OSN Matematika SMA 6 Malang - Vidyagata

OSN Matematika SMA 6 Malang

ALJABAR : AKAR-AKAR DARI SUATU PERSAMAAN : Jumlah dan hasil kali akar. jika

dan

adalah akar-akar dari

, maka hubungan antar akar :

dan Contoh 1: Diketahui a dan b adalah akar-akar dari

, maka tentukan nilai dari:

=… Jawab: Soal ini bisa didekati dengan berbagai cara, namun sekarang kita gunakan apa yang sedang kita pelajari. Karena a merupakan akar-akar, maka kita bisa mendapatkan : . dari sini kita bisa memperoleh bentuk: dan (senada dengan b, karena dia juga merupakan akar dari persamaan). kita peroleh : dan Sekarang, kita masuk ke pembahasan soal:

….cocokan dengan bentuk-bentuk diatas

= = =

…merupakan perkalian akar, sehingga:

= Contoh 2: Jika a dan b adalah akar-akar dari

, maka tentukan nilai dari

Jawab: , dan Mari kita olah dulu, untuk menghasilkan bentuk pangkat 1002 Coba kita kalikan dengan a …cocok dengan bentuk yang kita olah di awal

1


Karena 1002= 3 x 334, maka:

karena a dan b simetris, maka nilai :

, sehingga:

Mari berlatih: 1. Persamaan , memiliki akar-akar a,b dan c. tentukanlah nilai 2. Jika , dan , adalah akar-akar persamaan dari , maka carilah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan . 3. Satu-satunya akar riil dari adalah 1999, berapakah satu-satunya akar riil dari ? 4. Jika

. buktikan x+y=0

5. Carilah akar-akar riil dari 6. jika

dan adalah akar-akar dari :

, carilah nilai dari

7. Tentukan akar-akar riil yang memenuhi:

I. Pemisalan Menyederhanakan/memecah masalah menjadi serpihan-serpihan kecil yang lebih sederhana, sehingga memudahkan kita dalam mengerjakannya. Tekniknya sederhana: misalkan saja dengan suatu varibel tertentu Dalam soal latihan pada postingan saya sebelumnya ”variasi soal bentuk kuadrat”, ada soal sederhana tapi bagus/relevan dengan pembahasan kita sekarang. Jika

, carilah nilai dari

.

Jawab: Bagi pemula, sekilas soal ini membingungkan, kerena akan berhadapan dengan bilangan berpangkat rasional yang agak ”ngeselin” karena melibatkan 3 suku dan harus dipangkatkan 3. Sekarang akan saya tunjukan keampuhan cara pemisalan:

Yang ditanyakan soal bisa saya tulis : Sehingga langkah awal, saya munculkan bentuk

.

, maka

Untuk menghindari bentuk akar pangkat tiga atau pangkat rasional, saya memisalkan Sehingga kita mendapatkan

dan

. 2

sebagai

.


Maka:

Gimana, jadi gak rumit kan?, sekarang tinggal kita ganti kembali P dengan nilai sebenarnya, sehingga :

II. Berfikir keluar jalur Tentukan nilai x yang memenuhi Jawab:

kita stop dulu disini. Saya melihat x >0, dan soal ini memuat bentuk phytagoras, nah lho?

, kemudian saya jadi teringat pada rumus

seperti panjang salah satu sisi segitiga siku-siku (kita misalkan P), dengan panjang hipotenusa (sisi miring) = 3 , dan sisi lainnya adalah x. Jika kita gambar:

dari gambar ini kita mendapatkan: dan

.

sekarang kita masukan ke dalam pengerjaan kita:

3


….jadi persamaan kuadrat biasa

. Yang memungkinkan adalah p=1 karena positif. Sehingga untuk

:

atau

.

tak mungkin, karena negatif, sehingga jawabannya adalah

.

Ayo berlatih: Jika dan

adalah akar-akar riil dari : (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) = 3, maka tentukanlah

VARIASI SOAL BENTUK KUADRAT Berbagai variasi soal yang merupakan ciri khas soal kompetisi. Contoh 1: Jika diketahui

hitunglah nilai x … Jawab : bagi pemula, soal ini pasti terasa aneh, ada pengulangan yang terus menerus, karena x di ruas kiri, bisa dimasukan lagi ke ruas kanan. dan itu berarti terjadi iterasi (pengulangan) yang tak berakhir. Kalau x kita ganti/masukan ke soal, maka yang terjadi adalah soal menjadi lebih panjang ke bawah, kita tidak tahu ujung soal sampai kemana. Dan soal yang kita lihat merupakan penyederhanaan/ wakil dari soal sebenarnya. Nah ternyata dengan menyadari hal itu, berarti soal juga bisa lebih kita sederhanakan ke atas dong, tul gak ?, so… menjadi : 4


. jika kita kalikan kedua ruas dengan x (untuk menghilangkan penyebut), ternyata kita mendapat persamaan kuadrat biasa.

atau Nilai x = -1 tidak mungkin sehingga nilai x adalah 3 Contoh 2:. Tentukan nilai

, dimana A jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :

jawab : Senada dengan contoh 1, soal bisa kita sederhanakan menjadi :

Ingat rumus abc (rumus kuadratis)

dan bernilai positif sehingga bernilai negatif sehingga jadi A =

= = Sehingga Contoh 3 : (Olimpiade tingkat Kota 2003-3) Jika a dan b bilangan bulat sehingga (ingat bahwa 2003 adalah bilangan prima)

, maka berapakah

Jawab :

x jadi : (a – b) = 1 (a + b) = 2003 + 2a = 2004 a = 1002 sehingga b = 1001 5


jadi :

Tiga contoh di atas adalah soal kompetisi, meskipun bentuk awalnya menyeramkan, ternyata setelah di coba-coba, konsep yang dipake tetep sama dengan yang kita pelajari di kelas. So, biasakan mulai sekarang jangan keder dulu ama bentuk soal yang aneh, karena umumnya setelah kita utak-atik, ternyata soal bisa menjadi lebih sederhana dan mudah untuk dipecahlan. Ayo berlatih : Soal 1: Tentukan nilai x yang memenuhi : Soal 2 : Jika salah satu akar dari

adalah : , maka buktikan akar yang lain adalah

Soal 3 :

Jika

, Tentukanlah nilai dari :

Jawaban1. Kuadratkan kedua ruas:

 Pindahkan ruas:  Eliminasi jawaban nol (bagi dengan x), menjadi:

 KUADRATKAN LAGI

(pilih plus karena x tidak boleh negatif) Jawaban 2 : Perhatikan bahwa

.

Dengan demikian:

.

Konsep inilah yang digunakan dalam mengerjakan soal gila ini: menyederhanakan bentuk ini:

Dengan formula di atas, maka bentuk tersebut menjadi:

6


Ingat bentuk persamaan kuadrat

di mana c merupakan

, maka:

Dengan kali sekawan, didapat bahwa:

Jawab 3 :

Soal Contoh 1.

Jawab : 12 Soal Contoh 2 : Misalkan a * b adalah bilangan bulat untuk setiap bilangan bulat a dan b. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, kita memilik (a + 1) * b – (a – 1) * b = 4a dan b * a = –(a * b) Jika 1 * 0 = 1, carilah nilai dari 101 * 100. Pembahasan Soal ini menuntut keberanian untuk mencoba mengeksplorasi pada operasi *. Salah satu caranya adalah dengan menetapkan bilangan bulat b. Kemudian perhatikan bahwa 101 * b – 99 * b = 4.100 100 * b – 98 * b = 4 . 99 99 * b – 97 * b = 4. 98 98 * b – 96 * b = 4 . 97 97 * b – 95 * b = 4. 96 96 * b – 94 * b = 4 . 95 .. .. .. 3*b–1*b=4.22*b–0*b=4.1 Jadi, 101 * b – 1 * b = 4 . 50 . 51 100 * b – 0 * b = 4 . 502 Khusus untuk b = 1, maka 100 * 1 = 4 . 502 – 1 Untuk b = 100, maka 101 * 100 = 4.50.51 – 100 * 1 = 4.50.51 – 4.502 + 1 = 4.50 (51 – 50) + 1 = 201

7