Notas de Aula de Geometria Descritiva - sergioviana.com.br

Geometria Descritiva Prof. Sérgio Viana

Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter um conhecimento básico de Geometria Descritiva, Descritiva para um posterior estudo mais profundo.

Geometria Descritiva - Prof. Sérgio Viana

GEOMETRIA DESCRITIVA

Ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até as três t ê dimensões, di õ capazes d de ser utilizadas tili d nas iindústrias dú t i e nas artes. t Projeção : Figura geométrica obtida pela incidência sobre um plano de perpendiculares tiradas dos extremos da linha ou objeto que se quer representar. Classificação das Projeções Projeção Ortogonal – cilíndrica fig 2 A e 3 A; j ç Obliqua q – cilíndrica fig. g 2B e 3 B ou cônica fig. g 1. Projeção



Projeção Cilíndrica Fig.. 1 - A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura. Fig.. 2 - Quando a figura é oblíqua ao plano, haverá uma acentuada modificação em sua imagem projetada. Fig.. g 3 - A figura g ép perpendicular p ao p plano. Sua p projeção j ç se reduz a um segmento. g


Projeção Cônica A projeção cônica transforma um par de pontos em outro par, dando origem a triângulos semelhantes que tem um vértice é i comum ( P )).

Projeção Cônica Direta Dependendo da origem dos elementos, pólo, figura e plano, a projeção será semelhante à figura objetiva ( ampliada ou reduzida ), ou mesmo reduzida a um ponto, portanto nula. Fig.. 4 - Pólo, figura, plano - projeção ampliada. Fig.. 5 - Pólo, plano, figura - projeção reduzida. Fig.. 6 - Figura, pólo ( coincidentes com o plano ) - projeção inversa


Projeção Cônica - Inversa Fig 7 - Pólo eqüidistantes da fig Fig.. figura ra e plano - projeção ig igual al à fig figura. ra Fig.. 8 - Pólo mais próximo da figura - projeção ampliada. Fig.. 9 - Pólo mais próximo do plano - projeção reduzida.


Projetividade j Na figura abaixo temos a perspectiva de um objeto no espaço e suas projeções ortogonais sobre dois planos de projeção

(π’)

e

(π).

O

símbolo

que

representa o plano vertical de projeção é (π’)) e o símbolo que representa o plano (π horizontal de projeção é (π). Na interseção dos dois planos temos a linha de terra, que é representada por LT. Todo

ponto

a

ser

projetado

é

representado por uma letra maiúscula entre parênteses. Exemplo (A)


A projeção de um ponto (A) no plano (π’) é representada por A’ e a sua projeção no plano (π) será A. D iedros O s planos de projeção (π’) e (π) dividem o espaço em quatro diedros e a linha de terra divide cada plano de projeção em dois sem iplanos. S pH A – S em iplano horizontal anterior; S pH P – S em iplano horizontal posterior; S pV S – S em iplano vertical superior; S pV I – Sem iplano vertical inferior. A região do espaço lim itada pelos S pH A e S pV S denom ina-se prim eiro diedro, a lim itada pelas S pVS e SpH P segundo diedro, a lim itada pelos S pH P e diedro S pV I terceiro diedro e a lim itada pelas S pVI e S pH A quarto diedro.


Épura O francês Gaspard p Monge g foi o criador da Geometria Descritiva e idealizou um modo de mostrar as projeções denominada Épura.

figura 1

figura 2


Não se pode medir com régua e compasso as distâncias A’(A) e A(A) porque são desenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir di tâ i sobre distâncias b o plano. l A Ao girarmos i um plano l sobre b o outro, t em ttorno d da lilinha h de terra, temos o semiplano horizontal posterior (SpHP) coincidindo com o semiplano vertical superior (SpVS). Teremos também a coincidência

do

semiplano

horizontal

anterior

(SpHA)

coincidindo com o semiplano vertical inferior (SpVI) conforme figura 3 abaixo abaixo.

figura 3


As projeções verticais e horizontais de um ponto qualquer determ inam um a linha perpendicular à linha de terra que cham am os de linha de cham ada conform e g abaixo. a figura


Estudo do ponto Na figura abaixo temos as três coordenadas de um ponto (A).


P o s iç ã o d o p o n to

A fa s ta m e n to

C o ta

1 º D ie d ro

p o s itiv o

p o s itiv a

2 º D ie d ro

n e g a tiv o

p o s itiv a

3 º D ie d ro

n e g a tiv o

n e g a tiv a

4 º D ie d ro

p o s itiv o

n e g a tiv a

SpHA

p o s itiv o

n u la

SpVS

n u lo

p o s itiv a

SpHP

n e g a tiv o

n u la

SpVI

n u lo

n e g a tiv a

L T

n u lo

n u lo

A s c o o rd e n a d a s d e u m p o n to sã o se m p re d a d o s n a o rd e m (x ;y ;z), o n d e x é a a b scissa; y o a fa sta m e n to e z a c o ta .


Exemplo: 1. O ponto (A) no espaço onde (A) = (1;3;2) ou (A) = (x;y;z)


R e b a tim e n to


1. E m épura, a abscissa x de um ponto é m arcado sobre a linha de terra, a partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na épura da seguinte form a, conform e a figura abaixo.


P la n o B is s e to r O p la n o q u e d iv id e u m d ie d ro e m d u a s p a rte s ig u a is c h a m a -s e p la n o b is s e to r. r O s ím b o lo (β i) o u (β 1 3 ) s ig n ific a p la n o b is s e to r ím p a r e (β p ) o u (β 2 4 ) s ig n ific a p la n o b is s e to r p a r.


Estudo da Reta Dois p pontos distintos determinam uma reta. A reta é representada p por uma letra minúscula entre parênteses (r). E r’ representa a projeção de uma reta (r) no plano (π’) e r representa a projeção de uma reta (r) no plano ( ) (π).


Tipos de Retas Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano horizontal sua projeção vertical é paralela à linha de terra.


Reta Frontal é toda reta paralela ao plano vertical. Quando a reta é paralela ao plano vertical sua projeção horizontal é paralela á linha de terra.


Reta Paralela à linha de terra é toda reta paralela à linha de terra e paralela ao plano vertical e ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano plano horizontal suas p projeções j ç são p paralelas à linha de terra. vertical e ao p


Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano horizontal. A sua projeção horizontal é um ponto e sua projeção vertical é uma reta vertical r’.


Reta de Topo é toda reta perpendicular ao plano vertical. A sua projeção horizontal é uma reta vertical e sua projeção vertical é um ponto.

O rebatimento de uma Reta de perfil será estudado mais adiante.


T Traços de d uma Reta R t Traços de uma reta são os pontos onde a reta fura os planos de projeção.

(v) – Traço Vertical


Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção r até a linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta levanta-se se uma linha de chamada até encontrar a projeção r’. Na interseção da linha de chamada com a projeção r’ temos o traço (v).


(H ) – T r a ç o H o r iz o n ta l P a ra e n c o n tra r o tra ç o H o riz o n ta l d e u m a re ta , s e p ro lo n g a s u a p ro je ç ã o r ’ a té a lin h a d e te rra . N a in te rs e ç ã o d a lin h a d e te rra c o m a p ro je ç ã o r’ le v a n ta -s e u m a lin h a d e c h a m a d a a té e n c o n tra r a p ro je ç ã o r . N a in te rs e ç ã o d a lin h a d e c h a m a d a c o m a p ro jje ç ã o r te m o s o tra ç o ((H )).


Rebatimento de uma Reta de Perfil



R eta s C o p la n a re s e R e tas N ã o C o p la na re s D u a s re tta s n o e spaço sã ã o cop lana l re s o u n ã o co p la l n a re s. S e d ua s re ttas e stã o contid a s n o m e sm o p lan o d ize m os que são cop lan a re s. R eta s C oplana re s p o de m se r co n co rren tes, pa rale las o u coin cid en te s. A s retas n ão co p la n a re s são tam b ém cha m a das retas re versa s. A s re ta s co p lan a re s p o dem se r: C o n c o rre n te s


P a r a le la s -

-

d is tin ta s

c o in c id e n te s


Reversas


Planos A interseção do plano (α) com o plano ( π ) determ ina a reta α ππ’ que se denom ina traço vertical do plano. A interseção do plano (α) com o plano ( π ) determ ina um a outra reta, α π, que se determ ina traço horizontal. Na épura qualquer plano pode ser representado por seus traços. traços Os planos devem ser representados por um a letra grega m inúscula.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MACHADO, Adervan. Geometria Descritiva. Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA 1974 LTDA, PRÍNCIPE JR. Geometria Descritiva. V.1 e 2. STAMATO, José. Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, 1972 http://www.mat.uel.br/marie ( acessado em 7/01/2008)