Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 2011 1. Diketahui vektor u = (a, −2, −1) dan v = (a, a, −1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah ... a. −1

b. 0

c. 1

d. 2

e. 3

Jawaban : c Karena u tegak lurus v maka 0 = u · v = a2 − 2a + 1 = (a − 1)2 . Jadi, a = 1. 2. Pernyataan berikut yang benar adalah ... a. Jika sin x = sin y maka x = y b. Untuk setiap vektor u, v, w berlaku u · (v · w) = (u · v) · w c. Jika

Rb a

f (x)dx = 0 maka f (x) = 0

d. Ada fungsi f sehingga lim f (x) 6= f (c) untuk suatu c x→c

e. 1 − cos(2x) = 2 cos2 x Jawaban : d Opsi a. salah, ambil counter example x = 30◦ dan y = 150◦ Opsi b. salah karena u · v hasilnya skalar sehingga operasi (u · v) · w tak terdefinisi. Opsi c. salah, ambil counter example a = 0, b = 2π(dan f (x) = sin x x, x 6= 0; Opsi d. benar, definisikan fungsi f yaitu f (x) = dan c = 0 sehingga 1, x = 0. lim f (x) = 0 6= 1 = f (0). x→0 Opsi e. salah, karena seharusnya 1 + cos(2x) = 2 cos2 x 3. Luas daerah di bawah y = −x2 + 8x dan di atas y = 6x − 24 serta terletak di kuadran I adalah ... 1

Tutur Widodo a.

R4

b.

R4

c.

R6

d.

R6

e.

R4

0

Matematika IPA SNMPTN 2011 R6

(−x2 + 8x)dx +

4

R6

(−x2 + 8x)dx + 0

0

(−x2 + 8x)dx +

(6x − 24) + 4

0

(6x − 24) +

R8 6

R6 4

(x2 − 2x − 24)dx

4

R8 6

(−x2 + 2x + 24)dx

(−x2 + 2x + 24)dx

(−x2 + 8x)dx

(−x2 + 8x)dx

Jawaban : b Perhatikan gambar di bawah ini! 16

y = −x2 + 8x y = 6x − 24

14

12

10

d

8

e

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Titik potong kedua kurva yaitu, −x2 + 8x = 6x − 24 ⇐⇒ x2 − 2x − 24 = 0 ⇐⇒ (x − 6)(x + 4) = 0 Jadi, titik potong kedua kurva di x = −4 atau x = 6. Sedangkan titik potong garis y = 6x − 24 denga sumbu X adalah di x = 4. Misal, luas daerah yang dicari adalah L, R4 R6 didapat L = 0 (−x2 + 8x)dx + 4 (−x2 + 2x + 24)dx 4. sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦ = · · · a. cos 5◦

b. sin 5◦

c. cos 95◦

d. cos 75◦ 2

e. sin 75◦

Tutur Widodo

Matematika IPA SNMPTN 2011

Jawaban : c sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦ = cos 55◦ · cos 40◦ − sin 55◦ · sin 40◦ = cos 95◦ 5. Diketahui suku banyak f (x) bersisa −2 jika dibagi (x + 1), bersisa 3 bila dibagi (x − 2). Sedangkan suku banyak g(x) bersisa 3 jika dibagi (x+1) dan bersisa 2 bila dibagi (x−2). Jika h(x) = f (x) · g(x) maka sisa h(x) jika dibagi oleh x2 − x − 2 adalah ... a. 4x − 2

b. 3x − 2

c. 3x + 2

d. 4x + 2

e. 5x − 2

Jawaban : a Misal, sisa pembagian tersebut adalah ax + b maka diperoleh hubungan, h(x) = H(x)(x2 − x − 2) + ax + b = H(x)(x + 1)(x − 2) + ax + b Sehingga didapat, − 6 = −2 · 3 = f (−1) · g(−1) = h(−1) = −a + b

(1)

6 = 3 · 2 = f (2) · g(2) = h(2) = 2a + b

(2)

dan

dari pers.(1) dan pers.(2) didapat a = 4 dan b = −2. Jadi sisa pembagiannya adalah 4x − 2 6. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak di tengah - tengah sisi EF , maka panjang AG adalah ... r √ 3s2 a. t2 − d. t2 − s2 4 r r 2 3s s2 2 2 e. t + b. t + 4 4 √ c. t2 + s2 Jawaban : b

√ s 3 Misal tinggi segitiga sama sisi ABC = a, diperoleh a = sin 60 · s = . r 2 √ 3s2 2 2 2 Sehingga dengan dalil pythagoras, kita dapat AG = t + a = t + 4 ◦

7. Jika 0 < x < π dan x memenuhi sin2 x + sin x = 2 maka nilai cos x adalah ... a. 1

d. 0

√

3 2

b. c.

e. −1

1 2

3

Tutur Widodo


Jawaban : d Dari pers. sin2 x + sin x − 2 = 0 ⇐⇒ (sin x − 1)(sin x + 2) = 0, kita dapatkan sin x = 1 atau sin x = −2(tidak mungkin). Jadi diperoleh sin x = 1 dan karena 0 < x < π maka x = π2 sehingga cos x = 0. 8. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik - titik sudut dari titik - titik tersebut adalah ... a. 56

d. 84

b. 58

e. 96

c. 64 Jawaban : a Banyaknya segitiga adalah

! 8 = 56 3

9. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang disusun oleh angka - angka 0, 1, 3, 5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ... a. 600

d. 620

b. 605

e. 625

c. 610 Jawaban : a Misal, A adalah kejadian angka pertama atau terakhir tidak 0, maka Ac adalah kejadian angka pertama dan terakhir 0. Jadi Ac = 5x5 = 25. Sehingga A = 54 −25 = 625−25 = 600 10. Vektor u = 4i + bj + ck tegak lurus w = 2i − 2j + 3k dan |u| = 2|w|, maka nilai b memenuhi ... a. 13b2 − 32b + 404 = 0

d. 13b2 + 32b + 404 = 0

b. 13b2 + 32b − 404 = 0

e. 3b2 − 10b − 402 = 0

c. 13b2 − 32b − 404 = 0 Jawaban : c Karena u⊥w didapat 0 = u · w = 8 − 2b + 3c ⇐⇒ 3c = 2b − 8. Selain itu, |u| = 2|w|

4

Tutur Widodo


sehingga kita dapat, √

16 + b2 + c2 = 2 ·

√

17 ⇔ b2 + c2 = 52 ⇔ 9b2 + (3c)2 = 468 ⇔ 9b2 + (2b − 8)2 = 468 ⇔ 13b2 − 32b − 404 = 0

11. Diberikan kurva y = x3 + 2x2 − x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar garis y − 3x − 4 = 0, maka nilai b yang mungkin adalah ... a. 12

d. 8

b. 10

e. 7

c. 9 Jawaban : e Misal gradien garis singgung tersebut adalah m, maka didapat m = 3. Selain itu kita punya, 3 = m = f 0 (a) = 3a2 + 4a − 1 ⇔ (3a − 2)(a + 2) = 0 Sehingga a = 32 atau a = −2. Jika a = −2 maka b = 7 12. Grafik y = f 0 (x) ditunjukkan seperti gambar berikut! 4

y=f’(x)

−4

−2

2

0

2

4

Pernyataan yang benar adalah ... a. fungsi f mempunyai titik minimum (0, −1)

5

Tutur Widodo


b. fungsi f naik pada interval (0, ∞) c. titik minimumlokal f terjadi di x = −2 d. fungsi f bernilai positif pada selang (−∞, −2) e. titik minimum lokal terjadi di x = 2 Jawaban : e Dari gambar diperoleh informasi sebagai berikut : • Fungsi f naik pada interval (−∞, −2) dan (2, ∞) • Fungsi f turun pada interval (−2, 2) • Maksimum lokal terjadi di x = −2 • Minimum lokal terjadi di x = 2 13. Diberikan lingkaran dengan persamaan (x − 5)2 + (y − 122 ) = 142 . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titi asal ialah ... a. 14 b. c.

d. 1

√ 3 √

e.

1 2

2

Jawaban : c Diketahui pusat lingkaran P (5, 12) dan jari - jari R = 14. Maka |OP | = 13 dan jarak minimal lingkaran dengan titik asal O adalah R − |OP | = 14 − 13 = 1. 14. Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah ... a. 12

√ d. 18 2

√ b. 16 2

e. 18

c. 16 Jawaban : c Misal, V menyatakan volume kerucut, a menyatakan jari-jari dan t tinggi kerucut. Perhatikan gambar di bawah ini!

6

Tutur Widodo


a

4 t

Kita dapatkan hubungan sebagai berikut, 4=

at √ a + a2 + t2

setelah sedikit operasi aljabar akan diperoleh, a2 =

16t t−8

(3)

Selain itu kita juga punya, 1 V = π · a2 t 3

(4)

Dari pers.(3) dan pers.(4) diperoleh 16t2 1 V = π· 3 t−8 Misalkan V 0 menyatakan turunan pertama V terhadap t didapat 1 V = π 3 0

32t(t − 8) − 16t2 (t − 8)2

1 Agar V minimum haruslah V = 0 yang berakibat π 3 equivalen dengan 16t − 256 = 0 sehingga t = 16. 0

32t(t − 8) − 16t2 (t − 8)2

= 0 atau

15. Diketahui vektor u = (1, −3a + 1, 2) dan v = (a3 − 3a2 , 3, 0) dengan −2 < a < 4. Nilai maksimum dari u · v adalah ... a. 27

d. 1

b. 8

e. -24

c. 3 Jawaban : b

7

Tutur Widodo


Misal , u · v = T (a). Kita dapat, T (a) = a3 − 3a2 + 3(−3a + 1) = a3 − 3a2 − 9a + 3 sehingga, T 0 (x) = 3a2 − 6a − 9 Agar T maksimal maka T 0 = 0 yang berarti 3a2 − 6a − 9 = 0 ⇔ (a + 1)(a − 3) = 0 sehingga didapat a = −1 atau a = 3. Jadi, nilai u · v maksimum dicapai saat a = −1 yaitu u · v = T (−1) = 8.

8