A STOCHASTIC ANALOGUE OF THE. VINOGRADOV MEAN VALUE THEOREM. F. GÃTZE. Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld,. POB 100131, 33501 ...
Ргосееё!п9э о{
1[те
$еуеп[Б /арап-Рцээ!а $упроз!цп
РвовАв|шту Ашв
тнБову
мАтнЁмАт!сА[ $тАт!$т!с5 7о! 2 Бе !л1е9е:''з
1','(Р) 1
тц-|:е.:''е
р2тп-6(т)
п'ь
} Ёт
а'пс1 ]еЁ
',
А(') _0.5А(ь+1)(1 _(1 _1/ь)"),
6' :
(А')'^"
?Бе Бошп6в {ог 3,,,(Р) ргот|0е
!!еу1
€''
ъу]!А
(2&)4ь(Ё+1)".
!п{ог:::а,1]оп аБотт1 11:е в1ае о{ 1Бе [г!допо:пе!г1с
$11111$
Р
лд
ехр{2та](т)} о:1
'
а'п6 1г!6опо:::е!г1с Бш1п$ !пто}т|п6 {ътттс{!о::в 1о :м1т!с[ ЁБеге ате теавопа'1э]е Ро1т,:то:п1а1 арргох|тт:.а1|опз' 5|псе Ё}:.еге аге пш111еготтв ар3э1!са||о::в {от вшс1т 1эоцпс1в !!по3гаё.от, туав аБ1е 1о цве ]:1в :пе{Бо0 тц!!1т 3геа{ $цссе3$ 1:т птат:у ё|#еге::[ 1эго1э1е:пв о{ пътгпБет {1теоту. Рог 1а!ег теЁпе:те:':'1в о{ {}:е !!::одга6оу п1еап уа1тте [}:'еогегп вее
е.6. 51есБ&1п (1975) а::4 \0оо1еу (1992), апё 1Бе ]1 ]з о1эу1оттз !Ба1 |{ а га,::ёотт: т,аг|аБ1е ;эго1эа1э|}1|),
1/Р
5
с1!всцвв1отт апс1
{а1сев уа1ттез
{1теп
Б ехр{2т{.г(5)}
:
'1 2
ге{етепсев {Беге!::. ,
Р
ът!11: [}те ес1ъта1
Р|Р.
{ог |Р| ] 2, т ) 1.
1
оп1у васА [Аас
&впддп:
ес!|те1у
|зэ'ес1ъта1|{,т
1в а.
яъ:с.[ [./:аЁ
'*
1Ро,.'.,|.Р^_', яа.*|в6е.з
т € \/
Бт { .'
(&),
(1-1)
(1-2)
сопз{ал[ 4ерезэ'4|л9 оп1у оп Ё.
[е[ 1г]
:
о|'+..'
+
|'!,,..',у; _('1)' +' " + ('!)*
'ттйеге [1эе хгесЁоу'('1,...,'!) Бе1оп3з [о вохле с]а'вз|'. !1э.ел Ё.&е пгт:п]эех-Б о{ с]аввея | ааэ,с! |' втлс]э [,Ба'{, {ол' 5отле уес[ол'э о с 1" алэ.с! т',' € 1"' {]эе с1]$ет'езэсез
у1
_у|,...,1/к-\/|,
уч ,!
66 ];е .:п 5огле ]л[ет'уа1в о{ 1еп9|,Ав
|Р1_\|к тезрес[|те1},
за,{,]вБ.ев
'.
.
.',(!Р1-т/ьу
(1 3)
,
[Ае !печаа1}[у
Б
< с2(Ё)Р(3ь-|)/2
(1-4)
хм][А эотпе сопв[ал[ с2|Ё) с1ерепс1}п1 оп1у оп Ё.
&вмдвт(2[-1)п!, тте 6е1
€' 1с[
о, ({ог в
)
1 а:тс1 9|теп 0з*1:. ..,'0Ё) саппо{ 1эе а::' е1е:::ег:.1 о{:::.оге |Ба:: с с1!#егеп[ с1азвев о{ уес{огэ. 5!псе ?)1 {ог 31т'еп \)2;...,од 1!ен !п ап ]::{етуа1 о{ 1еп6!Б / (геса11 Ё}:а[ туе со::в1с1ег 1[е ]п{етуа1в о{ [у1эе [сс, Б], о { 6), о: сатт::.о1 |эе е1еттте::[ о{:поге Ё1та:т 2 с1авзез о{ уес1огв 1/' [[ттв тте 6е1 (1-2). ?1:ттз, и:е {от:пс1 [1т:ь|
\е1"
Б|
с1епо!е [}те т:тшпБег о{ с1аявев
{
зшсБ {Ба1 1Бе 301!$ 1/т,.
.',14
1!е 1:: во:пе
о{1еп6{Бв (1.3) гев1эес{|т'е}у. ]тт ог6ег 1о с1ег!уе а Боьтп4 {от Б'|т'о:п (1-2) ![ 1в вцЁс!е::! {о ::о1е [Ба{
!т:'{етт.а1з
(*,,.*,)
(
?1тттв,
Б,
Р!па11у, по{е [1та! {Бе
:::"тгп1эег
(/Р1*1/А)А_'
*') .
|ь_1Р!]_2
< сР(к-т\/2
"р(ь_х)|э (1-6)
'
о{ а11 с1аввев 1'| |в тто{ 1агдег 11:ап
(л+т)&
0',:1,...,&,
Ёп]{е Боге1 о
тм[еге
$11рге11111111
11с1
тт![Б апу геа.1
са,.
|в 1а[еп оуег
: |([,(4:
{п:
'(|)
а11
-
п1еа,511те от: ]&'&.
$шр р(1(;
}е6::е {ог |
))'
гес!ап91ев о{ {Бе {огп:
€ &'&:
са;
(
т;
(
а;*|;,1-_ 1,2,...,/;}
:
(/',
. . . , /д)
69
!впцмд 2. 0е6:те (*,.) А
!}:, о,,1*; '
{3о5. Авзптпе
:/
{1э'а[ []эе{ътпс[]оаэ'
ехр{а(Ё,с)}р(/т)
./1кь
!в полпе9а!]уе. !Аеп {от апу | : (|т, . . . , ]ь) ут][1т 1; ) 0, { сопв[ап[в с3(А) алё сц(Ё) 4ереп4|п3 оп1у оп Ё вас1т [Аа1"
.'(Ё)
:
1,2,
&.ьг
|, -. й ', !|'|
: 2' [ [' щ:ц. (1; 3з2-(о 1Р))_',) ёад . . . с1а1 !о !о:!| 0.5(&2 + ь) + \. [е[ с1елэ'о[,е а, х'алс]отп с!епо!е апт ров||'|х,е л-еа,1лш:пБе:'в алс1 ]е[,
аатс! э'ут с!елэ.о[,е роя!*1ие
уаа']а,Б]е'ту]*& ът::!й:'::: 4]я*:'!1эъ:Ё.{о::
./-(м!) +
{
/ \
(|{лс \т
с:(А,
оп |_ Р;
\ -] 7А;!,
|А|х
! ) ! / )_^цу
!_^ц^
/ ь
п':)Р_ь(ь+',''
Р)' |Беп
!
|!0ехр{2та.|(у')}1'""а.'..'с1а1 \_1
(ц *')
_
,
(10-1)
74
тйе:'е
с(А,э-:'ь)
Рвоог:
]:-:'
:2Ё2+А *
(12е,(312л':'
'
12!с2*'
!Ё'
97(о.ь(}2-рА')*1-2лт')
т,]еш о{ (7-2) тте де!
},,,(^'[)
2А*2','
(11-1)
[ог
а11
т
)
1
|1'
75 [Ба1 |з 1х/огеотег, {ог
ттт
:
Р < (о" ' 2_н_2п\)1'|ь@) & ап6 апу Р 2 1 Ё1те 1ттечша1|{у (0-2)
(
'
1то1ёз
?Беоте:п 2. }1ешсе 1п у1етм о{ (11-1) апё (11-2) !{ вшЁсев {о ап6 Р } (2_к_э'*. Р):/а1''1 отт}у.
{оо. 1[
11-2)
{о11оттв {го:п
со::в|с1ег 11те са.ве
т
)
1
!е{ т9 апё Р6 ёепоЁе па{шга1 пцтгпБегв ап0 азвшгпе 1БаЁ {1те 1}:.еоге:п Бо1с1в {ог 1 т т6 ап6 Р ( Р6 а5 'иле1} ав {ог т { то * 1 апё Р ( Ро. {}п6ег 1Безе а'ввтт:тр{!опв :ме в1та}1 ртоуе 11та* {}те [Беогетт: ту!11 }:о1ё {ог т ( то * 1 аг:'0 Р - Р3 ав ч'е11. ]1тттв Бу!п6шс{1опЁ1те!печша1|!у(0-{)тм!11Бо1ё{ога11тап4Р'
!е[
5т
,5'',5',5ь,. ' .
4е:то{е !п6ереп4еп{ сор|ев о{ 5.
}{о1е {Ба{ !еттттт:а 2 |гпр11ев
.'-1 (*) Ф р,," ъу1теге Ё1те соттв[ат':'[,в
Ф
Р,,"-
$шр
{
7',;,"|Р)
( ., ' (*)Ф р,,-,,
с3(Ё) а:тё сц(А) аге [Бе за:пе ая
Р( _
\
Р(к\':''-'1':"'')
11-3)
1:т [еттт:тта 2,
€ (/1(Р_**')' "''1ь(1))
51€|9(Р),5'4€]о(Р),
(
!:|,*
\
)'
(11-4)
76 ?}тттв' туе
Бауе
Р
< п.н
апс1 1эу
(11-5) м:е 3е{
1ь(Р)
1.
о:: 11:е р1апе
Р2
(зее е.3. Ргттс1::!1со:, е[
ат1.
тэЁ) 1с Р2 о,(5,1)
{ 5г*5:с1)(1) \ х ,.'гг + 53 с /?(1) | я,5? /о(Р), . ! : 7,2 / \
|
!',
{
с Р5/э
0.(5, ]).
(
12-3)
(12-3) [с:де[[ег в}:оту [[а{ (0-3) Бо1с1в {ог т;; : 1 а.т:с| ттт : 2 тм1{1: аг]э|!гагу !:т{е3ет'Р > 1' \[е а1геас1), ге:пат1сес1{1та,{ (0-3) [о14з {ог а11тп,1 ( т-тт 1Ё, ?1тттв (12-2) аттс1
1
ту1:еп
Р
},е[
]1'
,;111
1
ва{|в6ев
тта6 аттс1
(
12- 1).
Р9
т-т-ь6
а::с1
Р {
Ртотп Беге оп туе са11 [;ес1ше11се$ |пс:геа.в |1!
;1]
111 ]1
,1!
]! 1!
01-:.а,{
11теогет:':.
|::8
Ро ав
2
Бо1с1в {ог
ъуе1}
са.п а.1эр}у []:е !пс1ттс[!от:. ат3тт:т:еп[в и,|*1т гея1эес[ Ёсл ,,г-:а а1'ттс1 Р }1'а.\. а5 |т: ![е ргоо{ о{ 1Беогетт: 1. ]1те с1!$еге::се !в [1:а.[ т:оту
тууе
а1тпоэ{ |:: {1те $а'111е
;]!
с1етто!е па[ътга1 п:-т:п1эегв а.п0 азятт:пе
ав {ог тп 1- тп9 * 1 ап0 Р { Ро. |]:з'с1ег [Беве аввтт:тр[!о11$ \,уе вБа11 рготе {Ба[ [1те 1Беоге::: тт111 1:о1с} {ог зт'а' ( з.т:'6 * 1 а,пс1 Р : Ро ав тте1]. ?Б:_тв 1эу !пс1ттс[|о:: 11те |пес1:та1![1, (0-3) ш111 [о1с1 {с:г а11 :г-т-:' ат:с1 Р. т-тъ
е![[ег
втт1э вес1т:'ет':.с:с|а.1
е со::з! в {|::8 о{
7:|(п-ь+1)12]+1
(12-4)
81
пцгг1ьег5' тмБеге 'иге рш| тп
:
тпо {ог в!гпр1|с!{у'
1п о1Бег:мог6втме са11а $ечшепсе
?
!т,." .э!тп*|
ге9ш!ат 1{{}:.еге ех|в!в ап 1псгеав1п6
о{ {}:.е пцгпБегв !т'' .' ,у9тп*\ вцсБ {}:.а{ {Бе 6.|$етепсе Бе{:мееп апу 1тлго сопвесц1]уе {еггпв !в 1аг9ег {Бап 1. А вечшепсе |в са11е6 1,тге9ш!ат,, !{ вшс}:. а Бечцепсе 6оев по1 ех!в1. вшБвечшепсе сопв!в!1п9 о{
1п {Бе 5атпе 'и/ау а$ |п {Бе ргоо{ о{ ]Беогетп 1 тме вБо:м
|,п*1(Р) < ап6 1тп*| тцБеге
|{
:
св
7,п+т(в1{)
('чя) 3 2 (1' *
(2ь)4
1}:.е |печша1|{!ев
,||', п':
(12-5)
(12-6)
1э),,
[Р//_1 +
1],
11 апё 12 со[те5|опё {от
\
ап4 |А|
7_2(тп6*|_|)
1с
{Р
1о ге6ш1аг ап0 1гте3ш1ат вечшепсеБ' ге$рес1|те1у. в!гп11ат1у ав 1п {Бе ргоо{ о{ ?Беогегп 1
11_э(тп+т)
(\2-7)
\[е
}:ауе
7,
( Р(А;5,5';| *1,,пъ*
(/11Р_ь+т),... ,;.(1)) [о(Р1_1|т)1 1 :т + \,*+|
1,0) €
\ с ) т\ 51 с Р(!;5,5'11,,!,-А) с (1(т)(рт_т|'),'.',,[(т)(Р'_')) \ .,'р г ( 51 со!!'к-1(" *2Ру); 5', со2"!'к_1(" *2&у), 1:т3 ) 2\
.,'р р
16(Р|-1|т)1 5!
Р(!с; 5, 5';! * 1,тп * 1,0) с (! (Р(\_1|т)(_Ё+1)),' . .,1*(1)) р( 51 с|6(Р1_||т)1 5',, с|о(Р1'_1'|т), !:т+1,тп+1 т'\
1с .'',
\ )
р(зт-э. )12 о2т (5,\). Ёепсе,
'ше }:.ауе
11
1 с Р|,' цл?"+') *
ртот|6её
\Б'а{, 1\т['' !в
"''
_т) | т + ь(3
_ |) 1 ) ( 1 _ | | т) + ь вт "_ Р|,'+, р(з(гп+т)_т)|э цэ(тп+')(5,:),
рэ(тп*1
< 0.25
(5, т) тп+
3
_3
сБовеп вцс}:. !Ба{
![тп*124с€в][*,
(12-в)
'т]
82
с аге 1Бе сопв1ап{в {тотп (12-7) ап6 (12-в) гезрес||те1у, ап6
чдБеге с6 ап4
2(тп
Бу сБо|се
Ё
о{
7
чле
* \ - т)|т _
112
-
(3(- + 1 - т) _ 1)|Р7)
