cos β − cos α . sin β

cos(α + β ) = cos α . cos β − sin α . sin β

cos(α − β ) = cos α . cos β + sin α . sin β

cos 2 α − sin 2 α  cos 2α = 1 − 2 sin 2 α 2 cos 2 α − 1 

sin 2α = 2 sin α . cos α

( x ; y ) → ( x cos θ + y sin θ ; y cos θ − x sin θ )

( x ; y ) → ( x cos θ − y sin θ ; y cos θ + x sin θ ) 2

n

∑ fx x= n

P( A) =

n( A) n(S )

yˆ = a + bx

Kopiereg voorbehou

σ = 2

∑ (x − x ) i =1

i

n

P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)

b=

∑ (x − x )( y − y ) ∑ (x − x) 2