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LETICIA RIBEIRO DE PAIVA
MODELAGEM DE TUMORES AVASCULARES: DE AUTÔMATOS CELULARES A MODELOS DE MULTIESCALA
Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, omo parte das exigên ias do Programa de Pós-Graduação em Físi a Apli ada, para obtenção do título de
S ientiae.
VIÇOSA MINAS GERAIS - BRASIL 2007
Magister
a minha mãe e ao Sidiney
ii
Pode-se viver no mundo uma vida magní a quando se sabe trabalhar e amar. Trabalhar pelo que se ama e amar aquilo que se trabalha iii
Leon Tolstoi
AGRADECIMENTOS
Aos orientadores, Prof. Silvio e Prof. Mar elo pela oportunidade e por tudo o que me ensinaram A minha mãe, que é minha inspiração Ao Sidiney, por iluminar meus dias A minha tia Lú ia, a minha irmãzinha Fernanda e a toda a minha família, pelo apoio in ondi ional Aos valiosos amigos, Zaira, Moharah, Marianne, Dihego, Camilla, Vini ius, Marina Ao Christopher Binny, pela ajuda tão importante em biologia Ao prof. Mar elo Vilela pelas sugestões no apítulo da biologia do ân er Aos professores e olegas da físi a A administração do GISC I e II A CAPES pela bolsa e à Universidade Federal de Viçosa.
iv
BIOGRAFIA
LETICIA RIBEIRO DE PAIVA, lha de Már ia Furtado Ribeiro e José Reinaldo Gomide de Paiva, nas eu em Manhumirim, Minas Gerais, em Em agosto de Minas Gerais.
2005,
02 de
dezembro de
1983.
on luiu o ba harelado em físi a pela Universidade Federal de
Em março de
2007,
obteve o título de mestre em físi a apli ada na
Universidade Federal de Viçosa.
v
SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS
ix
RESUMO
x
ABSTRACT
xi
1 Introdução
1
2 Biologia do ân er
4
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Bases mole ulares do omportamento da élula an erosa . . . . . . . .
5
2.3
Desenvolvimento de um tumor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Terapia do ân er e Viroterapia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Modelando tumores 3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
10
15
Modelos fenomenológi os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.1
Equação logísti a generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.2
Modelos Gompertzianos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Modelos Dis retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.1
Modelo de Eden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.2
Modelo de Williams-Bjerknes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Modelos baseados em Equações Diferen iais Par iais . . . . . . . . . . .
22
3.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Modelos de Multies ala ou Híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4.1
Modelo de Jiang et al.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4.2
Modelo de Sander e Deisboe k . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Modelos para viroterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.5.1
29
Modelo de Sherratt e Chaplain
Modelo de Wu et al.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
3.5.2
Outros modelos para viroterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes 4.1
32
34
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.1.1
O modelo de Eden om redução de ruído . . . . . . . . . . . . .
37
4.2
Regra de res imento generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.4
Con lusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5 Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares 5.1
Modelo para o res imento de ar inomas
in situ
46
. . . . . . . . . . . .
46
5.1.1
O te ido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.1.2
Os nutrientes
48
5.1.3
Dinâmi a elular
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.1.4
Implementação omputa ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Modelo para viroterapia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.3
Estimativa dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.4
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.5
Con lusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6 Con lusões e Perspe tivas
67
Apêndi e Equações Diferen iais Par iais
69
Referên ias Bibliográ as
79
vii
LISTA DE FIGURAS 2.1
Estágios do desenvolvimento tumoral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Um me anismo possível para a adquisição de resistên ia a apoptose. . .
8
2.3
Um esquema para viroterapia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Barreiras a distribuição de vírus on olíti os aos tumores
. . . .
13
3.1
Cres imento do tumor no modelo de Sa hs et al. . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Curvas logísti a e de Gompertz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Agregado de Eden e foto de um melanoma. . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.4
Padrões gerados pelo modelo de Williams e Bjerknes.
. . . . . . . . . .
22
3.5
Estrutura de um esferóide multi elular tumoral.
. . . . . . . . . . . . .
23
3.6
Glioblastoma humano e um resultado do modelo de Sander e Deisboe k.
27
3.7
Resultados do modelo de Wu et al.
31
3.8
Dados experimentais versus previsões do modelo de Friedman et al.
. .
33
4.1
Modelo de Eden res ido de uma semente e de uma superfí ie lisa. . . .
35
4.2
Evolução típi a da rugosidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.3
Agregados de Eden om diferentes redutores de ruído. . . . . . . . . . .
38
4.4
Padrões do modelo de Eden res idos no limite sem ruído.
. . . . . . .
39
4.5
Rugosidade no modelo de Eden no limite sem ruído. . . . . . . . . . . .
40
4.6
Bordas dos agregados para valores diferentes de
4.7
Rugosidade para valores distintos de
4.8
Curvatura média omo função de
. . . . . . . . . . . . . .
43
4.9
Rugosidade em relação ao entro da rede e ao entro de massa. . . . . .
44
in vivo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ν.
ν.
. . . . . . . . . . . .
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
∆ = ν − νc .
4.10 Número de vizinhos o upados e a anisotropia gerada.
. . . . . . . . . .
45
4.11 Diferença entre os res imentos diagonal e axial. . . . . . . . . . . . . .
45
5.1
Imagem do perit neo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2
Con entração de nutrientes na ausên ia de élulas an erosas.
49
viii
. . . . .
in situ.
5.3
Padrões gerados pelo modelo de res imento de ar inomas
. .
51
5.4
Comportamentos observados no modelo para viroterapia em tumores. .
56
5.5
Evolução temporal do número de élulas an erosas e de vírus. . . . . .
57
5.6
Distribuição espa ial das élulas an erosas após a viroterapia. . . . . .
58
5.7
Caráter esto ásti o do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.8
Comportamento dominante para
Tl
5.9
Comportamento dominante para
γv = 0.005
e
θinf
xos em ada diagrama. . . . e
γv = 0.01.
5.10 Diagrama de omportamentos dominantes para
γv = 0.01
61
. . . . . . . .
62
θinf = 0.03.
63
e
5.11 Probabilidades dos omportamentos A e B para
γv = 0.01
e
θinf = 0.03.
64
5.12 Probabilidades dos omportamentos C e D para
γv = 0.01
e
θinf = 0.03.
64
5.13 Diagrama do omportamento dominante para
ix
γv = 0.005
e
θinf = 0.1.
.
65
RESUMO PAIVA, Leti ia Ribeiro de, M.S ., Universidade Federal de Viçosa, março de
2007. Modelagem de tumores avas ulares: de aut matos elula-
res a modelos de multies ala.
Orientador:
Silvio da Costa Ferreira
Junior. Co-Orientadores: Mar elo Lobato Martins e Ismael Lima Menezes Sobrinho.
A maior parte das terapias anti- ân er lini amente usadas tem se desenvolvido empiri amente [1℄ mas a resposta do tumor e do organismo a essas terapias é não-linear. Portanto, modelos matemáti os podem ser ferramentas omplementares (e talvez ne essárias) para a ompreensão da dinâmi a da resposta à droga ou terapia no organismo. Nesta dissertação de mestrado alguns desses modelos são estudados. Em parti ular, propomos uma estratégia para res er agregados isotrópi os do modelo de Eden na rede, um modelo esto ásti o bási o para o res imento de tumores avas ulares. Os padrões gerados são ara terizados pela largura da interfa e, que é al ulada
onsiderando o entro da rede ou o entro de massa do agregado omo referên ia, e pela diferença entre as probabilidades de res imento axial e diagonal. Também foi estudado um modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares em que as on entrações de nutrientes e vírus são des ritas por equações de reação-difusão ma ros ópi as e as ações de élulas tumorais são governadas por regras esto ásti as mi ros ópi as. O objetivo entral dessa parte do trabalho é a determinação do diagrama de estados no espaço de parâmetros. A faixa de parâmetros envolvidos foi estimada a partir de dados experimentais e a resposta das élulas tumorais à injeção viral apresenta quatro omportamentos diferentes, todos observados experimentalmente. Os valores dos parâmetros que geram predominantemente ada um desses omportamentos são determinados.
x
ABSTRACT PAIVA, Leti ia Ribeiro de, M.S ., Universidade Federal de Viçosa, Mar h,
2007. Avas ular tumor modelling: from elular automata to mul-
tis ale models.
Adviser: Silvio da Costa Ferreira Junior. Co-Advisers:
Mar elo Lobato Martins and Ismael Lima Menezes Sobrinho.
The majority of the lini ally used anti- an er therapies has been developed empiri ally [1℄, but the tumour and organism response to these therapies are nonlinear. Therefore mathemati al models might be omplementary (may be ne essary) tools for the understanding of the drug response dynami s in the organism. In this dissertation, some of these models are studied. Parti ularly, we propose a strategy to grow isotropi on-latti e Eden lusters, a basi sto hasti model for avas ular tumour growth.
The patterns were hara terized through the interfa e width, evaluated in
relation to a xed origin or to the border entre-of-mass, and by the dieren e between the axial and diagonal growth probabilities. Also, we analysed a multis ale model for tumour virotherapy in whi h the nutrient and virus on entrations are des ribed by ma ros opi rea tion-diusion equations and mi ros opi sto hasti rules govern the a tions of individual tumour ells.
The main aim of this work part is to determine
the state diagram in the parameter spa e.
The range of the model parameters was
estimated from experimental data and the an er ell response to the virus inje tions exhibits four distin t behaviors, all experimentally observed.
The parameter values
that generate ea h one of these dominant behaviors were determined.
xi
CAPÍTULO 1 Introdução Nas últimas três dé adas, a pesquisa sobre o ân er a umulou uma quantidade enorme de informações. Nesse período, foram feitos grandes progressos na identi ação das bases mais profundas do pro esso - aquelas ao nível mole ular. De todo esse onhe imento, emergiram algumas leis e prin ípios que expli am muitos dos omportamentos
omplexos observados em tumores humanos. Um desses prin ípios são as regras que governam a transformação de élulas normais em an erosas. Como virtualmente todas as élulas dos mamíferos arregam uma maquinaria mole ular similar que ontrola sua proliferação, diferen iação e morte, Hanahan e Weinberg [2℄ propuseram que existem algumas ara terísti as ompartilhadas por todos os tipos de ân eres em humanos. Muitas evidên ias [3, 4℄ indi am que a
ar inogênese em humanos é um pro esso em etapas e essas etapas re etem alterações genéti as que governam a transformação progressiva de élulas normais em malignas. Apesar do avanço no onhe imento sobre o ân er, a maioria dos tratamentos anti- ân er amplamente usados hoje foram desenvolvidos antes de
1975
[5℄. Contudo,
um grande número de novas estratégias de terapia estão em desenvolvimento.
2003,
Em
uma ompilação das terapias anti- ân er em desenvolvimento pré- líni o ou em
testes líni os listou mais de
1300 projetos de pesquisa nan iados por grandes ompa-
nhias farma êuti as e pequenas empresas de biote nologia [5℄. Os agentes terapêuti os em desenvolvimento in luem drogas de pequeno peso mole ular, proteínas, anti orpos mono lonais, terapia gêni a e viroterapia. Em parti ular, alguns testes líni os om vírus on olíti os estão na fase III 1 Em
1
,
testes na fase III, a droga ou o tratamtento estudado é administrado a um grupo grande de pessoas (1000 − 3000) para on rmar sua e iên ia, monitorar efeitos olaterais, omparar om os tratamentos geralmente usados e oletar informações que permitirão que a droga ou o tratamento 1
2
Introdução
omo é o aso do Adenovírus [6℄. Em novembro de do vírus on olíti o
2005 o governo hinês aprovou o uso
H101 espe i amente para o tratamento de ar inoma nasofaringeal
em ombinação om quimioterapia baseada em isplatina. Este e outros avanços líni os são dis utidos por D. Kirn no editorial da de
2002).
Mole ular Therapy (Vol.13 : 20, Fevereiro
O futuro da viroterapia é promissor pois existem várias possibilidades, omo
o uso de diferentes espé ies de vírus, ada um om diferentes me anismos de ação. Entretanto, a maior parte das terapias, in luindo viroterapia, lini amente usadas, tem se desenvolvido empiri amente [1℄ e, portanto, modelos matemáti os podem ser ferramentas omplementares (e talvez ne essárias) para a ompreensão da dinâmi a da resposta à droga ou terapia no organismo. Os modelos matemáti os para o
res imento e/ou tratamento de tumores são propostos segundo diferentes abordagens. Uma delas é a baseada em equações diferen iais ordinárias, que podem des rever a evolução temporal das populações do tumor, omo a equação de Gompertz [7℄. Modelos mais ompletos de equações diferen iais par iais são atualmente os tipos mais estudados pelos matemáti os [8℄ e permitem obter informações espa iais e temporais do sistema. Outra abordagem é a des rição dis reta de todo o sistema. Nessa lasse de modelos en ontra-se o modelo de Eden [9℄, que é uma aproximação de primeira ordem para res imento de tumores avas ulares. Modelos dis retos, omo o modelo de Eden, podem des rever a evolução espa ial e temporal do sistema e são mais fa ilmente simulados em redes. Entretanto, a rede impõe anisotropia aos agregados e uma estratégia para remover essa anisotropia no modelo de Eden é apresentada no apítulo 4. Essa estratégia gerou uma publi ação [10℄. Também são en ontrados na literatura modelos híbridos ou modelos de multies ala, que usam diferentes abordagens para des rever os omponentes do sistema. Por exemplo, no modelo de Ferreira et al. [11℄ as élulas normais e an erosas têm uma des rição dis reta, enquanto os nutrientes são tratados omo quantidades ontínuas. No apítulo 5 apresentaremos um modelo de multi-es ala para simular uma terapia anti- ân er promissora baseada em vírus que têm a habilidade de matar preferen ialmente élulas an erosas. Este modelo foi proposto em
2005
por Ferreira et al. [12℄,
e apresentamos nessa dissertação um estudo uidadoso do espaço de parâmetros do modelo. Nessa dissertação de mestrado serão apresentados alguns modelos matemáti os para res imento de tumores desenvolvidos nos últimos anos.
sejam usados om segurança (de nição dada pelo FDA Unidos).
Essa revisão é feita
Food and Drug Administration dos Estados
3 no apítulo 3. Antes disso, o apítulo 2 traz uma revisão simpli ada sobre ân er, limitada a aspe tos de biologia que serão ne essários para ompreender os modelos apresentados. No apêndi e A é expli ado o método numéri o empregado para resolver as equações diferen iais envolvidas no modelo.
CAPÍTULO 2 Biologia do ân er Neste apítulo serão apresentados alguns on eitos fundamentais do desenvolvimento do ân er ne essários para a ompreensão dos modelos apresentados nos apítulos 3 e 4. Para isso, foram usados livros tradi ionais omo Mole ular Cell Biology [13℄, Can er Medi ine
6
[14℄ e também o re ente The biology of an er [5℄, bem
omo os artigos de revisão de Folkman [15℄, de Weinberg [16℄, de Hanahan e Weinberg [2℄ e o de Parato et al.
[6℄.
Outros detalhes podem ser en ontrados nas referên ias
itadas nesse parágrafo.
2.1
Introdução O termo ân er se refere a mais de
100 formas diferentes
de doenças e apesar de
ada uma delas possuir ara terísti as úni as, alguns dos pro essos fundamentais que produzem essa diversidade de tumores são bastante similares. Vários ritérios podem ser estabele idos para lassi ar os tipos de tumores. Um
ritério importante é o omportamento líni o, que propõe a lassi ação em tumores benignos (quando eles não invadiram te idos adja entes) e malignos (quando os te idos vizinhos foram invadidos e as élulas an erosas têm a apa idade de se espalharem pelo orpo).
Outra lassi ação pode ser feita a partir do tipo elular do qual os
tumores são derivados. Por exemplo, são denominados ar inomas se são derivados de
élulas epiteliais, sar omas se derivados do te ido onjuntivo ou de élulas mus ulares e leu emias se derivados de élulas hematopoiéti as (que dão origem às élulas do sangue).
Os ar inomas são os mais freqüentes, orrespondendo a mais de
90%
dos
ân eres humanos no O idente [5℄. Nos organismos multi elulares, as élulas possuem o genoma, que se expressa 4
2.2 Bases mole ulares do omportamento da élula an erosa
5
diferentemente em élulas onstituintes de te idos diferentes. As seqüên ias gen mi as estão sujeitas a alterações, hamadas de mutações, na sua estrutura e portanto na informação que arregam. Essas mutações o orrem onstantemente, mas existem me anismos de reparo dessas mutações asso iados a outros me anismos que disparam a morte elular programada aso o dano não possa ser reparado. Entretanto, podem a onte er falhas neste pro esso de manutenção da integridade do genoma levando à xação de mutações em genes espe í os, ríti os para o ân er. Estes genes podem ser lassi ados em
•
On ogenes:
genes alterados ujos produtos podem agir, de modo dominante,
auxiliando a originar uma élula an erosa.
Tipi amente, um on ogene é uma
forma mutante de um gene normal (proto-on ogene) envolvida no ontrole da divisão (ou do res imento) e na diferen iação das élulas.
•
Genes Supressores de Tumores: genes que pare em impedir a formação de um
ân er. Mutações om perda de função nestes genes aumentam a sus etibilidade ao ân er. Uma das últimas barreiras de defesa ontra o ân er é a atividade do sistema
imune, que atua em estágios avançados da ar inogênese e é provavelmente uma barreira menos e az se omparada aos me anismos de manutenção da integridade do genoma que operam em estágios anteriores [17℄. Alguns omponentes do sistema imune são apazes de re onhe er antígenos tumorais das élulas an erosas e matá-las. Entretanto, existem estudos que asso iaram in amação r ni a à in idên ia tumoral [18, 19℄ e trabalhos mostrando que neutró los lulas normais em an erosas
in vitro
1
ativados podem induzir a transformação de é-
[20, 21℄. Porém, omo dis utido por Jakóbisiak
et al. [17℄, o onhe imento a er a da defesa natural do organismo ontra o ân er está longe de ser ompleto e muitos paradoxos e on eitos permane em in ompreendidos.
2.2
Bases mole ulares do omportamento da élula
an erosa Em
1910,
Sar oma Virus ) 1 Neutró los
Peyton Rous des obriu que o vírus do sar oma de Rous (RSV era apaz de induzir tumores em galinhas.
Rous
Posteriormente, outras
são uma lasse de élulas do sistema imune; são os prin ipais fagó itos do sangue ( élulas que ingerem e destroem matéria estranha ao organismo) e parti ipam da reação in amatória.
6
Biologia do ân er
viroses ausadoras de ân er foram des obertas, mas o pro esso de transformação de uma élula normal em uma an erosa permane eu um mistério por mais de meio sé ulo. Então, pesquisadores do Instituto de Te nologia da Califórnia des obriram que o RSV era apaz de transformar élulas normais em an erosas mesmo em ultura.
Essa
observação mudou radi almente o urso da pesquisa em ân er no sé ulo XX, pois ela demonstrava que a formação do ân er poderia ser estudada ao nível de élulas individuais, ujos omportamentos poderiam ser uidadosamente monitorados om um mi ros ópio. Com isso, foi possível isolar os on ogenes das élulas tumorais. O ân er tornou-se então uma doença de genes e, portanto, poderia ser estudado também om as ferramentas da biologia mole ular e da genéti a.
2.3
Desenvolvimento de um tumor Entre um te ido normal e um maligno há um amplo espe tro de estágios in-
termediários. Cada tipo de modi ação representa um passo distinto ao longo de um
aminho evolu ionário, em que a população elular neoplási a adquire a ada passo
omportamentos mais agressivos. Isso sugere que o desenvolvimento de tumores é um pro esso omplexo e om múltiplas etapas.
Nesse sentido, para ar inomas pode-se
tentar lassi ar essas etapas omo segue.
Figura 2.1:
Estágios do desenvolvimento tumoral. Figura adaptada de [16℄.
1. O desenvolvimento do tumor omeça quando uma élula sustenta uma mutação genéti a que aumenta sua propensão à proliferação, quando normalmente estaria em repouso.
2. A élula alterada e suas des endentes
ontinuam om aparên ia normal, mas
reproduzindo om muito mais freqüên ia, uma ondição denominada
hiperplasia.
2.3 Desenvolvimento de um tumor
7
Após um período que pode hegar a anos, uma dessas élulas sofre outra mutação sustentada em que o res imento elular a fora do ontrole dos te idos normais.
3.
Além de proliferar ex essivamente, as élulas adquirem forma e orientação
anormais; o te ido agora exibe
displasia.
Novamente, após algum tempo, uma muta-
ção have que altera o omportamento elular pode o orrer.
4.
As élulas afetadas tornam-se ainda mais anormais em res imento e apa-
rên ia. Se o tumor não atravessou a membrana basal, ele é dito
ân er "in
situ ".
Este tumor pode permane er sob ontrole; entretanto, algumas élulas podem eventualmente adquirir mutações adi ionais.
5.
Se as alterações genéti as permitem ao tumor invadir te idos vizinhos e li-
ân er
berar élulas na ir ulação sangüínea ou linfáti a, o tumor tornou-se maligno (
invasivo).
As élulas liberadas podem estabele er novos tumores (metástases) pelo
orpo e estes podem tornar-se letais por destruir um órgão vital. Um tumor maligno pode desenvolver-se por meio de um grande número de estratégias diferentes.
Contudo, Hanahan e Weinberg [2℄ propuseram seis alterações
essen iais na siologia da élula que oletivamente ditam o res imento maligno e que são ompartilhadas pela maioria ou talvez por todos os tipos de tumores humanos. Essas apa idades são
֒→ Auto-su iên ia em sinais de res imento Para reproduzirem-se, élulas normais ne essitam de fatores de res imento que em geral são produzidos por outro tipo de élula (estimulação pará rina).
Entretanto,
muitas élulas an erosas adquirem a apa idade de sintetizar fatores de res imento e até mesmo os re eptores para os quais elas são sensíveis (estimulação autó rina).
֒→ Insensibilidade a sinais que inibem o res imento Múltiplos sinais antiproliferativos atuam em um te ido normal para manter a quies ên ia elular e a estabilidade do te ido. Células an erosas adquirem a apa idade de es apar desses sinais ou ignorá-los, por exemplo, intervindo na via da proteína retinoblastoma (pRb), através da qual passam muitos desses sinais antiproliferativos.
֒→ Evasão da morte elular programada (apoptose) A habilidade das populações de élulas tumorais de expandirem em número é determinada não apenas pela taxa de proliferação elular, mas também pela taxa de redução do número de élulas. Em élulas normais, essa redução o orre prin ipalmente devido
8
Biologia do ân er
à apoptose, ou morte elular programada. A resistên ia à apoptose pode ser adquirida pela élula an erosa por meio de várias estratégias. A mais omum delas envolve a inativação do gene supressor de tumor
p53,
um omponente have, sensor de danos ao
DNA que pode induzir apoptose, omo é mostrado na gura 2.2. Estudos [22℄ omprovam que a inativação do gene
p53
leva à instabilidade genéti a em élulas normais
vitro e in vivo.
Figura 2.2: A resistên ia a apoptose pode ser adquirida pela inativação do gene Figura adaptada do site
in
p53.
http://www.wellesley.edu/.
֒→ Poten ial repli ativo ilimitado Todas as élulas dos mamíferos arregam um programa intrínse o que limita sua multipli ação. Esse me anismo é ontrolado pelos tel meros, que são segmentos de DNA nas extremidades dos romossomos.
Eles sofrem um pro esso de en urtamento du-
rante ada i lo elular. Após su essivos i los, os tel meros perdem sua habilidade de proteger as extremidades do DNA romossomal e essas extremidades desprotegidas podem se fundir, levando a um dessaranjo no ariótipo ( onjunto de romossomos) e a um pro esso de rise que leva, quase inevitavelmente, à morte da élula. Ou seja, os tel meros limitam o número de gerações de uma população elular. Contudo, as élulas malignas adquirem me anismos de manutenção dos seus tel meros. A grande maioria delas expressa telomerase, que adi iona hexanu leotídeos repetidos nas extremidades do DNA teloméri o impedindo, assim, que o pro esso de rise seja desen adeado. Dessa forma, as élulas malignas podem multipli ar-se ilimitadamente.
֒→ Estimulação da angiogênese
2.3 Desenvolvimento de um tumor
9
Em geral, os vasos sangüíneos apilares não aumentam em tamanho ou número, ex eto em situações omo menstruação ou quando o te ido é dani ado. Nessas situações o orre uma proliferação de novos apilares, hamada angiogênese ou neovas ularização, tipi amente de urta duração ( er a de uma a duas semanas) [15℄. Contudo, élulas tumorais podem adquirir a apa idade de estimular neovas ularização para obter o forne imento dos nutrientes essen iais para seu res imento a elerado. O tumor promove angiogênese liberando proteínas omo o fator de res imento broblásti o e o fator de
res imento endotelial vas ular. Essas proteínas, onhe idas omo fatores tumorais de angiogênese, difundem nos te idos vizinhos e ligam-se a re eptores na membrana das
élulas endoteliais. A ativação dessas élulas promove a se reção de enzimas que degradam a matriz extra elular fa ilitando a migração das élulas endoteliais em direção ao tumor, por meio de uma resposta quimiotáti a aos fatores tumorais de angiogênese.
As élulas endoteliais podem unir-se umas às outras formando um tubo o o (lumen) e, portanto, ini iando o desenvolvimento de um novo apilar, ujo res imento é orientado na direção do tumor. Após a neovas ularização, a entrada de nutrientes e a saída de atabólitos (resíduos oriundos do metabolismo) torna-se mais e iente. Os apilares também serão importantes para o transporte de fatores de res imento estimuladores de divisão e fa ilitarão a metástase.
֒→ Invasão de te idos e metástases Durante o desenvolvimento da maior parte dos ân eres humanos, algumas élulas es apam do tumor primário, invadindo te idos adja entes e, então, deslo ando-se para regiões distantes onde elas podem formar novas ol nias. metástases- são a ausa de
90%
Essas novas ol nias -
das mortes por ân er em humanos [23℄.
Para es-
tabele er metástases, as élulas an erosas pre isam superar muitas barreiras siológi as, omo o es ape do te ido original, a entrada na orrente sangüínea ou nos vasos linfáti os, a sobrevivên ia na ir ulação e a adaptação ao novo te ido.
É importante men ionar que a seqüên ia parti ular em que essas apa idades são adquiridas varia amplamente mesmo entre tumores do mesmo tipo. E em alguns tumores uma lesão genéti a parti ular pode onferir várias apa idades simultaneamente, diminuindo o número de mutações ne essárias à ar inogênese.
10 2.4
Biologia do ân er Terapia do ân er e Viroterapia Quando será des oberta a ura para o ân er? Esta é a pergunta mais simples
e lógi a feita à maioria dos pesquisadores em ân er por aqueles que não estão diretamente envolvidos nessa área de pesquisa. Certamente não haverá uma úni a ura para todos os ân eres, simplesmente porque o ân er não é uma úni a doença. Por exemplo, há pelo menos
8
ategorias distintas de ân er de mama.
Além disso, as
populações de élulas tumorais malignas são heterogêneas sob vários aspe tos, o que exige mais de um tipo de tratamento para atingir todo o tumor. Essas élulas possuem alta mutabilidade, o que permite que elas adquiram resistên ia às várias modalidades de terapia. Portanto, são ne essárias terapias envolvendo tratamentos simultâneos om dois ou mais agentes om diferentes me anismos de ação. Por exemplo, a ombinação de inibidores de angiogênese e agentes quimioterápi os mostrou ser mais e iente do que ada terapia isolada em testes om animais [15℄. Apesar de apresentar muitos resultados positivos, as terapias tradi ionais ontra o ân er, omo a quimioterapia e a radioterapia, baseiam-se prin ipalmente em agentes que dani am o DNA e a maquinaria que mantém a integridade dos romossomos das élulas tumorais. Esses tratamentos matam preferen ialmente élulas an erosas que têm menor apa idade de sobreviver a danos, sele ionando assim as élulas mais agressivas do tumor. Aliados a isso, os efeitos olaterais desses tratamentos são frequentemente graves, motivando o desenvolvimento de novas estratégias na luta ontra o ân er.
Uma terapia promissora é baseada em vírus modi ados em laboratório
para ata ar seletivamente as élulas an erosas.
Dis utiremos alguns detalhes dessa
terapia nessa seção, pois um modelo matemáti o para viroterapia será uidadosamente estudado no apítulo 5.
Viroterapia Vírus têm a apa idade de infe tar élulas de um organismo biológi o. Eles são
onstituídos de material genéti o ontido em uma ápsula proteí a, hamada apsídeo, que pode estar envolvida por um envelope que in lui uma membrana. Eles multipli amse somente dentro de élulas vivas e dependem delas para sintetizar proteínas, gerar e armazenar energia. O passo ini ial na sua multipli ação é a separação físi a do genoma viral (um segmento de DNA ou RNA) da sua ápsula protetora e a inserção deste á ido nu léi o no genoma da élula hospedeira que passa a sintetizar o DNA ou RNA viral. Este pro esso diferen ia os vírus de outros parasitas intra elulares.
2.4 Terapia do ân er e Viroterapia
11
A engenharia genéti a permite modi ar vírus em laboratório para ombater tumores, tornando-os apazes de repli arem-se onsideravelmente apenas em élulas
an erosas [24℄ levando à lise
2
dessas élulas e à onseqüente ampli ação da dose viral
dentro do tumor, omo ilustrado na gura 2.3. dos para levar genes anti- ân er
3
Vírus também podem ser projeta-
ou agentes quimioterápi os diretamente às élulas
an erosas. Esses vírus usados para ombater o ân er, devido a sua habilidade de infe tar seletivamente élulas an erosas, são onhe idos omo vírus on olíti os e podem ser moldados através de diferentes abordagens, que levam a diferentes me anismos de destruição tumoral. Um panorama dessas abordagens pode ser en ontrado em [25℄.
Figura 2.3:
Vírus on olíti os podem ser moldados para se repli arem ex lusivamente
em élulas an erosas. Figura extraída de [25℄.
A viroterapia não é uma idéia nova, ela surgiu quando alguns siologistas notaram que alguns pa ientes que sofriam de ân er, quando in identalmente adquiriam
ertas infe ções virais ou eram submetidos a va inação, melhoravam e seus sintomas 2 Pro esso
de ruptura das membranas elulares que levam à morte da élula e à liberação de seu
onteúdo 3 Terapia gêni a é um tratamento experimental que envolve a introdução de material genéti o (DNA ou RNA) nas élulas do pa iente para prevenir ou ombater o ân er, entre outras doenças. Mas em geral, um gene não pode ser diretamente inserido na élula de uma pessoa, então vírus são usados para inserir esse material genéti o.
12
Biologia do ân er
regrediam. Nas dé adas de
1940
e
1950 foram realizados vários estudos
[26, 27, 28℄ em
modelos animais para analisar o uso de vírus no tratamento de tumores e, em
1956,
Smith et al. [29℄ realizaram um dos primeiros testes líni os em humanos em estágios avançados de ân er ervi al om um vírus on olíti o. No entanto, pesquisas sistemáti as neste ampo só puderam ser realizadas muitos anos depois, devido a ne essidade de te nologias avançadas. O sistema imune dos mamíferos age no sentido de restringir a repli ação e a dispersão de patógenos invasores. Se por um lado ele é uma barreira à viroterapia, pois muitos vírus on olíti os são eliminados, por outro a estimulação viral do sistema imune adaptativo pare e ativar a resposta imune anti-tumoral, o que aumenta a e á ia da terapia. Os vírus on olíti os são administrados aos pa ientes por diferentes estratégias. Por razões de segurança, vetores virais baseados no vírus da varíola, no adenovírus, no reovírus, no vírus da doença de New Castle (NDV - New Castle Disease Virus), no Coxsa kievirus e no vírus da herpes simples (HSV - Herpes Simplex Virus) foram administrados por injeção intratumoral em testes pré- líni os [30, 31, 32, 33, 34℄. Tipi amente, a administração intratumoral não ausa efeitos olaterais signi ativos,
ausando apenas um in haço lo al temporário. Entretanto, uma baixa e iên ia ontra metástases é observada, pois em geral há pou o ou nenhum espalhamento do vírus do sítio primário de injeção [6℄. Como muitos pa ientes desenvolvem metástases, a administração intravenosa dos vírus on olíti os seria mais e az para extinguir o tumor primário e suas ol nias. Essa abordagem foi usada om su esso, por exemplo, por M Donald et al. [35℄. Entretanto, quando vírus on olíti os são administrados por via intravenosa a um pa iente, muitas barreiras os impedem de atingir o tumor e infe tar as élulas an erosas,
omo ilustrado na gura 2.4. Nessa abordagem, em geral observam-se efeitos olaterais signi ativos e sistêmi os. Os sintomas são semelhantes aos de uma gripe forte, mas pesquisadores têm desenvolvido estratégias para minimizar esses sintomas. Resumindo, viroses on olíti as têm efeitos olaterais limitados que são menos debilitantes que aqueles asso iados a terapias anti- ân er tradi ionais, omo a quimioterapia e têm mostrado sinais de e á ia. Alguns pesquisadores têm dedi ado-se a propor estratégias que fa ilitem o ataque das élulas tumorais por vírus on olíti os
omo, por exemplo, pesquisadores do Centro Médi o da Universidade do Estado de Ohio, que usaram vírus da herpes geneti amente alterados ontra gliomas malignos em amundongos [36℄. De a ordo om esse estudo, quando vírus são injetados em um
2.4 Terapia do ân er e Viroterapia
Figura 2.4:
13
Um dos problemas da administração intravenosa dos vírus on olíti os são
as barreiras naturais que os impedem de atingir o tumor. Alguns minutos após a injeção viral, uma parte dos vírus já foi absorvida pelo fígado. Os vírus que onseguem es apar deste órgão podem air na ir ulação e então podem ser rapidamente neutralizados pelo sistema imune. Para atingir as élulas tumorais, o vírus pre isa entrar no mi roambiente do tumor, ven er o gradiente de pressão provo ado pelo uido existente entre essas élulas e es apar da ação de omponentes do sistema imune in ltrados. Figura adaptada de [6℄.
tumor, em pou as horas eles são ata ados por élulas do sistema imune, diminuindo a e á ia da viroterapia. Nesse experimento, a medi ação quimioterapêuti a (Ci lofosfamida) foi administrada antes da injeção viral em alguns animais. Esta droga enfraque e as élulas do sistema imune, dando oportunidade ao vírus de se disseminar e eliminar uma quantidade maior de élulas an erosas. O estudo mostrou que os animais om tumor no érebro tratados om o vírus on olíti o vivem signi ativamente mais tempo quando a Ci lofosfamida é pré-administrada. Uma das di uldades en ontradas para o progresso das terapias baseadas em viroses on olíti as é a dis repân ia entre estudos
in vitro
e
in vivo.
Os estudos pré-
líni os forne em resultados muito mais promissores que os estudos líni os.
Isso é
devido, em parte, ao fato de que linhagens de élulas an erosas podem não re etir a
14
Biologia do ân er
biologia de tumores
in vivo e que tumores humanos, em geral, exibem heterogeneidade
líni a e genéti a. Portanto, um tratamento bem-su edido em um aso pode não ser e az em outros.
Uma nova abordagem para analisar a itotoxidade e a e á ia de
vírus on olíti os foi proposta por Wang et al.
[37℄.
Nessa abordagem eles sugerem
a utilização de espé imes de ân eres humanos primários
ex vivo
para esses estudos.
Ou seja, os tumores foram retirados de pa ientes e mantidos em ultura para serem infe tados om vírus e analisados. Portanto, a elu idação dos me anismos de ação dos vírus on olíti os depende fortemente de estudos em sistemas de ultura heterotípi os
ada vez mais re nados.
in vitro
e modelos
in vivo
Dada a omplexidade do problema, o desenvolvimento de
modelos matemáti os que des revam aspe tos fundamentais da ação da viroterapia sobre o res imento de tumores pode apresentar sugestões valiosas, reduzindo o número de experimentos ne essários.
CAPÍTULO 3 Modelando tumores A ompreensão da dinâmi a de res imento de um tumor é um dos grandes desa os da iên ia moderna e muitos modelos têm sido propostos nesse sentido. A aproximação mais tradi ional para modelar matemati amente sistemas biológi os é através de equações diferen iais.
Esses modelos são de nidos por um onjunto de equações
diferen iais a opladas, frequentemente não-lineares, que des revem a evolução espaçotemporal de diferentes elementos do sistema. Uma primeira aproximação para modelar tumores são os modelos fenomenológi os [38℄, que são baseados em equações diferen iais ordinárias. Eles têm a vantagem de serem mais simples que aqueles baseados em equações diferen iais par iais e em alguns asos podem apturar as prin ipais ara terísti as do pro esso estudado. Entretando, um modelo baseado em equações diferen iais ordinárias des reve apenas a evolução temporal do sistema e, na maior parte dos asos, a informação espa ial é relevante.
Nessas situações, modelos baseados em equações
diferen iais par iais ou aut matos elulares [39℄ são mais adequados. A abordagem via equações diferen iais par iais (EDP's) permite obter informações espa iais e temporais, des revendo desde pro essos físi os simples omo a difusão de nutrientes [38℄ a pro essos mais omplexos omo a formação de vasos sangüíneos [40℄. Aut matos elulares são modelos dis retos e permitem modelar ada élula individualmente, alterando seu estado a partir do estado das élulas vizinhas. As diferentes aproximações são importantes e não são mutuamente ex lusivas. Pelo ontrário, modelos que ombinam o aráter dis reto para alguns elementos e ontínuo para outros (modelos híbridos) têm sido propostos e seus resultados são estimulantes. Por exemplo, pode-se usar um aut mato elular para governar o estado de ada élula e equações diferen iais par iais para governar a dinâmi a da on entração de nutrientes [11℄. Cada abordagem será melhor des rita a seguir, através de uma oletânea de modelos 15
16
Modelando tumores
es olhidos na literatura por apresentarem onexões om os modelos estudados nessa dissertação, que serão des ritos em detalhes nos apítulos 4 e 5.
3.1
Modelos fenomenológi os Os modelos fenomenológi os são baseados em uma ou mais equações diferen iais
ordinárias (EDO's) e são uma aproximação simples para estudar a evolução temporal do tumor. Uma EDO tem a forma geral
~ dX(t) ~ X, ~ t) = f( dt em que
~ X(t)
~ X(t)
(3.1)
é a variável de estado, uja evolução depende de
f~.
As omponentes de
são quantidades que variam no tempo, omo populações elulares ou on entra-
ções de drogas. Um modelo desse tipo assume que o tumor é espa ialmente homogêneo e, além disso, que é ompletamente determinísti o.
3.1.1
Equação logísti a generalizada A partir da observação de que um tumor em estágios ini iais apresenta uma
urva de res imento sigmoidal, foi proposta a equação logísti a generalizada
ν dN µN N 1− = dt ν K para modelar res imento de tumores. Nela,
N(t) → K
para
t → ∞.
O aso
ν =1
é o número de élulas do tumor e
orresponde à equação logísti a usual, e sua
solução, dada por
K
N= 1+ é mostrada na gura 3.2.
N(t)
(3.2)
K N0
− 1 exp−µt
(3.3)
Entre os muitos modelos propostos a partir da equação
logísti a, pode-se itar o trabalho de Sa hs et al. [41℄ para o res imento e tratamento de tumores. Eles estudaram um modelo para a angiogênese tumoral e tratamento om inibidores de angiogênese. O tumor é onsiderado tão grande que a neovas ularização domina o suprimento de oxigênio e nutrientes. Foi usada a equação logísti a 3.2 om
ν=1
para a população de élulas tumorais e a equação
dK = −αc(t)K + ωN − γN 2/3 K, dt
(3.4)
3.1 Modelos fenomenológi os
17
para as élulas endoteliais, que suprem a neovas ularização. Aqui, positiva, rela ionada à e iên ia do agente quimioterápi o e agente na região do tumor, que obede e a droga administrada no tempo
t0 ,
e
à estimulação pelo tumor e o termo (c(t)
= 0),
S
c(t)
α
é uma onstante
é a on entração do
c(t) = c0 S(t − t0 ) exp[−r(t − t0 )]
é a função degrau.
γN 2/3 K ,
O termo
ωN
para a
orresponde
à inibição. Na ausên ia de tratamento
as equações logísti a e 3.4 espe i am um atrator global. Ou seja, após
deixar o estado pré-vas ular (não modelado neste trabalho) o tumor pode promover neovas ularização via estimulação das élulas endoteliais e então res er.
À medida
que o tumor res e, o termo de inibição de longo al an e gradualmente torna-se mais importante, a neovas ularização é diminuída e o tumor se aproxima da apa idade limite. Quando um inibidor de angiogênese é administrado, a neovas ularização tornase mais lenta, omo modelado pelo termo envolvendo
c(t)
na equação 3.4. Com isso,
o res imento do tumor torna-se mais lento ou o tumor pode regredir, dependendo da
on entração
c(t).
Por exemplo, na gura 3.1 são mostrados o res imento do tumor
(linha sólida) e a apa idade de suporte (linha pontilhada) usando os parâmetros e valores ini iais apropriados para o tratamento de tumor em ratos om endostatina a
20mg/kg
por dia.
O tratamento anti-angiogêni o é administrado entre o
100
e
190
dias do experimento. Ini ialmente o tumor res e e estimula um rápido res imento de novos vasos apilares.
Com o tratamento, o volume desses vasos diminui e om
pou os nutrientes o volume do tumor também é reduzido.
Quando o tratamento é
interrompido, os apilares e o tumor voltam a res er.
Figura 3.1:
Cres imento do tumor (linha sólida) e a apa idade de suporte (linha
pontilhada) usando parâmetros e valores ini iais adequados para um tratamento om endostatina (inibidor de angiogênese) em ratos entre os dias da referên ia original [41℄
10
e
19.
Figura retirada
18
Modelando tumores
3.1.2
Modelos Gompertzianos A equação de Gompertz foi estudada originalmente no modelo atuarial desen-
volvido por Gompertz em
1825
[7℄ e foi apli ada ao estudo de res imento biológi o e
em e onomia por Winsor [42℄ em
1932.
Em
1964
Laird et al. [43℄ mostraram que as
urvas de res imento de tumores primários transplantados de amundongos e oelhos podiam ser bem ajustadas por funções de Gompertz.
Nas dé adas seguintes foram
propostos muitos modelos Gompertzianos, omo o de Norton [44℄, que apresentava ex elente on ordân ia entre as previsões de seu modelo e dados experimentais oletados de
250
mulheres om ân er de mama sem tratamento. A equação de Gompertz pode ser es rita omo
dN = −bN ln dt em que
b
e
K
são dois parâmetros e a solução
A = ln(N0 /K).
Pode-se mostrar que
N(t)
N = K expA exp em que
N K
−bt
(3.5)
é dada por
,
N(t)
(3.6)
orresponde ao limite
ν → 0
equação logísti a generalizada (3.2). A omparação entre as funções logísti a om
da
ν=1
e de Gompertz pode ser vista na gura (3.2). 1,2
0,8
N k 0,4
0,0
0
20
40
t
60
80
Figura 3.2: Comparação entre as funções logísti a om
100
ν = 1
(linha ontínua) e de
Gompertz (linha pontilhada).
Entre os modelos baseados na equação de Gompertz propostos re entemente, podemos desta ar os trabalhos de Waliszewski [45℄ e de Fister e Panetta [46℄. Estes
3.2 Modelos Dis retos
19
últimos usaram uma extensão do modelo de Gompertz para des rever o res imento do tumor e o efeito do tratamento,
N dN = −bN ln − G(N, t), dt K G(N, t)
em que
(3.7)
des reve os efeitos farma o inéti os e farma odinâmi os da droga no
sistema. Eles estudaram diferentes estratégias para a quimioterapia, onsiderando a morte das élulas an erosas propor ional a:
•
massa do tumor, nesse aso
•
sua taxa de res imento (hipótese de Norton-Simon), om
•
uma função tipo Mi haelis-Mentem, om
em que
δ
é a magnitude da dose e
G(N) = δu(t)N ;
u(t)
G(N) = δu(t) ln(K/N);
G(N) = δu(t)N/(K + N),
des reve a dependên ia temporal da farma o i-
néti a da droga. Cada uma dessas estratégias foi ara terizada e, através de resultados numéri os, foi mostrado que se morte das élulas an erosas é propor ional a sua massa, o tratamento requer menos drogas se omparada a morte propor ional a taxa de res imento.
3.2
Modelos Dis retos Dentre os modelos dis retos para o res imento de tumores, os aut matos elu-
lares são provavelmente os mais onhe idos. Em sua forma mais usada, eles onsistem de élulas dispostas numa rede que evoluem em um número dis reto de passos de tempo de a ordo om um onjunto de regras baseadas no estado das élulas vizinhas. O número de estados que uma élula pode assumir é dis reto e as regras podem ser iteradas inde nidamente. Na literatura pode-se en ontrar muitos trabalhos que usam aut matos elulares para modelar o res imento de tumores [47, 48℄. Outra lasse de modelos dis retos in lui o modelo de Eden [9℄, o de Williams e Bjerknes [49℄ e o de Smolle e Stemer [50℄, que são atualizados sequen ialmente, o que os torna mais próximos de sistemas biológi os reais.
3.2.1
Modelo de Eden O modelo de Eden forne e uma aproximação dis reta e simpli ada para mo-
delar tumores avas ulares, omo o melanoma mostrado na gura 3.3.
Este modelo
20
Modelando tumores
foi ini ialmente des rito por Murray Eden [9℄ em
1961
om a nalidade de estudar a
esto a idade no res imento biológi o. A idéia bási a do modelo é adi ionar ao a aso partí ulas à vizinhança vazia de outras partí ulas do agregado, representando uma
élula que se divide mono lonalmente e sua des endente o upa um sítio vazio de sua vizinhança. A simulação pode ser feita em redes hiper úbi as de tamanho
Ld
om uma
partí ula ini ialmente olo ada no entro desta rede. Na literatura en ontram-se três versões mais estudadas do modelo de Eden [51, 52℄:
• Eden A:
a ada passo um sítio de res imento (sítio vazio que tem pelo menos
um vizinho o upado) é es olhido ao a aso e o upado;
• Eden B:
a ada passo um sítio de periferia (sítio do aglomerado que tem pelo
menos um vizinho vazio) é es olhido om igual probabilidade e um dos seus vizinhos vazios es olhido ao a aso é o upado;
• Eden C:
um sítio de res imento é es olhido om probabilidade propor ional ao
número de vizinhos o upados que ele possui e então é o upado. As estruturas geradas são aproximadamente esféri as, om um ontorno nãotrivial, omo podemos ver na gura 3.3, na qual foi simulada a versão Eden B. No Eden A a probabilidade de o orrên ia de reentrân ias e bura os dentro do agregado é muito maior que nas versões B e C. A primeira quantidade usada para ara terizar a interfa e desse modelo é o número de sítios de periferia (sítios do agregado que têm pelo menos um vizinho vazio) agregado
N
NP ,
que es ala om o número total de partí ulas do
de a ordo om uma lei de potên ia,
mostram [52℄ que o expoente
δ
d
Simulações de larga es ala
assume o valor trivial
δ= em que
NP ∼ N δ .
d−1 , d
(3.8)
é a dimensão do espaço onde o modelo é estudado.
interesse é a espessura da borda ou rugosidade
"
em que o onjunto de
N
w,
de nida omo [52℄
N 1 X (ri − r)2 w= N i=1
distân ias
ri
Outra quantidade de
#1/2
,
representa a interfa e e
(3.9)
r
é o valor médio dessas
distân ias. Podem ser usadas pelo menos duas de nições diferentes para as distân ias
ri :
na primeira,
ri
é a distân ia à semente ini ial (a rugosidade será representada por
3.2 Modelos Dis retos
21
Figura 3.3: Agregado típi o formado pelo modelo de Eden B na rede quadrada e foto de um melanoma, retirada de
w0 )
www.healingdaily. om/ onditions/skin- an er.htm
e na segunda é a distân ia ao entro de massa da borda (nesse aso a rugosidade
será es rita omo
wcm ).
Espera-se que a rugosidade obedeça uma lei de potên ia om
o número total de partí ulas do agregado,
w ∼ N β/d .
No modelo Eden B o expoente
res e para o valor assintóti o mais rapidamente do que no modelo Eden A que é
ara terizado por maior o orrên ia de reentrân ias. Voltaremos a tratar deste modelo no apítulo 4, quando iremos propor uma generalização do modelo de Eden na rede que minimiza a anisotropia imposta pela rede.
3.2.2
Modelo de Williams-Bjerknes A indução de um tumor na amada basal do epitélio foi simulada em 1972 por
Williams e Bjerknes [49℄. O on eito bási o que motiva o modelo é que o res imento de um tumor omeça quando uma úni a élula anormal divide-se mais frequentemente que suas vizinhas normais.
Nesse modelo, as élulas da borda do tumor, além de
dividir-se (o upar um vizinho normal), também podem ser substituídas por élulas normais. Baseados em onsiderações biológi as, eles restringiram a atenção apenas à
amada basal do epitélio, então o te ido é representado por uma rede bidimensional na qual sítios o upados representam as élulas tumorais e sítios vazios, as élulas normais. Cada simulação omeça om apenas uma élula an erosa, que divide-se frequentemente que as élulas normais;
κ(> 1)
κ
vezes mais
é denominada vantagem ar inogêni a.
22
Modelando tumores
Figura 3.4:
Con gurações de élulas tumorais (no interior da região delimitada) e
normais (pontos fora dessa região) para o modelo de Williams e Bjerknes, extraídas de [49℄. Na gura da esquerda,
κ = ∞,
na do meio,
κ=2
e
κ = 1.1
na gura da direita.
Todas as ligações unindo uma élula normal e uma an erosa vizinhas são igualmente prováveis para serem desfeitas a ada passo de tempo. por uma tumoral om probabilidade
κ/(κ + 1),
A vizinha normal é tro ada
representando uma élula tumoral que
se divide; om a probabilidade omplementar a vizinha an erosa é tro ada por uma normal. O modelo exibe dois omportamentos distintos: res imento ilimitado (κ e regressão ompleta do tumor (κ
≤ 1).
desapare e devido a utuações. O limite
No aso parti ular
κ = 1
> 1)
o tumor sempre
κ → ∞ orresponde ao modelo de Eden,
espe i amente à versão Eden B. Exemplos de on gurações obtidas para
mais
κ>1
são
mostrados na gura 3.4.
3.3
Modelos baseados em Equações Diferen iais Par iais Os estágios ini iais no res imento de um tumor são di ilmente diagnosti ados
em pa ientes devido ao tamanho reduzido da massa de élulas. Entretanto, este res imento tem sido bem estudado
in vitro, via sistemas de esferóides multi elulares.
Nesses
sistemas, uma úni a élula an erosa é introduzida em um meio líquido ontendo os nutrientes apropriados e as estruturas geradas têm ara terísti as bem-estabele idas,
omo pode ser observado na gura 3.5. Há uma amada externa de élulas em proliferação, élulas mortas no interior da estrutura e entre essas duas populações uma
amada de élulas quies entes, que não estão se dividindo mas estão vivas, apazes de
3.3 Modelos baseados em Equações Diferen iais Par iais
Figura 3.5:
23
Uma ilustração da estrutura de um tumor esferóide multi elular, om a
amada externa de élulas em proliferação, a amada de élulas quies entes e as élulas ne róti as na região interna. O diâmetro do esferóide é
1.4mm.
Figura reproduzida da
referên ia [60℄.
omeçar a se dividir se for ne essário e as ondições forem adequadas. Para modelar esses sistemas, Greenspan prop s dividir as élulas em proliferação, quies entes e ne róti as em ompartimentos separados, om omportamentos ontrolados por inibidores de res imento. Isso reduz o problema a determinar a lo alização das interfa es entre os ompartimentos, que são ontroladas pelos níveis de nutrientes e de inibidores. Essa abordagem tem sido amplamente usada [53, 54, 55℄, in luindo o estudo de res imento assimétri o [56℄ e estudos detalhados de soluções analíti as do modelo [57, 58℄. Entretanto, essa divisão em ompartimentos é arti ial, uma vez que a transição entre as diferentes amadas pode ser gradual. Sherratt e Chaplain [59℄ propuseram um modelo que exibe essa estrutura em amadas, sem nenhuma exigên ia
a priori para a estrutura
espa ial do tumor.
3.3.1
Modelo de Sherratt e Chaplain Sherratt e Chaplain [59℄ propuseram um modelo para tumores avas ulares, on-
siderando densidades ontínuas de élulas em proliferação, quies entes e ne róti as, junto om um fator de res imento genéri o.
Assume-se que o tumor é no e tem
aproximadamente a forma de um dis o. Além disso, o modelo envolve uma nova representação do movimento elular que re ete a migração por inibição de ontato. As
élulas ne róti as não podem se mover, mas as sub-populações em proliferação e qui-
24
Modelando tumores
es entes movem-se e esse movimento não tem nenhuma direção preferen ial. Apenas a difusão linear de ada sub-população impli ará na mistura de duas populações adja entes, o que é inadequado para gerar a estrutura extrati ada das élulas tumorais em estágios ini iais. Então, a presença de um tipo de élula deve limitar o movimento do outro tipo.
Esse fen meno é onhe ido omo inibição de ontato [61℄, e é bem
estabele ido em vários tipos elulares. O tumor é onsiderado no e, por simpli idade matemáti a, o modelo se restringe a uma dimensão espa ial, orrespondendo a uma seção transversal do tumor. Os autores alegam que essa aproximação não terá efeito signi ativo ex eto quando o raio do tumor for muito pequeno. O uxo total (de ambas as élulas quies entes
q
∂(p+q) e em proliferação p) é dado por − , orrespondendo à difusão linear. Assume-se ∂x que essas duas populações têm a mesma mobilidade, que não é afetada pelas élulas ne róti as. Então, do uxo total, uma fração
p/(p + q) será de élulas em proliferação e
∂(p+q) seu uxo será −[p/(p + q)] . O uxo das élulas quies entes é dado analogamente. ∂x No modelo, as élulas em proliferação dividem-se a uma taxa rela ionada a população total e elas tornam-se quies entes a uma taxa que depende da on entração
c
do fator
de res imento genéri o. De modo similar, as élulas quies entes tornam-se ne róti as a uma taxa que depende de
c.
O modelo exibe as estruturas om amadas observadas em esferóides multi elulares, sem nenhuma restrição
a priori
da distribuição espa ial das élulas do tumor. O
desenvolvimento dessa estrutura em amadas é essen ialmente uma função da inéti a
elular, dependendo das taxas de proliferação, quies ên ia e ne rose e da quantidade de fator de res imento. O termo de migração por inibição de ontato torna-se mais importante quando uma versão estendida do modelo é onsiderada, que in lui élulas normais envolvendo o tumor. Uma élula normal pode mover-se e dividir-se, mas em taxas menores que uma élula tumoral em proliferação. Simulações numéri as dessa versão estendida mostram um omportamento qualitativamente similar ao en ontrado no modelo original, mas a velo idade de res imento do tumor é reduzida om a in lusão das élulas normais. Outra ontribuição importante desse trabalho é a in lusão de um termo para suprimento de nutrientes do te ido adja ente. Este efeito é ausente em esferóides multi elulares res ido
in vitro,
mas é esperado no res imento de tu-
mores avas ulares no te ido epitelial. Os resultados obtidos mostram que a estrutura do tumor pode ser signi antemente alterada por esse efeito e os autores sugerem o desenvolvimento de análogos bidimensionais dos sistemas de esferóides multi elulares
omo um passo fundamental para aproximar os experimentos
in vitro
do res imento
3.4 Modelos de Multies ala ou Híbridos de tumores
3.4
25
in vivo.
Modelos de Multies ala ou Híbridos Outra estratégia para simular tumores é a ombinação de abordagens diferentes
para omponentes distintos do sistema onsiderado. Por exemplo, as élulas podem ser des ritas por um modelo dis reto e a on entração de nutrientes pode ser tratada omo uma variável ontínua que obede e alguma equação diferen ial. Nesse aso, o modelo envolveria duas es alas de tempo distintas, a primeira asso iada a difusão de nutrientes (∼
10s)
e a segunda rela ionada à dinâmi a elular (∼
10h),
por exemplo.
Então,
todas as ações elulares o orreriam no estado esta ionário do ampo de on entração de nutrientes. Exemplos dessa lasse de modelos são os propostos por Ferreira et al. [62℄, que será des rito em detalhes no apítulo 5, por Jing et al. [63℄ e por Sander e Deisboe k [64℄; esses dois últimos serão des ritos a seguir.
3.4.1
Modelo de Jiang et al. Jiang et al. [63℄ apresentaram um modelo para res imento de tumores avas-
ulares que onsidera três es alas:
ao nível elular, um modelo de Monte Carlo na
rede des reve a dinâmi a elular (proliferação, adesão inter elular e ne rose), em es ala sub elular, uma rede Booleana regula a expressão de proteínas que ontrolam o
i lo elular e ao nível extra elular, equações de reação-difusão des revem a dinâmi a de substân ias omo on entrações de nutrientes, resíduos, promotores e inibidores de
res imento. Cada élula é tratada omo uma entidade individual que o upa os sítios da rede dentro do seu domínio. Nesta representação, uma élula tem um volume nito e uma forma deformável. Uma élula típi a o upa
27
sítios da rede e as élulas têm ontato
direto e interagem umas om as outras através de adesão super ial e ompetição por espaço.
O meio de ultura não tem um volume de nido; portanto élulas em
proliferação podem invadir o espaço externo quando elas res em. No entanto, uma
élula ne róti a possui um volume de nido e orresponde a um orpo rígido. O modelo
onsidera a morte apenas por ne rose (a apoptose não é onsiderada). As interações de adesão e ompetição por espaço são ara terizadas através da energia total
H=
X hiji
Jτ (Si )τ (Sj ) [1 − δ(Si , Sj )] +
X
élulas
γ(νi − V T )2 ,
(3.10)
26
Modelando tumores
em que
S τ
élulas
identi a a élula, e
τ′
e
δ
Jτ τ ′
orresponde a energia de adesão entre os tipos de
é a função delta de Kroneker; este termo des reve a energia total
devido a adesão super ial entre as élulas. No segundo termo, da élula
νi
e
i e o volume ara terísti o de uma élula, respe tivamente,
VT
são o volume
γ
é o oe iente
e
orrespondendo à elasti idade do volume elular. A probabilidade de uma élula mudar de estado está rela ionada à diferença de energia total devido a essa mudança. As élulas também interagem om seu mi roambiente que, nesse modelo, é ara terizado pela on entração de nutrientes (oxigênio e gli ose), resíduos metabóli os (la tato), promotores e inibidores de res imento.
Essas on entrações são des ritas
por equações de reação-difusão da forma
∂u = D∇2 u + f (~x) ∂t em que a substân ia taxa
f,
(3.11)
u tem onstante de difusão D e é produzida (ou onsumida) a uma
que depende do estado da élula individual, ou seja, é uma função da posição.
A passagem de uma élula pelo i lo elular é ontrolada por proteínas itoplasmáti as e é representada no modelo por uma rede regulatória de proteínas simpli ada, que ontrola a transição entre as fases
G1
e
S.
A expressão dessas proteínas regula-
tórias é in uen iada pela on entração dos promotores e inibidores de res imento. Dependendo do ponto do i lo elular em que a élula estiver, ela terá maior probabilidade de exe utar determinada ação. Uma élula na fase
G1
de tornar-se quies ente, se ela estiver na fase seguinte (fase
tem maior probabilidade
S ),
estará mais propensa a
dividir-se. As simulações apresentaram on ordân ia qualitativa e quantitativa om resultados experimentais para urvas de res imento de esferóides de tumores mamários de
amundongos sob diferentes ondições de suprimento de nutrientes. Além disso, o modelo prediz as ondições do mi roambiente ne essárias para a sobrevivên ia das élulas e sugere possíveis andidatos para os promotores e inibidores de res imento.
3.4.2
Modelo de Sander e Deisboe k Este modelo foi proposto por Sander e Deisboe k em
2002
[64℄ para estudar
padrões de res imento de tumores altamente malignos no érebro, em parti ular a origem e estrutura da zona invasiva. Nessa abordagem, o elemento- have que ontrola os padrões é a atração homotípi a, ou seja, a tendên ia de élulas invasivas de per orrerem trajetórias previamente exploradas. Esta atração homotípi a é um tipo de
3.4 Modelos de Multies ala ou Híbridos
Figura 3.6:
27
Comparação de uma imagem mi ros ópi a de um gliobastoma humano
em ultura (à esquerda) om um dos resultados de simulação do modelo de Sander e Deisboe k (à direita). Figuras retiradas de [64℄.
quimiotaxia (movimento dire ionado por gradientes quími os) em que a élulas se retam um agente solúvel que atrai outras élulas. Ela também pode ser ausada pelo dano do te ido por élulas invasoras, que riam vias pelas quais outras élulas podem seguir mais fa ilmente. O modelo foi estudado por meio de duas abordagens. Na primeira, um onjunto de equações de reação-difusão foi usado para des rever as on entrações de élulas
an erosas, nutrientes e do fator de atração homotípi o, que é produzido pelas élulas móveis do tumor. Para saber se as rami ações observadas experimentalmente ( gura 3.6(a)) poderiam ser formadas nessa versão ontínua, foi feita uma análise de estabilidade no modelo. Foi identi ada uma instabilidade intrínse a, que leva a formação de padrões rami ados na zona de invasão do tumor. A outra abordagem utilizada para investigar a formação das rami ações nos tumores foi um modelo híbrido, que ombina uma des rição dis reta para a expansão da zona invasiva e um modelo ontínuo para a on entração de nutrientes. O modelo foi estudado na rede quadrada om onstante de rede igual ao diâmetro
elular.
A ada sítio da rede é atribuído um valor
sítio estiver o upado por uma élula an erosa ou substituídos por um úni o ampo es alar
n
0
c
que pode ser igual a
1
se o
aso ontrário. Os nutrientes são
dado pela solução esta ionária da seguinte
equação de difusão resolvida na mesma rede usada para des rever as élulas,
∂n = D∇2 n − α(n)c, ∂t
(3.12)
28
Modelando tumores
na qual o último termo orresponde ao onsumo de nutrientes pelas élulas an erosas e
α(n)
é dado por
α(n) = em que
n0
(
n ≤ n0
α0 n/n0
, se
α0
, aso ontrário
(3.13)
é uma on entração de saturação ara terísti a. A ondição de ontorno
na superfí ie do nú leo entral é
n = 0
e longe do tumor
n = n∞ ,
em que
n∞
é a
on entração de nutrientes introduzida no iní io do experimento. A on entração de nutrientes é normalizada por
N = n/n∞ .
Cada élula pode mover-se para algum sítio vizinho vazio om uma taxa
1,
a menos que ela esteja em um gradiente de nutrientes ou sob atração homotípi a.
Se a élula estiver em um gradiente de
N,
w(N) = γ3 (3N + 1)−2 ∇N, se
w(0) =
∇N ,
o gradiente numéri o de
N
(3.14)
naquela direção, é positivo. A intensidade da qui-
miotaxia é ontrolada pelo parâmetro
γ3
e o segundo fator vem da lei dos re eptores.
Para a atração homotípi a, são mar ados os sítios previamente visitados e as taxas de movimento nesses sítios são multipli adas por
γ1 .
Para reproduzir os resultados
experimentais om esferóides multi elulares ( gura 3.6 à esquerda), as simulações têm
omo ondição ini ial um dis o de élulas imóveis e er a de
100
élulas móveis irre-
gularmente distribuídas em torno dele. Ao longo do res imento, élulas imóveis om pelo menos um vizinho vazio podem se dividir e o upar um desses vizinhos. Sem quimiotaxia nem atração homotípi a, as élulas per orrem aminhadas aleatórias, gerando um padrão ompa to que não representa os padrões observados experimentalmente. Com atração homotípi a e quimiotaxia fortes os agregados apresentam uma zona de élulas dispersas, que apenas sugere a formação de adeias elulares. A gura 3.6 à direita é o resultado de quimiotaxia e atração homotípi a muito fortes e nela pode-se observar rami ações relativamente bem-de nidas. Além desse resultado, o modelo permite explorar e analisar as transições entre os diferentes regimes de
res imento. Um dos aspe tos interessantes desse modelo é a sua onstrução que onsidera apenas aspe tos biológi os bem fundamentados e a utilização de parâmetros determinados experimentalmente. Entretanto, falta um estudo mais detalhado prin ipalmente do tratamento dado à atração homotípi a e a in lusão de aspe tos importantes omo, por exemplo, a elasti idade do te ido que envolve o tumor.
3.5 Modelos para viroterapia 3.5
29
Modelos para viroterapia Provavelmente, o primeiro modelo para a propagação de vírus entre élulas foi
proposto por Oels hläger [65℄ em
1992.
Ele onstruiu um modelo esto ásti o para
a dispersão espa ial das partí ulas de vírus e sua propagação em uma população de
élulas. O estudo espe í o do res imento de tumores infe tados om vírus on olíti os
omeçou em
2001
om Wu et al. [66℄ e Wodarz [67℄. Em
2003
Friedman e Tao [68℄
propuseram outro modelo, baseado no proposto por Wu et al. As prin ipais diferenças entre esses dois modelos são o termo de difusão para a densidade de vírus que Friedman e Tao introduziram e o termo rela ionado à infeção das élulas an erosas. Ferreira et al. [12℄ simularam viroterapia a res entando o tratamento ao modelo híbrido previamente proposto por eles [69℄ para o res imento de tumores primários. Nessa abordagem, as
élulas têm uma des rição dis reta, enquanto os nutrientes e os vírus são tratados omo quantidades ontínuas.
3.5.1
Modelo de Wu et al. Wu et al. [66℄ propuseram em
2001 um modelo baseado em equações diferen iais
par iais para des rever o res imento de tumores radialmente simétri os infe tados om vírus on olíti os. O tumor é modelado omo um uido in ompressível, no qual as élu-
u(r, t),
las movem-se através de um ampo onve tivo uja velo idade,
é de nida pelas
variações espaço-temporais na proliferação e na remoção elulares. São de nidas equações para a evolução das variáveis dependentes
y(r, t) R(t)
( élulas tumorais infe tadas),
n(r, t)
x(r, t) ( élulas tumorais não-infe tadas),
( élulas ne róti as),
v(r, t)
(vírus livres) e
(raio do tumor). A densidade total de élulas é onsiderada onstante. Assumiu-se que a taxa de infe ção das élulas entradas em
r
é propor ional ao
produto da on entração de élulas não-infe tadas e a média espa ial da on entração de vírus na superfí ie de uma esfera de raio rc entrada em sofrem lise a uma taxa
δ
do tumor a uma taxa
µ.
r.
Todas as élulas infe tadas
e, após sofrer lise, elas se tornam ne róti as e são removidas Quando um élula infe tada morre,
são liberadas uniformemente através de uma esfera de raio vírus é tratada omo uma onstante
γ.
rc .
N
partí ulas de vírus
A taxa de remoção dos
Neste modelo, o vírus não se move por difusão
ou onve ção, ele é apenas transportado pela élula. Entretanto, os três tipos elulares se movem através de um ampo de onve ção. Foram impostas simetria radial e ondições de Neumann na origem para as
30
Modelando tumores
élulas tumorais infe tadas, não-infe tadas e para os vírus e na borda do tumor para os vírus, pois eles não es apam do tumor, uma vez que não difundem nem se movem por
onve ção. Foram onsiderados três tipos de administração dos vírus: injeção apenas na borda do tumor ( orrespondendo à via intravenosa, ou seja, os vírus são injetados na
orrente sanguínea e infe tam primeiro as élulas na borda do tumor), injeção apenas na região mais interna do tumor e intratumoral uniforme (ou seja, vírus são injetados uniformemente em todo o tumor). No aso da injeção uniforme om o onjunto de parâmetros estimados pelos autores, o raio do tumor res e ini ialmente, atinge um máximo er a de uma semana após a injeção e então diminui exponen ialmente. Este omportamento não depende da fração de élulas tumorais ini ialmente infe tadas e do raio ini ial do tumor quando a viroterapia omeça. Guiados por esses resultados, os autores usaram uma aproximação de estados quase-esta ionários e também negligen iaram a dependên ia espa ial, reduzindo o modelo a um sistema de equações diferen iais ordinárias. A on ordân ia entre as urvas de evolução do raio do tumor na versão original e na simpli ada é mostrada na gura 3.7(a) e indi a que o modelo simpli ado é uma boa aproximação no aso da injeção uniforme. Para essa versão simpli ada, as densidades de élulas infe tadas e não-infe tadas sofrem os ilações amorte idas antes de atingirem seus estados esta ionários, omo mostrado na gura 3.7(b). Para a injeção apenas na região entral do tumor, as ondições ini iais são de isivas para o ontrole do tumor.
Se a espessura da borda não-infe tada é su i-
entemente pequena, observa-se ini ialmente que a onda de infe ção é mais rápida que o res imento do raio do tumor. Assim, a onda de infe ção atinge a borda do tumor e, em tempos longos, o tumor é extinto. Novamente foi usada uma aproximação espa ialmente homogênea e, nessa versão, foram determinados os três omportamentos observados (o tumor pode res er exponen ialmente, atingir um tamanho onstante ou ser erradi ado) em função da espessura ini ial da borda não-infe tada. Para a injeção apenas na borda do tumor, as ondições ini iais também são importantes. Neste aso, o orre uma ompetição entre a propagação da onda de infe ção para dentro do tumor e a sua expansão radial. Observou-se que vírus livres tendem a se a umular na região entral do tumor, aparentemente devido a propagação da onda de infe ção que permite que os vírus penetrem nessa região e a baixa velo idade onve tiva lo al das élulas que os mantém on nados.
Esses vírus on nados podem
ausar uma segunda onda de infe ção de dentro para fora do tumor, o que é su iente para ontrola-lo. Neste aso também foi usada uma análise via equações diferen iais
3.5 Modelos para viroterapia
(a)
31
(b)
Figura 3.7: (a) Evolução do raio do tumor no modelo de Wu et al. om a abordagem via EDP's (linha ontínua) e na versão simpli ada (linha pontilhada) quando os vírus são uniformente distribuídos sobre o tumor. Em (b) é mostrada a evolução de élulas infe tadas (linha pontilhada) e não-infe tadas (linha ontínua) para a versão simpli ada. Note a presença de os ilações amorte idas antes do estado esta ionário. Figuras extraídas da referên ia original [66℄.
ordinárias e os omportamentos foram ara terizados em função da espessura da borda ini ialmente infe tada. Os resultados de Wu et al. mostram que a injeção apenas na borda do tumor é laramente mais e iente que aquela apenas no entro quando a segunda onda de infeção é onsiderada e, mesmo sem essa segunda onda, em alguns asos a injeção na borda é mais e az. Foi onsiderada também a morte por ne rose, ou seja, limitada por nutrientes. Neste aso, os resultados sugerem que a injeção apenas na borda do tumor é mais e iente que a injeção no interior do tumor, pois enquanto no primeiro aso a ne rose e a lise se omplementam, no segundo elas são redundantes. Wein et al.
estudaram posteriormente este modelo em três dimensões [70℄ e,
neste aso, a apa idade dos vírus infe tarem élulas distantes da região onde a viroterapia foi administrada é drasti amente reduzida omparada à mono amada elular (duas dimensões). Mas se a viroterapia for administrada de uma forma extremamente agressiva geogra amente, ou seja, se os vírus forem distribuídos por todo o tumor e algum imunossupressor e iente for administrado em onjunto, o tumor é erradi ado. Eles in luiram ainda a resposta imune no modelo [71℄, por meio de uma equação
32
Modelando tumores
diferen ial par ial. O modelo prevê que o tumor não pode ser ontrolado na presença do sistema imune. Para que os resultados do modelo reproduzissem os dados experimentais, foi onsiderado um atraso temporal na resposta do sistema imune aos vírus. Os resultados desse trabalho pre isam ser analisados om muita autela, pois a estimativa de vários parâmetros foi feita a partir de dados de um úni o pa iente, que os autores alegam ser representativo.
3.5.2
Outros modelos para viroterapia A partir do modelo de Wu et al., Friedman e Tao [68℄ propuseram outro modelo
matemáti o para des rever a evolução de tumores sob viroterapia. Eles a res entaram um termo de difusão para a densidade de vírus e alteraram o termo de infe ção. Enquanto no modelo de Wu et al. este termo envolve a densidade viral integrada sobre a superfí ie das élulas, na proposta de Friedman e Tao este termo é a taxa de liberação de vírus multipli ada pela densidade de élulas tumorais infe tadas. Friedman e Tao mostraram que, se as densidades ini iais de élulas infe tadas
ys
e não infe tadas
( om
δ < µ,
em que
xs δ
são aproximadamente iguais a
0
e
1 − δ/µ
é a taxa de morte de élulas infe tadas e
µ
, respe tivamente
é a taxa de remoção
de élulas ne róti as), então, para a administração de uma densidade de vírus
(δ/γ)ys (γ
é a taxa de remoção dos vírus), o raio do tumor irá de res er monot ni a e
exponen ialmente a zero quando Em
vs ≃
2005,
t → ∞.
Tao e Guo [72℄ estudaram o modelo de Wu et al. [70℄ om interação
entre élulas tumorais, vírus on olíti os e o sistema imune. Eles zeram uma análise matemáti a mais rigorosa do modelo e a res entaram termos difusivos às densidades de vírus e de resposta imune. Também investigaram os efeitos de um atraso imune no res imento do tumor.
ríti o
τ0
τ
da resposta
Eles provaram analiti amente que existe um valor
para esse atraso tal que o sistema apresenta solução periódi a se
Posteriormente, Friedman et al.
τ > τ0 .
[73℄ estudaram o efeito do sistema imune e
sua supressão, a res entando ao modelo anterior as élulas do sistema imune inato e o agente imunossupressor i lofosfamida. Portanto, os vírus podem ser destruídos pelas
élulas do sistema imune. Os parâmetros foram estimados para on ordar om resultados experimentais para gliomas, enquanto no modelo de Wu et al. [66℄ foram usados dados de tumores do pes oço e da abeça, muito menos agressivos que gliomas. Na gura 3.8(A) são mostrados os resultados de simulação e experimentais em amundongos para o número de élulas infe tadas sem a administração do imunossupressor em
3.5 Modelos para viroterapia
Figura 3.8:
33
Dados experimentais versus resultados de simulação. (A), élulas tumorais
infe tadas sem i lofosfamida; (B), élulas do sistema imune sem i lofosfamida; (C),
élulas do sistema imune om o imunossupressor.
1,
após
6
horas;
2,
após
72
horas;
3,
antes dos amundongos morrerem. Grá o extraído da referên ia original [73℄.
dois instantes de tempo. Em 3.8(B) são apresentados os resultados para a por entagem de élulas do sistema imune sem o pré-tratamento om i lofosfamida. Na gura 3.8(C) são mostrados os dados experimentais, quando i lofosfamida é administrada e a orrespondente simulação numéri a.
Apenas após
72h
desde a administração os
resultados experimentais e do modelo apresentam dis repân ia. A arga viral, ou o número de vírus produzidos a partir de uma úni a élula infe tada, é um parâmetro importante do modelo e varia largamente om o vírus onsiderado. Para o vírus HSV selvagem, ela é da ordem de milhares; entretanto, para o vírus on olíti o do vírus
hrR3
hrR3,
ela varia de
10
a
100.
O modelo mostrou que om a arga viral
o tumor não pode ser erradi ado om o tratamento om i lofosfamida;
de fato, o raio do tumor res e e os amundongos morrem em pou as semanas. Se o vírus puder ser alterado para ter arga viral
b > 150
então o tumor ontrair-se-á para
um pequeno tamanho mesmo sem o tratamento om i lofosfamida. Contudo, um tratamento om i lofosfamida ainda será importante pois ela reduz a por entagem de
élulas não-infe tadas, reduzindo portanto o ris o de tumores se undários.
CAPÍTULO 4 Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes O modelo de Eden, introduzido no apítulo 3, é um modelo dis reto que pode ser usado para simular tumores avas ulares. Simulações desse modelo em redes regulares são mais simples que simulações fora da rede, mas a rede impõe anisotropia aos agregados gerados. Neste apítulo será apresentada uma estratégia para reduzir essa anisotropia no modelo de Eden, baseada no algoritmo generalizado proposto por Alves
Diusion-Limited Agregation ).
e Ferreira [74℄ para o modelo DLA (
Nossas simulações
usando essa estratégia não identi aram anisotropia nos padrões gerados, forne endo resultados em on ordân ia om aqueles obtidos em simulações fora da rede.
4.1
Introdução Modelos dis retos, simulados em redes regulares são úteis devido à fá il imple-
mentação omputa ional mas, em geral, esses modelos são muito sensíveis à anisotropia intrínse a da rede. Isso torna-se evidente em modelos res idos a partir de uma úni a partí ula (uma semente) e por isso análises de es ala da interfa e nesses modelos são muito menos freqüentes que em modelos de deposição nos quais o res imento o orre a partir de uma superfí ie lisa. Padrões de res imento para os dois tipos de ondições ini iais são mostrados na gura 4.1. Contudo, agregados obtidos a partir de uma úni a partí ula também são freqüentes na natureza e a análise de seus ontornos pode forne er informações valiosas sobre seus omportamentos dinâmi os.
Re entemente,
a análise de es ala tem sido apli ada a problemas importantes omo o res imento 34
4.1 Introdução
35
de alguns tipos de tumores [75, 76, 77℄. No aso parti ular do modelo de Eden om
Figura 4.1:
Modelo de Eden B res ido na rede quadrada usando duas ondições
ini iais diferentes: (a) uma semente no entro da rede e (b) uma super ie lisa. No primeiro aso o agregado possui
2662
partí ulas e, no segundo,
6203
partí ulas.
ondição ini ial dada por uma semente, as estruturas obtidas possuem simetria aproximadamente radial e a dinâmi a do modelo é restrita à borda.
Portanto podemos
fazer uma analogia om o res imento a partir de uma superfí ie e onsiderar o tempo propor ional ao raio médio de tamanho
L,
r.
Para sistemas res endo a partir de uma interfa e lisa
geralmente a largura da interfa e ou rugosidade
mes distintos separados por um tempo de saturação
ts ,
w
possui dois regi-
omo ilustrado na gura 4.2.
Ini ialmente, a rugosidade aumenta omo uma lei de potên ia dada por
w ∼ tβ O expoente
β
t ≫ ts ,
(4.1)
a rugosidade entra em um regime de saturação que depende
L, w ∼ Lα
em que o expoente
ts
t ≪ ts .
ara teriza a dependên ia om o tempo e é onhe ido omo expoente de
res imento. Para de
para
para
t ≫ ts ,
(4.2)
α é onhe ido omo expoente de rugosidade.
O tempo de saturação
também depende do tamanho do sistema, seguindo a lei de potên ia
ts ∼ Lz .
(4.3)
Pode-se mostrar que a rugosidade segue a lei de es ala de Family-Vi sek [78℄,
α
w(L, t) = L f
t Lz
,
(4.4)
36
Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes
ts
w ~ ws
β
w
w~t
10
0
0
10
10
2
1
10
10
t
3
4
10
Figura 4.2: Grá o em es ala logarítmi a típi o para a evolução da rugosidade. Ini ialmente, a rugosidade aumenta omo uma lei de potên ia e permane e aproximadamente
onstante após o tempo de saturação.
Uma forma apropriada para a função de es ala
f (x) ∼
(
f (x)
é
xβ
para
x≪1
onstante
para
x≫1
(4.5)
Dada a função de es ala 4.5 é possível determinar uma relação entre os expoentes
α, β
e
z.
Aproximando do ponto (ts , w(ts )) na gura 4.2 pela esquerda,
w(ts ) ∼ tβs ∼ Lβz .
(4.6)
E aproximando-se do mesmo ponto pela direita obtém-se
w(ts ) ∼ Lα .
(4.7)
βz = α.
(4.8)
Dessas duas relações, obtemos
Essa relação é válida para qualquer pro esso de res imento que obedeça à relação de es ala 4.4. O onjunto de expoentes
(α, β)
de ne uma lasse de universalidade e pode re-
velar propriedades fundamentais da dinâmi a da interfa e. Simulações do modelo de Eden res ido a partir de um substrato liso [52, 79, 80℄ mostram que o modelo perten e a lasse de universalidade KPZ (Kardar-Parisi-Zang) [81℄. Entretanto, Zabolitzky e Stauer [82℄ simularam a versão Eden A na rede quadrada e mostraram que para
4.1 Introdução
37
tamanhos pequenos, um expoente próximo ao da lasse KPZ era obtido (β
≈ 1/3),
enquanto para agregados assintoti amente grandes uma dependên ia linear no tempo era observada (β
→ 1).
β →1
O valor
é devido a forma do agregado imposta pela
rede quadrada [83℄. Wang et al. [84℄ zeram simulações fora de rede e obtiveram o expoente
0.396,
β =
que eles sugeriram ser próximo ao da lasse KPZ. Este expoente foi obtido
tomando o entro de massa da borda do agregado omo origem para o ál ulo da rugosidade. Entretanto, Ferreira e Alves [85℄ mostraram que este expoente é devido a utuações do entro de massa da borda e que, quando a semente ini ial é usada
omo origem, o expoente KPZ é obtido.
Pro edimentos que permitam diminuir a
in uên ia da rede em modelos de res imento omo o de Eden seriam úteis também para obter o expoente assintóti o sem tanto esforço omputa ional quanto é ne essário em simulações fora de rede.
Como nem sempre a anisotropia imposta pela rede é
óbvia, usa-se o método de redução de ruído para eviden iar essas direções preferen iais de res imento.
4.1.1
O modelo de Eden om redução de ruído Um pro edimento omumente usado para eviden iar a anisotropia de agregados
é a redução de ruído, que onsiste em asso iar um ontador a ada sítio vazio da rede que é aumentado em uma unidade sempre que o sítio é es olhido para res er. Um sítio é o upado somente após ter sido sele ionado
m
vezes. Esse pro edimento eviden ia a
anisotropia imposta pela rede pois privilegia a o upação dos sítios que possuem maior probabilidade de serem o upados. A apli ação do método de redução de ruído ao modelo de Eden foi feita por Bat helor e Henry [83℄. medida que
m aumenta.
Eles mostraram a variação na morfologia dos agregados à No aso
m = 1 (sem redução de ruído) os agregados adquirem
uma forma aproximadamente ir ular om o aumento do número de partí ulas
aso
m → ∞,
N
e, no
mesmo para simulações om pou as partí ulas, a forma dos agregados
tende à de um losango (em duas dimensões). Na gura 4.3 podem ser vistos agregados bidimensionais gerados usando-se diferentes valores para o parâmetro
m.
Podemos
notar que os efeitos de anisotropia tornam-se mais evidentes à medida que o parâmetro
m
é aumentado.
38
Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes
Figura 4.3:
Exemplos de agregados de Eden gerados usando-se diferentes valores para
o redutor de ruído:
m = 20
(sem redução de ruído),
foram obtidas usando-se redes de tamanho
4.2
m = 25
,
m = 214 .
As estruturas
100 × 100.
Regra de res imento generalizada Agora será proposta uma nova estratégia para o res imento de agregados iso-
trópi os do modelo de Eden na rede sem alterar sua lasse de universalidade [10℄. Ela
Diusion-Limited Agrega-
é baseada em um algoritmo generalizado do modelo DLA (
tion )
[86, 51, 52℄ na rede proposto por Alves e Ferreira [74℄ a partir do trabalho de
Bogoyavlenskiy [87℄.
Para tentar remover a anisotropia dos agregados res idos em
redes, a probabilidade de o upação de ada sítio es olhido é propor ional ao número
k
de vizinhos o upados deste sítio, ou seja,
ν k . Pk = 4 Para de
ν
ν = 0 o modelo de
(4.9)
Eden original é re uperado e esperamos obter um valor ríti o
que minimize a anisotropia. O valor no denominador é o número de oordenação
(número de primeiros vizinhos de um sítio qualquer) da rede quadrada. Usando esse algoritmo, a ada passo de tempo um sítio de periferia é es olhido
om igual probabilidade e um dos seus vizinhos vazios es olhido ao a aso irá res er
om probabilidade para res er.
Pk ,
em que
k
é o número de vizinhos o upados do sítio es olhido
Caso a probabilidade indique a favor da o upação, adi ionamos
ontador deste sítio. Apenas quando o ontador for igual ao parâmetro o upado.
m
1
ao
o sítio será
4.3 Resultados
39
(a)
Figura 4.4:
ν = 0.51
4.3
(b)
(c)
Padrões res idos em redes de tamanho
e ( )
ν = 1.
Redutor de ruído
m = 214
100 × 100
para (a)
ν = 0,
(b)
foi usado em todos os asos.
Resultados É importante ressaltar que para fazer simulações em larga es ala do modelo de
Eden é ne essário um algoritmo otimizado. A prin ipal otimização que implementamos para reduzir a alo ação de memória foi usar uma matriz
L × L/8
pois a menor variável inteira na linguagem FORTRAN o upa
em vez de uma
1
byte,
ou seja,
L × L, 8
bits.
Uma vez que o modelo possui apenas sítios vazios e o upados, o estado de ada sítio pode ser representado por um
bit.
Para omeçar o estudo do modelo, apli amos a té ni a de redução de ruído para eviden iar a anisotropia nos padrões. Na gura 4.4 são mostradas as bordas de agregados gerados om uma redução de ruído
m = 214 .
Pode-se notar que há uma transição
entre agregados om anisotropia axial para estruturas om anisotropia diagonal. Estamos interessados no valor de
ν
no qual esta transição o orre e o agregado obtido
é o togonal ( gura 4.4(b)). A rugosidade da borda dos padrões forne e uma medida da dispersão dos sítios de periferia em torno do raio médio do agregado.
Portanto,
esperamos que no ponto onde houver a transição, omo o agregado será isotrópi o, a rugosidade será mínima. Para ada valor de redes
ν
simulado foram res idos
100×100 no limite sem ruído.
10
agregados independentes em
Foram feitas médias sobre a rugosidade
w0 de ada
um desses agregados e os resultados são mostrados na gura 4.5(a). Há um mínimo global em
νc
νc = 0.507±0.005.
Na gura 4.5(b) apenas a região em torno do valor ríti o
é mostrada e o erro foi estimado através da extrapolação dos dados dessa gura A transição também pode ser observada nas simulações sem redutor de ruído,
omo pode ser visto na gura 4.6. Nesta gura, foram desenhados ír ulos de diâmetro
40
Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes (a)
(b)
9
2,12
8
2,08
6
w0
w0
7
5 4
2,04
3 2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
2,00
0,500 0,505 0,510 0,515 0,520
ν
Figura 4.5:
ν
(a) Rugosidade para o modelo Eden B no limite sem ruído (m
urvas orrespondem a médias feitas sobre
10
amostras em redes
mostrada apenas a região próxima ao valor ríti o
L
= 214 ).
100 × 100.
As
Em (b) é
νc .
entrados na semente e mostramos apenas o primeiro quadrante das bordas dos
agregados para eviden iar a transição de padrões om simetria axial ( g. 4.6 (a)) para simetria diagonal ( g. 4.6( )). Porém, a transição o orre em
νc ≈ 1, um valor diferente
daquele en ontrado no limite sem ruído, omo também observado por Alves e Ferreira para o modelo DLA [74℄. Para estimar quantitativamente o valor de
νc ,
analisada. Foram res idos agregados om mais de
64000 × 64000
a evolução da rugosidade
4 × 10
9
w0
foi
partí ulas em redes om
sítios. Essas simulações são quatro vezes maiores que as previamente
publi adas [82℄. Na gura 4.7, a rugosidade é mostrada em função do raio médio para valores de
ν
próximos de
( gura 4.7(a)) e
ν > 1.0
1.
As urvas apresentam urvaturas positivas quando
( gura 4.7(b)), enquanto para
lei de potên ia. Além disso, em
ν ≈1
o expoente
para a lasse de universalidade KPZ, ou seja,
β
ν = 1.0
ν < 1.0
observamos uma úni a
está muito próximo ao esperado
β = 1/3.
Para determinar o ponto de urvatura nula, que orresponde a ausên ia de anisotropia, ajustamos polin mios úbi os
P3 (r)
ao logaritmo dos dados e al ulamos
a urvatura média, de nida por
1 κ= log10 rf − log10 ri
Z
log10 rf
log10 ri
κ(r)dr,
(4.10)
4.3 Resultados
41 (b)
(a)
Figura 4.6:
Bordas de agregados res idos em redes
redução de ruído) e (a)
ν = 0,
(b)
ν = 1.0
e ( )
(c)
104 × 104
ν = 2.0.
om
m = 1 (ou seja, sem
Apenas o primeiro quadrante
é mostrado e as linhas pontilhadas representam ír ulos de diâmetro
L
usados para
eviden iar os desvios da forma ir ular.
em que
ri
e
rf
são os limites inferior e superior dos dados usados no ajuste úbi o,
respe tivamente, e
κ(r)
é a urvatura lo al de nida por
κ(r) =
P3′′ [1 + (P3′ )2 ]3/2
.
(4.11)
A urvatura média é mostrada omo uma função de
ν − νc
observamos uma variação abrupta em torno do mínimo de o orre entre se
ν = 0.999
β = 0.325 ± 0.017 e
e
ν = 1.001,
obtem-se
na gura 4.8, na qual
κ.
νc = 1.000 ± 0.001.
Como o mínimo de Para
ν = 1.0,
κ
obtem-
a in erteza nesse expoente foi obtida onsiderando as utuações
da in linação lo al em partes distintas da urva da rugosidade. Este valor está próximo ao da lasse de universalidade KPZ, omo esperado para o modelo de Eden original. É muito importante observar que a es olha da origem in uen ia na análise de es ala da interfa e, omo mostrado re entemente para o modelo de Eden fora da rede [85℄.
Em parti ular, se a rugosidade é al ulada em relação ao entro de massa da
borda (CM), obtem-se
βCM ⋍ 2/5
[85℄, que difere do expoente da lasse KPZ obtido
quando a semente ini ial é usada omo origem. Esta diferença está asso iada ao fato das utuações do entro de massa da borda res erem mais rapidamente que as utuações da interfa e.
Na gura 4.9 as rugosidades
w
e
wcm
são mostradas omo funções do
raio médio. A diferença entre os dois expoentes de res imento é evidente, em a ordo
om os resultados obtidos fora de rede [85℄.
A distân ia média do entro de massa
da borda da semente apresenta dois regimes em lei de potên ia, sistemas pequenos e
RCM ∼ r
0.46
RCM ∼ r 0.26
para
para sistemas grandes, novamente de a ordo om as
42
Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes
w
10
10
ν=0.9 ν=0.99 ν=1.0
10
10
(a)
2
1
ν=1.01 ν=1.1
10
0
10
1
10
2
_10
3
r
10
10
4
(b)
2
1
0
10
1
10
2
_103
r
10
4
Figura 4.7: Largura da interfa e em função do raio médio do agregado para valores distintos de
ν.
Em (a) são mostradas as urvas para
mostradas aquelas para
ν > 1.
ν ≤ 1
enquanto em (b) são
As linhas pontilhadas representam
w ∼ t1/3 .
simulações fora de rede. A análise da rugosidade dos agregados para en ontrar o valor ríti o
νc
que
minimiza a anisotropia também foi feita para a versão Eden A. No limite sem ruído, observa-se a transição de agregados om simetria axial para diagonal observada no Eden B, in lusive o mínimo da rugosidade o orrendo em de ruído, o ritério de urvatura nula forne e
νc ≈ 0.51.
Entretanto, sem redução
νc = 1.72 ± 0.01,
que aquele observado para a versão B. A pre isão em
νc
um valor muito maior
no modelo Eden A é menor que
no Eden B porque, no primeiro modelo, a onvergên ia para os expoentes assintóti os é mais lenta e, além disso, o valor de
νc
é maior, ou seja, a freqüen ia de tentativas
re usadas é maior ao longo das simulações, tornando-as mais lentas. A diferença entre os valores de
νc
para os modelos Eden A e B pode ser entendida analisando a fração
de sítios de res imento om
k
Qk
vizinhos o upados. Considerando a anisotropia da rede
quadrada, podemos on luir que os sítios de res imento om anisotropia axial, enquanto aqueles om
k = 2
k=1
e
k=3
produzem
geram anisotropia diagonal e os om
k = 4 não ontribuem para a anisotropia do padrão.
Considere a gura 4.10, em que os
sítios em preto orrespondem a sítios o upados. O sítio
1 possui dois vizinhos o upados.
Logo, se ele é o upado, o orre um res imento do agregado na direção diagonal. No aso
4.3 Resultados
43
10
-1
κ
|
10
-2
-0,12
-0,08
-0,04
0
0,04
0,08
0,12
∆ Figura 4.8: de potên ia
dos sítios
2
Curvatura média omo função de
κ ∼ (−∆)
e
3,
0.57
e
0.78
κ∼∆
que possuem
1
3
e
para
∆ = ν − νc .
∆ 0,
As linhas sólidas são leis
respe tivamente.
vizinhos o upados, respe tivamente, o res imento
seria na direção verti al, ou seja, sua o upação ontribui para a anisotropia axial. A análise das distribuições revela que
Q1 + Q3 > Q2
nas duas versões estudadas e que a
diferença entre as probabilidades de res imento diagonal e axial é maior no Eden A que no Eden B, o que justi a o valor de
νc
mais alto en ontrado para o Eden A.
Poderiamos supor que se a probabilidade de res imento diagonal ex ede a axial, o orreria a rotação da anisotropia. Analisamos a diferença entre elas usando a relação
δν = 4ν (Paxial − Pdiagonal ) = Q1 (ν) + 3ν Q3 (ν) − 2ν Q2 (ν). O omportamento de
ν = ν⋆
para os quais
δν
em função de
δν = 0,
ν
(4.12)
é mostrado na gura 4.11. Note que os valores
ou seja, quando as probabilidades de res imento axial
e diagonal igualam-se, são um pou o maiores que os orrespondentes valores ríti os
νc .
Apesar da diferença
ν ⋆ − νc
ser pequena, ela é lara, pois os respe tivos desvios
da urvatura nula são evidentes na gura 4.8. Portanto, o res imento isotrópi o de agregados de Eden não pode ser expli ado apenas pela equivalên ia entre res imentos diagonal e axial. Mas a análise de de
L = 400)
δν × ν
ainda é útil, pois redes pequenas (da ordem
são su ientes para estimar o valor aproximado de
νc ;
número de simulações em larga es ala ne essárias para obter o valor de do omportamento da rugosidade
diminuindo o
νc
via análise
44
Cres imento isotrópi o do modelo de Eden em redes (a)
(b)
WCM W0
1
1
10
w
RCM
10
0
0
10
10 1
10
Figura 4.9:
2
10
3
_10
r
10
4
0
10
1
10
2
10 _
r
3
10
4
10
Largura da interfa e onsiderando a distân ia ao entro da rede (w ) e a
distân ia ao entro de massa da borda do agregado (wCM ) (ambas mostradas em (a)) e distân ia média do entro de massa à semente ini ial (b) omo funções do raio médio para
ν = 1.
As retas são ajustes em lei de potên ia e as médias foram feitas sobre
120
amostras.
4.4
Con lusões A estratégia apresentada nesse apítulo é uma ferramenta útil para modelar
experimentos om simetria radial, uma vez que modelos simulados em redes podem ser mais fa ilmente generalizados. Um exemplo muito importante é o estudo da dinâmi a de tumores [75, 76℄. Além disso esse algoritmo pode ser apli ado a outras variações do modelo de Eden, omo por exemplo a uma versão que in lui a probabilidade de migração para as élulas.
4.4 Con lusões
45
2 3
1
Figura 4.10:
Na simulação do modelo de Eden na rede quadrada, a o upação dos
sítios de res imento om
1
ou
3
vizinhos o upados (sítios
axial, enquanto a o upação dos sítios om
2
e
3)
produz anisotropia
2 vizinhos o upados (sítio 1) gera anisotropia
diagonal.
0.04
Eden A Eden C
δν
0.02
0.00
-0.02
-0.04 0.8
1.0
1.2
ν
1.4
1.6
1.8
Figura 4.11: Diferença entre os res imentos diagonal e o axial. As linhas pontilhadas verti ais indi am o valor foram feitas sobre
1000
νc
para o modelo Eden B e para o Eden A. As médias
amostras de tamanho
L = 400.
É importante ressaltar que os
histogramas permane em essen ialmente inalterados om o aumento do tamanho do sistema.
CAPÍTULO 5 Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares Essen ialmente todos os tumores passam por um estágio de res imento avas ular, no qual o suprimento de nutrientes é feito apenas por difusão. Nesse estágio, quando o tumor está on nado ao seu te ido de origem e não teve a esso ao sistema vas ular, ele é denominado ân er
in situ.
Para modelar ar inomas
in situ, Ferreira et al.
[11℄ propuseram uma abordagem de multies ala em um modelo que ombina equações de reação-difusão des revendo a on entração de nutrientes om regras esto ásti as mi ros ópi as para as ações de élulas tumorais individuais. O modelo gera morfologias
ompa tas, onexas e des onexas ara terizadas por um res imento Gompertziano no tempo e leis de es ala distintas para as bordas dos tumores.
Posteriormente foram
estudadas quimioterapia [62℄ e viroterapia [12℄ apli adas a esse modelo. Neste apítulo serão apresentados um resumo dos resultados previamente obtidos no modelo de res imento avas ular, bem omo o modelo para viroterapia que será dis utido em detalhes. Nossa ontribuição neste trabalho é a ara terização uidadosa dos omportamentos exibidos pelo modelo de viroterapia, por meio de uma análise detalhada dos diagramas de fases no espaço de parâmetros do modelo. É importante men ionar que essa análise não foi apresentada no trabalho original [12℄.
5.1
Modelo para o res imento de ar inomas in situ O modelo in lui proliferação, mobilidade e morte elular, além da ompetição
por nutrientes entre élulas normais e an erosas. As ações elulares (divisão, movi46
5.1 Modelo para o res imento de ar inomas
47
in situ
mento e morte) são lo almente ontroladas pelo ampo de on entração de nutrientes. Esses nutrientes, que in luem oxigênio, aminoá idos, gli ose, íons metáli os, et ., difundem de um vaso apilar através do te ido e, na sua es assez, a taxa de res imento das élulas an erosas é limitada. Como estamos interessados em estudar a viroterapia, por simpli idade, desprezaremos a probabilidade de movimento das élulas. Essa aproximação justi a-se pelo fato da viroterapia ausar uma grande perturbação na evolução dos tumores, de modo que o efeito da migração, que é muito mais lenta que a difusão dos vírus, torna-se irrelevante.
5.1.1
O te ido A geometria do te ido usada no modelo é parti ularmente adequada a ar ino-
mas, que são ân eres derivados de élulas epiteliais. Pode-se ver na gura 5.1 uma imagem do perit neo, que é um te ido no, que pode ser, dentro de uma boa aproximação, representado por uma rede regular bidimensional. Por simpli idade, será usada uma rede quadrada
(L + 1) × (L + 1)
om onstante de rede
é representada por um vaso apilar em
∆
e a fonte de nutrientes
y = 0.
Figura 5.1: Imagem do perit neo, um te ido que obre a maioria dos órgãos intraabdominais. Figura extraída do site
http://biology. l .u .edu.
Os tumores são sistemas heterotípi os, onstituídos por diferentes subpopulações de élulas além das tumorais, omo élulas do sistema imune, endoteliais e broblastos [2℄.
Entretanto, no modelo, serão onsideradas apenas élulas normais, an erosas
e ne róti as. normal.
A onstante de rede
∆
é aproximadamente o diâmetro de uma élula
Assim, um sítio da rede pode ser o upado por uma úni a élula normal.
48
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
Contudo, élulas an erosas podem empilhar umas sobre as outras. sítio pode ser o upado no instante
1),
t
por uma élula normal (neste aso,
uma élula tumoral morta (σd (~ x, t)
(σc (~ x, t)
= 1, 2, 3, ...).
Portanto, ada
= 1)
σn (~x, t) =
ou por uma ou mais élulas an erosas
Várias élulas mortas em um mesmo sítio são onsideradas, por
simpli idade, omo uma úni a élula, uma vez que elas são inertes. São usadas ondições de ontorno periódi as na direção paralela ao apilar (eixo
x)
e
y = L∆
representa a borda do te ido. A ondição ini ial é dada por uma úni a
élula an erosa introduzida no te ido normal em
x = L∆/2,
a uma distân ia
Y
do
1
vaso apilar, em on ordân ia om a teoria lonal do ân er [90℄
5.1.2
Os nutrientes Nutrientes são transportados pelo sistema vas ular e podem difundir-se através
dos te idos até as élulas individuais. Os nutrientes que denominamos essen iais são fundamentais para a divisão elular, mas não são determinantes para a sobrevivên ia da élula. Quando a quantidade de um nutriente essen ial é limitada em um mi roambiente espe í o, a taxa de res imento de uma dada população é ontrolada por sua habilidade em ompetir por esse nutriente [91℄. A alta taxa de proliferação das élulas an erosas as torna espe ialmente vulneráveis à privação de nutrientes. Então, omo proposto no modelo de S alerandi et al. [91℄, os nutrientes foram lassi ados em essen iais e não-essen iais para proliferação, des ritos pelos ampos de on entração
N(~x, t)
e
M(~x, t),
respe tivamente. Estes
ampos obede em às equações
∂N(~x, t) = D∇2 N(~x, t) − γN(~x, t)σn (~x, t) − λN γN(~x, t)σc (~x, t) ∂t
(5.1)
∂M(~x, t) = D∇2 M(~x, t) − γM(~x, t)σn (~x, t) − λM γM(~x, t)σc (~x, t) ∂t
(5.2)
e
nas quais
D
representa o oe iente de difusão dos nutrientes, o segundo termo está
rela ionado ao onsumo de nutrientes pelas élulas normais e o ter eiro ao onsumo de nutrientes pelas élulas an erosas, que difere do onsumo pelas normais pelos fatores
λN
e
λM .
assumiu-se 1A
Como as élulas an erosas têm maior a nidade por nutrientes essen iais,
λ N > λM > 1 .
teoria lonal do ân er propõe que a maioria das neoplasias, se não todas, se origina de uma úni a élula.
5.1 Modelo para o res imento de ar inomas
Figura 5.2:
49
in situ
Con entração de nutrientes na ausên ia de élulas an erosas para um
te ido de tamanho
L = 500.
Esses ampos satisfazem ondições de ontorno periódi as na direção paralela ao apilar. As ondições
N(y = 0) = M(y = 0) = K0
foram adotadas representando
o suprimento xo de nutrientes pelo vaso apilar; na borda do te ido foram impostas
ondições de Neumann ( uxo nulo).
Para es rever as equações anteriores em uma
forma mais simples, as seguintes variáveis adimensionais são de nidas
Dt t = 2 ∆ ′
,
~x x~′ = ∆
,
N N = K0 ′
,
M M = K0 ′
e
r γ α=∆ D
(5.3)
As equações 5.1 e 5.2 podem então ser rees ritas, omitindo os apóstrofes, omo
∂N = ∇2 N − α2 Nσn − λN α2 Nσc ∂t
(5.4)
∂M = ∇2 M − α2 Mσn − λM α2 Mσc ∂t
(5.5)
e
A ondição de ontorno no vaso apilar torna-se
∆=1é
N(y = 0) = M(y = 0) = 1
e o valor
de nido. As soluções analíti as para a on entração de nutrientes na ausên ia
de élulas an erosas são mostradas na gura 5.2. Pode-se notar que o parâmetro determina a quantidade ini ial de nutrientes no te ido.
α
50
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
5.1.3
Dinâmi a elular 2
Como a migração foi desprezada , ada élula an erosa, aleatoriamente es olhida, pode exe utar uma das duas ações:
• Divisão A élula pode dividir-se por mitose om probabilidade
" 2 # N(~x) Pdiv (~x) = 1 − exp − , σc (~x)θdiv em que o parâmetro
θdiv
ontrola a forma de
Pdiv .
(5.6)
Quando uma élula se divide,
a sua posição no tumor irá de nir a posição da élula- lha: i) se a élula estiver no interior do tumor, sua lha permane e no mesmo sítio que ela; ii) se ela estiver na borda do tumor, sua lha irá o upar ao a aso um dos seus sítios vizinhos o upados por uma élula normal ou ne róti a.
• Morte Uma élula an erosa morre om probabilidade
" 2 # M(~x) . Pdel (~x) = exp − σc (~x)θdel Assim,
σc (~x) → σc (~x) − 1
e, se
σc (~x) = 1,
então
(5.7)
σd (~x) = 1.
Observe que
a probabilidade de morte é determinada pela on entração de nutrientes nãoessen iais
M
na região da élula onsiderada.
As regras para a dinâmi a elular usadas nesse modelo onsideram que, em regiões onde há uma alta densidade de élulas e um suprimento de nutrientes via difusão es asso, a divisão elular é inibida e, ao mesmo tempo, a probabilidade de morte elular (ne rose) aumenta. Os parâmetros
θdiv
e
θdel ,
que ara terizam a resposta das élulas
a on entração de nutrientes e envolvem pro essos genéti os e metabóli os omplexos, não podem ser determinados diretamente de experimentos biológi os e ainda são um problema aberto, ao ontrário dos parâmetros
α , λN
e
λM ,
que podem ser mais
fa ilmente estimados. Na gura 5.3 são mostrados os padrões obtidos em redes om
500 ×500 sítios.
O
vaso apilar está na borda inferior de ada gura e as regiões mais es uras representam 2 Detalhes
sobre a implementação da migração podem ser en ontrados na ref. [11℄.
5.1 Modelo para o res imento de ar inomas
51
in situ
4/L
3/L α 2/L
1/L
25
50
Figura 5.3: Padrões obtidos em uma rede de onsumo de nutrientes
α
200
100
λN
500 × 500,
mostrados em função da taxa
para élulas normais e do fator multipli ativo
λN
para a
taxa de onsumo pelas élulas an erosas dos nutrientes essen iais para mitose. outros parâmetros foram xados em
λM = 10, θdiv = 0.3
e
θdel = 0.01.
Os
Os padrões são
mostrados em es ala de inza no qual as regiões mais es uras representam populações
elulares maiores.
populações maiores de élulas an erosas. Os padrões são mostrados em função do fator
λN ,
que representa a maior a nidade das élulas an erosas por nutrientes essen iais
para mitose e da taxa de onsumo de nutrientes
α
pelas élulas normais. Essa gura
reproduz elmente os resultados da referên ia [11℄.
5.1.4
Implementação omputa ional A ada passo de tempo t, as equações 5.4 e 5.5 são resolvidas numeri amente no
estado esta ionário (∂N/∂t
= ∂M/∂t = 0)
através do método de relaxação de Gauss-
Siedel (apêndi e A). Determinada a on entração de nutrientes em todos os sítios da rede,
Nc (t) élulas an erosas
são sele ionadas sequen ialmente ao a aso om a mesma
Nc (t)
é o número total dessas élulas no omeço do passo de
probabilidade, em que
52
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
tempo. Para ada uma delas, uma tentativa de ação (divisão ou morte) é aleatoriamente es olhida om igual probabilidade e o tempo é in rementado em
∆t = 1/Nc (t).
A ação
sele ionada será implementada, ou não, de a ordo om as probalidades orrespondentes determinadas pelas equações 5.6 e 5.7. Ao nal dessa seqüên ia de
Nc (t)
tentativas,
omeça um novo passo de tempo e todo o pro edimento (solução das equações de difusão e apli ação da dinâmi a elular) é iterado. As simulações terminam se alguma
élula tumoral al ança o vaso apilar ou a borda do te ido. Em todas as simulações, foram usadas as soluções exatas para o estado esta ionário das equações 5.4 e 5.5 em
t = 0,
quando não há élulas an erosas.
5.2
Modelo para viroterapia No modelo, a viroterapia é administrada na forma de uma úni a injeção viral na
região do tumor quando ele atinge
N0
élulas,. Esta injeção orresponde a suprir todo
o tumor om uma on entração uniforme
v
de vírus.
Esse pro edimento, apesar de
in vivo, é amplamente usado em experimentos in vitro, pois permite uma melhor análise da ação dos vírus on olíti os. Para os testes in vivo,
não ser muito usado em testes
a administração intravenosa ofere e a vantagem de ata ar também metástases, sem a ne essidade de saber exatamente onde estão os novos tumores. Entretanto, neste aso é ne essária uma dose viral mais alta, o que pode trazer problemas para o pa iente e o sistema imune deverá ser severamente suprimido para que os vírus onsigam atingir os tumores. A injeção intravenosa será onsiderada no modelo em breve. Neste trabalho, foram onsiderados tumores ompa tos ujas élulas podem se dividir, morrer ou ser infe tadas.
Como men ionado anteriormente, a probabilidade
de migração foi tomada omo zero. Por simpli idade, onsideramos apenas um tipo de nutriente, pois para padrões ompa tos esta onsideração não os afeta signi ativamente. As dimensões dos vírus são muito pequenas se omparadas às de uma élula típi a (adenovírus, que são vírus on olíti os tipi amente usados, têm dimensões da ordem de
10µm
70 − 90nm,
enquanto uma élula típi a têm diâmetro de aproximadamente
[6℄). Por isso, os vírus difundem omo um ampo ontínuo e não omo partí-
ulas virais individuais om aráter dis reto. O tempo de difusão dos vírus é muito menor que o das élulas, no entanto, é muito maior que o tempo de difusão dos nutrientes. Portanto, justi a-se onsiderar as soluções quase-esta ionárias da equação que des reve a evolução temporal da on entração de vírus
5.2 Modelo para viroterapia
53
v(~x, t + 1) = v(~x, t) +
Dv X [v(~x′ , t) − v(~x, t)] − γv v(~x, t)+ 4 ′ h~ x,~ xi
zv0 δ(|~x − x~inf |)δ(|t − TL |) + em que
Dv
1 − zv0 δ(|~x − x~inf | − 1)δ(t − TL ) 2d
é a onstante de difusão do vírus,
γv
(5.8)
a taxa de eliminação do vírus e
a primeira soma, representando o Lapla iano dis retizado, se estende sobre todos os primeiros vizinhos do sítio
~x.
Os últimos dois termos estão rela ionados à repli ação
viral, que será dis utida a seguir. Foram impostas ondições de ontorno periódi as ao longo do eixo
y
e ondições de Neumann (∂v/∂x
Iteramos esta equação no intervalo
[0, 1].
100
= 0)
na borda do te ido e no apilar.
vezes a ada passo de tempo, e
Dv
e
γv
re eberam valores
O número de iterações da equação para os vírus e o parâmetro
γv
ontrolam a taxa de eliminação dos vírus, e foram ajustados para on ordarem om a estimativa de Friedman et al.
[73℄.
Note que o parâmetro
γv
pode in luir a ação
das élulas fago itárias do sistema imune sobre os vírus. O sistema imune também é
apaz de eliminar as élulas an erosas, infe tadas ou não, o que deve ser onsiderado no modelo em trabalhos futuros. Células an erosas são infe tadas om probabilidade
" Pinf (~x) = 1 − exp −
v(~x) σc (~x)θinf
2 #
,
(5.9)
e a infe ção das élulas normais é negligen iada, pois é possível alterar geneti amente os vírus para que eles ataquem seletivamente élulas an erosas. Então, a ada iteração, uma ação-tentativa é es olhida para uma élula an erosa não infe tada: dividir-se, morrer ou ser infe tada e ela a exe uta, ou não, om a orrespondente probabilidade. Se a élula an erosa está infe tada, ela não pode dividir-se, pois o vírus ontrola a maquinaria elular para sua própria repli ação. Então ela pode apenas morrer por lise
om probabilidade
Tinf Plise (~x) = 1 − exp − Tl que está rela ionada a razão entre o tempo desde a infe ção, rísti o para lise elular,
Tl .
(5.10)
Tinf ,
e o período ara te-
A lise de ada élula infe tada libera uma on entração
v0
de vírus no meio extra elular. Uma fração aleatória desses vírus será igualmente distribuída entre os vizinhos mais próximos da élula morta e a fração restante permane e no sítio desta élula.
54
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares É importante ressaltar que o modelo des onsidera a morte das élulas infe tadas
pelo sistema imune inato. Uma vez infe tada, a élula an erosa morrerá apenas por lise. Essa aproximação é razoável se o tempo ara terísti o para a lise for su ientemente pequeno ou se o sistema imune estiver severamente suprimido. Para os dados experimentais utilizados nesse trabalho essas duas ondições são satisfeitas.
5.3
Estimativa dos parâmetros Em todas as simulações foram usadas redes om
parâmetro de rede (∼
10µm),
∆
500 × 500
sítios e omo o
foi tomado omo o tamanho aproximado de uma élula típi a
o sistema orresponde a um te ido de er a de
5mm × 5mm,
o que seria
uma ota superior para o tamanho máximo de um tumor avas ular [92℄.
A élula
an erosa ini ialmente inserida no te ido normal é olo ada a uma distân ia de
300
sítios do apilar e os parâmetros rela ionados ao res imento do tumor foram es olhidos para gerar morfologias ompa tas ( gura 5.3).
orresponde a er a de
4−5 h.
Um passo de tempo nas simulações
A quantidade (v0 ) de vírus liberada quando o orre a lise,
ou arga viral é um parâmetro onhe ido biologi amente e varia de a ordo om o vírus e om a élula infe tada. Na injeção viral, uma quantidade ao tumor e es olhemos
v0 = V = 1.
V
de vírus é administrada
Em proto olos experimentais, normalmente não
se ontrola exatamente a quantidade de vírus injetados.
Em experimentos
in vitro,
em geral, são adi ionados vírus em quantidades su ientes para garantir que todas as
élulas possam ser infe tadas e em modelos animais são injetados pou os vírus para evitar toxi idade (adenovírus, por exemplo, prejudi am o fígado) (C. Binny, om. pes.). A onstante de difusão dos adenovírus é da ordem de no modelo a valores da ordem de difusão dos vírus foi iterada
100
10−1
10−8 cm2 /s [93℄, o que orresponde
(estimado numeri amente).
A equação de
vezes, o que pre isa ser onsiderado na estimativa
do tempo de remoção dos vírus, ontrolado pelo parâmetro
γ.
Esse parâmetro está
rela ionado ainda om a eliminação dos vírus pelo sistema imune, uja ação pode ser
ontrolada através da administração de um imunossupressor.
Finalmente, o tempo
ara terísti o para a lise das élulas infe tadas é um parâmetro altamente variável de a ordo om o tipo de vírus on olíti o utilizado, mas para o adenovírus ele é da ordem de
20h,
o que orresponderia a er a de
5
passos de tempo no modelo.
O
úni o parâmetro rela ionado à viroterapia que não pode ser diretamente determinado a partir de experimentos é o
θinf ,
rela ionado à e á ia do vírus em infe tar élulas
an erosas. No entanto, sabe-se que a probabilidade de en ontrar uma élula infe tada
5.3 Estimativa dos parâmetros
Tabela 5.1: Estimativas dos valores dos parâmetros usados no modelo. Des rição
Valor Estimado
∼ 10µm
Diâmetro de uma élula típi a Constante de difusão de vírus on olíti os
5.1 × 10
Tempo para remoção de élulas ne róti as
2
m
∼ 18h
[73℄,
2
2−3
Prob. de um vírus on olíti o infe tar uma élula tumoral Duração da lise ( ompleta) de élulas an erosas
/s
[94℄
(Adenovírus) [93℄
2.5 × 10−2 h−1
Taxa de remoção dos vírus Tempo de vida médio de uma élula tumoral infe tada
−9
72h
[73℄
∼ 40h
dias [71℄, dias,
72h
∼ 70%
[73℄
[24℄
[96℄
após infe ção pelo
vírus VA7-EGFP [97℄ Taxa de morte de élulas infe tadas pelo sistema imune Número de partí ulas virais liberadas quando a lise o orre
2 × 10−8 mm3 /h
élula imune [73℄,
∼ 104 −9
1.7 × 10 cm2 /s
Diâmetro máximo de um tumor avas ular
1 − 2mm Adenovírus: Reovírus:
[99℄
[92℄
70 − 90nm
60 − 90nm
Vírus da doença de New astle: HSV:
[24℄
[98℄
Constante de difusão de élulas tumorais do érebro
Diâmetro de um vírus on olíti o
1/48h
150 − 300nm
150 − 200nm
Vírus da estomatite vesi ular:
65 − 185nm
[6℄
55
56
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
após administrar os vírus on olíti os a élulas em ultura é da ordem de Logo
θinf
70%
[73℄.
pode ser ajustado para forne er valores oerentes om essa estimativa. Na
tabela 5.1 são mostradas estimativas biológi as para quantidades relevantes no modelo. Alguns desses valores não foram usados diretamente para estimar parâmetros, mas são ne essários para justi ar as aproximações usadas. Por exemplo, o diâmetro do vírus on olíti o não orresponde a nenhum parâmetro, mas é ne essário para justi ar a des rição ontínua dada aos vírus.
4×10
4
Nc
D
2×10
4
C
B 0
A 400
800
1200
t (h) Figura 5.4:
Comportamentos observados na evolução temporal do número total de
élulas an erosas no tumor. Apenas no aso do omportamento A o tumor é extinto e a linha pontilhada mostra a evolução do tumor sem a viroterapia.
5.4
Resultados Estamos interessados em estudar viroterapia em tumores ompa tos, os mais
omuns em proto olos experimentais. Manteremos xos os parâmetros que ontrolam a forma do tumor (α
= 2/L, θdiv = 0.3, θdel = 0.03)
e utilizaremos redes
500 × 500.
Ini ialmente estudamos a evolução temporal do número de élulas an erosas presentes no tumor (mostrados na gura 5.4). Foram observados quatro tipos de omportamento: extinção do tumor ( omportamento A); ontrole do tumor, om as populações de élulas
an erosas os ilando om o tempo mas a níveis muito baixos e om in linação global aproximadamente nula ( omportamento B); redução do tumor, om omportamento
5.4 Resultados
57
os ilatório mas om in linação global positiva (C) e o fra asso da terapia, quando
Nc
permane e res endo exponen ialmente mesmo após a terapia (D). O problema pode ser visto omo um sistema presa-predador envolvendo as populações de élulas an erosas e de vírus. Na gura 5.5 são mostrados asos típi os de
ada omportamento para o número total de élulas an erosas e as orrespondentes
on entrações de vírus em toda a rede evoluindo no tempo. Em todos os asos foram usadas redes
L = 500
e os parâmetros
primeira oluna orresponde a a ter eira a
Dv = 0.1
e
γv = 0.01
Dv = 0.4
tlise = 2
e
θinf = 0.03
tlise = 4,
e
e a quarta a
foram mantidos xos. A
a segunda a
Dv = 0.1
e
Dv = 0.2
tlise = 16.
e
tlise = 2,
Pode-se ressaltar
que as defasagens entre as os ilações das duas populações pare em estar rela ionadas ao tempo de lise.
A
4
B
C
D
6×10
Nc
4
4×10
4
2×10
0 2000
v
1500 1000 500 0
0
100
200
300 0
100
300 0
200
100
200
300 0
100
200
300
t Figura 5.5: Número de élulas an erosas e on entração total de vírus na rede em função do tempo para os quatro tipos de omportamentos observados.
A evolução da distribuição espa ial da população de élulas an erosas pode ser a ompanhada na gura 5.6, em que um aso típi o do omportamento C é mostrado. Nessa simulação foram usados os parâmetros
tlise = 2,
Dv = 0.2, γv = 0.01, θinf = 0.03
e
ou seja, o oe iente de difusão dos vírus é baixo e o tempo ara terísti o
para a lise das élulas infe tadas é pequeno. Portanto, a onda de infe ção se propaga
58
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
lentamente e as élulas tumorais que não são infe tadas podem se reproduzir mais frequentemente, uma vez que omo há pou as élulas a disponibilidade de nutrientes é maior. Pode-se observar na gura que as ondas de infe ção não são su ientemente fortes e/ou freqüentes para eliminar o tumor e apesar do número de élulas an erosas aumentar mais lentamente do que na ausên ia da viroterapia, as élulas espalham-se aumentando a área do te ido invadida pelo tumor.
Figura 5.6: No anto superior à esquerda, o tumor é mostrado imediatamente antes da injeção viral e em seguida, o tumor é mostrado a ada três passos de tempo. Apenas as élulas tumorais são mostradas. Pode-se visualizar as su essivas ondas de infe ção que, nesse aso em parti ular, não são su ientemente e azes para eliminar o tumor (este aso orresponde ao omportamento C).
Uma questão entral no desenvolvimento de proto olos terapêuti os é a determinação dos parâmetros líni os e/ou biológi os pertinentes a ada problema.
Em
parti ular, muitos parâmetros em viroterapia podem ser variados. A onstante de difusão
Dv
dos vírus pode ser variada, por exemplo, alterando a vis osidade do meio
de ultura. Nesse aso é importante assegurar que a difusão dos nutrientes não seja
5.4 Resultados
59
alterada. Outra possibilidade é res er as élulas em uma substân ia hamada
matri-
gel, que é uma versão sintéti a da matriz extra elular que envolve as élulas em te idos reais. Provavelmente o tamanho dos poros dessa substân ia é pequeno o su iente para diminuir a difusão viral (e a migração elular) sem afetar a difusão de nutrientes. Portanto, diferentes densidades do
matrigel
estariam asso iadas a diferentes onstantes de
difusão dos vírus. O período ara terísti o para lise elular
Tl
vírus on olíti os diferentes. Por exemplo, deletando a região
pode ser variado usando
E3
do genoma do Adeno-
vírus é possível aumentar sua velo idade de repli ação. É importante assegurar, nesse
aso, que as alterações observadas estejam rela ionadas apenas à variação do tempo de lise e não a outros aspe tos da mutação do vírus. O ter eiro parâmetro do modelo rela ionado a viroterapia é a taxa de remoção dos vírus
γv .
Experimentalmente ela
pode ser ontrolada introduzindo ma rófagos ou outras élulas do sistema imune que eliminem os vírus. O problema é que essas élulas se retam muitas ito inas, que irão in uen iar as élulas tumorais. Uma alternativa para ontrolar esse parâmetro seria a oplar um tubo apilar que lentamente tro asse o meio om vírus por um meio sem vírus a uma taxa ontrolada. Essa estratégia tentaria imitar a perda gradual de vírus da região do tumor para o uxo sangüíneo. Outro parâmetro é a e á ia da infe ção viral
θinf .
Nesse aso, uma possibilidade seria tratar as élulas om alguma substân ia
que altere sua infe tabilidade. Essas sugestões foram apresentadas por C. Binny, da universidade
Barts and The London S hool of Medi ine and Dentistry
em omuni-
ações pessoais, e indi am que os parâmetros do modelo rela ionados a viroterapia podem ser ontrolados experimentalmente. Uma vez que o sistema ( ân er e vírus on olíti o) tem uma dinâmi a extremamente sensível às utuações esto ásti as de suas populações mesmo para um onjunto xo de parâmetros dos modelos, nosso objetivo entral é ara terizar os omportamentos dominantes em função dos parâmetros
γv , θinf , Tl
e
Dv .
Entretanto, para obter
informações sobre o efeito da viroterapia sobre o tumor, o aráter esto ásti o do modelo exige que sejam feitas diferentes amostras para ada onjunto de parâmetros. Na gura 5.7, são mostradas diferentes simulações para a evolução temporal da população de élulas an erosas, om
γv = 0.01, θinf = 0.03, Tl = 4
e
Dv = 0.7.
A partir dessas
amostras, pode-se determinar a probabilidade de ada um dos omportamentos para esse onjunto de parâmetros. Determinamos o omportamento dominante omo aquele
uja probabilidade é maior. No aso da gura 5.7 o omportamento A (su esso da terapia) é dominante, o orrendo B,
6
16
vezes;
13
amostras apresentaram o omportamento
o omportamento C e as in o restantes, o D.
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
Nc
60
t Figura 5.7: Diferentes simulações podem exibir omportamentos diferentes para a evolução temporal da população de élulas an erosas para o mesmo onjunto de parâmetros. Nesse aso,
γv = 0.01, θinf = 0.03, Tl = 4 e Dv = 0.7 e os quatro omportamentos
são observados.
Na gura 5.8 mostramos o omportamento dominante para ada par de valores
γv
e
Dv ,
om
Tl
θinf
e
xos em ada diagrama. Podemos on luir que para
a terapia sempre fra assa, independentemente dos valores de pois este valor de
γv
Dv
e
Tl .
γv ≥ 0.03,
Isso é esperado,
está a ima da ota máxima estimada para a taxa de remoção dos
vírus (veja tabela 5.1). Além disso, observamos que se
θinf
for da ordem de
10−1 o tumor
não é nem extinto nem ontrolado. A estimativa baseada em dados experimentais (70% de probabilidade de infe tar om su esso a élula [73℄) orresponderia a valores de próximos a
10
−1
θinf
. No entanto, apresentaremos aqui apenas as simulações referentes a
um proto olo agressivo em que er a de que orresponde a
98%
das élulas são infe tadas ini ialmente, o
θinf = 0.03.
Usando a gura 5.8, foi estabele ida uma ota superior para o parâmetro uma vez que para
γv > 0.03
γv ,
a terapia nun a tem su esso (nesse aso a probabilidade
5.4 Resultados γv
61 tlise=2
tlise=4
tlise=8
D
D
D
0.09
θ=0.03
0.07 0.05 0.03
A
C
0.01
C
B
B
A
C
A
A
γv 0.09
θ=0.1
0.07
D
D
D
0.05 0.03 0.01
C 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Dv
Figura 5.8:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Dv
de obter o omportamento D é de
5
dos asos, fra assando apenas quando
γv = 0.005
γv = 0.005.
a terapia tem su esso na maioria
é pequeno e
θinf
é grande. Com
γv
θinf ≈ 0.1
e
γv = 0.005,
da ordem
θinf .
Para
a probabilidade de infe ção seria aproximadamente
o que orresponderia a um proto olo mais próximo ao dado experimental que
indi a
70% para essa
probabilidade. Ini ialmente serão mostrados os resultados para o
proto olo mais agressivo (θinf e
Dv
foram omparados om
a região de su esso diminui, estando restrita aos valores pequenos de
valores de
60%,
Para tentar estabele er uma ota inferior
γv = 0.01
Como pode ser visto na gura 5.9, para
10
amostras.
100%).
para esse parâmetro, os resultados para
de
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Dv
Comportamento dominante para ada onjunto de parâmetros, onside-
rando médias sobre omportamentos de
−2
C
C
= 0.03 e γv = 0.01) e depois os resultados para θinf = 0.1
γv = 0.005. Estas análises ini iais mostraram a ne essidade de um número maior de amostras
para de nir o omportamento dominante em ada região. Con entrando-se na região em que a amostragem é espe ialmente relevante, onstruímos a gura 5.10. Nela, os
62
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
γv=0.005
θinf 0.09
γv=0.01
C
0.07
C
0.05
A
0.03
A
0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Dv
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Dv
Figura 5.9: Comportamento dominante para ada onjunto de parâmetros, onsiderando médias sobre omportamentos de as ordens de grandeza dos parâmetros
parâmetros
5
γv
amostras. Estes resultados apenas indi am
e
θinf
adequadas.
γv = 0.01 e θinf = 0.03 foram mantidos xos.
Podemos ver que a região de
maior probabilidade de su esso se on entra para valores intermediários de que
Dv
Tl ,
desde
não seja muito pequeno. Ou seja, desde que o vírus não tenha uma onstante
de difusão muito pequena, a terapia é mais e iente se o tempo ara terísti o para a lise da élula an erosa tiver um valor em uma região ótima. Como os vírus dependem das élulas an erosas, a situação mais favorável para eles é quando
Tl
for pequeno,
pois nesse aso há um equilíbrio entre as duas populações. Nos omportamentos B e C o tumor não é extinto, mas seu res imento é muito reduzido. Essa situação foi observada em um estudo re ente [100℄ om o vírus on olíti o MV-CEA. Foi obtido um equilíbrio par ial entre as populações tumorais e de vírus, que resultou em um res imento signi ativamente mais lento do tumor e aumento da sobrevivên ia dos amundongos. É importante ressaltar que este equilíbrio foi observado para diferentes doses ini iais da injeção viral. A gura 5.10 foi onstruída a partir dos resultados das guras 5.11 e 5.12, nas quais são mostradas as probabilidades de obter ada omportamento em função dos parâmetros
Tl
e
Dv .
Na gura 5.11 à esquerda, pode-se observar dois máximos lo ais
5.4 Resultados
63
D
5
C
log2 tlise
4 3
A
C
2
1
A
B
0,2
0,4
Dv
D
B
0,6
0,8
Figura 5.10: In uên ia do tempo ara terísti o de lise dos vírus
Dv
Tl
e da onstante de difusão
no omportamento dominante do sistema para
40
mantidos xos. Foram feitas médias sobre
γv = 0.01
Tl ≈ 8, Dv ≈ 0.5.
e
θinf = 0.03,
simulações diferentes.
na probabilidade de su esso da viroterapia, o primeiro entrado em o segundo entrado em
1
Tl ≈ 8, Dv ≈ 0.8
e
A existên ia desse segundo máximo não era
esperada e pre isa ser melhor entendida, pois espera-se que quanto maior a apa idade de disseminação dos vírus, maior a e á ia do tratamento. Na gura da direita pode-se ver que o omportamento B é dominante apenas se
Tl ≈ 2 e Dv tiver os valores indi ados
na gura 5.10, mas este omportamento não tem probabilidade maior que nenhum dos onjuntos de parâmetros estudados.
70%
em
As probabilidades orrespondentes
aos omportamentos C e D são mostradas na gura 5.12. Ambos são muito prováveis em regiões de onstante de difusão dos vírus muito baixa, omo poderíamos prever, pois se a taxa de difusão é muito pequena, a infe ção se espalha lentamente. disso, para
Tl ≈ 32,
Além
o omportamento D é dominante para difusão baixa enquanto o
omportamento C é o mais provável para
0.4 ≤ Dv ≤ 0.9.
Investigando agora o espaço de parâmetros para está mais próximo do dado experimental de
γv = 0.005
e
θinf = 0.1,
que
70% de probabilidade de infe ção, obtemos
o diagrama mostrado na gura 5.13. Comparando om o diagrama 5.10, orrespondente ao proto olo mais agressivo, pode-se notar que a região onde o omportamento A (su esso da terapia) é dominante era maior do que neste aso, omo poderíamos prever. Para um tempo ara terísti o para lise xo, o omportamento os ilatório da probabilidade de su esso em função da onstante de difusão dos vírus também o orre,
64
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
Figura 5.11:
Probabilidades dos omportamentos A ( gura a esquerda) e B ( gura a
direita) em função dos parâmetros está
Dv
e no eixo
y
é mostrado o
Tl
e
Dv ,
para
γv = 0.01
e
θinf = 0.03.
No eixo
x
log2 (tlise ).
Figura 5.12: Probabilidades dos omportamentos C ( gura a esquerda) e D ( gura a direita) em função dos parâmetros
Dv
e no eixo
y
é mostrado o
sendo mais evidente em é muito baixa para
Tl
e
Dv
para
γv = 0.01 e θinf = 0.03.
No eixo
x está
log2 (tlise ).
TL = 4.
TL ≥ 16,
Também observamos que a probabilidade de su esso
ex eto em
Dv = 1.0.
O omportamento D (fra asso da
5.5 Con lusões
65
terapia) só é dominante para
e
Dv = 0.1.
D
5 4
log2 tlise
TL = 32
C C
3 A
2 A
1
D 0,2
0,4
Dv
dos vírus
Dv
Tl
40
1
e da onstante de difusão
no omportamento dominante do sistema para
mantidos xos. Foram feitas médias sobre
5.5
0,8
0,6
Figura 5.13: In uên ia do tempo ara terísti o de lise
B
γv = 0.005
e
θinf = 0.1,
simulações diferentes.
Con lusões Nesse apítulo, apresentamos os resultados de simulação de um modelo de vi-
roterapia para o tratamento de tumores [12℄. Foram obtidos quatro omportamentos diferentes para a evolução temporal do tamanho do tumor após a injeção viral: extinção do tumor, omportamento os ilatório om in linação global aproximadamente nula, os ilatório om in linação global positiva e res imento exponen ial. Esses omportamentos on ordam qualitativamente om dados experimentais, mas omparações quantitativas também são possíveis. Um estudo uidadoso do espaço de parâmetros do modelo foi apresentado identi ando o omportamento dominante para ada onjunto de valores da onstante de difusão ção
θinf
Dv
dos vírus, do tempo ara terísti o para lise elular
Tl , da e iên ia da infe -
e da taxa de remoção dos vírus. Esses parâmetros foram variados dentro dos
intervalos de valores oerentes om as orrespondentes estimativas experimentais. Para
γv = 0.01
e
θinf = 0.03
foram apresentadas as probabilidades de obter ada um dos
omportamentos. Em geral, os omportamentos qualitativamente esperados, a saber,
66
Modelo de multies ala para viroterapia em tumores avas ulares
fra asso e e á ia, são observados nos limites de difusão baixa e alta, respe tivamente. No entanto, para valores intermediários da difusão, omportamentos omplexos, ara terizados por uma dependên ia os ilatória om esse parâmetro, são observados. Essas observações, se forem reproduzidas experimentalmente, serão fundamentais no estabele imento dos proto olos terapêuti os.
CAPÍTULO 6 Con lusões e Perspe tivas Nessa dissertação foi apresentada uma revisão sobre a modelagem matemáti a do res imento e do tratamento de tumores, bem omo resultados originais para modelos da literatura. Na primeira parte do trabalho, foi proposta uma estratégia que permitiu simular o modelo de Eden na rede quadrada e obter padrões sem os efeitos indesejáveis da anisotropia [10℄.
Agregados assintoti amente grandes gerados om o
modelo de Eden original na rede quadrada têm uma forma losangular e, onsequentemente, um expoente de res imento KPZ (β
= 1/3)
β = 1,
o que dis orda da lasse de universalidade
observada para o res imento a partir de um substrato liso.
Foi
proposto um modelo de Eden estendido, em que a probabilidade de res imento é propor ional a uma lei de potên ia do número de primeiros vizinhos o upados,
Pk ∝ k ν ,
em analogia om o pro edimento desenvolvido para remover a anisotropia de agregados do modelo DLA [74, 87℄. En ontramos que as es olhas adequadas do parâmetro
ν
preservam a lasse de universalidade KPZ. Além disso, o modelo estendido on orda
om simulações fora da rede, em que as utuações do entro de massa são onsideradas [85℄. Esta estratégia é uma ferramenta útil para modelar experimentos om simetria radial uma vez que modelos simulados em rede são mais fa ilmente generalizados. Também foi apresentado um modelo ombinando equações de reação-difusão ma ros ópi as para os nutrientes e vírus om regras esto ásti as mi ros ópi as para as ações das élulas an erosas om o objetivo de des rever os efeitos de terapias om vírus on olíti os no res imento tumoral.
Os resultados das simulações do modelo
revelam omportamentos onsistentes om os observados experimentalmente para viroterapia. Os parâmetros do modelo foram estimados a partir de dados experimentais, o que possibilita omparações quantitativas om experimentos adequados.
Os om-
portamentos observados após a injeção viral, que no modelo onsiste na administração 67
68
Con lusões e Perspe tivas
de uma on entração uniforme de vírus em todo o tumor, foram: extinção do tumor;
ontrole do tumor, om as populações de élulas an erosas os ilando om o tempo mas a níveis baixos; redução do res imento do tumor, om omportamento os ilatório mas
om in linação positiva; e o fra asso da terapia, quando o tumor permane e res endo exponen ialmente. Os prin ipais parâmetros do modelo podem ser ontrolados experimentalmente e a elaboração desses experimentos está em dis ussão om o grupo de Terapia Gêni a do Instituto de Cân er da universidade
of Medi ine and Dentistry
Barts and The London S hool
por intermédio de C. Binny. Diferentes abordagens tam-
bém podem ser estudadas, omo a apli ação de doses virais sequen iais ou diferentes vias de administração dos vírus on olíti os. Detalhes omo in luir o tempo que o organismo pre isa para eliminar élulas ne róti as também serão estudados. Estão sendo desenvolvidas uma versão totalmente dis retizada (aut mato elular) e uma versão em que todas as quantidades são des ritas por variáveis ontínuas (modelo de equação diferen ial par ial), para identi ar se algum dos omportamentos observados é ex lusivade da abordagem de multi-es ala. Embora a des rição bidimensional seja uma boa aproximação para alguns tipos de tumores, eles são essen ialmente tridimensionais. A prin ipal di uldade em simular um modelo em
3d
é obter a solução das equações
diferen iais por métodos de relaxação. Portanto, apenas sistemas de tamanhos muito reduzidos podem ser simulados. Entretanto, uma aproximação de ampo médio para os nutrientes pode tornar esse modelo viável de ser implementado. Há uma série de ingredientes que podem ser in luídos, mas a nossa proposta é in luir apenas aqueles ne essários para reproduzir os omportamentos experimentalmente observados.
Equações Diferen iais Par iais As equações diferen iais par iais são geralmente lassi adas [101℄ em
•
Hiperbóli as (equação de onda unidimensional)
•
Parabóli as (equação de difusão)
•
Elípti as (equação de Poisson)
Mas do ponto de vista omputa ional, é mais importante notar que as equações de onda
1d
e de difusão des revem evolução temporal, de nindo problemas de Cau hy
ou de valor ini ial, enquanto a equação de Poisson de ne um problema de valor de
ontorno. O prin ipal desa o omputa ional em problemas de valor ini ial é, em geral, a estabilidade do algoritmo, enquanto em problemas de valor de ontorno a estabilidade é relativamente fá il de atingir, sendo a e iên ia do algoritmo a prin ipal preo upação. Seja a seguinte equação elípti a
ℑ(η) = em que
ℑ
é um operador linear e
ini ial, supõe-se que
η
η
∂η , ∂t
(1)
a função a ser determinada. Dada uma ondição
irá atingir uma solução de equilíbrio quando
t → ∞.
Vamos
onsiderar a solução da equação
∂φ = ∇2 φ − γφ ∂t
(2)
No estado esta ionário, ela se reduz a
∇2 φ − γφ = 0. Usando o método das diferenças nitas para dis retizar a função
(3)
φ(x, y)
podemos es-
rever o resíduo de um estágio qualquer da iteração omo
ξi,j =
φi+1,j + φi−1,j + φi,j+1 + φi,j−1 − 4φi,j − γφi,j , ∆2 69
(4)
70
Con lusões e Perspe tivas
em que
∆
é o espaçamento da rede.
Utilizaremos o método de iteração de Newton, dada por
φk+1 i,j Assim, omo
=
φki,j
k ξi,j − k ∂ξi,j /∂φi,j
∂ξi,j 4 = − 2 − γ, ∂φi,j ∆
(5)
(6)
en ontramos
k φk+1 i,j = φi,j + em que
k ξi,j
k ξi,j , (4/∆2 ) + γ
(7)
é o resíduo dado por
k ξi,j =
φki+1,j + φki−1,j + φki,j+1 + φki,j−1 − 4φki,j − γφki,j . ∆2
(8)
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