OSN Matematika SMA 2013. Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013.
Seleksi Tingkat Nasional. Tutur Widodo. 1. Diketahui bangun persegi panjang ...
Tutur Widodo
OSN Matematika SMA 2013
Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 × 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut. Jawaban : Untuk memudahkan bagi menjadi dua kasus, (i) Jajar genjang yang dua sisinya dibentuk oleh garis horisontal. • Jajar genjang dengan tinggi 1 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 4 ×
6 2
= 120.
• Jajar genjang dengan tinggi 2 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 3 ×
5 2
= 60.
• Jajar genjang dengan tinggi 3 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 2 ×
4 2
= 24.
• Jajar genjang dengan tinggi 4 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 1 ×
3 2
=6
Jadi, banyaknya jajar genjang pada kasus (i) ada 120 + 60 + 24 + 6 = 210. (ii) Jajar genjang yang dua sisinya dibentuk oleh garis vertikal • Jajar genjang dengan tinggi 1 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 6 ×
4 2
= 72.
• Jajar genjang dengan tinggi 2 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 5 ×
3 2
= 30.
• Jajar genjang dengan tinggi 3 satuan Banyak jajar genjang yang demikian ada 2 × 4 ×
2 2
= 8.
1
Tutur Widodo
OSN Matematika SMA 2013
Jadi, banyaknya jajar genjang pada kasus (ii) ada 72 + 30 + 8 = 110. Oleh karena itu, total keseluruhan jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut adalah 210 + 110 = 320 jajar genjang. 2. Diberikan segitiga lancip ABC dengan lingkaran luar ω. Garis bagi ∠BAC memotong ω di titik M . Misalkan P suatu titik pada garis AM dengan P di dalam segitiga ABC. Garis melalui P yang sejajar AB dan garis melalui P yang sejajar AC memotong sisi BC berturut-turut di titik E dan F . Garis M E dan M F memotong ω lagi berturut-turut di titik K dan L. Buktikan bahwa garis-garis AM, BL dan CK konkuren. Jawaban : Perhatikan gambar di bawah ini! C M
F
L
D P
E
A
B
K Misalkan D adalah perpotongan garis AM dan sisi BC. Untuk membuktikan AM, BL dan CK konkuren, berdasarkan Dalil Ceva (versi trigonometri) cukup ditunjukkan sin ∠CBL sin ∠BAM sin ∠ACK · · =1 sin ∠ABL sin ∠CAM sin ∠BCK karena sin ∠BAM = sin ∠CAM maka tinggal ditunjukkan sin ∠CBL sin ∠ACK · =1 sin ∠ABL sin ∠BCK Perhatikan bahwa
dan
sin ∠CBL sin ∠CM F DM · CF = = sin ∠ABL sin ∠DM F CM · DF sin ∠ACK sin ∠DM E BM · DE = = sin ∠BCK sin ∠BM E DM · BE
2
Tutur Widodo
OSN Matematika SMA 2013
sehingga diperoleh DM · CF BM · DE CF · DE sin ∠CBL sin ∠ACK · = · = sin ∠ABL sin ∠BCK CM · DF DM · BE DF · BE karena CM = BM . Oleh karena itu, hanya perlu ditunjukkan CF · DE =1 ⇔ DF · BE
CF BE = DF DE
Padahal kita punya BE AP CF = = DE DP DF seperti yang diharapkan. Jadi, terbukti garis-garis AM, BL dan CK konkuren. 3. Tentukan semua bilangan real positif M sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan real positif a, b dan c, paling sedikit satu diantara tiga bilangan berikut a+
M , ab
b+
M , bc
c+
M ca
bernilai lebih dari atau sama dengan 1 + M . Jawaban : √ Jika a = b = c = 3 2M maka M harus memenuhi ketidaksamaan berikut √ 3
yang equivalen dengan
√ 3
2M + √ 3
M 4M 2
≥1+M
2 √ 3 2M − 1 2M + 2 ≤ 0
1 Oleh karena itu, satu-satunya nilai M yang memenuhi adalah M = . 2 1 Untuk menunjukkan bahwa M = memenuhi berarti cukup ditunjukkan 2 1 1 1 3 T = Max a + ,b + ,c + ≥ 2ab 2bc 2ca 2
3
Tutur Widodo
OSN Matematika SMA 2013
3 Andaikan T < , maka berdasarkan ketaksamaan AM-GM diperoleh 2 9 1 1 1 > 3T ≥ a + +b+ +c+ 2 2bc 2ca 2ab 1 1 1 1 2a + + 2b + + 2c + = 2 ab bc ca ! r 1 1 2 1 2 1 9 ≥ 9 a2 · ·b · ·c · 2 ab bc ca =
9 2
kontradiksi. 3 Oleh karena itu terbukti T ≥ . Jadi, satu-satunya nilai M yang memenuhi adalah 2 1 M= . 2 4. Misalkan p > 3 adalah bilangan prima dan X
S=
ijk
2≤i
